Cap3 movimiento armonico simple 2

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  • 1. Movimiento Armónico Simple Serway, R.A. and J.W. Jewett, Física para ciencias e ingeniería. Séptima ed. Vol. I. 2008, México: CENGAGE Learning. Cap. 15
  • 2. Movimiento oscilatorio El movimiento oscilatorio es aquel en el que el objeto retorna regularmente a una posición dada en intervalos fijos de tiempo. Un tipo especial de movimiento ocurre en los sistemas mecánicos cuando la fuerza que actúa sobre el objeto es proporcional a la posición con respecto a cierta posición de equilibrio del mismo  Si la fuerza va dirigida siempre hacia la posición de equilibrio, el movimiento se conoce como movimiento armónico simple (MAS). Movimiento Armónico Simple 2
  • 3. Movimiento de un sistemamasa-resorte Un bloque de masa m esta atado a un resorte, el bloque puede moverse sin fricción sobre una superficie horizontal Cuando el resorte no esta ni comprimido ni estirado, el bloque esta en su posición de equilibrio  x=0 Movimiento Armónico Simple 3
  • 4. Ley de Hooke La ley de Hooke establece que: Fs = - kx  Fs es una fuerza restauradora  Está siempre dirigida hacia la posición de equilibrio  Está siempre dirigida en sentido contrario al desplazamiento  k es la constante del resorte  x es el desplazamiento Movimiento Armónico Simple 4
  • 5. Fuerza restauradora x>0 Fs < 0 Movimiento Armónico Simple 5
  • 6. Fuerza restauradora El bloque está en su posición de equilibrio  x=0 El resorte no esta ni comprimido ni estirado La fuerza es 0 Movimiento Armónico Simple 6
  • 7. Fuerza restauradora x<0 Fs > 0 Movimiento Armónico Simple 7
  • 8. Aceleración Movimiento Armónico Simple 8
  • 9. Aceleración, cont. La aceleración es proporcional al desplazamiento del bloque El sentido del vector aceleración es opuesto al del desplazamiento con respecto a la posición de equilibrio. Un objeto se mueve con MAS si su aceleración es proporcional y en sentido contrario a su desplazamiento con respecto a la posición de equilibrio Movimiento Armónico Simple 9
  • 10. Aceleración, final Movimiento Armónico Simple 10
  • 11. Movimiento del bloque Movimiento Armónico Simple 11
  • 12. MASPlanteamiento matemático Movimiento Armónico Simple 12
  • 13. MASSolución de la ecuación diferencial Movimiento Armónico Simple 13
  • 14. MASSolución de la ecuación diferencial Movimiento Armónico Simple 14
  • 15. MASSolución de la ecuación diferencial Movimiento Armónico Simple 15
  • 16. MAS – Representación gráfica Movimiento Armónico Simple 16
  • 17. MAS– Definiciones A es la amplitud del movimiento  Esta es el máximo desplazamiento de la partícula con respecto a la posición de equilibrio w frecuencia angular  unidades rad/s f constante de fase o ángulo inicial (wt + f) es la fase x (t) es periódico y su valor se repite cada vez que wt aumenta 2p radianes Movimiento Armónico Simple 17
  • 18. Periodo Movimiento Armónico Simple 18
  • 19. Frecuencia Movimiento Armónico Simple 19
  • 20. Resumen de ecuaciones-Periodo y frecuencia Poniendo la frecuencia angular en función de la frecuencia y el periodo 2p w  2p ƒ  T El período y la frecuencia también pueden expresarse como: m 1 k T  2p ƒ k 2p m Movimiento Armónico Simple 20
  • 21. Periodo y frecuencia, cont El periodo y la frecuencia dependen únicamente de la masa de la partícula y de la constante del resorte La frecuencia es mayor para resortes más rígidos y disminuye con el incremento de la masa Movimiento Armónico Simple 21
  • 22. Ecuaciones de movimientopara el MAS x (t )  A cos (wt  f ) dx v  w A sin(w t  f ) dt d 2x a  2  w 2 A cos(w t  f ) dt ATENCIÓN, el MAS no es un movimiento con aceleración constante Movimiento Armónico Simple 22
  • 23. Valores máximos de v y a Puesto que las funciones trigonométricas oscilan entre ±1, es posible encontrar los valores máximos de v y a k v max  wA  A m k amax w A 2 A m Movimiento Armónico Simple 23
  • 24. Gráficos La velocidad está desfasada 90o con respecto al desplazamiento, mientra s que la aceleración 180o Movimiento Armónico Simple 24
  • 25. MAS Ejemplo 1 Condiciones iniciales  x (0)= A  v (0) = 0 Significa que f = 0 La aceleración alcanza los valores  w2A en A Las velocidades alcanzan los valores  wA en x = 0 Movimiento Armónico Simple 25
  • 26. MAS Ejemplo 2 Condiciones iniciales  x (0)=0  v (0) = vi En este caso f =  p/2 El grafico esta corrido un cuarto de ciclo a la derecha en relación al caso de x (0) = A Movimiento Armónico Simple 26
  • 27. Péndulo simple El péndulo simple exhibe movimiento periódico El movimiento ocurre en el plano vertical y es impulsado por la fuerza de gravedad Para ángulos menores a 10º realiza un MAS. Movimiento Armónico Simple 27
  • 28. Péndulo Simple, 2 Movimiento Armónico Simple 28
  • 29. Péndulo Simple, 3 10 0.1745 0.1736 5 0.0873 0.0872 1 0.0174 0.0174 Movimiento Armónico Simple 29
  • 30. Simple Pendulum, 4 Por lo tanto q puede expresarse como: q = qmax cos (w t + f) La frecuencia angular será: g w L El período es 2p L T  2p w g Movimiento Armónico Simple 30
  • 31. Péndulo simple, Resumen El periodo y la frecuencia del péndulo simple depende únicamente de la longitud de la cuerda y de la aceleración de la gravedad. El periodo es independiente de la masa Todos los péndulos de igual longitud que se encuentran en la misma localidad oscilan con el mismo periodo. Movimiento Armónico Simple 31
  • 32. Péndulo físico Si un objeto colgado oscila alrededor de un eje fijo que no pasa por su centro de masas y el objeto no puede ser aproximado a una partícula, estamos en presencia de un péndulo físico  Este no puede ser tratado como un péndulo simple Movimiento Armónico Simple 32
  • 33. Péndulo físico, 2 La fuerza gravitatoria ejerce un torque alrededor de un eje que pasa por O La magnitud del torque es mgd sin q I es el momento de inercia alrededor del eje O Movimiento Armónico Simple 33
  • 34. Péndulo físico, 3 Segunda ley de Newton rotacional, d 2q mgd sinq  I 2 dt La fuerza restitutiva es la fuerza e gravedad Asumiendo ángulos pequeños: d 2q  mgd    q  w 2q dt 2  I  Movimiento Armónico Simple 34
  • 35. Péndulo Físico,4 Se obtiene la ecuación del MAS La frecuencia angular es mgd w I El período es 2p I T  2p w mgd Movimiento Armónico Simple 35
  • 36. Péndulo físco, 5 Movimiento Armónico Simple 36
  • 37. Energía de un oscilador en MAS  Movimiento Armónico Simple 37
  • 38. Energía de un oscilador enMAS, cont La energía mecánica total se conserva La energía mecánica total es proporcional al cuadrado de la amplitud La energía se está transfiriendo continuamente de energía potencial almacenada en el resorte a energía cinética del bloque. Movimiento Armónico Simple 38
  • 39. Energía de un oscilador enMAS, cont Movimiento Armónico Simple 39
  • 40. Energía en el MAS, resumen Movimiento Armónico Simple 40
  • 41. Importancia de los osciladoresarmónicos simples Los osciladores armónicos simples sirven de modelo para un gran número de sistemas físicos Ejemplo, las moléculas y los sólidos  Si los átomos en las moléculas y los sólidos no se mueven muy lejos de su posición de equilibrio, pueden ser modelados por osciladores armónicos.  La energía potencial es similar Movimiento Armónico Simple 41
  • 42. Reducción de un potencialcomplejo al de un oscilador Movimiento Armónico Simple 42
  • 43. Problema resueltoUna varilla de masa M y longitud L está articulada en el punto P, a una distancia d de su centro de masa,como se muestra en la figura P3-9. Los extremos de la varilla están amarrados a resortes de constante defuerza k1 y k2, como se muestra y la varilla oscila en un plano vertical sobre una mesa sin fricción. Calculael periodo de oscilaciones pequeñas del sistema (ICM = ML2/12) si: a) d = 0, k1 = k2 = k, b) d = L/4, k1 = k yk2 = 2k. Presenta tus resultados en términos de M, L y k. k1 pivote P d C k2 P3-9 M 7ML R: a) T  2p ; b) T  2p 6k 57kL  12Mg Movimiento Armónico Simple 43
  • 44. 1. Establecer la energía total para el sistema cuando esté ligeramente fuera de su posición de equilibrio: En general la energía total viene dada por: Et  Ktras  Krot  U grav  Uelást (1) Cuando un sólido se traslada todos sus puntos se desplazan exactamente lo mismo y como esta condición no se cumple para la varilla en estudio entonces: Ktras  0 (2) Sin embargo, es evidente que la varilla se encuentra rotando alrededor de un eje perpendicular a ella que pasa por el punto P y en consecuencia: Krot  1 Iw 2 2 (3) Con esto quedan determinados los términos de energía cinética. Analicemos ahora los de energía potencial. Puesto que la varilla no gira sobre su centro de masas entonces este cambiará su posición en el campo gravitatorio por lo que fuera del equilibrio el sistema tendrá cierta energía potencial gravitatoria dada por: U grav  U grav  Mgh (4) Donde g es la aceleración de la gravedad y h es la altura con respecto a la posición de equilibrio. Quedan por establecer los términos de energía potencial elástica, los cuales se proponen en su forma habitual: Uelást  1 k1s12  1 k2 s22 2 2 (5) Donde s1 y s 2 son las deformaciones de los resortes. Sustituyendo 2, 3, 4 y 5 en 1: Et  1 Iw 2  Mgh  1 k1s12  1 k2 s2 2 2 2 2 (6) Movimiento Armónico Simple 44
  • 45. 2. Expresar la energía total en función de una sola variable. La energía Total depende de ω, h, L1 y L2. En este caso se pondrán estas variables en función del ángulo de giro del sistema (θ). De la definición de velocidad angular: dq w (7) dt Para poner h en función de θ analicemos la circunferencia de radio d: θ d h Analizando la figura se puede arribar a la conclusión de que: h  d  d cosq  (8) Para poner s1 y s2 se utiliza la proporción que involucra la longitud de la circunferencia: 2p ( L 2  d ) s1  2p q (9) s1  ( L 2  d )q Siguiendo un procedimiento similar para el segundo resorte se obtiene: s2  ( L 2  d )q (10) Sustituyendo (7), (8), (9) y (10) en 6 se obtiene la energía en función de θ: dq  2 1  Et  2 I    Mgd  d cosq   1 k1 ( L 2  d )2q 2  1 k2 ( L 2  d ) 2q 2 2 2 (11) 45  dt 
  • 46. 3. Aplicar la condición de conservación de la energía. dEt 0 dt Derivando (11) e igualando a cero: dq d 2q dq dq dq 0I  Mgd sin q   k1 ( L 2  d ) 2 q  k2 ( L 2  d ) 2q dt dt 2 dt dt dt Simplificando dq dt se obtiene: d 2q 0  I 2  Mgd sin q   k1 ( L 2  d ) 2 q  k2 ( L 2  d ) 2 q (12) dt4. Aplicar la aproximación de oscilaciones pequeñas. En este caso: sinq   q , sustituyendo en (12): d 2q 0  I 2  Mgdq  k1 ( L 2  d ) 2 q  k2 ( L 2  d ) 2 q (12) dt5. Obtener la ecuación del M.A.S. Despejando la aceleración angular en (12) y sacando factor común θ: d 2q Mgd  k1 ( L 2  d ) 2  k2 ( L 2  d ) 2  q (13) dt 2 I Movimiento Armónico Simple 46
  • 47. 6. Identificar ω2. Comparando (21) con la ecuación del M.A.S.  = ω2θ: Mgd  k1 ( L 2  d ) 2  k2 ( L 2  d ) 2 w  2 I Mgd  k1 ( L 2  d ) 2  k2 ( L 2  d ) 2 w IPara encontrar el período se utiliza: 2pT wSustituyendo la frecuencia angular: IT  2p Mgd  k1 ( L 2  d ) 2  k2 ( L 2  d ) 2Utilizando ahora el teorema de los ejes paralelos para el momento de inercia de un cuerpoque gira alrededor de un punto a la distancia d de su centro de masa: 12 ML  Md 1 2 2T  2p Mgd  k1 ( L 2  d ) 2  k2 ( L 2  d ) 2 Movimiento Armónico Simple 47
  • 48. Oscilaciones Amortiguadas Serway, R.A. and J.W. Jewett, Física para ciencias e ingeniería. Séptima ed. Vol. I. 2008, México: CENGAGELearning. Cap. 15 epigrafe 15.6
  • 49. Oscilaciones amortiguadas Sobre la mayoría de los sistemas reales actúan fuerzas no conservativas.  Esos casos no oscilan con M.A.S.  La fricción es una fuerza conservativa común En este caso la energía mecánica del sistema disminuye en el tiempo y se dice que el movimiento es amortiguado.
  • 50. Oscilaciones amortiguadas,Ejemplo
  • 51. Oscilacionesamortiguadas, ecuaciones
  • 52. Oscilacionesamortiguadas, ecuaciones, cont
  • 53. Oscilacionesamortiguadas, Gráfico La amplitud decrece exponencialmente con el tiempo. La línea azul discontinua representa la disminución exponencial de la amplitud
  • 54. Oscilacionesamortiguadas, Frecuenciaangular
  • 55. Tipos de amortiguamiento
  • 56. Tipos deamortiguamiento, cont Gráfico de la posición en función del tiempo  (a) subaportiguado  (b) críticamente amortiguado  (c) sobre amortiguado Para el movimiento críticamente amortiguado y sobreamortiguado, no hay frecuencia
  • 57. Problema 15.14 Serway
  • 58. Problema 15.14 Serway
  • 59. Problema 15.50 Serway
  • 60. Problema 15.50Serway, solución