Unidades fundamentales de longitud

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Unidades fundamentales de longitud

  1. 1. UNIDADES FUNDAMENTALES DE LONGITUD<br /> <br />La Longitud como Magnitud Física se puede expresar por medio de ciertas unidades,<br />las cuáles poseen sus respectivas <br />equivalencias, describiremos algunas que nos facilitarán a la realización <br />de los ejercicios de conversión.<br /> <br />Ejemplos:<br />a) Convertir 2593 Pies a Yardas.<br /> 1. Antes de empezar, es necesario aclarar que algunas equivalencias <br />no se encuentran en las unidades que  se requieren, por lo que es <br /> necesario hacer dos o más conversiones para llegar a las unidades deseadas. <br /> Ahora bien, para simplificarlo, lo trabajaremos como regla de tres <br />representándolo de la siguiente manera:<br /> <br /> 2. ¿Cómo llegamos a ésta respuesta? Bueno, como se mencionó en el primer paso, <br />empezamos a simplificar por medio de  regla de tres, nos damos cuenta que la <br /> primera conversión realizada no se encuentra en las unidades requeridas, <br />por lo que ha sido necesario primero convertir las unidades de pies a metros  y <br />por último de metros a yardas,  las cuales son las unidades que deseamos.<br /> 3. Por medio del Diagrama se van tachando las unidades que no necesitamos <br />hasta llegar las requeridas. <br /> 4. Como último paso, se multiplican las cantidades, es decir, <br />los 2593 por la equivalencia 1.094 yardas <br />ambas funcionando como Numeradores; luego multiplicamos <br /> 3.281 Pies x 1 Metro, funcionando como Denominadores.<br /> 5. Por último dividimos los resultados, el Numerador con el Denominador, <br />es decir el resultado de multiplicar 2593 x 1.094 que es igual a 2836.74 <br />entre el resultado de multiplicar 3.281 Pies x 1 Metro que es 3.281;  <br /> obteniendo como resultado los 864.59 Yardas. <br /> <br /> OJO! En el Diagrama únicamente eliminamos Unidades (pies, metros) <br />no Cantidades, las cantidades se multiplican o se dividen según sea el caso. <br />       Veamos otro ejemplo:<br /> b) Convertir 27,356 Metros a Millas            <br /> 1. Realizándolo por medio del Diagrama y Regla de Tres nos quedaría así: <br /> <br /> <br /> 2. Aplicamos el mismo procedimiento, eliminando unidades hasta llegar a   <br />        <br /> las unidades requeridas.<br />     3. Luego multiplicamos las cantidades (27,356 x 1) como Numeradores y    <br />         <br /> (1000 x 1.61) como Denominadores.<br />     4. Procedemos a dividir 27,356 ÷ 1,610, obteniendo como respuesta 16.99 <br />          <br /> Millas.<br />UNIDADES FUNDAMENTALES DE MASA<br /> <br />Al igual que las unidades de Longitud, también existen unidades de Masa.<br /> <br />Ejemplo:<br /> a) Convertir 386 Kilogramos a Libras. <br /> <br /> <br />  1. Cómo en las Conversiones de Longitud, realizamos el mismo procedimiento. <br />Vamos eliminando las unidades, 1 Kilogramo equivale a    <br />     <br /> 1000 Gramos, 1 Libra equivale a 453.6 gramos.<br />      <br /> 2. Luego multiplicamos Numeradores (386 x 1000) = 386,000 y (1 x 453.6) = 453.6.<br />                 <br />   3.  Por último dividimos los 386,000 ÷ 453.6, dándonos un resultado de 850.97 Libras. <br /> <br />UNIDADES FUNDAMENTALES DE TIEMPO<br /> <br />Ahora tenemos algunas Unidades de Tiempo: <br />Ejemplo:<br /> a) Convertir 2,352 Segundos a Año. <br />      En éste caso, las conversiones son más largas, ya que se tienen <br />que convertir los segundos a minutos, minutos a horas, horas a días y días a <br />años que son las unidades que necesitamos.<br />    1. Detallamos las Unidades con sus respectivas Equivalencias.<br />    2.  Ahora multiplicamos los Numeradores (2,352 x 1 x 1 x 1 x 1) = 2,352.<br />    3.  Luego los Denominadores (60 x 60 x 24 x 365.2) = 31, 553,280<br />    4. Ahora dividimos 2, 352 ÷ 48,833,80<br />    5. Obteniendo como resultado <br /> <br />La respuesta es un poco diferente, pero aún así siempre <br />se puede hacer uso de la Notación Científica.<br /> <br />FACTORES DE CONVERSIÓN PARA ÁREA <br /> <br />Cómo en las demás magnitudes, también tenemos unidades para Área, <br />para mejor conocimiento las detallamos a continuación:<br />Ejemplo:<br /> a) Convertir 1.1 Millas/Hora a Metros/Segundo.<br /> 1. Empezamos dibujando el Diagrama para guiarnos mejor<br /> <br /> <br />  2. Si nos damos cuenta las Unidades están dividas, es decir (Millas /Horas) <br /> por lo que tenemos que eliminar Unidades tanto en Nominadores <br /> como en Denominadores.<br /> 3. Siguiendo el mismo procedimiento realizamos las conversiones <br /> necesarias hasta llegar a las que deseamos.<br /> <br /> 4. Multiplicamos las cantidades de los Numeradores, <br /> nos da un resultado de 1771, y en los Denominadores 3600.<br /> <br /> 5. Ahora dividimos los resultados 1771 ÷ 3600, <br /> dándonos como respuesta 0.49 Metros / Segundo. <br />  <br />FACTORES DE CONVERSIÓN PARA VOLUMEN<br />Describimos algunas Unidades de Conversión para Magnitud Volumen. <br />Ejemplo:<br /> a) Un motor de un automóvil tiene un desplazamiento del émbolo de 1595 cm3 <br />y un diámetro del cilindro de 83 Mm.  Expresar éstas medidas en <br />Pulgadas Cúbicas y en Pulgadas.<br /> 1. Éste problema es diferente, pero siempre empezamos dibujando <br /> el Diagrama como guía. <br /> <br />       2.  En éste caso primero convertimos los 1595 en Pulgadas Cúbicas.<br /> 3. Eliminamos las unidades y hacemos las respectivas conversiones para <br /> empezar a multiplicar. <br /> Dividimos respuestas (86,405,616 ÷ 1000,000).<br />   4.  Nos da una respuesta de 86.40 <br /> 5.  Ahora pasamos los 83 mm. a pulgadas.  <br /> <br /> <br /> CONVERSIÓN DE GRADOS A MINUTOS Y SEGUNDOS <br />Para la Conversión de Grados a Minutos, Segundos y Radianes es necesario definir lo que <br />es la Trigonometría.<br /> <br /> <br />CINEMÁTICA DE MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U)<br /> <br />La clase más simple que tiene un cuerpo es el Movimiento Rectilíneo <br />Uniforme.<br />Y se conoce por sus Siglas M.R.U.<br />Para empezar a ver ésta parte de la Física, es necesario conocer ciertos <br />términos para empezar a familiarizarnos con los problemas que <br />aplicaremos seguidamente.<br /> <br />LA MECÁNICA: Es una subdivisión de la Física que estudia el <br />movimiento de cualquier cuerpo físico.<br />La Mecánica se divide en Cinemática, Dinámica y Estática.<br />CINEMÁTICA: Es aquella ciencia que estudia el movimiento en sí <br />mismo, es decir, no atiende la causa que lo produce. <br />DINÁMICA: Se encarga de estudiar las causas que produce el <br />movimiento.<br />ESTÁTICA: Estudia las condiciones para el estado de equilibrio o reposo <br />de los cuerpos. <br />El Sistema de Referencia es aquel que define el movimiento de un cuerpo <br />con relación a un punto fijo.<br />¿ Qué es el Desplazamiento?<br />El Desplazamiento consiste en el cambio de posición de un cuerpo a otra <br />posición.<br />¿ Qué es la Velocidad ?<br />Es el tipo de movimiento más simple que un cuerpo puede experimentar, <br />es decir, un movimiento uniforme en línea recta.<br />Si un objeto cubre la misma distancia en un mismo lapso de tiempo, <br />significa que se mueve con Rapidez o Velocidad Constante.<br /> La Rapidez Promedio de un Objeto en movimiento se define así:<br />  <br /> <br /> <br /> Dónde:<br /> <br />  <br />Una persona camina 80 mts. con velocidad constante de 1.6 <br /> corre otros 80 mts con velocidad también constante de 3.2 <br /> <br /> Encontrar:<br />      a.  ¿Cuál es el Promedio de la Velocidad?<br />      b.  ¿Cuánto tiempo hubiera necesitado para recorrer la distancia total con la   <br /> segunda velocidad?<br />      c.  ¿Qué distancia habría recorrido con la Primera velocidad durante 2<br />            minutos?<br />  <br /> Primero, detallamos los datos que tenemos:  <br /> <br />  <br /> a) Promedio de la Velocidad<br /> 1. Para encontrar la Velocidad Promedio, <br /> tenemos que encontrar el Tiempo de cada una de las velocidades recorridas, <br /> por lo que despejamos la Fórmula así: <br />  <br /> <br /> <br /> Ésta fórmula, la podemos utilizar para encontrar Velocidades, <br /> Tiempos y Desplazamientos normales, no Promedios.<br /> <br />     3.  Teniendo ya el Tiempo Promedio, procedemos a utilizar la fórmula: <br /> <br /> <br /> b) ¿Cuánto tiempo para recorrer la Distancia Total con la Segunda Velocidad?<br />       <br /> 1. Detallamos las variables que tenemos: <br /> <br /> <br /> 2. Despejamos siempre fórmula:  <br /> <br /> <br /> <br />  c) ¿Qué distancia habría recorrido con la primera velocidad durante 2 minutos?<br />       <br /> 1. Detallamos las variables que tenemos: <br /> <br />      2. Despejamos siempre fórmula:  <br /> <br /> <br /> Encontramos d <br /> <br /> <br />Veamos otro ejemplo:<br />Calcular:<br /> a) Distancia Total recorrida en Kms.<br />Empezaremos con la resolución de cada literal:<br /> a) Distancia Total recorrida en Kms. <br /> 1. Detallamos los datos que tenemos: <br /> <br /> 2.  Ahora, hacemos las conversiones con cada uno de los tiempos para las   <br />      unidades requeridas: <br /> <br />             Teniendo el Tiempo, procedemos a encontrar d, ocupando la Fórmula: <br /> <br /> d = V x t<br /> <br /> 3.  Seguimos con: <br /> <br />            Encontramos:<br /> <br />  4. Pasamos a encontrar la última distancia:<br /> <br /> <br />            Encontrando: <br /> <br /> <br />         5. Procedemos a encontrar la Velocidad Promedio:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1. Obtenemos la Velocidad Promedio con el tiempo dado:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />   <br />MOVIMIENTO UNIFORMENTE ACELERADO<br /> <br />En la mayoría de los casos, la Velocidad de un objeto cambia a medida <br />que el movimiento evoluciona. A éste tipo de Movimiento se le denomina <br />Movimiento Uniformemente Acelerado.<br /> <br />ACELERACIÓN: La Aceleración es el cambio de velocidad al tiempo <br />transcurrido en un punto A a B. Su abreviatura es a.<br />VELOCIDAD INICIAL (Vo) : Es la Velocidad que tiene un cuerpo al <br />iniciar su movimiento en un período de tiempo.<br />VELOCIDAD FINAL (Vf) : Es la Velocidad que tiene un cuerpo al <br />finalizar su movimiento en un período de tiempo.<br />La Fórmula de la aceleración está dada por la siguiente fórmula:<br /> <br /> <br />De la última formula se pueden despejar todas las variables, para aplicarlas <br />según sean los casos que puedan presentarse. A partir de ello, se dice que <br />tenemos las siguientes Fórmulas de Aceleración:<br /> <br /> Dependiendo el problema a resolver y las variables a conocer, se irán <br /> deduciendo    otras fórmulas para la solución de problemas. Siendo éstas, <br /> las principales para cualquier situación que se dé.<br />MOVIMIENTO UNIFORMENTE ACELERADO<br /> <br />En la mayoría de los casos, la Velocidad de un objeto cambia a medida <br />que el movimiento evoluciona. A éste tipo de Movimiento se le denomina <br />Movimiento Uniformemente Acelerado.<br /> <br />ACELERACIÓN: La Aceleración es el cambio de velocidad al tiempo <br />transcurrido en un punto A a B. Su abreviatura es a.<br />VELOCIDAD INICIAL (Vo) : Es la Velocidad que tiene un cuerpo al <br />iniciar su movimiento en un período de tiempo.<br />VELOCIDAD FINAL (Vf) : Es la Velocidad que tiene un cuerpo al <br />finalizar su movimiento en un período de tiempo.<br />La Fórmula de la aceleración está dada por la siguiente fórmula:<br /> <br /> <br />De la última formula se pueden despejar todas las variables, para aplicarlas <br />según sean los casos que puedan presentarse. A partir de ello, se dice que <br />tenemos las siguientes Fórmulas de Aceleración:<br /> <br /> Dependiendo el problema a resolver y las variables a conocer, se irán <br /> deduciendo    otras fórmulas para la solución de problemas. Siendo éstas, <br /> las principales para cualquier situación que se dé.<br />a) Un camión de Mudanza viajó 640 millas en un recorrido de Atlanta a <br /> Nueva York. El Viaje total duró 14 horas, pero el conductor hizo dos <br /> escalas de 30 minutos para su alimentación. Cuál fue la Aceleración <br /> Promedio durante el viaje? <br /> 1. Para empezar a resolver cualquier problema siempre es importante para<br /> mayor resolución, detallar los datos que conocemos:<br />    d = 640 Millas<br />     t = 14 Horas<br /> a = ?<br /> <br /> También mencionar que cuando un objeto está en reposo, la Vo  equivale a 0,    <br />               <br /> y si la Velocidad es constante la Aceleración es igual a 0. (Tener en cuenta   <br /> <br />         éstos  dos puntos).<br /> <br /> <br /> Al principio del problema se nos describe que el conductor hizo dos escalas, cada una de 30 minutos <br /> por lo que suman 1 hora, entonces, restamos las 14 horas – 1 hora = 13 horas. Éste tiempo lo <br /> convertimos en Segundos para tener las mismas unidades.<br /> <br /> 4. Ahora procedemos a sustituir valores en la fórmula:<br /> <br /> <br /> <br /> <br />a) Un camión de Mudanza viajó 640 millas en un recorrido de Atlanta a <br /> Nueva York. El Viaje total duró 14 horas, pero el conductor hizo dos <br /> escalas de 30 minutos para su alimentación. Cuál fue la Aceleración <br /> Promedio durante el viaje? <br /> 1. Para empezar a resolver cualquier problema siempre es importante para<br /> mayor resolución, detallar los datos que conocemos:<br />    d = 640 Millas<br />     t = 14 Horas<br /> a = ?<br /> <br /> También mencionar que cuando un objeto está en reposo, la Vo  equivale a 0,    <br />               <br /> y si la Velocidad es constante la Aceleración es igual a 0. (Tener en cuenta   <br /> <br />         éstos  dos puntos).<br /> <br /> <br /> Al principio del problema se nos describe que el conductor hizo dos escalas, cada una de 30 minutos <br /> por lo que suman 1 hora, entonces, restamos las 14 horas – 1 hora = 13 horas. Éste tiempo lo <br /> convertimos en Segundos para tener las mismas unidades.<br /> <br /> 4. Ahora procedemos a sustituir valores en la fórmula:<br /> <br /> <br /> <br /> <br />a) Un camión de Mudanza viajó 640 millas en un recorrido de Atlanta a <br /> Nueva York. El Viaje total duró 14 horas, pero el conductor hizo dos <br /> escalas de 30 minutos para su alimentación. Cuál fue la Aceleración <br /> Promedio durante el viaje? <br /> 1. Para empezar a resolver cualquier problema siempre es importante para<br /> mayor resolución, detallar los datos que conocemos:<br />    d = 640 Millas<br />     t = 14 Horas<br /> a = ?<br /> <br /> También mencionar que cuando un objeto está en reposo, la Vo  equivale a 0,    <br />               <br /> y si la Velocidad es constante la Aceleración es igual a 0. (Tener en cuenta   <br /> <br />         éstos  dos puntos).<br /> <br /> <br /> Al principio del problema se nos describe que el conductor hizo dos escalas, cada una de 30 minutos <br /> por lo que suman 1 hora, entonces, restamos las 14 horas – 1 hora = 13 horas. Éste tiempo lo <br /> convertimos en Segundos para tener las mismas unidades.<br /> <br /> 4. Ahora procedemos a sustituir valores en la fórmula:<br /> <br /> <br /> <br /> <br />a) Un camión de Mudanza viajó 640 millas en un recorrido de Atlanta a <br /> Nueva York. El Viaje total duró 14 horas, pero el conductor hizo dos <br /> escalas de 30 minutos para su alimentación. Cuál fue la Aceleración <br /> Promedio durante el viaje? <br /> 1. Para empezar a resolver cualquier problema siempre es importante para<br /> mayor resolución, detallar los datos que conocemos:<br />    d = 640 Millas<br />     t = 14 Horas<br /> a = ?<br /> <br /> También mencionar que cuando un objeto está en reposo, la Vo  equivale a 0,    <br />               <br /> y si la Velocidad es constante la Aceleración es igual a 0. (Tener en cuenta   <br /> <br />         éstos  dos puntos).<br /> <br /> <br /> Al principio del problema se nos describe que el conductor hizo dos escalas, cada una de 30 minutos <br /> por lo que suman 1 hora, entonces, restamos las 14 horas – 1 hora = 13 horas. Éste tiempo lo <br /> convertimos en Segundos para tener las mismas unidades.<br /> <br /> 4. Ahora procedemos a sustituir valores en la fórmula:<br /> <br /> <br /> <br /> <br />a) Un camión de Mudanza viajó 640 millas en un recorrido de Atlanta a <br /> Nueva York. El Viaje total duró 14 horas, pero el conductor hizo dos <br /> escalas de 30 minutos para su alimentación. Cuál fue la Aceleración <br /> Promedio durante el viaje? <br /> 1. Para empezar a resolver cualquier problema siempre es importante para<br /> mayor resolución, detallar los datos que conocemos:<br />    d = 640 Millas<br />     t = 14 Horas<br /> a = ?<br /> <br /> También mencionar que cuando un objeto está en reposo, la Vo  equivale a 0,    <br />               <br /> y si la Velocidad es constante la Aceleración es igual a 0. (Tener en cuenta   <br /> <br />         éstos  dos puntos).<br /> <br /> <br /> Al principio del problema se nos describe que el conductor hizo dos escalas, cada una de 30 minutos <br /> por lo que suman 1 hora, entonces, restamos las 14 horas – 1 hora = 13 horas. Éste tiempo lo <br /> convertimos en Segundos para tener las mismas unidades.<br /> <br /> 4. Ahora procedemos a sustituir valores en la fórmula:<br /> <br /> <br /> <br /> <br />      Empezamos a detallar los datos que tenemos: <br /> 1.<br /> <br /> 2. Tenemos todos los datos necesarios para ocupar la fórmula:<br /> <br /> <br />     En éste caso, ¿por qué encontramos Aceleración Promedio y no una<br /> Aceleración Normal? Bueno en el problema se nos detalla que la <br />       posición inicial de la Flecha es de martillado, por lo que se asume que <br /> está en reposo, es decir, que la Velocidad Inicial es de “0”. Por lo que <br />   la fórmula nos quedaría así: <br /> <br /> <br /> <br />     Los datos que tenemos son los siguientes: <br /> 1. <br /> <br />          2.  Despejando la Fórmula nos quedaría así:<br /> <br /> <br /> 3.  Ahora, la Velocidad Inicial tenemos que convertirla a las unidades requeridas:<br /> <br /> <br />  4.  Ahora sustituimos valores en la Fórmula despejada:<br /> <br /> <br /> <br /> <br />    Detallamos las Variables que tenemos: <br /> 1.<br /> <br /> 2.  Utilizamos la Fórmula y sustituimos valores, cómo en el caso anterior:<br /> <br /> 3. Conociendo ya la Velocidad Final, procedemos a encontrar la d, por <br />      medio de la Fórmula: <br /> <br /> <br /> <br />     Datos asignados y a conocer: <br /> 1. <br /> <br />          Por qué la Velocidad Final es 0? <br />                  Bueno el Tren va con una velocidad inicial, pero al frenar se encuentra en <br />                   reposo, es decir, cambia de movimiento a estático, por lo que su velocidad   <br />                  final es 0.<br />    2.  Utilizamos la Fórmula:         <br /> <br />         Sustituimos Valores: <br /> <br /> <br /> ¿ Por qué la Aceleración es Negativa?<br />      <br /> Debido a que el Tren va frenando, su aceleración es contrario al <br />      <br /> movimiento de la máquina, ya que está realizando una fuerza negativa <br />      <br /> que hace que ésta sea también negativa.<br />    3.   Procedemos a encontrar la Distancia:<br /> <br /> <br /> <br /> <br />EL SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS. <br />En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto p del espacio se representa por un trío ordenado (r, ө, z). <br />1.- (r, ө) son las coordenadas polares de la proyección de p sobre el plano x y. <br />2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ө). <br />Para pasar de rectangulares a cilíndricas, o viceversa, hay que usar las siguientes formulas de conversión. <br />Cilíndricas a rectangulares. <br />X = r cos ө, y = r sen ө, z = z <br />Rectangulares a cilindricas: <br />R2 =x2 + y2, tg ө =y/x, z = z. <br />El punto (0, 0,0) se llama el polo. Además, como la representación de un punto en polares no es única, tampoco lo es en cilíndricas. <br />Ejemplo 1: <br />Expresar en coordenadas rectangulares el punto (r, ө, z) = (4,5π/6,3). <br />Solución: <br />Con las formulas de conversión de cilíndricas a rectangulares obtenemos. <br />X = 4 cos 5 π / 6 = 4 (-√3 / 2) = −2 (√3). <br />Y = 4 sen 5 π/ 6 = 4 (1/2) = 2 <br />Z = 3 <br />Así pues, en coordenadas rectangulares ese punto es (x, y, z) = (−2)( √ 3, 2, 2). Ejemplo 2: <br />Hallar ecuaciones en coordenadas cilíndricas para las superficies cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuación: <br />a) x2 + y2 =4z2 <br />b) y2 = x <br />Solución a) <br />Por la sección procedente sabemos que la grafica de x2 +y2 =4z2 es un cono «de dos hojas» con su eje en el eje z. si sustituimos x2 + y2 por r2, obtenemos su ecuación en cilíndricas. <br />x2 +y2 =4z2 ecuación en coordenadas rectangulares. <br />r2 = 4z2 ecuación en coordenadas cilíndricas. <br />Solución b) <br />La superficie y2 = x es un cilindro parabólico con generatrices paralelas al eje z. Sustituyendo y2 por r2 sen2 ө y x por r cos ө, obtenemos: <br />y2 = x ecuación rectangular. <br />r2 sen2 ө = r cos ө sustituir y por sen ө, x por r cos ө. <br />r(r sen2 ө –cos ө) = 0 agrupar terminos y factorizar <br />r sen2 ө –cos ө = 0 dividir los dos mienbros por r <br />r =cos ө / sen2 ө despejar r <br />r cosec ө ctg ө ecuación en cilíndricas. <br />Nótese que esta ecuación incluye un punto con r = 0, así que no se ha perdido nada al dividir ambos miembros por el factor r. <br />Ejemplo 3: <br />Hallar la ecuación en coordenadas rectangulares de la grafica determinada por la ecuación en cilíndricas: <br />r2 cos 2ө + z2 + 1 = 0 <br />Solución: <br />r2 cos 2ө + z2 + 1 = 0 ecuación en cilíndricas <br />r2 (cos2ө – sen2 ө) + z2 = 0 identidad trigonometrica. <br />r2 cos2 ө – r2 sen2 ө +z2 = −1 <br />X2 – y2 +z2 = −1 sustituir r cos ө por x y r sen ө por y <br />Y2 – x2 – z2 = 1 ecuación rectangular. <br />Es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje es el eje y. <br />COORDENADAS ESFERICAS. <br />Es el sistema de coordenadas esféricas cada uno se representa por un trío ordenado: la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera son ángulos. Es un sistema similar al de longitud-latitud que se suele utilizar para localizar puntos sobre la superficie terrestre. <br />EL SISTEMA DE COORDENADAS ESFERICAS. <br />Es en sistema de coordenadas de sistemas esféricas un punto p del espacio viene representado por un trío ordenado (p, ө, ǿ). <br />1.- p es la distancia de P al origen, p >< 0. <br />2.- ө es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilíndricas para r> 0. <br />3.- ǿ es el Angulo entre el semieje z positivo y el segmento recto OP, 0 > ǿ < π. <br />Nótese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas. <br />La relación entre las coordenadas rectangulares y las esféricas. Para separar uno a otro deben usarse las formas siguientes: <br />Esféricas a rectangulares: <br />X =p sen Ф cos ө, y= p sen Ф sen ө, z = p cos Ф. <br />Rectangulares a esféricas: <br />P2= x2 + y2 + z2, tg ө=y/x, Ф= arcos (z/√ x2 + y2 +z2). <br />Para cambiar de coordenadas esféricas a cilíndricas, o viceversa, deben aplicarse las formulas siguientes: <br />Esféricas a cilíndricas (r > 0): <br />r2 =p2 sen2 Ф, ө = ө, z = p cosФ. <br />Cilíndricas a esféricas (r> 0): <br />P= √r2 + z2, ө = ө, Ф = arcos (z / √r2 + z2). <br />Las coordenadas esféricas son especialmente apropiadas para estudiar superficies que tenga un centro de simetría. <br />Ejemplo 1: <br />Hallar una ecuación en coordenadas esféricas parar las superficies cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares se indican. <br />a).- cono: x2 + y2 = z2 <br />b).- esfera: −4z = 0 <br />Solución: <br />a).-haciendo las sustituciones adecuadas para x, y, z en la ecuación dada se obtiene: <br />x2 + y2 = z2 <br />p2 sen2 Ф cos2ө + p2 sen2Ф sen2ө =p2 cos2Ф <br />p2 sen2 Ф (cos2ө + sen2ө) =p2 cos2Ф <br />p2 sen2 Ф = p2 cos2 Ф <br />sen2 Ф/ cos2 Ф = 1 p> 0 <br />tg2 Ф = 1 Ф = π /4 o Ф = 3π/4 <br />La ecuación Ф = π/4 representa la mitad superior del cono y la ecuación Ф = 3π/4 su mitad inferior. <br />b).-como p2 = x2 +y2 + z2 y z = p cos Ф, la ecuación dada adopta la siguiente forma en coordenadas esféricas. <br />P2 – 4 p cos Ф = 0 -> p (p −4 cos Ф) = 0 <br />Conversión de coordenadas polares a cartesianas<br />x = r · cos α<br />y = r · sen α<br />Ejemplos<br />2120º <br />10º = (1, 0) <br />1180º = (−1, 0) <br />190º = (0, 1)<br />1270º = −(0, −1)<br />Conversión de coordenadas cartesianas a polares<br />Ejemplos<br />260º <br />2120º<br />2240º <br />2300º<br />(2, 0) <br />20º <br />(−2, 0)<br />2180º <br />(0, 2)<br />290º <br />(0, −2) <br />2270º <br />

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