Sistemas de ecuaciones lineales y métodos de resolución

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL
CARCHI
FACULTAD DE INDUSTRIAS

AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES
Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario

Módulo
“ALGEBRA”
PRIMER NIVEL
PARALELO: ―A‖

JOSELYN CHILES

Ing. Oscar René Lomas Reyes

Enero del 2014

MODULO DE ALGEBRA
Página 1

Índice.
Introducción…………………………………………………………………………….1
Conjunto de los números reales…………………………………………………...2
Conjunto de los números naturales……………………………………………...3
Conjunto de los números enteros…………………………………………………4
Conjuntos de los números racióneles……………………………………………5
Propiedad conmutativa…………………………………………………………...6
Propiedades de los números reales……………………………………………...7
Propiedad transitiva……………………………………………………………......8
Propiedad de la suma y multiplicación……………………………………….9
Propiedad conmutativa de la suma y multiplicación…………………..10
Propiedad asociativa de la suma y multiplicación………………………11
Propiedad de la identidad………………………………………………………..12
Propiedades del inverso……………………………………………………………13
Propiedad distributiva……………………………………………………………14
Exponentes y radicales…………………………………………………………....15
Exponentes…………………………………………………………………………….16
Radicales……………………………………………………………………………….17
Operaciones con expresiones algebraicas……………………………………18
Expresiones algebraicas…………………………………………………………...19
Suma de expresiones algebraicas………………………………………………20
Resta de expresiones algebraicas………………………………………………21
MODULO DE ALGEBRA
Página 2

Factorización…………………………………………………………………………22
Factor común…………………………………………………………………………23
Factorización de trinomios……………………………………………………...24
Fracciones……………………………………………………………………………..25
Simplificación de fracciones……………………………………………………..26
Multiplicación y división de fracciones……………………………………..27
Racionalización de denominadores…………………………………………..28
Suma y resta de fracciones………………………………………………………29
Operación combinada de fraccione…………………………………………..30
Ecuaciones lineales…………………………………………………………………31
Terminología para las ecuaciones……………………………………………..32
Ecuaciones equivalentes…………………………………………………………..33
Ecuaciones con literales…………………………………………………………..35
Ecuaciones fraccionarias…………………………………………………………36
Ecuación con radicales……………………………………………………………37
Ecuaciones cuadráticas…………………………………………………………..38
Resolución por factorización……………………………………………………39
Formula………………………………………………………………………………..40
Desigualdades lineales…………………………………………………………….41
Aplicación de las desigualdades………………………………………………..42
Valor absoluto………………………………………………………………………..43
MODULO DE ALGEBRA
Página 3

Ecuaciones con valor absoluto………………………………………………….44
Propiedades del valor absoluto…………………………………………………45
Sistemas de ecuaciones lineales………………………………………………...46
Sistemas de ecuaciones con dos variables…………………………………...47
Método de eliminación por adición…………………………………………...48
Método de eliminación por sustitución……………………………………...49
Sistemas de ecuaciones con tres variables………………………………….50
Sistemas no lineales…………………………………………………………………51
Aplicaciones de sistemas de ecuaciones……………………………………...52
Programación lineal……………………………………………………………….53
Sistemas de desigualdades………………………………………………………..54
Método simplex………………………………………………………………………55
Programación lineal en Excel…………………………………………………..56
Solver……………………………………………………………………………………57
Bibliografía…………………………………………………………………………..59

MODULO DE ALGEBRA
Página 4

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
Introducción.
.
El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el
llamado sistema de los números reales. Números tales como: 1,3,

y sus

correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas.
Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno
de ellos comienza con un sistema más primitivo – tal como el conjunto de los números
naturales o enteros positivos; 1, 2, 3, 4,..., y a partir de él, por medio de una secuencia
lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales.
En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números
reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades
(axiomas) de las cuales muchas otras propiedades pueden deducirse.
En esta primer parte, se hará una presentación intuitiva del conjunto

de los

números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto N de los
números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo
más a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones, en las cuales los conjuntos que se
van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático
del mismo
El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números.
Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes 6 conjuntos:
Conjunto de los números naturales.
El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z+,
corrientemente se presenta así:
N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
MODULO DE ALGEBRA
Página 5

La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.
Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen, de los
sistemas numéricos, y lleva principalmente a la consideración de los números reales.
Conjunto de los números enteros.
El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta
así:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
En el conjunto de los números enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen
solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x =
-2.
Puede notarse que

.

Conjunto de los números racionales.
El conjunto de los números racionales, que se denota por Q , se define de la siguiente
manera:

Q=

/ m, n son enteros y n

La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la
ecuación:
ax = b, con a, b
Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a es un divisor de b.
Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en

MODULO DE ALGEBRA
Página 6

consecuencia, se puede concluir que:
Z
En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d,..., se
entenderá que a, b, c, d,..., son números enteros y que los denominadores son
diferentes de cero.
Conjunto de los números irracionales.
En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución
el conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Así, por ejemplo, al
considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal
de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer
que x, satisface la ecuación: x2 = 2.
Puede demostrarse fácilmente, que no existe X

Q que verifique esta última ecuación.

En general, una ecuación de la forma xn = a, con a

Q y n

N, carecerá (excepto

casos particulares) de solución. Se hace por lo tanto necesario, describir otro conjunto,
en el cual, ecuaciones como las anteriores tenga solución.
El conjunto de los números irracionales, que se denota por Q*, está constituido por los
números reales que no admiten la representación racional.
Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural),
, etc.
En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en Q, como
sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones son: x =

, que

no son números racionales.
*

Finalmente se define el Conjunto R de los números reales como:

.

En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y
MODULO DE ALGEBRA
Página 7

multiplicación (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también
axiomas de campo).
LOS NUMEROS REALES Y ARECTA REAL
En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia
entre los números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen los
números reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia
biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos
en la recta o eje. A cada número real le corresponde un único punto sobre la recta y a
cada punto en la recta o eje se le asocia un único número real. Como se observa en el
gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina
origen. Se selecciona además una unidad de longitud para medir distancias. Se elige
también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como
negativo al sentido opuesto. A cada número real entonces se le asocia un punto de la
recta teniendo en cuenta lo siguiente:


Se asocia al origen el número 0, Se asocia a cada número positivo p un punto
que está a una distancia de p unidades del origen en la dirección positiva,



Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de
distancia del origen en la dirección negativa.

Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número real
que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto
y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica o recta de
los números reales. También se la conoce como eje coordenado o eje real.
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".

MODULO DE ALGEBRA
Página 8

Ejemplo.

Orden
Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones
siguientes: dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea
mayor que b o a sea igual a b.
Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al número a
está a la izquierda del punto que representa al número b.

Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la
derecha del que representa a b.

Si a = b, los puntos se superponen.

La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a preceder al
punto b si el número real a es menor que el número real b

MODULO DE ALGEBRA
Página 9

(a < b).(matemati@fca.unl.edu.ar, s.f.)

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS
En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones
de A x A en A:

Son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos o, más
abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de ciertas
propiedades, usadas con frecuencia en la axiomatización de los diversos sistemas
matemáticos

La propiedad conmutativa
Dice que resultado de una operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los
elementos con los que se opera.
Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna *:

Se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de
operar b con a.

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Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna *, no es
conmutativa en A si:

Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto de
operar b con a.
La adición en los conjuntos N, Z, Q, R, C (1)de los naturales, enteros, racionales, reales
y complejos es conmutativa y se cumple que a+b = b+a, siendo a y b
elementos de mismo cualquier conjunto indicado
La multiplicación es asociativa en cualquiera de los conjuntos
La división en Q*, racionales sin el cero, no es conmutativa; pues a:b≠ b:a, salvo para 1
y -1.
El producto de dos matrices cuadradas de orden n no es conmutativo.
El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo, AxB ≠ BxA.
Propiedad conmutativa de la suma
El orden de los sumandos no varía la suma.
a+b=b+a
2+5=5+2
7=7
Propiedad conmutativa de la multiplicación
El orden de los factores no varía el producto.
a·b=b·a
2·5=5·2

MODULO DE ALGEBRA
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10 = 10

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales.
Conocer sus propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas
cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias
experimentales, ciencias sociales, etc.
Sean

, entonces se verifican las siguientes propiedades:

Sean

, entonces se verifican las siguientes propiedades:

Propiedad

Adición

Multiplicación

Cerradura
Conmutativa
Asociativa

Distributiva
Identidad

Inverso

Propiedad de la cerradura
La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más
números reales, y el resultado será siempre un número real. Por ejemplo:

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Importante:
La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO para la
división, no se puede dividir entre cero.

Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes
cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el
mismo. Por ejemplo:

Importante:
La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues el
resultado se altera.

Propiedad asociativa
La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer
sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para
después sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una
expresión. Por ejemplo:

MODULO DE ALGEBRA
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Importante:
La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el
resultado se altera.

Propiedad distributiva
La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las
operaciones de adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar las
operaciones aritméticas.

Propiedad de identidad (elemento neutro)
La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado
elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el
resultado de la suma:
, el elemento neutro de la adición es el número CERO.
La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número
(llamado elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no
cambia el resultado de la multiplicación:
, el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.

MODULO DE ALGEBRA
Página 14

Propiedad del inverso
La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como
sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.
el inverso aditivo para esta suma es el número
La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser
usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.

, el inverso multiplicativo para esta multiplicación es

EXPONENTES Y RADICALES
Exponentes
Los exponentes también se llaman potencias o índices
El exponente de un número nos dice
cuántas veces se usa el número en una
multiplicación.
En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64


En palabras: 82 se puede leer "8 a la
segunda potencia", "8 a la potencia 2"
o simplemente "8 al cuadrado"

Más ejemplos:
Ejemplo: 53 = 5 × 5 × 5 = 125


En palabras: 53 se puede leer "5 a la tercera potencia", "5 a la potencia 3" o
simplemente "5 al cubo"

Ejemplo: 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
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

En palabras: 24 se puede leer "2 a la cuarta potencia" or "2 a la potencia 4"
o simplemente "2 a la cuarta"

Y los exponentes hacen más fácil escribir muchas multiplicaciones
Ejemplo: 96 es más fácil de escribir y leer que 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9
Puedes multiplicar cualquier número por sí mismo tantas veces como quieras con
esta notación.
Así que, en general:

an te dice que multipliques a por sí mismo,
y hay n de esos a's:

Exponentes negativos
¿Negativos? ¿Qué es lo contrario de multiplicar? ¡Dividir! Un exponente negativo
significa cuántas veces se divide entre el número.
Ejemplo: 8-1 = 1 ÷ 8 = 0,125
O varias divisiones:
Ejemplo: 5-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0,008
Pero esto lo podemos hacer más fácilmente:
5-3 también se podría calcular así:
1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/53 = 1/125 = 0,008

MODULO DE ALGEBRA
Página 16

Este último ejemplo nos muestra una manera más fácil de manejar
exponentes negativos:


Calcula la potencia positiva (an)



Después cacula el recíproco (o sea 1/an)

Más ejemplos:
Exponente negativo

Recíproco del exponente positivo

Respuesta

4-2

=

1 / 42

=

1/16 = 0,0625

10-3

=

1 / 103

=

1/1.000 = 0,001

¿Qué pasa si el exponente es 1 o 0?
Si el exponente es 1, entonces tienes el número solo (por ejemplo 91 = 9)
Si el exponente es 0, la respuesta es 1 (por ejemplo 90 = 1)
Radicales
Un radical es una expresión de la forma

, en la que n

ya

; con tal que

cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

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POTENCIAS Y RADICALES
Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Radiales equivalentes
Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones
que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la
fracción es equivalente, obtenemos que:

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo
número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Simplificación de radicales
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los
exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Reducción a índice común
1. Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común
índice
2. Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado
obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

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Extracción de factores en un radical
Se descompone el radicando en factores. Si:
1. Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja
en el radicando.

2. Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del
radicando.

3. Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el
índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del
radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

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La potenciación es una nueva forma de escribir el producto de un número
por él mismo. Es muy práctica, elegante, útil y fácil.
Fíjate que la base es el número que multiplicas varias veces por sí mismo,
el exponente es la cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado.
Así por ejemplo:

Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por sí mismo y
obtenemos 125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125.
Cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de
veces es una potenciación.
Por ejemplo, si se multiplica ocho por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X
8 X 8.
Si se escribe en forma exponencial se anota, 85.
En este caso, al número ocho se lo llama base (número que se va a
multiplicar por sí mismo) y al cinco se le denomina exponente (número de veces
que se va a multiplicar al ocho por sí mismo).
De acuerdo con lo anterior, se puede decir que:
85 = 8 X 8 X 8 X 8 X 8 = 32.768
Elevar a una potencia el número 10

MODULO DE ALGEBRA
Página 20

Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el número 10.
Por ejemplo lo elevamos a la cuarta:
104 = 10 X 10 X 10 X 10 = 10.000
Observa que 104 es igual a un uno con cuatro ceros.
Así se puede decir que 108 es igual a un uno y 8 ceros, o sea 100
millones (100.000.000)...
Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciación son las siguientes:
Potencia de potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la multiplicación de los primeros exponentes.
Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de
base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de
base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero
no lo es con respecto a la suma ni a la resta.
En particular:
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(a + b)m = am + bm
(a − b)m = am − bm
Se cumple en los siguientes casos:
Si m=1.
Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.
Si a y b son iguales a 0 y m≠0
Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando
aquellos casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o
equivalentes.
En particular:
ab = ba
Si y sólo si a=b.
Potencia de exponente 0
Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.
a0 = 1 si se cumple que
Potencia de exponente 1
Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.
a1 = a
Potencia de base 10
MODULO DE ALGEBRA
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Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros
como unidades posee el exponente.
101 = 10
Como también pues ser unos conjuntos de números potenciados o elevados a un
exponente
106 = 1000000
104 = 10000

radicación
Vos sabes que la resta es la operación inversa de la suma y la división
es la operación inversa de la multiplicación.
La potenciación tiene también su operación inversa; y se llama ―radicación‖.
Observa que

82=64

entonces

64 = 8 8 es la raíz cuadrada de 64. De la

misma manera calcular la raíz cuadrada de 25 significa buscar un número
que elevado al cuadrado dé como resultado 25. Es decir que:

Por ahora sólo trabajaremos con raíces cuadradas (las que corresponden al
exponente dos), pero estas no son las únicas que existen, como podrás
ver en cursos posteriores.
Raíz cuadrada

MODULO DE ALGEBRA
Página 23

1- Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el número
en grupos de dos cifras, empezando por la derecha
Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64
2- A continuación se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual
(o lo más próximo al número del primer grupo, empezando por la izquierda).
En nuestro ejemplo el primer número es 5 y el numero entero que elevado
al cuadrado se acerca más a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.
3- después se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del número del primer grupo
En nuestro ejemplo 22 = 4 y restándolo del número del primer grupo que es 5, sale
5 -4 = 1
4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el número del siguiente grupo
En nuestro ejemplo nos quedaría 156
5- después multiplicamos por 2 el número que hemos calculado hasta el momento
de la raíz.
En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4
6- A continuación tenemos que buscar un número que multiplicado por el
número que resulta de multiplicar por 10 el número anterior y sumarle el número
que estamos buscando se acerque lo más posible al número que tenemos
como resto. Ese número será el siguiente número de la raíz.
En nuestro ejemplo el número seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el número que
se aproxima más a 156 y la raíz seria 23...
7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el número obtenido del
que queríamos obtener realmente.

MODULO DE ALGEBRA
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En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27
8- A continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior
el número del siguiente grupo
En nuestro ejemplo: 2701
9- A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46
10- después repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el número seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el número que
se aproxima más a 2701 y la raíz seria 235...
11- después repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376
En nuestro ejemplo: 37664
13 A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470
En nuestro ejemplo el número seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el número
que se aproxima más a 37664 y la raíz seria 2358
En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raíz es exacta pues el
resto es cero.
MODULO DE ALGEBRA
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Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas
Este método se debe a Newton
Si

conocemos

una

aproximación

de

la

raíz,

podemos

calcular

una

aproximación mejor utilizando la siguiente fórmula:
ai = 1/2(ai-1 + A/ai-1)
Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la
aproximación
2, entonces:
a1 = 2
a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250
a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236

OPERACIÓN CON EXPRESIONES ALGÉBRICAS
1. Suma
2. Resta
3. Multiplicación
4. División.
Suma de expresiones algebraicas
Para realizar la suma de expresiones algebraicas se agrupa los términos
semejantes. Se puede realizar en forma horizontal o vertical, para llevar a cabo la
suma en forma vertical se puede disponer en filas, con los términos semejantes
por su grado en la misma columna y a continuación, se suman los términos de
cada columna.
Ejemplo.
MODULO DE ALGEBRA
Página 26

Suma horizontal
(2x³ + x² -5) + (x² + x +6)
= 2x³ + x² -5 + x² + x +6
= 2x³ + (x² + x²) + x + (6 -5)
= 2x³ + 2x² + x + 1
Suma vertical
(5x³ + 2x² - x + 7) + (3x² - 4x + 7) + (-x³ + 4x² - 8)

Resta de expresiones algebraicas
Para restar cambie el signo de cada uno de los términos que va a restarse y después
sume los términos semejantes resultantes.
Se lo realiza en forma horizontal y vertical.
Ejemplo.
Resta horizontal.
Restar x³ + 2x² - x – 4 de 3x³ - 5x² + 3
(3x³ - 5x² + 3) – (x³ + 2x² - x – 4)
= 3x³ - 5x² + 3 – x³ - 2x² + x + 4
= (3x³ - x³) + (-5x² - 2x²) + x + (3 + 4)
= 2x³ - 7x² + x + 7

Resta vertical
(4x4 - 2x³ + 5x² - x + 8) – (3x4 - 2x³ + 3x – 4)

MODULO DE ALGEBRA
Página 27

Multiplicación de expresiones algebraicas
Podemos tener multiplicaciones como las siguientes:
1. Multiplicación de dos o más monomios.
Se realiza aplicando las reglas de la potenciación, de los signos y las propiedades
asociativa y conmutativa del producto.
Ejemplo.
Multiplicar -3x²y³z, 2x4y, y -4xy4z²
(-3x²y³z)(2x4y)(-4xy4z²)
=[(-3)(2)(-4)][(x²)(x4)(x)][(y³)(y)(y4)][(z)(z²)]
= 24x7y8z3  para obtener este resultado se debe realizar mentalmente en
próximos ejercicios, esto se realizar con la práctica.
2. Multiplicación de un monomio por un polinomio
El producto se obtiene por la directa aplicación de la propiedad distributiva.
Ejemplo
4x²(3x – 2x³ + 1)
= 4x²(3x) – 4x²(2x³) +4x²(1)
= 12x³ – 8x5 + 4x²
= – 8x5 + 12x³ + 4x²

3. Multiplicación de binomios
Utilizando la propiedad distributiva
MODULO DE ALGEBRA
Página 28

Ejemplo
(x + 2)(x – 3)
= x(x – 3) + 2(x – 3)
= x² - 3x + 2x – 6
= x² - x – 6

Utilizando el método PEIU
PEIU significa que se debe realizar los productos de los Primeros términos, los
términos Externos, términos Internos y el término Último.
Ejemplo
(3x + 4)(2x + 1)

Multiplicación de polinomios
Para multiplicar polinomios que tienen tres o más términos, se puede usar el
mismo principio básico que se usa para multiplicar monomios y binomios. Esto es
cada término de un polinomio debe multiplicarse por cada término del otro
polinomio. Puede hacer la multiplicación en forma horizontal o vertical.
Multiplicación horizontal
Ejemplo.
Multiplicar (4x² - 3x – 1) (2x – 5)
= 4x²(2x – 5) -3(2x – 5) -1(2x – 5)
MODULO DE ALGEBRA
Página 29

= 8x³ - 20x² - 6x² + 15x -2x + 5
= 8x³ - 26x² + 13x + 5

Multiplicación vertical
Se alinea términos semejantes en las mismas columnas verticales.
Ejemplo
Multiplicar (4x² + x – 2) (-x² + 3x + 5)

División de expresiones algebraicas
1. División de dos monomios.
Se realiza hallando el cociente de los coeficientes y el de los factores literales
aplicando las reglas de potenciación.
Ejemplo.
Dividir: 24x4y²z³ por -3x³y4z

MODULO DE ALGEBRA
Página 30

División de dos polinomios
a.

Se ordenan los términos de ambos polinomios según las potencias decrecientes
(o crecientes) de una de las letras comunes a los dos polinomios.

b.

Se divide el primer término del dividendo por el primero del divisor, con lo que
resulta el primer término del cociente.

c.

Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta el dividendo,
obteniéndose un nuevo dividendo.

d.

Con el dividendo del literal c., se repite las operaciones del los literales b. y c.
hasta que se obtenga un resto igual a cero o de grado menor que el del dividendo.

e.

El resultado es:

Ejemplo
Dividir 2x4 - 3x³ + x² + x + 2 por x² - 3x + 2

Por lo tanto,

MODULO DE ALGEBRA
Página 31

Expresiones algebraicas
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o
más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables,
incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los
signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y
potenciación.
Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.
Longitud de la circunferencia:, donde r es el radio de la circunferencia.
Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.
Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.
Expresiones algebraicas comunes
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2
Un tercio de un número: x/3
Un cuarto de un número: x/4
Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...
Un número al cuadrado: x²
Un número al cubo: x³
MODULO DE ALGEBRA
Página 32

Un número par: 2x
Un número impar: 2x + 1
Dos números consecutivos: x y x + 1
Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2
Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3
Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x
La suma de dos números es 24: x y 24 − x
La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x
El producto de dos números es 24: x y 24/x
El cociente de dos números es 24: x y 24 · x

FACTORIZACIÓN
Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es
igual a la expresión propuesta.
La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación,
pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores;
mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que
multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

Factorización

MODULO DE ALGEBRA
Página 33

Multiplicación

Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus
factores. Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los
multipliquemos, escribiremos

. En el proceso inverso, tenemos el producto

15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos
Al factorizar el número 20, tendremos
Advierte que

y

o

.

no están factorizados por completo. Contienen

factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7,
11, etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que
en la primera factorización
segunda factorización

, de modo que
, de modo que

factorización completa para 20 es

mientras que la
, en cualquier caso la

.

De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir
factorizarla por completo. Además se supone que los factores numéricos son
números primos. De esta manera no Factorizamos 20 como

.

Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas
expresiones algebraicas.

MODULO DE ALGEBRA
Página 34

Factor común.
Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si
podemos descubrir un patrón.

Usan

la

propiedad

distributiva.

Cuando

. Cuando factorizamos

multiplicamos,

tenemos

que:

.

Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea
común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión
completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común,

. Aquí

tenemos como hacerlo:
Máximo factor común (MFC)
El término

, es el MFC de un polinomio sí:

1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del
polinomio, y

2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.
De este modo para factorizar

, podríamos escribir

Pero no está factorizado por completo por que

puede factorizarse aún

más. Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en
MODULO DE ALGEBRA
Página 35

todos los términos es

. De esta manera la factorización completa es

. Donde

es el MFC.

EJEMPLO

Factorizar

EJEMPLO

Factorizar

EJEMPLO

Factorizar

EJEMPLO

Factorizar

EJEMPLO

Factorizar

MODULO DE ALGEBRA
Página 36

EJEMPLO

Factorizar

EJEMPLO

Factorizar

Diferencia de cuadrados.

Aquí tenemos un producto notable

podemos utilizar esta

relación para factorizar una diferencia de cuadrados.

EJEMPLO

Factorizar

EJEMPLO
Factorizar

MODULO DE ALGEBRA
Página 37

EJEMPLO

Factorizar

Trinomios con término de segundo grado.
Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es
un trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.

Los trinomios

, son trinomios cuadrados porque son

cuadrados de un binomio.

Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado.

A. Dos de los términos deben de ser cuadrados
B. No debe haber signo de menos en

y

o en

C. Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer
término 2AB o su inverso aditivo -2AB.

¿Es

un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué solo hay un

término al cuadrado (x2) y (11) no es cuadrado de algún número.
Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada
ecuación, las siguientes fórmulas de factorización para la suma y la diferencia de

MODULO DE ALGEBRA
Página 38

dos cubos.

EJEMPLO
Factorizar

, observemos primero que se puede escribir en otra forma:

Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la
fórmula de factorización y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos:

EJEMPLO
Factorizar
EJEMPLO
Factorizar

trinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones:

Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es
posible.

MODULO DE ALGEBRA
Página 39

Por Agrupación.
Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con
cuatro términos. Consideremos
1. Sin embargo podemos factorizar a

Por lo tanto

. No hay ningún factor diferente de
y

por separado:

. Podemos utilizar la propiedad

distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1

Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las
expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este método.
EJEMPLO

EJEMPLO
Factorizar

EJEMPLO
Factorizar

MODULO DE ALGEBRA
Página 40

FRACCIONES
Una fracción es una parte de un total
Corta una pizza en trozos, y tendrás fracciones:

1

/2

(Una mitad)

1

/4

(Un cuarto)

3

/8

(Tres octavos)

El número de arriba te dice cuántas porciones tienes y el de
abajo te dice en cuántos trozos se ha cortado la pizza.

Numerador / Denominador
Al número de arriba lo llamamos Numerador, es el número de partes que tienes.
Al de abajo lo llamamos Denominador, es el número de partes en que se ha
dividido el total.

MODULO DE ALGEBRA
Página 41

Numerador
Denominador

¡Sólo tienes que recordar esos nombres! (Si los confundes, recuerda que
denominador es con "D" de dividir)

Fracciones equivalentes

Algunas fracciones parecen diferentes pero en realidad son la misma, por ejemplo:

4

/8

2

=

/4

(Cuatro octavos)

1

=

(Dos cuartos)

/2

(Una mitad)

Normalmente lo mejor es dar la respuesta usando la fracción más simple (1/2 en
este caso). Eso se llama Simplificar o Reducir la fracción.
Sumar fracciones
Puedes sumar fracciones fácilmente si el número de abajo (el denominador) es el
mismo:
1

/4

+

1

/4

=

2

/4

=

1

/2

MODULO DE ALGEBRA
Página 42

(Un cuarto)

(Un cuarto)

(Dos cuartos)

(Una mitad)

Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o
más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente .

Por ejemplo: Simplificar

Donde hemos dividido numerador y denominador entre 3,

,

Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar
factorizado. Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos.

Por ejemplo: Simplificar
Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por tanto antes de
simplificar hay que factorizarlo.
En este caso el método adecuado es sacar factor común

así

MODULO DE ALGEBRA
Página 43

Más ejemplos:
Simplificar las siguientes fracciones algebraicas

1.

Como ya son productos, tanto el numerador como el denominador,
basta dividir numerador y denominador por los factores comunes

2.
3.

En esta fracción aparece una suma en el numerador y otra en el
denominador, por tanto hay que factorizar ambas cosas. Podemos sacar factor
común

en el numerador e

en el denominador

, aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar,

4.

pero el denominador se puede factorizar ya que es el cuadrado de una
suma.

MODULO DE ALGEBRA
Página 44

, aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de una

5.

diferencia de cuadrados y que es igual a suma por diferencia

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES

Multiplicación de fracciones
La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:
1. Por numerador el producto de numeradores.
2. Por denominador el producto de denominadores.

Ejemplo:

División de fracciones
La división de dos fracciones es otra fracción que tiene:
1. Por numerador el producto de los extremos.
2. Por denominador el producto de los medios.
MODULO DE ALGEBRA
Página 45

Ejemplo:

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES.

Recuerda que se llama irracional al número que no puede expresarse con
números enteros ni fraccionarios. Son números que su expresión decimal tiene
infinitas cifras pero sin formar períodos.

Podemos decir que 0,5 es lo mismo que

.

Es lo mismo que 0,75.

Todos estos números son racionales, podemos escribirlos como enteros o
fraccionarios.
Existen números que no podemos expresarlos de este modo, por ejemplo
a estos números los llamamos irracionales porque si
queremos escribir el valor de los mismos nunca podremos acabar de ir escribiendo
decimales. No hay ningún número que multiplicado por sí mismo te dé 2, ni 3 ni
MODULO DE ALGEBRA
Página 46

11, ni 13,…. La raíz cuadrada de estos números nunca acabarás de obtener.
Es conveniente que las fracciones cuyo denominador sea irracional lo convirtamos
en racional. En otras palabras, al proceso de obtener fracciones que no tengan
raíces en el denominador llamamos racionalización de radicales de los
denominadores:

.El denominador es un número irracional, por mucho que intentes

Ejemplo:
calcular

su

valor

verás

que

nunca

acabas

de

hacer

operaciones.

Sabemos que si multiplicamos o dividimos al numerador y al denominador de una
fracción por un mismo número, su valor sigue siendo el mismo.

Para hacer racional el denominador
por sí mismo:

lo más simple es que le multipliquemos

.
Pero para que no varíe el valor de la fracción hemos de multiplicarle también al

numerador por

.Podemos decir que:

son iguales pero

no tiene como denominador un número irracional.

Racionaliza:

Respuesta

.

MODULO DE ALGEBRA
Página 47

Racionaliza:

Respuesta

.

Solución:

Racionaliza:

Respuesta

.

Solución:
Las operaciones las tienes desarrolladas paso a paso:

Racionaliza:

Respuesta:
Solución:
El proceso de cálculos con letras es el mismo que aplicamos con los números.
Tienes desarrollado paso a paso la resolución del ejercicio:
MODULO DE ALGEBRA
Página 48

Racionaliza:

Respuesta:

.

Solución:

Tratamos ahora una raíz cúbica. Si tienes

y quieres quitar la raíz tienes que

conseguir que el exponente del radicando(que es 1) sea igual al índice de la
raíz(que es 3). Para que sean iguales a

tendrás que multiplicarle

de este modo, en el denominador al multiplicar

tendrás que sumar los exponentes dejando la misma base:

por
. Para que

el valor de la fracción no varíe tendrás que multiplicar también al numerador por

:

Racionaliza:

Respuesta:

.

Solución:
MODULO DE ALGEBRA
Página 49

Para poder quitar la raíz de

,5 tenía que tener como exponente un 7.

Vemos que tendríamos que multiplicarle por

de este modo al sumar los

exponentes el valor obtenido iguala al índice de la raíz y entonces podemos
simplificar. Para que no varíe el valor de la fracción tendremos que multiplicarle al
numerador también por

:

Racionaliza:

Respuesta

.

Suma y resta de fracciones
Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones
mentalmente.
Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar
podemos seguir la siguiente regla:

a + c =
b

d

ad + bc
bd

(se multiplica cruzado y los productos de suman)
(se multiplican los denominadores)

MODULO DE ALGEBRA
Página 50

Veamos un ejemplo:
El jefe de Cheo repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de
los contables. A Cheo le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia
más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En
total, ¿qué parte del trabajo tiene que realizar Cheo?

1 + 1
4

= 1(3) + 4(1) = 3 + 4 = 7

3

(4)(3)

12

12

Solución: Cheo tuvo que realizar 7/12 del trabajo.

Notita para darle pensamiento: (para darle "coco")
¿A Cheo le tocó más de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo?
Solución:
Para comparar fracciones utilizamos las siguientes reglas de las proporciones
a. Si

a=c
b

b. Si

d

a<c
b

c. Si

entonces ad = cb

a>c

entonces ad < cb

d
entonces ad > cb

MODULO DE ALGEBRA
Página 51

b

d

Volviendo a Cheo, ¿7/12 es menor o mayor que 1/2 ?
7 ? 1
12

7(2) > 12(1), por lo tanto

2

7 > 1
12

2

De modo que Cheo realizó más de la mitad del trabajo.
Veamos otro ejemplo:
A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió
a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de
la herencia la tocó a María?
Solución
1 + 2 = 1(5) + 3(2) = 5 + 6 = 11
3 5

15

15

15

A María le tocó 11/ 15 de la herencia de su padre.

Suma de Fracciones

Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de
fracciones:
1. Fracciones homogéneas

(1, 3, 5)
4 4 4

2. Fracciones heterogéneas (1, 2, 3)
3 5 7

MODULO DE ALGEBRA
Página 52

Las

fracciones

homogéneas

son

las

fracciones

que

tienen

el

mismo denominador; y las fracciones heterogéneas son las fracciones que tienen
diferentes denominadores.
Ejemplo de suma de fracciones homogéneas:
1 + 3 = 4 <Son fracciones homogéneas ya que
5

5

5

tienen el mismo denominador. Las
fracciones homogéneas, en suma, se
suman los numeradores y el
denominador se queda igual.>

2 +3 =5
7 7
7
Ejemplo de suma de fracciones heterogéneas:

1 +1
4 2

<Aquí es diferente, las fracciones son
heterogéneas; los denominadores son
diferentes.>

Para sumar fracciones heterogéneas:
1. Se multiplican los denominadores.
2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador.
3. Se suman los productos para obtener el numerador.

1 +1
4 2

Paso 1 : 1 + 1 = ___
4 2
8

<Se multiplicaron los denominadores 4 · 2 = 8>

MODULO DE ALGEBRA
Página 53

Paso 2 : 1 + 1 = (2 ·1) + (4 · 1) < Se multiplicó cruzado>
4 2
8

Paso 3: 2 + 4 = 6
< Se suman los productos para obtener el numerador.>
8
8
Paso 4: 6 ÷ 2 = 3 < Se simplifica la fracción si es posible.>
8 2
4

Resta de Fracciones
En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones;
pero en este caso hay que restar.

Ejemplo 1:

5-1 =4
9 9 9

Resta de Fracciones Homogéneas

Ejemplo 2:
2 - 1 = ( 2 · 2) - (3 · 1) = 4 - 3 = 1
3 2
6
6
6

Suma y resta con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
Ejemplo:

MODULO DE ALGEBRA
Página 54

Suma y resta con distinto denominador
En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman
o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
Ejemplo:

Operaciones combinadas de fracciones
1. Pasar a fracción los números mixtos y decimales.
2 .Calcular las potencias y raíces.
3 .Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
4 .Efectuar los productos y cocientes.
5 .Realizar las sumas y restas.
Ejemplo:

MODULO DE ALGEBRA
Página 55

1. Primero operamos con los productos y números mixtos dentro de los paréntesis.
2 .Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el
tercero y operamos en el último.
3 .Realizamos el producto y lo simplificamos.
4 .Realizamos las operaciones del paréntesis.
5 .Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el
resultado.

ECUACIONES LINEALES
Una ecuación lineal con n incógnitas x1,..., xn es una ecuación que se puede
escribir en la forma a1x1 + a2x2 + a3x3 +... + anxn = b (1), donde las a-es se llaman
coeficientes de los x y el número b se llama término constante. Se asume que las
a- es y la b son valores conocidos.
Ejemplos.

a.
b.
c.

a, b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2, 3 y 4 incógnitas
respectivamente.

a.

MODULO DE ALGEBRA
Página 56

b.
c.
d.

Terminología para las ecuaciones

Ecuaciones equivalentes
Las solución de las ecuaciones x+2=5 y x+7=10 es la misma, 3. Las ecuaciones
que tienen la misma solución se denominan ecuaciones equivalentes.
Para obtener una ecuación equivalente a una dada se utilizan las siguientes
propiedades de las igualdades:
a) Si sumamos o restamos un mismo número o una misma expresión algebraica
a los dos miembros de una ecuación obtenemos otra ecuación equivalente.
b) Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por un
mismo número diferente de cero obtenemos otra ecuación equivalente.
Por ejemplo, para obtener una ecuación equivalente a x+2=5 multiplicamos por
4 los dos miembros:
4(x+2)=4·5 →

4x+8=20

Fíjate en que la ecuación obtenida 4x+8=20 también tiene por solución 3.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.
2x − 3 = 3x + 2

x = −5

x + 3 = −2

x = −5

MODULO DE ALGEBRA
Página 57

1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma
cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
x + 3 = −2
x + 3 − 3 = −2 − 3
x = −5
2. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una
misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
5x + 10 = 15
(5x + 10) : 5 = 15 : 5
x+2=3
x + 2 −2= 3 −2
x=1
Ecuaciones lineales
Ecuación lineal con n incógnita
Una ecuación lineal con n incógnitas es cualquier expresión del tipo: a1x1 + a2x2
+ a3x3 + ... + anxn = b, donde ai, b

.

Los valores ai se denominan coeficientes,
b es el término independiente.
Los valores xi son las incógnitas.
Solución de una ecuación lineal
Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina
solución de la ecuación.

MODULO DE ALGEBRA
Página 58

Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son soluciones de ella:
(1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4).
Ecuaciones lineales equivalentes
Son aquellas que tienen la misma solución.
x + y + z + t = 0 2x + 2y + 2z + 2t = 0

Ecuaciones lineales de primer grado
Las ecuaciones lineales de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó
cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar
adopten esa expresión.
Resolución de ecuaciones de primer grado
En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los
siguientes pasos:
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el
otro.
4º Reducir los términos semejantes.
5º Despejar la incógnita.

Despejamos la incógnita:
MODULO DE ALGEBRA
Página 59

Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:


Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común
múltiplo.

MODULO DE ALGEBRA
Página 60

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:


Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Quitamos corchete:


MODULO DE ALGEBRA
Página 61

Quitamos denominadores:


Agrupamos términos:

Sumamos:

Dividimos los dos miembros por: −9

Ecuaciones con literales

En nuestro diario vivir y en el mundo del trabajo nos enfrentamos a muchas
situaciones que se resuelven por medio de las ecuaciones. La industria, el
comercio, las ciencias, la ingeniería, y otras áreas necesitan fórmulas en las
cuales se aplican los principios establecidos para resolver ecuaciones. A muchas
de estas fórmulas se les llaman ecuaciones literales.
Una ecuación literal es una ecuación en la cual se usan letras para representar
constantes.
Ejemplos:

MODULO DE ALGEBRA
Página 62

1. P = 2L + 2W es la fórmula que se utiliza para hallar el perímetro de un
rectángulo. Si el largo (L) de un rectángulo es 5 pulgadas y el ancho (W) es
3 pulgadas, entonces el perímetro del rectángulo es:

P = 2L +2W
= 2 (5) + 2(3)
= 10 + 6
P = 16 pulgadas

Es la fórmula para hallar la velocidad de un objeto conociendo la
Distancia (d) y el tiempo (t). Si un objeto se mueve a una distancia de
10 pulgadas en 2 segundos su velocidad es:

Otros

ejemplos de ecuaciones literales son

las siguientes: y – c = d; C

= 2πr; d = vt, A = ½ bh.
Otros ejemplos:
1. C = 2πr (fórmula para hallar la circunferencia de un círculo) ¿Cuál es la
circunferencia de un círculo si su radio mide 3 pulgadas?
MODULO DE ALGEBRA
Página 63

]

2.

¿Cuál es el promedio actual de Pedro en la clase de matemáticas si sus
notas son 80, 75 y 94?

3. La fórmula que un pescador tiene para estimar el peso de un pez en libras

es

, donde W representa el peso en libras, L el largo en pulgadas

y g el grueso (distancia alrededor del pez en el área central) en
pulgadas. Halla el peso de un pez de 96 pulgadas de largo y 47 pulgadas
de grueso. Resuelve la fórmula para g2.

4. C = mx + b, ecuación de costo total, dado el costo fijo (b), el costo variable
(m) y la cantidad (x). El costo diario de alquiler de auto es $30.00 más
$0.50 por milla recorrida.

Carlos pagó $150 por el alquiler del

auto. ¿Cuántas millas viajó?

5.
Cambia 1220 Fahrenheit a centígrados.

Ecuaciones fraccionarias
Ecuación Fraccionaria. Ecuación que contiene fracciones algebraicas, es decir, donde la
variable aparece en los denominadores de las fracciones (al menos en uno de ellos).

MODULO DE ALGEBRA
Página 64

Ejemplos

Resolución
Para resolver una ecuación fraccionaria de primer grado:
1. Si en los numeradores hay binomios o polinomios, debemos encerrarlos en
paréntesis para evitar errores con los signos negativos. El signo menos que
aparece antes de una fracción afecta a todo el numerador.
2. Buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores.
3. Multiplicamos cada término de la ecuación por el m.c.m. encontrado.
4. Simplificamos los denominadores de los términos fraccionarios con el
m.c.m.
5. Resolvemos los paréntesis efectuando las operaciones indicadas.
6. Continuamos resolviendo la ecuación con los números enteros que
obtuvimos.
En general, las ecuaciones fraccionarias se resuelven transformándolas en
ecuaciones enteras, para lo cual es necesario eliminar los denominadores. Para
eliminar los denominadores en una ecuación fraccionaria se procede de la
siguiente manera:
1. Se halla el mcm de los denominadores.
2. Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el m.c.m de los
denominadores.

Ejemplo 1
el mcm de los denominadores es: (x + 1) (x - 1)
MODULO DE ALGEBRA
Página 65

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por (x + 1) (x - 1) resulta:

Es importante tener presente que cuando ambos miembros de una ecuación
fraccionaria se multiplican por el mcm de los denominadores, entonces se obtiene
una ecuación equivalente a la dada, siempre que la solución obtenida no anule
algún denominador.
Comprobación:

Ejemplo

2:

Estas ecuaciones no son equivalentes a la original, porque el conjunto solución es
{3}

para

ambas,

pero

no

para

la

ecuación

original.

Sustituyendo tenemos

MODULO DE ALGEBRA
Página 66

Ecuaciones con radicales
Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que
tienen la incógnita bajo el signo radical.

Resolución de ecuaciones con radicales
1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el
resto de los términos, aunque tengan también radicales.
2º Se elevan al cuadrado los dos miembros.
3º Se resuelve la ecuación obtenida.
4º Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial.
Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra
que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se
obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.
5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del
proceso hasta eliminarlos todos.

1º Aislamos el radical:

MODULO DE ALGEBRA
Página 67

2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:

3ºResolvemos la ecuación:

4ºComprobamos:

La ecuación tiene por solución x = 2.

Ejercicios de ecuaciones con radicales
1
MODULO DE ALGEBRA
Página 68

2

3
MODULO DE ALGEBRA
Página 69

Ecuaciones cuadráticas
La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo
grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la
forma ax2 + bx + c igual a cero.

Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0
se obtiene una ecuación lineal o de primer orden)

Método de solución de la ecuación cuadrática

MODULO DE ALGEBRA
Página 70

Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨

Se procede a completar un trinomio cuadrado perfecto con la expresión

Para lo cual se suma y resta

, que puede escribirse como

Ahora simplemente se resuelve esta ecuación aprovechando que el término

puede despejarse

MODULO DE ALGEBRA
Página 71

El valor de x es lo que se conoce como fórmula general de la ecuación de
segundo grado
El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado dos
tiene dos soluciones que son precisamente las que se generan con el signo ¨+¨ y
¨-¨ de la x que se obtuvo De esta manera se tiene

Si

la ecuación tiene dos raíces reales diferentes entre sí

Si

las dos raíces son reales e iguales

Si

las dos raíces son complejas conjugadas

Ejemplos numéricos
Primer ejemplo, 2x2 – x – 1 = 0
Primero se identifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1

MODULO DE ALGEBRA
Página 72

Luego se procede a reemplazarlos en la fórmula

Ambas soluciones son reales y diferentes entre sí. Note que

, en

este ejemplo en particular
Segundo ejemplo, 9x2 – 6x + 1 = 0
Se identifican los coeficientes a = 9, b = -6 y c = 1
Se reemplazan los coeficientes en la fórmula

Ambas soluciones son reales y e iguales entre sí. Note que
Tercer ejemplo, x2 + x + 1 = 0
Se identifican los coeficientes a = 1, b = 1 y c = 1

MODULO DE ALGEBRA
Página 73

Se reemplazan los coeficientes en la fórmula

Ambas soluciones son complejas conjugadas. Note que

, para

esta ecuación se obtuvo
Propiedades básicas de las soluciones de la ecuación
cuadrática

Demostración

MODULO DE ALGEBRA
Página 74

Demostración

ECUACIONES CUADRÁTICAS – FACTORIZACIÓN
Por: Melissa Murrias

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y
c son números reales.

Ejemplo:
9x2 + 6x + 10

a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x

a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10

a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las
ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
MODULO DE ALGEBRA
Página 75

Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto
de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0

(x

) (x

a=1

)=0

b=2

c=-8

[x ·x = x2]

( x + ) (x - ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0

4 y –2

4 + -2 = 2

4 · -2 = -8

x+4=0

x–2=0

MODULO DE ALGEBRA
Página 76

x+4=0
x=0–4
x = -4

x–2=0
x=0+2
x=2

Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la
constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la
siguiente forma:

4x2 + 12x – 8 = 0
4
4
4
4

x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.
Ejemplo:
x2 + 2x – 8 = 0

[Ya está en su forma donde a = 1.]

x2 + 2x = 8

[ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

MODULO DE ALGEBRA
Página 77

x2 + 2x + 1

=8+1

x2 + 2x + 1 = 9
(

) (

) =9

Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9
(x + 1)2 = 9
(x + 1) = ±

x+1= ±3
x = -1 ± 3

[Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3
x=2

x = -1 – 3
x = -4

Fórmula Cuadrática:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación
cuadrática a la siguiente fórmula:

MODULO DE ALGEBRA
Página 78

Ejemplo:
X2 + 2x – 8 = 0

a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 ± 6
2
MODULO DE ALGEBRA
Página 79

X = -2 + 6
2
x=4
2
x=2

x = -2 - 6
2
x = -8
2

x=-4

MODULO DE ALGEBRA
Página 80

DESIGUALDADES LINEALES

DESIGUALDADES LINEALES EN UNA VARIABLE
También

conocidas

como

inecuaciones

de

primer

grado)

Se establece rápidamente la definición de una desigualdad lineal, pasando a
dar un bosquejo de una estrategia general para resolver este tipo de
desigualdad.

Se puntualiza el tipo de conjunto solución de este tipo de

desigualdad, de manera gráfica, por intervalos y por conjuntos. Se dan una
serie de pasos recomendados que conducen siempre al despeje de la
variable. Un primer ejemplo es desarrollado con dos procedimientos, el
primero siguiendo los pasos recomendados, el segundo es para aclarar que
se

pueden

emplear

otras

estrategias,

siempre

y

cuando

respeten

la

propiedades algebraicas y de desigualdades.
Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son
iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un
signo de igual hay unos símbolos que son:<,>,≤,≥. En una definición decimos que:
Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones
siguientes:


X es mayor que Y



X es menor que Y

Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita
La expresión

,

Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de
"b", puede tenerse

, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia

es

MODULO DE ALGEBRA
Página 83

positiva y

, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia

es

negativa. Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es
mayor o menor que la otra".
Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la
izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y
los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de
desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen
algunas consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero
Ejemplo:

Porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero
Ejemplo:

Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor
valor absoluto;
Ejemplo:

Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20

DESIGUALDADES LINEALES
Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son
iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un
signo de igual hay unos símbolos que son:<,>,≤,≥. En una definición decimos que:
Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones
siguientes:
MODULO DE ALGEBRA
Página 84



X es mayor que Y



X es menor que Y

Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita
La expresión

, quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores

particulares de "a" y de "b", puede tenerse
cuando la diferencia
la diferencia

es positiva y

, que se lee "a" mayor que "b",

, que se lee "a" menor que "b", cuando

es negativa. Desigualdad "es la expresión de dos cantidades

tales que la una es mayor o menor que la otra".
Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la
izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y
los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de
desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen
algunas consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero
Ejemplo:

Porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero
Ejemplo:

Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor
valor absoluto;
Ejemplo:

Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20
MODULO DE ALGEBRA
Página 85

Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las
proposiciones:

Propiedades de las desigualdades
Teorema1-Propiedad transitiva:
Teorema2-Suma:

Ejemplo ilustrativo:


Teorema3-Multiplicación por un
número positivo:

Teorema4:


Los Teoremas 1 a 4 también son válidos si se cambia ">" por "<"
Teorema5:
Teorema6:

"Si se cambia el signo de ambos
miembros de una desigualdad, se
cambia el sentido de la desigualdad".
Teorema7:

Teorema8:

Teorema9:

Teorema10:

Teorema11:

MODULO DE ALGEBRA
Página 86

Inecuaciones lineales:
Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado
de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una
inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la
desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una
unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es
similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las
propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una
inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la
gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la
solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco
(transparente).

Ejemplo ilusrativo1:

Inecuaciones lineales que comprenden valores absolutos:

MODULO DE ALGEBRA
Página 87

Inecuaciones cuadráticas:

Las inecuaciones cuadráticas presentan, o se pueden reducir a, las formas:

El modo de solucionar estas inecuaciones es similar al utilizado para resolver
ecuaciones cuadráticas.

MODULO DE ALGEBRA
Página 88

Ejemplo ilustrativo2:

MODULO DE ALGEBRA
Página 89

VALOR ABSOLUTO
El álgebra normalmente requiere que seamos cuidadosos no sólo con el tamaño y
el valor sino también con el signo. No es lo mismo -10 que 10. 3 + 7 nos da un
resultado distinto que 3 + (-7). Pero hay circunstancias en las que el signo no
importa, en matemáticas y en la vida cotidiana. ¿Alguna vez has tropezado al
bajar de unas escaleras eléctricas? No importa tanto si te estás moviendo más
rápido o más lento que el suelo, es la magnitud de la diferencia la que te hace
perder el equilibrio. O piensa en una larga caminata por el campo, tus pies se
lastimarán sin importar si vas hacia el norte o hacia el sur. La dirección no importa,
sólo la distancia.
En matemáticas, hay un concepto para tratar con situaciones donde el tamaño
importa más que el signo. Se llama valor absoluto. El valor absoluto de un
número consiste en su valor, sin importar su signo.
Valor Absoluto — Enfoque Numérico
El valor absoluto puede ser explorado ya sea numérica o gráficamente.
Numéricamente, el valor absoluto se indica encerrando el número, variable o
expresión dentro de barras verticales, así:

|20|
|x|
|4n − 9|

Cuando tomamos el valor absoluto de un número, éste es siempre positivo o cero.
Si el valor original ya es positivo o cero, el valor absoluto es el mismo. Si el valor
original es negativo, simplemente nos deshacemos del signo. Por ejemplo, el valor
absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de -5 es también 5.
MODULO DE ALGEBRA
Página 96

Ejemplo
Valor
Valor

Absoluto

5

5

-5

5

Recuerda, en situaciones de valor absoluto no estamos cambiando la posición ni
la dirección de un número, sólo estamos ignorando esos detalles.
Ten cuidado de no confundir las |barras de valor absoluto| con los (paréntesis) o
los [corchetes]. No son los mismos símbolos, y las reglas que los evalúan son
diferentes.
Por ejemplo, -1(-3) = 3. Los signos negativos dentro y fuera de los paréntesis se
cancelan cuando son multiplicados.

Ejemplo
Problema

-1(-3)

=

-1 • -3

=

3

Pero -1|-3| = -3. No puedes multiplicar a través de las barras de valor absoluto, por
lo que primero tienes que encontrar el valor absoluto del número contenido entre
ellas. Como el valor absoluto de -3 es 3, la operación se convierte en -1(+3).

MODULO DE ALGEBRA
Página 97

Ejemplo
Problema

-1|-3|

=

-1 • 3

=

-3

Cuando las barras de valor absoluto contienen una expresión que incluye
operaciones, la expresión debe ser evaluada antes de encontrar el valor absoluto.
Considera la expresión |6 − 4|. Antes de que podamos obtener el valor absoluto de
la expresión, tenemos que efectuar la resta. Cuando hacemos eso, |6 − 4| se
convierte |2|. Ahora podemos calcular el valor absoluto de la expresión — es el
valor absoluto de 2, el cual es 2.
|6 − 4| = |2| = 2

De manera similar, para la expresión |15 − 21|, debemos realizar primero las
operaciones dentro de las barras de valor absoluto.
|15 − 21| = |-6| = 6
Valor Absoluto — Enfoque Gráfico

En la recta numérica, el valor absoluto de un número o una expresión es la
distancia entre el valor y cero. Cuando usamos la recta numérica para explorar el
valor absoluto, éste siempre estará en cero o a la derecha del cero. Si el valor
original es positivo o cero, el valor absoluto estará sobre el original.
Si graficamos el valor original y el valor absoluto, ambos quedarán en el mismo
lugar. El |3| es 3. En éste caso, el valor original y el valor absoluto se posicionan 3
unidades a la derecha del cero en la recta numérica.

MODULO DE ALGEBRA
Página 98

Si el valor original es negativo, el valor absoluto quedará a la misma distancia del
cero que el valor original, pero en el otro lado del origen. El |-4| es 4. Si graficamos
el valor original y el valor absoluto, ambos quedarán a la misma distancia del cero,
pero en direcciones opuestas.

Cuando utilizamos la recta numérica para mostrar el valor absoluto de una expresión,
debemos una vez más asegurarnos que llevamos a cabo todas las operaciones dentro de
las barras antes de graficar. El |4 − 6| se coloca en 2, no -2, 4, o 6.

Ecuaciones con valor absoluto
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
MODULO DE ALGEBRA
Página 99

9.
10.
11.
12.
Propiedades del valor absoluto
Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales
podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o
inecuaciones que incluyen valor absoluto.
Propiedad 1

Demostración

Hay dos posibles casos:
Caso 1:

Caso 2:

Propiedad 2
Si
MODULO DE ALGEBRA
Página 100

Demostración:(ejercicio para el estudiante)

Propiedad 3
Si
Demostración
Para demostrar esta propiedad conviene recordar que:

En particular:

Usando esta definición se tiene que:

Propiedad 4

Demostración:(ejercicio para el estudiante)
Propiedad 5

Si

entonces

Demostración
Aquí también usaremos el hecho de que:

Si
MODULO DE ALGEBRA
Página 101

Propiedad 6

Demostración
, se tiene que:

Propiedad 7
Sea

una variable real y un número real positivo:

Interpretación geométrica de esta propiedad

Demostración
Como

MODULO DE ALGEBRA
Página 102

Propiedad 8
Sea

una variable real y un número real positivo entonces:

Demostración
Como

, se tiene:

MODULO DE ALGEBRA
Página 103

Resolviendo esta inecuación:

De aquí se tiene:

Interpretación geométrica de esta propiedad:

Propiedad 9
Sea


MODULO DE ALGEBRA
Página 104

Demostración
Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 8, ya demostrada,
dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante.

Propiedad 10
Sea


i.
ii.
Demostración

Un procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para
demostrar la propiedad 8.
Dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante.
i.

ii.

MODULO DE ALGEBRA
Página 105

Propiedad 11

Demostración

Sabemos que
CASO 1:

(*)

Además como
entonces
Así por (*) y (**) se tiene que:

y como

entonces:

(**)

(I)

CASO 2:

MODULO DE ALGEBRA
Página 106

Además como

entonces

(****)
Así por (***) y (****) se tiene que:

(II)
Por lo tanto de (I) y (II) se concluye que:

Propiedad 12 (desigualdad triangular)
Si
Demostración
Antes de demostrar esta propiedad, es necesario conocer el siguiente lema:
LEMA:
Sean
Si
Demostración (del lema)
Supongamos que

, hay que demostrar que

i.
ii.
Por i. y ii. Se tiene que
Nota: El lema anterior expresa que si se tienen desigualdades
podemos sumar miembro a miembro estas desigualdades de la manera siguiente:
MODULO DE ALGEBRA
Página 107

Estamos ahora en condiciones de demostrar la desigualdad triangular.

Demostración de la desigualdad triangular
, se tiene que:

Sumando miembro a miembro estas desigualdades se tiene:

, por la propiedad (10. i)

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de
primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni
multiplicadas entre sı´, ni en el denominador.
Por ejemplo, 3x +2y +6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.
Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una
recta en el plano.
Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráﬁca es un plano en el
espacio.

MODULO DE ALGEBRA
Página 108

Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la ﬁgura:

El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir,
un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son
equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geométricamente representan la
misma recta o plano.
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la
forma:

En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas. Los números reales aij se
denominan coeﬁcientes y los xi se denominan incógnitas (o números a determinar)
y bj se denominan términos independientes.

MODULO DE ALGEBRA
Página 109

En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y
en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es
indiferente a la hora de resolver el sistema.
Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan
TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente.
Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

Tipos de sistemas
En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales R.
Dependiendo del posible número de tales soluciones reales que tenga un sistema,
estos se pueden clasiﬁcar en:

Sistemas con dos incógnitas
Los sistemas más sencillos son aquellos en los que solo hay dos incógnitas y 2
ecuaciones, y que ya son conocidos de cursos pasados.
Hay varios sistemas para resolverlos, los más habituales:
* Reducción
* Igualación
* Sustitución
En los que ya no nos entretendremos.
MODULO DE ALGEBRA
Página 110

Como cada ecuación lineal con 2 incógnitas se interpreta geométricamente como
una recta, el estudio de la solución del sistema se limita a estudiar la posición de 2
rectas en el plano.
Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e
interpretar el sistema:

Por reducción

De donde y = -1 y sustituyendo x + 2*(-1) = -3, x = -1.
Es decir, la solución del sistema es ´única, x = -1, y = -1 lo que signiﬁca que el
sistema es compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto,
precisamente el (-1,-1):

Resolver e interpretar el sistema:

Por igualación
MODULO DE ALGEBRA
Página 111

Lo cual es imposible y por tanto el sistema no tiene solución, es un sistema
incompatible y por tanto las rectas son paralelas. Geométricamente:

Resolver e interpretar el siguiente sistema:

Por sustitución, como x = −2y – 3 resulta 3(−2y − 3) + 6y = −9, es decir −6y − 9+6y
= −9, por tanto 0y = 0, 0 = 0.
Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene
inﬁnitas soluciones, es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma.

MODULO DE ALGEBRA
Página 112

Sistemas de 2 incógnitas y 3 ecuaciones
Podemos añadir a los clásicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnitas cuantas
ecuaciones queramos para obtener diferentes tipos de sistemas con 3, 4, 5 o más
ecuaciones. En cualquier caso, los tipos de sistemas a los que dan lugar son los
mismos reseñados anteriormente.
Al aumentar el número de ecuaciones, la resolución del sistema por alguno de los
tres métodos clásicos se vuelve más farragosa, por lo que conviene aplicar ya el
conocido método de Gauss para determinar el tipo de sistema.
Para ello expresaremos el sistema en la forma matricial, analizando la matriz
ampliada asociada, que tendrá 2 columnas y tantas filas como ecuaciones
tengamos.
Analizaremos tan so ´lo aquellos sistemas con 3 ecuaciones y 2 incógnitas.
La matriz ampliada genérica es:

Aplicar el método de Gauss consiste en realizar transformaciones elementales
mediante las filas de la matriz para obtener la matriz escalonada siguiente:

Recordemos que las operaciones elementales permitidas en las filas de la matriz
(ecuaciones del sistema) eran:

MODULO DE ALGEBRA
Página 113

T1) Multiplicar o dividir una filas por un número real distinto de cero.
T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número real no nulo.
T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre sí.
Utilizando estas transformaciones, los sucesivos sistemas que se obtienen son
equivalentes al primero, es decir, tienen las mismas soluciones.
Debemos eliminar, en este orden, el elemento a21 utilizando la fila 1, el elemento
a31, utilizando también la fila 1, y por último el elemento a32 utilizando la fila 2, de
modo análogo al método de Gauss-Jordán para la inversa.
Además, es conveniente en cada paso indicar la operación realizada con las filas,
poniendo en primer lugar aquella que se va a sustituir por otra.
Llegados a la matriz ampliada escalonada al final del proceso, pueden darse los
casos siguientes
1. a *22 = 0. Entonces hay dos posibilidades:
a) b*3 = 0. Sistema incompatible (hay una ecuación del tipo 0=k), sin solución.
Geométricamente, puede ocurrir que:
a) Dos rectas sean paralelas y la otra las corte.
b) Las rectas se corten dos a dos (formen un triángulo).

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que
comparten dos o más incógnitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son
todos los valores que son válidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde
las gráficas de las ecuaciones se intersectan.

MODULO DE ALGEBRA
Página 114

Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitución y
por combinación lineal. Los sistemas de funciones no lineales, como ecuaciones
cuadráticas o exponenciales, pueden ser manejados con las mismas técnicas.
Para ilustrar cómo resolver estos sistemas, nos vamos a concentrar en sistemas
lineales y cuadráticos con sólo dos ecuaciones. Pero ten en cuenta que hay
sistemas que pueden ser más grandes y más complejos que estos ejemplos.
Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
Empecemos por hablar sobre dos ecuaciones lineales. La solución de este tipo de
sistema es el punto de intersección entre las dos rectas, o el lugar donde las dos
ecuaciones tienen los mismos valores de x y de y. Puede haber más de una
solución, no solución, o un número infinito de soluciones de un sistema de dos
ecuaciones lineales:

Una solución

Si las gráficas de las
ecuaciones se intersectan,
entonces existe una
solución para ambas
ecuaciones.

No hay solución

Si las gráficas de dos
ecuaciones no se
intersectan (por ejemplo, si
son paralelas), entonces no
existen soluciones para
ambas ecuaciones.

Soluciones infinitas

ecuaciones son la misma,
entonces hay un número
infinito de soluciones para
ambas ecuaciones.

MODULO DE ALGEBRA
Página 115

Para resolver un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática,
podemos hacer lo mismo, encontrar el punto — o puntos — de intersección entre
ambas gráficas:
Una solución

Si la parábola y la recta se
tocan en un sólo punto,
entonces existe una solución
para ambas ecuaciones.

No hay solución

ecuaciones no se
intersectan, entonces no
existen soluciones para
ambas ecuaciones.

Dos soluciones

Si la recta se intersecta con
la parábola en dos lugares,
entonces hay dos
soluciones para ambas
ecuaciones.

No tiene sentido considerar el caso cuando las dos ecuaciones representan el
mismo conjunto de puntos, porque una línea recta jamás será una parábola, y vice
versa.
Nota que esto significa que el número posible de soluciones para un sistema de
dos ecuaciones lineales es 0 (nunca se tocan), 1 (se cruzan en un lugar), o infinito
(las rectas son idénticas). El número de soluciones para un sistema con una
ecuación lineal y una ecuación cuadrática es 0 (nunca se tocan), 1 (se tocan en un
lugar), o 2 (se cruzan en dos lugares).
Vamos a resolver por medio de gráficas un sistema de una ecuación lineal y una
ecuación cuadrática.
MODULO DE ALGEBRA
Página 116

Ejemplos
Problema

Resolver el sistema graficando las ecuaciones
y
Graficar cada
ecuación y localizar
los puntos de
intersección

Solución

Este sistema tiene dos soluciones, No podemos
determinar la posición exacta de los puntos de
intersección a partir de la gráfica, pero son
aproximadamente (-2,0) y (5,22)

Nota que a pesar de que podemos saber aproximadamente donde se intersectan
las gráficas, es difícil encontrar la posición exacta.
Ahora vamos a resolver el mismo sistema usando sustitución. Cuando resolvemos
por sustitución, seguimos los siguientes pasos:
1. Seleccionar una ecuación y despejar una variable. (Escoger una ecuación y
una variable que sea fácil de despejar).
MODULO DE ALGEBRA
Página 117

2. Sustituir la expresión resultante por una variable en la otra ecuación, cada
vez que esta variable aparezca.
3. Resolver la segunda variable en la segunda ecuación.
4. Sustituir la solución del paso 3 en la expresión del paso 1, para encontrar la
otra variable.
Ejemplo
Problema

Resolver el sistema usando el método de sustitución
y
En este caso, ambas ecuaciones
tienen la variable y despejada, por
lo que las podemos igualar
Restar 3x de ambos lados y restar
7 de ambos lados. Ahora queda
una ecuación cuadrática igual a 0
por lo que podemos usar la
fórmula cuadrática,

, para
encontrar la solución
a = 1, b = -3, y c = -12

Sustituir los valores de a, b, y c en
la fórmula
Simplificar

Simplificar un poco más,
recordando evaluar ambos

o

y

.

Evaluar cualquiera de las
funciones con cada x para
encontrar el valor de y
correspondiente
MODULO DE ALGEBRA
Página 118

Solución
(5.27, 22.82) y (-2.27, 0.18)

Usando sustitución hemos llegado a una respuesta más precisa que cuando lo
hicimos graficando el sistema, sin embargo, si hicieron aproximaciones cuando
sacamos la raíz cuadrada de 57. ¡Esta no es la solución exacta!

Es siempre buena idea comprobar el resultado en las ecuaciones originales.

Aquí hay una prueba con el punto (5.27, 22.82):}

Nota que la comprobación no resulta en una igualdad perfecta, pero cercana.

MODULO DE ALGEBRA
Página 119

Usar una gráfica para encontrar el número de soluciones del sistema de ecuaciones.

y = -4x – 4 y y = -0.25x2 – 4

A) una solución
B) dos soluciones
C) no hay solución
D) soluciones infinitas

Sistemas de Dos Ecuaciones Cuadráticas

Ahora veamos el caso de dos ecuaciones cuadráticas. Imagina por un momento
cómo las gráficas de las dos ecuaciones cuadráticas pueden intersectarse (o no).

Una solución

No hay solución

MODULO DE ALGEBRA
Página 120

Dos ecuaciones cuadráticas que
tienen sólo un punto en común,
como un vértice compartido, tienen
una solución.

Dos ecuaciones cuadráticas que no
se superponen (no tienen valores
comunes de y) no tienen solución.

Dos soluciones

Soluciones infinitas

Dos ecuaciones cuadráticas que se Si las gráficas de las ecuaciones
superponen pero tienen ecuaciones son la misma, entonces hay un
diferentes tienen dos soluciones
número infinito de soluciones
válidas para ambas ecuaciones.

Podemos resolver el sistema de ecuaciones cuadráticas graficando:

Ejemplo
Problema

Resolver el sistema graficando las
ecuaciones
y

MODULO DE ALGEBRA
Página 121

Graficar ambas
ecuaciones y
encontrar los
puntos de
intersección

Aproximar las
coordenadas de
los puntos de
intersección

Solución

(-3, 9) y (3, 9)

Una vez más, no podemos estar seguros de que nuestras soluciones gráficas son
exactas. Un método algebraico siempre puede garantizar una solución exacta. Por
ejemplo, podemos resolver un sistema de ecuaciones cuadráticas por sustitución:

Ejemplo
Problema

Resolver el sistema usando el
método de sustitución:
y
En este caso ambas
ecuaciones tienen la
variable y despejada,

MODULO DE ALGEBRA
Página 122

por lo que las
podemos igualar
Sumar 2x2 y 6 a
ambos lados para
traer todas las
variables a un lado de
la ecuación
Aplicar la fórmula
cuadrática. a = 3, b =
0, y c = 10
Simplificar, notando
que la cantidad
debajo de la raíz
cuadrada es un valor
negativo - este es el
[discriminante] - lo
que significa que no
hay solución y las
gráficas no se
intersectan
Solución

no hay solución

Como no hay solución, no podemos comprobar nuestra solución algebraicamente,
pero podemos ver ambas gráficas para verificar que no hay solución:

MODULO DE ALGEBRA
Página 123

También podemos usar combinación lineal para resolver sistemas de ecuaciones,
siguiendo estos pasos:

1. Re arreglar las ecuaciones de forma que los términos se alineen.
2. Multiplicar ninguna, o una, o ambas ecuaciones por una constante para que
los coeficientes de una de las variables sean opuestos.

3. Sumar las ecuaciones para eliminar una de las variables.
4. Resolver la ecuación resultante.

MODULO DE ALGEBRA
Página 124

5. Sustituir la solución del paso 4 en la ecuación original para encontrar la otra
variable.

Ejemplo
Problema

Resolver el sistema usando combinación lineal
y
Alinear las ecuaciones

Como ya hay dos variables
que son opuestas (x2 y –x2),
podemos sumar las dos
ecuaciones
y=5

Despejar y dividiendo ambos
lados de la ecuación entre 2
Sustituir y en una de las
ecuaciones para encontrar
los valores de x.

Solución
y

Las mismas estrategias de graficar, sustitución, o combinación lineal pueden ser
aplicadas para resolver sistemas de ecuaciones de otras funciones no lineales,
como círculos, elipses, y otras funciones coordenadas.
La solución de sistemas de ecuaciones no lineales puede hacerse usando las
técnicas de graficar, sustitución y combinación lineal. De la misma forma que con
sistemas de ecuaciones lineales, cuando encontramos soluciones a sistemas de
ecuaciones no lineales, estamos buscando la intersección de sus gráficas o los
lugares donde las ecuaciones tienen los mismos valores de las variables.

MODULO DE ALGEBRA
Página 125

CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES

a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:
Dos soluciones de la primera ecuación son:
x = 1, y = 4; x = 2, y = 2
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 1, y= 0; x = 2, y = 2
Las rectas se cortan en un punto que será la solución: x = 2, y = 2.
Por tanto, el sistema será compatible determinado. Vemos la representación
más abajo .x + y = 3 2
x+2y=6

b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:
x = 0, y = 3; x = 3, y = 0
x = 1, y = 2; x = 2, y = 1

MODULO DE ALGEBRA
Página 126

c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:
x = 0,y = 3; x = 3,y = 0
x = 0, y =-1; x = -2, y = 1
Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema no
tiene

solución.

Por

tanto,

el

sistema

será

incompatible.

Vemos

la

representación siguiente:

MODULO DE ALGEBRA
Página 127

EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones
algebraicas.
TÉRMINO. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios
símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término
son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. Es la suma de los exponentes de
sus factores literales.

MODULO DE ALGEBRA
Página 128

GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el exponente de
dicha letra.
CLASES DE TÉRMINOS. El término entero es el que no tiene denominador literal,
el término fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el
que no tiene radical, e irracional el que tiene radical.
TÉRMINOS HOMOGÉNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto.
TÉRMINOS HETEROGÉNEOS. Son los de distinto grado absoluto.
TÉRMINOS SEMEJANTES. Dos términos son semejantes cuando tienen la
misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales
exponentes.
10 Ejemplos de Términos Semejantes:

MODULO DE ALGEBRA
Página 129

CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA
MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.

BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos.

TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos.

POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.

MODULO DE ALGEBRA
Página 130

GRADO DE UN MONOMIOS
Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte

literal: El monomio

es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado.

El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el
grado respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.
GRADO DE UN POLINOMIO
Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio:

PROGRAMACION LINEAL
La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo
XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten
resolver problemas de optimización en el ´ámbito, sobre todo, de las Ciencias
Sociales.
Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programación
lineal, los que tienen solamente 2 variables, problemas bidimensionales.

MODULO DE ALGEBRA
Página 131

Para sistemas de más variables, el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven
por el llamado método Simplex (ideado por G.B.

Danzig, matemático

estadounidense en 1951).
Recientemente (1984) el matemático indio establecido en Estados Unidos,
Narenda Karmarkar, ha encontrado un algoritmo, llamado algoritmo de Karmarkar,
que es más rápido que el método simplex en ciertos casos. Los problemas de este
tipo, en el que intervienen gran número de variables, se implementan en
ordenadores.
Inecuaciones lineales con 2 variables
Una inecuación lineal con 2 variables es una expresión de la forma: ax + by ≤ c
(donde el símbolo ≤ puede ser también ≥, < o bien>), donde a, b y c son números
reales y x e y las incógnitas.
Para resolver estas inecuaciones, se recordará de otros cursos, hay que
representar gráﬁcamente en el plano la recta dada por la correspondiente
ecuación lineal y marcar una de las dos regiones en que dicha recta divide al
plano.
Ejemplo: Si queremos resolver la inecuación: 2x +3y ≥−3, representamos en
primer lugar la recta
2x +3y = −3:

MODULO DE ALGEBRA
Página 132

La recta divide al plano en dos regiones, una de las cuales es la solución de la
inecuación. Para saber que parte es, hay dos procedimientos:
1. Se despeja la y de la inecuación, poniendo cuidado en que si en una inecuación
multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de
sentido. En este caso tendíamos que:

Observando el dibujo vemos que la recta divide al eje de ordenadas (y) en dos
partes.
La solución de la inecuación será aquella parte en la que la y sea mayor que la
recta, es decir, la parte superior.

2. Se toma un punto cualquiera que no pertenezca a la recta, por ejemplo el (1,2).

MODULO DE ALGEBRA
Página 133

Para que dicho punto sea solución, se tendrá´ que cumplir la desigualdad, por lo
que sustituimos en la inecuación inicial el (1,2):
2 · 1+3· 2 ≥−3, es decir, 8 ≥−3.
Como esta última desigualdad es evidentemente cierta, concluimos que el (1,2)
es solución y por tanto el semiplano que contiene al (1,2) es la solución, es decir el
semiplano superior, como habíamos obtenido antes.
Cualquiera de los procedimientos es válido si se realiza con corrección.
Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables
Un sistema de inecuaciones lineales, por tanto, es un conjunto de inecuaciones
del tipo anterior, y resolverlo consistirá en resolver gráficamente cada inecuación
(como en el caso anterior), representar la solución en un mismo gráfica y la
solución total será la parte común a todas las soluciones.
Resolver el sistema de inecuaciones siguiente:

Si representamos las rectas

MODULO DE ALGEBRA
Página 134

El triángulo rayado es la solución del sistema.
Además, para los problemas de programación lineal es necesario el cálculo de los
vértices de la región solución. Es sencillo su cálculo, pues se reduce a resolver
sistemas de ecuaciones lineales son dos incógnitas, que provienen de igualar las
ecuaciones de las rectas correspondientes.
Por ejemplo, en este caso, si queremos el punto intersección de las rectas r y t
tendremos que resolver el sistema formado por:

MODULO DE ALGEBRA
Página 135

Ejercicios:
1. Calcular los otros dos vértices.
2. Resolver los sistemas de inecuaciones lineales siguientes encontrando los
vértices de las regiones que sean solución:

Nota: Rectas horizontales y verticales.
En ocasiones, en estos sistemas, aparecen inecuaciones del tipo x ≥ k o bien y ≥
k, donde falta alguna de las dos incógnitas.
Estas inecuaciones en realidad corresponden a rectas horizontales y verticales, y
sus representaciones bien sencillas.
Por ejemplo, la inecuación x ≤−2noesma´s que el conjunto de puntos a la izquierda
de la recta vertical que pasa por el punto x = −2, gráﬁcamente:

MODULO DE ALGEBRA
Página 136

Lo mismo ocurre con y ≤ 1, que será en este caso la parte inferior a la recta
horizontal y =1, es decir:

En el caso particular de que sea x ≥ 0 o y ≥ 0, las rectas coincidirán con los ejes
de coordenadas.
Forma algebraica
Consiste, simplemente, en sustituir cada uno de los vértices de la región en la
función objetivo. La solución óptima vendrá dada por aquel que tome el mayor (o
menor) valor.
Ejemplo: Maximizar la función F(x, y) = 2000x + 5000y sujeta a las restricciones:

F (5, 1) = 2000 · 5 + 5000 · 1 = 10000 + 5000 = 15000
F (0, −1) = 2000 · 0 + 5000 · (−1) = 0 − 5000 = −5000

MODULO DE ALGEBRA
Página 137

F (3, −3) = 2000 · 3 + 5000 · (−3) = 6000 − 15000 = −9000

Vemos que el valor máximo se alcanza para el vértice (5,1) y que dicho valor es
15. La misma solución que se obtenía antes.
Ejercicio: Resolver los problemas de programación lineal:

Algunos ejemplos de casos extremos
Puede ocurrir que la solución óptima no sea ´única, e incluso que no exista, como
en los ejemplos siguientes:
Ejemplo 1:
Maximizar g(x, y)=3x +4y sujeta a las restricciones:

MODULO DE ALGEBRA
Página 138

Si representamos la región factible:

PROGRAMACIÓN LINEAL EN EXCEL
Un modelo de Programación Lineal (PL) considera que las variables de decisión
tienen un comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como restricciones
del problema. En este sentido, la Programación Lineal es una de las herramientas
MODULO DE ALGEBRA
Página 139

Sistemas de ecuaciones lineales y métodos de resolución

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