Equilibrio Mecanico
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  • 1. UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJAESCUELA DE GEOLOGIA Y MINAS
    TEMA: EQUILIBRIO MECÁNICO
    DOCTOR:
    ALUMNOS: NIXON FIERRO
    JAIME SOTO
    CARLOS NARVAEZ
    FECHA: 21 – 01 – 2010
  • 2. EQUILIBRIO MECÁNICO
    DEFINICIÓN:
    El equilibrio mecánico es una situación estacionaria en la que se cumplen una de estas dos condiciones:
    • Un sistema está en equilibrio mecánico cuando la suma de fuerzas y momentos, sobre cada partícula del sistema es cero.
    • 3. Un sistema está en equilibrio mecánico si su posición en el espacio de configuraciónes un punto en el que el gradiente de energía potencial es cero.
    La alternativa (2) definición de equilibrio que es más general y útil (especialmente en mecánica de medios continuos).
  • 4. DEFINICIÓN BASADA EN EQUILIBRIO DE FUERZAS
    Como consecuencia de las leyes de la mecánica, una partícula en equilibrio no sufre aceleración lineal ni de rotación, pero puede estar moviéndose a velocidad uniforme o rotar a velocidad angular uniforme. Esto es ampliable a un solido rígido.
    Las ecuaciones necesarias y suficientes de equilibrio mecánico son:
    • Una partícula o un solido rígido está en equilibrio de traslación cuando: la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero.
    • 5. En el espacio se tienen tres ecuaciones de fuerzas, una por dimensión; descomponiendo cada fuerza en sus coordenadas resulta:
    • Y como un vector, es cero, cuando cada una de sus componentes es cero, se tiene:
    Un sólido rígido está en equilibrio de traslación cuando la suma de las componentes de las fuerzas que actúan sobre él cuerpo es cero.
    • Un sólido rígido está en equilibrio de rotación, si la suma de momentos sobre el cuerpo es cero.
    • 6. En el espacio tiene las tres ecuaciones una por dimensión; por un razonamiento similar al de las fuerzas:
    Resultando:
  • 7.
    • Unsólido rígido está en equilibrio de rotación cuando la suma de las componentes de los momentos que actúan sobre él es cero.
    Un sólido rígido está en equilibrio si está en equilibrio de traslación y de rotación.
    Se distingue un tipo particular de equilibrio mecánico llamado equilibrio estático que correspondería a una situación en que el cuerpo está en reposo, con velocidad cero: una hoja de papel sobre un escritorio estará en equilibrio mecánico y estático.
    DEFINICIÓN BASADA EN LA ENERGÍA POTENCIAL
    La definición del principio de este artículo es de poca utilidad en mecánica de medios continuos, puesto que esa definición no es fácilmente generalizable a un medio continuo.
    Además, dicha definición no proporciona información sobre uno de los aspectos más importantes del estado de equilibrio, y estabilidad.
  • 8. ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO
    El análisis de la estabilidad del equilibrio puede llevarse a cabo estudiando los mínimos y máximos locales (extremos locales) de la función de energía potencial.
    Equilibrio meta-estable, inestable y estable.
    Un resultado elemental del analices matemático dice una condición necesaria para la existencia de un extremo local de una función diferenciable es que todas las derivadas primeras se anulen en algún punto.
    Un punto es de equilibrio inestable, si la segunda derivada de la energía potencial es < 0 y por tanto la energía potencial tiene un máximo local. Si el sistema sufre un desplazamiento de su posición de equilibrio, por pequeño que este sea, entonces se alejara mas y mas de el.
  • 9. Un punto es de equilibrio indiferente o neutral, si la segunda derivada es = 0, entonces se encuentra una región donde la energía no varía.
    Un punto es de equilibrio estable si la segunda derivada es > 0, y por tanto la energía potencial tiene un mínimo local.
    Para problemas bidimensionales ytridimensionales, la discusión anterior de la estabilidad se hace más complicada y requiere examinar la forma cuadrática Q(x1,..., xn) definida por la matriz de la energía potencial.
    Equilibrio estable, se da cuando la forma cuadrática Q(x1,..., en) es definida positiva y, por tanto, todos sus autovalores son números positivos.
    Equilibrio totalmente inestable, se da cuando la forma cuadrática Q(x1,..., en) es definida negativa, por tanto, todos sus autovalores son negativos.
    Equilibrio mixto inestable, se da cuando la forma cuadrática Q(x1,..., en) es no es definida positiva y alguno de sus autovalores es negativo.
    Esto implica que según ciertas direcciones puede haber estabilidad unidimensional pero según otras habrá inestabilidad unidimensional
  • 10. TEORÍA DE LA ESTABILIDAD
    En Matemáticas, Física y las Ciencias Aplicadas la teoría de la estabilidad estudia las soluciones de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos, es decir, examina como difieren las soluciones bajo pequeñas modificaciones de las condiciones iníciales.
    Estabilidad de ecuaciones diferenciales
    Debido a que toda ecuaciones diferenciales puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden equivalente, el estudio de la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales puede reducirse al estudio de la estabilidad de los sistemas de ecuaciones diferenciales.
    Consideremos por ejemplo un sistema de ecuaciones autónomo no lineal dado por:
    Donde es el vector de estado del sistema, un conjunto abierto que contiene al origen y . una función continua. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que el origen es un punto de equilibrio.
  • 11. Estabilidad numérica
    La estabilidad numérica técnicamente no forma parte de la teoría de la estabilidad, puesto que no analiza la estabilidad de soluciones de un sistema de evolución temporal, sino la estabilidad del algoritmo usado para encontrar una de las soluciones de dicho sistema.
    Estabilidad de sistemas dinámicos
    La estabilidad de los sistemas dinámicos se refiere a que pequeñas perturbaciones en las condiciones iníciales o en alguna de las variables que intervienen en la ecuación del movimiento produzca un comportamiento suficientemente similar al comportamiento sin dichas perturbaciones.
  • 12. TIPOS DE ESTABILIDAD
    • Estabilidad de Lyapunov
    • 13. En Matemáticas, la noción de estabilidad de Lyapunov se da en el estudio de los sistemas dinámicos. De manera sencilla, si todas las soluciones de un sistema dinámico descrito por una función X(t) que se encuentre cerca de un punto de equilibrio Xo en una vecindad acotada por , entonces las trayectorias de la función X(t) son estables según Lyapunov.
    • 14. De manera fuerte, si la solución comienza en la vecindad de X(0) y converge a Xo, entonces X(t) es asintóticamente estable en el sentido de Lyapunov.
    • 15. Estabilidad estructural
    Se define como un conjunto de elementos combinados entre sí con el objeto de resistir con seguridad las cargas a la que es sometida y transmitirla al terreno de fundación.
  • 16. CLASIFICACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS
    • Macizas, es cuando están formadas por volúmenes macizos de material; laminares formadas por elementos constitutivos; también se las puede llamar lineales formadas por piezas esbeltas y largas.
    • 17. La estática, se ocupa de las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos a la acción de fuerzas; la dinámica estudia el movimiento de los cuerpos ambas componen la mecánica que se encuentra dentro de las fuerzas físicas.
    Fuerza: es la acción de un cuerpo sobre el otro que tiende a alterar el estado de reposo o de movimiento del cuerpo, como magnitud vectorial y hay dos tipos de magnitudes Escalares, quedan definidas mediante números y unidades por ejemplo la distancia y el tiempo. Vectoriales, requieren dirección de modulo y sentido, se pueden sumar gráficamente.
  • 18. PUNTO DE SILLA
    En una función de varias variables, si el gradiente en un punto se anula, puede haber un máximo,mínimo ó un punto de silla, que no es ni máximo ni mínimo. Es un punto en el que la función en una dirección crece, y en otra decrece.
    Su nombre se debe a que las funciones en estos puntos tienen forma de silla de montar.
    Un ejemplo típico es el paraboloide hiperbólico , la función en R3:
    Para determinar sus extremos relativos, calculamos su derivada parcial respecto a x:
  • 19. En el punto donde esta derivada valga cero, puede ser un extremo relativo:
    En el punto x = 0 puede haber un extremo relativo, calculando su derivada segunda vemos:
    Que es un mínimo, esto es siguiendo el eje de las x, en el punto x = 0 la función presenta un mínimo relativo.
    Veamos esto mismo en la dirección del eje de las y, su derivada parcial primera es:
    Cuando esta derivada primera valga cero, puede presentar un extremo relativo:
    En el punto y = 0, se da esta circunstancia, si vemos su derivada segunda, tenemos:
    Que toma valor negativo, luego este punto y = 0, es un máximo relativo, el punto x = 0, y = 0, es un punto de silla, dado que en la dirección de las x es mínimo y en la dirección de las y es un máximo.
  • 20. G R A C I A S