Coordenadas cil´               ındricas                                            Ecuaciones de movimiento: coordenadas c...
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Ecuaciones de movimiento coordenadas cilindricas

  1. 1. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricas Mec´nica: a Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas. Juan Jos´ Reyes Salgado eJuan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  2. 2. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasCoordenadas polares Posici´n: o ¯ = r ur r ˆJuan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  3. 3. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasCoordenadas polares Velocidad: d¯ r ˙ v= ¯ ˙ = ¯ = r ur + r ur r ˙ˆ ˆ dtJuan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  4. 4. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasCoordenadas polares Velocidad: d¯r ˙ ˙ v= ¯ = ¯ = r ur + r ur r ˙ˆ ˆ dt ˙ ∆ur ˆ ∆θ ur = l´ ˆ ım = l´ ım uθ ˆ ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆tJuan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  5. 5. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasCoordenadas polares Velocidad: d¯r ˙ ˙ v= ¯ = ¯ = r ur + r ur r ˙ˆ ˆ dt ˙ ∆ur ˆ ∆θ ur = l´ ˆ ım = l´ ım uθ ˆ ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t ˙ ˙ˆ ur = θuθ ˆJuan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  6. 6. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasCoordenadas polares Velocidad: d¯r ˙ ˙ v= ¯ = ¯ = r ur + r ur r ˙ˆ ˆ dt ˙ ∆ur ˆ ∆θ ur = l´ ˆ ım = l´ ım uθ ˆ ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t ˙ ˙ˆ ur = θuθ ˆ v = vr ur + vθ uθ ¯ ˆ ˆJuan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  7. 7. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasCoordenadas polares Velocidad: d¯r ˙ ˙ v= ¯ = ¯ = r ur + r ur r ˙ˆ ˆ dt ˙ ∆ur ˆ ∆θ ur = l´ ˆ ım = l´ ım uθ ˆ ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t ˙ ˙ˆ ur = θuθ ˆ v = vr ur + vθ uθ ¯ ˆ ˆ ˙uθ v = r ur + r θ ˆ ¯ ˙ˆJuan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  8. 8. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasCoordenadas polares Aceleraci´n: o dv ¯ v= ¯ = v = ¨ur + r ur + r θuθ + r θuθ + r θu˙θ ˙ ¯ rˆ ˙ˆ ˙ ˙˙ˆ ¨ˆ ˙ˆ dtJuan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  9. 9. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasCoordenadas polares Aceleraci´n: o dv ¯ v= ¯ = v = ¨ur + r ur + r θuθ + r θuθ + r θu˙θ ˙ ¯ rˆ ˙ˆ ˙ ˙˙ˆ ¨ˆ ˙ˆ dt u˙θ = −θur ˆ ˙ˆJuan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  10. 10. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasCoordenadas polares Aceleraci´n: o dv ¯ v= ¯ = v = ¨ur + r ur + r θuθ + r θuθ + r θu˙θ ˙ ¯ rˆ ˙ˆ ˙ ˙˙ˆ ¨ˆ ˙ˆ dt u˙θ = −θur ˆ ˙ˆ ¯ = ar ur + aθ uθ a ˆ ˆJuan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  11. 11. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasCoordenadas polares Aceleraci´n: o dv ¯ v= ¯ = v = ¨ur + r ur + r θuθ + r θuθ + r θu˙θ ˙ ¯ rˆ ˙ˆ ˙ ˙˙ˆ ¨ˆ ˙ˆ dt u˙θ = −θur ˆ ˙ˆ ¯ = ar ur + aθ uθ a ˆ ˆ ˙2 ¨ r˙ ˆ ¯ = (¨ − r θ )ur + (r θ + 2˙ θ)uθ a r ˆJuan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  12. 12. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasCoordenadas cil´ ındricas r¯ = r ur + z uz p ˆ ˆ ¯ ˙ˆ ˙uθ + z uz v = r ur + r θ ˆ ˙ˆ a r ˙ ˆ 2 ¨ r˙ ˆ ¨ˆ ¯ = (¨ − r θ )ur + (r θ + 2˙ θ)uθ + z uzJuan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  13. 13. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasEjemplo Un juego mec´nico consiste en una silla que gira en una a trayectoria circular horizontal de radio r , de modo que la ˙ velocidad angular y la aceleraci´n angular del brazo QB son θ o ¨ respectivamente. Determine las componentes radial y y θ, transversal de la velocidad y aceleraci´n del pasajero. oJuan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  14. 14. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasEjemplo r es constante.Juan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  15. 15. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasEjemplo r es constante. vr = r = 0 ˙Juan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  16. 16. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasEjemplo r es constante. vr = r = 0 ˙ ˙ vθ = r θJuan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  17. 17. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasEjemplo r es constante. vr = r = 0 ˙ ˙ vθ = r θ ˙ ˙ ar = ¨ − r θ2 = −r θ2 rJuan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  18. 18. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasEjemplo r es constante. vr = r = 0 ˙ ˙ vθ = r θ ˙ ˙ ar = ¨ − r θ2 = −r θ2 r ¨ r˙ aθ = r θ + 2˙ θ = r θ¨Juan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  19. 19. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasEjemplo r es constante. vr = r = 0 ˙ ˙ vθ = r θ ˙ ˙ ar = ¨ − r θ2 = −r θ2 r ¨ r˙ aθ = r θ + 2˙ θ = r θ¨ Los ejes n y t en el movimiento circular son colineales con los ejes r y θ:Juan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  20. 20. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasEjemplo r es constante. vr = r = 0 ˙ ˙ vθ = r θ ˙ ˙ ar = ¨ − r θ2 = −r θ2 r ¨ r˙ aθ = r θ + 2˙ θ = r θ¨ Los ejes n y t en el movimiento circular son colineales con los ejes r y θ: v2 ˙ (r θ)2 − ar = an = = ˙ = r θ2 ρ rJuan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  21. 21. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasEjemplo r es constante. vr = r = 0 ˙ ˙ vθ = r θ ˙ ˙ ar = ¨ − r θ2 = −r θ2 r ¨ r˙ aθ = r θ + 2˙ θ = r θ¨ Los ejes n y t en el movimiento circular son colineales con los ejes r y θ: v2 ˙ (r θ)2 − ar = an = = ˙ = r θ2 ρ r dv d ˙ dr ˙ dθ ˙ aθ = at = = (r θ) = θ + r = 0 + rθ¨ dt dt dt dtJuan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  22. 22. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricas Fr = mar Fθ = maθ Fz = mazJuan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  23. 23. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasProblemas El doble anillo liso de 0.5 kg puede deslizarse libremente sobre el brazo AB y la barra gu´ circular. Si el brazo gira a un velocidad ıa angular constante de θ ˙ = 3rad/s, determine la fuerza que el brazo ejerce sobre el anillo en el instante θ = 45o . El movimiento ocurre en el plano horizontal.Juan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  24. 24. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasProblemas El cilindro C liso de 2 kg tiene un pasador P a trav´s de su centro el e cual pasa por la ranura en el brazo OA. Si se hace que el brazo gire ˙ en el plano vertical a una raz´n constante θ = 0.5rad/s, determine o la fuerza que ejerce el brazo sobre la clavija en el instante θ = 60o .Juan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
  25. 25. Coordenadas cil´ ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´ ındricasProblemas Una lata C de 0.5 kg de masa se mueve a lo largo de una ranura horizontal. La ranura tiene la forma de una espiral, la cual est´ definida por la ecuaci´n r = (0.1θ)m, donde θ est´ en a o a ˙ radianes. Si el brazo OA gira a una velocidad constante θ = 4rad/s en el plano horizontal, determine la fuerza que ejerce en la lata en el instante θ = π rad. Ignore la fricci´n y el tama˜o de la lata. o nJuan Jos´ Reyes Salgado eEcuaciones de movimiento en coordenadas cil´ ındricas.
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