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Integrais multiplas

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  • 1. Integrais Múltiplas © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Capítulo 15
  • 2. INTEGRAIS MÚLTIPLAS Lembremos que geralmente é difícil calcular as integrais de funções de uma variável real diretamente da definição de integral. Mas o Teorema Fundamental do Cálculo fornece um método mais fácil para calculá- las. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 3. INTEGRAIS MÚLTIPLAS O cálculo de integrais duplas pela definição é ainda mais complicado. Porém, nesta seção, veremos como expressar uma integral dupla como uma integral iterada, cujo valor pode ser obtido calculando-se duas integrais unidimensionais. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 4. INTEGRAIS MÚLTIPLAS 15.2 Integrais Iteradas Nesta seção, aprenderemos como: Expressar integrais duplas como integrais iteradas. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 5. INTRODUÇÃO Suponha que f seja uma função de duas variáveis contínua no retângulo R = [a, b] x [c, d]. Usaremos a notação  d c f ( x, y) dy significando que x é mantido fixo e f (x, y) é integrada em relação a y de y = c até y = d. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 6. INTEGRAÇÃO PARCIAL Esse procedimento é chamado integração parcial em relação a y.  Observe a semelhança com a derivada parcial. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 7. INTEGRAÇÃO PARCIAL Como,  d c f ( x, y) dy é um número que depende do valor de x, ele define uma função de x: A( x)   f ( x, y ) dy d c © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 8. INTEGRAÇÃO PARCIAL Equação 1 Se agora integrarmos a função A com relação à variável x de x = a a x = b, obteremos:  b a  f ( x, y ) dy  dx A( x) dx     a  c   b d  A integral do lado direito da Equação 1 é chamada integral iterada. Em geral, os colchetes são omitidos © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 9. INTEGRAL ITERADA Equação 2 Então,  b d a c  d f ( x, y ) dy  dx f ( x, y ) dy dx    a  c   b significa que primeiro integramos com relação a y de c a d e depois em relação a x de a até b. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 10. INTEGRAL ITERADA Da mesma forma, a integral iterada  d b c a f ( x, y ) dy dx    f ( x, y ) dx  dy  c  a   d b significa que:  primeiro integramos com relação a x (fixando y) de x = a a x = b, e em seguida, integramos a função de y resultante com relação a y de y = c a y = d.  Observe que em ambas as Equações, 2 e 3, trabalhamos de dentro para fora. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 11. INTEGRAL ITERADA EXEMPLO 1 Calcule o valor das integrais iteradas: a.  2 b.  3 3 0 1 2 1 0 2 x y dy dx 2 x y dx dy © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 12. INTEGRAL ITERADA EXEMPLO 1a Olhando x como constante, obtemos  2 1 y 2  2y  x y dy   x   2  y 1 2 2  22  2  12  2  x   x    2 2 3 2 2x © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 13. INTEGRAL ITERADA EXEMPLO 1a Portanto, a função A da discussão precedente é dada por A( x)  x 3 2 neste exemplo. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 2
  • 14. INTEGRAL ITERADA EXEMPLO 1a Integramos agora essa função de x de 0 até 3:  3 2 0 1  2 x 2 y dy  dx x y dy dx     0  1   3 2  3 3 0 2 27  2 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 3 x  x dx   2 0 3 2
  • 15. INTEGRAL ITERADA EXEMPLO 1b Aqui integraremos primeiro em relação a x:  2 1 3 0 x y dx dy   2 2 1  2 1  2 1  x 2 y dx  dy  0    3 x 3  3 x 3  y  dy  x 0 2 y  27 9 y dy  9   2 1 2 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 2
  • 16. INTEGRAL ITERADA Observe que no Exemplo 1 obtemos a mesma resposta se integramos primeiro em relação a y ou a x. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 17. INTEGRAL ITERADA Em geral acontece (ver o Teorema 4) de as duas integrais iteradas das Equações 2 e 3 serem sempre iguais, ou seja, a ordem da integração não é importante.  Isso é semelhante ao Teorema de Clairaut sobre as igualdades das derivadas parciais mistas. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 18. INTEGRAL ITERADA O seguinte teorema fornece um método prático para calcular uma integral dupla, expressando-a como uma integral iterada (em qualquer ordem). © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 19. TEOREMA DE FUBINI Teorema 4 Se f for contínua no retângulo R = {(x, y) |a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d então  f ( x, y) dA    b R d a c  d c © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.  b a f ( x, y ) dy dx f ( x, y ) dx dy
  • 20. TEOREMA DE FUBINI Teorema 4 De modo mais geral, esse resultado vale se supusermos que:  f seja limitada em R;  f tenha descontinuidades apenas em um número finito de curvas lisas;  que a integral iterada exista. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 21. TEOREMA DE FUBINI O Teorema 4 tem o nome do matemático italiano Guido Fubini (1879 -1943), que demonstrou uma versão geral desse teorema em 1907.  Mas a versão para as funções contínuas era conhecida pelo menos um século antes pelo matemático francês Augustin-Louis Cauchy. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 22. TEOREMA DE FUBINI A demonstração do Teorema de Fubini foge ao escopo deste livro, mas podemos ao menos fornecer uma justificativa razoável de sua validade quando f(x, y) ≥ 0. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 23. TEOREMA DE FUBINI Lembremos que, se f é positiva, podemos interpretar a integral dupla  f ( x, y) dA R como o volume V do sólido que está acima de R e abaixo da superfície z = f(x, y). © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 24. TEOREMA DE FUBINI Contudo, temos outra fórmula usada para calcular volume, vista no Capítulo 6, no Volume I, que é V   A( x) dx b a onde A(x) é a área da secção transversal de S no plano que passa por x perpendicularmente ao eixo x. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 25. TEOREMA DE FUBINI Da figura podemos ver que A(x) é a área debaixo da curva C cuja equação é z = f(x, y) onde x é mantido constante e c ≤ y ≤ d. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 26. TEOREMA DE FUBINI Portanto, A( x)   f ( x, y ) dy d c e temos  f ( x, y) dA  V   b  b a R a © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. A( x) dx  d c f ( x, y ) dy dx
  • 27. TEOREMA DE FUBINI Uma argumentação semelhante, usando a secção transversal perpendicular ao eixo y d b f ( x, y) dA  f ( x, y) dx dy mostra que  R © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.  c a
  • 28. TEOREMA DE FUBINI EXEMPLO 2 Calcule a integral dupla  ( x  3 y ) dA 2 R onde R = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}  Compare com o Exemplo 3 da Seção 15.1. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 29. EX. 2 – Sol. 1 TEOREMA DE FUBINI Pelo Teorema de Fubini, temos: ( x  3 y ) dA    2  2 0 R  2 0 2 1 ( x  3 y 2 ) dy dx y 2  xy  y 3  dx   y 1 2  x   ( x  7) dx   7 x  0 2 0 2  12 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 2
  • 30. EX. 2 – Sol. 2 TEOREMA DE FUBINI Aplicando o Teorema de Fubini, mas dessa vez integrando com relação a x primeiro:  ( x  3 y ) dA    2 2 1 2 0 ( x  3 y ) dx dy 2 R  2 1 x2 x 2  2  3xy  dy   x 0 2 2   (2  6 y 2 ) dy  2 y  2 y 3  1 1   12 2 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 31. TEOREMA DE FUBINI Observe a resposta negativa no Exemplo 2; não há nada errado com isso. A função f no exemplo não é positiva, e a integral não representa um volume. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 32. TEOREMA DE FUBINI Da figura vemos que, se f for sempre negativa em R, o valor da integral é menos o volume que está acima do gráfico de f e abaixo de R. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 33. INTEGRAIS ITERADAS Calcule onde R = [1, 2] x [0,  ] © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. EXEMPLO 3
  • 34. INTEGRAIS ITERADAS EX. 3 – Sol. 1 Se integrarmos primeiro em relação a x, obteremos © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 35. INTEGRAIS ITERADAS EX. 3 – Sol. 2 Se invertermos a ordem de integração, obteremos © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 36. INTEGRAIS ITERADAS EX. 3 – Sol. 2 Para calcular a integral interna, usamos a integração por partes com © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 37. INTEGRAIS ITERADAS Então, © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. EX. 3 – Sol. 2
  • 38. INTEGRAIS ITERADAS EX. 3 – Sol. 2 Se agora integrarmos o primeiro termo por partes com u = –1/x e dv =  cos  x dx, obteremos: du = dx/x2 v = sen  x e © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 39. INTEGRAIS ITERADAS Portanto, Assim, © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. EX. 3 – Sol. 2
  • 40. INTEGRAIS ITERADAS No Exemplo 2, as soluções 1 e 2 são igualmente simples, mas no Exemplo 3 a primeira solução é muito mais simples que a segunda.  Portanto, ao calcular uma integral dupla, é recomendável escolher a ordem de integração que forneça integrais mais simples. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 41. INTEGRAIS ITERADAS EXEMPLO 4 Determine o volume do sólido S que é delimitado :  pelo paraboloide elíptico x2 + 2y2 + z = 16  pelos planos x = 2 e y = 2  pelos três planos coordenados. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 42. INTEGRAIS ITERADAS EXEMPLO 4 Observemos primeiro que S é o sólido que está  abaixo da superfície z = 16 – x2 – 2y2  acima do quadrado R = [0, 2] x [0, 2]. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 43. INTEGRAIS ITERADAS EXEMPLO 4 Esse sólido foi considerado no Exemplo 1 da Seção 15.1, mas agora temos condições de calcular a integral dupla, usando o Teorema de Fubini. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 44. INTEGRAIS ITERADAS Portanto, EXEMPLO 4 V   (16  x  2 y ) dA 2 2 R  2 0  2 0 (16  x  2 y ) dx d y 2 2 x2   16 x  x  2 y x  dy  x 0 0  2  2 0 3 1 3  88 3 2  4 y  dy 2 3 2   y  y  0  48   88 3 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 4 3
  • 45. INTEGRAIS ITERADAS No caso especial em que f (x, y) pode ser fatorado como o produto de uma função só de x por uma função só de y, a integral dupla de f pode ser escrita de forma particularmente simples. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 46. INTEGRAIS ITERADAS Para sermos específicos, suponha que:  f(x, y) = g(x)h(y)  R = [a, b] x [c, d] © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 47. INTEGRAIS ITERADAS Então, o Teorema de Fubini nos dá:  f ( x, y) dA    d b c a g ( x)h( y) dx dy R     g ( x)h( y ) dx  dy  c  a   d © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. b
  • 48. INTEGRAIS ITERADAS Na integral interna, y é uma constante, então h(y) é uma constante e podemos escrever:  d c  g ( x)h( y ) dx  dy  c  a    b d  h( y )    b a  g ( x) dx  dy     g ( x) dx  h( y ) dy b a já que  b a d c g ( x) dx é uma constante. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 49. INTEGRAIS ITERADAS Equação 5 Portanto, nesse caso, a integral dupla de f pode ser escrita como o produto de duas integrais unidimensionais: g ( x)h( y ) dA   g ( x) dx  h( y ) dy  b d a c R onde R = [a, b] x [c, d] © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 50. INTEGRAIS ITERADAS Equação 5 Se R = [0,  /2] x [0,  /2], então, pela Equação 5, © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 51. INTEGRAIS ITERADAS A função f(x, y) = sen x cos y do Exemplo 5 é positiva em R; assim, a integral representa o volume do sólido que está entre o gráfico de f e R. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 52. INTEGRAIS MÚLTIPLAS 15.3 Integrais Duplas sobre Regiões Gerais Nesta seção, nós aprenderemos: Como usar integrais duplas para encontrar as áreas das regiões de formas diferentes. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 53. INTEGRAIS DE UMA VARIÁVEL Para as integrais de funções de uma variável real, a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 54. INTEGRAIS DUPLAS Porém, para integrais duplas, queremos integrar a função f não somente sobre retângulos, como também sobre uma região D de forma mais geral, como a ilustrada. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 55. INTEGRAIS DUPLAS Vamos supor que D seja uma região limitada.  O que significa que D está contida em uma região retangular R como na figura. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 56. INTEGRAIS DUPLAS Equação 1 Definimos então uma nova função F, com domínio R, por © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 57. INTEGRAIS DUPLAS Definição 2 Se F for integrável em R, então definimos a integral dupla de f em D por  f ( x, y) dA   F ( x, y) dA D R onde F é dada pela Equação 1. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 58. INTEGRAIS DUPLAS A Definição 2 faz sentido porque R é um retângulo e, portanto,  F ( x, y) dA R já foi definida na Seção 15.1. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 59. INTEGRAIS DUPLAS O procedimento usado é razoável, pois os valores de F(x, y) são 0 quando (x, y) está fora da região D e dessa forma não contribuem para o valor da integral.  Isso significa que não importa qual o retângulo R tomado, desde que contenha D. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 60. INTEGRAIS DUPLAS No caso em que f(x, y) ≥ 0, podemos ainda interpretar  f ( x, y) dA D como o volume do sólido que está acima de D e abaixo da superfície z = f(x, y) (o gráfico de f ). © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 61. INTEGRAIS DUPLAS Você pode constatar que isso é razoável comparando os gráficos de f e F nas figuras e lembrando que  F ( x, y) dA é o volume R abaixo do gráfico de F. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 62. INTEGRAIS DUPLAS Esta figura mostra também que F provavelmente tem descontinuidades nos pontos de fronteira de D. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 63. INTEGRAIS DUPLAS Apesar disso, se f for contínua em D e se a curva fronteira de D for “comportada” (em um sentido que está fora do escopo deste livro), então pode ser mostrado que F ( x, y ) dA  existe e, portanto,  R f ( x, y) dA existe. D  Em particular, esse é o caso para os tipos de regiões listados a seguir. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 64. REGIÕES DO TIPO 1 Uma região plana D é dita do tipo I se for a região entre o gráfico de duas funções contínuas de x, ou seja, D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} onde g1 e g2 são contínuas em [a, b]. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 65. REGIÕES DO TIPO 1 Alguns exemplos de regiões do tipo I estão mostrados. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 66. REGIÕES DO TIPO 1 Para calcular  f ( x, y) dA quando D é do D tipo I, escolhemos um retângulo R = [a, b] x [c, d] que contenha D e consideramos a função F definida na Equação 1; © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 67. REGIÕES DO TIPO 1 Ou seja, F coincide com f em D e F é 0 fora da região D. Então, pelo Teorema de Fubini,  f ( x, y) dA   F ( x, y) dA D R  b a © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.  d c F ( x, y ) dy dx
  • 68. REGIÕES DO TIPO 1 Observe que F(x, y) = 0 se y < g1(x) ou y > g2(x) porque (x, y) nessas condições está fora da região D. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 69. REGIÕES DO TIPO 1 Assim,  c F ( x, y ) dy   g2 ( x )  d g2 ( x ) g1 ( x ) g1 ( x ) F ( x, y ) dy f ( x, y ) dy porque F(x, y) = f(x, y) quando g1(x) ≤ y ≤ g2(x). © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 70. REGIÕES DO TIPO 1 Portanto, temos a seguinte fórmula, que nos permite calcular a integral dupla como uma integral iterada. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 71. REGIÕES DO TIPO 1 Equação 3 Se f é contínua em uma região D do tipo I tal que D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} então  D f ( x, y) dA   © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. b a  g2 ( x ) g1 ( x ) f ( x, y) dy dx
  • 72. REGIÕES DO TIPO 1 A integral do lado direito de (3) é uma integral iterada semelhante às consideradas na seção anterior, exceto que na integral de dentro consideramos x constante não só em f (x, y), mas também nos limites de integração g1(x) e g2(x). © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 73. REGIÕES DO TIPO 2 Equação 4 Consideraremos também regiões planas do tipo II, que podem ser expressas como D = {(x, y) | c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)} onde h1 e h2 são contínuas. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 74. REGIÕES DO TIPO 2 Dois exemplos de região do tipo II estão ilustrados. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 75. REGIÕES DO TIPO 2 Equação 5 Utilizando o mesmo método que usamos para estabelecer (3), podemos mostrar que  f ( x, y) dA   d h2 ( y ) c h1 ( y ) D f ( x, y ) dx dy onde D é uma região do tipo II dada pela Equação 4. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 76. REGIÕES DO TIPO 2 EXEMPLO 1 Calcule  ( x  2 y) dA D onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 77. REGIÕES DO TIPO 2 EXEMPLO 1 As parábolas se interceptam quando 2x2 = 1 + x2, ou seja, x2 = 1.  Logo, x = ±1. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 78. REGIÕES DO TIPO 2 EXEMPLO 1 Observamos que a região D, ilustrada na figura, é uma região do tipo I, mas não do tipo II, e podemos escrever que: D = {(x, y) | –1 ≤ x ≤ 1, 2x2 ≤ y ≤ 1 + x2} © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 79. REGIÕES DO TIPO 2 EXEMPLO 1 Como a fronteira de baixo é y = 2x2 e a de cima é y = 1 + x2, a Equação 3 leva ao resultado que segue. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 80. REGIÕES DO TIPO 2 EXEMPLO 1  ( x  2 y) dA D  1  1 x 2 1 2 x 2 ( x  2 y ) dy dx   [ xy  y ] 1 2 y 1 x 2 y  2 x2 1 dx   [ x(1  x 2 )  (1  x 2 ) 2  x(2 x 2 )  (2 x 2 ) 2 ] dx 1 1   (3 x 4  x3  2 x 2  x  1) dx 1 1 1 x x x x 32   3   2   x   5 4 3 2  1 15 5 4 3 2 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 81. OBSERVAÇÃO Quando escrevemos uma integral dupla como no Exemplo 1, é essencial desenhar um diagrama.  Frequentemente é útil desenhar uma seta vertical. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 82. OBSERVAÇÃO Assim, os limites de integração da integral de dentro podem ser lidos do diagrama desta forma:  a seta começa na fronteira de baixo y = g1(x), que fornece o extremo inferior da integral.  a seta termina na fronteira de cima y = g2(x), que dá o extremo superior de integração. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 83. OBSERVAÇÃO Para uma região do tipo II, a seta é desenhada horizontalmente da fronteira esquerda para a fronteira direita. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 84. REGIÕES DO TIPO 1 EXEMPLO 2 Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z = x2 + y2 e acima da região D do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 85. REGIÕES DO TIPO 1 EX. 2 – Sol. 1 Da figura vemos que D é uma região do tipo I e D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 2x}  Portanto, o volume abaixo de z = x2 + y2 e acima de D é calculado como a seguir. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 86. EX. 2 – Sol. 1 REGIÕES DO TIPO 1 V   ( x  y ) dA 2 2 D  2 0  2 0  2x x 2 ( x  y ) dy dx 2 2 y 2 x y   2  x y  3  2 dx   yx 3 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 87. EX. 2 – Sol. 1 REGIÕES DO TIPO 1 (2 x) (x )   2 2 2    x (2 x)  x x   dx 0 3 3   6 3 2 x 14 x  4     x   dx 0 3   3 3 2 2 x x 7x      21 5 6 0 216  35 7 5 4 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 2 3
  • 88. REGIÕES DO TIPO 2 EX. 2 – Sol. 2 Da figura, vemos que D pode ser descrita como uma região do tipo II: D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 4, ½y ≤ x ≤  Logo, segue outra expressão para V. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. y
  • 89. EX. 2 – Sol. 2 REGIÕES DO TIPO 2 V   ( x  y ) dA   2 4 2 0 D  4 0  y 1 2 ( x 2  y 2 ) dx dy x y x 2   3  y x  1 dy   x 2 y 3 y y  y 5/ 2    y    dy 0 24 2   3 3/ 2 4  2 15 y © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 5/ 2 3  y 2 7 7/2  13 96 3 4 y 0   4 216 35
  • 90. INTEGRAIS DUPLAS Aqui mostramos o sólido cujo volume é calculado no Exemplo 2. Ele está:  acima do plano xy;  abaixo do paraboloide z = x2 + y2;  entre o plano y = 2x e o cilindro parabólico y = x2. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 91. INTEGRAIS DUPLAS EXEMPLO 3 Calcule xy dA  D onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 92. REGIÕES TIPO 1 & 2 EXEMPLO 3 A região D está representada.  Novamente, D pode ser vista tanto como uma região do tipo I como uma região do tipo II. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 93. REGIÕES TIPO 1 & 2 EXEMPLO 3 Mas, a descrição de D como região do tipo I é mais complicada, porque a fronteira inferior é constituída de duas partes. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 94. REGIÕES TIPO 1 & 2 EXEMPLO 3 Portanto preferimos expressar D como uma região do tipo II: D = {(x, y) | –2 ≤ y ≤ 4, 1/2y2 – 3 ≤ x ≤ y + 1}  Assim, (5) fornece o resultado a seguir. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 95. REGIÕES TIPO 1 & 2 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. EXEMPLO 3
  • 96. REGIÕES TIPO 1 & 2 EXEMPLO 3 Se tivéssemos expressado D como uma região do tipo I, obteríamos: 1 2 x6 3  2 x6  xydA    D xy dy dx    mas isso daria muito mais trabalho que o outro método. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 5  2 x6 1 x 1 xy dy dx
  • 97. INTEGRAIS DUPLAS EXEMPLO 4 Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2 x = 2y x=0 z=0 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 98. INTEGRAIS DUPLAS EXEMPLO 4 Em uma questão como essa, é prudente desenhar dois diagramas:  um do sólido tridimensional;  outro da região plana D sobre a qual o sólido se encontra. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 99. INTEGRAIS DUPLAS EXEMPLO 4 A figura mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x = 0, z = 0, pelo plano vertical x = 2y, e pelo plano x + 2y + z = 2. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 100. INTEGRAIS DUPLAS EXEMPLO 4 Como x + 2y + z = 0 intercepta o plano xy (cuja equação é z = 0) na reta x + 2y = 2, vemos que:  T está acima da região triangular D no plano xy limitado pelas retas x = 2y, x + 2y = 2 e x = 0. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 101. INTEGRAIS DUPLAS EXEMPLO 4 O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 – x – 2y, de modo que o volume pedido está sob o gráfico da função z = 2 – x – 2y e acima de D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, x/2 ≤ y ≤ 1 – x/2} © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 102. INTEGRAIS DUPLAS EXEMPLO 4 Portanto, V   (2  x  y ) dA D  1 1 x / 2 0  x/2 (2  x  2 y ) dy dx y 1 x / 2    2 y  xy  y  y  x / 2 dx  0 1 2 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 103. INTEGRAIS DUPLAS EXEMPLO 4  x  x x2 x2  1   1    2  x  x      x    dx 0 2 4  2  2  2 1    x  2 x  1 dx 1 2 0 1 x  2   x  x 3 0 3 1  3 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 104. INTEGRAIS DUPLAS EXEMPLO 5 Calcule a integral iterada  Se tentarmos calcular a integral na forma pela qual ela se apresenta, teremos inicialmente de resolver o problema de calcular  sen(y²)dy.  Mas isso é impossível de fazer em termos finitos, uma vez que  sen(y²)dy não é uma função elementar (veja o final da Seção 7.5, no Volume I). © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 105. INTEGRAIS DUPLAS EXEMPLO 5 Precisamos então mudar a ordem de integração, o que pode ser conseguido escrevendo-se inicialmente a integral iterada dada como uma integral dupla. Usando (3) na ordem inversa, temos onde D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1} © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 106. INTEGRAIS DUPLAS EXEMPLO 5 Esboçamos essa região D na figura. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 107. INTEGRAIS DUPLAS EXEMPLO 5 Então, desta figura, vemos que um modo alternativo de descrever D é D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}  Isso nos permite usar (5) para exprimir a integral dupla como uma integral iterada na ordem reversa, como segue. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 108. INTEGRAIS DUPLAS © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. EXEMPLO 5
  • 109. PROPRIEDADES DE INTEGRAIS DUPLAS Suponha que todas as seguintes integrais existam.  As primeiras três propriedades das integrais duplas sobre uma região D seguem imediatamente da Definição 2 e das Propriedades 7, 8 e 9 da Seção 15.1. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 110. PROPRIEDADES 6 E 7   f  x, y   g  x, y  dA D   f  x, y  dA   g  x, y  dA D D  cf  x, y  dA  c  f  x, y  dA D © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. D
  • 111. PROPRIEDADE 8 Se f(x, y) ≥ g(x, y) para todo (x, y) em D, então  f ( x, y) dA   g ( x, y) dA D © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. D
  • 112. PROPRIEDADES A próxima propriedade de integral dupla é semelhante à propriedade de integral de uma função de uma variável real, dada pela equação  b a f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx c b a c © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 113. PROPRIEDADE 9 Se D = D1  D2, onde D1 e D2 não se sobrepõem exceto talvez nas fronteiras, então  f  x, y  dA   f  x, y  dA   f  x, y  dA D D1 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. D2
  • 114. PROPRIEDADE 9 A Propriedade 9 pode ser usada para calcular integrais duplas sobre regiões D que não sejam nem do tipo I nem do tipo II. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 115. PROPRIEDADE 10 Equação 10 A próxima propriedade de integrais diz que, se integrarmos a função constante f(x, y) = 1 sobre uma região D, obteremos a área de D: 1dA  A  D  D © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 116. PROPRIEDADE 10 A figura ilustra por que a Equação 10 é verdadeira:  um cilindro sólido, cuja base é D e altura 1, tem volume A(D) . 1 = A(D).  Mas, sabemos que também podemos escrever seu volume como 1 dA .  D © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 117. PROPRIEDADE 11 Finalmente, podemos combinar as Propriedades 7, 8 e 10 para demonstrar a seguinte propriedade (veja o Exercício 57): Se m ≤ f(x, y) ≤ M para todo (x, y) em D, então mA( D)   f  x, y  dA  MA  D  D © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 118. PROPRIEDADE 11 EXEMPLO 6 Utilize a Propriedade 11 para estimar a integral D e sen x cos y dA onde D é o disco com centro na origem e raio 2. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 119. PROPRIEDADE 11 EXEMPLO 6 Como –1 ≤ sen x ≤ 1 e –1 ≤ cos y ≤ 1, we have –1 ≤ sin x cos y ≤ 1. Portanto, e–1 ≤ e sen x cos y ≤ e1 = e © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 120. PROPRIEDADE 11 EXEMPLO 6 Assim, usando m = e–1 = 1/e, M = e, e A(D) =  (2)2 na Propriedade 11, obtemos: © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 121. INTEGRAIS MÚLTIPLAS 15.6 Integrais Triplas Nesta seção, aprenderemos sobre: Integrais triplas e suas aplicações. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 122. INTEGRAIS TRIPLAS Assim como definimos integrais unidimensionais para funções de uma única variável e duplas para funções de duas variáveis, vamos definir integrais triplas para funções de três variáveis. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 123. INTEGRAIS TRIPLAS Equação 1 Inicialmente, trataremos o caso mais simples, quando f é definida em uma caixa retangular: B   x, y, z  a  x  b, c  y  d , r  z  s © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 124. INTEGRAIS TRIPLAS O primeiro passo é dividir B em subcaixas. Fazemos isso dividindo:  o intervalo [a, b] em l subintervalos [xi-1, xi] de comprimentos iguais Δx.  [c, d] em m subintervalos de comprimentos Δy.  [r, s] em n subintervalos de comprimento Δz. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 125. INTEGRAIS TRIPLAS Os planos que passam pelas extremidades desses subintervalos, paralelos aos planos coordenados, subdividem a caixa B em lmn subcaixas Bijk   xi 1 , xi    y j 1 , y j    zk 1 , zk    © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 126. INTEGRAIS TRIPLAS Equação 2 Cada subcaixa tem volume ΔV = Δx Δy Δz. Assim formamos a soma tripla de Riemann  f  x l m n i 1 j 1 k 1 * ijk * ijk * ijk , y ,z   V  * * * onde o ponto amostral xijk , yijk , zijk está em Bijk. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 127. INTEGRAIS TRIPLAS Por analogia com a definição da integral dupla (15.1.5), definimos a integral tripla como o limite das somas triplas de Riemann em (2). © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 128. INTEGRAIS TRIPLAS Definição 3 A integral tripla de f na caixa B é  f  x, y, z  dV B  lim l , m , n   f  x l m n i 1 j 1 k 1 * ijk * ijk * ijk ,y ,z  V se o limite existir.  Novamente, a integral tripla sempre existe se f for contínua. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 129. INTEGRAIS TRIPLAS Escolhemos o ponto amostral como qualquer ponto de cada subcaixa, mas, se escolhermos o ponto (xi, yj, zk), obteremos uma expressão com aparência menos complicada para a integral tripla:  f  x, y, z  dV  B  f  x , y , z  V l lim l , m , n  © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. m n i 1 j 1 k 1 i j k
  • 130. INTEGRAIS TRIPLAS Assim como para as integrais duplas, o método prático para calcular uma integral tripla consiste em expressá-la como uma integral iterada, como segue. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 131. TEOREMA DE FUBINI (INTEGRAIS TRIPLAS) Se f é contínua em uma caixa retangular B = [a, b] x [c, d] x [r, s], então f  x, y, z  dV  B  s r   f  x, y, z  dx dy dz d b c a © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. T. 4
  • 132. TEOREMA DE FUBINI (INTEGRAIS TRIPLAS) A integral iterada do lado direito do Teorema de Fubini indica que integramos na seguinte ordem: 1. em relação a x (mantendo y e z fixados); 2. em relação a y (mantendo z fixado); 3. em relação a z. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 133. TEOREMA DE FUBINI (INTEGRAIS TRIPLAS) Existem cinco outras ordens possíveis de integração, todas fornecendo o mesmo resultado.  Por exemplo, se primeiro integrarmos em relação a y, então em relação a z e depois a x, teremos:  f  x, y, z  dV B  b a   f  x, y, z  dy dz dx s d r c © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 134. TEOREMA DE FUBINI (INTEGRAIS TRIPLAS) Calcule a integral tripla EX. 1  xyz dV 2 B onde B é a caixa retangular dada por B   x, y, z  0  x  1,  1  y  2, 0  z  3 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 135. TEOREMA DE FUBINI (INTEGRAIS TRIPLAS) EX. 1 Podemos usar qualquer uma das seis possíveis ordens de integração. Se escolhermos integrar primeiro em relação a x, depois em relação a y e então em relação a z, obteremos o seguinte resultado. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 136. TEOREMA DE FUBINI (INTEGRAIS TRIPLAS)  xyz dV   2 B 3 0   2 1 1 0 EX. 1 xyz 2 dx dy dz x 1  x yz      dy dz 0 1  2  x 0 2 3 2 yz   dy dz 0 1 2 3 2 2 2 y 1 3 3 3z y z  z  27    dz  0 4 dz  4   4 0  4  y 1 0 3 2 2 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 2 3
  • 137. INTEGRAL SOBRE UMA REGIÃO LIMITADA Agora definiremos a integral tripla sobre uma região limitada geral E no espaço tridimensional (um sólido) pelo mesmo método usado para as integrais duplas (15.3.2). © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 138. INTEGRAL SOBRE UMA REGIÃO LIMITADA Envolveremos E por uma caixa B do tipo dado pela Equação 1. Em seguida, definiremos uma função F de modo que ela coincida com f em E e seja 0 nos pontos de B fora de E. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 139. INTEGRAL SOBRE UMA REGIÃO LIMITADA Por definição,  E f  x, y, z  dV   F  x, y, z  dV B  Essa integral existe se f for contínua e se a fronteira de E for “razoavelmente lisa”.  A integral tripla tem essencialmente as mesmas propriedades da integral dupla (Propriedades 6-9 da Seção 15.3). © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 140. INTEGRAL SOBRE UMA REGIÃO LIMITADA Vamos nos restringir às funções contínuas f e a certos tipos de regiões.  Uma região sólida E é dita do tipo 1 se está contida entre os gráficos de duas funções contínuas de x e y. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 141. REGIÃO TIPO 1 Equação 5 Ou seja,   E   x, y, z   x, y   D, u1  x, y   z  u2  x, y  onde D é a projeção de E sobre o plano xy. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 142. REGIÃO TIPO 1 Observe que:  a fronteira superior do sólido E é a superfície de equação z = u2(x, y).  a fronteira inferior é a superfície z = u1(x, y). © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 143. REGIÃO TIPO 1 Fórmula 6 Pelos mesmos argumentos que nos levaram à Fórmula 15.3.3, podemos mostrar que, se E é uma região do tipo 1 dada pela Equação 5, então  E u2  x , y  f  x, y, z  dV     f  x, y, z  dz  dA  u1  x , y     D © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 144. REGIÃO TIPO 1 O significado da integral de dentro do lado direito da Equação 6 é que x e y são mantidos fixos e, assim,  u1(x, y) e u2(x, y) são vistas como constantes.  f(x, y, z) é integrada em relação a z. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 145. REGIÃO TIPO 1 Em particular, se a projeção D de E sobre o plano xy é uma região plana do tipo I, então E  x, y, z  a  x  b, g ( x)  y  g ( x), u ( x, y)  z  u ( x, y) 1 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 2 1 2
  • 146. REGIÃO TIPO 1 Equação 7 A Equação 6 fica: f  x, y, z  dV  E  b a  g2 ( x ) g1 ( x )  u2 ( x , y ) u1 ( x , y ) © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. f  x, y, z  dz dy dx
  • 147. REGIÃO TIPO 1 Se, por outro lado, D é uma região plana do tipo II, então E  x, y, z  c  y  d , h ( y)  x  h ( y), u ( x, y)  z  u ( x, y) 1 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 2 1 2
  • 148. REGIÃO TIPO 1 Equação 8 Então, a Equação 6 fica  f  x, y, z  dV E  d c  h2 ( y ) h1 ( y )  u2 ( x , y ) u1 ( x , y ) © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. f  x, y, z  dz dx dy
  • 149. REGIÃO TIPO 1 Calcule EXEMPLO 2  z dV E onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 150. REGIÃO TIPO 1 EXEMPLO 2 Para escrevermos a integral tripla, é recomendável desenhar dois diagramas:  um da região sólida E;  outro de sua projeção D no plano xy. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 151. REGIÃO TIPO 1 EXEMPLO 2 A fronteira inferior do tetraedro é o plano z = 0 e a superior é o plano x + y + z = 1 (ou z = 1 – x – y).  Então, usamos u1(x, y) = 0 e u2(x, y) = 1 – x – y na Fórmula 7. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 152. REGIÃO TIPO 1 EXEMPLO 2 Observe que os planos x + y + z = 1 e z = 0 se interceptam na reta x + y = 1 (ou y = 1 – x) no plano xy.  Logo, a projeção de E é a região triangular da figura, e o temos como segue. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 153. REGIÃO TIPO 1 EXEMPLO 2 – Eq. 9 E  x, y, z  0  x  1,0  y  1  x,0  z  1  x  y  Essa descrição de E como região do tipo 1 nos permite calcular a integral como segue. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 154. REGIÃO TIPO 1 1 1 x 1 x  y 0 0 0  z dV     E EXEMPLO 2 z dz dy dx   1 1 x  0 0 1 2 z 1 x  y z  2   z 0 2 dy dx 2 1 1 x  1  x  y  dy dx 0 0  1  x  y   1   2 0 3   1  1 6  1  x  1 3 0 1  1  x    6 4  © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 3 y 1 x  dx   y 0  dx 4 1  1    0 24 
  • 155. REGIÃO TIPO 2 Uma região sólida E é do tipo 2 se for da forma   E   x, y, z   y, z   D, u1 ( y, z )  x  u2 ( y, z ) onde D é a projeção de E sobre o plano yz. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 156. REGIÃO TIPO 2 Equação 10 A superfície de trás é x = u1(y, z). A superfície da frente é x = u2(y, z). Assim, temos:  f  x, y, z  dV E     f  x, y, z  dx  dA  u1 ( y , z )    D u2 ( y , z ) © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 157. REGIÃO TIPO 3 Finalmente, uma região do tipo 3 é da forma   E   x, y, z   x, z   D, u1 ( x, z )  y  u2  x, z  onde:  D é a projeção de E sobre o plano xz;  y = u1(x, z) é a superfície da esquerda;  y = u2(x, z) é a superfície da direita. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 158. REGIÃO TIPO 3 Equação 11 Para esse tipo de região, temos:  E f  x, y, z  dV     f  x, y, z  dy  dA  u1 ( x , z )    D © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. u 2( x , z )
  • 159. REGIÕES TIPO 2 & 3 Em cada uma das Equações 10 e 11 podem existir duas possíveis expressões para a integral, dependendo de:  D ser uma região plana do tipo I ou II (e correspondendo às Equações 7 e 8). © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 160. REGIÕES LIMITADAS EXEMPLO 3 Calcule  x  z dV 2 2 E onde E é a região limitada pelo paraboloide y = x2 + z2 e pelo plano y = 4. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 161. REGIÕES TIPO 1 EXEMPLO 3 O sólido E está ilustrado. Se o olharmos como uma região do tipo 1, então precisaremos considerar sua projeção D1 sobre o plano xy. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 162. REGIÕES TIPO 1 Essa é a região parabólica aqui ilustrada.  O corte de y = x2 + z2 no plano z = 0 is é a parábola y = x2 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. EXEMPLO 3
  • 163. REGIÕES TIPO 1 De y = x2 + z2, EXEMPLO 3 obtemos: z  yx  Então, a superfície fronteira de baixo de E é z  yx 2  A superfície de cima é: © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. z  yx 2 2
  • 164. REGIÕES TIPO 1 EXEMPLO 3 Portanto, a descrição de E como região do tipo 1 é E  x, y, z  2  x  2, x 2  y  4,  y  x 2  z  y  x 2  © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 
  • 165. REGIÕES TIPO 1 EXEMPLO 3 Assim, obtemos:  x  y dV 2 2 4   y  x2 2 x  yx E  2 2 x  z dz dy dx 2 2 2  Apesar de essa expressão estar correta, é extremamente difícil calculá-la. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 166. REGIÕES TIPO 3 EXEMPLO 3 Vamos, em vez disso, considerar E como região do tipo 3.  Como tal, sua projeção D3 sobre o plano xz é o disco x2 + z2 ≤ 4. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 167. REGIÕES TIPO 3 EXEMPLO 3 Então, a superfície lateral esquerda de E é o paraboloide y = x2 + z2. A superfície lateral direita é o plano y = 4. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 168. REGIÕES TIPO 3 EXEMPLO 3 Assim, tomando u1(x, z) = x2 + z2 e u2(x, z) = 4 e a Equação 11, temos:  E 2 2  x  y dV    2 2 x  z dy  dA  x z    D 2 4 2 3    4  x  z 2 D3 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 2  x  z dA 2 2
  • 169. REGIÕES TIPO 3 EXEMPLO 3 Apesar de essa integral poder ser escrita como   2 4 x2 2  4  x 2 4  x 2 z 2  x  z dz dx 2 2 fica mais simples convertê-la para coordenadas polares no plano xz: x = r cos θ, z = r sen θ © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 170. REGIÕES TIPO 3 EXEMPLO 3 Isso nos dá:  E x  z dV    4  x  z 2 2 2 2  x  z dA 2 D3   4  r  r r dr d    d   4r  r  dr 2 2 0 0  2 2 2 0 0 2 4 2  4r r  128  2     5 0 15  3 3 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 5 2
  • 171. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS TRIPLAS Lembre-se de que:  Se f(x) ≥ 0, então a integral  b a f ( x) dx representa a área abaixo da curva y = f(x) de a até b.  Se f(x, y) ≥ 0, então a integral dupla  f ( x, y) dA D representa o volume sob a superfície z = f(x, y) acima de D. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 172. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS TRIPLAS A interpretação correspondente para a integral tripla  f ( x, y, z ) dV, onde E f(x, y, z) ≥ 0, não é muito útil.  Isso porque seria um “hipervolume” de um objeto de quatro dimensões e, é claro, de muito difícil visualização.  Lembre-se de que E é somente o domínio da função f; o gráfico de f pertence ao espaço 4-D. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 173. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS TRIPLAS Apesar disso, a integral tripla  f ( x, y, z) dV E pode ser interpretada de forma diversa em diferentes situações físicas, dependendo das interpretações físicas de x, y, z e f(x, y, z).  Vamos começar com o caso especial onde f(x, y, z) = 1 para todos os pontos em E. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 174. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS TRIPLAS Eq. 12 Nesse caso, a integral tripla representa o volume de E: V  E    dV E © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 175. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS TRIPLAS Por exemplo, você pode ver isso no caso de uma região do tipo 1 colocando f(x, y, z) = 1 na Fórmula 6: 1 dV     dz  dA   u1 ( x , y )    E D u2 ( x , y )   u2 ( x, y )  u1 ( x, y )  dA D © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 176. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS TRIPLAS Da Seção 15.3, sabemos que isso representa o volume que está entre as superfícies z = u1(x, y) © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. e z = u2(x, y)
  • 177. APLICAÇÕES EXEMPLO 4 Utilize uma integral tripla para determinar o volume do tetraedro T limitado pelos planos x + 2y + z = 2 x = 2y x=0 z=0 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 178. APLICAÇÕES EXEMPLO 4 O tetraedro T e sua projeção D sobre o plano xy estão ilustrados. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 179. APLICAÇÕES EXEMPLO 4 A fronteira inferior de T é o plano z = 0. A superior é o plano x + 2y + z = 2, ou seja, z = 2 – x – 2y. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 180. APLICAÇÕES EXEMPLO 4 Portanto, temos: V T    dV   1 1 x / 2  1 1 x / 2 0 T  x/2  0 x/2  2 x 2 y 0 dz dy dx  2  x  2 y  dy dx 1 3 pelo mesmo cálculo usado no Exemplo 4 da Seção 15.3. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 181. APLICAÇÕES EXEMPLO 4 Observe que não é necessário usar as integrais triplas para calcular volumes. As integrais triplas simplesmente fornecem um método alternativo para descrever os cálculos. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 182. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 183. INTEGRAIS MÚLTIPLAS 15.9 Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas Nesta seção, aprenderemos sobre: As mudanças de variáveis e integrais duplas e triplas. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 184. TRANSFORMAÇÃO Equação 3 De modo mais geral, consideremos uma mudança de variável dada pela transformação T do plano uv no plano xy: T(u, v) = (x, y) onde x e y estão relacionados com u e v pelas equações: x = g(u, v) y = h(u, v)  ou, como às vezes escrevemos: x = x(u, v), y = y(u, v) © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 185. TRANSFORMAÇÃO DE C1 Em geral, consideramos T uma transformação C1, o que significa que g e h têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 186. TRANSFORMAÇÃO Uma transformação T é de fato somente uma função cujo domínio e imagem são ambos subconjuntos de R². © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 187. TRANSFORMAÇÃO & IMAGEM Se T(u1, v1) = (x1, y1), então o ponto (x1, y1) é denominado imagem do ponto (u1, v1). Se não existem dois pontos com a mesma imagem, T é injetora. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 188. MUDANÇA DE VARIÁVEIS A figura mostra o efeito de uma transformação T em uma região S do plano uv.  T transforma S em uma região R no plano xy denominada imagem de S, constituída das imagens de todos os pontos de S. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 189. TRANSFORMAÇÃO DE INJETORAS Se T é injetora, então existe uma transformação inversa T-1 do plano xy para o plano uv. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 190. TRANSFORMAÇÃO DE INJETORAS Então, pode ser possível inverter as Equações 3 para escrever u e v em termos de x e y: u = G(x, y) v = H(x, y) © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 191. JACOBIANO DE T Definição 7 O jacobiano da transformação T dada por x = g(u, v) e y = h(u, v) é: x  ( x, y ) u   (u, v) y u x v x y x y   y u v v u v © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 192. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA T. 9 Suponha que:  T seja uma transformação C1 cujo jacobiano seja não nulo e leve uma região S do plano uv para uma região R do plano xy.  f seja contínua sobre R e que R e S sejam regiões planas do tipo I ou II.  T seja injetora, exceto possivelmente nos pontos de fronteira de S. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 193. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA T. 9 Então,  f ( x, y ) dA R   S  ( x, y ) f ( x(u, v), y (u, v)) du dv  (u, v) © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 194. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA O Teorema 9 diz que mudamos de uma integral em x e y para uma integral em u e v escrevendo x e y em termos de u e v e escrevendo:  ( x, y ) dA  du dv (u, v) © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 195. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA Como primeira ilustração do Teorema 9, vamos mostrar que a fórmula de integração em coordenadas polares é um caso especial deste. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 196. INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Suponha que queiramos calcular a integral dupla  f ( x, y) dA , onde R é uma das R regiões mostradas na figura. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 197. INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Em qualquer dos casos, a descrição de R é complicada em coordenadas retangulares, mas a descrição de R fica mais fácil utilizando-se coordenadas polares. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 198. INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Lembre-se, a partir desta figura, de que as coordenadas polares (r, θ) de um ponto estão relacionadas com as coordenadas retangulares (x, y) pelas equações r2 = x 2 + y 2 x = r cos θ y = r sen θ © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 199. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA Aqui, a transformação T do plano rθ para o plano xy é dada por x = g(r, θ) = r cos θ y = h(r, θ) = r sen θ © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 200. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA A geometria da transformação é mostrada aqui.  T transforma um retângulo comum do plano rθ em um retângulo polar do plano xy. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 201. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA O jacobiano de T é: © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 202. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA Assim, o Teorema 9 nos leva a: que é o mesmo que a Fórmula 15.4.2. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 203. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA EX. 2 Utilize a mudança de variáveis x = u2 – v2, y = 2uv para calcular a integral onde R é a região delimitada:  y dA R  pelo eixo x;  pelas parábolas y2 = 4 – 4x e y2 = 4 + 4x, y ≥ 0. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 204. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA Veja a figura com a região R. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. EX. 2
  • 205. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA Vamos calcular o jacobiano: x  ( x, y ) u  y  (u, v) u x 2u 2v v  y 2v 2u v 2 2  4u  4v  0 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. EX. 2
  • 206. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA EX. 2 Portanto, pelo Teorema 9,  ( x, y )  y dA   2uv (u, v) dA R S    8  (u v  uv ) du dv  8  u v  u v  dv     (2v  4v ) dv  v  v  1 1 0 0 (2uv)4(u 2  v 2 ) du dv 1 1 3 3 0 0 1 0 1 4 4 1 0 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 1 2 3 2 3 u 1 u 0 2 4 1  2 0
  • 207. MUDANÇA PARA COORD. POLAR Calcule EXEMPLO 1  (3x  4 y ) dA 2 R onde R é a região no semiplano superior limitada pelos círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 208. MUDANÇA PARA COORD. POLAR EXEMPLO 1 A região R pode ser descrita como R = {(x, y) | y ≥ 0, 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4} © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 209. MUDANÇA PARA COORD. POLAR EXEMPLO 1 A região R pode ser descrita como R = {(x, y) | y ≥ 0, 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4} É a metade do anel. Em coordenadas polares é dado por 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤  © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 210. MUDANÇA PARA COORD. POLAR Portanto, da Fórmula 2, segue © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. EXEMPLO 1
  • 211. MUDANÇA PARA COORD. POLAR EXEMPLO 2 Determine o volume do sólido limitado pelo :  plano z = 0  Paraboloide z = 1 – x2 – y2 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 212. MUDANÇA PARA COORD. POLAR EXEMPLO 2 Se tomarmos z = 0 na equação do paraboloide, obteremos x2 + y2 = 1.  Isso significa que o plano intercepta o paraboloide no círculo x2 + y2 = 1. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 213. MUDANÇA PARA COORD. POLAR EXEMPLO 2 O sólido está abaixo do paraboloide e acima do disco circular D dado por x2 + y2 ≤ 1. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 214. MUDANÇA PARA COORD. POLAR EXEMPLO 2 Em coordenadas polares, D é dado por 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2.  Como 1 – x2 – y2 = 1 – r2, o volume é: V   (1  x  y ) dA   2 2 2 0 D  (1  r 1 2 0 2 1 0 ) r dr d 0   d  (r  r ) dr 3 1 r r    2      2 4 0 2 2 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 4
  • 215. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA EX. 3 Calcule a integral  R e ( x  y ) /( x  y ) dA onde R é a região trapezoidal com vértices (1, 0), (2, 0), (0, –2), (0,–1) © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 216. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA EX. 3 Eq.10 Como não é fácil integrar e(x+y)/(x–y, vamos fazer a mudança de variáveis sugerida pela forma da função: u=x+y v=x–y  Essas equações definem a transformação T–1 do plano xy para o plano uv. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 217. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA EX. 3 Eq.11 O Teorema 9 diz respeito à transformação T do plano uv para o plano xy. Esta é obtida isolando-se x e y nas Equações 10: x = ½(u + v) y = ½(u – v) © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 218. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA EX. 3 O jacobiano de T é x  ( x, y ) u  y  (u, v) u x v  y v © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
  • 219. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA EX. 3 Para determinar a região S do plano uv correspondente a R, observamos que:  os lados de R estão sobre as retas y=0 x–y=2 x=0 x–y=1  e, das Equações 10 ou 11, as retas imagem do plano uv são: u=v v=2 u = –v v=1 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 220. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA Então, a região S é a região trapezoidal com vértices (1, 1), (2, 2), (–2, 2), (–1 ,1) © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. EX. 3
  • 221. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA Como S = {(u, v) | 1 ≤ v ≤ 2, –v ≤ u ≤ v} © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. EX. 3
  • 222. MUDANÇA DE VARIÁVEIS DE UMA INT. DUPLA EX. 3 O Teorema 9 leva a e  R ( x  y ) /( x  y ) dA   e  ( x, y ) du dv  (u, v) u/v S  2  1 2 1    2 1 2 1 1  v v 2 e u/v ve    du dv 1 2 u/v u v   u  v dv 1 1 (e  e )v dv  (e  e ) © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 3 4
  • 223. INTEGRAIS TRIPLAS Existe uma fórmula de mudança de variáveis semelhante para as integrais triplas.  Seja T a transformação que leva uma região S no espaco uvw para uma região R no espaço xyz por meio das equações x = g(u, v, w) y = h(u, v, w) © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. z = k(u, v, w)
  • 224. INTEGRAIS TRIPLAS Equação 12 O jacobiano de T é o seguinte determinante 3 X 3: x u  ( x, y , z ) y   (u, v, w) u z u © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. x v y v z v x w y w z w
  • 225. INTEGRAIS TRIPLAS Fórmula 13 Sob hipóteses semelhantes àquelas do Teorema 9, temos a seguinte fórmula para integrais triplas:  f ( x, y, z ) dV R   f ( x(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)) S  ( x, y , z ) du dv dw  (u, v, w) © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 226. COORDENADAS CILÍNDRICAS No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P no espaço tridimensional é representado pela tripla ordenada (r, θ, z), onde:  r e θ são as coordenadas polares da projeção de P no plano xy;  z é a distância orientada do plano xy a P. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 227. COORDENADAS CILÍNDRICAS Eqs. 1 e 2 Para converter de coordenadas cilíndricas para retangulares, usamos as equações: x = r cos θ y = r sen θ © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. z=z
  • 228. COORDENADAS CILÍNDRICAS © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Eqs. 1 e 2
  • 229. CÁLCULO DE INT. TRIPLAS EM COORD. CILÍNDRICAS Suponha que E seja uma região do tipo 1, cuja projeção D no plano xy tenha uma representação conveniente em coordenadas polares. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 230. CÁLCULO DE INTEGRAIS TRIPLAS Em particular, suponha que f seja contínua e E = {(x, y, z) | (x, y)  D, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)} onde D é dado em coordenadas polares por D = {(r, θ) | α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)} © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 231. CÁLCULO DE INTEGRAIS TRIPLAS Logo,  Equação 3 f ( x, y, z ) dV E     f  x, y, z  dz  dA  u1 ( x , y )  D u2 ( x , y ) Mais precisamente, a fórmula para a integração tripla em coordenadas cilíndricas é © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 232. INTEGRAIS TRIPLAS EM COORD. CILÍNDRICAS Ela nos diz que convertemos uma integral tripla em coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas:  escrevendo x = r cos θ, y = r sen θ;  deixando z como está;  utilizando os limites apropriados de integração para z, r e θ.  trocando dV por r dz dr dθ. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 233. CÁLCULO DE INTEGRAIS TRIPLAS EXEMPLO 4 Calcule   2 4 x2 2  4  x 2  2 x y 2 2 x © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 2  y  dz dy dx 2
  • 234. CÁLCULO DE INTEGRAIS TRIPLAS EXEMPLO 4 Essa integral iterada é uma integral tripla sobre a região sólida E { x, y, z  | 2  x  2,  4  x 2  y  4  x 2 , x 2  y 2  z  2} e a projeção de E sobre o plano xy é o disco x2 + y2 ≤ 4. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 235. CÁLCULO DE INTEGRAIS TRIPLAS EXEMPLO 4 A superfície inferior de E é o cone z x y 2 A superfície superior é o plano z = 2. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 2
  • 236. CÁLCULO DE INTEGRAIS TRIPLAS EXEMPLO 4 Essa região tem uma descrição muito mais simples em coordenadas cilíndricas: E = {(r, θ, z) | 0 ≤ θ ≤ 2, 0 ≤ r ≤ 2, r ≤ z ≤ 2}  Portanto, temos o resultado que segue. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 237. CÁLCULO DE INTEGRAIS TRIPLAS   2 4 x2 2  4  x 2  2 x y 2 2 x 2  y  dz dy dx 2    x  y  dV   2 EXEMPLO 4 2 2 0 E  2 2 0 r 2 r r dz dr d 2   d  r  2  r  dr 0 0 2 3  2  r  r     16  5 1 2 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 4 1 5 5 2 0
  • 238. COORDENADAS ESFÉRICAS As coordenadas esféricas (ρ, θ, Φ) de um ponto P no espaço são mostradas.  ρ = |OP| é a distância da origem a P.  θ é o mesmo ângulo que nas coordenadas cilíndricas.  Φ é o ângulo entre o eixo z positivo e o segmento de reta OP. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 239. COORDENADAS ESFÉRICAS Observe que: ρ≥0 0≤Φ≤ © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 240. SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS O sistema de coordenadas esféricas é especialmente útil em problemas nos quais exista simetria em torno de um ponto e a origem esteja colocada neste ponto. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 241. ESFERA Por exemplo, a esfera com centro na origem e raio c tem a equação simples ρ = c.  Essa é a razão do nome “coordenadas esféricas”.. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 242. COORDENADAS ESFÉRICAS & RETANGULARES A relação entre coordenadas esféricas e retangulares pode ser vista nesta figura. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 243. COORDENADAS ESFÉRICAS & RETANGULARES Dos triângulos OPQ e OPP’, temos z = ρ cos Φ r = ρ sen Φ  Mas, x = r cos θ y = r sen θ © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 244. COORDENADAS ESFÉRICAS & RETANGULARES Eq.1 De modo que, para converter de coordenadas esféricas para retangulares, usamos as equações x = ρ sen Φ cos θ y = ρ sen Φ sen θ z = ρ cos Φ © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 245. INTEGRAIS TRIPLAS EXEMPLO 4 Calculamos o jacobiano como segue: © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 246. INTEGRAIS TRIPLAS EXEMPLO 4 Como 0 ≤ Φ ≤  , temos sen Φ ≥ 0. Portanto, Logo, © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 247. INTEGRAÇÃO TRIPLA EM COORD. ESFÉRICAS Calcule  x  y e 2 2 z  dV 2 3/ 2 B onde B é a bola unitária:   B   x, y, z  x  y  z  1 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 2 2 2 EX. 3
  • 248. INTEGRAÇÃO TRIPLA EM COORD. ESFÉRICAS EX. 3 Como a fronteira de B é uma esfera, utilizaremos coordenadas esféricas: B    , ,   0    1,0    2 ,0       Além disso, as coordenadas esféricas são convenientes, pois: x2 + y2 + z2 = ρ2 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 249. INTEGRAÇÃO TRIPLA EM COORD. ESFÉRICAS Então, de (3) temos: © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. EX. 3
  • 250. INTEGRAÇÃO TRIPLA EM COORD. ESFÉRICAS EX. 4 Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido delimitado:  pelo cone z  x2  y 2  pela esfera x2 + y2 + z2 = z © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 251. INTEGRAÇÃO TRIPLA EM COORD. ESFÉRICAS EX. 4 Observe que a esfera passa pela origem e tem centro em (0, 0, ½).  Escrevemos a equação da esfera em coordenadas esféricas como: ρ2 = ρ cos Φ ou ρ = cos Φ © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 252. INTEGRAÇÃO TRIPLA EM COORD. ESFÉRICAS EX. 4 A equação do cone pode ser escrita como:  Isto dá: senΦ = cosΦ © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. ou Φ =  /4
  • 253. INTEGRAÇÃO TRIPLA EM COORD. ESFÉRICAS EX. 4 Portanto, a descrição do sólido E em coordenadas esféricas é E   , ,  0    2 ,0     / 4,0    cos  © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 254. INTEGRAÇÃO TRIPLA EM COORD. ESFÉRICAS EX. 4 A figura mostra como E é varrido se integramos primeiro em relação a ρ, depois em relação a Φ, e então em relação a θ. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
  • 255. INTEGRAÇÃO TRIPLA EM COORD. ESFÉRICAS O volume de E é: © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. EX. 4

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