Probabilidad conjunta

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Estudio de la Probabilidad Conjunta. Enfoque a priori, enfoque a posteriori, enfoque axiomático, probabilidad condicional y teorema de Bayes.

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Probabilidad conjunta

  1. 1. Estadística y Probabilidad II Probabilidad Conjunta Ciclo escolar 2013-2014
  2. 2. Experimentos Aleatorios • Todos estamos familiarizados con la importancia de los experimentos en la ciencia y en la ingeniería. Un principio fundamental es que si efectuamos tales experimentos repetidamente bajo condiciones aproximadamente idénticas, obtenemos resultados que son esencialmente los mismos. • Sin embargo, hay experimentos en los cuales los resultados no son esencialmente los mismos a pesar de que las condiciones sean aproximadamente idénticas. Tales experimentos se denominan experimentos aleatorios. Los siguientes son algunos ejemplos – Si lanzamos una moneda el resultado del experimento es águila o sol. – Si lanzamos un dado el resultado del experimento es uno de los números en el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} – Si lanzamos una moneda dos veces, el resultado puede indicarse por {AA,AS,SA,SS}, es decir dos Aguilas, Aguila primero y luego sol, etc. – Si tenemos una máquina que produce tornillos, el resultado del experimento es que algunos pueden estar defectuosos. Así cuando se produce un tornillo será un miembro del conjunto {defectuoso, no defectuoso}.
  3. 3. Espacios Muéstrales y Sucesos • Espacio muestral: Un conjunto Ω que consiste en todos los resultados de un experimento aleatorio se llama un espacio muestral y cada uno de los resultados se denomina punto muestral. Con frecuencia habrá mas de un espacio muestral que describe los resultados de un experimento pero hay comúnmente sólo uno que suministra la mayoría de la información. Obsérvese que Ω corresponde al conjunto universal. • Suceso o Evento: Un suceso es un subconjunto 𝐴 del espacio muestral Ω, es decir es un conjunto de resultados posibles. Si el resultado de un experimento es un elemento de 𝐴 decimos que el suceso 𝐴 ha ocurrido. Un suceso que consiste de un solo punto de Ω frecuentemente se llama un suceso elemental o simple.
  4. 4. El concepto de Probabilidad • En cualquier experimento aleatorio siempre hay incertidumbre sobre si un suceso específico ocurrirá o no. Como medida de la oportunidad o probabilidad con la que podemos esperar que un suceso ocurra es conveniente asignar un número entre 0 y 1. Si estamos seguros de que el suceso ocurrirá decimos que su probabilidad es 100% o 1, pero si estamos seguros de que el suceso no ocurrirá decimos que su probabilidad es cero. Por ejemplo, si la probabilidad es de 1/4, diríamos que hay un 25% de oportunidad de que ocurra y un 75% de oportunidad de que no ocurra. • Existen dos procedimientos importantes por medio de los cuales podemos obtener estimativos para la probabilidad de un suceso.
  5. 5. Enfoque de Probabilidad Enfoque clássico o a priori • Si un suceso puede ocurrir en h maneras diferentes de un número total de n maneras posibles, todos igualmente factibles, entonces la probabilidad del suceso es h/n. Enfoque como frecuencia relativa o a posteriori. • Si después de n repeticiones de un experimento, donde n es muy grande, un suceso ocurre h veces, entonces la probabilidad del suceso es h/n. • Esto también se llama la probabilidad empírica del suceso.
  6. 6. Ejemplos Probabilidad clásica o a priori • Supóngase que deseamos la probabilidad de que resulte Águila en un solo lanzamiento de una moneda Probabilidad de frecuencia relativa o a posteriori. • Si lanzamos una moneda 1000 veces y hallamos que 532 veces resultan águilas. ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente lanzamiento obtengamos águila?
  7. 7. Ejemplos • Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios. – Sacar una bola de una urna donde hay 5 bolas blancas y 5 bolas negras – Los colores de un semáforo • Determinar o estimar la probabilidad p de los siguientes sucesos – Una tirada de un dado resulte impar. – Al menos un águila en dos tiradas de una moneda. – Un As, el 10 de diamante o el 2 de picas aparezca al sacar una sola carta de una baraja inglesa. – La suma de los puntos de dos dados sea 7. – Qua aparezca un Sol en la próxima tirada de una moneda si han salido 56 águilas en 100 tiradas.
  8. 8. Actividad • Se saca al azar una bola de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 bolas blancas y 5 azules. Halla la probabilidad de que la bola extraída sea a) Roja b) Blanca c) Azul d) No roja e) Roja o blanca • En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos hallar la probabilidad de que el representante del salón a) Sea hombre b) Sea mujer morena c) Sea hombre o mujer
  9. 9. Eventos • Como eventos particulares tenemos el evento seguro Ω, ya que un elemento de Ω puede ocurrir; y el evento ∅ que se llama evento imposible, ya que un elemento de ∅ no puede ocurrir. • Puesto que los eventos o sucesos son conjuntos es lógico que las proporciones relativas a eventos puedan traducirse a lenguaje de conjuntos e inversamente. En particular tenemos un “algebra” de eventos que corresponde al algebra de conjuntos.
  10. 10. Eventos • Empleando las operaciones de conjuntos en sucesos en Ω podemos obtener otros sucesos en Ω. Asi si 𝐴 y 𝐵 son eventos, entonces  𝐴 ∪ 𝐵 es el evento “A o B o ambos”  𝐴 ∩ 𝐵 es el evento “A y B”  𝐴′ es el evento “no A”  𝐴 − 𝐵 es el evento “A, pero no B” • Si los conjuntos correspondientes a los eventos A y B son disjuntos, es decir 𝐴 ∩ B = ∅, frecuentemente decimos que los sucesos son mutuamente excluyentes. Esto quiere decir que no pueden ocurrir ambos
  11. 11. Axiomas de Probabilidad • Ambos enfoques, el clásico y el de frecuencias relativas, presentan serias dificultades. El primero debido a la vaguedad de las palabras “igualmente factibles” y el segundo debido a la vaguedad incluida en un “número muy grande”. • A causa de estas dificultades los matemáticos en los últimos años se han orientado en un enfoque Axiomático utilizando conjuntos.
  12. 12. Axiomas de Probabilidad • Supóngase que tenemos un espacio muestral Ω. A cada evento 𝐴 de Ω asociamos un numero real 𝑃(𝐴), es decir 𝑃 es una función de valores reales. 𝑃 es llamada una función de probabilidad, y 𝑃(𝐴) la probabilidad del evento 𝐴, si se satisfacen los axiomas siguientes. Axioma 1. Para cada evento A de Ω 𝑃(𝐴) ≥ 0 Axioma 2. Para cada evento seguro Ω 𝑃(Ω) = 1 Axioma 3. Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, es decir 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, entonces 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
  13. 13. Algunos Teoremas Importantes sobre Probabilidad • 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1 • 𝑃(∅) = 0 • 𝑃(𝐴’) = 1 − 𝑃(𝐴) • 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
  14. 14. Ejemplo • Si 𝑃(𝐴) = 0.62, 𝑃(𝐵) = 0.49, 𝑃(𝐶) = 0.25, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.35, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 0.20, 𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 = 0.18, calcule • 𝑃(𝐵 ∪ 𝐶) = • 𝑃 𝐴’ = • 𝑃(𝐴 − 𝐵) =
  15. 15. Probabilidad Condicional (Introducción) • En una urna se tienen 9 bolas rojas, 7 azules y 8 bolas blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar dos bolas se obtengan dos bolas blancas? a) Si al sacar la primera bola, esta se devuelve a la urna. b) Si al sacar la primera bola, esta no se devuelve.
  16. 16. Probabilidad Condicional • Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos tales que 𝑃(𝐴) > 0. Denotamos por 𝑃(𝐵|𝐴) la probabilidad de 𝐵 dado que 𝐴 ha ocurrido. Puesto que se sabe que 𝐴 ha ocurrido, se convierte en el nuevo espacio muestral remplazando el original Ω. De aquí llegamos a la definición. 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 𝑃 𝐴 • O también 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴) • En palabras, la ecuación anterior nos dice la probabilidad de que tanto A y B ocurran simultáneamente. • Si 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵 entonces se dice que 𝐴 y 𝐵 son eventos independientes entre si, es decir, la ocurrencia de 𝐵 no depende en nada de si ocurre 𝐴 o no.
  17. 17. • Cual es la probabilidad de obtener una bola roja y una azul de una urna donde hay 4 bolas rojas, 6 bolas blancas y 5 bolas azules a) Con remplazo b) Sin remplazo • Calcule la probabilidad de obtener dos ases al sacar dos cartas de la baraja inglesa a) Con remplazo b) Sin remplazo • Si 𝑃(𝐴) = 0.62, 𝑃(𝐵) = 0.49, 𝑃(𝐶) = 0.25, 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0.35, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 0.20, 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 0.18, calcule a) 𝑃 𝐴 𝐵 = b) 𝑃 𝐵 𝐴 = c) 𝑃 𝐵 𝐶 =
  18. 18. Teorema de Bayes • Si 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴 𝑛 son eventos mutuamente excluyentes y cuya unión es el espacio muestral Ω. Si 𝐵 es otro evento cualquiera, entonces se da el siguiente teorema importante 𝑃(𝐴 𝑘|𝐵) = 𝑃 𝐴 𝑘 𝑃 𝐵 𝐴 𝑘 𝑃 𝐴𝑗 𝑃 𝐵 𝐴𝑗 𝑛 𝑗=1 • Esto nos permite hallar las probabilidades de los diferentes sucesos que pueden causar la ocurrencia de 𝐵. • Por esta razón con frecuencia se hace referencia al teorema de Bayes como teorema de las causas.

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