SRM555 解説

SRM555 解説DIV2 EASY, DIV2 HARD, DIV1 MEDIUM JAPLJ /_/ (TC: wrong) 2012/09/07 TopCoder Onsite in Japan(SRM555) @ DeNA

SRMお疲れ様でしたwriter2でした Div2 Easy, Div2 Hard, Div1 Medium 書きました

DIV2 EASYXorBoardDivTwo

問題0 か 1 が書かれたグリッドがありますある行と列を一回ずつフリップします 0 → 1, 1 → 01の個数を最大化しよう

例 1 0 1 1 0 0 1 04x4 1 0 0 1 0 1 1 1

例 1 0 1 1 0 0 1 0行を選んで 1 0 0 1 0 1 1 1

例 1 0 1 1 1 1 0 1フリップ 1 0 0 1 0 1 1 1

例 1 0 1 1 1 1 0 1列を選んで 1 0 0 1 0 1 1 1

例 1 0 0 1 1 1 1 1フリップ 1 0 1 1 0 1 0 1

例 1 0 0 111 個 1 1 1 1 最大！ 1 0 1 1 0 1 0 1

制約グリッドの大きさ行数 H ≦ 50列数 W ≦ 50

解法全探索、しよう(提案)

全探索選ぶ行と列を全部試せばいい！行は H (≦ 50) 通り列は W (≦ 50) 通りフリップは O(H), O(W) でできる数えるのは O(HW)

計算量計算量は？H * W * (H+W + HW) = O(H^2 W^2)50^2 * 50^2 = 6.25 * 10^6余裕 (　・´ｰ・｀)

統計提出数 697正解数 602 (86.4%)

DIV2 HARDMuddyRoad2

2？MuddyRoad (TCO 2011 Round1, Medium) きつねのしえるがぬかるみの道を行く問題 writer は ir5 さん

問題きつねのしえるがぬかるみの道を行く問題

問題道は N 個の部分に分けられている 0 から N-1 まで普通に進むか1つ飛ばして進むか雨が降ったので幾つかの部分はぬかるんでいる 0 と N-1 は乾いている全部で muddyCount 個がぬかるんでいる

問題0 から N-1 までぬかるみを踏まずに行く方法の総数が偶数であったという 0 も偶数！道の状態は何通りありうるか？狐泥乾乾乾泥家

制約道のパーツ数 N ≦ 555ぬかるみの数 muddyCount ≦ N-2

解法DP、しよう(提案)

基本的な考察乾いたところが K 個連続しているとき、道順の総数はフィボナッチ数で表される X[k] = X[k-1] + X[k-2]途中にぬかるみを挟むので、道順の総数はフィボナッチ数の積になるフィボナッチ数の偶奇を考えよう

フィボナッチ氏∼∼フィボナッチ数を列挙していくと…… 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89どうみても mod 3フィボナッチ数 mod 2 で見るとわかりやすい奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇

問題の言い換えつまりこの問題はN 個のマスのうち muddyCount 個に物を置くある物から次の物までの間隔が mod 3 で 0 になるような箇所が少なくとも1 つは存在するような置き方は何通りか？となる

ダイナミック計画法dp[pos][muddy][ﬂag] := pos 番目のマスまでで pos 番目はぬかるみであるとして合計 muddy 個のぬかるみがあって mod 3 で 0 の間隔が既にあるかどうか(ﬂag)

動的プログラミング各状態から次にぬかるみである箇所を全部試すいわゆる「配るDP」をするfor next = pos+1 to N-1: even = (next - pos - 1) % 3 == 0 next_flag = even | flag dp[next][muddy+1][next_flag] += dp[pos][muddy][flag] -1 番目と N 番目をぬかるみ扱いすると楽かも

計算量状態数: O(N * muddyCount) 通り pos: 場所 → O(N) 通り muddy: ぬかるみの個数 → O(muddyCount) 通り ﬂag: フラグ → 2通り

計算量各状態に対して次のぬかるみ場所は O(N) 通りよって計算量 O(N^2 * muddyCount) N ≦ 555, muddyCount ≦ N-2 555^3 ≒ 1.7 * 10^8 普通に組んでも定数軽めなのでヨユー

別ソリューションDPはいろいろバリエーションがありますO(N * muddyCount) でできる解もありますDPたのしいなあ！うひょー！

統計提出数 12正解数 5 (41.7%)

DIV1 MEDIUM XorBoard1 0 1 10 0 1 0 また会ったな1 0 0 10 1 1 1

問題0 が書かれたグリッドがあります好きな行を選んでフリップ、を Rcount 回好きな列を選んでフリップ、を Ccount 回終わってみたら 1 の個数が S だった何通りのフリップがありえるか？

制約グリッドの行数 H ≦ 1,555グリッドの列数 W ≦ 1,555行フリップの回数 Rcount ≦ 1,555列フリップの回数 Ccount ≦ 1,5551の個数 S ≦ HW

基本的な考察同じ行・列を2回フリップすると元に戻る最後の1の個数に関わるのは奇数回フリップされた行・列奇数回フリップされた行を R 個, 列を C 個として 1の個数 R * (W - C) + (H - R) * C

1の個数0 0 1 0 1 0 0 1 W=H=80 0 1 0 1 0 0 10 0 1 0 1 0 0 1 R = 2, C = 31 1 0 1 0 1 1 0 フリップした行のうち1 1 0 1 0 1 1 0 W - C 個が 10 0 1 0 1 0 0 10 0 1 0 1 0 0 1 フリップした列のうち0 0 1 0 1 0 0 1 H - R 個が 1

解法組み合わせ、しよう(提案)

解法R, C を決めて、1 の個数が S になるか確かめる R, Cは全列挙してもよい1の個数が S になるような R, C に対して、そうなるようなフリップの方法の総数を求めたいどうしよう

解法H 行あるRcount 回フリップするちょうど R 行だけ奇数回フリップされている何通りか？列についても求めて掛け算すればよい

解法Rcount 回のうち (Rcount - R) 回のフリップは無駄 2回同じところをフリップして消えるRcount 回のフリップを分けて考えよう Rcount - R 回フリップして痕跡を残さない最後に R 回異なる行をフリップする

計算しましょうX 回フリップして痕跡を残さないためには？ X は偶数 (X = 2K) でないとダメ 2回まとめてフリップするのを K 回やる H 行から重複を許して K 行選ぶ！

重複組合せH 個から重複を許して K 個選ぶ総数 C(H+K-1, K) = C(H+K-1, H-1)二項係数を始めに計算しておけば O(1)

最後のR回最後のR回は簡単単に H 行から R 行選べばよい組み合わせ C(H, R)

計算量N = max{H, W, Rcount, Ccount} として二項係数の計算にO(N^2)R, Cの全探索に O(N^2)全体でも O(N^2)

統計提出数 266正解数 215 (80.8%)

お疲れ様うなぎ

SRM555 解説

by Kensuke Imanishi on Sep 07, 2012

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