El documento describe cómo encontrar la dimensión requerida para que un prisma hexagonal tenga un volumen máximo dado un área superficial. Explica que al derivar la ecuación del volumen con respecto a la dimensión de la base y igualar a cero, se obtiene una expresión para la dimensión en términos del área superficial. Luego, usando esta expresión y el área superficial dada, se calcula la dimensión requerida, la altura correspondiente y el volumen máximo. Finalmente, se comprueban los resultados.

1. SHS
0011 Optimización Volumen
Prisma Hexagonal
1 42
5
0010 1010 1101 0001 0100 1011
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
C. G.
J. B.
1102

2. Problema
1 0011 42
5
0010 1010 1101 0001 0100 1011
• ¿Cuál es la dimensión requerida
para que un prisma hexagonal, con
área superficial de 389.71 cm2,
tenga un volumen máximo?
• Primero se define la figura y ciertas
características de esta. Que
permitirán resolver el problema. Si
se divide un hexágono cualquiera en
seis triángulos, cada uno formado
por el centro y dos vértices
consecutivos, estos triángulos
tendrán la misma área y las mismas
dimensiones, es decir que todos sus
lados son iguales.

3. Proceso y metodología
1 0011 42
5
0010 1010 1101 0001 0100 1011

4. Apotema
1 0011 42
5
0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Para resolver el problema es necesario encontrar el
apotema de cada uno de los triángulos del hexágono
usando el teorema de Pitágoras.
푥2 = 푎2 +
푥
2
2
푎2 = 푥2 −
푥
2
2
푎 =
3푥2
4
푎 =
3푥
2

5. Área de la base
1 0011 42
5
0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Conociendo la apotema en términos de x podemos
hallar el área de el hexágono.
퐴 =
푥 × 푎
2
퐴 =
3푥
2
2
푥 ×
퐴 =
3푥2
4
퐴 = 6
3푥2
4
퐴 = 3
3푥2
2

6. Altura
1 0011 42
5
0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Al saber ya el área de la base es posible hallar el
valor de la altura, pues la condición de el área
superficial se relaciona con el área de la base
hexagonal y con la altura del prisma.
퐴푡 = 6 퐴푟푒푐 + 2 퐴ℎ푒푥
퐴푡 = 6푥ℎ + 2
3 3푥2
2
퐴푡 − 3 3푥2 = 6푥ℎ
ℎ =
퐴푡−3 3푥2
6푥

7. Volumen
1 0011 42
5
0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Teniendo definido el valor correspondiente al área de la base y
la altura en términos de x es posible encontrar una ecuación
que relacione el volumen y el lado de la base.
푉 = 퐴ℎ푒푥 × ℎ
푉 =
3 3푥2
2
×
퐴푡 − 3 3푥2
6푥
푉 =
1
4
× 3푥 × 퐴푡 − 3 3푥2
푉 =
퐴푡 3푥 − 9푥3
4

8. Derivar
1 0011 42
5
0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Al derivar e igualar a cero, se halla una expresión
para el lado de la base en términos del área
superficial.
푉 =
퐴푡 3푥 − 9푥3
4
푉 =
퐴푡 3푥
4
−
9
4
푥3
푉′ =
퐴푡 3
4
−
27
4
푥2 = 0
퐴푡 3
4
=
27
4
푥2
푥2 =
퐴푡 3
27
푥2 =
퐴푡 3
9 3 3
푥 =
퐴푡
9 3
푥 =
퐴푡
9 3 4

9. Hallar un área superficial dependiendo de
el lado de la base
1 0011 42
5
0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Para facilitar la construcción del modelo
tridimensional, se despeja el área total con el valor
de x deseado. En este caso 5 cm
푥 =
퐴푡
3 3 4
퐴푡 = 3 3 4 푥
퐴푡 = 9 3푥2
퐴푡 = 9 3 5 2
퐴푡 = 389.71 푐푚2

10. Altura con respecto de x
1 0011 42
5
0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Teniendo ya el área total y el valor de x podemos
usar la ecuación de la altura para construir el modelo
del prisma hexagonal.
ℎ =
퐴푡 − 3푥2
6푥
ℎ =
389.71 − 3 × 52
6 × 5
ℎ = 8.6 푐푚

11. Altura con respecto de x
1 0011 42
5
0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Teniendo ya el área total y el valor de x podemos usar la
ecuación de la altura para construir el modelo del prisma
hexagonal. De la misma forma encontramos la altura
correspondiente a una figura con la misan área superficial
pero con diferentes dimensiones y un volumen menor.
ℎ =
퐴푡 − 3푥2
6푥
ℎ =
389.71 − 3 × 52
6 × 5
ℎ = 8.6 푐푚
ℎ =
퐴푡 − 3푥2
6푥
ℎ =
389.71 − 3 × 32
6 × 3
ℎ = 19.05

12. Comprobar
1 0011 4
2
5
0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Es posible comprobar los resultados de varias
maneras, una de ellas es reemplazando los valores
en la ecuación correspondiente al volumen.
푉 =
퐴푡 3푥 − 9푥3
4
푉 =
389.71 × 3 × 5 − 9 × 53
4
푉 = 562.52 푐푚3
푉 =
퐴푡 3푥 − 9푥3
푉 =
389.71 × 3 × 3 − 9 × 33
4
푉 = 445.44 푐푚3

13. Comprobar con GeoGebra
• Otra forma es con la ayuda de GeoGebra, graficando las funciones y
estableciendo los diversos puntos.
1 0011 42
5
0010 1010 1101 0001 0100 1011

14. Gracias :D