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    Apostila aed Apostila aed Presentation Transcript

    • www.professoresalgoritmos.com Apostila: Estruturas de dados e Arquivos Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com) Linguagem de programação C++
    • www.professoresalgoritmos.com Índice 1- Registros 2- Alocação Dinâmica de Memória 3- Ponteiros 4- Análise de Complexidade 5- Técnicas de Análise de Algoritmos 6- Tipos Abstratos de dados (TAD) 7- TAD – Listas Encadeadas 8- TAD – Pilha 9- TAD – Fila
    • www.professoresalgoritmos.com Índice 10- Recursividade 11- TAD – Árvores 12- Balanceamento em Árvores 13- Pesquisa em Memória Primária Árvore Binária de Busca 14- Pesquisa em Memória Primária Tabela Hash 15- Pesquisa Digital Árvore TRIE 16- Ordenação
    • www.professoresalgoritmos.com Registros Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
    • www.professoresalgoritmos.com Definição • Registros são estruturas de dados capazes de agregar várias informações • É possível gerar novos tipos de dados, não se limitando apenas à utilização dos tipos de dados primitivos (char, int, float, double) • Cada informação contida em um registro é chamada de campo ou membro 5
    • www.professoresalgoritmos.com Definição • Os campos podem ser de diferentes tipos primitivos, ou mesmo podem representar outros registros Registros são conhecidos como variáveis compostas heterogêneas 6
    • www.professoresalgoritmos.com Declaração de Registros • São definidos por meio da utilização da palavra struct, conforme apresentado: struct nome_do_registro { tipo campo1; tipo campo2; ... tipo campon; }; 7
    • www.professoresalgoritmos.com Declaração de Registros struct Aluno { char nome[255]; int idade, cel; char endereco[300]; }; Palavra-chave Nome do Registro chaves Ponto-e-vírgula Campos ou Membros 8
    • www.professoresalgoritmos.com Declaração de Registros • Definir uma estrutura não cria nenhuma variável, somente informa ao compilador as características de um novo tipo de dados • Não há reserva de memória • No exemplo, foi definido um novo tipo de dado denominado Aluno • A definição desse tipo pode vir antes da função main() ou dentro dela 9
    • www.professoresalgoritmos.com Declaração de Variáveis do Tipo Registro • Para utilizar uma struct, é necessária a declaração de variáveis desse tipo: • Para o nosso exemplo: nome_do_registro nome_da_variável; Aluno alu1, alu2; variáveisTipo de dado 10
    • www.professoresalgoritmos.com Declaração de Variáveis do Tipo Registro • A declaração reserva espaço de memória suficiente para armazenar cada um dos membros da estrutura (nome, idade, cel e endereco) para a variável alu1 e alu2 • Também é possível declarar um vetor ou uma matriz do tipo da estrutura, como: Aluno alu[10], mat[2][3]; vetor matriz 11
    • www.professoresalgoritmos.com Acesso a Membros de Estruturas • Após a variável ser declarada, o programa precisa manipular o conteúdo de cada campo individualmente • Para isso, é preciso informar o nome da variável e o do campo desejado, separados por um ponto nome_da_variável.nome_do_campo ponto 12
    • www.professoresalgoritmos.com Acesso a Membros de Estruturas • Para armazenar um determinado valor nas variáveis do exemplo: • Para armazenar um dado digitado pelo usuário strcpy(alu1.nome,”Maria”); alu1.idade = 16; gets(alu1.nome); Cin<<alu1.idade; 13
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 1 int main() { //nesse exemplo a estrutura foi criada dentro da main() struct Aluno { char nome[255]; char endereco[300]; int idade, cel; } alu1; cout<<"nCadastro - Aluno 1: "; cout<<"nDigite o nome: "; gets(alu1.nome); cout<<"nDigite o endereco: "; gets(alu1.endereco); cout<<"nDigite a idade: "; cin>>alu1.idade; cout<<"nDigite o celular: "; cin>>alu1.cel; 14
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 1 cout<<"n************* Cadastro realizado *************"; cout<<"nAluno 1 "; cout<<"nNome: "<<alu1.nome; cout<<"nIdade: "<<alu1.idade; cout<<"nCel: "<<alu1.cel; cout<<"nEndereco: "<<alu1.endereco; cout<<"nFim do programa!" system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; } 15
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2 //nesse exemplo a estrutura foi criada fora da main() struct Aluno { char nome[255]; char endereco[300]; int idade, cel; }; int main() { Aluno alu1; cout<<"nCadastro - Aluno 1: "; cout<<"nDigite o nome: "; gets(alu1.nome); cout<<"nDigite o endereco: "; gets(alu1.endereco); cout<<"nDigite a idade: "; cin>>alu1.idade; cout<<"nDigite o celular: "; cin>>alu1.cel; 16
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2 cout<<"n************* Cadastro realizado *************"; cout<<"nAluno 1 "; cout<<"nNome: "<<alu1.nome; cout<<"nIdade: "<<alu1.idade; cout<<"nCel: "<<alu1.cel; cout<<"nEndereco: "<<alu1.endereco; cout<<"nFim do programa!" system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; } 17
    • www.professoresalgoritmos.com Declaração de Vetor do tipo Registro • Pode-se criar vetores utilizando uma estrutura de dados • Alterando o exemplo para que sejam armazenados os dados (nome, idade, cel, endereco) de 10 alunos. Aluno alu[10]; vetor 18
    • www.professoresalgoritmos.com Acesso a Membros com Vetor de Estruturas • Para preencher o vetor todo com 10 alunos for(i=0; i<10; i++) { gets(alu1[i].nome); cin<<alu1[i].idade; } Índice do vetor 19
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 3 struct Aluno { char nome[255]; char endereco[300]; int idade, cel; }; int main() { Aluno alu1[10]; int i; for(i=0; i<10; i++) { cout<<"nCadastro - Aluno "<<i+1<<": "; cout<<"nDigite o nome: "; gets(alu1[i].nome); cout<<"nDigite o endereco: "; gets(alu1[i].endereco); cout<<"nDigite a idade: "; cin>>alu1[i].idade; cout<<"nDigite o celular: "; cin>>alu1[i].cel; } 20
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 3 for(i=0; i<10; i++) { cout<<"n*********** Cadastro realizado ************"; cout<<"nAluno "<<i+1; cout<<"nNome: "<<alu1[i].nome; cout<<"nIdade: "<<alu1[i].idade; cout<<"nCel: "<<alu1[i].cel; cout<<"nEndereco: "<<alu1[i].endereco; } cout<<"nFim do programa!"; system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; } 21
    • www.professoresalgoritmos.com Passando Registros para Funções • As estruturas podem ser passadas como parâmetros de funções da mesma maneira que uma variável simples • O nome de uma estrutura não é um endereço, portanto, ela pode ser passada por valor • O exemplo a seguir apresenta uma função que recebe duas estruturas como parâmetro e imprime os valores da soma de seus membros 22
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 4 //A estrutura e a função estão antes da main() struct Venda { int pecas; float preco; }; void listavenda(Venda c, Venda d) { cout<<"n**** Venda Total ****"; cout<<"nTotal de pecas: "<<(c.pecas + d.pecas); cout<<"nPreco total: "<<((c.pecas*c.preco) + (d.pecas*d.preco)); } 23
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 4 int main() { Venda A, B; cout<<"nVenda A"; cout<<"nInsira o numero de pecas: "; cin>>A.pecas; cout<<"nInsira o preco: "; cin>>A.preco; cout<<"nVenda B"; cout<<"nInsira o numero de pecas: "; cin>>B.pecas; cout<<"nInsira o preco: "; cin>>B.preco; listavenda(A,B);//chamada da função cout<<"nFim do programa"; system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; } 24
    • www.professoresalgoritmos.com Passando Registros para Funções por referência • A sintaxe das passagem de estrutura para funções por referência é a mesma da passagem de variáveis simples por referência • Como as estruturas, em geral, são dados que ocupam uma grande quantidade de memória, é conveniente que se use passagem de parâmetro por referência Usando referência não há criação de uma cópia da variável na função 25
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 5 //Alterando o exemplo anterior para que a função receba os parâmetros //por referência struct Venda { int pecas; float preco; }; void listavenda(Venda *c, Venda *d) { cout<<"n**** Venda Total ****"; cout<<"nTotal de pecas: "<<((*c).pecas+ (*d).pecas); cout<<"nPreco total: "<<(((*c).pecas* (*c).preco)+((*d).pecas* (*d).preco)); } 26
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 5 int main() { Venda A, B; cout<<"nVenda A"; cout<<"nInsira o numero de pecas: "; cin>>A.pecas; cout<<"nInsira o preco: "; cin>>A.preco; cout<<"nVenda B"; cout<<"nInsira o numero de pecas: "; cin>>B.pecas; cout<<"nInsira o preco: "; cin>>B.preco; listavenda(&A,&B);//chamada da função cout<<"nFim do programa"; system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; } 27
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 6 //Outra forma de passar a estrutura como parâmetros por referência struct Venda { int pecas; float preco; }; void listavenda(Venda& c, Venda& d) { cout<<"n**** Venda Total ****"; cout<<"nTotal de pecas: "<<(c.pecas + d.pecas); cout<<"nPreco total: "<<((c.pecas * c.preco)+(d.pecas * d.preco)); } 28
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 6 int main() { Venda A, B; cout<<"nVenda A"; cout<<"nInsira o numero de pecas: "; cin>>A.pecas; cout<<"nInsira o preco: "; cin>>A.preco; cout<<"nVenda B"; cout<<"nInsira o numero de pecas: "; cin>>B.pecas; cout<<"nInsira o preco: "; cin>>B.preco; listavenda(A,B);//chamada da função cout<<"nFim do programa"; system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; } 29
    • www.professoresalgoritmos.com Funções que retornam um Registro • A linguagem C++ permite que as funções retornem uma estrutura completa para outra função, como o exemplo: Venda novavenda() { Venda x; cout<<"nVenda A"; cout<<"nInsira o numero de pecas: "; cin>>x.pecas; cout<<"nInsira o preco: "; cin>>x.preco; return x; } 30
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 1- Explique qual a diferença entre vetor e registro. Dê exemplos. 31
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 2- Foi realizada uma pesquisa de algumas características físicas de 50 habitantes de uma certa região. De cada habitante foram coletados os seguintes dados: sexo, altura, idade e cor dos olhos (A - Azuis, V - Verdes ou C – Castanhos). Faça um programa que leia esses dados e armazene-os em um registro do tipo vetor. Em seguida, determine: a) a média de idade das pessoas com olhos castanhos e altura superior a 1.60 m b) a maior idade entre os habitantes c) a quantidade de indivíduos do sexo feminino cuja idade esteja entre 20 e 45 anos (inclusive) ou que tenham olhos verdes e altura inferior a 1.70 m d) o percentual de homens 32
    • www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ASCENCIO, Ana Fernanda Gomes e CAMPOS, Edilene A. Veneruchi. Fundamentos da Programação de Computadores – Algoritmos, Pascal e C/C++. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. 2ª Edição. Capítulo 10. • MIZRAHI, Victorine Viviane. Treinamento em Linguagem C++. 2ª Ed. Módulo 1. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. Capítulo 7. 33
    • www.professoresalgoritmos.com Alocação Dinâmica de Memória Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
    • www.professoresalgoritmos.com Definição • Na declaração de um vetor é preciso dimensioná-lo, ou seja, saber, de antemão, quanto de espaço é necessário – Prever o número máximo de elementos no vetor durante a codificação Ex.: Suponha que desejamos desenvolver um programa para calcular a média e a variância das notas de uma prova. Mas não sabemos que o número máximo de alunos? 35
    • www.professoresalgoritmos.com Definição • Solução: – Dimensionar um vetor com um número absurdamente alto, para não termos limitação no momento da utilização do programa – Essa solução pode levar a um desperdício de memória ou uma limitação do número de alunos e consequentemente do programa 36
    • www.professoresalgoritmos.com Definição • A linguagem C oferece meios de requisitar espaços de memória em tempo de execução • Assim, voltando ao exemplo, é possível consultar o número de alunos e então fazer a alocação do vetor dinamicamente, sem de desperdício de memória Alocação dinâmica de memória 37
    • www.professoresalgoritmos.com Reserva de espaço de memória Existem 3 maneiras de reservar espaço de memória: 1. Usar variáveis globais (e estáticas): o espaço reservado existe enquanto o programa estiver sendo executado 2. Usar variáveis locais: o espaço existe apenas enquanto a função que declarou a variável está sendo executada 3. Requisitar ao sistema, em tempo de execução, um espaço de um determinado tamanho: Esse espaço permanece reservado até que seja explicitamente liberado pelo programa. 38
    • www.professoresalgoritmos.com Função Malloc() • Biblioteca: stdlib.h • A função básica para alocar memória é a malloc() • A função recebe como parâmetro o número de bytes que se deseja alocar e retorna o endereço inicial da área da memória alocada – Dessa forma, é necessário o uso de um ponteiro para receber o endereço inicial do espaço alocado 39
    • www.professoresalgoritmos.com Função Malloc() • Exemplo: Alocação dinâmica de um vetor de inteiros com 10 elementos: int *v; v = malloc(10 * 4); Considerando que 1 inteiro ocupa 4 bytes 40
    • www.professoresalgoritmos.com Função Malloc() • Para ficarmos livres de compiladores e máquinas, usamos o operador sizeof() int *v; v = malloc(10 * sizeof(int)); diz quantos bytes o tipo especificado tem 41
    • www.professoresalgoritmos.com Função Malloc() • Como malloc retorna um ponteiro genérico, para um tipo qualquer, representado por void * – que pode ser convertido para o tipo apropriado na atribuição: int *v; v = (int *)malloc(10 * sizeof(int)); Conversão para o tipo int 42
    • www.professoresalgoritmos.com Função Malloc() • Se não houver espaço livre suficiente para realizar a alocação, a função retorna um endereço nulo (NULL): int *v; v = (int *)malloc(10 * sizeof(int)); if( v == NULL) { cout<<“Memória insuficiente”; exit(1); //aborta o programa e retorna 1 } ... 43
    • www.professoresalgoritmos.com Função Free() • Biblioteca: stdlib.h • A função básica para liberar um espaço de memória alocado dinamicamente é a free() • A função recebe como parâmetro o ponteiro da memória a ser liberada int *v; v = (int *)malloc(10* sizeof(int)); ... Free(v); //libera espaço de memória 44
    • www.professoresalgoritmos.com Função Free() • Só podemos passar para a função free() um ponteiro (endereço) de memória que tenha sido alocado dinamicamente • Cuidado, pois não é possível acessar o espaço da memória depois de liberado 45
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 1- Explique a vantagem de usar alocação dinâmica de memória. Use exemplos. 2- O que é alocação dinâmica de memória? 3- Como podemos liberar um espaço de memória alocado dinamicamente? 46
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 4- Escreva o que será impresso pelo programa abaixo. int main ( ) { int *A; A = (int*)malloc(sizeof(int)); *A = 10; cout<<"nvalor de A: "<<*A; int *B; B = A; *B = 15; cout<<"nvalor de B: "<<*B; } 47
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 5- Escreva o que será impresso pelo programa abaixo. int main ( ) { int *A; A = (int*)malloc(sizeof(int)); *A = 10; cout<<"nPrimeiro valor de A: "<<*A; int *B; B= (int*)malloc(sizeof(int)); *B = *A; *B = 15; cout<<"nvalor de B: "<<*B; cout<<"nSegundo valor de A: "<<*A; } 48
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 6- Dado o código abaixo, indique o resultado do mesmo para cada um dos valores de “*A”. void main() { int *A; A = (int*)malloc(sizeof(int)); *A = ??; int *B; B = (int*)malloc(sizeof(int)); *B = *A; *B = 15; cout<<"n "<<*B; cout<<"n "<<*A; } *A = 10 Resposta: (*A = _____ e *B = _____ ) *A = 35 Resposta: (*A = _____ e *B = _____ ) • Substitua o valor do símbolo ‘??’ no código por cada um dos valores apresentados para *A abaixo. Em seguida, mostre os resultados que serão impressos na tela (*B e *A) para cada um dos valores. 49
    • www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel, José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão. 50
    • www.professoresalgoritmos.com Ponteiros Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
    • www.professoresalgoritmos.com Definição • Ponteiro é um endereço de memória • Seu valor indica em que parte da memória do computador uma variável está alocada, não o que está armazenado nela Ponteiro variável é um lugar na memória que armazena o endereço de outra variável 52
    • www.professoresalgoritmos.com Razões para usar ponteiros • Receber parâmetros em funções que necessitem modificar o parâmetro original • Criar estruturas complexas, como listas encadeadas e árvores binárias, em que um item deve conter referência a outro • Alocar e desalocar memória do sistema • Passar para uma função o endereço de outra 53
    • www.professoresalgoritmos.com Ponteiros • Dizemos que uma variável aponta para outra variável quando a primeira contém o endereço da segunda • Endereço de memória: um endereço é a referência que o computador usa para localizar variáveis – Toda variável ocupa uma certa localização na memória e seu endereço é o do primeiro byte ocupado por ela 54
    • www.professoresalgoritmos.com Declaração de Ponteiros int *ptr; Nome_ponteiroTipo de dado int a, *ptr; a = 5; ptr = &a; *ptr = 6; 112 ptr -> 108 a 5 104 Exemplo: 55
    • www.professoresalgoritmos.com Declaração de Ponteiros int *ptr; Nome_ponteiroTipo de dado int a, *ptr; a = 5; ptr = &a; *ptr = 6; 112 ptr -> 104 108 a 5 104 Exemplo: 56
    • www.professoresalgoritmos.com Declaração de Ponteiros int *ptr; Nome_ponteiroTipo de dado int a, *ptr; a = 5; ptr = &a; *ptr = 6; 112 ptr -> 104 108 a 6 104 Exemplo: 57
    • www.professoresalgoritmos.com Ponteiros • Operador de endereços: & • Acessa no endereço da posição da memória reservada para a variável int *ptr; ptr = &a; 58
    • www.professoresalgoritmos.com Ponteiros • Operador indireto: * (resulta no conteúdo / valor da variável) • Acessa o conteúdo de endereço de memória armazenado int *ptr; *ptr = 6; 59
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo1 - Ponteiros int main() { int x = 4, y =7; int *px, *py; cout<<"n &X= "<<&x<<" X= "<<x; cout<<"n &Y= "<<&y<<" Y= "<<y; cout<<"n"; px=&x; py=&y; cout<<"n PX= "<<px<<" *PX= "<<*px; cout<<"n PY= "<<py<<" *PY= "<<*py; cout<<"n"; system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; } 60
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo2 - Ponteiros int main() { int x, y; int *px=&x; *px = 14; y = *px; cout<<"n y= "<<y; cout<<"n x= "<<x; cout<<"n"; system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; } 61
    • www.professoresalgoritmos.com Operações com Ponteiros 1. Atribuição: 2. Incrementando: 3. Diferença: 4. Comparações: usando os operadores ( >, <, <=, >=, ==, != ) px = &x; px++; px = py + 3; px - py; 62
    • www.professoresalgoritmos.com Ponteiros para Estruturas • Do mesmo modo que podemos declarar variáveis do tipo estrutura: Aluno alu; struct Aluno { int mat; char nome[255], curso[50]; }; 63
    • www.professoresalgoritmos.com Ponteiros para Estruturas • Podemos declarar variáveis do tipo ponteiro para estrutura: Aluno *palu; palu-> mat nome curso 64
    • www.professoresalgoritmos.com Acesso aos campos da Estrutura • Para acessar os campos da estrutura com um ponteiro: (*nome_ponteiro). Nome_campo ponto Os parênteses são indispensáveis, pois o operador “*” tem precedência menor do que o operador de acesso “.” 65
    • www.professoresalgoritmos.com Acesso aos campos da Estrutura • Outra forma de acessar os membros é: • E para acessar o endereço de um campo: nome_ponteiro -> Nome_campo &nome_ponteiro -> Nome_campo 66
    • www.professoresalgoritmos.com Alocação dinâmica de Estruturas Aluno *palu; palu = (Aluno*)malloc(sizeof(Aluno)); struct Aluno { int mat; char nome[255], curso[50]; }; Estrutura Aluno criada anteriormente 67
    • www.professoresalgoritmos.com Alocação dinâmica de Estruturas • Após uma alocação dinâmica, podemos acessar normalmente os campos da estrutura com a variável ponteiro que armazena seu endereço 68
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 1- O que é um ponteiro? 2- Explique o que significa a instrução: int *p; 3- Explique para que serve o operador & e o operador * nas instruções abaixo: a) p = &i; b) *p = i; 69
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 4- Escreva o que será impresso pelo programa abaixo. int main() { int x=3, y=7; int *px=&x; *px = 12; y = *px; cout<<"n y= "<<y; cout<<"n x= "<<x; cout<<"n"; system("PAUSE"); } 70
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 5- Escreva o que será impresso pelo programa abaixo. int main() { int x=3, y=7; int *px=&x, *py=&y; y= 4; cout<<"n *px= "<<*px; cout<<"n *py= "<<*py; cout<<"n"; system("PAUSE"); } 71
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 6- Escreva o que será impresso pelo programa abaixo. void Troca (int *A, int B) { int temp; temp = *A; *A = B; B = temp; } int main() { int x,y; x = 5; y = 3; Troca(&x,y); cout << x << endl << y; getch(); } 72
    • www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • MIZRAHI, Victorine Viviane. Treinamento em Linguagem C++. 2ª Ed. Módulo 2. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. Capítulo 11. • Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel, José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão. Capítulos 4 e 8. 73
    • www.professoresalgoritmos.com Análise de Complexidade Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • O projeto de um algoritmo deve considerar o desempenho que este terá após sua implementação. • Várias soluções podem surgir e aspectos de tempo de execução e espaço ocupado são pontos muito relevantes na escolha da solução mais adequada. 75
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Analisar um algoritmo significa predizer os recursos computacionais que o algoritmo requer quando da sua execução: memória, largura de banda de comunicação, hardware de computação. • Recurso mais considerado: tempo de processamento. • Em geral, existem vários algoritmos para solucionar um mesmo problema e a análise é capaz de identificar qual é o mais eficiente. 76
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • A área de análise de algoritmos pode considerar dois tipos de problemas distintos: – Análise de um algoritmo em particular: custo para a resolução de um problema específico. – Análise de uma classe de algoritmos: um conjunto de algoritmos para resolver um problema específico é estudado, para determinar qual o melhor. 77
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Interesse: expressão ou fórmula matemática (modelo matemático) que represente o tempo de execução de um algoritmo. • Aspectos mais importantes da análise de tempo: – quantidade de elementos a processar (tamanho da entrada); – forma como os elementos estão dispostos na entrada. • Tempo de execução de um algoritmo: uma função f(n), onde n é o tamanho da entrada. • A função f deve expressar o número de operações básicas, ou passos, executados pelo algoritmo. 78
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Interesse: expressão ou fórmula matemática (modelo matemático) que represente o tempo de execução de um algoritmo. • Aspectos mais importantes da análise de tempo: – quantidade de elementos a processar (tamanho da entrada); – forma como os elementos estão dispostos na entrada. • Tempo de execução de um algoritmo: uma função f(n), onde n é o tamanho da entrada. • A função f deve expressar o número de operações básicas, ou passos, executados pelo algoritmo. 79
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução A operação básica de maior freqüência de execução no algoritmo é denominada operação dominante ou operação fundamental. 80
    • www.professoresalgoritmos.com Complexidade de Tempo • A complexidade de tempo de um algoritmo tem por objetivo avaliar sua eficiência. • Para medir o custo de execução de um algoritmo comum definir uma função de custo ou função de complexidade f, em que f(n) é a medida do tempo necessário para executar um algoritmo para um problema de tamanho n 81
    • www.professoresalgoritmos.com Complexidade de Tempo • A complexidade de tempo de um algoritmo tem por objetivo avaliar sua eficiência. • Para medir o custo de execução de um algoritmo comum definir uma função de custo ou função de complexidade f, em que f(n) é a medida do tempo necessário para executar um algoritmo para um problema de tamanho n. 82
    • www.professoresalgoritmos.com Complexidade de Tempo • Função de complexidade de tempo do algoritmo: se f(n) for uma medida da quantidade do tempo necessário para executar um algoritmo de tamanho n • Função de complexidade de espaço do algoritmo: se f(n) for uma medida da quantidade de memória necessária para executar um algoritmo de tamanho n 83
    • www.professoresalgoritmos.com Complexidade de Tempo • Melhor caso: corresponde ao menor tempo de execução sobre todas as possíveis entradas de tamanho n • Caso médio (ou caso esperado): corresponde à média dos tempos de execução de todas as entradas de tamanho n • Pior caso: corresponde ao maior tempo de execução sobre todas as possíveis entradas de tamanho n 84
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo1 • Seja f uma função de complexidade tal que f(n) é o número de registros consultados no arquivo, isto é, o número de vezes que a chave de consulta é comparada com a chave de cada registro. Os casos a considerar são: Melhor caso: f(n) = 1 Pior caso: f(n) = n Caso médio: f(n) = (n+1)/2 85
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo2 Considere o problema de encontrar o maior e o menor elementos de um vetor de inteiros v[0..n-1], n>=1 void calculaMaxMin1(int vet[], int n) { int max = vet[0], min = vet[0]; for(int i=1; i<n; i++) { if(vet[i]>max) max = vet[i]; if(vet[i]<min) min = vet[i]; } } 86
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo2 Para o exemplo anterior, temos que f é uma função de complexidade tal que f(n) é o número de comparações entre os elementos de vet, se vet contiver n elementos, temos que: f(n) = 2(n-1), para n > 0 Esse programa pode ser facilmente melhorado. Basta observar que a comparação vet[i] < min somente é necessária quando o resultado da comparação vet[i] > max é falso. 87
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo2 – Nova versão void calculaMaxMin2(int vet[], int n) { int max = vet[0], min = vet[0]; for(int i=1; i<n; i++) { if(vet[i]>max) max = vet[i]; else if(vet[i]<min) min = vet[i]; } } 88
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo2 – Nova versão void calculaMaxMin2(int vet[], int n) { int max = vet[0], min = vet[0]; for(int i=1; i<n; i++) { if(vet[i]>max) max = vet[i]; else if(vet[i]<min) min = vet[i]; } } Melhor caso: f(n) = n-1 Pior caso: f(n) = 2(n-1) Caso médio: f(n) = 3n/2-3/2 89
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo2 – Nova versão void calculaMaxMin(int vet[], int n) { int max = vet[0], min = vet[0]; for(int i=1; i<n; i++) { if(vet[i]>max) max = vet[i]; else if(vet[i]<min) min = vet[i]; } } 90
    • www.professoresalgoritmos.com Comportamento Assintótico de Funções • O nº de comparações para encontrar o maior elemento de um conjunto de n inteiros, ou para ordenar os elementos de um conjunto com n elementos, aumenta com n • Parâmetro n fornece uma medida da dificuldade para se resolver o problema – O custo para obter uma solução para um dado problema aumenta com o tamanho de n do problema 91
    • www.professoresalgoritmos.com Comportamento Assintótico de Funções • Para valores suficientemente pequenos de n, qualquer algoritmo custa pouco para ser executado, mesmo os algoritmos ineficientes – Para problemas de tamanho pequeno a escolha do algoritmo não é um problema crítico – A análise de algoritmos é realizada apenas para valores grandes de n – A análise de um algoritmo geralmente conta com apenas algumas operações elementares, e em muitos casos com uma operação elementar 92
    • www.professoresalgoritmos.com Notação Assintótica • Passos: 1. Identificar o termo dominante da expressão que descreve sua complexidade, ou seja, descreve a ordem de crescimento assintótico desta expressão. 2. Obter uma função que é um limitante superior assintótico para a nossa expressão, isto é, para instâncias arbitrárias de tamanho n podemos resolver o problema em tempo menor ou igual a O(n). 93
    • www.professoresalgoritmos.com Notação O(f(n)) f(n) = O(1) Complexidade constante, ou seja, independe do tamanho da entrada n. As instruções são executadas um número fixo de vezes f(n) = O(log n) Complexidade sub-linear ou logarítmica, ocorre geralmente em problemas que dividem-se em problemas menores em sua resolução f(n) = O(n) Complexidade linear, ou seja, quando um pequeno trabalho é realizado sobre os elementos de entrada n. Esta situação é boa para algoritmos que tenham entrada e saída n. 94
    • www.professoresalgoritmos.com Notação O(f(n)) f(n) = O(n log n) Esta complexidade geralmente acontece com algoritmos que separam o problema em menores e unem as resoluções depois de encontrá-las. f(n) = O(n^2) Complexidade quadrática, ou seja, quando itens são processados aos pares, geralmente quando temos um anel dentro do outro. f(n) = O(2^n) Complexidade exponencial. São algoritmos péssimos em ponto de vista prático. Geralmente são algoritmos utilizados para resolução de problemas na força bruta. 95
    • www.professoresalgoritmos.com Notação O(f(n)) f(n) = O(n!) Complexidade fatorial. São algoritmos piores que os exponenciais. Péssimos na prática e resultado de aplicação d e força bruta, não são recomendados para resolução de problemas. 96
    • www.professoresalgoritmos.com Notação Assintótica • A tabela de classes de problemas está ordenada de maneira crescente • Para compararmos dois algoritmos, é necessário saber primeiro a qual classe pertencem ao algoritmos. – Se forem de classe diferentes s comparação fica fácil, seguindo a ordem da tabela. – Se forem da mesma classe, deverão ser comparados por suas funções reais de complexidade de tempo, lembrando que o caso comparado deve ser o mesmo (ex. pior caso com pior caso) 97
    • www.professoresalgoritmos.com Função de custo Tamanho n 10 20 30 40 50 60 n 0,00001 s 0,00002 s 0,00003 s 0,00004 s 0,00005 s 0,00006 n² 0,0001 s 0,0004 s 0,0009 s 0,0016 s 0,0035 s 0,0036 s n³ 0,001 s 0,008 s 0,027 s 0,64 s 0,125 s 0,316 s n⁵ 0,1 s 3,2 s 24,3 s 1,7 min 5,2 min 13 min 2^n 0,001 s 1 s 17,9 min 12,7 dias 35,7 anos 366 séc. 3^n 0,059 s 58 min 6,5 anos 3855 séc. 10⁸ séc. 10¹³ séc. Comparação de funções de complexidades 98
    • www.professoresalgoritmos.com Trabalho de Pesquisa • Fazer uma pesquisa sobre: – Problemas P – Problemas NP – Problemas NP-completos • Conceitue cada um. Dê exemplos. • Não esqueça de colocar as referências usadas. • Entregar impresso dia (06/09/2012). • Pode ser feito em dupla. 99
    • www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • Notas de aula Profª Raquel Marcia Müller (http://www.comp.uems.br/Members/rmmuller/ pg_aedii) 100
    • www.professoresalgoritmos.com Técnicas de Análise de Algoritmos Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • A análise de algoritmos ou programas utiliza técnicas de matemática discreta, envolvendo contagem ou enumeração dos elementos de um conjunto que possuam propriedade comum: – Manipulação de somas, produtos, permutações, fatoriais, coeficientes binomiais, solução de equações de recorrência, entre outras. 102
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Infelizmente não existe um conjunto completo de regras para analisar programas. • Dessa forma, algumas dessas técnicas serão ilustradas informalmente com exemplos. 103
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Complexidade de tempo da maioria dos problemas é polinomial ou exponencial. – Polinomial: função de complexidade é O (p(n)) , onde p(n) é um polinômio. • Exemplos: pesquisa binária (O (log n)), pesquisa seqüencial ( O (n)), ordenação por inserção (O (n²)), e multiplicação de matrizes (O (n³)). – Exponencial: função de complexidade é O (c^n), c> 1. • Exemplo:Problema do Caixeiro Viajante(PCV) (O (n!)). 104
    • www.professoresalgoritmos.com Complexidade • O(1) ou constante • O(log n) ou logaritímica • O(n) ou linear • O(n log n) ou n log de n • O(n²) ou quadrática • O(n³) ou cúbica • O(n!) ou fatorial Maior Complexidade 105
    • www.professoresalgoritmos.com Notação O • Algumas regras: 106
    • www.professoresalgoritmos.com Notação O 107
    • www.professoresalgoritmos.com Notação O 108
    • www.professoresalgoritmos.com Notação O - Exemplos • f(n) = 403 = O(1) • f(n) = 5 + 2 logn + 3 log²n = O(log²n) • f(n) = 5 + 2 logn + 3n = O(n) • f(n) = 5*2^n + 5n^10 = O(2^n) • f(n) = n² - 1 = O(n²) • f(n) = n³ - 1 = O(n³) • f(n) = 3n + 5 logn + 2 = O(n) 109
    • www.professoresalgoritmos.com Complexidade de algumas estruturas de controle • Regras rígidas sobre o cálculo da complexidade de qualquer algoritmo não existem, cada caso deve ser estudado em suas condições. • No entanto, as estruturas de controle clássicas da programação estruturada permitem uma estimativa típica de cada uma. • A partir disso, algoritmos construídos com combinações delas podem ter sua complexidade mais facilmente estabelecida. 110
    • www.professoresalgoritmos.com • Comando simples : tem um tempo de execução constante, O(c) = O(1). • Seqüência: tem um tempo igual à soma dos tempos de cada comando da seqüência; se cada comando é O(1), assim, também será a seqüência; senão, pela regra da soma, a seqüência terá a complexidade do comando de maior complexidade. • Alternativa : qualquer um dos ramos pode ter complexidade arbitrária; a complexidade resultante é a maior delas; isto vale para alternativa dupla (if-else) ou múltipla (switch). 111
    • www.professoresalgoritmos.com • Repetições • Repetição contada: é aquela em que cada iteração (ou “volta”) atualiza o controle mediante uma adição(geralmente, quando se usa uma estrutura do tipo for, que especifica incremento/decremento automático de uma variável inteira). • Se o número de iterações é independente do tamanho do problema, a complexidade de toda a repetição é a complexidade do corpo da mesma, pela regra da constante (ou pela regra da soma de tempos). for (i=0; i<k ; i++) trecho com O(g(n)) se k não é f(n)então o trecho é O(g(n)) 112
    • www.professoresalgoritmos.com • Se o número de iterações é função de n, pela regra do produto teremos a complexidade da repetição como a complexidade do corpo multiplicada pela função que descreve o número de iterações. Isto é: for (i=0; i<10 ; i++) { x = x+v; printf (“%d”, x); } isto é O(1), logo toda a repetição é O(1) 113
    • www.professoresalgoritmos.com for (i=0; i<n; i++) trecho com O(g(n)) como o número de iterações é f(n)=n então o trecho é O(n*g(n)) for (i=0; i<k*n ; i++) trecho com O(log n) o trecho é O(f(n)*g(n)), no caso O(k*n*log n), ou seja: O(n log n) Exemplo: 114
    • www.professoresalgoritmos.com • Uma aplicação comum da regra do produto é a determinação da complexidade de repetições aninhadas. • Exemplo: • Exemplo: for (i=0; i<n ; i++) for (j=0; j<n ; j++) trecho com O(1) o trecho é O(f(n)*g(n)), no caso g(n)=n*1 (laço interno); logo, O(n*n), ou seja: O(n²) for (i=1; i<=n ; i++) for (j=1; j<=i ; j++) trecho com O(1) o laço interno é executado 1+2+3+...n-1 +n=n*(n+1)/2 vezes, logo, O(n*(n+1)/2), ou seja: O(0.5(n²+n)) ou seja O(n²) 115
    • www.professoresalgoritmos.com for (i=1; i<=n ; i++) for (j=n; i<=j ; j--) trecho com O(1) o laço interno é executado n+n-1+n- 2+...+2+1=n*(n+1)/2 vezes, ou seja: O(n²) como no caso anterior • Os dois últimos exemplos podem ser generalizados para quaisquer aninhamentos de repetições contadas em k níveis, desde que todos os índices dependam do tamanho do problema. Nesse caso, a complexidade da estrutura aninhada será da ordem de n ^ k. 116
    • www.professoresalgoritmos.com for (IndExt=1; IndExt<=n ; IndExt++) for (IndMed=IndExt; IndMed<=n ; IndMed++) for (IndInt=1; IndInt<=IndMed; IndInt++) trecho com O(1) o laço mediano é executado n+n-1+n-2+... +2+1=(n²+n)/2 vezes; o laço mais interno será executado no máximo n vezes; logo, tem-se O((n²+n)*n), ou seja: O(n³) 117
    • www.professoresalgoritmos.com • Repetições • Repetição multiplicativa: é aquela em que cada iteração atualiza o controle mediante uma multiplicação ou divisão. limite=1; while (limite<=n) { trecho com O(1) limite = limite*2; } o número de iterações depende de n; limite vai dobrando a cada iteração; depois de k iterações, limite = 2^k e k = log2 limite; como o valor máximo de limite é n, então o trecho é O(log2n) = O(log n) OBS: Na verdade O(log n) independe da base do logaritmo, pois logan = logab*logbn = c*logbn. 118
    • www.professoresalgoritmos.com int limite; for (limite=n; limite!=0; limite /=2) trecho com O(1) o número de iterações depende de n; limite vai-se subdividindo a cada iteração; depois de k=log2n iterações, encerra; então o trecho é O(log n) • Os dois exemplos anteriores também podem ser generalizados, adotando-se um fator genérico de multiplicação fator. Nesse caso, o número de iterações será dado por k = logfatorlimite = O(logf(n)), se o limite é função de n. 119
    • www.professoresalgoritmos.com int limite=n; while (limite!=0) { for (i=1; i<=n; i++) trecho com O(1) limite = limite/2; } o número de iterações depende de n; limite vai-se subdividindo a cada iteração; o laço interno é O(n), o externo O (log n); logo, o trecho é O (n log n) Exemplo: 120
    • www.professoresalgoritmos.com • Chamada de função: Pode ser resolvida considerando- se que a função também tem um algoritmo com sua própria complexidade. Esta é usada como base para cálculo da complexidade do algoritmo invocador. Por exemplo: se a invocação estiver num ramo de uma alternativa, sua complexidade será usada na determinação da máxima complexidade entre os dois ramos; se estiver no interior de um laço, será considerada no cálculo da complexidade da seqüência repetida, etc. • A questão se complica ao se tratar de uma chamada recursiva. 121
    • www.professoresalgoritmos.com • Embora não haja um método único para esta avaliação, em geral a complexidade de um algoritmo recursivo será função de componentes como: a complexidade da base e do núcleo da solução e a profundidade da recursão. Por este termo entende-se o número de vezes que o procedimento é invocado recursivamente. Este numero, usualmente, depende do tamanho do problema e da taxa de redução do tamanho do problema a cada invocação. E é na sua determinação que reside a dificuldade da análise de algoritmos recursivos. 122
    • www.professoresalgoritmos.com • Exemplo: int fatorial (int n) { if (n==0) return 1; // Base else return n*fatorial(n- 1); //Núcleo } • A redução do problema se faz de uma em uma unidade, a cada reinvocação do procedimento, a partir de n, até alcançar n = 0. Logo, a profundidade da recursão é igual a n. O núcleo da solução (que é repetido a cada reinvocação) tem complexidade O(1), pois se resume a uma multiplicação. A base tem complexidade O(1), pois envolve apenas uma atribuição simples. Nesse caso, conclui-se que o algoritmo tem um tempo T(n) = n*1+1 = O(n). 123
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo • Considere um algoritmo recursivo, nesse caso é necessário obter uma equação de recorrência (maneira de definir uma função por uma expressão envolvendo a mesma função) • O exemplo a seguir inspeciona n elementos de um conjunto e permite descartar 2/3 dos elementos e então fazer uma chamada recursiva sobre os n/3 elementos restantes 124
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 1- Algoritmo recursivo void pesquisa(int n) { if(n<=1) { cout<<"Inspeciona o elemento e termina"; } else { cout<<"nPara cada um dos n elementos - inspecione o elemento"; pesquisa(n/3); } } 125
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 1- Algoritmo recursivo void pesquisa(int n) { if(n<=1) { cout<<"Inspeciona o elemento e termina"; } else { cout<<"nPara cada um dos n elementos - inspecione o elemento"; pesquisa(n/3); } } Para esse exemplo, a complexidade será O(n), Complexidade linear. 126
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo • Considere o algoritmo para ordenar n elementos de um vetor v cujo princípio é o seguinte: 1. Selecione o menor elemento do vetor 2. Troque esse elemento com o primeiro elemento do v[0] 3. A seguir, repita essas duas operações com os n-1 elementos restantes, depois com os n-2 elemento, até que reste apenas um elemento 127
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar 128
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar O número n de elementos representa o tamanho da entrada de dados. 129
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar O programa contém dois anéis, um dentro do outro. 130
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar Devemos começar a análise pelo anel interno. Nesse anel temos um comando de decisão que, por sua vez, possui apenas um comando de atribuição. 131
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar O comando de atribuição leva um tempo constante para ser executado, assim como a avaliação da condição do comando de decisão. 132
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar Não sabemos se o corpo do comando de decisão será executado ou não: nessas situações devemos considerar o pior caso, isto é, assumir que a linha 10 sempre será executada. 133
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar O tempo para incrementar o índice do anel e avaliar sua condição de terminação também é O(1), e o tempo combinado para executar uma vez o anel composto pelas linhas de 6 a 11 é O(max(1,1,1)) = O(1), conforme a regra da soma para notação O. 134
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar Como o número de iterações do anel é n-i, então o tempo gasto no anel é O(( n-i ) * 1) = O( n-i ), conforme regra do produto. 135
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar O corpo do anel mais externo contém, além do anel interno, os comandos de atribuição nas linhas 5, 13, 14 e 15. Logo, o tempo de execução das linhas de 5 a 15 é O(max(1,(n-i),1,1,1)) = O(n-i). 136
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar A linha 3 é executada n- 1 vezes, e o tempo total para executar o programa está limitado ao produto de uma constante pelo somatório de (n – i) a saber: 137
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2- Programa para ordenar )( 222 )1( )( 2 21 1 nO nnnn in n i      138
    • www.professoresalgoritmos.com Complexidade de Tempo • Melhor caso: corresponde ao menor tempo de execução sobre todas as possíveis entradas de tamanho n • Caso médio (ou caso esperado): corresponde à média dos tempos de execução de todas as entradas de tamanho n • Pior caso: corresponde ao maior tempo de execução sobre todas as possíveis entradas de tamanho n 139
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo3 Considere o problema de encontrar o maior e o menor elementos de um vetor de inteiros v[0..n-1], n>=1 void calculaMaxMin1(int vet[], int n) { int max = vet[0], min = vet[0]; for(int i=1; i<n; i++) { if(vet[i]>max) max = vet[i]; if(vet[i]<min) min = vet[i]; } } 140
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo3 Para o exemplo anterior, temos que f é uma função de complexidade tal que f(n) é o número de comparações entre os elementos de vet, se vet contiver n elementos, temos que: f(n) = 2(n-1), para n > 0 Esse programa pode ser facilmente melhorado. Basta observar que a comparação vet[i] < min somente é necessária quando o resultado da comparação vet[i] > max é falso. 141
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo4 – Nova versão void calculaMaxMin2(int vet[], int n) { int max = vet[0], min = vet[0]; for(int i=1; i<n; i++) { if(vet[i]>max) max = vet[i]; else if(vet[i]<min) min = vet[i]; } } 142
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo4 – Nova versão void calculaMaxMin2(int vet[], int n) { int max = vet[0], min = vet[0]; for(int i=1; i<n; i++) { if(vet[i]>max) max = vet[i]; else if(vet[i]<min) min = vet[i]; } } Melhor caso: f(n) = n-1 Pior caso: f(n) = 2(n-1) Caso médio: f(n) = (3n-3)/2 Melhor caso: o vetor está ordenado crescente e no pior caso está ordenado decrescente 143
    • www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • Notas de aula Profª Raquel Marcia Müller (http://www.comp.uems.br/Members/rmmuller/ pg_aedii) 144
    • www.professoresalgoritmos.com Tipos Abstratos de dados (TAD) Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • TAD: Tipos Abstratos de Dados • Ideia central: encapsular (esconder) de quem usa um determinado tipo a forma concreta com que ele foi implementado 146
    • www.professoresalgoritmos.com TAD - Exemplo • Se criarmos um tipo para representar um ponto no espaço, um cliente desse tipo usa-o de forma abstrata, com base apenas nas funcionalidades oferecidas pelo tipo • A forma com que ele foi efetivamente implementado (armazenando cada coordenada num campo ou agrupando todas num vetor) passa a ser um detalhe de implementação, que não deve afetar o uso do tipo nos mais diversos contextos 147
    • www.professoresalgoritmos.com Modularização • Vantagens: – desacoplamos a implementação do uso – facilitamos a manutenção – aumentamos o potencial de reutilização do tipo criado – a implementação do tipo pode ser alterada sem afetar seu uso em outros contextos. • Modularização: divisão de um programa em vários arquivos-fontes. 148
    • www.professoresalgoritmos.com Modularização • Um módulo agrupa vários tipos e funções com funcionalidades relacionadas, caracterizando assim uma finalidade bem definida. • Se um módulo definir um novo tipo de dado e o conjunto de operações para manipular dados desse tipo, dizemos que o módulo representa um tipo abstrato de dados (TAD) 149
    • www.professoresalgoritmos.com Interface - TAD • A interface de um TAD consiste: – Na definição do nome do tipo e do conjunto de funções exportadas para sua criação e manipulação 150
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 1 – TAD Ponto • Operações: – Cria: operação que cria um ponto com coordenadas x e y – Atribui: operação que atribui novos valores às coordenadas de um ponto – Distancia: operação que calcula a distância entre dois pontos – Libera: operação que libera a memória alocada por um ponto • Interface: arquivo ponto.h 151
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 2 – TAD Circulo • Operações: – Cria: operação que cria um circulo com centro (x,y) e raio r – Area: operação que calcula a area do circulo – Interior: operação que verifica se um dado ponto está dentro do circulo – Libera: operação que libera a memória alocada por um circulo • Interface: arquivo circulo.h 152
    • www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. Capítulo 1. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel, José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão. Capítulo 9. 153
    • www.professoresalgoritmos.com TAD – Listas Encadeadas Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • O vetor não é estrutura muito flexível, pois precisamos dimensioná-lo com um número máximo de elementos – Complexidade das funções para inserir e remover usando vetor em um tempo linear é O(n) • Solução: utilizar estruturas de dados que cresçam conforme precisamos armazenar novos elementos – E diminuam a medida que retiramos elementos armazenados 155
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Essas estruturas são chamadas dinâmicas e armazenam cada um dos seus elementos por alocação dinâmica – Complexidade para inserir e remover: O (1) • A primeira estrutura a ser estudada é a lista encadeada • As listas encadeadas são amplamente utilizadas para implementar diversas outras estruturas de dados com semânticas próprias 156
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Tipos de listas: –Listas Simplesmente Encadeadas –Listas Circulares –Listas Duplamente Encadeadas 157
    • www.professoresalgoritmos.com Lista Linear Encadeada 158
    • www.professoresalgoritmos.com Lista Linear Encadeada • Para cada novo elemento inserido na estrutura => alocamos um espaço de memória para armazená-lo • Assim, o espaço total de memória gasto pela estrutura é proporcional ao número de elementos armazenados • Não podemos garantir que os elementos armazenados na lista ocuparão um espaço contíguo de memória – Portanto, não temos acesso direto aos elementos da lista 159
    • www.professoresalgoritmos.com Lista Linear Encadeada • Exemplos de listas:  Lista Telefônica  Lista de clientes de uma agência bancária  Lista de setores de disco a serem acessados por um sistema operacional  Lista de pacotes a serem transmitidos em um nó de uma rede de computação de pacotes 160
    • www.professoresalgoritmos.com Lista Linear Encadeada • Para percorrer todos os elementos da lista, devemos explicitamente guardar o seu encadeamento Isso é feito armazenando-se junto com a informação de cada elemento, um ponteiro para o próximo elemento da lista 161
    • www.professoresalgoritmos.com Lista Linear Encadeada Info1 Info2 Info3 prim NULL 162
    • www.professoresalgoritmos.com Lista Linear Encadeada • Estrutura: – Consiste em uma sequência encadeada de elementos, em geral chamados nós (nodos) da lista – Um nó da lista é representado por um estrutura que contém dois campos: a informação armazenada e o ponteiro para o próximo elemento da lista 163
    • www.professoresalgoritmos.com Lista Linear Encadeada • A lista é representada por um ponteiro para o primeiro elemento (ou nó) • Do primeiro elemento, podemos alcançar o segundo, seguindo o encadeamento, e assim por diante • O último elemento da lista possui um ponteiro para inválido, com valor NULL e sinaliza que não existe um próximo elemento 164
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Lista Encadeada struct nodo { int valor; nodo* prox; }; valor prox 165
    • www.professoresalgoritmos.com Principais Operações Lista Encadeada 1. Função Inserir na Lista 2. Função Imprime os elementos da Lista 3. Função Verifica se a Lista está vazia 4. Função Remover um elemento da Lista 166
    • www.professoresalgoritmos.com 1- Função Inserir na Lista • Uma vez criada a lista vazia, podemos inserir nela novos elementos • Para cada elemento inserido, devemos alocar dinamicamente a memória necessária para armazenar o elemento e encadeá-lo na lista existente • Parâmetros para a função: o ponteiro para a lista e o valor/ informação do novo elemento 167
    • www.professoresalgoritmos.com 1- Função Inserir na Lista • A função inserir na lista pode: – Inserir um novo elemento no fim da lista, fazendo que o último elemento aponte para NULL, – Inserir no início da lista fazendo com que o prim (primeiro ponteiro) aponte para esse novo elemento. 168
    • www.professoresalgoritmos.com 2- Função Imprime os elementos • Essa função percorre todos os elementos da Lista e imprime os valores dos elementos armazenados na lista • Usamos uma variável auxiliar que é um ponteiro (aux) que aponta para cada uma das estruturas até chegar no NULL 169
    • www.professoresalgoritmos.com 3- Função Verifica se a Lista está vazia • Essa função pode ser útil e utilizada em outras funções • A função recebe a lista e retorna 1 se estiver vazia ou 0 se não estiver vazia • Uma lista está vazia se seu valor é NULL 170
    • www.professoresalgoritmos.com 3- Função Verifica se a Lista está vazia int ListaVazia(nodo * primeiro) { if(primeiro == NULL) return 1; else return 0; } 171
    • www.professoresalgoritmos.com 4- Função Remover um elemento • Parâmetros: lista e o valor do elemento que desejamos remover da lista • Função mais complexa • Se o elemento a ser retirado for o primeiro da lista: devemos fazer 172
    • www.professoresalgoritmos.com Lista Circular 173
    • www.professoresalgoritmos.com Listas Circulares • Algumas aplicações necessitam representar conjuntos cíclicos • Estrutura: o último elemento tem como próximo o primeiro elemento da lista, o que forma um ciclo • Nesse caso nem faz sentido em falar em primeiro ou último elemento já que é um ciclo – dessa forma, a lista pode ser representada por um ponteiro para um elemento inicial qualquer 174
    • www.professoresalgoritmos.com Lista Circular Info1 Info2 Info3 prim 175
    • www.professoresalgoritmos.com Função Imprime elementos Lista Circular • Para percorrer os elementos de uma lista circular é necessário visitar todos os elementos a partir de um ponteiro do elemento inicial até alcançar novamente esse mesmo elemento 176
    • www.professoresalgoritmos.com Função Imprime elementos Lista Circular void imprimeListaCircular(nodo* primeiro) { nodo* aux = primeiro; if(aux != NULL) { do{ cout<<prim->valor; aux = aux -> prox; }while (aux != primeiro); } } 177
    • www.professoresalgoritmos.com Lista Duplamente Encadeada 178
    • www.professoresalgoritmos.com Listas Duplamente Encadeada • A lista encadeada vista anteriormente, também chamada Lista Simplesmente Encadeada (LSE), caracteriza-se por formar um encadeamento simples entre os elementos: –Cada elemento armazena um ponteiro para o próximo elemento da lista 179
    • www.professoresalgoritmos.com Listas Duplamente Encadeada • Problemas da LSE: – não conseguimos percorrer eficientemente os elementos em ordem inversa (do final para o início da lista) – O encademento simples também dificulta a retirada de um elemento da lista, pois não temos um ponteiro para o elemento anterior ao ser retirado 180
    • www.professoresalgoritmos.com Listas Duplamente Encadeada • Solução: Listas duplamente encadeadas • Nessas listas, cada elemento tem um ponteiro para o próximo e um ponteiro para o elemento anterior • Assim, dado um elemento, podemos acessar os dois elementos adjacentes: o próximo e o anterior 181
    • www.professoresalgoritmos.com Listas Duplamente Encadeada Info1 Info2 Info3 prim Ou NULL 182
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Lista Duplamente Encadeada struct nodo2 { int valor; nodo* ant; nodo* prox; }; ant valor prox 183
    • www.professoresalgoritmos.com Principais Operações Lista Duplamente Encadeada 1. Função Inserir na Lista 2. Função Remover um elemento da Lista 3. Função Buscar elemento na Lista 184
    • www.professoresalgoritmos.com Função Remover Elemento da Lista Duplamente Encadeada • A função fica mais complicada, pois é necessário acertar o encadeamento duplo – Em contrapartida, podemos retirar um elemento da lista se conhecermos apenas o ponteiro para esse elemento 185
    • www.professoresalgoritmos.com Função Remover Elemento da Lista Duplamente Encadeada • Se p representa o ponteiro do elemento que desejamos retirar, para acertar o encadeamento devemos conceitualmente fazer: p-> ant-> prox = p-> prox; p-> prox -> ant = p-> ant; Isto é, o anterior passa a apontar para o próximo, e o próximo passa a apontar para o anterior 186
    • www.professoresalgoritmos.com Função Remover Elemento da Lista Duplamente Encadeada • Se p aponta para um elemento no meio da lista: as duas atribuições são suficientes para acertar o encadeamento • Se p aponta para um elemento no extremo da lista: – Se p for o último elemento, o elemento anterior deverá apontar para NULL quando p for removido – Se p for o primeiro elemento, o ponteiro para o primeiro deverá apontar para o próximo elemento 187
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 1- Implemente as principais operações para o TAD lista simplesmente encadeada 2- Implemente as principais operações para o TAD lista duplamente encadeada 188
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 3- Analise a estrutura “no” e o procedimento “abcd”: 189
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios Sabendo-se que as variáveis “prim” e “ult” são, respectivamente, ponteiros para o início e o final de uma lista simplesmente encadeada com 5 elementos, o procedimento “abcd” é utilizado para: [A] incluir um elemento no final da lista. [B] excluir o último elemento da lista. [C] incluir um elemento no início da lista. [D] excluir o primeiro elemento da lista. 190
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 4- Marque (certo) ou (errado): a) (CESPE - 2008 - TRT - 5ª Região (BA) - Técnico Judiciário - Tecnologia da Informação ) A principal característica de uma lista encadeada é o fato de o último elemento da lista apontar para o elemento imediatamente anterior. b) (CESPE - 2009 - ANAC - Técnico Administrativo - Informática)Em uma lista circular duplamente encadeada, cada nó aponta para dois outros nós da lista, um anterior e um posterior. 191
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios (Poscomp-2011) ( ) Uma lista permite que as inserções possam ser feitas em qualquer lugar (posição), mas as remoções, não. ( ) Em uma lista circular com encadeamento simples, o primeiro elemento aponta para o segundo e para o último. ( ) Para remover um elemento de uma lista duplamente encadeada, deve-se alterar o encadeamento dos elementos anterior e próximo ao elemento removido. 192
    • www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel, José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão. Capítulo 10. 193
    • www.professoresalgoritmos.com TAD – Pilha Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução 195
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Uma das Estrutura de dados mais simples é a PILHA – Por isso, é a mais utilizada em programação Principal ideia: todo acesso a seus elementos é feito a partir do topo 196
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Quando um novo elemento é introduzido na pilha, ele passa a ser o elemento do topo • O único elemento que pode ser removido da pilha é o do topo • Os elementos da pilha só podem ser retirados na ordem inversa à ordem em que foram introduzidos: o primeiro que sai é o último que entrou (LIFO – Last in, first out) 197
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Operações Básicas: 1. Operação empilhar (push): – inseri um novo elemento no topo da pilha 2. Operação desempilhar (pop): – remove um elemento do topo da pilha 198
    • www.professoresalgoritmos.com Funcionamento da Pilha a push (a) topo 199
    • www.professoresalgoritmos.com Funcionamento da Pilha a push (a) topo b a push (b) topo 200
    • www.professoresalgoritmos.com Funcionamento da Pilha a push (a) topo b a push (b) topo c b a push (c) topo 201
    • www.professoresalgoritmos.com Funcionamento da Pilha c b a topo pop () desempilha o c b a topo 202
    • www.professoresalgoritmos.com Funcionamento da Pilha c b a push (a) topo pop () desempilha o c b a topo a topo pop () desempilha o b 203
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo - Pilha • O exemplo mais próximo é a própria pilha de execução da linguagem C – As variáveis locais das funções são dispostas em uma pilha, e uma função só tem acesso às variáveis da função que está no topo • Não é possível acessar as variáveis da função locais às outras funções 204
    • www.professoresalgoritmos.com Implementação de pilha com lista struct Lista { float valor; Lista* prox; }; struct Pilha { Lista* topo; }; 205
    • www.professoresalgoritmos.com Pilha* cria_pilha(void) { Pilha* p = (Pilha*)malloc(sizeof(Pilha)); p->topo = NULL; return p; } void push_pilha(Pilha* p, float num) { Lista* n = (Lista*)malloc(sizeof(Lista)); n->valor = num; n->prox = p->topo; p->topo = n; } int pilha_vazia(Pilha* p) { return (p->topo == NULL); } 206
    • www.professoresalgoritmos.com float pop_pilha(Pilha* p) { Lista* t; float v; if(pilha_vazia(p)) { cout<<"n Pilha vazia"; exit(1); } else { t = p->topo; v = t->valor; p->topo = t->prox; free(t); return v; } } 207
    • www.professoresalgoritmos.com void libera_pilha(Pilha* p) { Lista* q = p->topo; while(q != NULL) { Lista* t = q->prox; free(q); q = t; } free(p); } void imprime_pilha(Pilha* p) { Lista* q; for(q=p->topo; q!=NULL; q=q->prox) { cout<<"n "<<q->valor; } } 208
    • www.professoresalgoritmos.com int main() { Pilha* pi = cria_pilha(); push_pilha(pi,2); push_pilha(pi,4); push_pilha(pi,1); imprime_pilha(pi); getch(); system("cls"); pop_pilha(pi); imprime_pilha(pi); getch(); } 209
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 1- Faça uma função que retorne a quantidade de elementos (tamanho) de uma pilha. 2- Faça uma função para concatenar duas pilhas, essa função deve receber as pilhas como parâmetro (observe a imagem). 2.1 4.5 1.0 P1 – topo -> 7.2 3.1 9.8 P2 – topo -> 7.2 3.1 9.8 2.1 4.5 1.0 P1 – topo -> concatena 210
    • www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel, José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão. Capítulo 11. 211
    • www.professoresalgoritmos.com TAD – Fila Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução 213
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Outra Estrutura de dados bastante usada na computação é a FILA • O que a diferencia da pilha é a ordem de saída dos elementos: enquanto na pilha “o último que entra é o primeiro que sai”, na fila “o primeiro que entra é o primeiro que sai” 214
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução Ideia principal: só podemos inserir um novo elemento no final da fila e só podemos retirar o elemento do início. 215
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Analogia natural com a fila do dia-a-dia: quem entra primeiro na fila é o primeiro a se atendido (ex. fila de Banco, fila do CAA, fila do Mc Donald, etc) • Os elementos da fila só podem ser retirados na ordem em que foram introduzidos: o primeiro que entra é o primeiro que sai (FIFO – First in, First out) 216
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Operações Básicas: 1. Inserir elementos na fila: – inserir elementos em uma extremidade da fila 2. Retirar elementos da fila: – retirar elementos de outra extremidade da fila 217
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo - Fila • Um exemplo de utilização em computação é a implementação de uma fila de impressão: – Impressora é compartilhada por várias máquinas: adotar uma estratégia para determinar o documento será impresso primeiro • Estratégia mais simples: tratar todas as requisições com a mesma prioridade e imprimir os documentos na ordem em que forem submetidos (o primeiro submetido é o primeiro a ser impresso) 218
    • www.professoresalgoritmos.com Estrutura de fila com lista encadeada ini fim Info1 Info2 Info3 219
    • www.professoresalgoritmos.com Implementação de fila com lista struct Lista { float info; Lista* prox; }; struct Fila { Lista* ini; Lista* fim; }; 220
    • www.professoresalgoritmos.com Fila* fila_cria() { Fila* f = (Fila*)malloc(sizeof(Fila)); f->ini = NULL; f->fim = NULL; return f; } int fila_vazia(Fila* f) { return (f->ini == NULL); } 221
    • www.professoresalgoritmos.com void fila_insere(Fila* f, float v) { Lista* n = (Lista*)malloc(sizeof(Lista)); n->info = v; //armazena a informação n->prox = NULL; //novo no será o ultimo if(f->fim != NULL) //fila não esta vazia? { f->fim->prox = n; } else //senão a fila esta vazia { f->ini = n; } f->fim = n; //fila aponta p novo elemento } 222
    • www.professoresalgoritmos.com float fila_retira(Fila* f) { Lista* t; float v; if(fila_vazia(f)) { cout<<"Fila vazia"; exit(1); //aborta o programa } t = f->ini; v = t->info; f->ini = t->prox; if(f->ini == NULL) //fila ficou vazia? { f->fim = NULL; } free(t); return v; } 223
    • www.professoresalgoritmos.com void fila_libera(Fila* f) { Lista* q = f->ini; while(q != NULL) { Lista* t = q->prox; free(q); q = t; } free(f); } void fila_imprime(Fila* f) { Lista* q; for(q = f->ini; q!=NULL; q = q->prox) { cout<<" "<<q->info<<" - "; } } 224
    • www.professoresalgoritmos.com int main() { Fila* f = fila_cria(); fila_insere(f, 20); fila_insere(f, 80); fila_insere(f, 10); fila_imprime(f); getch(); system("cls"); fila_retira(f); fila_imprime(f); getch(); } 225
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 1- Faça uma função que retorna a quantidade de elementos existem na fila. 2- Faça uma função que verifica se existe um determinado número(valor) inserido na fila. 226
    • www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel, José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão. Capítulo 12. 227
    • www.professoresalgoritmos.com Recursividade Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Uma função é dita recursiva se definida em termos dela mesma • Ou seja, uma função é recursiva quando dentro dela está presente uma instrução de chamada a ela própria 229
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Fatorial Recursivo int fatorial(int n) { if(n==0) { return 1; } else { return(n * fatorial(n-1)); } } 230
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Fatorial Recursivo int main() { int num; do{ cout<<"nDigite um numero ou negativo para terminar: "; cin>>num; if(num>0) { cout<<"nO fatorial de "<<num<<" e: "<<fatorial(num); } }while(num>0); cout<<"nFim do programa"; getch(); } 231
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • O código gerado por uma função recursiva exige a utilização de mais memória, o que torna a execução mais lenta • Não é difícil criar funções recursivas, o difícil é reconhecer as situações nas quais a recursão é apropriada • Três pontos devem ser lembrados quando queremos escrever uma função recursiva 232
    • www.professoresalgoritmos.com Criando uma função recursiva • 1º Passo: definir o problema em termos recursivos • Isso significa definir o problema usando ele mesmo na definição • Ex.: O fatorial de um número pode ser definido por meio da seguinte expressão: n! = n * (n-1)! 233
    • www.professoresalgoritmos.com Criando uma função recursiva • 2º Passo: encontrar a condição básica. Toda função recursiva deve ter uma condição de término chamada de condição básica • A função fatorial(), quando chamada, verifica se num é zero – Se a condição for satisfeita, interrompe a recursão 234
    • www.professoresalgoritmos.com Criando uma função recursiva • 3º Passo: cada vez que a função é chamada recursivamente deve estar mais próxima de satisfazer a condição básica • Isso garante que o programa não girará em uma sequência infinita de chamadas • No exemplo, a cada chamada, o valor de num estará mais próximo de zero 235
    • www.professoresalgoritmos.com Como trabalha uma função recursiva? • Para entender o funcionamento de uma função recursiva, vamos imaginar que a chamada recursiva é a chamada a outra função que tenha o mesmo código da função original 236
    • www.professoresalgoritmos.com Como trabalha uma função recursiva? • Supondo que o número digitado tenha sido 3: int fatorial(int 3) { ... else { return(3 * fatorial(2)); } } 237
    • www.professoresalgoritmos.com Como trabalha uma função recursiva? • Supondo que o número digitado tenha sido 3: int fatorial(int 3) { ... else { return(3 * fatorial(2)); } } int fat1(int 2) { ... else { return(2 * fatorial(1)); } } 238
    • www.professoresalgoritmos.com Como trabalha uma função recursiva? • Supondo que o número digitado tenha sido 3: int fatorial(int 3) { ... else { return(3 * fatorial(2)); } } int fat1(int 2) { ... else { return(2 * fatorial(1)); } } int fat2(int 1) { ... else { return(1 * fatorial(0)); } } 239
    • www.professoresalgoritmos.com Como trabalha uma função recursiva? • Supondo que o número digitado tenha sido 3: int fatorial(int 3) { ... else { return(3 * fatorial(2)); } } int fat1(int 2) { ... else { return(2 * fatorial(1)); } } int fat2(int 1) { ... else { return(1 * fatorial(0)); } } int fat3(int 0) { if(n == 0) { return (1); } ... } 240
    • www.professoresalgoritmos.com Como trabalha uma função recursiva? • Supondo que o número digitado tenha sido 3: int fatorial(int 3) { ... else { return(3 * fatorial(2)); } } int fat1(int 2) { ... else { return(2 * fatorial(1)); } } int fat2(int 1) { ... else { return(1 * fatorial(0)); } } int fat3(int 0) { if(n == 0) { return (1); } ... } 241
    • www.professoresalgoritmos.com Como trabalha uma função recursiva? • O que ocorre na memória é quase a mesma coisa, exceto pelo fato de que não há repetição do código da função • Observe que várias chamadas estão ativas ao mesmo tempo • Enquanto a última chamada não terminar, a penúltima não termina e assim por diante – Isso faz as variáveis de cada chamada serem todas mantidas na memória, o que requer mais memória 242
    • www.professoresalgoritmos.com Como trabalha uma função recursiva? 3! 3 * 2! 2 * 1! 1* 0! 1 243
    • www.professoresalgoritmos.com Característica da função recursiva • As funções recursivas devem ter: – Ponto de Parada: resolvido sem utilização de recursividade, sendo este ponto geralmente um limite superior ou inferior da regra geral. – Regra Geral: o método geral da recursividade reduz a resolução do problema através da invocação recursiva de casos mais pequenos, sendo estes casos menores resolvidos através da resolução de casos ainda menores, e assim sucessivamente, até atingir o ponto de parada que finaliza o método. 244
    • www.professoresalgoritmos.com Característica da função recursiva • Exemplo Fatorial(n) = (n == 0) 1 // Ponto de parada (n)  n * (n-1)! // Regra geral 245
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Torre de Hanói a b c 1 2 3 246
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Torre de Hanói void mover(int n, char orig, char temp, char dest) { if(n==1) { cout<<"n Mova o disco 1 da haste "<<orig<<" para haste "<<dest; } else { mover(n-1, orig, dest, temp); cout<<"n Mova o disco "<<n<<" da haste "<<orig<<" para haste "<<dest; mover(n-1, temp, orig, dest); } } 247
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Torre de Hanói int main() { mover(3, 'A', 'B', 'C'); getch(); } 248
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Torre de Hanói 249
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Impressão de um seqüência de números void print_numero(int num) { if (num > 0) { print_numero(num-1); cout << num << " "; } } void print_numero_inv(int num) { if (num > 0) { cout << num << " "; print_numero_inv(num-1); } } int main() { int numero; cout << "Digite o numero inicial: "; cin >> numero; print_numero(numero); cout << endl; print_numero_inv(numero); cout << endl; system("pause"); } 250
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Resto da divisão de um número por outro (método sem recursão) #include <iostream.h> int resto(int x, int y) { while(x >= y) { x = x –y; } return( x ); } int main() { int num, den; cout << "Digite o numerador: "; cin >> num; cout << "Digite o denominador: "; cin >> den; cout << resto(num, den); cout << endl; system("pause"); } 251
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo – Resto da divisão de um número por outro (método recursivo) #include <iostream.h> int resto(int x, int y) { if (x < y) return(x); return( resto(x - y, y) ); } int main() { int num, den; cout << "Digite o numerador: "; cin >> num; cout << "Digite o denominador: "; cin >> den; cout << resto(num, den); cout << endl; system("pause"); } 252
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 1- Escreva uma função recursiva denominada potencia() que aceite dois parâmetros inteiros positivos i e j. A função retorna i elevado a potência j. Por exemplo: potencia(2,3) é igual a 8. Use a seguinte definição: i elevado à potência j é igual a i elevado à potência j-1 vezes i 253
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 2- Escreva uma função recursiva de nome soma() que receba um número inteiro positivo n como argumento e retorne a soma dos n primeiro números inteiros. Por exemplo, se a função receber n= 5, deve retornar 15, pois 15 = 1+2+3+4+5 254
    • www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel, José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão. Capítulo 11. 255
    • www.professoresalgoritmos.com TAD – Árvores Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução Nó Raiz ... 257
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Estruturas de dados chamadas lineares como vetores e listas não são adequadas para representar dados que devem ser dispostos e maneira hierárquica – Exemplo: arquivos (documentos) que criamos em um computador são armazenados dentro de uma estrutura hierárquica de diretórios (pastas) – Existe um diretório base dentro do qual podemos armazenar diversos subdiretórios e arquivos 258
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Árvores: são estruturas de dados adequadas para a representação de hierarquias – A forma mais natural de definir uma estrutura de árvore é usando a recursividade • Recursividade: habilidade de uma função chamar a si mesma 259
    • www.professoresalgoritmos.com Recursividade • Uma função poderá também ser considerada recursiva se chamar outras funções que, em algum momento, chamem a primeira função, tornando esse conjunto de funções um processo recursivo. • Cada vez que uma função é chamada de forma recursiva, é guardada uma cópia dos seus parâmetros de forma a não perder os valores dos parâmetros das chamadas anteriores. 260
    • Árvores Uma árvore é composta por: • um nó Raiz, denominado r, que contém zero ou mais sub árvores • nós folhas ou extremos, que não possuem filhos 261
    • www.professoresalgoritmos.com Representação das Árvores Nó Raiz ... Folhas 262
    • www.professoresalgoritmos.com Árvores • É tradicional desenhar as estruturas de árvores com a raiz para cima e as folhas para baixo • Não fica explicita a direção dos ponteiros – Fica subentendido que os ponteiros apontam sempre do pai para os filhos – Os tipos de árvores existentes são diferenciados pelo número de filhos por nó e as informações armazenadas em cada nó 263
    • Árvores Binárias • Exemplo de utilização: avaliação de expressões • Como trabalhamos com operadores que esperam um ou dois operandos, os nós da árvore para representar uma expressão têm no máximo dois filhos 264
    • Árvores Binárias • nós folhas representam os operandos • nós internos representam operadores • No exemplo, a expressão representada é a: (3+6) * (4-1) + 5 265
    • Árvores Binárias • Em uma árvore binária, cada nó tem zero, um ou dois filhos. • Recursivamente, podemos definir uma árvore binária como sendo: – uma árvore vazia, ou – um nó raiz tendo duas subárvores, identificadas como a subárvore da direita (sad) e a subárvore da esquerda (sae) raiz sae sad Vazia * A definição recursiva será usada na construção de algoritmos e na verificação (informal) da correção e do seu desempenho 266
    • www.professoresalgoritmos.com Árvores Binárias a b c d e f Os nós a, b, c, d, e e f formam uma árvore binária: - Sub árvore à esquerda formada por b e d - Sub árvore à direita formada por c, e e f - A raiz da árvore representada pelo nó a - As raízes das sub árvores representadas pelos nós b e c - Folhas representadas pelos nós d, e e f - Além disso, cada nó folha representa uma árvore, com duas sub árvores vazias. 267
    • www.professoresalgoritmos.com Árvores Binárias a b c d e f Podemos usar a seguinte notação textual: - A árvore vazia é representada por < > - e a árvore não vazia, por <raiz sae sad> Para o nosso exemplo: <a<b< ><d< >< >>><c<e< >< >><f< >< >>>> 268
    • www.professoresalgoritmos.com Representação • De modo semelhante ao que fizemos para as demais estruturas, podemos definir um tipo para representar uma árvore binária struct arv { char info; arv* esq; arv* dir; }; 269
    • www.professoresalgoritmos.com Representação • Da mesma forma que uma lista encadeada é representada por um ponteiro para o nó para o primeiro nó, a estrutura da árvore é representada por um ponteiro para o nó raiz • Dado o ponteiro para o nó raiz tem-se acesso aos demais nós 270
    • www.professoresalgoritmos.com Operações básicas • Cria árvore vazia –Como uma árvore é representada pelo endereço do nó raiz, uma árvore vazia tem de ser representada pelo valor NULL 271
    • www.professoresalgoritmos.com Operações básicas • Cria árvore não-vazia: – Para construir árvores não-vazias, podemos ter uma operação que cria um nó raiz dadas a informação e as duas sub árvores, a da esquerda e a da direita – Essa operação tem como retorno o endereço do nó raiz criado 272
    • www.professoresalgoritmos.com Operações básicas • Imprime árvore: – Consiste em exibir todo o conteúdo da árvore – Essa função deve percorrer recursivamente a árvore, visitando todos os nós e imprimindo sua informação – Como uma árvore binária ou é vazia ou é composta pela raiz e por duas sub árvores 273
    • www.professoresalgoritmos.com Operações básicas • Imprime árvore: – Portanto, para imprimir a informação de todos os nós da árvore devemos primeiro testar se ela é vazia – se não for, imprimimos a informação associada à raiz e chamamos (recursivamente) a função para imprimir as sub árvores 274
    • www.professoresalgoritmos.com Operações básicas • Libera árvore: – Operação para liberar a memória 275
    • www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel, José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão. Capítulo 13. 276
    • www.professoresalgoritmos.com Balanceamento em Árvores Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Dois argumentos favoráveis às árvores: 1. as árvores são bem apropriadas para representar a estrutura hierárquica de um certo domínio 2. o processo de busca é muito mais rápido usando árvores do que listas encadeadas • No entanto, o 2º argumento, nem sempre se mantém 278
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Observe as árvores, todas elas armazenam os mesmos dados, mas obviamente, a árvore (a) é a melhor e a (c) é a pior. (a) (b) (c) 279
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • O que acontece nas árvores (b) e (c) é que elas são assimétricas, portanto, não são distribuídas uniformemente (a) (b) (c) 280
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Uma árvore é dita balanceada quando as suas sub-árvores à esquerda e à direita possuem a mesma altura. • E todos os nós vazios estão no mesmo nível, ou seja, a árvore está completa. • A árvore que não está balanceada, define-se como degenerada 281
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução 282
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Como em uma árvore binária cada nó pode ter dois filhos, o número de nós em um certo nível é o dobro do número de ascendentes que residem no nível prévio Altura Nível Nós em um nível 1 0 2 ^ 0 = 1 2 1 2 ^ 1 = 2 3 2 2 ^ 2 = 4 4 3 2 ^ 3 = 8 283
    • www.professoresalgoritmos.com Balanceamento • Pode ser: –Balanceamento Estático –Balanceamento Dinâmico: AVL 284
    • www.professoresalgoritmos.com Balanceamento • Balanceamento Estático –O balanceamento estático de uma árvore binária consiste em construir uma nova versão, reorganizando-a. 285
    • www.professoresalgoritmos.com Balanceamento • Balanceamento Dinâmico: AVL – Árvore AVL em homenagem aos matemáticos russos (Adelson-Velskii e Landism -1962) – Uma árvore AVL é uma árvore binária de pesquisa onde a diferença em altura entre as subárvores esquerda e direita é no máximo 1 (positivo ou negativo). • A essa diferença chamamos de “fator de balanceamento” de n(FatBal (n)). • Essa informação deverá constar em cada nó de uma árvore balanceada 286
    • www.professoresalgoritmos.com Árvore AVL • Árvore AVL (ou árvore balanceada pela altura) • Assim, para cada nodo podemos definir um fator de balanceamento (FB) , que vem a ser um número inteiro igual a: • O Fator de uma folha é sempre Zero (0) FB(nodo p) = altura(subárvore direita p) - altura(subárvore esquerda p) 287
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplos de Árvores AVL • Os números nos nodos representam o FB para cada nodo. • Para uma árvore ser AVL os fatores de balanço devem ser necessariamente -1, 0, ou 1. 288
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplos de Árvores Não-AVL 289
    • www.professoresalgoritmos.com Árvore AVL • Se o fator de balanceamento de qualquer nó em uma árvore AVL se tornar menor do que -1 ou maior do que 1 – a árvore tem que ser balanceada – Um arvore AVL pode ser tornar desbalanceada em quatro situações, mas somente duas delas necessitam ser analisadas • as outras duas são simetricas 290
    • www.professoresalgoritmos.com Balanceamento de Árvore AVL • Inicialmente inserimos um novo nodo na árvore. – A inserção deste novo nodo pode ou não violar a propriedade de balanceamento. • Caso a inserção do novo nodo não viole a propriedade de balanceamento – Podemos então continuar inserindo novos nodos. 291
    • www.professoresalgoritmos.com Balanceamento de Árvore AVL • Caso contrário precisamos nos preocupar em restaurar o balanço da árvore. – A restauração deste balanço é efetuada através do que denominamos ROTAÇÕES na árvore. – “Rotações” => movimentações dos nós, pode ser feito a medida que um nó é inserido 292
    • www.professoresalgoritmos.com Balanceamento de Árvore AVL • Primeiro caso: resultado de inserir um nó na subárvore da direita do filho à direita (ver próximo slide) – Inserindo um nó em algum lugar da subarvore da direita de Q, perturba o balanceamento da árvore P – Para resolver: girar o nó Q ao redor de seu ascendente P, de modo que o fator de balanceamento tanto de P como de Q se torna zero, o que é ainda melhor do que no princípio 293
    • www.professoresalgoritmos.com Balanceamento de Árvore AVL (a) (b) (c) 294
    • www.professoresalgoritmos.com Balanceamento de Árvore AVL • Segundo caso: resultado de inserir um nó na subárvore da esquerda do filho à direita (ver próximos slides) – Para trazer a árvore de volta ao balanceamento, uma dupla rotação é realizada – O balanço da árvore P é restaurado girando-se R ao redor do nó Q e então girando-se R novament, dessa vez ao redor do nó P 295
    • www.professoresalgoritmos.com Balanceamento de Árvore AVL (a) (b) 296
    • www.professoresalgoritmos.com Balanceamento de Árvore AVL (c) (d) 297
    • www.professoresalgoritmos.com Balanceamento de Árvore AVL (e) 298
    • www.professoresalgoritmos.com Dicas: Árvore AVL 1. Para identificarmos quando uma rotação é simples ou dupla observamos os sinais de FatBal: – se o sinal for igual, a rotação é simples. – se o sinal for diferente a rotação é dupla. 2. Se FB + rotação para esquerda 3. Se FB - rotação para direita 299
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 1- Considere a inserção dos seguintes valores (nesta ordem) em uma árvore AVL: 5,3,8,2,4,7,10,1,6,9,11. Para essas inserções nenhuma rotação é necessária. Desenhe a árvore AVL resultante e determine o fator de balanceamento de cada nó. 300
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 2- Construir uma árvore AVL com os seguintes dados: • Inserir inicialmente 10, 20, 30 • Se necessário fazer balanceamento • Inserir 25 e 27 • Se necessário fazer balanceamento 301
    • www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. • DROZDEK, Adam. Estruturas de dados e algoritmos em c++. São Paulo: Cengage Learning, 2009. Tradução: Luiz Sérgio de Castro Paiva. Capítulo: 6. 302
    • www.professoresalgoritmos.com Pesquisa em Memória Primária Árvore Binária de Busca Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Pesquisa = busca 304
    • www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca • O algoritmo de busca binária apresentado tem bom desempenho computacional • e deve ser usado quando temos os dados ordenados armazenados em um vetor 305
    • www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca • Mas se precisarmos inserir e remover elementos da estrutura e ao mesmo tempo dar suporte a funções de busca eficientes, a estrutura de vetor – (e, consequentemente, a busca binária) não se mostra adequada • Para inserir um novo elemento em um vetor ordenado, temos de rearrumar os elementos no vetor para abrir espaço para inserção do novo elemento 306
    • www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca • Uma situação semelhante ocorre quando removemos um elemento do vetor • Sendo assim, precisamos de uma estrutura dinâmica que dê suporte a operações de busca • No caso, podemos usar a estrutura estudada: Árvore Binária 307
    • www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca • As árvores binárias aqui consideradas têm uma propriedade fundamental: – o valor associado a raiz é sempre maior do que os valores associados a qualquer nós das subárvores • Essa propriedade garante que quando percorremos a árvore em ordem simétrica (sae – raiz – sad), os valores são encontrados em ordem crescente 308
    • www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca 8 4 9 1 2 Ordem simétrica: 1 - 4 - 2 - 8 - 9 sae sad 309
    • www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca • Uma variação possível permite a repetição de valores na árvore: – o valor associado à raiz é sempre maior do que o valor associado a qualquer nó da sae – e é sempre menor ou igual ao valor associado a qualquer nó sad • Nesse caso, como a repetição de valores é permitida, quando a árvore é percorrida em ordem simétrica, os valores são encontrados em ordem não decrescente 310
    • www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca • Ao usar a propriedade de ordem simétrica, a busca de um valor em uma árvore pode ser feita de forma eficiente • Para procurar um valor numa árvore, comparamos o valor que buscamos ao valor associado à raiz – Em caso de igualdade, o valor foi encontrado – Se o valor for menor, a busca continua em sae – Se o valor for maior, a busca continua em sad 311
    • www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca • Exemplo: 6 2 8 1 4 3 312
    • www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca • Tipo da árvore binária: struct Arv { int info; Arv* esq; Arv* dir; }; 313
    • www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca • A árvore é representada pelo ponteiro para o nó raiz • A árvore vazia é inicializada pela atribuição de NULL à variável que representa a árvore • Uma função simples para criar a árvore vazia é: Arv* abb_cria() { return NULL; } 314
    • www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca • Caso já exista uma árvore binária de busca, podemos imprimir os valores da árvore em ordem crescente percorrendo os nós em ordem simétrica: void abb_imprime(Arv* a) { if(a!= NULL) { abb_imprime(a->esq); cout<<"n"<<a->info; abb_imprime(a->dir); } } 315
    • www.professoresalgoritmos.com Árvore binária de busca • Até agora nada mudou para as árvores binárias que tínhamos visto • Outras operações vão explorar a propriedade das árvores de busca • Busca: função que busca um elemento na árvore • Insere: função que insere um novo elemento na árvore • Retira: função que retira um elemento da árvore 316
    • www.professoresalgoritmos.com Operação de busca • A operação para buscar um elemento na árvore explora a propriedade de ordenação da árvore, • Desempenho computacional proporcional à sua altura (O(log n)) para árvores balanceadas 317
    • www.professoresalgoritmos.com Operação de inserção • A operação de inserção adiciona um elemento na árvore na posição correta para que a propriedade fundamental seja mantida • Para inserir um valor v em uma árvore, usamos sua estrutura recursiva e a ordenação especificada na propriedade fundamental – Se a (sub)árvore for vazia, deve ser substituída por uma árvore cujo único nó (o nó raiz) contém o valor v – Se a árvore não for vazia, comparamos v ao valor na raiz da árvore e inserimos v na sae ou na sad, conforme resultado da comparação 318
    • www.professoresalgoritmos.com Operação de inserção • É importante lembrar da necessidade de atualizar os ponteiros para as subárvores à esquerda ou à direita –quando da chamada recursiva da função, pois a função de inserção pode alterar o valor do ponteiro para a raiz da (sub)árvore. 319
    • www.professoresalgoritmos.com Operação de inserção Arv* abb_insere(Arv* a, int v) { if(a == NULL) { a = (Arv*)malloc(sizeof(Arv)); a->info = v; a->esq = a->dir = NULL; } else if (v < a->info) a->esq = abb_insere(a->esq, v); else a->dir = abb_insere(a->dir, v); return a; } 320
    • www.professoresalgoritmos.com Operação de remoção • A operação de remoção permite retirar um determinado elemento da árvore • Essa operação também deve ter como valor de retorno a eventual nova raiz da árvore, mas sua implementação é mais complexa que a inserção • Novamente a implementação deve ser recursiva 321
    • www.professoresalgoritmos.com Operação de remoção • Se a árvore for vazia, nada tem de ser feito, pois o elemento não está presente na árvore • Se a árvore não for vazia, comparamos o valor armazenado no nó raiz ao valor que se deseja retirar da árvore • Se o valor associado à raiz for maior do que o valor a ser retirado, chamamos a função recursivamente para retirar o elemento da subárvore à esquerda 322
    • www.professoresalgoritmos.com Operação de remoção • Se o valor associado à raiz for menor retiramos o elemento da (sub)árvore à direita • Finalmente, se o valor associado à raiz for igual, encontramos o elemento a ser retirado e devemos efetuar essa operação • Portanto, estaremos sempre retirando um nó raiz de uma (sub)árvore • Nesse caso, existem 3 situações possíveis 323
    • www.professoresalgoritmos.com Operação de remoção • 1ª situação: é quando se deseja retirar uma raiz que é folha que é folha (isto é, uma raiz que não tem filhos) – Neste caso, basta liberar a memória alocada pelo elemento e ter como valor de retorno a raiz atualizada, que passa a ser NULL • 2ª situação: acontece quando a raiz a ser retirada possui um único filho – Ao se retirar esse nó, a raiz da árvore passa a ser o único filho existente 324
    • www.professoresalgoritmos.com Operação de remoção • O caso complicado ocorre quando a raiz a ser retirada tem dois filhos, para poder retirar esse nó da árvore, devemos proceder assim: –Encontrarmos o elemento que precede a raiz na ordenação. Isso equivale a encontrar o elemento mais à direita da subárvore à esquerda 325
    • www.professoresalgoritmos.com Operação de remoção • Trocamos a informação da raiz com a informação do nó encontrado • Retiramos da subárvore à esquerda, chamando a função recursivamente, o nó encontrado (que agora contém a informação da raiz que se deseja retirar). Observa-se que retirar o nó mais à direita é trivial, pois ele é um nó folha ou um nó com um único filho (no caso, o filho da direita nunca existe) 326
    • www.professoresalgoritmos.com Operação de remoção Arv* abb_retira(Arv* r, int v) { if(r == NULL) return NULL; else if(r->info > v) r->esq = abb_retira(r->esq, v); else if(r->info < v) r->dir = abb_retira(r->dir, v); else //achou o elemento { /*elemento sem filhos*/ if(r->esq == NULL && r->dir == NULL) { free(r); r= NULL; } //.... 327
    • www.professoresalgoritmos.com Operação de remoção else if(r->esq == NULL) { Arv* t = r; r = r->dir; free(t); } else if(r->dir == NULL) { Arv* t = r; r = r->esq; free(t); } else { //.... 328
    • www.professoresalgoritmos.com Operação de remoção Arv* f = r->esq; while(f->dir != NULL) { f = f->dir; } r->info = f->info; f->info = v; r->esq = abb_retira(r->esq, v); } } return r; } 329
    • www.professoresalgoritmos.com Árvores Balanceadas • É fácil prever que, após várias operações de inserção/remoção, a árvore tende a ficar desbalanceada – Essas operações não garantem o balanceamento • Para que seja possível usar árvores binárias de busca e manter sempre a altura das árvores no mínimo, ou próximo dele – É necessário um processo de inserção e remoção de nós mais complicado 330
    • www.professoresalgoritmos.com Árvores Balanceadas • E com isso manter as árvores “balanceadas” ou “equilibradas”, tendo as duas subárvores de cada nó o mesmo peso, isto é, o mesmo número de elementos nas subárvores deve ser igual ou aproximadamente igual 331
    • www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel, José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão. Capítulo 17. 332
    • www.professoresalgoritmos.com Pesquisa em Memória Primária Tabela Hash Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Tabelas de dispersão = tabela hash • Essas estruturas se bem projetadas podem ser usadas para buscar um elemento em ordem constante: O(1). • Preço pago por essa eficiência: – será um uso maior de memória, – mas esse uso excedente não precisa ser tão grande e é proporcional ao número de elementos armazenados. 334
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Os registros armazenados em uma tabela hash são diretamente endereçados a partir de uma transformação aritmética sobre a chave de pesquisa 335
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Limitação da tabela hash: – Ausência de ordenação – Ausência de navegação • Utilização das tabelas hash: – Banco de dados – Dicionários – Tabelas de símbolos – Sistemas de senha e autenticação 336
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo • Desejamos armazenar dados referentes aos alunos de uma disciplina. Cada aluno é individualmente identificado pelo seu numero de matrícula. • Podemos usar o número de matrícula como chave de busca do conjunto de alunos armazenados. • O número de matrícula é dado por uma sequencia de 8 dígitos, – o último dígito representa um dígito de controle e, portanto, não parte efetiva do número de matrícula. 337
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo • Se 9711234-4 fosse um número de matrícula válido, o último dígito 4, após o hífen, representaria o dígito de controle. • O número de matrícula efetivo nesse caso seria composto pelo primeiro sete dígitos: 9711234. 338
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo • Para permitir um acesso a qualquer aluno em ordem constante, podemos usar o número de matrícula do aluno como índice de um vetor (vet) • Se isso for possível, acessamos os dados do aluno cuja matrícula é dada por mat pela indexação do vetor (vet[mat]) • Assim, o acesso ao elemento ocorre em ordem constante, imediata • Problema: o preço pago para ter acesso rápido é muito grande 339
    • www.professoresalgoritmos.com Estrutura do Aluno struct Aluno { int mat; char nome[81], email[41], turma; }; 340
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo • Como a matrícula é composta por sete dígitos, o número inteiro que conceitualmente representa uma matrícula varia de 0 a 9999999. Portanto, precisamos dimensionar nosso vetor com dez milhões (10.000.000) de elementos. Isso pode ser feito por: #define MAX 10000000 Aluno vet[MAX]; 341
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo • Para acessar o nome do aluno com matrícula mat, basta usar: vet[mat].nome • Como a estrutura de cada aluno, no exemplo, ocupa menos de 127 bytes, estamos falando de um gasto de 1.270.000.000 bytes, ou seja, acima de 1 Gbyte de memória 342
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo • Amenizando o problema: podemos usar um vetor de ponteiros em vez de um vetor de estruturas. Desse modo, as posições do vetor que não correspondem a alunos cadastrados teriam valores NULL • Para cada aluno cadastrado, alocaríamos dinamicamente a estrutura de aluno e armazenaríamos um ponteiro para essa estrutura no vetor • Para acessar o nome do aluno, agora, vamos usar: vet[mat]->nome 343
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo • Assim, ao considerar que cada ponteiro ocupa 4 bytes, o gasto excedente de memória seria de, no máximo, aproximadamente, 40 Mbytes. • Apesar de menor, esse gasto de memória ainda é proibitivo. • Resolvendo esse problema: e ainda com acesso rápido: usaremos tabelas de dispersão (hash table) 344
    • www.professoresalgoritmos.com Tabela Hash • Idéia central – Identificar, na chave de busca, quais são as partes significativas 345
    • www.professoresalgoritmos.com Tabela Hash • Os dígitos mais significativos são os 4 últimos seqüenciais • Dessa maneira, podemos usar um número de matrícula parcial, de acordo com a dimensão que queremos dar a nossa tabela (ou nosso vetor) • Ex. para dimensionar nossa tabela com apenas 100 elementos, podemos usar os dois últimos dígitos seqüenciais do numero de matrícula 346
    • www.professoresalgoritmos.com Tabela Hash • A tabela pode então ser declarada por: Aluno* tab[100]; • Para acessar o nome do aluno cujo número de matrícula é dado por mat, usamos como índice da tabela apenas os dois últimos dígitos. Isso poderia se conseguido com a aplicação do operador módulo (%): vet[mat%100]-> nome 347
    • www.professoresalgoritmos.com Tabela Hash • Dessa forma, o uso de memória excedente é pequeno, e o acesso a um determinado aluno, a partir do número de matrícula, continua imediato • Problema: Provavelmente, existirão dois ou mais alunos da turma que apresentarão os mesmo dois últimos dígitos no numero da matrícula 348
    • www.professoresalgoritmos.com Colisão • Existe colisão, pois alunos diferentes são mapeados para o mesmo índice da tabela • Para que a estrutura funcione de maneira adequada, temos que resolver esse problema com o devido tratamento das colisões • Existem diversos métodos para tratar colisões em tabelas hash, no entanto, não há como eliminar a ocorrência de colisões nas tabelas hash • O que fazemos é minimizar as colisões, além disso, mesmo com colisões é necessário saber identificar cada elemento da tabela individualmente. 349
    • www.professoresalgoritmos.com Função de dispersão • A função de dispersão (ou função hash) mapeia uma chave de busca em um índice da tabela • No exemplo, adotamos como função hash a utilização dos dois últimos dígitos do número de matrícula • Nossa função poderia ser assim: int hash(int mat) { return (mat%100); } 350
    • www.professoresalgoritmos.com Tratamento de Colisão • Existem diversas estratégias para tratar eventuais colisões que surgem quando duas ou mais chaves de busca são mapeadas para um mesmo índice da tabela hash • Nas estratégias que serão apresentadas, a tabela de dispersão será representada por um vetor de ponteiros para a estrutura que representa a informação a ser armazenada, no exemplo, Aluno 351
    • www.professoresalgoritmos.com Tratamento de Colisão • Assim, podemos definir um tipo que representa a tabela: #define N 127 typedef Aluno* Hash[N]; 352
    • www.professoresalgoritmos.com Tratamento de Colisão • Nas duas primeiras estratégias a serem apresentadas, –os elementos que colidem são armazenados em outros índices, ainda não ocupados, da própria tabela • A escolha da posição ainda não ocupada para armazenar um elemento que colide diferencia as estratégias a serem discutidas 353
    • www.professoresalgoritmos.com Tratamento de Colisão • Uso da posição consecutiva livre • Na 1ª estratégia, se a função de dispersão mapeia a chave de busca para um índice já ocupado, procuramos o próximo índice livre da tabela para armazenar o novo elemento • Uma tabela hash nunca terá todos os elementos preenchidos (ocupação acima de 75% eleva o número de colisões) – Portanto, devemos sempre garantir que existirá uma posição livre na tabela. 354
    • www.professoresalgoritmos.com Tratamento de Colisão • Uso da posição consecutiva livre * * * * * * Busca por posição livre h( x ) x 355
    • www.professoresalgoritmos.com Tratamento de Colisão • Uso da posição consecutiva livre Aluno* hsh_busca(Hash tab, int mat) { int h = hash(mat); while(tab[h] != NULL) { if(tab[h]->mat == mat) { return tab[h]; } h = (h+1)% N; } return NULL; } 356
    • www.professoresalgoritmos.com Função para inserção Aluno* hsh_insere(Hash tab, int mat, char* n, char* e, char t) { int h = hash(mat); while(tab[h]!= NULL) { if(tab[h]->mat == mat) { break; } h = (h+1)%N; } if(tab[h] == NULL) //não encontrou o elemento { tab[h]=(Aluno*)malloc(sizeof(Aluno)); tab[h]->mat = mat; } //atribui - modifica informação strcpy(tab[h]->nome, n); strcpy(tab[h]->email, e); tab[h]->turma = t; return tab[h]; } 357
    • www.professoresalgoritmos.com Tratamento de Colisão • Uso de uma segunda função de dispersão • Para evitar a concentração de posições ocupadas na tabela, esta 2ª estratégia faz uma variação na forma de procurar uma posição livre a fim de armazenar o elemento que colidiu. • Possível segunda função de dispersão: X = chave de busca N = dimensão da tabela 358
    • www.professoresalgoritmos.com Tratamento de Colisão • Uso de uma segunda função de dispersão • De posse dessa nova função, se houver colisão, procuramos uma posição livre na tabela com incrementos da mesma forma que o anterior, dados por . Em vez de tentarmos (h(x) + 1 )%N, tentamos (h(x) + h´(x))% N 359
    • www.professoresalgoritmos.com Tratamento de Colisão • Cuidados: 1. A função de dispersão nunca deve retornar zero, pois isso não faria com que o índice fosse incrementado 2. De preferência, essa função não deve retornar um número divisor da dimensão da tabela, pois isso nos limitaria a procurar uma posição livre em um subconjunto restrito dos índices da tabela • Se a dimensão da tabela for um número primo, garante-se automaticamente que o resultado da função não será um divisor 360
    • www.professoresalgoritmos.com Tratamento de Colisão • Implementação da função de busca: int hash2(int mat) { return (N - 2 - mat%(N-2)); } Aluno* hsh_busca(Hash tab, int mat) { int h = hash(mat); int h2 = hash2(mat); while(tab[h] != NULL) { if(tab[h]->mat == mat) { return tab[h]; } h = (h+h2)% N; } return NULL; } 361
    • www.professoresalgoritmos.com Tratamento de Colisão • Uso de listas encadeadas • Uma estratégia diferente, mas ainda simples, consiste em fazer com que cada elemento da tabela hash represente um ponteiro para uma lista encadeada • Todos os elementos mapeados para um mesmo índice seriam armazenados na lista encadeada 362
    • www.professoresalgoritmos.com Tratamento de Colisão • Uso de listas encadeadas * * * * * * Os índices da tabela que não têm elementos associados representam listas vazias. 363
    • www.professoresalgoritmos.com Tratamento de Colisão • Uso de listas encadeadas • Com essa estratégia, cada elemento armazenado na tabela será um elemento de uma lista encadeada • Portanto devemos prever, na estrutura da informação um ponteiro adicional para o próximo elemento da lista 364
    • www.professoresalgoritmos.com Tratamento de Colisão • Uso de listas encadeadas struct Aluno { int mat; char nome[81]; char email [41]; char turma; Aluno* prox; }; 365
    • www.professoresalgoritmos.com Tratamento de Colisão • Uso de listas encadeadas Aluno* hsh_busca(Hash tab, int mat) { int h = hash(mat); Aluno* a = tab[h]; while(a != NULL) { if(a->mat == mat) { return a; } a = a->prox; } return NULL; } 366
    • www.professoresalgoritmos.com Aluno* hsh_insere(Hash tab, int mat, char* n, char* e, char t) { int h = hash(mat); Aluno* a = tab[h]; while(a!= NULL) { if(a->mat == mat) { break; } a = a->prox; } if(a == NULL) //não encontrou o elemento { a =(Aluno*)malloc(sizeof(Aluno)); a->mat = mat; a->prox = tab[h]; tab[h] = a; } //atribui - modifica informação strcpy(a->nome, n); strcpy(a->email, e); a->turma = t; return a; } Função para inserção 367
    • www.professoresalgoritmos.com Etapas – Método Tabela Hash • Duas etapas principais: 1. Computar o valor da função de transformação (hash) a qual transforma a chave de pesquisa em um endereço da tabela 2. Considerando que duas ou mais chaves podem ser transformadas em um mesmo endereço da tabela, é necessário existir um método para lidar com colisões 368
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 1- Considere as seguintes estruturas de dados: (I)Tabela hash (II)Fila (III)Arvore de pesquisa (IV)Pilha Qual ou quais das estruturas acima requer mais do que tempo médio constante para Inserção de um elemento? (a) Somente(I) (b) Somente (II) (c) Somente(III) (d) Somente (IV) (e) Todas. 369
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 2- Ao usar o cálculo de endereço ou hashing, geralmente é necessário o uso de um método de tratamento de colisões. Sobre esse método, é correto afirmar: a) O tratamento de colisões é necessário apenas quando a tabela está cheia e se necessita inserir mais uma chave. b) O tratamento de colisões é necessário para deter minar o local da chave no momento da inserção na tabela. c) O tratamento de colisões é necessário quando a tabela está vazia, pois não é possível calcular o endereço diretamente nesse caso. d) O tratamento de colisões é necessário quando a chave inserida ainda não existir na tabela de endereçamento. e) O tratamento de colisões é necessário, pois o hashing gera repetição de endereço para diferentes chaves. 370
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios 3- (CESPE - 2010 - TRE-MT - Técnico Judiciário - Programação de Sistemas) Em sistema computacional, a forma de armazenar os dados tem papel essencial no tempo e na quantidade de memória necessários à execução de um programa. Em relação a diferentes tipos de estruturas dinâmicas de dados, assinale a opção correta. a) Pilhas e filas são estruturas de dados em que a inserção e remoção de dados são realizadas em posições previamente especificadas pelo programador. b) Listas ligadas, também chamadas listas encadeadas, podem ser organizadas de várias maneiras diferentes: simplesmente encadeadas ou duplamente encadeadas; circulares ou não circulares; ordenadas ou não ordenadas; lineares ou não lineares. 371
    • www.professoresalgoritmos.com Exercícios (continuação questão 3) c) Árvores binárias são estruturas de dados adequadas à representação de hierarquias, e cada nó da árvore tem zero, um ou mais filhos. A relação hierárquica entre seus filhos é definida por sua localização nas subárvores. d) Tabelas de dispersão ou hash tables apresentam como aspecto negativo a possibilidade de haver colisão na inserção de informações. Entre as técnicas utilizadas para tratar esse problema, inclui-se o endereçamento aberto e o uso de listas encadeadas. e) Listas de adjacências e matriz de adjacência possuem a desvantagem comum de não ser possível determinar se uma aresta pertence ou não ao grafo. 372
    • www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. Capítulo 5. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel, José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão. Capítulo 18. 373
    • www.professoresalgoritmos.com Pesquisa Digital Árvore TRIE Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • A pesquisa digital é baseada na representação das chaves como um sequência de caracteres ou de dígitos 375
    • www.professoresalgoritmos.com TRIE • Definida em 1960 • Vem da palavra RETRIEVAL (relacionado a recuperação de informação) • Usa parte da chave para guiar a pesquisa • Cada chave é uma sequencia de caracteres, e uma TRIE é organizada ao redor desses caracteres, não ao redor de chaves inteiras 376
    • www.professoresalgoritmos.com TRIE • Cada nó contém informações sobre um ou mais símbolos do Alfabeto • Alfabeto pode abranger: {0,1}, {A, B, C, D ...} ou {1,2,3,4,....} e mais o caracter nulo (ou branco) 377
    • www.professoresalgoritmos.com TRIE • São usadas para: – manuseamento de dicionários; – pesquisas em textos de grande dimensão; – construção de índices de documentos; – expressões regulares (padrões de pesquisa). 378
    • www.professoresalgoritmos.com TRIE • O caminho da raiz da TRIE para qualquer outro nó representa um prefixo de uma string • Em Tries Compactas todos os descendentes diretos do mesmo pai são agrupados • No último nodo, o último caracter da palavra que estiver sendo procurada deverá ter associado a si (como seu apontador) a posição da palavra no texto 379
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo • x 380
    • www.professoresalgoritmos.com Exemplo 381
    • www.professoresalgoritmos.com Conclusão • Portanto: • Cada nível da árvore que se desce, corresponde a avançar um elemento na chave • Cada nó pode conter informação sobre um ou mais símbolos do alfabeto utilizado • Assim: uma dada sequência de arestas pode formar qualquer palavra (chave) possível com base nesse alfabeto; não existe limite para o tamanho de uma sequência (e portanto para o tamanho de uma chave); as sequências têm comprimento variável 382
    • www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. Capítulo 5. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • Celes, Waldemar; Cerqueira, Renato e Rangel, José Lucas. Introdução a Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004 – 5ª impressão. Capítulo 18. 383
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Ivre Marjorie R. Machado (ivre.marjorie@gmail.com)
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • A eficiência do manuseio de dados muitas vezes pode ser aumentada se os dados forem dispostos de acordo com algum critério de ordem – Ex.: Dicionários, índices de livros, folhas de pagamento, contas bancárias, listas de estudantes, etc • Embora um computador possa manipular um agenda de telefones não-ordenado mais fácil e rapidamente do que um ser humano, é extremamente ineficiente ter um computador processando dados desordenados. 385
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Sendo assim, frequentemente é necessário ordenar dados antes do processamento • 1ª Etapa => escolher o critério de ordenação – A escolha varia de aplicação a aplicação e precisa ser definida pelo usuário – Ex.: Ordem ascendente e descendente • 2ª Etapa => como usar o critério escolhido para colocar os dados em ordem 386
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • A ordenação final pode ser obtida de vários modos, mas apenas algumas delas podem ser significativas e eficientes • Para decidir o melhor método, certos critérios de eficiência devem ser estabelecidos e um método deve ser selecionado para comparar quantitativamente diferentes algoritmos – Propriedades usadas para comparar: número de comparações e número de movimentos de dados 387
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Para ordenar um conjunto de dados, eles têm que ser comparados e movidos conforme necessário – A eficiência dessas duas operações depende do tamanho do conjunto de dados – Vamos calcular o numero de comparações e de movimentações apenas quando for possível (pior caso, melhor caso e caso médio) • Aspecto predominante na escolha do algoritmo de ordenação: tempo gasto para ordenar registros em um arquivo 388
    • www.professoresalgoritmos.com Introdução • Um método de ordenação é dito estável – se a ordem relativa dos itens com chaves iguais mantém-se inalterada pelo processo de ordenação 389
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Bubble Sort (Tipo bolha) • O algoritmo consome tempo e processamento • Apesar de simples, não deve ser utilizado com matrizes ou listas muito extensas para evitar lentidão no processamento • Seu funcionamento é muito simples • O Algoritmo faz um loop (laço) pelos valores da matriz comparando-os e movendo o maior para a posição anterior 390
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Bubble Sort (Tipo bolha) • Este método cria uma ordenação decrescente • Para criar uma ordenação crescente, o algoritmo deverá mover o maior valor para a posição posterior, após o elemento testado 391
    • www.professoresalgoritmos.com void bubble_sort(char matriz[], int tamanho) { int i, j; char temp; for (i=0; i < tamanho; i++) for(j=0;j < tamanho; j++) if (matriz[i] < matriz[j]) { temp = matriz[i]; matriz[i] = matriz[j]; matriz[j] = temp; } } Ordenação Bubble Sort (Tipo bolha) 392
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação por Seleção (Select Sort) • O algoritmo Select Sort também consome processamento e tempo, e assim, também não é adequado em matrizes e listas muito grandes • Ele trabalha selecionando um elemento como o primeiro da lista, por exemplo. • É realizada uma pesquisa na lista para encontrar o valor mínimo e este é então posicionado no lugar do elemento pesquisado. 393
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação por Seleção (Select Sort) • Funcionamento: 1- Selecione o menor item do vetor 2- Troque-o com o item que está na primeira posição do vetor – Repita essas duas operações com os n-1 itens restantes, depois com os n-2 itens, até que reste apenas um elemento 394
    • www.professoresalgoritmos.com void ordena(char v[], int n) { for(int i=0; i<n-1; i++) { int min = i; for(int j=i+1; j<n; j++) { if(v[j] < v[min]) { min = j; } //troca int aux = v[min]; v[min] = v[i]; v[i] = aux; } } } Ordenação por Seleção (Select Sort) Complexidade O(n²) 395
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação por Seleção (Select Sort) • Observações: • O fato de o arquivo já está ordenado não ajuda em nada, pois o custo continua quadrático • O algoritmo não é estável, pois ele nem sempre deixa os registros com chaves iguais na mesma posição 396
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação por Seleção (Select Sort) Exemplo 1 2 3 4 5 6 Chaves iniciais O R D E N A i = 1 A R D E N O i =2 A D R E N O i = 3 A D E R N O i = 4 A D E N R O i = 5 A D E N O R 397
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação por Seleção (Select Sort) Exemplo agora com números 1 2 3 4 5 6 Chaves iniciais 8 1 4 9 2 3 i = 1 1 8 4 9 2 3 i =2 1 2 4 9 8 3 i = 3 1 2 3 9 8 4 i = 4 1 2 3 4 8 9 i = 5 1 2 3 4 8 9 398
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação por Inserção • Método preferido dos jogadores de cartas • Em cada passo, a partir de i = 2, o i-ésimo item da sequência fonte é apanhado e transferido para a sequência destino, sendo inserido no seu lugar apropriado • Exemplo: considere que as chaves serão inseridas nessa ordem: O R D E N A 399
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação por Inserção • Funcionamento: 1- A colocação do item no seu lugar apropriado na sequência destino é realizada movendo-se itens com chaves maiores para a direita e então inserindo o item na posição deixada vazia. 400
    • www.professoresalgoritmos.com void insertionSort(char v[], int n) { for (int i = 1; i < n; i++) { int x = v[i]; for (int j = i; j > 0 && x < v[j - 1]; j--) v[j] = v[j-1]; v[j] = x; } } Ordenação por Inserção 401
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação por Inserção Exemplo 1 2 3 4 5 6 Chaves iniciais O R D E N A i = 2 O R D E N A i =3 D O R E N A i = 4 D E O R N A i = 5 D E N O R A i = 6 A D E N O R 402
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação por Inserção • Observação: • O método de ordenação por inserção é estável, –pois ele deixa os registros com chaves iguais na mesmo posição relativa 403
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Shellsort • Shell (1939) propôs uma extensão do algoritmo de ordenação por inserção • O método da inserção troca itens adjacentes quando está procurando o ponto de inserção as sequência destino • Se o menor item estiver na posição mais à direita no vetor, então o número de comparações e movimentações é igual a n-1 para encontrar o seu ponto de inserção 404
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Shellsort • A ordenação Shell Sort compara os elementos de uma matriz que estão separados por uma distância específica chamada gap até que os elementos comparados com o gap corrente estejam em ordem • O gap é então é dividido por 2 e o processo continua, até que o gap seja igual a 1 e nenhuma divisão possa mais ser feita (com um valor inteiro como resultado) • Ao final do processo, a matriz estará ordenada 405
    • www.professoresalgoritmos.com void shell_sort(int matriz[], int tamanho) { int i, gap, temp, ret; gap = tamanho/2; do { do { ret = 0; for(i=0; i<(tamanho-gap);i++) { if(matriz[i]>matriz[i+gap]) { temp = matriz[i]; matriz[i]=matriz[i+gap]; matriz[i+gap]=temp; ret = 1; } } }while(ret == 1); }while(gap = gap/2); } Ordenação Shell Sort 406
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Shell sort Exemplo 1 2 3 4 5 6 Chaves iniciais O R D E N A gap = 3 E R D O N A E N D O R A E N A O R D 407
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Shell sort Exemplo 1 2 3 4 5 6 Chaves iniciais E N A O R D gap = 1 E N A O R D A E N O R D A E N O R D A E N O R D A D E N O R 408
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Shellsort • Este método se parece muito com o algoritmo tipo bolha (Bubble Sort) somado ao tipo seleção (Select Sort), com a diferença de ser mais rápido e podermos escolher quais elementos da matriz serão ordenados • Assim, este algoritmo pode ser considerado um dos que consome menor processamento e também tempo de execução 409
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Shellsort • É uma ótima opção para arquivos de tamanho moderado – mesmo porque sua implementação é simples e requer uma quantidade de código pequena – Existem métodos mais eficientes, mas são também muito mais complicados para implementar 410
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Quicksort • Este algoritmo seleciona o valor central da lista como um separador (pivô) • A partir daí ele cria duas listas: – a primeira com os valores menores que o separador – e outra com os valores maiores ou iguais ao separador. 411
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Quicksort • A seguir a ordenação chama a si mesma recursivamente, sempre selecionando um novo separador nas listas, e criando novas listas menores até que estas tenham apenas um único elemento • O algoritmo então reposiciona os valores das novas listas na lista original • Ao final do algoritmo uma matriz (lista) estará ordenada 412
    • www.professoresalgoritmos.com void quick_sort(int matriz[], int primeiro, int ultimo) { int temp, high, low, separador, temp1; low = primeiro; high = ultimo; separador = matriz[(primeiro+ultimo)/2]; do { while(matriz[low]<separador) low++; while(matriz[high]>separador) high--; Ordenação Quicksort 413
    • www.professoresalgoritmos.com if(low<=high) { temp = matriz[low]; matriz[low++] = matriz[high]; matriz[high--]=temp; } }while(low<=high); if(primeiro<high) quick_sort(matriz, primeiro, high); if(low<ultimo) quick_sort(matriz, low, ultimo); } Ordenação Quicksort 414
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Quicksort Exemplo 1 2 3 4 5 6 O R D E N A A D R E N O A D E R N O A D E N R O A D E N O R 415
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Quicksort 416
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Quicksort • Note que as novas “listas” são geradas levando em conta a posição da lista anterior – Assim o programa saberá exatamente qual a posição de cada valor • Observe que neste método, o consumo de memória é bem grande • Em média o tempo de execução do quicksort é O(n log n) 417
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Mergesort • Complexidade: O(n log n) • O algoritmo é baseado na abordagem de desenvolvimento dividir e conquistar. Ainda, explora a recursividade, o que o torna bastante intuitivo 418
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Mergesort • Idéia: dividir a sequência de entrada em duas subsequências. Então, realiza-se a ordenação das duas subsequências, de forma recursiva • Por fim, intercala-se as sequências ordenadas para obter o resultado final 419
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Mergesort • O algoritmo consiste em intercalar pares de sequências de um item para formar sequências ordenadas de comprimento 2 • Intercalar pares de sequências de comprimento 2 para formar sequências ordenadas de comprimento 4 e assim por diante... • … até duas sequências de comprimento n/2 serem intercaladas para formar a sequência ordenada final, de comprimento n. 420
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Mergesort 5 2 4 7 1 3 2 6 2 5 4 7 1 3 2 6 2 4 5 7 1 2 3 6 1 2 2 3 4 5 6 7 421
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Heapsort • Complexidade: O(n log n) • O algoritmo leva esse nome por utilizar, na sua solução, uma estrutura do tipo heap • Um heap é um arranjo (sequência) representado por uma árvore binária (completa) 422
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Heapsort • Para construí-lo, é necessário conhecer – o comprimento do arranjo a ser representado (número de elementos) – e o tamanho do heap, que é definido como o número de elementos no heap armazenados dentro do arranjo A 423
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Heapsort • O algoritmo de ordenação Heapsort utiliza um heap máximo, isto é, para cada nó diferente da raiz, seu valor deve ser menor que o valor do nó pai • Para que a ordenação ocorra, primeiro é construído um heap máximo que represente a sequência • O heap é construído de baixo pra cima, a partir do penúltimo nível, subindo os valores maiores para os níveis superiores. 424
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Heapsort • A ordenação de heap usa o heap, uma árvore binária com as seguintes propriedades: – O valor de cada nó não é menor do que os valores de cada um de seus filhos – A árvore é perfeitamente balanceada e as folhas no último nível estão todas nas posições mais a esquerda 425
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Heapsort • Etapas: 1- na primeira fase a matriz é transformada em um heap 2- essa fase começa depois que a heap é construída, vamos criar uma matriz e trocar o último valor com o primeiro Essas etapas irão repetir até que a matriz esteja toda ordenada 426
    • www.professoresalgoritmos.com Ordenação Heapsort Procedimento HeapSort (A vetor, tamA, tam_heap inteiro) Início declare i inteiro; {Constrói o heap que representa o arranjo} para i de tamA até 2 passo -1 faça Troca A[1] por A[i]; tam_heap = tam_heap - 1; Reorganiza o heap; fim para Fim 427
    • www.professoresalgoritmos.com Observe o nosso exemplo: 428
    • www.professoresalgoritmos.com 1- Transforma a matriz em um heap 1º 429
    • www.professoresalgoritmos.com 1- Transforma a matriz em um heap 2º 430
    • www.professoresalgoritmos.com 1- Transforma a matriz em um heap 3º 431
    • www.professoresalgoritmos.com 1- Transforma a matriz em um heap 4º 432
    • www.professoresalgoritmos.com Ficou assim... 433
    • www.professoresalgoritmos.com 2- Construção de uma matriz troca entre o primeiro e último valor 15 12 6 11 10 2 3 1 8 8 12 6 11 10 2 3 1 15 434
    • www.professoresalgoritmos.com Monto a árvore novamente e transformo em um heap 1º 435
    • www.professoresalgoritmos.com Monto a árvore novamente e transformo em um heap 2º 436
    • www.professoresalgoritmos.com Ficou assim... 437
    • www.professoresalgoritmos.com 2- Construção de uma matriz troca entre o primeiro e último valor 12 11 6 8 10 2 3 1 15 1 11 6 8 10 2 3 12 15 438
    • www.professoresalgoritmos.com Monto a árvore novamente e transformo em um heap 1º 439
    • www.professoresalgoritmos.com Monto a árvore novamente e transformo em um heap 2º 440
    • www.professoresalgoritmos.com Ficou assim... 441
    • www.professoresalgoritmos.com 2- Construção de uma matriz troca entre o primeiro e último valor 11 10 6 8 1 2 3 12 15 3 10 6 8 1 2 11 12 15 442
    • www.professoresalgoritmos.com Monto a árvore novamente e transformo em um heap 1º 443
    • www.professoresalgoritmos.com Monto a árvore novamente e transformo em um heap 2º 444
    • www.professoresalgoritmos.com Ficou assim... 445
    • www.professoresalgoritmos.com 2- Construção de uma matriz troca entre o primeiro e último valor 10 8 6 3 1 2 11 12 15 2 8 6 3 1 10 11 12 15 446
    • www.professoresalgoritmos.com Monto a árvore novamente e transformo em um heap 1º 447
    • www.professoresalgoritmos.com Monto a árvore novamente e transformo em um heap 2º 448
    • www.professoresalgoritmos.com Ficou assim... 449
    • www.professoresalgoritmos.com 2- Construção de uma matriz troca entre o primeiro e último valor 8 3 6 2 1 10 11 12 15 1 3 6 2 8 10 11 12 15 450
    • www.professoresalgoritmos.com Monto a árvore novamente e transformo em um heap 1º 451
    • www.professoresalgoritmos.com Ficou assim... 452
    • www.professoresalgoritmos.com 2- Construção de uma matriz troca entre o primeiro e último valor 6 3 1 2 8 10 11 12 15 2 3 1 6 8 10 11 12 15 453
    • www.professoresalgoritmos.com Monto a árvore novamente e transformo em um heap 1º 454
    • www.professoresalgoritmos.com Ficou assim... 455
    • www.professoresalgoritmos.com 2- Construção de uma matriz troca entre o primeiro e último valor 3 2 1 6 8 10 11 12 15 1 2 3 6 8 10 11 12 15 456
    • www.professoresalgoritmos.com Monto a árvore novamente e transformo em um heap 1º 457
    • www.professoresalgoritmos.com Ficou assim... 458
    • www.professoresalgoritmos.com Montando a matriz percebemos que ela já está ordenada: 1 2 3 6 8 10 11 12 15 459
    • www.professoresalgoritmos.com *Comparação entre os métodos de ordenação 500 5.000 10.000 30.000 Inserção 11,3 87 161 - Seleção 16,2 124 228 - Shellsort 1,2 1,6 1,7 2 Quicksort 1 1 1 1 Heapsort 1,5 1,6 1,6 1,6 Ordem aleatória dos registros * A tabela apresenta uma comparação do tempo total real para ordenar arranjos com 500, 5.000, 10.000 e 30.000 registros 460
    • www.professoresalgoritmos.com Comparação entre os métodos de ordenação 500 5.000 10.000 30.000 Inserção 1 1 1 1 Seleção 128 1.524 3.066 - Shellsort 3,9 6,8 7,3 8,1 Quicksort 4,1 6,3 6,8 7,1 Heapsort 12,2 20,8 22,4 24,6 Ordem ascendente dos registros 461
    • www.professoresalgoritmos.com Comparação entre os métodos de ordenação 500 5.000 10.000 30.000 Inserção 40,3 305 575 - Seleção 29,3 221 417 - Shellsort 1,5 1,5 1,6 1,6 Quicksort 1 1 1 1 Heapsort 2,5 2,7 2,7 2,9 Ordem descendente dos registros 462
    • www.professoresalgoritmos.com Referência Bibliográfica • ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos com implementações em Java e C++. São Paulo: Thomson Learning, 2007. • CORMEN, Thomas. Algoritmos: teoria e prática. Campus, 2002. • DROZDEK, Adam. Estrutura de dados e algoritmos em c++. São Paulo: Cengage Learning, 2009. Capítulo 9. • Notas de aula da Prof. Raquel Marcia Müller. Disponível em: http://www.comp.uems.br/Members/rmmuller/pt_aedii/Aula 4-Ordenacao.pdf 463