ANÁLISIS MATEMÁTICO II Momentos Integrales dobles y triples Integrales dobles y triples: Cálculo de volúmenes de sólidos Masa Centro de masa Momento de inercia Radio de giro Rotor Divergencia Vector normal Gradiente

Cálculo de volúmenes de sólidos

Masa

Centro de masa

Momento de inercia

Radio de giro

Rotor

Divergencia

Vector normal

Gradiente

Cálculo de volumen en sólidos Cilindroide definido por: Volumen de S: Cuerpo sólido

Cálculo de volumen en sólidos Cuerpo sólido Volumen de S: Figura definida por:

Densidad y Masa Región “S” del plano xy “ D”: densidad “ R K ”: rectángulo Masa de R k : D(X K ;Y K )A(R K ) Masa total de la lámina: n m= ∑ D(X K ;Y K )A(R K ) K=1 Masa real m:

Densidad y Masa

Analog í a con integrales triples f (x,y,z) “ B” caja B 1 , B 2 ,…B n B K Punto muestra (x k ,y k ,z k ) Masa total de la caja: n m= ∑ f(X K ;Y K ;Z K )  V K K=1 IPI = norma de partición m = ∫∫∫ f(x,y,z) dV = lím ∑ f(x k ,y k ,z k )  V k B IPI-0 k=1 n

Centro de masa n M y = ∑ x k m k k=1 n M x = ∑ y k m k k=1 Coordenadas (x,y) del centro de masa: m 1 ,m 2 …m n es una colección de masas puntuales en (x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 )…(x n ,y n )

Centro de masa Lámina de densidad variable D (x,y) en región S del plano xy R k en (X k ,Y k ) k = 1,2,….,n límite cuando la norma de partición tiende a cero.

R k en (X k ,Y k )

k = 1,2,….,n

límite cuando la norma de partición tiende a cero.

Analogía con integrales triples Fórmulas correspondientes a: Masa m del sólido S Momento cruzado de S con respecto al plano xy Coordenada Z del centro de masa

Momento de inercia Línea recta: Partícula gira en torno a su eje: Partícula giratoria: r 2 m: momento de inercia KE: energía cinética I: momento de inercia

Línea recta:

Partícula gira en torno a su eje:

Partícula giratoria:

Momento de inercia Momento de inercia de un cuerpo en movimiento circular es similar a la masa de un cuerpo en movimiento lineal. Ni las masas ni los radios de giro serán uniformes (depende de la masa y la distancia respecto del centro) Sistema de n partículas con masas m 1 ,m 2 …m n y distancias r 1 ,r 2 …r n respecto a la recta L, el momento de inercia en torno de L es: Suma de los momentos de inercia de las partículas individuales.

Momento de inercia de un cuerpo en movimiento circular es similar a la masa de un cuerpo en movimiento lineal.

Ni las masas ni los radios de giro serán uniformes (depende de la masa y la distancia respecto del centro)

Sistema de n partículas con masas m 1 ,m 2 …m n y distancias r 1 ,r 2 …r n respecto a la recta L, el momento de inercia en torno de L es:

Momento de inercia Lámina D(x,y) en región S del plano xy. División de S en recintos. Aproximación de los momentos de inercia de cada recinto. Suma y aplicación de límite. Momentos de inercia = segundos momentos Se aprecia: Integral de segundo orden. Momentos de inercia respecto de los ejes. Su análogo para un cuerpo: Otro signo de integral Reemplazo dA por dV Otra variable en la integración

Lámina D(x,y) en región S del plano xy.

División de S en recintos.

Aproximación de los momentos de inercia de cada recinto.

Suma y aplicación de límite.

Se aprecia:

Integral de segundo orden.

Momentos de inercia respecto de los ejes.

Su análogo para un cuerpo:

Otro signo de integral

Reemplazo dA por dV

Otra variable en la integración

Radio de giro Reemplazar un sistema general de masas con masa total m por una única masa puntual m con el mismo momento de inercia con respecto de una recta L. ¿A qué distancia debe estar dicho punto de L? La respuesta es el vector r, donde mr -2 = I El nro. es el radio de giro del sistema.

Reemplazar un sistema general de masas con masa total m por una única masa puntual m con el mismo momento de inercia con respecto de una recta L.

Trabajo F(x,y,z) = M(x,y,z) i + N(x,y,z) j + P(x,y,z) k M, N y P son continuas “ Q (x,y,z) ”: punto “ r”: recta al punto “ F”: fuerza aplicada “ T”: vector tangente “ C”: curva orientada “ W”: trabajo Se desea calcular W realizado por F al mover una partícula a lo largo de C . Sea r = x i + y j + z k vector posición de Q (x,y,z) en C . “ T”: versor tangente d r /ds en Q . Entonces, F . T  s es el componente tangencial de F en Q.

M, N y P son continuas

“ Q (x,y,z) ”: punto

“ r”: recta al punto

“ F”: fuerza aplicada

“ T”: vector tangente

“ C”: curva orientada

Trabajo “ W” realizado por F al mover la partícula desde Q una corta distancia  s a lo largo de C es, aproximadamente: F . T  s En consecuencia, W: “ W”: escalar positivo o negativo T = (dr/dt)(dt/ds), entonces: F . d r es el W de F al mover una partícula. Otra expresión para W:

“ W”:

escalar

positivo o negativo

Rotor Aplicable a campos vectoriales Su resultado es un campo vectorial Se utiliza para determinar si un campo es o no conservativo. Si un campo es conservativo el rotor es cero. Cuando el rotor es cero, el campo vectorial será entonces conservativo. Forma genérica: F(x,y,z) = (Py-Nz) i + (Mz-Px) j + (Nx-My) k

Aplicable a campos vectoriales

Su resultado es un campo vectorial

Se utiliza para determinar si un campo es o no conservativo.

Si un campo es conservativo el rotor es cero. Cuando el rotor es cero, el campo vectorial será entonces conservativo.

Forma genérica:

F(x,y,z) = (Py-Nz) i + (Mz-Px) j + (Nx-My) k

Ejemplo de cálculo de rotor F(x,y,z) = xy i + x 2 j - zx k M: xy N: x 2 P: zx Se desea conocer el rotor en los puntos: P(0,0,0)= 0 (punto de salida) P(1,0,2)= -1 Rot (F(x,y,z))= (0-0) i + (0+z) j + (y-0) k Rot (F(x,y,z))= (0,z,y) Rot F(0,0,0)= (0,0,0) Rot F(1,0,2)= (0,2,0) Derivadas: Mx= y Ny= 0 Pz= -x

F(x,y,z) = xy i + x 2 j - zx k

Divergencia Se aplica a campos vectoriales Da como resultado un campo escalar Definición: Sea F = M i + N j + P k un campo vectorial para el que existen. Entonces: Para el ejemplo anterior calculamos la divergencia…

Se aplica a campos vectoriales

Da como resultado un campo escalar

Definición:

Sea F = M i + N j + P k un campo vectorial para el que existen.

Cálculo de divergencia Sea: F(x,y,z)= xy i + x 2 j – zx k Entonces… DIV(F(X,Y,Z))= 4 - X Como se puede apreciar, el resultado es un campo escalar.

Vector normal El vector normal es aquel que presenta una estricta perpendicularidad con el vector unitario tangencial al punto de aplicación de cierta fuerza sobre algún cuerpo. Se obtiene calculando la función inversa multiplicativa del versor tangente.

El vector normal es aquel que presenta una estricta perpendicularidad con el vector unitario tangencial al punto de aplicación de cierta fuerza sobre algún cuerpo.

Se obtiene calculando la función inversa multiplicativa del versor tangente.

El gradiente El vector gradiente es aquel que asocia a todos los puntos del dominio de una función en sí mismo. Obtención: se toma la función que describe la forma del sólido. Las primeras derivadas con respecto a cada una de las variables indicarán las componentes de sus versores. El gradiente de f en un punto P es perpendicular a la curva de nivel de f que pasa por P.

El vector gradiente es aquel que asocia a todos los puntos del dominio de una función en sí mismo.

Obtención: se toma la función que describe la forma del sólido. Las primeras derivadas con respecto a cada una de las variables indicarán las componentes de sus versores.

El gradiente de f en un punto P es perpendicular a la curva de nivel de f que pasa por P.

Cuestiones genéricas del gradiente Se denota ▼f( p ) Componentes: (f x ( p ),f y ( p )) = f x ( p ) i + f y ( p ) j Sirve para saber si una función es diferenciable. Esto ocurre si y solo si: F( p + h ) = f( p ) + ▼f( p ) . h + ε ( h ) . H El vector gradiente tendrá tantas componentes como variables presente la función.

Se denota ▼f( p )

Componentes: (f x ( p ),f y ( p )) = f x ( p ) i + f y ( p ) j

Sirve para saber si una función es diferenciable. Esto ocurre si y solo si:

F( p + h ) = f( p ) + ▼f( p ) . h + ε ( h ) . H

El vector gradiente tendrá tantas componentes como variables presente la función.

Seminario realizado por… Chaves María Paz García Juliana Sforzín Vanesa 2008