Operaciones basicas de la aritmetica

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Operaciones basicas de la aritmetica

  1. 1. OperacionesAritméticas Una operación es un conjunto de reglas que permiten obtener otrascantidades o expresiones.Suma La operación suma consiste en obtener el número total de elementos apartir dos o más cantidades.a+b=c Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.Propiedades de la suma1. Asociativa:El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.(a + b) + c = a + (b + c)2. Conmutativa:El orden de los sumandos no varía la suma.a+b=b+a3. Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con élda el mismo número.a+0=a4.Elemento opuesto Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.a−a=0El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.La suma de números naturales no cumple esta propiedad.RestaLa resta o sustracción es la operación inversa a la suma.a-b=c Los términos que intervienen en una resta sellaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.
  2. 2. Propiedades de la restaNo es Conmutativa:a−b≠b–aMultiplicación Multiplicar dos números consiste en sumar uno de los factores consigomismo tantas veces como indica el otro factor.a·b=cLos términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.Propiedades de la multiplicación1. Asociativa:El modo de agrupar los factores no varía el resultado(a · b) · c = a · (b · c)2. Conmutativa:El orden de los factores no varía el producto.a·b=b·a3. Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo númeromultiplicado por él da el mismo número.a·1=a4. Elemento inverso:Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado elelemento unidad.La suma de números naturales y de enteros no cumple estapropiedad.5. Distributiva: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productosde dicho número por cada uno de los sumandos.a · (b + c) = a · b + a · c
  3. 3. 6. Sacar factor común:Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la sumaen producto extrayendo dicho factor.a · b + a · c = a · (b + c)División La división o cociente es una operación aritmética que consiste enaveriguar cuántas veces un número está contenido en otro número.D:d=c Los términos que intervienen en un cociente sellaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.Tipos de divisiones1. División exacta:Cuando el resto es cero.D=d·c2. División entera:Cuando el resto es distinto de cero.D=d·c+rPropiedades de la división1. No es Conmutativo:a:b≠b:a2. Cero dividido entre cualquier número da cero.0:a=03. No se puede dividir por 0.Sistema de numeración binario.El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición queocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a unexponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y comoocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad dedígitos utilizados (2) para representar los números.De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 , es decir:
  4. 4. 8 + 0 + 2 + 1 = 11y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así:10112 = 1110Conversión entre números decimales y binariosConvertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta conrealizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en ordeninverso al que han sido obtenidos.Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 7710 haremos una serie dedivisiones que arrojarán los restos siguientes:77 : 2 = 38 Resto: 138 : 2 = 19 Resto: 019 : 2 = 9 Resto: 19 : 2 = 4 Resto: 14 : 2 = 2 Resto: 02 : 2 = 1 Resto: 01 : 2 = 0 Resto: 1y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:7710 = 10011012El tamaño de las cifras binariasLa cantidad de dígitos necesarios para representar un número en el sistema binario esmayor que en el sistema decimal. En el ejemplo del párrafo anterior, para representar elnúmero 77, que en el sistema decimal está compuesto tan sólo por dos dígitos, hanhecho falta siete dígitos en binario.Para representar números grandes harán falta muchos más dígitos. Por ejemplo, pararepresentar números mayores de 255 se necesitarán más de ocho dígitos, porque 28 = 256y podemos afirmar, por tanto, que 255 es el número más grande que puederepresentarse con ocho dígitos.Como regla general, con n dígitos binarios pueden representarse un máximo de 2n,números. El número más grande que puede escribirse con n dígitos es una unidad menos,
  5. 5. es decir, 2n – 1. Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un totalde 16 números, porque 24 = 16 y el mayor de dichos números es el 15, porque 24-1 = 15.Conversión de binario a decimalEl proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo;basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en suposición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a laderecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia laizquierda.Por ejemplo, para convertir el número binario 10100112 a decimal, lo desarrollamosteniendo en cuenta el valor de cada bit:1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 8310100112 = 8310Sistema de numeración octalEl inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos númerosresulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resultenmás cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente,resulta muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal.En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitosdiferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distintodependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones vienedeterminado por las potencias de base 8.Por ejemplo, el número octal 2738 tiene un valor que se calcula así:2*83 + 7*82 + 3*81 = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 1496102738 = 149610Conversión de un número decimal a octalLa conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que yahemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivaspor 8 ycolocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal elnúmero decimal 12210 tendremos que hacer las siguientes divisiones:122 : 8 = 15 Resto: 215 : 8 = 1 Resto: 71:8=0 Resto: 1
  6. 6. Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:12210 = 1728Conversión octal a decimalLa conversión de un número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el pesode cada posición en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el número 2378 adecimal basta con desarrollar el valor de cada dígito:2*82 + 3*81 + 7*80 = 128 + 24 + 7 = 159102378 = 15910Sistema de numeración hexadecimalEn el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando lascantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitosmayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende,como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16:1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*1601*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 67191A3F16 = 671910Ensayemos, utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de unnúmero decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal delnúmero 173510 será necesario hacer las siguientes divisiones:1735 : 16 = 108 Resto: 7108 : 16 = 6 Resto: C es decir, 12106 : 16 = 0 Resto: 6De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en hexadecimal:173510 = 6C716Conversión de números binarios a octales y viceversaObserva la tabla siguiente, con los siete primeros números expresados en los sistemasdecimal, binario y octal: DECIMAL BINARIO OCTAL
  7. 7. DECIMAL BINARIO OCTAL 0 000 0 1 001 1 2 010 2 3 011 3 4 100 4 5 101 5 6 110 6 7 111 7Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema binario. Portanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de numeración equivale a"expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios, o en "contraer" grupos de trescaracteres binarios a su correspondiente dígito octal.Por ejemplo, para convertir el número binario 1010010112 a octal tomaremos grupos detres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:1012 = 580012 = 180112 = 38y, de ese modo: 1010010112 = 5138La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método,remplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertirel número octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de susdígitos:78 = 111258 = 101208 = 0002y, por tanto: 7508 = 1111010002Conversión de números binarios a hexadecimales y viceversa
  8. 8. Del mismo modo que hallamos la correspondencia entre números octales y binarios,podemos establecer una equivalencia directa entre cada dígito hexadecimal y cuatrodígitos binarios, como se ve en la siguiente tabla: DECIMAL BINARIO HEXADECIMAL 0 0000 0 1 0001 1 2 0010 2 3 0011 3 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 7 0111 7 8 1000 8 9 1001 9 10 1010 A 11 1011 B 12 1100 C 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 FLa conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "con-trayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para expresaren hexadecimal el número binario 1010011100112 bastará con tomar grupos de cuatrobits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal:10102 = A1601112 = 716
  9. 9. 00112 = 316y, por tanto: 1010011100112 = A7316En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, sedeben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:1011102 = 001011102 = 2E16La conversión de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo,remplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Paraconvertir a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F616 hallaremos en la tabla lassiguientes equivalencias:116 = 00012F16 = 11112616 = 01102y, por tanto: 1F616 = 0001111101102http://www.ditutor.com/numeros_naturales/operaciones.htmlhttp://platea.pntic.mec.es/~lgonzale/tic/binarios/numeracion.html

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