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ESCUELA SUPERIOR POLITECNICADE CHIMBORAZOFACULTAD DE MECANICAESCUELA DE INGENIERIA MECANICACONTROL AUTOMATICOVariables de ...
• El modelado y control de sistemas basado en latransformada de Laplace, es un enfoque muy sencillo yde fácil aplicación. ...
• No proporciona información sobre la estructura física delsistema.• Solo es válida para sistemas lineales con una entrada...
• Aplicable a sistemas lineales y no lineales.• Permite analizar sistemas de más de una entrada o másde una salida.• Puede...
• La representación en espacio de estado puede serderivada desde las ecuaciones diferenciales querepresentan a un sistema,...
1.Identificar completamente el sistema. Conocer elsistema, que es lo que hace, cuales son susvariables de interés, su comp...
3. Definir las ecuaciones diferenciales que representen elcomportamiento del sistema. El grado de complejidaddependerá de ...
5.Encontrar la dinámica de cada estado. Es decir,encontrar la razón de cambio respecto altiempo de cada variable de estado...
• 1) Represente por medio de espaciode estado el siguiente sistemamecánico.Ejemplo sencilloDonde: u(t) es la fuerza aplica...
Se desea conocer la posición y la velocidad de la masa para todo tiempo. Por estarazón se asignan como variables de estado...
Finalmente se agrupan las dos ecuaciones de estado:)()( 21 txtx)(1)()()( 212 tumtxmbtxmktxcomo la representación es line...
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Variables de estado

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  1. 1. ESCUELA SUPERIOR POLITECNICADE CHIMBORAZOFACULTAD DE MECANICAESCUELA DE INGENIERIA MECANICACONTROL AUTOMATICOVariables de Estado
  2. 2. • El modelado y control de sistemas basado en latransformada de Laplace, es un enfoque muy sencillo yde fácil aplicación. Permite analizar sistemas utilizandouna serie de reglas algebraicas en lugar de trabajar conecuaciones diferenciales. En este enfoque tiene másvalor la simplicidad que la exactitud.SalidasEntradasSistemaCaracterísticasdinámicasNo LinealidadesModelado yFunción deTransferenciaCaracterísticasdinámicas LinealesSaturación HistéresisVariante en eltiempoMúltiples puntosde equilibrioFricción nolineal)(3 tfyyy tydtdsen5252ss1skmm)(sX )(sG )(sYControl Clásico
  3. 3. • No proporciona información sobre la estructura física delsistema.• Solo es válida para sistemas lineales con una entrada y unasalida e invariantes en el tiempo.• No proporciona información de lo que pasa dentro delsistema.• Se necesita que las condiciones iniciales del sistema seannulas.Descripción de sistemas mediante la función de transferenciatiene las siguientes limitaciones:Ningún sistema dinámico de interés cumple con estos requisitos, es decir:Los sistemas reales presentan no linealidades, pueden tener más de unaentrada o salida, sus parámetros cambian en el tiempo y sus condicionesiniciales no siempre tienen un valor de cero.
  4. 4. • Aplicable a sistemas lineales y no lineales.• Permite analizar sistemas de más de una entrada o másde una salida.• Pueden ser sistemas variantes o invariantes en eltiempo.• Las condiciones iniciales pueden ser diferentes de cero.• Proporciona información de lo que pasa dentro delsistema.• Resultados sencillos y elegantes.Representación en Espacio de EstadoSin embargo otros sistemas son tan complejos que no es posible utilizareste enfoque. Para este tipo de sistemas se utiliza la representación enespacio de estado. Las siguientes ventajas:
  5. 5. • La representación en espacio de estado puede serderivada desde las ecuaciones diferenciales querepresentan a un sistema, o desde cualquier arreglo deecuaciones diferenciales aunque estas no representenningún sistema. Si no se tiene el modelo matemático(ecuaciones diferenciales) será necesario obtenerlo pormedio de leyes o teorías (físicas, químicas, monetarias,etc.)Obtención de las ecuaciones de estadoPrincipalmente, nos interesa conocer el valor de aquellas variables delsistema que nos permita conocer el comportamiento del sistema encualquier momento dado a partir de unas condiciones iniciales, razón por lacual estas variables reciben el nombre de variables de estado.
  6. 6. 1.Identificar completamente el sistema. Conocer elsistema, que es lo que hace, cuales son susvariables de interés, su comportamiento, suinterrelación al exterior, etc.2.Identificar las leyes o teorías que gobiernan elcomportamiento del sistema. Leyes determodinámica, Leyes dinámicas, segunda ley deNewton, Ley de voltajes y corrientes de Kirchoff,Ley de Ampere, Ley de Ohm, Ley de Boyle, etc.Una secuencia muy común para obtener el espacio de estado es lasiguiente:
  7. 7. 3. Definir las ecuaciones diferenciales que representen elcomportamiento del sistema. El grado de complejidaddependerá de la fidelidad del modelo alcomportamiento del sistema y de las necesidades desimulación, medición o control. Los pasos 1,2,3 sonbásicos de cualquier modelado.4. Seleccionar las variables de estado. Son las variablesmínimas que determinan el comportamiento dinámicodel sistema. Si se escogen menos de las necesarias, elespacio de estado no representa todo elcomportamiento del sistema, si se definen más, elespacio de estado es redundante.
  8. 8. 5.Encontrar la dinámica de cada estado. Es decir,encontrar la razón de cambio respecto altiempo de cada variable de estado (suderivada).6.Desplegar el arreglo de las dinámicas delestado como en la ecuación o como el arreglode las ecuaciones si las ecuaciones sonlineales o linealizadas.
  9. 9. • 1) Represente por medio de espaciode estado el siguiente sistemamecánico.Ejemplo sencilloDonde: u(t) es la fuerza aplicada, K es laconstante del resorte, b es el coeficiente defricción viscosa.La fuerza del resorte se consideraproporcional a la posición y la fuerza delamortiguador es proporcional a lavelocidad. y(t) es la posición de la masa.Solución:Utilizando la segunda ley de newton, se obtiene la ecuación de sumatoria defuerzas:resortefuerzaoramortiguadfuerzaaplicadafuerzanaceleraciómasa)()()()( tkytybtutym 
  10. 10. Se desea conocer la posición y la velocidad de la masa para todo tiempo. Por estarazón se asignan como variables de estado.)()(1 tytx )()(2 tytx El siguiente paso es determinar las dinámicas del estado. Para la variable de estado, su derivada es la variable de estado)(1 tx)(2 tx)()()( 21 txtytx Mientras que la derivada del estado se obtiene de la ecuación desumatorias de fuerzas:)(2 tx)()()()( tkytybtutym )()()()( 122 tkxtbxtutxm)(1)()()( 212 tumtxmbtxmktx
  11. 11. Finalmente se agrupan las dos ecuaciones de estado:)()( 21 txtx)(1)()()( 212 tumtxmbtxmktxcomo la representación es lineal, se puede indicar en matrices)(10)()(10)()(2121tumtxtxmbmktxtx
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