Diseño geométrico Curvas verticales simétricas

1. Curvas Verticales
Con objetos de que no existen cambios bruscos en la dirección vertical de los vehículos
en moviendo en carreteras y ferrocarriles, los segmentos adyacentes que tienen
diferentes pendientes se conectan con una curva en un plano vertical, denominado curva
vertical. Generalmente la curva vertical es el arco de una parábola, ya que esta se adapta
bien al cambio gradual de dirección y permite el cálculo rápido de las elevaciones sobre
la curva. Cuando las dos pendientes forman una especie de colina, la curva se llama
cresta o cima cuando forma una depresión se llama columpio o vaguada.
La pendiente se expresa en porcentaje, así, una pendiente de 1 a 50 equivale al 2% ó
0.02m/m.
En la fig. 3.1 (a) y (b) se ilustran curvas verticales en cresta y columpio.
Fig. 3.1 Tipos de curvas verticales.
P2 y P1 expresada en tanto por uno; es decir m/m en el sistema decimal que utilizamos
Todas las distancia en las curvas verticales se miden horizontalmente y todas las
coordenadas desde la prolongación de la tangente, a la curva, se miden verticalmente.
Cuando la tangente es ascendente en la dirección del cadenamiento, la pendiente es
positiva, y cuando la cadena es descendiente, la pendiente es negativa.

2. El diseño de la curvas verticales en cresta y en columpio, es una función de la
diferencia algebraica de las pendientes de las tangentes que se intersecan, de la distancia
de visibilidad deparada o de rebase, las cuales a su vez son funciones de la velocidad del
proyecto de los vehículos y de la altura de visión del conductor sobre la carretera; y del
drenaje. Además de estos factores, el diseño de las curvas verticales en columpio,
dependen también de las distancias que cubren el haz de luz de los faros del vehículos,
de la comodidad del viajero y de la apariencia.
Los detalles que gobiernan el diseño de las curvas verticales, rebasan al alcance de este
texto y pueden consultarse en libros de diseño Geométricos de carreteras Rurales y
Urbanas (AASHTO).
Únicamente se proyectara curva vertical cuando la diferencia algebraica, entre dos
pendiente sea mayor de 0.5% ya que en los casos de diferencia igual o menor de la
indicada, el cambio es tan pequeño que en el terreno se pierde durante la construcción.
Análisis Geométricos de las Curvas Verticales.
Para hacer análisis geométricos, tomaremos el caso de la curva vertical simétrica
siguiente:
PCV
PTV
PIV
P1, P2
L
Y
: Punto de comienzo de la curva vertical.
: Punto de terminación de la curva vertical.
: Punto de intersección vertical de las tangentes.
: pendientes de las tangentes de entrada y salida respectivamente.
: Longitud total de la curva vertical:
: Ordenada del punto P de la curva vertical:

3. V
Ø
X
: Ordenada vertical desde la prolongación de la tangente, a un punto P de la
curva (V = NP).
: Ordenada vertical desde el vértice a la curva.
: Distancia del PCV a un punto P de la curva.
La variación de la pendiente de la tangente a la curva, es constante a lo largo de ella, o
sea; la segunda derivada de y con respecto a x es una constante.
d2 y = k = Constante
dx2
Integrando tenemos la primera derivada o la pendiente de la parábola.
dy = kx + C
dx
Cuando x = 0 ; dy = P1 de modo que
dx
P1 = 0 + C .
Cuando x= L ; dy = P2
dx
P2 = KL + C.
de modo que
Así : P2 = KL + P1, por lo que:
K = P2 - P1 (Se define como grado de cambio de pendiente en porcentaje por estación)
L
De manera que:
d y = P2 - P1
dx
L
X + P1
Integrando nuevamente para obtener ”Y” tenemos:
Y = P2 - P1
L
x2 + P1 x + C1
2
1
Cuando X = 0, Y = 0 , C = 0.
Por otro lado tenemos : P1 = Y + V de modo que: Y = P1 x – v
X
Sustituyendo valores;

4. P1 x – v = P2 - P1
L
x2 + P1 x
2
Así tenemos que:
V = P2 - P1
2L
x2
Podemos prescindir del signo de V, sabiendo que si la curva está en el columpio, se
suma la cota del tangente en el punto considerado, para encontrar el punto
correspondiente de la curva y si la curva esta en cresta, se restara
Así : V = P2 - P1
2L
x2
donde:
V = Ordenada vertical a la curva de la tangente.
La cual es la ecuación de la curva Parabólica y se puede utilizar para calcular las
elevaciones si se conocen P2 , P1 , L y la elevación del PCV.
El punto más bajo o más alto de una curva vertical, es de interés frecuente para el diseño
del drenaje. En el punto más bajo o más alto, la tangente en la curva vertical es cero.
Con la igualación con cero de la primera derivada de Y con respecto a X se obtiene:
KX + P1 = 0
X = - P1
K
X=
Sustituyendo el valor de k nos queda:
P1 L
P2 - P1
X : es la distancia medida a partir del PCV.
Calculo de Curvas Verticales Simétricas.
Uno de los métodos para calcular una curva vertical se explica en el siguiente ejemplo:
En un ferrocarril, una pendiente de + 0.8% se cruza con otro de -0.4% en la estación
90 + 000 y una elevación de 100.00 m. El cambio máximo de pendiente permitido por
estación es de 0.2 (de especificaciones). Se desea proyectar una curva vertical para unir
las dos pendientes.

5. La diferencia algebraica entre las pendientes es: 0.9 – (-0.4) = 1.2%. La longitud
mínima es entonces de 7.2 – 0.2 = 6 estaciones o sea 120m.
Como la curva es simétrica, la longitud a cada lado del vértice es 120 / 2 =60m. La
estación del PCV es por lo tanto:
Est. PCV = 90+000 – 60 = 89+940m.
Y la del PTV:
Est: PTV. = 90+000 + 60 = 90+060m.
La elevación del PCV es:
Elev. PCV = 100 – 60 * 0.008 = 99.52m.
Y la del PTV:
Elev. PTV = 100 – 60 * 0.004 = 99.76m.
Fig. de la curva

6. Calcúlese las elevaciones sobre la tangente de entrada y la tangente de salida en las
estaciones cerradas. Recuerde que P1 = tangente de entrada = 0.8%. Así la primera
elevación es 20 * 0.008 = 0.16; sumado a la elevación del PCV = 99.52m. resulta
99.68m. Y así mismo se calculan las restantes. Las elevaciones de la tangente aparecen
en la tabla 3.1.
Calcúlese el valor de v.
-0.004 – 0.008
V=
x2
2 (120)
V= 5 * 10-6 x2
X12
Y como V1 =
X22
e
y como V2=
L1
e
L2
Donde:
X1 = Distancia medida desde el PCV al punto de la curva que se considere, en la rama
izquierda.
X2 = Distancia medida desde el PTV al punto de la curva que se considere, en la rama
derecha.
Entonces:
(P2 – P1)
L2
.V1 =
2L
(P2 –P1)
L1
L1
V2 =
2L
X12
X22
L2
Estas expresiones son generales ya que en el caso de de las curvas simétricas L1 = L2
La elevación de un punto de una curva vertical cualquiera estará dada según la
expresión:
Elev. X1 = Elev. PCV + P1 x ± V1
Elev. X2 = Elev. PTV + P2 x ± V2

7. P1 y P2 con su signo respectivo.
“V” se suma si la curva es en columpio y se resta, si la curva es en cresta.
Para encontrar la posición y elevación del punto mas bajo o mas alto
X12
Elev. X1 = Elev. PCV + P1 X -
e
L1
d Elev: X1
2 X1
e=0
= P1 d X1
2
Fig. 3.3.
L1 = Longitud de la rama izquierda de la curva.
L2 = Longitud de la rama derecha de la curva.
L = L1 + L2
En la figura 3.3. VM es una línea vertical. El punto M no es el punto medio de la línea
que une PCV – PTV, ni C es el punto medio de la curva ni el mas bajo de ella, pero se
puede comprobar que :
VC = CM = e

8. La divergencia vertical entre las tangentes es (P2 - P1) m. por estación, por lo tanto
para las estaciones,
BE= (P2 – P1) L2
Por triángulos semejantes:
BE
L
=
MV
L1
L
BE = MV
L
=2e
L1
L1
Despejando el valor de e :
(P2 –P1)
L1 L2
e=
2L
Este valor para cada estación par tomando % de PCV a PIV y luego, de PTV a PIV.
Estos valores aparecen en la tabla 3.1.
Calcúlese las elevaciones de la curva aplicando la corrección de V a las elevaciones
sobre la tangente. Ver Tabla 3.1.
PCV
PIV
PTV
Est.
X
V
Elev. s/t
89+940
0
0
99.52
89+960
20
0.02
99.68
89+980
40
0.08
99.84
90+000
60
0.18
100.00
90+020
40
0.08
99.92
90+040
20
0.02
99.84
90+060
0
0
99.76
Tabla 3.1 Calculo de curva vertical en cresta
Calcúlese el estacionamiento y la elevación del punto mas alto
0.8 * 120
X=
= 80m
0.8 – (-0.04)
Est. Punto mas alto = Est. PCV + X
Est. Punto mas alto = 89+940 + 80m
Est. Punto mas alto = 90+020 m.
Elev. s/c
99.52
99.66
99.76
99.82
99.84pto+alto
99.82
99.76

9. Elev. Punto mas alto = 99.84 m. (Ver tabla 3.1)
Otro método de calculo de curvas verticales consiste en efectuar las operaciones
anteriores, pero conociendo su longitud