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Teoria fuzzy Teoria fuzzy Document Transcript

  • Departamento de Computação Trabalho de Conclusão de Curso TIAGO KOHAGURALÓGICA FUZZY E SUAS APLICAÇÕES Londrina 2007
  • TIAGO KOHAGURALÓGICA FUZZY E SUAS APLICAÇÕES Trabalho desenvolvido durante o 4º ano do Curso de Graduação em Ciência da Computação da Universidade Estadual de Londrina, como requisito à obtenção do título de Bacharel. Orientador: Prof. Dr. Pedro Paulo da Silva Ayrosa Londrina 2007
  • TIAGO KOHAGURALÓGICA FUZZY E SUAS APLICAÇÕES COMISSÃO EXAMINADORA ______________________________________ Prof. Dr. Pedro Paulo da Silva Ayrosa Universidade Estadual de Londrina ______________________________________ Profª. Drª. Maria Angélica de O. C. Brunetto Universidade Estadual de Londrina ______________________________________ Profª. Débora Elis Souza de Oliveira Universidade Estadual de Londrina Londrina, 27 de Novembro de 2007
  • “A PRESSA É A INIMIGA DO HOMEM” Dito popular
  • AGRADECIMENTOS A minha família pelo total apoio. Aos professores e funcionários do departamento de computação da UEL. Aos amigos e colegas da UEL. E, finalmente, ao Prof. Dr. Pedro Paulo da Silva Ayrosa, pela orientação dodesenvolvimento deste trabalho.
  • KOHAGURA, Tiago. Lógica fuzzy e suas aplicações. 2007. Monografia(Graduação em Ciência da Computação) – Universidade Estadual de Londrina;Londrina. RESUMO A Lógica Fuzzy ou Lógica Difusa diferente da Lógica Clássica, que apenaspermite a classificação de „Verdadeiro‟ ou „Falso‟, é capaz de atribuir valores lógicosintermediários. Trabalhar em uma lógica que permite classificar dados ouinformações vagas, imprecisas e ambíguas, abre muitas possibilidades dedesenvolver soluções para problemas que envolvem muitas variáveis. A utilizaçãoda Lógica Fuzzy em áreas de tomada de decisão proporciona o desenvolvimento deferramentas heurísticas melhores para o homem, facilitando tomadas de decisão deforma mais ágil e eficaz. Este trabalho objetiva estudo aprofundado sobre a LógicaFuzzy, e apresentar suas aplicações, ao mesmo tempo mostrando suasfuncionalidades, buscando esclarecer seus conceitos, e propiciar a novas idéiaspara a aplicação dessa lógica.Palavras - chaves: Lógica, Inteligência Artificial.
  • KOHAGURA, Tiago. Fuzzy logic and its applications. 2007. Monograph(Graduation in Computer Science) – Universidade Estadual de Londrina; Londrina. ABSTRACT Fuzzy Logic different of Classic Logic, that only permit a classification in“True” or “False”, can attribute logic intermediary value. To work with logic that canclassify data‟s, or vague, imprecise and ambiguous information, it opens manypossibilities to develop solutions for problems with many variables. The use of theFuzzy Logic in decisions-making provides development of better heuristic tools forhumanity, facilitating decisions-making with agility and efficacy. This work proposesto make profound study of Fuzzy Logic and introduce its applications, at same timeshowing its functionality, to be informed about their concepts, and propitiate newideas using that logic.Key - words: Logic, Artificial Intelligence.
  • LISTA DE TABELASTabela 1 – Tabela de pertinência para os conjuntos clássicos. ................................ 10Tabela 2 – Tabela de pertinência para os conjuntos fuzzy........................................ 10Tabela 3 – Resultado da relação do conjunto A com B, intersecção ........................ 19Tabela 4 - Resultado da relação do conjunto A com B, união ................................... 20Tabela 5 – Operações de implicação ........................................................................ 35Tabela 6 – Resultado da fuzzificação ........................................................................ 37Tabela 7 – Aplicações da lógica fuzzy....................................................................... 45
  • LISTA DE FIGURASFigura 1 – Desenho comparativo da lógica clássica da fuzzy. .................................... 6Figura 2 – Cesta de maçãs e laranjas. ........................................................................ 7Figura 3 – Cesta de maçãs e laranjas misturadas. ..................................................... 7Figura 4 – Respostas da lógica fuzzy. ......................................................................... 8Figura 5– Gráfico representando os conjuntos clássicos. ......................................... 11Figura 6– Gráfico representando os conjuntos fuzzy. ............................................... 11Figura 7- Comparação do conjunto clássico da fuzzy. .............................................. 12Figura 8 – Gráfico representando dois conjuntos fuzzy............................................. 12Figura 9 – Gráfico resultante da intersecção ............................................................. 13Figura 10 – Gráfico resultante da união .................................................................... 14Figura 11 – Gráfico resultante do complemento ........................................................ 15Figura 12 – Condição da função de pertinência ........................................................ 24Figura 13 – Gráfico da função triangular ................................................................... 25Figura 14 – Gráfico da função trapezoidal................................................................. 26Figura 15 – Gráfico da função Gaussiana ................................................................. 27Figura 16 – Gráfico da função Cauchy ...................................................................... 27Figura 17 – Gráfico da função Sigmóide ................................................................... 28Figura 18 – Esquema do raciocínio fuzzy.................................................................. 29Figura 19 – Gráfico das funções de pertinência de “peso” ........................................ 31Figura 20 – Gráfico das funções de pertinência de “altura” ....................................... 31Figura 21 - Gráfico do cálculo da pertinência em “peso” ........................................... 32Figura 22 - Gráfico do cálculo da pertinência em “altura” .......................................... 33Figura 23 - Gráfico da pertinência da saída de inferência ......................................... 36Figura 24 – Elementos do conjunto A1...................................................................... 38Figura 25 – Elemento do conjunto A‟1 ...................................................................... 38Figura 26 – Elementos do conjunto B ....................................................................... 39Figura 27 – Composição dos conjuntos de A‟ e R(regra 2) ....................................... 40Figura 28 – Processo simplificado da inferência (regra 5)......................................... 40Figura 29 – Resultado da inferência .......................................................................... 41
  • LISTA DE EQUAÇÕES(1)- Operação de conjunto fuzzy de interseção ......................................................... 13(2)- Operação de conjunto fuzzy de união ................................................................ 14(3)- Operação de conjunto fuzzy de complemento .................................................... 14(4)- Operação de conjunto fuzzy de produto algebrico ............................................. 15(5)- Operação de conjunto fuzzy de produto limitado ............................................... 16(6)- Operação de conjunto fuzzy de produto drástico ................................................ 16(7)- Operação de conjunto fuzzy de soma algebrica ................................................. 17(8)- Operação de conjunto fuzzy de soma limitada ................................................... 17(9)- Operação de conjunto fuzzy de concentração .................................................... 17(10)- Operação de conjunto fuzzy de produto dilatação ............................................ 18(11)- Função de pertinência triangular..................................................................... 19(12)- Relação de conjunto fuzzy, união .................................................................... 19(13)- Relação de conjunto fuzzy, projeção ............................................................... 20(14)- Composição Max-min ...................................................................................... 21(15)- Composição Max-produto ................................................................................ 22(16)- Composição Max-média .................................................................................. 22(17)- Função de pertinência triangular...................................................................... 24(18)- Função de pertinência trapezoidal ................................................................... 25(19)- Função de pertinência Gaussiana ................................................................... 26(20)- Função de pertinência Cauchy ........................................................................ 27(21)- Função de pertinência Sigmóide...................................................................... 28(22)- Função de pertinência triangular para os valores fuzzy(peso) ......................... 30(23)- Função de pertinência triangular para os valores fuzzy(altura) ....................... 31(24)- Calculo da pertinencia (peso) .......................................................................... 32(25)- Cálculo da pertinência(alrutra) ......................................................................... 32(26)- Função de pertinência de B‟ ............................................................................ 34(27)- Operador Mandami min ................................................................................... 37(28)- Função de pertinência resultante da inferência ............................................... 41(29)- Método centroide ............................................................................................. 42(30)- Cálculo usando o método centroide................................................................. 42(31)- Método centro das somas ................................................................................ 43(32)- Cálculo usando o método centro das somas ................................................... 43(33)- Método da média dos máximos ....................................................................... 43(34)- Cálculo usando o método da média dos máximos............................................ 43
  • SUMÁRIO1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 12. A ORIGEM DA LÓGICA FUZZY ............................................................................ 32.1. Breve histórico da lógica ...................................................................................... 32.2. Lotfi Asker Zadeh ................................................................................................. 43. LÓGICA FUZZY ...................................................................................................... 64. TEORIA DOS CONJUNTOS FUZZY..................................................................... 104.1. Operações de Conjuntos Fuzzy ......................................................................... 124.1.1. Interseção de conjuntos fuzzy ......................................................................... 134.1.2. União de conjuntos fuzzy ................................................................................ 134.1.3.Complemento de um conjunto fuzzy ................................................................ 144.1.4. Produto algébrico ............................................................................................ 154.1.5. Produto limitado............................................................................................... 154.1.6. Produto drástico .............................................................................................. 164.1.7. Soma algébrica................................................................................................ 164.1.8. Soma limitada .................................................................................................. 174.1.9. Concentração de um conjunto fuzzy ............................................................... 174.1.10 Dilatação de um conjunto fuzzy ...................................................................... 184.2 Relações Fuzzy ................................................................................................... 184.2.1. Operações básicas de relações fuzzy ............................................................. 184.2.2. Composição de relações fuzzy ........................................................................ 214.4. Funções de Pertinência ...................................................................................... 234.3.1. Triangular ........................................................................................................ 24
  • 4.3.2. Trapezoidal ...................................................................................................... 254.3.3. Gaussiana ....................................................................................................... 264.3.4. Cauchy ............................................................................................................ 274.3.5. Sigmóide ......................................................................................................... 285. RACIOCÍNIO FUZZY............................................................................................. 295.1. Fuzzificação ....................................................................................................... 295.2. Inferência............................................................................................................ 335.3. Defuzzificação .................................................................................................... 415.3.1 Método Centróide ............................................................................................. 425.3.2 Método Centro das Somas ............................................................................... 425.3.3Método da Média dos Máximos ......................................................................... 436. APLICAÇÕES DA LÓGICA FUZZY....................................................................... 457. CONCLUSÃO ....................................................................................................... 48REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 49
  • 11. INTRODUÇÃO A lógica fuzzy surgiu com base na Teoria de Conjuntos Fuzzy, no ano de1965, em que a primeira vez foi usado o termo “lógica fuzzy” na publicação feita porLotfi A. Zadeh nos Estados Unidos (MALUTTA, 2004). O termo em inglês “fuzzy” traduzido, tem o significado como algo vago,indefinido, incerto. Mas traduzido para o português os termos mais utilizados na áreade inteligência artificial são nebuloso ou difuso. A lógica fuzzy trata de um raciocínioque busca classificar em números uma determinada realidade ou situação, quetrabalha com muitas variáveis incertas e vagas, afim de facilitar o trabalho oumanipulação dos computadores (SHAW, 2002). A lógica fuzzy é considerada imprecisa, pois trabalha com aproximações dedados vagos (STURM, 2005). Através de uma determinada regra, que varia paraqual fim a lógica fuzzy é utilizada, os dados coletados caracterizados como incertossão analisados de acordo com a regra implementada e aproximados por númerospara possibilitar a interpretação das máquinas e computadores. Comparando a lógica fuzzy com relação á lógica clássica, a lógica fuzzyapesar de ser imprecisa, contrário da lógica tradicional, ela reporta muito maisinformações não estando restrita ao verdadeiro e falso. Isso permite que a lógicafuzzy descreva um determinado fato com muito mais detalhe e gradual, reduzindoassim a perda de informações, que conseqüentemente estará mais coerentepossível com a realidade em questão (MALUTTA, 2004). Percebendo sua utilidade começou a ser desenvolvida na Europa, criandoaplicações para esta lógica, e ao longo do tempo a lógica fuzzy é introduzida noJapão, que começa a ser utilizada largamente em engenharia de controle. A partirdesse momento, a Europa e depois Estados Unidos perceberam a eficácia da lógicae começaram a investir mais nessa tecnologia. E hoje a lógica fuzzy se tornou umatecnologia padrão, que vem sendo aplicada na área de desenvolvimento industrial,ciências ambientais e até na área de negócios e finanças. No capítulo seguinte será mostrado um breve histórico da lógica até osurgimento da lógica fuzzy. No capítulo 3 será apresentado sobre o que é a lógica fuzzy, apresentando
  • 2um panorama geral. Enquanto que no capítulo 4 será abordado os conjuntos fuzzy explicando osconceitos, operações e relações de conjuntos que deu a origem a lógica fuzzy. No capítulo 5 explicará como funciona o raciocínio fuzzy que é bastanteutilizada em controladores. No capítulo 6 serão mostrados as variadas aplicações da lógica fuzzy. E finalmente no capítulo 7 a conclusão do trabalho.
  • 32. A ORIGEM DA LÓGICA FUZZY2.1. Breve histórico da lógica A ciência lógica foi fundada por Aristóteles (384-322 a.C.), criando a lógicaAristotélica ou Lógica bivalente clássica (CAMPOS FILHO, 2004), que écaracterizada por dois princípios que são a lei da lógica da não contradição e a lei doterceiro excluído. A lei da lógica da não contradição diz que nenhuma afirmação pode serconsiderada verdadeira e falsa ao mesmo tempo, enquanto a lei do terceiro excluídodiz que uma afirmação tem que ser verdadeira ou falsa. Em 1847 Boole atribui valores numéricos para as afirmações verdadeiras efalsas, valor 1 para as afirmações verdadeiras e 0 para as afirmações falsas(CAMPOS FILHO, 2004). Com isso Boole criou a álgebra booleana, sendo umagrande contribuição na área da computação. Porém em 1903, Bartrand Russell mostrou que nem todos os problemaspoderiam ser resolvidos pela lógica bivalente, através do problema conhecido como“paradoxo de Russell”. Em torno de 1930, Jan Lukasiewicz (1878 -1956) desenvolveu a lógicamultinível, em contrapartida a lógica Aristotélica, apresentando a lei da contradiçãoonde uma determinada afirmação pode ser verdadeira ou não, ao mesmo tempo.Isso se torna possível desde que não apresente apenas dois níveis, verdadeiro efalso, mas sim um grau de verdade, existindo assim vários níveis (CAMPOS FILHO,2004). Em 1965 é publicado o trabalho de Conjuntos Fuzzy, por Lotfi A. Zadeh,baseado na lógica multinível. Com este trabalho foi possível mostrar de formamatemática o tratamento dos aspectos imprecisos e ambíguos apresentados na leida contradição. E a partir deste trabalho surge a expressão lógica fuzzy.
  • 42.2. Lotfi Asker Zadeh Nasceu no dia 4 de Fevereiro de 1921 na cidade de Baku em Azerbaijão. Eleé matemático, cientista da computação, e professor em ciência da computação daUniversidade da Califórnia, Berkeley. Cresceu no Irã e sua primeira língua foi o russo. Estudou no colégio Alborz ,morou no Iran dos 10 aos 23 anos de idade quando foi estudar na escolaPresbiteriana. Desde cedo Zadeh já se sustentava, possui seu próprio carro e seusempregados. Em 1942 estudou na Universidade de Tehran e se formou, sendobacharel em Engenharia Elétrica. Em 1944 se mudou para os Estados Unidos através dos contatos com oComando do Golfo Pérsico dos Estados Unidos onde, entre 100 pessoas, eleconseguiu a vaga para imigração para os EUA. Nos Estados Unidos foi para o Massachusetts Institute of Technology (MIT)quando em 1946 obtêm o título de mestre em engenharia elétrica, e nessa mesmaépoca seus pais se mudam do Iran para Nova Iorque, conseqüentemente ele sai doMIT e vai morar em Nova Iorque para ficar com seus pais. Lá ele se inscreve naUniversidade de Columbia e em 1951 ele consegue seu PhD em engenharia elétrica(KOSKO, 1994). Em 1959 ele foi para Univesidade da Califórnia Berkeley, onde em 1963 elese torna chefe do departamento de engenharia elétrica. É o maior posto que eleobteve em sua carreira na engenharia, sendo que 20 anos antes ele recebia ordensde empregados, e agora ele contrata, inspeciona, promove, e despede alguns dosmelhores engenheiros do mundo. Antes de lançar seus trabalhos relacionados a lógica fuzzy,segundo Kosko,Zadeh diz que criou interesse sobre a lógica multinível em 1950 aproximadamentequando ainda estava na Universidade de Columbia. Em torno de 1956 quando foiconvidado a comparecer ao Instituto de Estudos Avançados de Princeton, Zadehencontrou Stephen Kleene na qual liderava sobre os estudos sobre a lógicamultinível nos Estados Unidos. Junto com Kleene, Zadeh aprendeu a lógica formal ea matemática da lógica multinível. Baseado na lógica multinível juntamente com ostrabalhos publicados até então, em 1965 publicou um trabalho sobre Conjuntos
  • 5Fuzzy. Com base na Teoria dos Conjuntos Fuzzy em 1973, Zadeh apresenta suateoria da Lógica Fuzzy.
  • 63. LÓGICA FUZZY Segure uma maçã em suas mãos. Isso é uma maçã? Sim. O objeto em sua mão pertence á um determinado tempo- espaço que chamamos de conjunto de maçãs – todas as maçãs sempre em qualquer lugar. Agora morda a maçã, mastigue-a, e engula-a. Deixe seu trato digestivo pegue uma parte das moléculas da maçã. O objeto em suas mãos ainda é uma maçã? Sim ou não? Dê outra mordida. O novo objeto ainda é uma maçã? (KOSKO, 1993, p.4, tradução nossa). Para ter uma idéia sobre o que é a lógica fuzzy, Kosko apresenta umexemplo sobre a questão da maçã. Se a resposta da pergunta apresentada porKosko é apenas entre sim ou não, isto representa a lógica clássica onde os valoressão apenas representados como verdadeiro ou falso. Porém se a resposta for, porexemplo, “mais ou menos” ou “quase uma maçã”, são respostas que existe um meiotermo entre ser uma maçã ou não. Essa é a idéia da lógica fuzzy, não apenas fica restrito entre verdadeiro efalso, mas sim existem vários níveis entre o verdadeiro e falso. De modo figurativoenquanto a lógica clássica enxerga apenas o preto e o branco, a lógica fuzzy écapaz de, além do preto e o branco, enxergar vários tons de cinza, ilustrada nafigura 1. Figura 1 – Desenho comparativo da lógica clássica da fuzzy. Um exemplo interessante parar entender a idéia da lógica fuzzy é aclassificação de cestas de maçãs e laranjas (MCNEIL, 1994). De acordo com alógica clássica existe apenas a classificação de apenas duas cestas as de maçãs e
  • 7as de laranjas ilustradas na figura 2: Figura 2 – Cesta de maçãs e laranjas. Mas caso existir uma cesta com maçãs e laranjas misturadas ilustrada nafigura 3 como será classificada esta cesta de acordo com a lógica clássica? Ela éconsiderada uma cesta de maçãs? Sim ou não? Figura 3 – Cesta de maçãs e laranjas misturadas. A lógica fuzzy permitirá a classificação das cestas intermediárias entre acesta que possui apenas maçãs e a cesta que possui apenas laranjas. A respostapara a pergunta anterior, em que a cesta da figura 3 é uma cesta de maçãs, nãoestará apenas restrito as respostas de Sim ou Não, existirão, também, respostascomo “Quase”, “Mais ou menos”, “um pouco” que pode ser verificada na figura 4:
  • 8 Figura 4 – Respostas da lógica fuzzy. A fundamentação matemática da lógica fuzzy se encontra na teoria dosconjuntos fuzzy, que através dela deu se o surgimento da lógica fuzzy que será
  • 9apresentada no próximo capítulo.
  • 104. TEORIA DOS CONJUNTOS FUZZY A Lógica Fuzzy é baseada na teoria dos Conjuntos Fuzzy. A teoria dosConjuntos Fuzzy diz que dado um determinado elemento que pertence a umdomínio, é verificado o grau de pertinência do elemento em relação ao conjunto. Ograu de pertinência é a referência para verificar o quanto “é possível” esse elementopoder pertencer ao conjunto. O grau é calculado através de uma determinada funçãoque retorna geralmente um valor real que varia entre 0 à 1, sendo que 0 indica quenão pertence ao conjunto, e 1 pertence. Diferentemente da teoria clássica, em que os conjuntos são chamados de“crisp”, o grau de pertinência é binário, ou seja, pertence ou não pertence noconjunto. Como exemplo existirá três conjuntos para verificar a classificação a alturade um homem adulto, que são “baixo”, “médio” e “alto”.Tabela 1 – Tabela de pertinência para os conjuntos clássicos. Baixo Médio Alto 1,50m 1 0 0 1,60m 1 0 0 1,70m 0 1 0 1,80m 0 1 0 1,90m 0 0 1 2,00m 0 0 1Tabela 2 – Tabela de pertinência para os conjuntos fuzzy. Baixo Médio Alto 1.50m 1 0 0 1,60m 0.6 0.3 0 1,70m 0.1 1 0 1,80m 0 0.3 0.5 1,90m 0 0 1 2,00m 0 0 1
  • 11 Figura 5– Gráfico representando os conjuntos clássicos. Figura 6– Gráfico representando os conjuntos fuzzy. Percebe-se que o conceito da lógica fuzzy se encontra na teoria dosconjuntos fuzzy, como também da lógica tradicional se encontra na teoria dosconjuntos clássicos. Enquanto nos conjuntos clássicos apenas classifica o preto oubranco (verdadeiro ou falso) os conjuntos fuzzy permite a classificação em váriostons de cinza além do preto e branco, como segue a figura 7:
  • 12 Figura 7- Comparação do conjunto clássico da fuzzy.4.1. Operações de Conjuntos Fuzzy Para exemplificar as operações serão utilizadas os seguintes dois conjuntosBaixo e Médio no universo X, apresentado na figura 8. Figura 8 – Gráfico representando dois conjuntos fuzzy. Para um elemento x dentro do universo será mostrado as seguintesoperações
  • 134.1.1. Interseção de conjuntos fuzzy A interseção de dois conjuntos resultará em um conjunto fuzzy cuja suapertinência será a mínima da pertinência dos conjuntos em questão, representadana equação 1: µ = min( µB , µM ); (1) Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) } Médio(X) = { (1.5, 0) ,(1.6, 0.3) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) } Baixo ∩ Médio = { (1.5, 0) ,(1.6, 0.3) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0),(1.9, 0) ,(2, 0) } Figura 9 – Gráfico resultante da intersecção4.1.2. União de conjuntos fuzzy A união de dois conjuntos resultará em um conjunto fuzzy cuja suapertinência será máximo das pertinências dos conjuntos em questão, representadana equação 2:
  • 14 µ = max( µB , µM ); (2) Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) } Médio(X) = { (1.5, 0) ,(1.6, 0.3) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) } Baixo U Médio = { (1.5, 1) ,(1.6, 0.6) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) } Figura 10 – Gráfico resultante da união4.1.3.Complemento de um conjunto fuzzy O complemento de um conjunto fuzzy Baixo, por exemplo, resultará em umconjunto cuja a pertinência é a subtração de 1 pela pertinência do conjunto Baixo,representado na equação 3: µ = 1- µB ; (3) Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) } Baixo´(X)= { (1.5, 0) ,(1.6, 0.4) ,(1.7, 0.9) ,(1.8, 1),(1.9, 1) ,(2, 1) }
  • 15 Figura 11 – Gráfico resultante do complemento4.1.4. Produto algébrico O valor da pertinência de um dado x, será a multiplicação das pertinênciasdos conjuntos em questão, que esta representado na equação 4: Tpa (Baixo,Médio) = µB * µM (4) Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) } Médio(X) = { (1.5, 0) ,(1.6, 0.3) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) } Tpa(Baixo,Médio) = { (1.5, 0) ,(1.6, 0.18) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0),(1.9, 0) ,(2, 0) }4.1.5. Produto limitado O valor da pertinência de um dado x, será a soma das pertinências dosconjuntos em questão, mas caso a soma das pertinências forem maiores que 1, o
  • 16valor da pertinência de x será 1, que esta representado na equação 5: Tpl (Baixo,Médio) = µB + µM; Se µB + µM > 1 então Tpl (Baixo,Médio) = 1; (5) Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) } Médio(X) = { (1.5, 0) ,(1.6, 0.3) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) } Tpl(Baixo,Médio) = { (1.5, 1) ,(1.6, 0.9) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) }4.1.6. Produto drástico O valor da pertinência de um dado x terá o valor pela seguinte regra: Tpl (Baixo,Médio) = µB se µM =1; Tpl (Baixo,Médio) = µM se µB =1; Tpl (Baixo,Médio) = 0 se µB < 1 e µM <1; (6) Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) } Médio(X) = { (1.5, 0) ,(1.6, 0.3) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) } Tpl(Baixo,Médio) = { (1.5, 0) ,(1.6, 0) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0),(1.9, 0) ,(2, 0) }4.1.7. Soma algébrica O valor da pertinência de um dado x, será a soma das pertinências e asubtração de seu produto dos conjuntos em questão, que esta representado naequação 7:
  • 17 Ssa (Baixo, Médio) = ( µB + µM ) - ( µB * µM ); (7) Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) } Médio(X) = { (1.5, 0) ,(1.6, 0.3) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) } Ssa(Baixo,Médio) = { (1.5, 1) ,(1.6, 0.72) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) }4.1.8. Soma limitada O valor da pertinência de um dado x, será o mínimo do universo que variaentre 1 e a soma das pertinências dos conjuntos em questão, que esta representadona equação 8: Ssl (Baixo, Médio) = min(1, ( µB + µM ) ); (8) Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) } Médio(X) = { (1.5, 0) ,(1.6, 0.3) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) } Ssl(Baixo,Médio) = { (1.5, 1) ,(1.6, 0.9) ,(1.7, 1) ,(1.8, 0.3),(1.9, 0) ,(2, 0) }4.1.9. Concentração de um conjunto fuzzy A concentração de um conjunto fuzzy resultará em um conjunto cuja apertinência é a pertinência ao quadrado, que esta representado na equação 9: µ = µ 𝐵2 ; (9) Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) } Baixo^2(X)= { (1.5, 1) ,(1.6, 0.36) ,(1.7, 0.01) ,(1.8, 0),(1.9, 0) ,(2, 0) }
  • 184.1.10 Dilatação de um conjunto fuzzy A concentração de um conjunto fuzzy resultará em um conjunto cuja apertinência é a raiz quadrada da pertinência, que esta representado na equação 10: µ=µ 𝐵 (10) Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6) ,(1.7, 0.1) ,(1.8, 0) ,(1.9, 0) ,(2, 0) } Baixo^2(X)= { (1.5, 1) ,(1.6, 0.77) ,(1.7, 0.31) ,(1.8, 0),(1.9, 0) ,(2, 0) }4.2 Relações Fuzzy É uma generalização das relações de conjuntos clássicos (crisps), que éuma maneira de representar as associações, interações e interconexões entre oselementos de dois conjuntos. A diferença entre a relação do conjunto clássico darelação do conjunto fuzzy, esta no grau de associação. A relação clássico fica entre0 e 1 enquanto a relação fuzzy varia de 0 à 1. O principal tipos de operações dasrelações fuzzy.4.2.1. Operações básicas de relações fuzzy Intersecção Sendo dois conjuntos A e B, o produto entre eles é representado da seguinteforma: R = { ( (x,y), µ(x,y) ) | (x,y) E A x B e µ(x,y) E [0,1] ) } Sendo que a pertinência da relação representado por µR(x,y) tem o seguinteresultado, que é o mínimo entre as pertinência dos conjuntos em questão, que esta
  • 19representado na equação 11: µR(x,y) = min[ µA(x), µB(y) ]; (11) Segue um exemplo: x = { 1,2,3 } e y= { 5,6,7 } A = ( (1, 0.4) ; (2, 0.1) ; (3, 1) ) e B = ( (5, 0.6) ; (6, 0) ; (7, 0.8) ) R = ( ((1,5), 0.4) ; ((2,5), 0.1) ; ((3,5), 0.6) ; ((1,6), 0) ; ((2,6), 0) ; ((3,6), 0) ;((1,7), 0.4) ; ((2,7), 0.1) ; ((3,7), 0.8) ) Resultando a tabela 3:Tabela 3 – Resultado da relação do conjunto A com B, intersecção AxB 5 6 7 1 0.4 0 0.4 2 0.1 0 0.1 3 0.6 0 0.8 Uniâo Utilizando os mesmos conjuntos A e B, e sendo que o universo de A é x, ede B é y. O resultado da relação é o máximo entre as pertinências dos conjuntos A eB. µR(x,y) = max[ µA(x), µB(y) ]; (12) x = { 1,2,3 } e y= { 5,6,7 } A = ( (1, 0.4) ; (2, 0.1) ; (3, 1) ) e B = ( (5, 0.6) ; (6, 0) ; (7, 0.8) ) R = ( ((1,5), 0.6) ; ((2,5), 0.6) ; ((3,5), 1) ; ((1,6), 0.4) ; ((2,6), 0.1) ; ((3,6), 1) ;((1,7), 0.8) ; ((2,7), 0.8) ; ((3,7), 1) ) Resultando a tabela 4:
  • 20Tabela 4 - Resultado da relação do conjunto A com B, união AxB 5 6 7 1 0.6 0.4 0.8 2 0.6 0.1 0.8 3 1 1 1 Projeção Quando se deseja obter uma relação com uma dimensão menor é utilizado aprojeção. Por exemplo, quando se tem uma relação de duas dimensões, obtêm-seduas projeções de uma dimensão. Utilizando a relação anterior de união, será obtido duas projeções. A primeiraé obtida da seguinte maneira: µR1(x,y) = max [ µR(x,y) ], com y variando de 5 à 7, mantendo o x fixo. Ou seja, irá escolher o Maximo da primeira linha da tabela. Pode serrepresentado pela equação 13: µR1(x,y) = 𝑦 [ µR x, y ] (13) Enquanto a segunda projeção é pela seguinte formula: µR2(x,y) = 𝑥 [ µR x, y ] Então a primeira projeção terá os seguintes valores de pertinência: R1 = ( (1, 0.8) ; (2, 0.8) ; (3, 1) ) E a segunda terá os seguintes valores: R2 = ( (5, 1) ; (6, 1) ; (7, 1) )
  • 214.2.2. Composição de relações fuzzy A composição de relações fuzzy é a parte mais importante deste capitulo.Através dela que muitos sistemas de controle fuzzy, utilizam para realizar ainferência. A composição trabalha com duas relações, supondo que uma relação éde X x Y e a outra é Y x Z, a composição permite formar uma nova relação do tipo Xx Z Porém existem várias versões de composição que serão mostradas a seguir. Composição Max-min Como o próprio nome diz, ele irá utilizar o máximo ( v ) e o mínimo ( ^ ).Supondo duas relações fuzzy R1(x,y) e R2(y,z), e deseja-se encontrar a R3(x,z). Acomposição de R1 com R2 são representadas por R1 R2, tendo a fórmula 14: µR1 R2(x,z) = 𝑦 [ µR1 x, y ^µR2 y, z ] (14) Ele é semelhante ao processo de multiplicação de duas matrizes, comoveremos nesse exemplo. R1 e R2 terão as seguintes matrizes de representação daspertinências de suas relações de X x Y e Y x Z respectivamente. 1 0.4 0 0.8 0.9 1 R1 = 0.5 0.7 0.9 e R2 = 0.6 0.3 0.8 0.2 1 0.4 0.1 0.2 0.4 1 0.4 0 0.8 0.9 1 R1 R2 = 0.5 0.7 0.9 ° 0.6 0.3 0.8 0.2 1 0.4 0.1 0.2 0.4 Com a primeira de linha de R1 com a primeira coluna de R2 temos a seguintecálculo: 0.8 1 0.4 0 ° 0.6 = [1 ^ 0.8] v [0.4 ^ 0.6] v [0 ^ 0.1] 0.1 = 0.8 v 0.4 v 0 = 0.8
  • 22 Percebe-se que o processo é semelhante a uma multiplicação de matrizes,onde a soma é representado por ( v ) e a multiplicação representado por ( ^ ).Realizando a composição completa obtém a seguinte matriz: 0.8 0.9 1 R1 R2 = 0.6 0.5 0.8 0.6 0.3 0.8 Composição Max-Produto Pelo nome este processo de composição irá usar o máximo e amultiplicação. Tendo a fórmula 15: µR1 R2(x,z) = 𝑦 [ µR1 x, y ∙ µR2 y, z ] (15) Utilizando os mesmo dados do exemplo tem-se a resolução: 1 0.4 0 0.8 0.9 1 R1 R2 = 0.5 0.7 0.9 ∙ 0.6 0.3 0.8 0.2 1 0.4 0.1 0.2 0.4 A primeira linha de R1 e primeira linha de R2. 0.8 1 0.4 0 ∙ 0.6 = [1 ∙ 0.8] v [0.4 ∙ 0.6] v [0 ∙ 0.1] 0.1 = 0.8 v 0.24 v 0 = 0.8 Realizando todo processo temos: 0.8 0.9 1 R1 ∙ R2 = 0.42 0.45 0.56 0.6 0.3 0.8 Composição Max-média Em relação ao processo de composição anterior, este utiliza a soma aoinvés da multiplicação. Porém o grau de pertinência pode alcançar valores maioresque 1, portanto é dividido por 2. Assim temos a equação 16: µR1<+>R2(x,z) = 𝑦 [ 1/2( µR1 x, y + µR2 y, z )] (16)
  • 23 Utilizando os mesmo dados do exemplo tem-se a resolução: 1 0.4 0 0.8 0.9 1 R1 <+>R2 = 0.5 0.7 0.9 < +> 0.6 0.3 0.8 0.2 1 0.4 0.1 0.2 0.4 A primeira linha de R1 e primeira linha de R2. = 1/2( [1 + 0.8] v [0.4 + 0.6] v [0 + 0.1] ) = 1/2(1.8 v 1 v 0.1) = 0.9 Realizando todo processo temos: 0.9 0.95 1 R1<+>R2 = 0.65 0.7 0.75 0.8 0.65 0.94.4. Funções de Pertinência Cada conjunto fuzzy é caracterizado pela sua função de pertinência,geralmente são representados por µ(x). É através delas que serão determinadas oquanto um determinado elemento pertence ao conjunto (ZIMMERMAN, 1991). Deacordo com sua aplicação ou a maneira de representar em um determinado contextoexistem diferentes tipos de funções de pertinência. A função de pertinência que irá representar um conjunto de números fuzzydeve respeitar algumas condições. Função terá que ser normal e convexa. Um conjunto fuzzy dita como normal é quando sua função de pertinênciapermite classificar um determinado dado em pertencer totalmente ao conjunto.Quanto ao conjunto fuzzy convexo é quando sua função de pertinência não tenhamais o “crescimento e decrescimento” dos valores resultantes ao longo do universodado (TSOUKALAS, 1997). A figura 12 ilustra as características das funções depertinência:
  • 24 Figura 12 – Condição da função de pertinência A seguir serão mostrados os tipos de funções de pertinência utilizados nalógica fuzzy.4.3.1. Triangular É representada pelo modelo de função 17: µtri(x; a, b, c) = max ( min ( x-a/b-a, c-x/c-b ), 0 ), para a < b < c. (17)
  • 25 Figura 13 – Gráfico da função triangular Na figura 13 mostra um gráfico de uma função triangular cujo os valores dea, b e c são respectivamente 2, 4, e 6.4.3.2. Trapezoidal É representado pela função 18: µtrap(x; a, b, c, d) = max ( min ( x-a/b-a, 1, d-x/d-c ), 0 ), para a < b < c < d. (18)
  • 26 Figura 14 – Gráfico da função trapezoidal Na figura 14 mostra um gráfico de uma função trapezoidal cujo os valores dea, b, c e d são respectivamente 1, 2, 5 e 6.4.3.3. Gaussiana É representado pela função 19: µgauss(x; a, b, c) = (19)
  • 27 Figura 15 – Gráfico da função Gaussiana4.3.4. Cauchy É representado pela função 20: µcauchy(x; a, b, c) = 1 / ( (1 + | (x-c)/a |)^(2b) ), para b > 0. (20) Figura 16 – Gráfico da função Cauchy
  • 28 Na figura 16 mostra um gráfico de uma função Cauchy cujos valores de a, be c são respectivamente 2, 8 e 4.4.3.5. Sigmóide É representado pela função 21: µsigmóide(x; [a,b]) = 1 / ( 1+ exp( -a*(x-b) ) ) (21) Figura 17 – Gráfico da função Sigmóide Na figura 17 mostra um gráfico de uma função Sigmóide cujos valores de a eb são 4.
  • 295. RACIOCÍNIO FUZZY O raciocínio fuzzy é composto de por três etapas que são a fuzzificação, ainferência e a defuzzificação. Estas três etapas fecham um ciclo que permitem aresolução de muitos problemas e que são bastante utilizados em sistemas decontrole. Para melhor compreensão de todas as etapas do processo, tem o seguinteexemplo. Supondo que se deseja desenvolver um programa para o controle deobesidade de uma pessoa adulta utilizando a lógica fuzzy. O objetivo desseprograma será retornar o peso ideal ou saudável, de acordo com os dados pelousuário. A figura 18 ilustra o esquema do raciocínio, mostrando como as três etapasse relacionam. Figura 18 – Esquema do raciocínio fuzzy5.1. Fuzzificação A primeira etapa é a fuzzificação. Consiste em transforma um dado numéricoem um termo em linguagem natural. No dia-a-dia a fuzzificação se encontra
  • 30presente de certa maneira, no momento que um professor diz que um aluno teveuma nota “ótima” por ter tirado uma nota 9.5, ou uma mulher diz que esta “gorda” porpossuir um peso de 60kg, são fuzzificações realizadas tanto pelo professor e pelamulher. Para uma máquina fuzzificar um determinado dado numérico, são utilizadasas funções de pertinência para verificar o quanto esse dado pertence a umadeterminada classificação (conjunto fuzzy). Voltando ao programa de controle de obesidade, para simplificar, terãoapenas dois dados de entrada, o peso e a altura do usuário. O peso e a altura são chamados de variáveis fuzzy. As variável fuzzy sãoatribuídos os conjuntos fuzzy, como “muito”, “pouco”, “alto” ou “”baixo”, estes tiposde atribuição são chamados de valores fuzzy. Então com as variáveis fuzzy determinadas, precisa-se determinar osvalores fuzzy possíveis para estas variáveis. No caso para a variável fuzzy “peso”,terá três valores fuzzy que são “leve”, “médio” e “pesado”. Enquanto a variável fuzzy“altura”, terá “baixo”, “mediano” e “alto”. Para cada valor fuzzy, terá uma função de pertinência para que seja possívelo mapeamento dos dados de entrada, que são valores numéricos, para os valoresfuzzy. Nesse caso serão utilizadas as funções triangulares e trapezoidais pela suasimplicidade e fácil compreensão. Segue as funções de pertinência dos valoresfuzzy de “peso” nas equações em 22, e na figura 19 ilustra um gráfico com ocomportamento das funções em 22: µtri(x; a, b, c) = max ( min ( x-a/b-a, c-x/c-b ), 0 ), µLeve(x) = max ( min ( x-40/50-40, 60-x/60-50 ), 0 ), µMédio(x) = max ( min ( x-50/70-50, 80-x/80-70 ), 0 ), µPesado(x) = max ( min ( x-70/90-70, 110-x/110-90 ), 0 ), (22)
  • 31 Figura 19 – Gráfico das funções de pertinência de “peso” Agora as funções dos valores de altura da equação 23, e na figura 20 ográfico ilustrando o comportamento da equação 23: µBaixo(x) = max ( min ( x-1.40/1.50-1.40, 1.70-x/1.70-1.50 ), 0 ), µMediano(x) = max ( min ( x-1.60/1.70-1.60, 1.90-x/1.90-1.70 ), 0 ), µAlto(x) = max ( min ( x-1.80/21.90-1.80, 2.0-x/2.0-1.90 ), 0 ), (23) Figura 20 – Gráfico das funções de pertinência de “altura”
  • 32 Supondo que o usuário apresente o seguinte dado de entrada, o peso iguala 55kg e uma altura de 1.75m. A partir destes dois dados serão calculados os grausde pertinência tendo o seguinte resultado na equação 24 e 25: µLeve(55) = max ( min ( 55-40/50-40, 60-55/60-50 ), 0 ) = 0.5 µMédio(55) = max ( min ( 55-50/70-50, 80-55/80-70 ), 0 ) = 0.25 µPesado(55) = max ( min ( 55-70/90-70, 110-55/110-90 ), 0 ) = 0 (24) Na figura 21 esboça o resultado das pertinências resultantes da variável“peso”. Figura 21 - Gráfico do cálculo da pertinência em “peso” µBaixo(1.75) = max ( min ( 1.75-1.40/1.50-1.40, 1.70-1.75/1.70-1.50 ), 0 ) = 0 µMediano(1.75) = max ( min (1.75-1.60/1.70-1.60, 1.90-1.75/1.90-1.70 ), 0 ) = 0.75 µAlto(1.75) = max ( min (1.75-1.80/21.90-1.80, 2.0-1.75/2.0-1.90 ), 0 ) = 0 (25) Já na figura 22 esboça o resultado das pertinências resultantes da variável“altura”.
  • 33 Figura 22 - Gráfico do cálculo da pertinência em “altura” O após o cálculo da pertinência verifica-se três valores fuzzy, “leve” comgrau de pertinência de 0.5, “médio” com 0.25, que são valores da variável “peso”, e“mediano” com 0.75 da variável “altura”. Estes valores são os resultados obtidos dafuzzificação que agora serão tratados na próxima etapa que é a inferência.5.2. Inferência A inferência é a etapa importante do raciocínio fuzzy, é através dela que éfeita a tomada de decisão. Após a fuzzificação, onde são determinados os graus depertinência de cada conjunto, com os dados resultantes são realizadas as regras dotipo Se-Então, mapeando para os novos conjuntos, como por exemplo, se a mulheresta “gorda”, então tem que “praticar exercícios”. Como o objetivo é emagrecer,então foi realizada uma inferência para determinar a ação a ser realizada para adeterminada situação que foi “praticar exercícios”. Para a realização da inferência fuzzy, existem dois procedimentos deinferência, o Modus Ponens Generalizado (MPG) e o Modus Tollens Generalizado
  • 34(MTG). O MPG tem a seguinte regra: Se x é A Então y é B x é A‟_________ y é B‟ Através desta regra permite a implicação de valores fuzzy que são no caso oA‟ e B‟. Ao contrário do Modus Ponens, que é a forma clássica de implicação, aregra só é válida quando é A e B apenas, não existindo valores intermediários quesão no caso de A‟ e B‟. Já o MTG tem a seguinte regra: Se x é A Então y é B y é B‟ x é A‟ Tem a mesma idéia do MPG quanto a implicação de valores parciais, porémé uma implicação que permite encontrar o antecedente, contrário do MPG queencontra o procedente. A primeira etapa da inferência é obter uma função de pertinência de B‟, paraas regras disparadas do tipo se-então, através da formula 26: µB‟(y) = 𝒙 [ 𝝁𝑨´ 𝒙 ^𝝁(𝒙, 𝒚)] (26) Percebe-se que foi utilizado a composição max-min para encontrar a funçãode pertinência de B‟, enquanto a função” µ(x,y)” é a função de pertinência darelação de implicação . Uma relação de implicação é uma regra do tipo se-então. Para determinaruma relação deve-se determinar o tipo de operação de implicação fuzzy. Asoperações de implicação fuzzy recebem como entrada os valores de entrada (µA(x))recebidas da fuzzificação, e os valores de saída (µB(x)) contidas na inferência, e oresultado da operação é o dado de saída da relação de implicação.
  • 35 Existem vários tipos de operadores de implicação como aritmético,Booleano, drástico entre outros. Na tabela 5 mostra as principais operações deimplicação:Tabela 5 – Operações de implicação Nome Operações de Implicação Interpretação de Φ [ µA(x) , µB(y) ] = SENÃOΦm, Zadeh Max-Min max( min( µA(x) , µB(y) ), (1- µA(x) ) ) AndΦc, Mandami min min( µA(x) , µB(y) ) OrΦp, Produto Larsen µA(x) * µB(y) OrΦa, Aritmético min( 1, (1- µA(x) + µB(y)) ) AndΦb, Booleano max( (1- µA(x)) , µB(y) ) AndΦbp, Produto Saltado max( 0, (µA(x) + µB(y) -1) ) OrΦdp, Produto Drástico µA(x), se µB(y) = 1 Or µB(x), se µA(y) = 1 0, se µA(y)<1, µB(y)<1Φs, Seqüência Padrão 1, se µA(x) ≤ µB(y) And 0, se µA(x) > µB(y)ΦΔ, Gougen 1, se µA(x) ≤ µB(y) And µB(y)/ µA(x), se µA(x) > µB(y)Φg, Gödelian 1, se µA(x) ≤ µB(y) And µB(y), se µA(x) > µB(y)Fonte: Fuzzy and Neural Approaches in Engineering Voltando ao programa para o controle de peso, para exemplificar, seránecessário determinar uma variável fuzzy, que será “estado” e escolher os valoresfuzzy de ação, que serão três valores, “palito”, “magro”, “normal”, “gordo” e“elefante”, que também terão suas funções de pertinência ilustrada na figura 23 :
  • 36 Figura 23 - Gráfico da pertinência da saída de inferência Através destes valores, e dos valores determinadas na fuzzificação terá oseguinte conjunto de regras do tipo se-então: 1. SE peso é leve E altura é baixo ENTÃO condição é normal SENÃO; 2. SE peso é leve E altura é mediano ENTÃO condição é magro SENÃO; 3. SE peso é leve E altura é alto ENTÃO condição é palito SENÃO; 4. SE peso é médio E altura é baixo ENTÃO condição é gordo SENÃO; 5. SE peso é médio E altura é mediano ENTÃO condição é normal SENÃO; 6. SE peso é médio E altura é alto ENTÃO condição é magro SENÃO; 7. SE peso é pesado E altura é baixo ENTÃO condição é elefante SENÃO; 8. SE peso é pesado E altura é mediano ENTÃO condição é gordo SENÃO; 9. SE peso é pesado E altura é alto ENTÃO condição é normal; Determinada a estrutura da inferência, inicia-se então o processo deinferência. Pelos dados recebidos da fuzzificação representados na tabela 6, serãodisparadas as regras 2 e 5.
  • 37Tabela 6 – Resultado da fuzzificação Peso Altura “leve”, µLeve(55) = 0.5 “mediano”, µMediano(1.75) = 0.75 “médio”, µMedio(55) = 0.25 Então primeiramente analisa-se a regra 2. O ”peso”, “altura” e “estado” são o x, h e y respectivamente, enquanto “leve”,“mediano” e “magro” são A1, A2 e B respectivamente. Os valores apresentados pelafuzzificação com seus graus de pertinência são o A‟1 para representar o “leve” comos graus de pertinência 0.5, e o A‟2 representa o “mediano” com grau de pertinência0.75. Enquanto ao B‟ representa o “magro”, porém não se sabe quanto será suapertinência. Com isso resulta na seguinte regra MPG: Se x é A1 E h é A2 Então y é B x é A‟1 E h é A‟2_________ y é B‟ O “E” (and) em questão é representado como mínimo, e o “OU” (or) é omáximo. Como o A1 tem grau de pertinência 0.5 e A2 tem 0.75, então seráescolhido o A1 com grau de pertinência de 0.5. Não será possível encontrar exatamente o valor da pertinência de B‟, porémserá possível encontrar uma função de pertinência baseada na função depertinência de B. Será utilizado a formula 26, mas antes terá que definir qual operação deimplicação para determinar a função da relação de implicação. Será utilizado aoperação de Mandami min para exemplificar, tendo a formula: µ(x,y) = Φc [ µA(x) , µB(y) ] = min( µA(x) , µB(y) ) (27) Então temos os conjunto de A1, A‟1 e B apenas destacando alguns pontosonde a pertinência é diferente de zero para simplificar a matriz que será feita. A1 = ( (45, 0.5) ; (50, 1) ; (55, 0.5) ) Esboçando o gráfico da figura 24:
  • 38 Figura 24 – Elementos do conjunto A1 A‟1 = ( (55, 1) )Esboçando o gráfico da figura 25: Figura 25 – Elemento do conjunto A’1B = ( (5, 0.5) ; (10, 1) )Esboçando o gráfico da figura 26:
  • 39 Figura 26 – Elementos do conjunto B Resulta na seguinte relação R: R = ( ( (45, 5), 0.5) ; ( (45, 10), 0.5) ; ( (50, 5), 0.5); ( (50, 10), 1); ( (55, 5),0.5); ((55, 10), 0.5) ) Resultando na seguinte matriz de relações R: 𝟎. 𝟓 𝟎. 𝟓 R = 𝟎. 𝟓 𝟏 𝟎. 𝟓 𝟎. 𝟓 A partir destes dados pode se encontrar B‟ da formula abaixo: B’(y) = A’1(x) R(x,y) 𝟎. 𝟓 𝟎. 𝟓 = 𝟎 𝟎 𝟏 ° 𝟎. 𝟓 𝟏 𝟎. 𝟓 𝟎. 𝟓 = 𝟎. 𝟓 𝟎. 𝟓 Resultando o gráfico de B‟ na figura 27:
  • 40 Figura 27 – Composição dos conjuntos de A’ e R(regra 2) Como a regra 5 foi disparada também, deve se fazer os mesmo processo,que estará simplificado no gráfico da figura 28: Figura 28 – Processo simplificado da inferência (regra 5) Como foi usado a operação de implicação Mamdami min, saída da inferênciavai ser a união (or) dos conjuntos B‟ adquiridas pela regras disparadas (2 e 5).Obtendo gráfico da figura 29:
  • 41 Figura 29 – Resultado da inferência E assim possuindo a seguinte função de pertinência na equação 28: 𝝁𝒔𝒂𝒊𝒅𝒂 𝒖 = 𝝁𝒎𝒂𝒈𝒓𝒐′ 𝒖 𝐯 𝛍𝐧𝐨𝐫𝐦𝐚𝐥′ (𝐮) (28)5.3. Defuzzificação É o contrário da fuzzificação, ao invés de transformar um dado quantitativoem um termo nebuloso, ele transforma o dado nebuloso em dado quantitativo.Quando um aluno recebe a noticia do professor que sua nota foi “ótima”, logo oaluno percebe que sua nota foi 9 ou maior. A defuzzificação tem um impactosignificante no desempenho no controlador fuzzy. Por tanto existem diversosmétodos para a defuzzificação, mas o importante é escolher o método que melhorse adequar ao problema. Serão mostrados 3 principais métodos de defuzzificação, para mostrar comoserão utilizados os métodos, serão definidos alguns parâmetros de entrada para asfórmulas que serão apresentadas para cada método, e usando o programa decontrole de peso. Como visto na formula 28 adquirida pela inferência terão o seguinte universode pontos, u = [ -4 ; -2 ; 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ], claro que quanto mais pontosmelhor a qualidade da defuzzificação, serão utilizados poucos para facilitar a
  • 42compreensão.5.3.1 Método Centróide É um dos métodos mais utilizados na defuzzificação. Este método encontrao centro geométrico dos valores de saída fuzzy. Segue a formula 29: n i=1 𝒖 𝐢 *μsaida(𝒖 𝐢 ) u*= n i=1 μsaida(𝒖 𝐢 ) (29) Agora utilizando a formula para defuzzificar e os dados obtidos pelainferência do programa de controle de peso ficará da seguinte maneira pela equação30: −𝟒∗𝟎.𝟐 + −𝟐∗𝟎.𝟐𝟓+𝟎∗𝟎.𝟐𝟓+𝟐∗𝟎.𝟐𝟓+𝟒∗𝟎.𝟒+𝟔∗𝟎.𝟓+𝟖∗𝟎.𝟓+𝟏𝟎∗𝟎.𝟓+𝟏𝟐∗𝟎.𝟓+𝟏𝟒∗𝟎.𝟐u* = 𝟎.𝟐+𝟎.𝟐𝟓+𝟎.𝟐𝟓+𝟎.𝟐𝟓+𝟎.𝟒+𝟎.𝟓+𝟎.𝟓+𝟎.𝟓+𝟎.𝟓+𝟎.𝟐 = 6.0845 (30) O resultado da defuzzificação foi 6.0845, então o programa finalmente vairetornar ao usuário e recomendar que ele engorde cerca de 6kg.5.3.2 Método Centro das Somas È uma variação do método centróide, é um método caracterizado por contatrechos de intersecção mais de uma vez, diferente do método centróide contaapenas uma vez. Segue a fórmula 31:
  • 43 N 𝒏 i=1 𝒖 𝐢 * 𝒌=𝟏 𝝁𝑩′ 𝐤 (𝒖 𝐢 ) u* = N 𝒏 i=1 𝒌=𝟏 𝝁𝑩′ 𝐤 (𝒖 𝐢 ) (31) Agora utilizando os dados obtidos pela inferência do programa de controlede peso terá os cálculos representado na equação 32: −𝟒∗ 𝟎+𝟎.𝟐 + −𝟐∗ 𝟎+𝟎.𝟐𝟓 + 𝟎∗ 𝟎+𝟎.𝟐𝟓 + … +𝟏𝟒∗(𝟎.𝟐+𝟎) u* = 𝟎+𝟎.𝟐 + 𝟎+𝟎.𝟐𝟓 + 𝟎+𝟎.𝟐𝟓 + … +(𝟎.𝟐+𝟎) = 6.162 (32) O resultado da defuzzificação foi 6.162, então o programa vai retornar aousuário e recomendar que ele engorde cerca de 6kg também.5.3.3Método da Média dos Máximos É o método que busca retornar o ponto que possui o maior grau depertinência, porém no universo existe mais de um ponto com grau de pertinênciamáxima. Ao invés de pegar um ponto aleatório realiza-se uma média entre eles. Têma formula 33: 𝑴 𝒖𝒎 u* = 𝒎=𝟏 𝑴 (33) Agora utilizando os dados obtidos pela inferência do programa de controle depeso terá os cálculos representado na equação 34: 𝟔+𝟖+𝟏𝟎+𝟏𝟐 u* = 𝟒 =9 (34)
  • 44 O resultado da defuzzificação foi 9, então o programa vai retornar ao usuárioe recomendar que ele engorde cerca de 9kg, já este método teve um valor bemmaior que os métodos anteriores porém, o interessante deste método é suasimplicidade.
  • 456. APLICAÇÕES DA LÓGICA FUZZY Apesar de a lógica fuzzy ter sido criado nos Estados Unidos, o país quecomeçou utilizar esta tecnologia de forma massiva foi o Japão a partir dos anosoitenta. Abaixo segue uma tabela com a lista de produtos do Japão e da Coréia doSul de 1992:Tabela 7 – Aplicações da lógica fuzzy Produto Companhia Função da lógica fuzzyAr condicionados Hitachi Previne a grande variação da Matsushita temperatura ao ser regulada e Mitsubishi consume menos energia. SharpFreios anti-trava Nissan Controle dos freios em casos de perigo, baseado na velocidade e da aceleração do carro e da roda.Motor de carro NOK/Nissan Controle da injeção do combustível e da ignição, através do controle do qunatidade de oxigênio, resfriamento da água, RPM, volume do combustível, ângulo da manivela, ruído, pressão dos tubos.Transmissão do Honda, Muda de marcha de acordo com acarro Nissan, aceleração do motor, estilo de dirigir, Subaru e condições da rua.Misturador de Fuji Eletric Misturas químicas baseadas nasprodutos químicos condições da plantas.Máquina copiadora Canon Ajusta a voltagem do tambor de acordo com a densidade da imagem, temperatura e umidade.
  • 46 Produto Companhia Função da lógica fuzzyControle de Isuzu, Baseado na velocidade e aceleraçãonavegação Nissan, do carro é ajustado o controle da Mitsubishi velocidade.Lavador de pratos Matsushita Ajusta o ciclo de lavagem, o enxágüe e estratégias de lavagem de acordo com os números de pratos, e pelos tipos e quantidades de comida incrustadas nos pratos.Secador Matsushita Converte o tamanho da carga, e o tipo de tecido, e circula o ar quente para secar estrategicamente.Controle do elevador Fujitec, Reduz o tempo de espera dos Mitsubishi Eletric, usuários baseado no tráfico de Toshiba passageiros.Controle de Omron Listas de tarefas e estratégias dasfabricação linhas de montagens.Sistema de Maruman Golf Escolha do clube de golfe baseadadiagnostico de Golf no físico e tacada dos jogadores.Administração de Omron Mais de 500 regras fuzzy e avalia asaúde saúde e o bom estado do empregado.Umidificador Casio Ajusta a umidade contida de acordo com as condições da sala.Controle de moinho Nippon Steel Combina as entradas de conjuntosde ferro de tempo e temperatura.Controle de forno Mitsubishi Chemical Mistura de cimento.Forno microondas Hitachi, Configura e ajusta a força e a Sanyo, estratégia de cozinhar. Sharp, ToshibaFonte: Fuzzy Thinking, The new science of fuzzy logic.
  • 47 Percebe-se que existem várias aplicações da lógica fuzzy executam afunção de controle, configuração, ajuste, e combinações de variáveis. E os grandesbenefícios da maioria dos produtos apresentados são da economia de energia, emelhor controle e configuração dos equipamentos. Esta tecnologia pode ser aplicadaem muitas áreas para os mais variados propósitos. W. J. Parkinson and K.H. Duerre, projetaram um sistema fuzzy determinar amelhor técnica para a recuperação de óleo do chão de forma otimizada. O objetivo éextrair aproximadamente dois terços do óleo que não pode ser extraído pelastecnologias atuais. Shigeru Kageyama e colegas desenvolveram um método fuzzy experimentalque otimiza o tempo e a quantidade de insulina que o paciente diabético irá receberatravés da bomba de insulina. Hiroyuki Okada desenvolveu um sistema fuzzy que permite a classificaçãode título para investimento, verificando se o mesmo é seguro ou não. Ao mesmotempo o sistema utiliza redes neurais para a adaptação das funções de pertinências. No Japão na cidade de Sendai, os metrôs utilizam sistema de controle fuzzypara a aceleração e frenagem do trem, tornando as paradas e saídas precisas emais suaves.
  • 487. CONCLUSÃO A modelagem de um sistema fuzzy pode acrescentar inúmeras vantagensem relação as modelagens tradicionais. Através da utilização de uma linguagemnatural que dentro da teoria é chamado de variável e valor fuzzy busca evitar autilização de regras rígidas impostas pelos especialistas diminuem a habilidade decondicionar soluções de problemas mais complexos. A utilização da lógica fuzzy na implementação de sistemas de controle, ou detomadas de decisão facilitam no desenvolvimento também devido desta tecnologiapermitir uma aproximação do raciocínio humano através da utilização de variáveis evalores fuzzy. A capacidade da lógica fuzzy em descrever ou classificar detalhes de formagradual, permite uma aproximação muito maior da realidade que é marcada por serum sistema complexo de muitas variáveis e valores ambíguos e inexatos.
  • 49 REFERÊNCIASCAMPOS FILHO, Pio. Método para apoio à decisão na verificação dasustentabilidade de uma unidade de conservação, usando lógica Fuzzy. 2004.Disponível em: <http://teses.eps.ufsc.br/defesa/pdf/7823.pdf>KOSKO, Bart. Fuzzy Thinking, The new science of fuzzy logic. Hammersmith:Flamingo, 1994.AGUIAR, Hime; JUNIOR, Oliveira. Inteligência Computacional Aplicada àAdministração, Economia e Engenharia Matlab. Thomson Learning, 2007.MALUTTA, César. Método de apoio à tomada de decisão sobre adequação deaterros sanitários utilizando a Lógica Fuzzy. 2004.Disponível em: <http://teses.eps.ufsc.br/defesa/pdf/11633.pdf>.MCNEIL, Martin F.; THRO, Ellen. Fuzzy Logic: A Practical Approach. ChestnutHill, MA, EUA: AP Professional, 1994.TSOUKALAS, Lefteri H.; UHRIG, Robert E.. Fuzzy and Neural Approaches inEngineering. Nova Iorque, NY, EUA: Wiley Interscience, 1997.SHAW, Ian S. e SIMÕES, Marcelo Godoy. Controle e Modelagem Fuzzy. SãoPaulo: Editora Edgard Blücher, 1999BARROS, Laecio Carvalho de & BASSANEZI, Rodney Carlos Tópicos de lógicafuzzy e biomatemática. Campinas, UNICAMP-IMECC, 2006.STURM, Wilerson Sturm. Avaliação do potencial de uso da lógica fuzzy para aidentificação de indicadres de competência no currículo lattes. Curitiba, 2005.Disponível em:<http://www.ppgte.cefetpr.br/semanatecnologia/comunicacoes/logica_fuzzy_na.pdf>ZADEH, Lotfi A.; FU, King-sun;TANAKA, Kokichi, SHIMURA, Masamichi. Fuzzy setsand their applications to cognitive and decision processes. Academic Press, Inc.New York San Francisco London ,1975.ZIMMERMANN, H. J. Fuzzy sets theory and its applications. Boston: Kluwer,1991.