OPERACIONES ALGEBRAICAS

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Se describen las operaciones básicas en álgebra de: Suma de monomio y de polinomios, Resta de monomios y de polinomios, Multiplicación de monomios y de polinomios (monomio por monomio, monomio por polonomio y polinomio por polinomio) y División de monomios y polinomio (monomio entre monomio, polinomio entre monomio y polinomio entre polinomio).

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OPERACIONES ALGEBRAICAS

  1. 1. OPERACIONES ALGEBRAICAS I.Q. IGNACIO ROSALES ORTIZ PROFESOR DE MATEMÁTICAS e-mail: rosorig@gmail.com
  2. 2. BREVE INTRODUCCIÓN • Desde nuestros primeros años de estudiantes, nuestros profesores, nos enseñaron a utilizar números y letras; principalmente en GEOMETRÍA. • De manera que, posiblemente de manera inconsciente, pero lo hicimos; empezamos a utilizar el ÁLGEBRA.
  3. 3. PRINCIPIOS BÁSICOS • El ÁLGEBRA, lo podemos definir en forma sencilla, como la “generalización de la aritmética”; en ésta vamos a utilizar coeficientes y literales, en lugar de números concretos. • Antes de abordar nuestros temas, vamos a comenzar nombrando algunos conceptos básicos en álgebra: – Los MONOMIOS – y los POLINOMIOS.
  4. 4. LOS MONOMIOS • El MONOMIO, es la mínima expresión algebraica, en la cual consta de:
  5. 5. EJEMPLOS: Donde:
  6. 6. LOS POLINOMIOS • El POLINOMIO, no es otra cosa que la unión o sucesión de monomios unidos o interrelacionados por medio de un signo o alguna operación aritmética. • Se pueden dividir de acuerdo al número de términos que consta: – BINOMIO: Polinomio de dos términos, – TRINOMIO: Polinomio de tres términos, – POLINOMIO: Se le da este nombre a los que ya son mayores de cuatro términos.
  7. 7. EJEMPLOS: Donde: Si marcamos con una “x”, los nombres de las siguientes expresiones, tenemos:
  8. 8. • Explicando un poco el polinomio. • Tomaremos la siguiente expresión: Segundo Primer Signo Término Término que une • Como son dos términos, entonces se llama: BINOMIO. • Tendiendo esto como base, entonces trabajaremos en lo siguiente:
  9. 9. SUMA DE MONOMIOS
  10. 10. SUMA DE MONOMIOS • Nosotros cuando empezamos a aprender cuestiones matemáticas, nuestros profesores, nos motivaron (posiblemente así lo fue) de la siguiente manera:
  11. 11. • Desde ese momento, nosotros indirectamente empezábamos a utilizar el álgebra, ya que de una imagen o representación lo asimilábamos con un número. Veamos: • Representemos a cada manzana, por la letra “m”. Así que, nos queda de la siguiente manera:
  12. 12. • Retomando lo último, tenemos: Nos resta preguntar: ¿Cuántas “m´s” Sumamos hay? las cuatro Pues hay “m”. El 4m. valor del coeficiente • También lo podemos hacer de la letra es 1. como, se nos habían enseñado por medio de conjuntos. Tenemos, por ejemplo: PROBLEMA Enrique, tenía en su colección 4 carritos, y después adquirió otros 6 carritos. ¿Cuántos carritos tiene ahora?
  13. 13. • Retomando lo último, lo representamos en forma gráfica y tenemos lo siguiente: • Ahora, representamos a los carritos con la letra “c”. Así, pues, tenemos: 4 10 ¡Y este es 6 Carritos Carritos el Carritos resultado!
  14. 14. • También podemos representar una suma de monomios con el cálculo del perímetro de una figura geométrica. Por ejemplo: PROBLEMA
  15. 15. SUMA DE POLINOMIOS
  16. 16. SUMA DE POLINOMIOS • Partamos de un problema sencillo. PROBLEMA: El día de ayer José Antonio, compró 7 aviones y 3 soldados; y el día de hoy, se compró 3 aviones y 5 soldados más. ¿Cuántos aviones y soldados tiene ahora? • Comencemos con representarlo gráficamente:
  17. 17. • Ahora, representamos a los aviones con “a” y a los soldados con “s”. Así, pues, tenemos:
  18. 18. • Retomando lo último, tenemos: Para darle solución a este tipo de problemas, lo Ahora abordamos sabemos que sumando por tiene: 10 columnas; es decir, aviones y 8 literales que sean soldados. iguales; “a” con “a” y “s” con “s”, en ¡Y este es el este caso. resultado! Quedándonos de la siguiente forma: • Se puede encontrar de la siguiente forma también: • A este fenómeno, también se le conoce como: REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES.
  19. 19. RESTA DE MONOMIOS
  20. 20. RESTA DE MONOMIOS • Este tipo de ejercicio lo podemos abordar de igual manera que la suma, solo que ahora será sustracción de términos. • Partamos de un problema sencillo. PROBLEMA: Enriqueta tenía 10 muñecas en su alcoba, el día que llegó su prima, le regaló 3 de las que tenía. ¿Cuántas muñecas le quedan?
  21. 21. • Comencemos con representarlo gráficamente, (como Enriqueta regaló, entonces la operación será una sustracción). Por tanto, tenemos: • Representamos a las muñecas con “m” y realizamos la operación sustractiva. Quedándonos de la siguiente forma:
  22. 22. ¡Y este es el resultado ! Lo podemos representar de la siguiente manera: • Aquí aplicamos lo que se aprendió, cuando se nos enseñó lo de suma y resta de números con signo. Recordemos:
  23. 23. RESTA DE POLINOMIOS
  24. 24. RESTA DE POLINOMIOS • En este tipo de operaciones, lo que debemos aplicar, ante todo son las leyes de los signos para la multiplicación. • Recordemos: • Y decimos, “signos iguales se suman, signos diferentes se restan”.
  25. 25. • Teniendo esto como base, realicemos un problema sencillo. PROBLEMA: Luis Enrique, tenía 9 chocolates y 6 caramelos; si se comió 4 chocolates y 3 caramelos, ¿cuántos chocolates y caramelos le quedan? • Representamos gráficamente esta situación; ahora, marcaremos a los chocolates con “x” y a los caramelos con “y”, una vez teniendo esto, realizamos la operación sustractiva. Quedándonos de la siguiente forma:
  26. 26. • Colocándolo con las respectivas representaciones, nos queda:
  27. 27. • Retomando lo anterior, tenemos: En este caso, El 4x, aunque no tiene signo vamos a realizar pero se sobreentiende que la sustracción. es positivo. El signo de la resta solo afecta al polinomio Aplicamos las leyes de los (binomio) que ese signos y de la distribución encuentra en el para la multiplicación, sustraendo, la sabemos que “menos por parte del más, es menos”. minuendo, se Quedándonos así: queda igual. Es decir: Realizamos las sumas o restas, por columnas como lo hicimos en la suma. 9x – 4x = 5x y 6y – 3y = 3y. Quedándonos ¡Y este es el por tanto, así: resultado!
  28. 28. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
  29. 29. • Pueden presentarse, sumas y restas cuyos monomios llevan signo y exponente. Por ejemplo:
  30. 30. • Pueden presentarse, sumas y restas cuyos monomios y polinomios, llevan signo y exponente y teniendo otra manera de presentarlo. Por ejemplo:
  31. 31. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIO POR MONOMIO
  32. 32. MULTPLICACIÓN DE MONOMIO POR MONOMIO • Para poder resolver este tipo de problemas, tenemos que aplicar las leyes de los signos y de los exponentes, para la multiplicación. • Las leyes de los signos para la multiplicación, las hemos recordado; solo nos resta recordar la de los exponentes. NOTA: Solo recordaremos las que son aplicables en forma general, para este tipo de operaciones.
  33. 33. • Veamos por ahora dos leyes de los exponentes, donde se aplica la multiplicación: ¡Es el mismo resultado!
  34. 34. • Ahora hagamos lo siguiente: ¡Es el mismo resultado!
  35. 35. • Una vez hecho el recordatorio, vayamos a realizar un ejercicio, donde apliquemos la multiplicación: • Hagamos de cuenta que tenemos la siguiente situación: Comenzamos por los signos: “menos por Por último nos vamos con las menos, es literales, en este caso como más” tienen exponentes, entonces aplicamos las leyes de los exponentes. Posteriormente, nos pasamos a los coeficientes, en este caso: 5 por 10, es 50
  36. 36. • Dicho en otras palabras, tenemos: Aunque en la “y” no tiene exponente, pero se sabe que tiene el valor de 1.
  37. 37. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIO POR BINOMIO
  38. 38. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIO POR BINOMIO • Nuevamente, utilizaremos las leyes de los exponentes, de los signos y de la distribución para la multiplicación. • Recordemos, cómo es la ley distributiva para la multiplicación:
  39. 39. Esta es la ley distributiva para la multiplicación y es ésta la que vamos a ocupar en nuestra operación.
  40. 40. • Partamos de un ejercicio para aplicar esta situación: PROBLEMA Calcular el área del siguiente rectángulo: ¡Y este es el resultado!
  41. 41. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIO POR POLINOMIO
  42. 42. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIO POR POLINOMIO • De igual manera, vamos a utilizar las leyes de los signos y de los exponentes. PROBLEMA Calcular el área del siguiente cuadrado: Podemos abordar su cálculo, mediante el desglose de cada una de las figuras, como está compuesto por un cuadro grande, un pequeño y dos rectángulos, podemos calcular el área de cada una de ellas y luego sumarlas. Veamos:
  43. 43. • Si lo resolvemos dividiendo el cuadrado en partes, quedaría de la siguiente manera: Como el área de un Sustituimos y cuadrado es: nos queda: Y como el área de un Sustituimos y rectángulo es: nos queda: Pero como son dos rectángulos iguales los sumamos y entonces tenemos lo siguiente:
  44. 44. • Retomando lo anterior (juntamos todas las áreas y las sumamos) tenemos: Como tenemos términos semejantes, entonces reducimos: Nos queda, por tanto, como: ¡Y este es el resultado!
  45. 45. • También lo podemos resolver de la siguiente forma: Como sabemos, cada lado mide (x + 2), entonces, aplicamos la fórmula para calcular el área de un cuadrado:
  46. 46. • Retomando lo anterior, tenemos: Multiplicamos los términos para poder encontrar el valor: Como tenemos términos semejantes, entonces reducimos: ¡Y este es el resultado!
  47. 47. • Lo podemos resolver, también de la siguiente manera: Multiplicamos cada uno de los términos del binomio de abajo por cada uno de los términos del binomio de arriba. Se va a colocar de tal forma que queden términos semejantes para poder hacer la suma o resta correspondiente. ¡Y este es el resultado!
  48. 48. DIVISIÓN DE MONOMIO ENTRE MONOMIO
  49. 49. DIVISIÓN DE MONOMIO ENTRE MONOMIO • De igual manera, vamos a utilizar las leyes de los signos y de los exponentes. • Pero ahora, vamos a ocupar otra ley, que es aplicable a la división. Veamos: PROBLEMA Realizar la siguiente operación:
  50. 50. • A lo que llegamos de conclusión: En la división de dos números de la misma base y elevados a un exponente cada uno de ellos, va ser igual a la base elevado a la sustracción de sus exponentes. • Aplicando este criterio realicemos el siguiente problema. PROBLEMA Calcular la altura del siguiente rectángulo, cuya área es: Y de base es:
  51. 51. Sustituimos en esta fórmula despejada, los valores tanto del área como de la base.
  52. 52. • Retomando lo anterior, tenemos: Aquí comenzamos realizando las operaciones: primero se inicia con los signos (“más entre más, es más”, en este caso como son positivos ambos términos de la fracción, se sobreentiende la operación), posteriormente se hace la operación de los coeficientes y por último las literales, como tienen exponente aplicamos la ley del exponente para la división (en caso la ley del exponente que se aplica, es: Quedándonos de la siguiente forma: ¡Y este es el resultado!
  53. 53. DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIO
  54. 54. DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIO • De igual manera, vamos a utilizar las leyes de los signos y de los exponentes, para la división. • Partamos de un ejercicio. PROBLEMA Calcular la Base del rectángulo, si de área tiene: Y de altura:
  55. 55. • Sustituyendo los valores, tenemos:
  56. 56. Primero dividimos la fracción de dos partes (como entonces la convertimos en una suma de monomio entre monomio (éste tipo de operaciones las realizamos en el tema anterior). Y aplicamos las leyes de los signos. ¡Y este es el resultado!
  57. 57. DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE POLINOMIO
  58. 58. DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE POLINOMIO • En este tipo de problemas, lo podemos resolver por medio de dos métodos: – Por “algoritmo” de la división y – Por división sintética. • Para resolver estos problemas, necesitaremos aplicar las leyes de los signos y de los exponentes para la división. NOTA: • Veamos, comenzaremos con el primer Sólo trataremos estos dos métodos, para darle solución a una división entre polinomios. método:
  59. 59. a) “ALGORITMO” DE LA DIVISIÓN • Antes de abordar la solución a este tipo de problemas, pongamos unas reglas: – Se ordenan ambos polinomios en orden decreciente respecto al grado de la variable. – Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, con lo que se obtiene el primer término del cociente. – Al dividendo se le resta el producto del divisor por el primer término del cociente y se obtiene un primer residuo.
  60. 60. – Se divide el primer término de este residuo entre el primer término del divisor, con lo que se obtiene el segundo término del cociente. – Se procede de manera similar hasta obtener un residuo cero o de grado menor que el divisor. – Se comprueba el resultado verificando que: (cociente) (divisor) + residuo = dividendo. • Comencemos con un ejercicio:
  61. 61. • Retomando lo anterior, tenemos: Este término lo vamos a colocar en la parte superior de nuestra división, en la segunda posición donde van los términos que tienen solo una “x” (como sabemos el exponente es 1, no se pone porque se sobreentiende). Quedándonos así:
  62. 62. • Retomando lo anterior, tenemos: Una vez realizada la multiplicación de 2x (3x -2); los colocamos en la parte inferior de nuestra división. Pero aquí hay una característica, como estamos dividiendo vamos a cambiar los signos, es decir, 2x (-2) = - 4x, pero como estamos dividiendo el resultado lo ponemos como + 4x; al igual que, 2x (3x) = 6x , como estamos dividiendo, lo ponemos como - 6x . Realizamos las sumas y restas correspondientes, quedándonos así: Ahora, bajamos el último término, que en este caso es: + 4.
  63. 63. • Retomando lo anterior, tenemos: De igual manera, éste número lo colocamos en la parte superior de nuestra de división (cociente) y multiplicamos el número por el divisor.
  64. 64. • Retomando lo anterior, tenemos: Nuevamente, multiplicamos -2(3x -2); poniendo el resultado en la parte inferior de la división. Recordando sólo que, como estamos dividiendo hay que cambiar el signo (en -2(3x) = - 6x, pero como estamos en la división queda: + 6x; de igual forma -2(-2) = + 4, pero como estamos dividiendo queda: - 4). Así, pues, tenemos: Realizamos las sumas y restas correspondientes, nos queda cero en ambos términos, dándonos a entender que es exacta la división
  65. 65. • Retomando lo anterior, concluimos: ¡Y este es el resultado! ¡FELICIDADES!
  66. 66. b) DIVISIÓN SINTÉTICA • Este método lo único que tenemos que hacer es lo siguiente: – En primer lugar, dejamos de escribir las potencias de “x” y únicamente escribimos los coeficientes; – En segundo lugar, sólo escribimos las operaciones relevantes. • Partimos de una situación, el término del divisor es: • (x – a)
  67. 67. • Retomando lo anterior, tenemos: • (x – a), es el término del divisor. Por ejemplo: • Si tuviéramos: (x – 3), el valor de a = 3; en el caso de tener: (x + 3), ahora el valor de a = - 3. PROBLEMA Resolver la siguiente operación:
  68. 68. Primero, tomamos el valor de “a” y lo colocamos en un casillero, éste nos va a servir de multiplicador. Posteriormente, colocamos en línea los valores de los coeficientes en forma descendente (el 2 corresponde al valor del x al cuadrado, el 8 del término en x y el – 10 el término independiente). Finalmente, bajamos el primer término (en este caso es, 2). • Una vez, teniendo esto, nos vamos a las operaciones: El valor de “a” que es – 5, lo vamos a multiplicar por 2 y el resultado lo colocamos en la parte intermedia debajo del segundo término, luego sumamos las dos cantidades: 8 – 10 = - 2. Quedándonos así:
  69. 69. • Retomando lo anterior, tenemos: Descrito gráficamente lo anterior, así es lo que tenemos. Una vez teniendo esto, pasamos al paso siguiente que es: Multiplicar el valor de “a” que es – 5, por el número encontrado en la última suma que es, - 2; quedándonos así: (- 5)(- 2) = + 10. Y luego realizamos la suma, dándonos como resultado: cero (0). Esto significa que es exacta nuestra división.
  70. 70. • Retomando lo anterior, concluimos: • El resultado es: (2x – 2) ¡Y este es el Estos dos números son los que vamos a tomar, pero los resultado! vamos a tomar de la siguiente manera: El primer 2 corresponderá al primer término: “2x” y el segundo, será el otro término así como está, sin incógnita: - 2. El último número ¡FELICIDADES! corresponderá al residuo, en este caso, no hay residuo.

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