Zat padat parno
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Zat padat parno

on

  • 15,555 views

 

Statistics

Views

Total Views
15,555
Views on SlideShare
15,553
Embed Views
2

Actions

Likes
6
Downloads
1,345
Comments
3

1 Embed 2

https://twitter.com 2

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Zat padat parno Zat padat parno Document Transcript

  • FISIKA ZAT PADAT Oleh DRS. P A R N O, M.Si DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS NEGERI MALANGFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN FISIKA Pebruari 2006
  • Ralat fisika zat padat 2006 hal ralat 10 Gambar 1.9 CsCl 13 c/a = (2/3) akar 6 18 Baris ke-8 dalam table: ………. berikutnya 25 Pers (1.30) fkr,hkl 27 KBR seharusnya adalah KBr 35 interaksi seharusnya Interaksi 41 Baris ke-2 dr bw: dobel + 42 03.b. primitip adalah; 06. ……… 48 2.1 dan 2.3 57 Letak Pers 2.34 i
  • KATA PENGANTAR Puji syukur dipanjatkan kepada Tuhan Yang Mahaesa atas segala rahmat-Nyasehingga penulisan buku FISIKA ZAT PADAT ini dapat diselesaikan. Buku ini disusun atas dasar deskripsi matakuliah FIU 437 FISIKA ZATPADAT di Jurusan Fisika FMIPA Universitas Negeri Malang dan dengan maksudagar perkuliahan matakuliah tersebut dapat berlangsung lebih efektif dan efisien.Disamping itu, buku ini diharapkan dapat melengkapi pilihan pustaka mahasiswadalam memahami konsep dan gejala mendasar dalam zat padat. Isi buku ini dirancang untuk kuliah satu semester dengan tiga sampai empatkredit pada semester kedua tahun ketiga. Dengan demikian mahasiswa diharapkansudah menempuh matakuliah prasyaratnya, yaitu FISIKA KUANTUM dan FISIKASTATISTIK. Dalam setiap bab buku ini disajikan urutan subbab sedemikian rupa sehinggamemahami subbab sebelumnya menjadi bekal yang cukup baik untuk memahamisubbab sesudahnya. Oleh karena itu dalam mempelajari setiap bab buku inimahasiswa diharapkan membaca dan memahaminya mulai dari awal sampai akhirsecara berturutan. Diucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehinggabuku FISIKA ZAT PADAT ini dapat diselesaikan. Saran dan kritik membangun daripara pembaca sangat diharapkan demi lebih sempurnanya buku ini. Semoga buku ini berguna. Amin! Malang, Pebruari 2006 Penyusun, i View slide
  • DAFTAR ISI halamanBAB I STRUKTUR KRISTAL 1.1 SIMETRI DAN STRUKTUR KRISTAL 2 1.1.1 Pengertian Pokok 2 1.1.1.1.Zat padat Kristal 2 1.1.1.2 Kisi Kristal 3 1.1.1.3 Vektor Basis 4 1.1.1.4 Sel Satuan Primitip dan Non-Primitip 4 1.1.1.5 Tiga Dimensi 5 1.1.2 Macam Dasar Kisi kristal 6 1.1.3 Beberapa Kristal dengan Struktur Sederhana 9 1.1.3.1 Struktur NaCl 9 1.1.3.2 Struktur CsCl 10 1.1.3.3 Struktur Intan 11 1.1.3.4 Struktur ZnS 12 1.1.3.5 Struktur HCP 12 1.1.4 Geometri Kristal 13 1.1.4.1 Arah kristal 13 1.1.4.2 Bidang Kristal dan Indek Miller 14 1.1.4.3 Jarak antar Bidang Sejajar 16 1.1.4.4 Fraksi Kepadatan 18 1.2 DIFRAKSI KISI KRISTAL 18 1.2.1 Hamburan Sinar-X oleh Kisi Kristal 19 1.2.1.1 Hukum Bragg 19 1.2.1.2 Teori Hamburan 20 1.2.1.3 Kisi Resiprok 23 1.2.1.4 Difraksi Sinar-X 24 1.3 IKATAN ATOMIK DALAM KRISTAL 28 1.3.1 Gaya Antaratom 28 1.3.2 Jenis Ikatan Kristal 30 1.3.2.1 Ikatan Ionik 30 1.3.2.2 Ikatan Kovalen 32 1.3.2.3 Ikatan Logam 34 1.3.2.4 Ikatan Van Der Walls 35 1.3.2.5 Ikatan Hidrogen 37RINGKASAN 38LATIHAN SOAL BAB I 41 ii View slide
  • B A B II DINAMIKA KISI KRISTAL 2.1. GETARAN DALAM ZAT PADAT 47 2.1.1 Getaran Elastik dan Rapat Moda Getar 47 2.1.2 Kuantisasi Energi Getaran dalam Zat Padat 52 2.1.2.1 Model Einstein tentang Cv Zat Padat 53 2.1.2.2 Model Debye tentang Cv Zat Padat 56 2.2 GETARAN DALAM KISI KRISTAL 58 2.2.1 Getaran dalam Kisi Linier 58 2.2.1.1 Kisi Monoatomik Satu Dimensi 58 2.2.1.2 Kisi Diatomik Satu Dimensi 63 2.2.1.3 Kisi Tiga Dimensi 66RINGKASAN 66LATIHAN SOAL BAB II 68BAB III ELEKTRON DALAM LOGAM I (MODEL ELEKTRON BEBAS) 3.1 MODEL ELEKTRON BEBAS KLASIK 73 3.1.1 Teori Drude tentang Elektron dalam Logam 73 3.1.2 Model Elektron Bebas Klasik 76 3.2 MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI 78 3.2.1 Sumbangan Elektron Bebas pada Harga CV 80 3.2.2 Paramagnetik Pauli 82 3.2.3 Konduktivitas Listrik dalam Logam 83 3.3 PERILAKU ELEKTRON DALAM LOGAM 87 3.3.1 Hukum Matthiessen 87 3.3.2 Efek Hall 88 3.3.3 Resonansi Siklotron 90 3.3.4 Pancaran Termionik 91 3.4 KEBERATAN TERHADAP MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI 93RINGKASAN 94LATIHAN SOAL BAB III 96BAB IV LOGAM II (TEORI PITA ENERGI) 4.1 TEORI PITA ENERGI UNTUK ZAT PADAT 99 4.1.1 Teorema Bloch 100 4.1.2 Model Kronig-Penney 101 4.1.3 Pita Energi dan Energi Elektron dalam Atom 105 4.1.4 Refleksi Bragg dan Celah Energi 108 4.1.5 Logam, Isolator dan Semikonduktor 110 4.1.6 Metode LCAO 115 iii
  • 4.2 DINAMIKA ELEKTRON DALAM KRISTAL 119 4.2.1 Kecepatan Kelompok dan Massa Efektif Elektron dalam Kristal 119 4.2.2 Pengaruh Medan Listrik pada Kecepatan Elektron dalam Kristal 125 4.2.3 Konduktivitas listrik 127 4.2.4 Dinamika Elektron dalam Medan Magnet 129 4.2.4.1 Efek Hall 129 4.2.4.2 Resonansi Siklotron 130RINGKASAN 133LATIHAN SOAL BAB IV 136BAB V SEMIKONDUKTOR 5.1 KLASIFIKASI SEMIKONDUKTOR 140 5.2 SEMIKONDUKTOR INTRINSIK 140 5.3 SEMIKONDUKTOR EKTRINSIK 144 5.3.1 Ketidakmurnian Donor dan Akseptor 145 5.3.1.1 Donor 145 5.3.1.2 Aseptor 147 5.4 PENGUKURAN CELAH ENERGI DENGAN METODE OPTIK 149RINGKASAN 150LATIHAN SOAL BAB V 152BAB VI BAHAN DIELEKTRIK 6.1 RUMUSAN DASAR POLARISASI BAHAN 154 6.2 KONSTANTA DIELEKTRIK BAHAN (PANDANGAN MAKROSKOPIS) 156 6.3 POLARISABILITAS BAHAN (PANDANGAN MIKROSKOPIS) 157 6.3.1 Persamaan Clausius-Mosotti 157 6.3.2 Sumber Polarisabilitas 161 6.3.2.1 Polarisabilitas Polar 163 6.3.2.1.1 Polarisabilitas Polar Statik 163 6.3.2.1.2 Polarisabilitas Polar Bolak-balik 164 6.3.2.2 Polarisabilitas Ionik 167 6.3.2.3 Polarisabilitas Elektronik 170 6.3.2.3.1 Polarisabilitas Elektronik Statik 170 6.3.2.3.2 Polarisabilitas Elektronik Bolak-balik 171 6.4 GEJALA PIEZOELEKTRIK 172 6.5 GEJALA FERROELEKTRIK 173RINGKASAN 173LATIHAN SOAL BAB VI 178 iv
  • BAB VII BAHAN MAGNETIK 7.1 SUSEPTIBILITAS MAGNETIK BAHAN 183 7.2 GEJALA DIAMAGNETIK LANGEVIN 184 7.3 GEJALA PARAMAGNET 186 7.4 GEJALA MAGNETIK DALAM LOGAM 190 7.5 GEJALA FERROMAGNETIK 193 7.5.1 Gejala Ferromagnetik pada Isolator 193 7.5.1.1 Teori Medan Molekuler 193 7.5.1.2 Magnetisasi Spontan dan Hukum Curie-Weiss 194 7.5.2 Gejala Ferromagnetik pada Logam 197 7.6 GEJALA ANTIFERROMAGNETIK DAN FERRIMAGNETIK 198RINGKASAN 199LATIHAN SOAL BAB VII 201DAFTAR RUJUKAN v
  • BAB I STRUKTUR KRISTAL Zat padat, yang terlihat sebagai benda tegar padat, secara mikro terdiri dariatom. Atom-atom zat padat tidaklah diam, melainkan bervibrasi dengan amplitudokecil di sekitar titik kesetimbangannya. Karena posisinya yang relatif tetap, makaatom-atom tersebut cenderung membentuk struktur tertentu. Hal ini berbedadengan cairan atau gas, yang mana atom-atomnya bergerak pada jarak yang lebihbesar sehingga strukturnya tidak tertentu. Distribusi setimbang atom-atom mendefinisikan struktur padatan, yangterdiri dari tiga bagian besar, yaitu kristalin, amorf, dan polikristal. Dalam zatpadat kristal, atom tersebut terdistribusi teratur relatif terhadap yang lain.Terdapat beberapa jenis struktur kristal yang bergantung pada geometri susunanatom. Pemahaman tentang struktur kristal bahan adalah hal penting dalam fisikazat padat, karena, umumnya, struktur kristal mempengaruhi sifat zat padat. Zatpadat polikristal dibentuk oleh sejumlah besar kristal-kristal kecil, yang disebutkristalin. Atom-atom membentuk pola dalam suatu kristal, tetapi orientasinyaakan lenyap pada batas kristalin. Sedangkan dalam zat padat amorf, terjadidistribusi atom secara acak. Bahan-bahan zat padat dapat berbentuk kristalin,polikristal atau amorf, bergantung pada bagaimana bahan tersebut dipreparasi.Selanjutnya, dalam diktat ini hanya dibahas zat padat kristal saja.
  • I STRUKTUR KRISTAL 2 Bagian awal bab ini menyajikan pengertian struktur kristal besertaperluasannya melalui rumusan dasar matematika. Kemudian dibahas jenis strukturyang mungkin, dan dikenalkan konsep indek Miller. Struktur kristal dapatditentukan dengan menggunakan difraksi sinar-X. Bab ini ditutup oleh bahasangaya antaratom yang menyebabkan terjadinya ikatan dalam kristal.1.1 SIMETRI DAN STRUKTUR KRISTAL1.1.1 Pengertian Pokok1.1.1.1 Zat Padat Kristal Suatu benda padat berbentuk kristal, apabila atom, ion, atau molekulnya(selanjutnya disebut atom saja) teratur dan periodik dalam rentang yang panjangdalam ruang. Kristal sempurna mempunyai keperiodikan tak berhingga. Namun,kenyataannya, tidak mungkin mempreparasi kristal sempurna karena berbagaiketerbatasan fisis, yaitu (a) adanya permukaan kristal, (b) cacat geometrik, (c)ketakmurnian, dan (d) pada suhu T>0 K atom dalam kristal bergetar harmonik disekitar titik setimbangnya. Gambar 1.1 berikut menyajikan geometri kristal dua dimensi. b R a Gambar 1.1 Zat padat kristal. Seluruh atom tersusun periodik.Kedudukan dalam ruang dua dimensi di atas merupakan kedudukan atomnya.Setiap titik di dalamnya terletak pada ujung vektor kisi R = n1 a + n2 b (1.1)dengan (n1, n2) adalah pasangan bilangan bulat; dan a dan b adalah vektor basis. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 3 Bahan kristal memiliki simetri translasi, artinya seluruh kristal itu digesersejauh vektor R di atas (yang menghubungkan dua buah atomnya), makakeadaannya tetap sama. Dengan kata lain kristal bersifat invarian terhadaptranslasi semacam itu.1.1.1.2 Kisi Kristal Dalam kristalografi (bahasan geometri kristal), setiap atom dalam kristaldianggap sebagai suatu titik, tepat pada kedudukan setimbang tiap atom itu didalam ruang. Pola geometrik yang diperoleh dinamakan kisi kristal. Terdapat dua kelas kisi, yaitu Bravais dan non-Bravais. Dalam kisiBravais, seluruh titik kisi adalah ekivalen, artinya kisi bersifat invarian terhadapoperasi simetri translasi. Dengan demikian semua atom dalam kristal haruslahsejenis. Sedangkan dalam kisi non-Bravais terdapat beberapa titik kisi yang tidakekivalen. Gambar 1.2 berikut menyajikan kisi non-Bravais. Gambar 1.2 Kisi non-Bravais dengan basis A dan A’Tempat kisi A, B dan C adalah ekivalen, begitu juga A’, B’ dan C’. Tetapi, duatempat kisi A dan A’ tidak ekivalen karena kisi tidak invarian terhadap translasisepanjang AA’. Kisi non-Bravais seringkali disebut sebagai kisi dengan suatubasis. Basis yang dimaksud adalah kumpulan atom yang ditempatkan di sekitartitik kisi Bravais. Dalam Gambar 1.2 di atas basisnya adalah A dan A’. Kisi non-Bravais dapat dipandang sebagai kombinasi dari dua atau lebihkisi Bravais yang saling menembus dengan orientasi tertentu. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 41.1.1.3 Vektor Basis Lihat kembali Gambar 1.1. Posisi semua titik kisi dinyatakan olehpersamaan (1.1), yakni R = n1 a + n2 b . Perhatikanlah bahwa a dan b , yangdinamakan vektor basis, (a) bersifat tidak unik, dan (b) haruslah tidak kolinier.1.1.1.4 Sel Satuan Primitip dan non-Primitip Luas daerah jajaran genjang (paralelogram) yang sisinya dibatasi olehvektor basis disebut sel satuan, seperti luasan daerah bayang-bayang dalamGambar 1.3 berikut. b R a Gambar 1.3 Vektor a dan b membentuk sel satuanSel satuan merupakan dasar pola elementer karena berulang secara periodik danmembentuk struktur kisi suatu kristal. Bila sel satuan tersebut dilakukan translasioleh vektor kisi R di atas, maka seluruh kisi kristal tercakup olehnya. Luas daerahparalelogram dengan sisi a dan b adalah a × b =ab sin γ, dimana γ adalah sudutantara a dan b . Perhatikanlah bahwa sel satuan itu (a) tidak unik, (b) setiap sel satuanmempunyai luasan yang sama, dan (c) dalam contoh di atas sel satuanmengandung satu titik kisi. Yang dibicarakan di atas adalah sel primitip, yakni sel satuan yang hanyamengandung satu titik kisi perselnya. Sedangkan sel non-primitip memiliki lebihdari satu titik kisi perselnya. Vektor basis yang membentuk sel satuan primitipdisebut vektor basis primitip; dan sel satuan non-primitip disebut vektor basisnon-primitip. Gambar 1.4 berikut memperjelas perbedaan keduanya. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 5 2 1 5 3 4 Gambar 1.4 Sel primitip (3, 4 dan 5) dan non-primitip (1 dan 2 dengan dua titik kisi persatuan sel) Perhatikanlah bahwa jika sel satuannya adalah sel primitip, maka titik-titikkisi hanya ada pada tiap-tiap pojok jajaran genjang, yaitu sebanyak 4 titik kisi.Setiap titik kisi menjadi milik bersama antara 4 buah sel, sehingga jumlah totaltitik kisi dalam sel satuan primitip sebanyak 4x¼=1. Hal demikian tidak terjadipada sel satuan nonprimitip. Beberapa hal penting yang berkaitan dengan sel satuan adalah (a) sel non-primitip menunjukkan simetri lebih besar, (b) luas sel non-primitip merupakankelipatan bulat dari luas sel primitip, dan (c) sel primitip dan non-primitip berkaitdengan pemilihan vektor basis dalam kisi Bravais.1.1.1.5 Tiga Dimensi Bahasan kristal dalam tiga dimensi sama dengan dalam dua dimensi,hanya keadaannya ditambah dengan satu dimensi lagi. Disamping itu, hal yangperlu diperhatikan adalah(a) ungkapan vektor basis menjadi R = n1 a + n2 b + n3 c (1.2) dengan vektor basis (a , b , c ) yang tidak koplanar,(b) vektor basis membentuk sel satuan volume berbentuk paralelepipidum, Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 6(c) antarvektor basis satu sama lain membentuk sudut α, β dan γ seperti terlihat pada Gambar 1.5 berikut. (d) volume paralelepipidum dengan sisi a , b dan c adalah luas bagian dasar berbentuk paralelogram a × b yang dikalikan dengan komponen c sepanjang sumbu yang tegak lurus terhadap bagian dasar tersebut, yaitu Gambar 1.5 Kisi tiga dimensi dengan V = c • a ×b . vektor basis (a , b , c ) dan sudut α, β, γ antaranya Perhatikanlah bahwa sel satuan pada Gambar 1.5 adalah sel satuanprimitip, yaitu titik-titik kisi berjumlah 8 hanya ada pada tiap pojokparalelepipidum. Setiap titik kisi menjadi milik bersama sebanyak 8 sel satuan,sehingga jumlah total titik kisi dalam sel satuan primitip tersebut sebanyak8x 1 =1. Hal demikian tidak terjadi pada sel satuan nonprimitip. 81.1.2 Macam Dasar Kisi Kristal Kondisi simetri translasi dalam kristal mempunyai konsekwensi terhadapterbatasnya kemungkinan jenis kisi Bravais yang dapat terjadi, baik dalam kisikristal dua maupun tiga dimensi. Dalam dua dimensi, kisi kristal yang mungkin sebanyak lima jenis, sepertiterlihat dalam Tabel 1.1 dan Gambar 1.6 berikut.Tabel 1.1 Macam kisi dua dimensi No Kisi Sel Satuan Sisi dan Sudut 1 Genjang Jajaran genjang a≠b ϕ ≠ 900 2 Persegi Bujur sangkar a=b ϕ = 900 3 Heksagonal Belah ketupat a=b ϕ = 1200 4 Empat persegi panjang P Empat persegi panjang a≠b ϕ = 900 5 Empat persegi panjang I Empat persegi panjang a≠b ϕ = 900 Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 7 a a a a b b b a a a Gambar 1.6 Lima jenis dasar kisi Bravais dua dimensi Tampak bahwa hanya kisi empat persegi panjang I yang memiliki sel satuan nonprimitip Untuk kasus tiga dimensi ternyata ada 14 buah kisi Bravais yangterlingkupi dalam 7 buah sistem kristal. Hal ini sebagai konsekuensi dari simetrirotasi sebuah kristal, yakni rotasi-1, 2, 3, 4, dan 6, seperti disajikan dalam Tabel1.2 dan Gambar 1.7 berikut.Tabel 1.2 Macam kisi tiga dimensi Sistem No Kisi Bravais Geometri Kristal Simetri Khas Kristal 1 Triklinik P a≠b≠c α≠β≠γ Tidak ada 2 Monoklinik P , C a ≠ b ≠ c α = β = 900 γ ≠ 900 Sebuah sumbu rotasi-2 Tiga sumbu rotasi-2 3 Ortorombik P , C, I, F a ≠ b ≠ c α = β = γ = 900 ortogonal 4 Tetragonal P , I a = b ≠ c α = β = γ = 900 Sebuah sumbu rotasi-4 a = b = c α = β = γ < 1200 5 Trigonal R Sebuah sumbu rotasi-3 tetapi bukan 900 6 Heksagonal P a = b ≠ c α = β = 900 γ = 1200 Sebuah sumbu rotasi-3 Empat sumbu rotasi-3 7 Kubik P, I,F a = b = c α = β = γ = 900 sepanjang diagonal kubusKisi Bravais P, C, I, F, dan R, masing-masing mengandung jumlah titik kisi perselsatuannya adalah 1, 2, 2, 4, dan 1. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 8Gambar 1.7 Empat belas kisi Bravais berdimensi tiga dan distribusinya dalam 7 sistem kristal P = primitip C = “base centered” I = “body Centered” F = “face centered” R = rombohedral primitip Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 91.1.3 Beberapa Kristal dengan Struktur Sederhana1.1.3.1 Struktur Sodium Khlorida (NaCl) Na Cl mempunyai struktur FCC dengan basis satu atom Na dan satu atomCl yang terpisah sepanjang setengah diagonal ruang kubus. Sepanjang ketiga arahsumbu utama kubiknya terdapat alternasi atom Na dan Cl, seperti ditunjukkanoleh Gambar 1.8 berikut. Gambar 1.8 Struktur NaCl tiga dimensiSetiap sel satuan memiliki 4 perangkat NaCl yang atomya berkedudukan di Cl : 000 ½½0 ½0½ 0½½ Na: ½½½ 00½ 0½0 ½00Jika sisi kubik adalah a, maka kedua atom dalam basis terpisah sejauh ½√3a, dansetiap atom memiliki 6 atom tetangga terdekat yang berbeda jenis dengan jarakpisah masing-masing ½a. Nilai konstanta a untuk NaCl berharga 5,63 Å. NaCl dapat pula dipandang sebagai struktur non-Bravais, yang terdiri daridua subkisi FCC, masing-masing untuk Na dan Cl, yang saling menembus. Keduasubkisi tersebut terpisah sejauh ½a satu sama lain. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 10 Beberapa kristal yang memiliki struktur NaCl adalah LiH, MgO, MnO,AgBr, PbS, KCl, dan KBr dengan konstanta kisi masing-masing 4,08; 4,20; 4,43;5,77; 5,92; 6,29; dan 6,59 Å.1.1.3.2 Struktur Sesium Khlorida (CsCl) CsCl memiliki struktur SC dengan basis satu atom Cs dan satu atom Cl.Alternasi atom Cs dan Cl terdapat sepanjang diagonal ruang kubik, seperti terlihatpada Gambar 1.9 berikut. Gambar 1.9 Struktur CsClSetiap sel satuan mengandung satu molekul CsCl, dengan posisi atom Cs : 000 Cl : ½½½ CsCl dapat pula dipandang sebagai struktur non-Bravais yang terdiri daridua subkisi SC (kubik sederhana), yang masing-masing dibentuk oleh atom-atomCs dan Cl, yang keduanya terpisah sejauh ½√3a (setengah diagonal ruang).Jumlah titik terdekat setiap atom adalah 8 atom yang berbeda jenis. CsCl memilikikonstanta kisi 4,11 Å. Beberapa kristal yang memiliki struktur CsCl adalah BeCu, AlNi, CuZn,CuPd, AgMg, LiHg, NH4Cl, TlBr, dan TlI dengan konstanta kisi masing-masing2,70; 2,88; 2,94; 2,99; 3,28; 3,29; 3,87; 3,97; dan 4,20 Å. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 111.1.3.3 Struktur Intan Struktur intan dapat dilihat sebagai struktur yang sel satuannya adalah selFCC dengan suatu basis, yakni dua atom C yang posisinya 000 dan ¼¼¼seperti terlihat pada Gambar 1.10 dan 1.11 berikut. Gambar 1.10 Struktur kristal intan dengan ikatan tetrahedralnya Gambar 1.11 Proyeksi posisi atom dalam struktur intan sel kubik pada salah satu sisi kubik. Bilangan pecahan menunjukkan ketinggian di atas bidang dasar Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 12Dalam setiap sel satuan terdapat 8 atom C dan bilangan koordinasinya adalah 4.Keempat atom terdekat membentuk suatu tetrahedral, dengan pusat atom yangbersangkutan. Konfigurasi semacam itu sering dijumpai pada semikonduktor, dandinamakan ikatan tetrahedral. Struktur intan merupakan contoh ikatan kovalendalam unsur-unsur kolom IV tabel periodik. Struktur intan dapat pula dipandang sebagai gabungan dari dua subkisiFCC yang saling menembus dengan titik asal, masing-masing 000 dan ¼ ¼ ¼. Beberapa kristal yang memiliki struktur intan adalah Ge, Si, C, timah putihdengan konstanta kisi masing-masing 5,65; 5,43; 3,56; dan 6,46 Å.1.1.3.4 Struktur Seng Sulfida (ZnS) Struktur ZnS sama dengan struktur intan, tetapi dengan basis yang terdiridari dua atom berbeda, yakni Zn dan S. Setiap sel satuan memiliki 4 molekul ZnSdengan posisi atom Zn : 000 0½½ ½0½ ½½0 S: ¼¼¼ ¼¾¾ ¾¼¾ ¾¾¼Setiap atom memiliki jarak yang sama terhadap keempat atom yang berbedaterdekatnya yang menempati pojok-pojok tetrahedron regular. ZnS memilikikonstanta kisi 5,41 Å. Beberapa kristal yang memiliki struktur ZnS adalah CuF, SiC, CuCl, AlP,GaP, ZnSe, GaAs, AlAs, CdS, InSb, dan AgI dengan konstanta kisi masing-masing 4,26; 4,35; 5,41; 5,45; 5,45; 5,65; 5,65; 5,66; 5,82; 6,46; dan 6,47 Å.1.1.3.5 Struktur HCP (hexagonal close-packed structure) Banyak cara untuk menyusun bola identik dengan jumlah tak berhinggasecara tertentu sehingga menghasilkan susunan teratur yang memiliki fraksikepadatan maksimum atau ruang kosong antarbola minimum. Gambar 1.12berikut melukiskan susunan satu lapis bola identik dengan pusat titik A, yangmana tiap bola bersinggungan dengan enam bola tetangga terdekatnya. Lapisankedua yang identik ditempatkan paralel di atasnya (lapisan pertama) dengan pusattitik B. Penempatan lapisan ketiga memiliki dua kemungkinan, yakni Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 13 Gambar 1.12 Lapisan bola terkemas rapat dengan pusat titik A(a) dengan pusat titik A, sehingga terdapat urutan lapisan ABABAB…, dan menghasilkan struktur HCP, dan(b) dengan pusat titik C, sehingga terdapat urutan ABCABC…, dan menghasilkan struktur FCC. Lapisan pertama A merupakan bidang dasar untuk struktur HCP ataubidang (111) untuk struktur FCC. Struktur HCP memiliki sel primitip kisiheksagonal, tetapi dengan basis dua atom. Sedangkan sel primitip FCC berbasissatu atom. Baik HCP maupun FCC mempunyai perbandingan c/a= 2 6 =1,633 dan 3jumlah tetangga terdekat 12 buah atom, serta energi ikatan yang hanya bergantungpada jumlah ikatan tetangga terdekat peratom. Beberapa kristal yang memiliki struktur HCP adalah He, Be, Mg, Ti, Zn,Cd, Co, Y, Zr, Gd, dan Lu dengan nilai c/a masing-masing adalah 1,633; 1,581;1,623; 1,586; 1,861; 1,886; 1,622; 1,570; 1,594; 1,592; dan 1,586.1.1.4 Geometri Kristal1.1.4.1 Arah Kristal Telah dikemukakan bahwa arah tertentu dalam kisi dinyatakan oleh vektorkisi (1.2), yaitu R = n1 a + n 2 b + n3 c . Arah vektor R dinyatakan dengan [n1 n2n3], yang lazimnya dalam perbandingan bilangan bulat terkecil. Semua arah yang Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 14sejajar memiliki indek yang sama. Perhatikanlah beberapa arah dalam kristalortorombik seperti Gambar 1.13 berikut. c D C B O b a A Gambar 1.13 Indek arah satuan sel ortorombik OA: [110] OB: [111] OC: [112] OD: [001] Apabila sel satuan yang ditinjau mempunyai simetri rotasi, makaseringkali ada arah nonparalel yang karena kesimetriannya merupakan arah yangekivalen. Arah [n1 n2 n3] yang ekivalen menggunakan notasi <n1 n2 n3>. Misalnya,pada suatu kubik sumbu X, Y dan Z masing-masing memiliki arah [100], [010]dan [001] yang ekivalen, dinotasikan dengan <100>. Secara sepenuhnya <100>mencakup arah [100], [010], [001], [ 1 00], [0 1 0] dan [00 1 ] dimana makna dari1 adalah –1; dan <111> menunjukkan semua diagonal ruang suatu kubik. Satu arah dengan indeks Miller besar, misalnya [157], memiliki jumlahatom persatuan panjang yang lebih sedikit daripada indeks yang kecil, misalnya[111].1.1.4.2 Bidang Kristal dan Indek Miller Representasi suatu bidang datar dalam suatu kisi kristal diungkapkan olehindek Miller (hkl). Perhatikanlah Gambar 1.14 berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 15 Gambar 1.14 Bidang (233)Bidang memotong sepanjang sumbu vektor basis a , b dan c masing-masing pada ⎛x y z⎞x, y dan z. Didapatkan perangkat tiga bilangan ⎜ ⎟ . Lalu, diambil ⎝a b c⎠ ⎛a b c⎞kebalikannya, yaitu ⎜ ⎜ x y z ⎟ . Indek Miller didapatkan dengan menyatakan ⎟ ⎝ ⎠perangkat tiga bilangan terakhir sebagai perbandingan bilangan bulat terkecil, dandinyatakan dengan notasi ⎛ a c⎞ (h k l) = ⎜m ⎜ x m b m ⎟ (1.3) ⎝ y z⎟ ⎠dengan m adalah bilangan bulat untuk mereduksi indek menjadi bilangan bulatterkecil. Dengan demikian, kumpulan bidang paralel mempunyai representasiindek Miller yang sama. Pada Gambar 1.14 di atas x=3a, y=2b dan z=2c, sehinggajika dianggap a=b=c=1, maka bidang yang dimaksud memiliki indek Miller(hkl)=(233). Pada kasus lain, misalnya x=2a, y=(3/2)b, dan z=c memiliki indeksMiller (hkl)=(346). Dalam satuan sel yang memiliki simetri rotasi, beberapa bidang nonparalel(hkl) adalah ekivalen karena kesimetriannya, dan dinotasikan dengan {hkl}.Misalnya dalam sistem kubik indek {100} menunjukkan enam bidang, yaitu(100), (010), (001), ( 1 00), (0 1 0) dan (00 1 ). Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 16 Berikut adalah beberapa contoh bidang (hkl) dalam sistem kubik. Gambar 1.15 Bidang (100), (110), (111), (200) dan ( 1 00) dalam sistem kubik Dalam koordinat Kartesis bidang (hkl) = (mnox mnoy mnoz) memberikanvektor arah yang tegak lurus terhadap bidang tersebut, yakni ˆ j ˆno = nox i + noy ˆ + noz k .1.1.4.3 Jarak Antarbidang Sejajar Miller Bahasan ini dibatasi pada sistem dengan sumbu ortogonal, dengan a≠b≠c.Perhatikanlah Gambar 1.16 berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 17 Z z Garis normal γ β y Y α x X Gambar 1.16 Cara mendapatkan jarak antarbidang MillerJarak dari titik O ke titik potong P dinayatakan dengan dhkl. Jika x, y dan zmerupakan titik potong bidang (hkl) dengan sumbu a, b dan c maka dhkl=x cosα=y cos β=z cos γ. Secara geometri, pada gambar di atas didapatkan hubungancos2α+ cos2 β+ cos2 γ=1 sehingga didapatkan 1 d hkl = 1/ 2 (1.4) ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ 2 + 2 + 2⎟ ⎜x ⎝ y z ⎟⎠Harga x, y dan z berkaitan dengan bilangan h, k dan l melalui ungkapan a b c h=m ; k=m ; l=m (1.5) x y zsehingga jarak antarbidang (1.4) menjadi m d hkl = 1/ 2 (1.6) ⎛ h2 k 2 l 2 ⎞ ⎜ 2 + 2 + 2⎟ ⎜a ⎝ b c ⎟ ⎠Misalnya, pada sistem kubik dengan sisi a didapatkan d111=(1/3)√3a; d110=½√2adan d020=½a. Pada umumnya bidang yang indek Millernya rendah memiliki jarakantarbidang lebih besar, tetapi memiliki kerapatan atom persatuan luas yang lebihbesar. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 181.1.4.4 Fraksi Kepadatan Fraksi kepadatan, didefinisikan sebagai proporsi maksimum dari volumeyang ada yang dapat diisi oleh bola atom dalam sebuah sel satuan, diungkapkandalam bentuk rumusan F=N (4 / 3)π r3 (1.7) Vdengan N= jumlah atom dalam sel satuan r = jari-jari bola atom V = volume sel satuanJarak kesetimbangan antara pusat dua atom berdekatan dapat dipandang sebagaijumlah jari-jari kedua atom tersebut. Tabel 1.3 berikut menunjukkan hubungan antara struktur kristal denganukuran geometrik sel satuan.Tabel 1.3 Ukuran geometrik dan struktur kristal No Parameter SC BCC FCC Intan HCP 1 Jari-jari atom a/2 a√3/4 a√2/4 a√3/8 a/2 2 Atom persel satuan 1 2 4 8 6 3 3 3 Volume sel satuan a a a3 a3 3a3√2 π/6 π√3/8 π√2/6 π√3/16 π√2/6 4 Fraksi kepadatan (=0,524) (=0,68) (=0,74) (=0,34) (=0,74) Jumlah tetangga 5 6 8 12 4 12 terdekat Jarak terhadap 6 a (½)a√3 (½)a√2 (¼)a√3 a tetangga terdekat Jumlah tetangga 7 12 6 6 12 6 terdekat berikutnya Jarak terhadap 8 tetangga terdekat a√2 a a (½)a√13 a√3 berikutnyaTampak bahwa intan memiliki struktur yang relatif kosong (hanya terisi 0,34) danFCC atau HCP relatif padat (terisi 0,74).1.2 DIFRAKSI KISI KRISTAL Struktur kristal dapat dipelajari melalui difraksi foton, netron dan elektron.Panjang gelombang optik, misalnya 5000 Å, menghasilkan gelombang terhambur Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 19elastis dengan atom-atom kristal sehingga terjadi refraksi optik biasa. Tetapi, jikapanjang gelombang radiasi sebanding atau lebih kecil daripada konstanta kisi(orde angstrom), maka didapatkan berkas difraksi yang arahnya sangat berbedadengan arah berkas datang.1.2.1 Hamburan Sinar-X oleh Kisi Kristal1.2.1.1 Hukum Bragg W.L. Bragg menjelaskan gejala berkas difraksi kristal dengan modelsederhana. Jika sinar-X mengenai permukaan suatu kristal, maka terjadi refleksi.Model disajikan pada Gambar 1.17, yakni kristal direpresentasikan oleh kumpulanbidang paralel yang bersesuaian dengan bidang atom. Bidang tersebut berperansebagai cermin. Setiap bidang hanya merefleksikan 10-3 sampai 10-5 radiasi yangdatang sehingga diperlukan 103 sampai 105 bidang untuk menghasilkan berkasrefleksi Bragg yang sempurna. Hamburan ini dianggap elastik, yakni energi sinar-X tidak mengalami perubahan sebelum dan sesudah refleksi. (a) (b) Gambar 1.17 (a) Refleksi sinar-X dari suatu kristal. Sinar hampir paralel karena posisi detektor jauh dari kristal. (b) Intensitas refleksi kristal KBr. Pada gambar ditunjukkan bidang-bidang refleksi yang menghasilkan difraksiBeda lintasan untuk kedua sinar refleksi adalah Δ=AB + BC – AC’ = 2 AB – AC’karena AB=BC. Mengingat jarak antarbidang d, maka AB = d/sinθ dan AC’ = AC cos θ = (2d/tg θ) cos θ Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 20dimana θ adalah sudut pantul antara berkas datang dan bidang refleksi, sehinggaΔ = 2 d sin θ. Interferensi maksimum (konstruktif) terjadi hanya jika Δ=nλ (1.8)dimana n = 1, 2, 3, …. (ordo refleksi) dan λ = panjang gelombang sinar-X,sehingga diperoleh hukum Bragg untuk refleksi oleh bidang kristal (hkl) n λ = 2 dhkl sin θ (1.9)Harga λ ditentukan secara bebas dan sin θ diukur secara langsung dari refleksieksperimen, sehingga jarak antarbidang dhkl dapat dihitung. Hal lain adalahdifraksi hanya mungkin terjadi jika λ<2d. Oleh karena itu dalam hal ini tidakdapat digunakan cahaya tampak. Model yang dikemukakan di atas terlalu sederhana. Fakta menunjukkanbahwa hamburan berkas sinar-X disebabkan oleh atom diskrit kristal yangbersangkutan. Oleh karena itu bahasan berikut menelaah hukum Bragg melaluiproses hamburan.1.2.1.2 Teori Hamburan Hamburan radiasi elektromagnet oleh suatu elektron disajikan olehGambar 1.18 berikut. Dalam proses ini diandaikan hamburan bersifat elastik(hamburan Thomson). Gambar 1.18 Hamburan oleh elektron tunggalGelombang datar ψ (r , t ) = Ae i (k o • r −ω t ) (1.10)mengenai elektron. Gelombang sferik terhambur pada jarak radial D dinyatakanoleh Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 21 ψ (D , t ) = f e A i (kD −ω t ) e (1.11) Ddengan fe adalah panjang hamburan elektron. Terlihat bahwa penurunanamplitudo gelombang terhambur sebanding dengan 1/D. Hamburan oleh sistem dua elektron, yang masing-masing berkedudukan diP1 dan P2 disajikan pada Gambar 1.19 berikut. k s 2θ ko Gambar 1.19 Hamburan oleh dua elektron. r Gambar 1.20 Vektor hamburan s . adalah vektor posisi elektron-1 terhadap Sudut 2θ adalah sudut hamburan elektron-2Didefinisikan vektor hamburan s , seperti pada Gambar 1.20, yaitu s = k − ko (1.12)Karena hamburan bersifat elastik k o = k = k , maka terlihat dari Gambar 1.20bahwa s = s = 2k sin θ (1.13)Beda panjang lintasan sinar terhambur Δ=P1M- P1N. Jika S o dan S , masing- 1masing merupakan vektor satuan dalam arah k o dan k , maka Δ = (r • s ) . Beda kfasa antara gelombang terhambur dalam radial Δ δ = 2π = kΔ = r • s (1.14) λSuperposisi dari dua gelombang terhambur dalam fungsi ruang ψ T = fe D ( A ikD A ) ( e + e ik ( D +δ ) = f e e ikD 1 + e is •r D ) (1.15) Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 22Secara umum, bila vektor posisi r1 untuk elektron-1 dan r2 untuk elektron-2relatif terhadap pusat tertentu, maka ψ T = fe D e e ( A ikD is •r1 + e is •r2 ) (1.16) Bila yang ditinjau atom dengan l buah elektron, masing-masing denganvektor posisi rl , dengan l = 1, 2, 3, …, n, maka bentuk umum gelombang untuk(1.16) dalam arah terhambur s tertentu A ikD ψT = f e (1.17) Ddengan n f = f e ∑ e is •rl (1.18) l =1disebut panjang hamburan total. Intensitas parsial gelombang terhambur I sebanding dengan kuadratbesarnya medan. Oleh karena itu n 2 = f e2 ∑ e is •rl 2 I∞ f (1.19) l =1 Jika atom dalam kristal, misalnya, terletak pada posisi Rl , maka faktorhamburan kristal fkr N f kr = ∑ f al e is • Rl (1.20) l =1Ungkapan faktor hamburan kristal (1.20) di atas mengambil bentuk analogi dariatom. Posisi atom dapat ditinjau dalam sel satuannya, yaitu Rl = Rlc + δ j , dimanaRlc adalah posisi sel satuan ke-l, dan δj adalah posisi atom dalam sel satuan,sehingga faktor hamburan kristal (1.20) di atas dapat dinyatakan dalam bentukfaktorisasi fkr = F S (1.21)dengan F = ∑ f aj e dan S = ∑ e is •δ j is • Rlc (1.22) j l Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 23F dan S, masing-masing mengungkapkan faktor struktur geometri dan kisi. Faktorstruktur kisi hanya bergantung pada sistem kristal. Sedangkan faktor strukturgeometri bergantung pada bentuk geometri dan isi sel satuan.1.2.1.3 Kisi Resiprok Setiap struktur kristal memiliki 2 kisi, yaitu kisi kristal dan resiprok. Saatkristal dikenai sinar-X, akan dihasilkan pola difraksi yang merupakan peta kisiresiprok kristal tersebut. Kedua kisi ini memiliki relasi sebagai berikut.Andaikanlah vektor basis dalam kisi nyata adalah a , b dan c , maka dapatdidefinisikan vektor basis dalam kisi resiprok, yakni b xc c xa axb a ∗ = 2π b ∗ = 2π c ∗ = 2π (1.23) a • b xc b • c xa c • axbHal ini berarti vektor basis resiproka. memiliki satuan m-1, yang sama dengan angka gelombang, ( )b. bahwa a ∗ tegak lurus terhadap bidang b , c , dan demikian pula permutasi siklisnya, danc. bahwa a • b xc = b • c xa = c • axb merepresentasikan volume sel satuan dengan rusuk vektor a , b dan c .Vektor basis resiprok mendefinisikan vektor kisi resiprok Gn = n1 a ∗ + n2 b ∗ + n3 c ∗ (1.24)dengan n1, n2 dan n3 adalah bilangan bulat. Kisi resiprok memiliki hubungan dengan kisi nyata sebagai berikut.a. a ∗ • a = b ∗ • b = c ∗ • c = 2πb. V ∗ = (2π )3 , dengan Vo = a • b xc dan Vo∗ = a ∗ • b ∗ xc ∗ o Voc. Setiap vektor dari kisi resiprok Ghkl = ha ∗ + kb ∗ + lc ∗ tegak lurus terhadap bidang kisi (hkl) dalam ruang nyata.d. Kisi nyata merupakan resiprok dari kisi resiprok.e. Jarak antarbidang dhkl dan Ghkl direlasikan oleh Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 24 d hkl Ghkl = 2π (1.25)Perhatikanlah perbandingan kisi nyata dan resiproknya pada Gambar 1. 21berikut. 120 d100 010 G110 d010 b* O 100 b a* O a Gambar 1.21 Perbandingan kisi nyata dan resiproknyaDari Gambar 1.21 di atas jelaslah bahwaa. a ∗ tegak lurus terhadap b ; dan b ∗ tegak lurus terhadap a 2π 2π 2π a∗ = = b∗ = a d100 d 010b. setiap titik (hkl) dalam ruang resiprok terkait dengan perangkat bidang (hkl) dalam ruang nyata, danc. simetri kelompok titik dalam ruang resiprok sama dengan simetri ruang nyata. Dapat pula dibuktikan bahwa terdapat hubungan sebagai berikut.a. Kisi resiprok kisi SC adalah kisi SC juga.b. Kisi resiprok kisi BCC adalah kisi FCC; dan sebaliknya.1.2.1.4 Difraksi Sinar-X Kisi resiprok berguna dalam menentukan besarnya faktor struktur.Ternyata N ∑e l =1 iA• Rlc = N δ A,G n (1.26) Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 25Dalam hal ini A adalah vektor sebarang dan penjumlahan dilakukan sepanjangvektor kisi nyata yang mengandung N buah total sel dan vektor kedudukan Rlc .Dengan demikian faktor struktur kisi S (1.22) berharga nol untuk setiap nilaivektor hamburan s , kecuali s = Ghkl (1.27)Hal ini berarti s harus tegak lurus terhadap bidang (hkl). Dengan menginatbahwa k=2π/λ, maka substitusi persamaan (1.13) dan (1.25) ke dalam persamaan(1.27), dalam teori hamburan ini, menghasilkan bentuk hukum Bragg 2 dhkl sin θ = λ (1.28)Dapatlah dikatakan bahwa gambaran Bragg tentang difraksi yang terjadi karenapemantulan oleh bidang kristal, secara konseptual lebih sederhana daripadamelihatnya sebagai interferensi konstruktif berkas terhambur oleh atom kristaldari teori hamburan. Gambar 1.22 berikut menjelaskan syarat terpenuhinya hukumBragg menurut teori hamburan. Gambar 1.22 Vektor hamburan sama dengan vektor kisi resiprok Saat kondisi Bragg (127) terpenuhi, maka faktor struktur kisi S≠0, tetapibernilai S=N, seperti tampak pada (1.26), sehingga Shkl = N (1.29)Substitusi (1.29) ke dalam (1.21) menghasilkan faktor hamburan kristal fkrmenjadi fkr,hkl = N Fhkl (1.30)dan intensitas I menjadi Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 26 2 2 I hkl ∞ f kr ,hkl ∞ Fhkl (1.31) Setiap berkas terdifraksi bersesuaian dengan suatu perangkat bidang (hkl).Tetapi untuk suatu perangkat bidang (hkl) tertentu kadang intensitas berkasterdifraksi menjadi nol. Hal ini terjadi karena faktor struktur geometri Fhkl=0,meskipun bidang (hkl) yang bersesuaian memenuhi kondisi Bragg. Misalnya, semua atom identik, kedudukan atom ke-j dalam sel satuan δ j = u j a + v jb + w jcdan kondisi Bragg terpenuhi s = Ghkl = ha ∗ + kb ∗ + lc ∗maka ( ) Fhkl = f a ∑ e 2πi hu j + kv j + lw j (1.32) jContoh menghitung faktor struktur geometri Fhkl.a. Sel satuan primitip (P). Atomnya terletak di 000 sehingga (1.32) menjadi Fhkl = fab. Sel satuan “base centered” C. Atomnya terletak di 000 dan ½½0 sehingga (1.32) menjadi Fhkl = fa (1 + eπi(h + k)) Dengan demikian Fhkl≠0 hanya jika h+k=2n dengan n=0, ±1, ±2, …c. Sel satuan “body centered” I. Atomnya terletak di 000 dan ½½½ sehingga (1.32) menjadi Fhkl = fa (1 + eπi(h + k+ l)) Dengan demikian Fhkl≠0 hanya jika h+k+l=2n dengan n=0, ±1, ±2, …d. Sel satuan “face centered” F. Atomnya terletak di 000, ½½0, ½0½ dan 0½½ sehingga (1.32) menjadi Fhkl = fa (1 + eπi(h + k) + eπi(h + l) + eπi(k + l)) Dengan demikian Fhkl≠0 hanya jika h+k=2n dan k+l=2n dengan n=0, ±1, ±2, … Dengan kata lain Fhkl≠0 hanya jika semua indek genap atau semua indek ganjil. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 27 Berikut ini diberikan contoh kurva intensitas refleksi sinar-X dan suduthamburan (I vs 2θ) hasil eksperimen difraksi sinar-X dari bubukan KCl dan KBr. Gambar 1.23 Perbandingan refleksi sinar-X antara bubukan KCl dan KBrKCl dan KBr, keduanya, memiliki struktur FCC. Dalam KCl, jumlah elektronpada K+ dan Cl- sama banyak sehingga faktor hamburan atom fa keduanya hampirsama sehingga ia “terlihat” oleh sinar-X sebagai kristal SC monoatomik dengankonstanta kisi a/2. Adanya refleksi indek-indek yang genap bulat menunjukkanbahwa kristal tersebut adalah SC dengan konstanta kisi a. Sedangkan dalam KBr, Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 28faktor hamburan atomnya berbeda sehingga ia tetap terlihat sebagai struktur FCColeh difraksi sinar-X. Kondisi Bragg (1.27) masih dapat ditulis dalam bentuk lain. Substitusi(1.12) ke dalam (1.27) menghasilkan k − ko = G (1.33)Mengalikan kedua ruas (1.33) dengan ħ menghasilkan ko = k − GPersamaan ini dapat dipandang sebagai kekekalan momentum, dan difraksinyasebagai proses tumbukan antara foton sinar-X dan kristal. Momentum sebelumtumbukan hanya momentum linier foton yang datang p o = k o , dan setelahtumbukan adalah momentum linier foton terhambur p = k dan momentum linierkristal − G . Dengan demikian perubahan momentum linier foton Δp = p − p o = GEnergi kinetik seluruh kristal Ek=(ħGhkl)2/2M, dengan M adalah massa seluruhkristal. Karena M sangat besar relatif terhadap massa atom, maka Ek sangat kecildan diabaikan. Dengan demikian dalam proses hamburan foton sinar-X tidak adaenergi yang hilang Eo = E → c ko = c k → ko = kJelaslah bahwa proses hamburan tersebut di atas bersifat elastik.1.3 IKATAN ATOMIK DALAM KRISTAL1.3.1 Gaya Antaratom Dalam suatu kristal letak atom relatif jauh satu sama lain sehingga gayainti tidak berperan. Dengan demikian formasi kristal terjadi karena gayaantaratom. Dalam kristal, gaya antaratom bersifat listrik. Energi kristal lebih rendah daripada energi atom bebasnya. Hal inimenyebabkan kristal lebih stabil daripada atom-atom bebas penyusunnya.Misalnya, kristal NaCl lebih stabil daripada kumpulan atom-atom Na dan Clbebas. Perbedaan energi ini, disebut energi ikat (energi kohesi), besarnya sama Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 29dengan energi yang diperlukan untuk memecah kristal tersebut menjadi atombebas bagiannya. Energi kohesi berkisar antara 0,02 eV peratom untuk ikatanterlemah (ikatan Van der Walls) dan 10 eV peratom untuk ikatan terkuat (ikatankovalen). Ikatan logam terletak di antara dua harga ekstrim tersebut. Molekul adalah sekelompok atom bermuatan listrik netral, terikat kuatbersama dan berperilaku sebagai partikel tunggal. Suatu jenis molekul tertentumemiliki komposisi dan struktur tertentu pula. Energi potensial yangmerepresentasikan interaksi antara dua atom dalam suatu molekul sebagai fungsijarak diperlihatkan pada Gambar 1.24 berikut. Gambar 1.24 Energi potensial sebagai fungsi jarak dari ikatan dua atomPosisi setimbang ditandai oleh energi terendah –Vo, yang terjadi pada jarak Royang berordo beberapa angstrom. Pada R>Ro, potensial naik secara bertahapsehingga mencapai nol pada R→∞ (dua atom bebas). Sedangkan pada R<Ro,potensial naik secara tajam menuju ∞. Gaya antaratom dapat dirumuskan F (R ) = −∇V (R ) (1.34)Terlihat bahwa F(R)<0 untuk R>Ro, sehingga terjadi tarik-menarik; dan F(R)>0untuk R<Ro, sehingga terjadi tolak-menolak antara dua atom tesebut. Kedua gayaini saling meniadakan satu sama lain pada titik setimbang Ro. Tetapi, umumnya,energi tarikan mendominansi energi tolakan pada titik setimbang Ro. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 301.3.2 Jenis Ikatan Kristal1.3.2.1 Ikatan Ionik Ikatan ini terjadi antara ion positip dan negatip sehingga sering disebutikatan heteropolar. Setelah terjadi perpindahan elektron, konfigurasi elektron ionmenyerupai gas mulia. Oleh karena itu sebaran muatan elektronnya mempunyaisimetri bola. Contohnya adalah ikatan yang terjadi pada alkalihalida. Biasanya, ikatan ionik tidak menghasilkan pembentukan molekul yangberpasangan, tetapi merupakan kumpulan ion positip dan negatip yang tersusundalam struktur tertentu. Misalnya, struktur FCC NaCl, dalam setiap bentuk danukuran apapun selalu berisikan jumlah ion Na+ dan ion Cl- yang sama banyak. Apabila Uij adalah energi interaksi antara ion ke-i dan ke-j, maka energitotal ion ke-i adalah U i = ∑ U ij (1.35) jdimana penjumlahan dilakukan untuk semua ion kecuali j=i. Energi Uij berasaldari potensial tolak-menolak medan sentral empirik λ eksp (-rij/ρ), dimana λ(tetapan) dan ρ (panjang karakteristik) merupakan parameter empirik; dan tarik-menarik Coulomb ±q2/4πεorij. Dengan demikian − rij / ρ q2 U ij = λ e ± (1.36) 4πε o rijPotensial tolak-menolak terjadi karena penerapan prinsip eksklusi Pauli saat jarakantarion berkurang (lebih kecil dari jarak kesetimbangan). Berkurangnya jarakantarion menyebabkab orbit elektron tumpang-tindih. Hal ini melanggar prinsipeksklusi Pauli karena sel terluar ion sudah komplit. Akibatnya elektron harusmenempati tingkat energi yang lebih tinggi sehingga energi potensial naik secaratajam. Sedangkan potensial Coulomb terjadi antara ion sejenis (tanda +) atau tidaksejenis (tanda -). Energi kisi kristal total yang terdiri dari N buah molekul atau 2N buah ion Utot = N Ui Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 31Ungkapan ini menunjukkan bahwa setiap pasangan atau setiap ikatan hanyadihitung sekali. Andaikanlah r kita tulis sebagai rij=pijR, dengan R adalah jarakterdekat antara dua atom terdekat dan interaksi tolak-menolak hanya terjadiantartetangga terdekat saja, maka ⎧ q2 ⎪ λ e −R / ρ − (te tan gga terdekat ) ⎪ 4πε o R U ij = ⎨ 2 (1.37) ⎪± 1 q (bukan te tan gga terdekat ) ⎪ pij 4πε o R ⎩sehingga energi total ⎛ α q2 ⎞ U tot = NU i = N ⎜ zλ e − R / ρ − ⎜ ⎟ (1.38) ⎝ 4πε o R ⎟ ⎠dengan z = jumlah tetangga terdekat suatu ion ±1 α =∑ adalah konstanta Madelung (termasuk j=i) j pijDalam menghitung konstanta Madelung, jika ion referensi bermuatan negatip,maka tanda (+) digunakan untuk ion positip dan tanda (-) untuk ion negatip. Jika dU totdiambil syarat bahwa = 0 , maka diperoleh dR R = Ro ραq 2 Ro2 e − Ro / ρ = (1.39) 4πε o λ zDengan menggunakan (1.38) dan (1.39), maka energi kisi kristal total dengan 2Nbuah ion pada jarak setimbang Ro Nαq 2 ⎛ ρ ⎞ U tot =− ⎜1 − ⎜ R ⎟ ⎟ (1.40) R = Ro 4πε o Ro ⎝ o ⎠ Nαq 2Bentuk − disebut energi Madelung. Harga ρ berorde 0,1Ro sehingga 4πε o Rointeraksi tolak-menolak mempunyai rentang yang amat pendek dan sedikit sekalipengaruhnya terhadap energi kisi. Sebagai contoh disajikan data tentang energi permolekul dalam kristalKCl, yaitu energi Madelung (energi Coulomb) sebesar (25,2)/R eV dan energi Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 32tolak menolak (2,4.104)exp(-R/0,30) eV dimana R berorde 10-8 cm. Hargakonstanta Madelung α bergantung pada struktur kristal ionik, misalnya untukNaCl, CsCl dan ZnS, masing-masing berharga 1,747565 , 1,762675 dan 1,6381. Ikatan ionik tergolong lebih kuat daripada ikatan lain, dengan energi rata-rata 5 eV setiap pasangan atom. Oleh karena itu kristal ionik mempunyai titikleleh yang tinggi. Misalnya titik leleh NaCl adalah 8010C, sedangkan untuk logamNa dan K, masing-masing adalah 97,80C dan 630C.1.3.2.2 Ikatan Kovalen Andaikanlah ada dua atom hidrogen yang terpisah pada jarak yang cukupjauh satu sala lainnya sehingga tidak ada interaksi di antara elektronnya, makamasing-masing atom memiliki orbit 1s. Jika kedua atom saling mendekat danmembentuk molekul H2, maka orbital molekulnya merupakan kombinasi linierdari kedua orbital atom 1s. Orbital molekul tersebut mempunyai duakemungkinan, yaitu ψ genap = ψ 1 + ψ 2 dan ψ ganjil = ψ 1 − ψ 2 (1.41)dimana ψ1 dan ψ2 merepresentasikan keadaan 1s pada dua proton. Orbitalmolekular ψgenap dan ψganjil secara grafik diperlihatkan pada Gambar 1.25 berikut. a b Gambar 1.25 Fungsi gelombang (a) ψgenap dan (b) ψganjilSedangkan distribusi muatan untuk kedua orbital tersebut adalah |ψgenap|2 dan|ψganjil|2 seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.26 berikut. (a) (b) Gambar 1.26 Propil distribusi muatan dan representasi kontur Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 33 (a) ψgenap dan (b) ψganjilTampak bahwa ψgenap mengandung elektron terutama pada daerah antara duaproton, sedangkan ψganjil mengandung elektron di sekitar masing-masing protonyang bersangkutan dan jauh dari daerah antara dua proton. Kedua orbital molekul di atas mempunyai energi yang berbeda sepertiditunjukkan oleh Gambar 1.27 berikut. Gambar 1.27 Energi keadaan dasar dan eksitasi molekul hidrogen sebagai fungsi jarak antarintiOrbital genap berenergi lebih rendah daripada orbital ganjil. Bahkan orbital genapmempunyai energi negatip. Dengan demikian orbital genap merupakan orbitalstabil (orbital bonding) dan orbital ganjil merupakan orbital tidak stabil (orbitalantibonding). Pada gambar di atas tampak bahwa molekul hidrogen memilikikeadaan setimbang pada 0,74 Å dan energi ikat 4,48 eV (relatif terhadap keadaandasar dua atom hidrogen yang terpisah pada jarak tak terhingga). Sesuai denganprinsip eksklusi Pauli, kedua elektron dalam orbital bonding memiliki spinantiparalel. Keberadaan sepasang elektron di antara atom hidrogen di atasmenyebabkan terjadinya ikatan yang kuat dalam molekul hidrogen. Ikatan yangterjadi karena pemakaian bersama sepasang elektron oleh atom untuk mencapaikonfigurasi gas mulia dalam suatu molekul disebut ikatan kovalen. Hal ini Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 34merupakan bukti bahwa semua atom adalah identik sehingga transfer elektron darisatu atom ke yang lain tidak menimbulkan akibat apapun. Keadaan fisis ikatan kovalen dalam kristal sama dengan dalam molekul.Gaya tarikan terjadi antara elektron dan proton di sepanjang garis yangmenghubungkan inti berturutan. Sedangkan gaya tolaknya terjadi karena interaksiprinsip eksklusi Pauli saat inti saling merapat. Gaya tarikan elektron-proton lebihdari cukup untuk mengimbangi penolakan langsung elektron-elektron ataupunproton-proton. Ikatan kovalen juga kuat, seperti ditunjukkan oleh intan yang tingkatkekerasannya tinggi dan titik leleh di atas 30000C. Ikatan dua atom karbon dalamstruktur intan memiliki energi kohesi 7,3 eV peratom.1.3.2.3 Ikatan Logam Model ikatan logam menggambarkan adanya suatu susunan ion teratur dansuatu lautan elektron valensi ion tersebut yang dapat bergerak bebas di antarasusunan ion. Dengan demikian elektron valensi atom berubah menjadi elektronkonduksi logam. Ikatan logam terjadi bila tarikan antara ion positip dan gaselektron melebihi penolakan antarelektron dalam gas tersebut. Gaya tolakCoulomb antarion positip menjadi tidak efektif karena gas elektron melingkupiion secara kuat sehingga menjadi ion noninteraksi yang netral. Atom logam bersatu sehingga terbentuk kristal logam yang stabil karenaenergi sistem kristal lebih rendah daripada energi atom bebasnya. Dalam atombebas terisolasi, elektron dimodelkan sebagai sebuah partikel dalam kotakpotensial. Dengan demikian gerakan elektron dibatasi dalam volume yang kecilsehingga, menurut prinsip ketidaktentuan Heisenberg, energi kinetiknya besar.Dengan menggunakan persamaan Scrodinger, dimana potensial interaksi nol, dansyarat batas periodik diperoleh energi kinetik elektron E ∼ V-2/3 (1.42)Dimana V adalah volume kotak tempat elektron bergerak. Sedangkan dalamkristal, elektron secara bebas bergerak dalam keseluruhan volume kristal yangsangat besar. Akibatnya, energi kinetik elektron turun secara tajam dan Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 35mengkontribusi pengurangan energi total sistem. Penurunan energi inilah yangmenjadi sumber ikatan logam. Ikatan logam lebih lemah daripada ikatan kovalen dan ionik. Contohnya,logam Na memiliki titik leleh pada 97,80C. Energi kinetik yang kecilmenyebabkan ikatannya lemah. Susunan kristal logam cenderung untuk memilikisusunan dimana setiap atom atau ion memiliki banyak tetangga (struktur tersusunpadat), misalnya HCP (seng), FCC (tembaga), BCC (lithium dan natrium) danlain-lain.1.3.2.4 Ikatan Van der Walls Ikatan ionik, kovalen dan logam terjadi karena pengaturan elektronvalensi. Hal demikian tidak bisa terjadi pada gas mulia yang sangat stabil karenasel terluarnya penuh. Distribusi elektronnya mempunyai simetri bola sehinggapotensial listrik berharga nol di luar jari-jari atom. Demikian juga momenmultipol listriknya. Jika hal ini benar, maka atom gas mulia tidak memiliki energikohesi dan tidak dapat terkondensasi menjadi cairan. Tetapi, terjadinyakondensasi dan pembekuan pada suhu yang sangat rendah membuktikan bahwaterdapat energi ikat yang lemah pada gas ini. Gaya yang lemah antaratom dalampadatan gas mulia ditandai oleh titik lelehnya yang rendah, yaitu -272,20C, -248,70C dan -189,20C, masing-masing untuk He, Ne dan Ar. Meskipun secara rata-rata semua momen multipol listriknya sama dengannol, tetapi di setiap suatu waktu momen dipol listrik tidak sama dengan nolsebagai akibat adanya kelebihan elektron di bagian tertentu. Ketidaksimetrisan initidak permanen, tetapi selalu berfluktuasi. Momen dipol listrik sesaat ini dapatmenginduksi atom atau molekul tetangganya sehingga terjadi interaksi antarakeduanya. Interaksi antara momen dipol listrik sesaat inilah yang memberikanikatan antara atom gas mulia. Interaksi tarik-menarik dipol induksi antara dua dipol berjarak R telahdirumuskan oleh Van der Walls – London melalui energi A ΔU = − (1.43) R6 Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 36Interaksi tolak-menolaknya bersumber dari interaksi prinsip eksklusi Pauli. Secaraempirik didapatkan potensial tolak-menolak B ΔU = (1.44) R 12A dan B adalah parameter empirik. Sehingga, biasanya, energi potensial total duaatom berjarak R adalah ⎡⎛ σ ⎞12 ⎛ σ ⎞ 6 ⎤ U (R ) = 4ε ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ (1.45) ⎢⎝ R ⎠ ⎣ ⎝R⎠ ⎥ ⎦dimana ε dan σ adalah parameter baru, dengan 4εσ6=A dan 4εσ12=B. Potensial(1.45) di atas dikenal dengan nama potensial Lennard-Jones. Gaya antara dua atom ditentukan melalui –dU/dR. gaya ini sangat cepatberubah dengan jarak R sehingga atom dalam kristal cenderung untuk serapatmungkin. Biasanya, struktur yang dimiliki oleh gas mulia adalah FCC (“cubicclose-packed”). Energi kinetik atom gas mulia dapat diabaikan. Oleh karena itu energikohesi kristal gas mulia didapatkan dengan menjumlahkan potensial Lennard-Jones (1.45) di atas terhadap semua pasangan atom dalam kristal. Jika terdapat Nbuah atom dalam kristal, maka energi tersebut ⎡ ⎛ σ ⎞12 ⎛ σ ⎞ ⎤ 6 U tot = N (4ε )⎢∑ ⎜ 1 ⎟ − ∑⎜ ⎟ ⎥ (1.46) ⎢ j ⎜ pij R ⎟ ⎜ p R⎟ ⎥ 2 ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ij ⎠ ⎦dimana pijR adalah jarak antara atom ke-i dan j. Faktor ½ muncul karena hitungandilakukan dua kali pada setiap pasangan atom. Untuk struktur FCC, dimana terdapat 12 tetangga terdekat, perhitunganmenghasilkan ∑pj −12 ij = 12,13188 ; ∑p j −6 ij = 14,45392 (1.47)Pada posisi setimbang Ro, energi total sistem berharga minimum sehingga dU tot ⎡ σ 12 σ6⎤ = 0 = −2 Nε ⎢(12 )(12,13) 13 − (6)(14,45) 7 ⎥ (1.48) dR R = Ro ⎣ R R ⎦dan menghasilkan harga Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 37 Ro/σ = 1,09 (1.49)Nilai Ro/σ hasil pengamatan menunjukkan untuk Ne, Ar, Kr dan Xe adalah 1,14;1,11; 1,1 dan 1,09 yang tidak berbeda jauh dengan (1.49). Dengan demikianenergi kohesi kristal gas mulia pada suhu nol mutlak dan tekanan nol diperolehdengan mensubstitusikan (1.47) dan (1.49) ke dalam (1.46). Hasilnya diperoleh ⎡ ⎛σ ⎞ 12 ⎛σ ⎞ ⎤ 6 U tot (R ) = 2 Nε ⎢(12,13)⎜ ⎟ − (14,45)⎜ ⎟ ⎥ (1.50) ⎢ ⎣ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎥ ⎦dan pada posisi setimbang Ro Utot(Ro) = - (2,15) (4Nε) (1.51)Perhitungan energi kohesi ini berlaku jika atom-atom dalam keadaan diam. Jikadilakukan koreksi mekanika kuantum, maka energi tersebut harus direduksisebesar 28; 10; 6 dan 4 %, masing-masing untuk Ne, Ar, Kr dan Xe.1.3.2.5 Ikatan Hidrogen Molekul air (H2O) terisolasi berikatan kovalen sehingga atompenyusunnya terikat secara kuat. Tetapi, dalam kristal es, yang tersusun atasmolekul air, ikatannya jauh lebih lemah. Hal ini ditandai oleh adanya titik leleh airpada 00C. Sifat listrik sebuah molekul air terisolasi adalah netral. Tetapi, dalamkristal es distribusi muatan internal sedemikian rupa sehingga menghasilkaninteraksi antarmolekul. Elektron lebih ditarik ke arah atom oksigen sehinggabermuatan negatip; dan dalam waktu bersamaan atom hidrogen menjadibermuatan positip. Keadaan ini menghasilkan dipol listrik dalam molekul air.Gaya tarik-menarik antardipol listrik inilah yang menghasilkan ikatan hidrogensehingga terbentuk kristal. Hal ini dijelaskan dalam Gambar 1.28 berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 38 Gambar 1.28 (a) Molekul air; dan (b) Susunan molekul air sebagai akibat adanya ikatan hidrogenTetapi, gaya antarmolekul ini jauh lebih lemah daripada gaya internal yangmengikat molekul itu sehingga molekul tetap dapat mempertahankan identitasnyasalam kristal. Ikatan hidrogen mempunyai orde 0,1 eV. RINGKASAN01. Suatu benda padat berbentuk kristal, apabila atom, ion, atau molekulnya teratur dan periodik dalam rentang yang panjang dalam ruang. Bahan kristal memiliki simetri translasi, artinya bila seluruh kristal itu digeser sejauh vektor translasi kisi R = n1 a + n2 b , maka keadaannya tetap sama.02. Pola geometrik dari kedudukan setimbang tiap atom sebagai suatu titik dinamakan kisi kristal. Terdapat dua kelas kisi, yaitu Bravais dan non- Bravais. Kisi non-Bravais seringkali disebut sebagai kisi dengan suatu basis dan dapat dipandang sebagai kombinasi dari dua atau lebih kisi Bravais yang saling menembus dengan orientasi tertentu.03. Luas daerah jajaran genjang yang sisinya dibatasi oleh vektor basis disebut sel satuan. Terdapat dua jenis sel satuan, yaitu sel primitip (satu titik kisi perselnya) dan sel non-primitip (lebih dari satu titik kisi perselnya). Hubungan antara keduanya adalah (a) sel non-primitip menunjukkan simetri lebih besar, dan (b) luas sel non-primitip merupakan kelipatan bulat dari luas sel primitip.04. Dalam dua dimensi, kisi kristal Bravais yang mungkin sebanyak lima jenis, yaitu Genjang, Persegi, Heksagonal, Empat persegi panjang P, dan Empat persegi panjang I. Sedangkan untuk tiga dimensi ternyata ada 14 buah kisi Bravais yang terlingkupi dalam 7 buah sistem kristal, yaitu Triklinik (P), Monoklinik (P, C), Ortorombik (P, C, I, F), Tetragonal (P, I), Trigonal (R), Heksagonal (P), dan Kubik (P, I, F).05. Beberapa kristal dengan struktur sederhana, di antaranya NaCl, CsCl, intan, ZnS dan HCP06. Arah kristal, yakni vektor R = n1 a + n 2 b + n3 c , dinyatakan dengan [n1 n2 n3], yang lazimnya dalam perbandingan bilangan bulat terkecil. Sedangkan Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 39 bidang kristal dinyatakan sebagai indek Miller (hkl). Jarak antarbidang Miller, khusus untuk sumbu ortogonal dengan a≠b≠c dinyatakan oleh persamaan 1 d hkl = 1/ 2 ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ 2 + 2 + 2⎟ ⎜x ⎝ y z ⎟⎠07. Fraksi kepadatan, didefinisikan sebagai proporsi maksimum dari volume yang ada yang dapat diisi oleh bola atom dalam sebuah sel satuan, diungkapkan dalam bentuk rumusan F=N (4 / 3)π r3 V08. Menurut Bragg kristal direpresentasikan oleh kumpulan bidang paralel yang bersesuaian dengan bidang atom, yang berperan sebagai cermin. Interferensi maksimum (konstruktif) yang terjadi memenuhi hukum Bragg n λ = 2 dhkl sin θ Dengan menggunakan hukum Bragg, secara eksperimen, jarak antarbidang dhkl dapat dihitung.09. Fakta menunjukkan bahwa hamburan berkas sinar-X disebabkan oleh atom diskrit kristal yang bersangkutan. Oleh karena itu bahasan berikut menelaah hukum Bragg melalui proses hamburan elastik (hamburan Thomson) sinar-X oleh elektron dalam setiap atom dalam kristal. Dalam teori ini ditemukan bahwa intensitas parsial gelombang terhambur sebanding dengan kuadrat faktor hamburan kristal, yaitu Fkr = F S, dimana S dan F, masing-masing adalah faktor struktur geometri dan kisi.10. Faktor struktur kisi S berharga tidak nol, yakni S=N, hanya untuk s = Ghkl , yakni vektor hamburan sama dengan vektor kisi resiprok (syarat Bragg). Dari hubungan ini dapatlah diturunkan hukum Bragg 2dhklsin θ = λ.11. Jika syarat Bragg terpenuhi dan semua atom identik, maka untuk kedudukan atom ke-j dalam sel satuan δ j = u j a + v j b + w j c , didapatkan faktor struktur ( ) kisi Fhkl = f a ∑ e 2πi hu j + kv j + lw j . j Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 4012. Dalam suatu kristal letak atom relatif jauh satu sama lain sehingga gaya inti tidak berperan. Dengan demikian formasi kristal terjadi karena gaya antaratom (bersifat listrik). Pada titik setimbang, energi potensial terendah dan didominansi oleh energi tarik-menarik, serta resultan gaya nol. Pada jarak lebih kecil dari titik setimbang, potensial naik secara tajam menuju tak berhingga dan terjadi gaya tolak-menolak; sedangkan pada jarak yang lebih besar, potensial naik secara bertahap sehingga mencapai nol pada jarak tak berhingga dan terjadi gaya tarik-menarik.13. Ikatan ion terjadi antara ion positip dan negatip karena terjadi perpindahan elektron sehingga menyerupai kofigurasi gas mulia. Energi ikatan berasal dari potensial tolak-menolak medan sentral empirik dan tarik-menarik Coulomb. Di Nαq 2 ⎛ ρ ⎞ titik setimbang energi tersebut adalah U tot =− ⎜ R ⎟ ⎜1 − ⎟ R = Ro 4πε o Ro ⎝ o ⎠14. Ikatan yang terjadi karena pemakaian bersama sepasang elektron oleh atom untuk mencapai konfigurasi gas mulia dalam suatu molekul disebut ikatan kovalen. Sepasang elektron tersebut lebih banyak terdistribusi di antara inti- inti. Gaya tarikan terjadi antara elektron dan proton di sepanjang garis yang menghubungkan inti berturutan. Sedangkan gaya tolaknya terjadi karena interaksi prinsip eksklusi Pauli saat inti saling merapat. Gaya tarikan elektron- proton lebih dari cukup untuk mengimbangi penolakan langsung elektron- elektron ataupun proton-proton.15. Model ikatan logam menggambarkan adanya suatu susunan ion teratur dan suatu lautan elektron valensi (elektron konduksi) ion tersebut yang dapat bergerak bebas di antara susunan ion. Ikatan logam terjadi bila tarikan antara ion positip dan gas elektron melebihi penolakan antarelektron dalam gas tersebut. Gaya tolak Coulomb antarion positip menjadi tidak efektif karena gas elektron melingkupi ion secara kuat sehingga menjadi ion noninteraksi yang netral.16. Terdapat energi ikat yang lemah pada gas mulia. Meskipun secara rata-rata semua momen multipol listriknya sama dengan nol, tetapi di setiap suatu waktu momen dipol listrik terjadi secara fluktuatif sebagai akibat adanya kelebihan Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 41 elektron di bagian tertentu. Momen dipol listrik sesaat ini dapat menginduksi atom atau molekul tetangganya sehingga terjadi interaksi antara keduanya. Interaksi antara momen dipol listrik sesaat inilah yang memberikan ikatan antara atom gas mulia. Energi ikatan Van der Walls ini adalah ⎡ ⎛ σ ⎞12 ⎛ σ ⎞ ⎤ 6 U tot = 1 N (4ε )⎢∑ ⎜ ⎟ − ∑⎜ ⎟ ⎥ ⎢ j ⎜ pij R ⎟ ⎜ p R⎟ ⎥ 2 ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ij ⎠ ⎦17. Contoh ikatan hidrogen adalah kristal air. Sifat listrik sebuah molekul air terisolasi adalah netral. Tetapi, dalam kristal es distribusi muatan internal sedemikian rupa sehingga menghasilkan interaksi antarmolekul. Elektron lebih ditarik ke arah atom oksigen sehingga bermuatan negatip; dan dalam waktu bersamaan atom hidrogen menjadi bermuatan positip. Keadaan ini menghasilkan dipol listrik dalam molekul air. Gaya tarik-menarik antardipol listrik inilah yang menghasilkan ikatan hidrogen sehingga terbentuk kristal. LATIHAN SOAL BAB I ˆ j ˆ01. Diketahui vektor basis primitip suatu kisi adalah a = ai , b = bˆ, c = ck , ˆ dengan i , ˆ dan k adalah tiga vektor satuan dalam koordinat Kartesian. ˆ j a. Gambarlah kisi tersebut! b. Membentuk kisi Bravais jenis apakan vektor basis tersebut? c. Berapakah volume sel satuan primitip tersebut?02.a. Sama dengan soal 01), tetapi untuk vektor basis primitip j ˆ ˆ ˆ a = (a / 2)(i + ˆ), b = (a / 2)( ˆ + k ) dan c = (a / 2)(k + i ) ! ˆ j ˆ b. Buktikan bahwa ungkapan vektor satuan i , ˆ dan k sebagai kombinasi linier ˆ j dari vektor basis primitip ialah ˆ j ˆ ai = a − b + c , aˆ = a + b − c dan ak = −a + b + c ˆ j ˆ ˆ ˆ j ˆ c. Posisi kedelapan pojok sel adalah 0, a i , a ˆ , a k , a( i + ˆ ), a( i + k ), a( ˆ + k ) ˆ j ˆ j ˆ dan a( i + ˆ + k ). Nyatakan posisi-posisi tersebut dalam a , b dan c ! Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 42 ˆ ˆ d. Sama dengan (c), tetapi untuk 6 titik pada pusat muka, yaitu (½)a( i + k ), j ˆ j ˆ ˆ j ˆ (½)a( ˆ + k ), (½)a( i + ˆ ), (½)a( i + 2 ˆ + k ), (½)a( 2i + ˆ + k ), dan ˆ j ˆ ˆ (½)a( i + ˆ + 2k ) ! (Nyatalah bahwa, berdasarkan (c) dan (d) semua posisi ˆ j atom dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor kisi primitip dengan koefisien bilangan bulat)03.a. Sama dengan soal 02), tetapi untuk vektor basis primitip ˆ j ˆ j ˆ ˆ ˆ ˆ j a = (a / 2)(i + ˆ − k ), b = ( a / 2)( ˆ + k − i ) dan c = (a / 2)(k + i − ˆ) ! ˆ b. Buktikan bahwa ungkapan vektor satuan i , ˆ dan k sebagai kombinasi linier ˆ j ˆ j ˆ dari vektor basis primitip adalah ai = a + c , aˆ = a + b dan ak = b + c !04. Sama dengan soal (1), tetapi untuk vektor basis primitip 1 ˆ j ˆ a (i + ˆ ) − 1 ck , 2 2 1 ˆ a (−i + ˆ) + 1 ck , dan ˆ j 1 ˆ a (i − ˆ) + 1 ck dimana a adalah sisi bujursangkar dan ˆ j 2 2 2 2 c adalah sisi yang tegak lurus terhadap bujursangkar tersebut !05. Kisi kristal dapat dipetakan ke dalam dirinya sendiri oleh simetri translasi kisi, pencerminan dan rotasi di sekitar suatu sumbu. Kisi kristal memiliki simetri rotasi derajat-1, 2, 3, 4 dan 6 atau 2π; 2π/2; 2π/3; 2π/4; dan 2π/6. Tetapi, misalnya, kisi kristal tidak memiliki simetri rotasi 2π/5 karena tidak memungkinkan untuk mengisi seluruh ruang secara periodik dengan bentuk bangun pentagon. Tunjukkan bahwa kisi dua dimensi tidak mempunyai simetri putar 2π/5 !06. Buktikan bahwa struktur HCP memiliki rasio sumbu c/a= 2 6 =1,633 ! 307. Pada suhu 1190 K besi memiliki struktur FCC dengan parameter kisi a=3,647 Å; dan pada suhu 1670 K berstruktur BCC dengan a=2,932 Å. Jika berat atom besi adalah 55,85 sma, maka tentukan kerapatan massa pada masing-masing suhu tersebut!08. Diketahui padatan Al berstruktur FCC dengan a=4,04 Å dan berat atom 26,98 sma. Hitunglah massa jenisnya!09. Gambarlah bidang dan arah berikut dalam sel satuan kubik: (122), [122], (1 1 2) dan [1 1 2]! Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 4310. Kristal Cu mempunyai struktur FCC dengan jari-jari atom 1,278 Å. Berapakah kerapatan atom yang terdapat pada bidang (100)?11. Sama dengan soal 08), tetapi untuk kristal Fe yang berstruktur BCC dengan konstanta kisi 2,86 Å!12. Buktikan bahwa dalam koordinat Kartesis bidang (hkl)=(mnox+mnoy+mnoz) memberikan vektor arah yang tegak lurus bidang tersebut, yakni ˆ j ˆ no = nox i + noy ˆ + noz k !13. Buktikan harga jari-jari atom dan fraksi kepadatan dari berbagai struktur kristal dalam Tabel 5.1!14. Suatu kristal kubik mempunyai konstanta kisi 2,62 Å. Berapakah sudut Bragg yang sesuai untuk terjadi refleksi oleh bidang (100), (110), (111), (200), (210) dan (211), jika berkas sinar-X monokhromatik yang digunakan mempunyai panjang gelombang 1,54 Å?15. Sudut Bragg untuk refleksi kristal besi BCC pada bidang (110) adalah 220, dengan sinar-X yang panjang gelombangnya 1,54 Å. a. Berapakah konstanta kisinya? b. Jika berat atom Fe adalah 55,8 sma, maka berapakah kerapatan massanya?16. Buktikan bahwa persamaan (1.21) dapat diturunkan dari persamaan (1.20), dengan mengingat definisi (1.22)!17. Gambarkan kisi resiprok untuk kisi dua dimensi yang mana a=1,25 Å, b=2,50 Å dan γ=120o!18.a. Buktikan bahwa vektor kisi resiprok G = ha1 + ka 2 + la3 tegak lurus terhadap bidang (hkl) dalam kisi kristal! b. Buktikan bahwa jarak antara dua bidang paralel berturutan dalam kisi adalah dhkl=2π/ G !19. Suatu sel satuan berukuran a=4 Å, b=6 Å, c=8 Å dan α=β=900, γ=1200. Tentukan a. vektor basis a*, b* dan c* untuk kisi resiprok! b. jarak antar bidang (210)! Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 44 c. sudut Bragg untuk bidang (210), jika diketahui panjang gelombang sinar-X yang dipakai 1,54 Å!20. Buktikan bahwa a. kisi resiprok suatu kisi SC adalah kisi SC juga! b. kisi resiprok suatu kisi FCC adalah kisi BCC, dan sebaliknya!21. Diketahui bahwa vektor basis primitip kisi ruang heksagonal adalah a1 = ( 1 a 3 ) x + ( 1 a ) y, a 2 = −( 1 a 3 ) x + ( 1 a ) y, a3 = cz 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ a. Tunjukkan bahwa volume sel primitipnya adalah (31/2/2)a2c! b. Tunjukkan bahwa vektor basis primitip kisi resiproknya adalah ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ 2π b1 = ⎜ ⎜ ⎟x + ⎜ ⎟ˆ ⎟ y, b2 = −⎜ ˆ ⎜ ⎟ x + ⎜ ⎟ y, b3 = ⎟ˆ ˆ ˆ z , sehingga kisi ⎝a 3⎠ ⎝ a ⎠ ⎝a 3⎠ ⎝ a ⎠ c merupakan resiprok dirinya sendiri, tetapi dengan merotasikan 30o sumbu- sumbunya terhadap sumbu a3!22. Buktikan persamaan (1.26)!23.a. Pada bidang yang mana dalam kisi BCC berikut yang tidak menimbulkan refleksi Bragg: (100), (110), (111), (200), (210) dan (211)! b. Sama dengan soal a), tetapi dalam kisi FCC!24. Hitunglah faktor struktur geometri F100 untuk kristal CsCl yang berstruktur BCC, jika diasumsikan bahwa fCs=3fCl!25. Teori ikatan kristal ionik model Born-Meyer menyebutkan bahwa energi A α q2 potensial total suatu sistem kristal ionik adalah E = N −N , dengan Rn 4π ε 0 R N adalah jumlah pasangan ion positip-negatip. Suku pertama merepresentasikan potensial tolak-menolak, dengan A dan n adalah konstanta yang ditentukan melalui eksperimen. Suku kedua merepresentasikan potensial tarik-menarik Coulomb, dengan α adalah konstanta Madelung yang hanya bergantung pada struktur kristal. 4π ε 0 A a. Tunjukkan bahwa jarak kesetimbangan antarion adalah R0n −1 = n! α q2 b. Tunjukkan bahwa energi ikatan pada titik kesetimbangan adalah Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 45 α Nq 2 ⎛ 1 ⎞ E0 = − ⎜1 − ⎟ ! 4π ε 0 R0 ⎝ n ⎠ c. Jika kristal NaCl mempunyai konstanta kisi 5,63 Å, energi ikat terukur 7,95 eV/molekul dan konstanta Madelung 1,75, maka tentukan konstanta n!26. Berikut disajikan data eksperimen tentang pembentukan molekul NaCl Na (gas) + 5,14 eV (energi ionisasi) → Na+ (gas) + e- (elektron) - e (elektron) + Cl (gas) → Cl- (gas) + 3,61 eV (afinitas elektron) Na+ (gas) + Cl- (gas) → NaCl (kristal) + 7,9 eV (energi kohesif) Hitunglah energi permolekul kristal NaCl tersebut! (Energi permolekul ini lebih kecil daripada energi kohesif/ikat permolekul (7,9 eV). Energi ikat molekul adalah energi yang diperlukan untuk memecahkan molekul tersebut menjadi ion-ion penyusunnya)27. Dalam kristal NaCl didapatkan data eksperimen tentang harga jarak suatu ion positip terhadap ion negatip terdekatnya adalah 2.81.10-8 cm. Tentukan energi tarik menarik Coulomb sebagai bagian dari energi potensial antara dua ion tersebut! (Harga ini masih seorde dengan data eksperimen tentang energi ikat 7,9 eV/molekul)29. Buktikan bahwa konstanta Madelung a. berharga 2 ln 2 untuk kristal ionik alternasi satu dimensi! b. berharga 1,747565 , 1, 762675 dan 1,6381 , masing-masing untuk kristal NaCl, CsCl dan ZnS!30. Untuk gas He, yang berstruktur FCC, hasil pengukuran menunjukkan bahwa parameter Lennard-Jones ε=50.10-16 erg dan σ=2,96 Å. Hitunglah energi kohesifnya dalam kJ/mol! (Nilai pengamatan energi kohesif 0,751 kJ/mol, jauh lebih kecil daripada hasil perhitungan sehingga koreksi kuantum sangat penting)31. Dengan menggunakan potensial Lennard-Jones, hitunglah perbandingan energi kohesi Ne dalam struktur BCC dan FCC! Diketahui bahwa untuk kisi BCC harga ∑p j −12 ij = 9,11418 ; ∑p j −6 ij = 12,2533 . Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • I STRUKTUR KRISTAL 4632. Sama dengan soal 26), tetapi untuk struktur HCP dan FCC! Diketahui bahwa untuk kisi HCP harga ∑p j −12 ij = 12,13229 ; ∑pj −6 ij = 14,45489 . 6 12 ⎛a ⎞ ⎛a ⎞33. Energi total untuk 2 atom argon adalah E = −C ⎜ o ⎟ + B⎜ o ⎟ relatif ⎝R⎠ ⎝R⎠ terhadap keadaan keduanya pada jarak tak terhingga. Harga B= 2,35.103 eV, C= 1,69.108 eV dan ao adalah radius Bohr. Suku pertama merepresentasikan energi tarik menarik antara elektron-elektron terluar; dan kedua adalah energi tolak menolak antara ion-ion teras. Hitunglah a. posisi setimbang ! b. Buktikan bahwa di posisi setimbang energinya didominansi oleh energi tarik menarik! (harga mutlak energi tarik menarik lebih besar daripada energi tolak menolak, dan energi totalnya berharga negatip) Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • B A B II DINAMIKA KISI KRISTAL Bahasan struktur kristal pada bab lalu menganggap bahwa atom bersifatstatik pada masing-masing titik kisinya. Sebenarnya, atom tidaklah statik,melainkan berosilasi di sekitar titik setimbangnya sebagai akibat energi termal.Bab ini membahas vibrasi kisi secara agak rinci. Bab ini mula-mula membahas vibrasi kristal dalam batasan panjanggelombang elastik, yang mana kristal dapat dianggap medium kontinu. Kapasitaspanas bahan dikemukakan dalam beberapa model, dan yang sesuai denganeksperimen adalah hanya yang menggunakan konsep fisika kuantum. Akhirnya,bab ini ditutup oleh bahasan vibrasi kisi kristal, yang dikaitkan dengan sifat diskritkisi.2.1 GETARAN DALAM ZAT PADAT2.1.1 Getaran Elastik dan Rapat Moda Getar Padatan terdiri dari atom diskrit. Atom tidaklah diam, tetapi berosilasi disekitar titik setimbangnya sebagai akibat adanya energi termal. Namun, saatgelombang yang merambat mempunyai panjang gelombang yang jauh lebih besardaripada jarak antaratom, sifat atomik dapat diabaikan dan padatan dapatdianggap sebagai medium kontinu. Dengan demikian persoalan fisisnyamenyangkut lingkup makro. Gelombang yang demikian disebut gelombangelastik. Misalnya, gelombang suara elastik longitudinal merambat dalam suatubatang isotropik, yang mempunyai penampang A, massa jenis ρ dan modulusYoung Y, antara x dan (x+dx) menurut hukum Newton mempunyai persamaangerak
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 48 ∂ 2u ρ A dx = [S ( x + dx) − S ( x)]A (2.1) ∂t 2dimana u adalah simpangan terhadap titik setimbang dan S adalah tekanan.Regangan e=du/dx dan tekanan S dihubungkan oleh hukum Hooke S=Yu (2.2)Untuk bagian yang kecil sesungguhnya ΔS = S(x+dx) – S(x) = (∂S/∂x) dxsehingga persamaan gerak gelombang (2.1) di atas menjadi ∂ 2u ρ ∂ 2u − =0 (2.3) ∂x 2 Y ∂t 2yang dikenal sebagai persamaan gelombang satu dimensi. Diambil solusi berbentuk propagasi gelombang bidang, yaitu u = Ao ei(kx - ωt) (2.4)Dimana Ao, k dan ω adalah amplitudo, bilangan gelombang dan frekuensi radialgelombang. Substitusi solusi (2.4) ke dalam persamaan gelombang (2.3)menghasilkan ω = vs k (2.5)dengan vs = (Y/ρ)1/2 (2.6)adalah kecepatan fasa gelombang. Hubungan (2.5) antara frekuensi dan bilangangelombang disebut relasi dispersi. Dalam hal ini hubungan tersebut adalah linier,dengan kemiringan kecepatan fasa, seperti disajikan pada Gambar 2.1 berikut. ω ω=vsk 0 k Gambar 2.1 Kurva dispersi gelombang elastik Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 49Relasi dispersi linier (dengan kecepatan suara vs sebagai kemiringannya) dimilikioleh beberapa gelombang, antara lain gelombang optik dalam vakum, dangelombang suara dalam cairan dan gas. Penyimpangan terhadap sifat linier di atas disebut dispersi. Ketidaklinieranterjadi karena, khususnya, panjang gelombang yang relatif kecil jika dibandingkandengan jarak antar atom. Hal ini akan dipelajari pada getaran dalam kisi kristal. Persamaan (2.6) dapat digunakan untuk menentukan modulus Young.Misalnya, pengukuran menunjukkan untuk suatu padatan tertentu vs= 5.105 cm/sdan ρ = 5 gr/cm3 sehingga didapatkan nilai Y = 1,25.1012 gr/cm s2. Apabila gelombang elastik satu dimensi di atas hanya diperhatikan solusidomain ruangnya saja, yakni u = Ao eikx (2.7)dan ujung batang sebelah kanan berosilasi sama dengan sebelah kiri sehinggamemiliki syarat batas periodik u (x=0) = u (x=L) (2.8)dengan L adalah panjang batang, maka substitusi (2.7) ke dalam (2.8)menghasilkan kondisi eikL = 1 (2.9)sehingga kn = (2π/L) n, dimana n=0, ±1, ±2, … (2.10)Setiap nilai n di atas memberikan satu harga k sebagai representasi sebuah modagetar. Jika L besar sekali, maka kn hampir kontinu (pandangan makro). Dalamdomain k, jarak antartitik adalah (2π/L), sehingga jumlah moda getar antara k dan(k+dk) sebesar dN = (L/2π) dk (2.11)Dalam domain frekuensi, dN di atas terletak antara ω dan (ω+dω). Rapat keadaang(ω) didefinisikan sedemikian sehingga bentuk g(ω)dω memberikan jumlah modagetar yang mempunyai frekuensi antara ω dan (ω+dω) seperti di atas. Oleh karenaitu didapatkan Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 50 L 1 g (ω ) = 2π dω / dkUngkapan ini hanya berlaku untuk gerakan dalam satu arah positip saja. Dengandemikian g(ω) yang mencakup gelombang ke kiri dan ke kanan adalah L 1 g (ω ) = (2.12) π dω / dkTerlihat bahwa rapat keadaan g(ω) bergantung pada relasi dispersi. Untukhubungan linier (2.5), dimana dω/dk=vs, maka didapatkan L 1 g (ω ) = (2.13) π vsyang konstan tidak bergantung pada ω. Bahasan tiga dimensi kubik dengan rusuk L memberikan syarat bahwa ( i kx L+k y L+kz L) ) e =1sehingga (kx , ky , kz) = [ n (2π/L) , m (2π/L) , l (2π/L) ] (2.14)dimana n, m, l = 0, ±1, ±2, …. Representasi dalam ruang k menunjukkan bahwasebuah titik mempunyai volume (2π/L)3 dan merepresentasikan satu moda getar,seperti Gambar 2.2 berikut. ky kontur (ω+dω) kontur ω kx dω k Gambar 2.2 Nilai diskrit k untuk gelombang yang merambat tiga dimensi Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 51Semua moda getar dengan k tertentu direpresentasikan oleh satu titik yang terletakpada permukaan bola dalam ruang k, dengan jari-jari k dan berpusat di (kx , ky ,kz) = (0,0,0). Semua moda getar dengan vektor gelombang antara k dan (k+dk) terletakdalam elemen volume 4πk2dk yang dibataskan oleh bola berjari-jari k dan (k+dk).Dengan demikian, jumlah moda getar dalam selang vektor gelombang di atas 4πk 2 dk k2 dN = =V dk (2.15) (2π / L )3 2π 2dimana V=L3 adalah volume sampel. Rapat keadaan g(ω) diperoleh denganmenggunakan hubungan dispersi ω(k). Apabila digunakan hubungan dispersi linier (2.5), maka didapatkan V ω2 g (ω ) = (2.16) 2π 2 v s3yang dilukiskan dalam Gambar 2.3 berikut. Gambar 2.3 Rapat keadaan dalam medium elastikTernyata bahwa bertambahnya g(ω) berbanding lurus dengan ω2, tidak sepertidalam kasus satu dimensi dimana g(ω) berharga konstan. Hal ini terjadi karenakenaikan elemen volume permukaan bola yang berbanding lurus dengan k2; dankarena itu berbanding lurus juga dengan ω2 karena ω sebanding dengan k. Ungkapan g(ω) di atas bersesuaian dengan moda tunggal untuk setiap nilaik . Sebenarnya, dalam tiga dimensi untuk setiap nilai k mengandung tiga moda Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 52berbeda, yaitu satu moda longitudinal dan dua moda transversal. Hubungandispersinya juga berbeda. Dengan demikian rapat keadaan (2.16) menjadi ω2 ⎛ 1 1 ⎞ g (ω ) = V ⎜ 3 + 3⎟ ⎜v ⎟ (2.17) 2π 2 ⎝ L vT ⎠dimana vL dan vT, masing-masing merupakan kecepatan gelombang longitudinaldan transversal. Jika vL=vT, maka ungkapan (2.17) menjadi 3V ω 2 g (ω ) = (2.18) 2π 2 v s32.1.2 Kuantisasi Energi Getaran dalam Zat Padat Teori klasik kinetik gas menganggap bahwa energi dalam untuk suatu gastersimpan sebagai energi kinetik atom tersebut. Hukum ekipartisi menyatakanbahwa besaran fisis energi yang besarnya berbanding lurus dengan kuadrat jarakatau momentum, maka untuk setiap derajat kebebasan pada suhu T memilikienergi sama, yaitu (½)k0T, dengan k0 adalah konstanta Boltzmann. Hal ini berartienergi kinetik setiap atom gas memiliki energi (½)k0T. Gas monoatomik memilikitiga derajat kebebasan, sehingga pada suhu T energi dalam untuk gas sebanyak 1kilomol U = NA (3/2) k0T = (3/2) RT (2.19)Dengan demikian, kapasitas panas pada volume konstan ⎛ ∂U ⎞ 3 CV = ⎜ ⎟ = R (2.20) ⎝ ∂T ⎠V 2Sesungguhnya, kapasitas panas permol didefinisikan sebagai panas ΔQ yangdiperlukan tiap satu mol untuk menaikkan suhu ΔT, yakni C=ΔQ/ΔT. Jika prosesberlangsung pada volume tetap, maka ΔQ=ΔU, dimana ΔU adalah kenaikanenergi dalam sistem. Dalam hal persamaan di atas, NA adalah bilangan Avogadrodan R adalah tetapan gas. Menurut (2.20) teori ini menghasilkan nilai CV=12,47J/0K kmol. Harga ini sesuai untuk gas He dan Ar pada suhu kamar. Setiap atom dalam kristal, disamping memiliki 3 derajat kebebasan untukgeraknya di sekitar kedudukan setimbangnya (energi kinetik), juga memilikienergi potensial atom dalam gerak harmoniknya. Pada gerak selaras sederhana, Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 53energi kinetik rata-rata sama dengan energi potensial rata-rata, sehingga energitotal sistem atom dalam kristal menurut hukum ekipartisi ⎛3 3 ⎞ U = N A ⎜ k oT + k oT ⎟ = 3RT (2.21) ⎝ 2 2 ⎠Ungkapan ini menunjukkan bahwa kapasitas panas kristal pada volume konstanadalah CV = (∂U/∂T)V = 3R (2.22)Harga (2.22) sesuai dengan penemuan empirik Dulong-Petit (1819), yang berlakuuntuk hampir semua zat padat pada suhu ruang atau yang lebih tinggi. Selanjutnya, eksperimen menunjukkan bahwa nilai CV menurun apabila Tmenurun, dan mendekati nol apabila T menuju 0 K. Disamping itu, terdapatindikasi yang sangat kuat bahwa pada suhu yang sangat rendah mendekati nolmutlak CV ∼ T3Penyempurnaan bahasan kapasitas panas ini, selanjutnya menggunakan teorimekanika kuantum.2.1.2.1 Model Einstein tentang CV Zat Padat Diilhami oleh keberhasilan Planck dalam menerangkan radiasi bendahitam, maka konsep kuantisasi energi itu juga diterapkan Einstein dalam teorinyatentang CV zat padat. Model Einstein tentang getaran kisi mengambil andaiansebagai berikut.a. Atom kristal merupakan osilator independen, yang masing-masing memiliki frekuensi sama dan energi diskrit εn = n ћ ω , n = 0, 1, 2, … (2.23) dengan ω adalah frekuensi osilator. Jarak antartingkat energi ini sebesar ћ ω.b. Sebaran energi osilator pada harga energi yang diperbolehkan mengikuti distribusi Boltzmann f (ε n ) = e −ε n / koT (2.24) Sebuah osilator dengan satu derajat kebebasan mempunyai energi rata-rata Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 54 ∞ ∑ε n f (ε n ) ε = n=0 ∞ ∑ f (ε n=0 n )Substitusi (2.23) dan (2.24) ke persamaan di atas menghasilkan ω ε = ω / k oT (2.25) e −1Gambar 2.4 berikut menyajikan perbandingan energi kuantum rata-rata osilatordan energi klasik kristal untuk satu derajat kebebasan. ε klasik kuantum O T Gambar 2.4 Energi kuantum rata-rata dan energi klasik rata-rata kristalTampak bahwa pada suhu tinggi, sehingga koT>>ћω, osilator berada dalamkeadaan kuantum tereksitasi tinggi. Pada keadaan demikian sifat kuantumspektrum dapat diabaikan, sehingga dihasilkan energi klasik rata-rata ε = k oT .Pada suhu rendah, koT<<ћω, dan energi koT tidak cukup untuk mengeksitasikanosilator ke tingkat eksitasi pertama. Dalam hal ini energi osilator jauh lebih kecildaripada koT. Oleh karena itu, pada suhu rendah ini, sifat kuantum gerakan lebihdominan. Bila zat padat sebanyak 1 kmol dan setiap atom mempunyai 3 derajatkebebasan, maka energi totalnya ωE E = 3N Aε = 3N A ω E / k oT (2.26) e −1dimana ωE adalah frekuensi Einstein (frekuensi bersama osilator). Kapasitaspanas pada volume konstan 2 ⎛ ∂E ⎞ ⎛θ ⎞ eθ E / T CV = ⎜ ⎟ = 3 R⎜ E ⎟ θ / T (2.27) ⎝ ∂T ⎠V ⎝ T ⎠ e E −1 2 ( ) Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 55dimana θE=(ћωE/ko) adalah suhu karakteristik Einstein. Secara grafik CV di atasditunjukkan dalam Gambar 2.5 berikut. Gambar 2.5 Kapasitas panas tembaga. Titik-titik merupakan hasil eksperimen. Kurva mengungkapkan teori Einstein untuk suhu θE=240 KSecara teori dapat dibuat kurva CV terhadap T/θE yang bentuknya sama untukberbagai macam kristal. Data eksperimen (CV,T) suatu kristal tertentu, dapatdicari kesesuaiannya yang terbaik, sehingga θE dapat ditentukan. Selanjutnya,frekuensi Einstein ωE pun dapat diperoleh. Untuk θE= 240 K didapatkan ωE =2,5.1013/s dalam daerah inframerah. Ungkapan CV di atas menunjukkan hal-hal sebagai berikut.a. Pada suhu yang sangat tinggi, dimana T>>θE, bentuk eθ E / T dapat diekspansikan dalam deret pangkat θE/T, sehingga menghasilkan CV ≅ 3 R seperti hasil teori klasik.b. Pada suhu yang sangat rendah, dimana T<<θE, bentuk eθ E / T jauh lebih besar daripada satu, sehingga 2 ⎛θ ⎞ CV ≅ 3R⎜ E ⎟ e −θ E / T ≅ B(T ) e −θ E / T (2.28) ⎝T ⎠ dimana B(T) adalah fungsi yang relatif tidak peka terhadap suhu. Karena bentuk eksponensial eθ E / T , maka kapasitas panas ini terus berkurang sehingga mendekati nol dengan cepat sekali. Jadi CV →0 saat T→0. Hal ini sesuai dengan eksperimen. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 56 Saat mendekati nol mutlak, penurunan CV model Einstein yang secaraeksponensial di atas, ternyata, jauh lebih cepat daripada yang terjadi secaraeksperimen, yakni CV ∼ T3Hal ini merupakan kelemahan yang mendasar bagi model Einstein. Kesimpulan yang dapat ditarik dari model Einstein adalah sebagai berikut.a. Pada suhu tinggi, osilator tereksitasi sempurna, yang memerlukan energi rata- rata sebesar koT, sehingga CV ≅ 3 R.b. Pada suhu rendah, osilator membeku (tidak berosilasi) dalam tingkat energi dasar sehingga CV=0.2.1.2.2 Model Debye tentang CV Zat Padat Untuk menerangkan kebergantungan CV terhadap T, Debye memodelkangetaran kisi dengan mengambil anggapan sebagai berikut.a. Atom kristal merupakan osilator yang berkait erat satu sama lain, dengan daerah frekuensi ω=0 sampai suatu frekuensi maksimum ωD yang ditentukan oleh jumlah moda getar yang diperkenankan. Dengan demikian pada kristal terjadi gerakan kisi secara keseluruhan sehingga terdapat moda kisi bersama. Kristal merupakan medium elastik kontinu.b. Gelombang suara dalam padatan merupakan contoh moda bersama. Oleh karena itu moda kisi mempunyai hubungan dispersi linier kontinu (2.5) dan rapat keadaan (2.18) yang sama dengan bahasan gelombang elastik yang lalu. Setiap modus getaran merupakan osilator harmonik tunggal ekivalen yangmempunyai energi rata-rata (2.25) seperti osilator model Einstein. Oleh karena ituenergi total getaran seluruh kisi 3V ω E = ∫ ε (ω ) g (ω ) dω = 2 3 ∫ ω2 ω / k 0T dω (2.29) 2π v s e −1dimana integrasi dilakukan terhadap semua frekuensi yang diperkenankan. Frekuensi batas bawah, tentunya, adalah ω=0. Sedangkan frekuensi batasatas ditetapkan oleh debye dengan batasan bahwa jumlah moda yang dicakup Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 57dalam rentang frekuensi tersebut haruslah sama dengan jumlah derajat kebebasanuntuk keseluruhan padatan. Jadi ωD ∫ g (ω ) dω = 3N 0 A (2.30)dimana frekuensi atas ωD disebut frekuensi Debye. Hasil integrasi di atas, setelahmensubstitusikan (2.18) memberikan nilai ωD = vs (6π2n)1/3 (2.31)dimana n=NA/V adalah konsentrasi atom dalam padatan. Energi total (2.29) dapat ditulis kembali ωD 3V ω3 E= 2π 2 v s3 ∫e ω 0 / k 0T −1 dω (2.32)dan kapasitas panas pada volume konstan ωD ω / k oT ⎛ ∂E ⎞ 3V 2 ω 4e CV = ⎜ ⎟ = ⎝ ∂T ⎠V 2π v s k o T 2 3 2 ∫ (e ω 0 / k oT −1 ) 2 dω (2.33)Apabila x=(ћω/koT) dan suhu Debye didefinisikan sebagai θD=(ћω/ko), makapersamaan (2.33) dapat ditulis dalam bentuk 3θ /T ⎛T ⎞ D x 4e x CV = 9 R⎜ ⎜ ⎝θ D ⎟ ⎟ ⎠ ∫ (e 0 x −1 )2 dx (2.34)Suhu Debye θD dapat diperoleh dengan mencocokkan kurva eksperimen dari data(CV,T) suatu kristal dengan kurva universal teoritis CV terhadap T/θD. Untuk suatuzat tertentu, sudu Debye θD adalah suhu yang dipilih sedemikian rupa sehinggakurva eksperimen akan berimpit dengan kurva universal teoritis. Bahan berikut iniLi, Na, K, Cu, Ag, Au, Al, Ga, Pb, Ge, Si, C, NaCl, KCl, CaF2, LiF dan SiO22pada suhu kamar 300 K, masing-masing memiliki suhu Debye 335; 156; 91,1;343; 226; 162; 428; 325; 102; 378; 647; 1860; 280; 230; 470; 680; dan 255 K. Ungkapan CV di atas menunjukkan hal-hal sebagai berikut.a. Pada suhu tinggi, T>>θD, didapatkan CV ≅ 3 R Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 58 yang sesuai dengan hukum Dulong-Petit. Dalam keadaan demikian, setiap moda getar tereksitasi penuh, dan memiliki energi klasik rata-rata ε = k oT . Jika kita substitusikan energi klasik rata-rata tersebut ke dalam (2.29) akan didapatkan E = 3RT dan CV=3R.b. Pada suhu rendah, T<<θD, dengan menggunakan hubungan analitik ∞ x 4e x 4 2 ∫ (e 0 x − 1) 2 dx = 15 π didapatkan 3 12π 4 ⎛ T ⎞ CV = R⎜ ⎟ ⎜θ ⎟ (2.35) 5 ⎝ D⎠ Kebergantungan CV terhadap T3 ini sesuai dengan hasil pengamatan. Dalam keadaan demikian, hanya sedikit moda tereksitasi, yakni moda yang memiliki energi kuantum ћω, yang lebih kecil daripada kT.2.2 GETARAN DALAM KISI KRISTAL Telah dibahas rambatan gelombang dalam padatan sebagai mediumkontinu, yaitu kediskritan kisi dapat diabaikan. Saat panjang gelombang jauh lebihbesar daripada jarak antar atom, yaitu k→0, maka dihasilkan relasi linier ω=vsk.Tetapi, saat panjang gelombang menurun dan k membesar, maka kediskritan kisimenjadi berperan karena atom-atom mulai menghamburkan gelombang.Akibatnya kecepatan menurun, dan dalam hal ini menyebabkan kurva relasidispersi tidak lagi linier melainkan mengalami penurunan kemiringan.2.2.1 Getaran dalam Kisi Linier2.2.1.1 Kisi Monoatomik Satu Dimensi Perhatikanlah kisi monoatomik satu dimensi dengan konstanta kisi adalam Gambar 2.6 berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 59 ψ -2 ψ -1 ψ ψ +1 a x -2=( -2)a x -1=( -1)a x= a x +1=( +1)a Gambar 2.6 Kisi monoatomik satu dimensiPosisi setimbang atom dinyatakan pada koordinat kisi …, x -1, x , x +1, …Sedangkan simpangan dari titik setimbang, masing-masing dinyatakan dengan…, ψ -1, ψ , ψ +1, … Getaran kisi adalah longitudinal. Andaikan interaksi atom hanya terjadi antartetangga terdekat, gaya yangbekerja mengikuti hukum Hooke (pendekatan harmonik) dengan konstanta gaya α,dan massa setiap atom m, maka, sesuai dengan hukum Newton, persamaan gerakatom ke- adalah ∂2 m ψ l = −α (ψ l − ψ l +1 ) − α (ψ l − ψ l −1 ) = −α (2ψ l − ψ l +1 − ψ l −1 ) (2.36) ∂t 2Kisi di atas mempunyai simetri translasi, yakni massa atom sama dengan intervaltertentu. Oleh sebab itu diambil bentuk solusi gelombang berjalan ψ l = Ao e i (kla −ωt ) (2.37)Solusi (2.37) menunjukkan bahwa semua atom bergetar dengan frekuensi danamplitudo sama. Getaran yang demikian disebut getaran modus normal.Substitusi (2.37) ke dalam (2.36) dan penghilangan besaran-besaran yang sama,yaitu A, e iω t dan e ikla , serta pemakaian rumus Euler eiy+e-iy=2 cos ymenghasilkan bentuk ka ω = ω o sin (2.38) 2dimana ωo=(4α/m)1/2 dan hanya diambil harga ω positip (yang memiliki arti fisis).Ungkapan ini tidak lain adalah hubungan dispersi ω(k), yang berbentuk sinusoida Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 60dengan perioda 2π/a dan frekuensi maksimum ωo dalam ruang k, seperti disajikandalam Gambar 2.7 berikut. ω(k) kontinu ωo -π/a -2π/a 0 π/a 2π/aGambar 2.7 Kurva dispersi ω(k) kisi satu dimensi dengan interaksi tetangga terdekatInterpretasi fisis yang dapat dikemukakan dari model ini adalah sebagai berikut.a. Nilai k kecil menyebabkan (2.38) menjadi hubungan dispersi linier, yaitu ⎛ ωoa ⎞ ω ≅⎜ ⎟k (2.39) ⎝ 2 ⎠ Dalam batas ini, kisi berkelakuan sebagai medium kontinu elastik (pegas kontinu). Harga k kecil, berarti k<<(π/a) atau λ>>2a. Dengan kata lain, panjang gelombang jauh lebih besar daripada jarak antaratom (sistem makro). Atom bergerak dalam fasa yang sama satu sama lain. Hal ini menyebabkan gaya pulih setiap atom menjadi kecil, sehingga ω kecil juga. Kecepatan fasa vϕ=ω/k sama dengan kecepatan kelompok vg=∂ω/∂k, yaitu sebesar αa vϕ= vg=(ωoa)/2= (2.40) m Kecepatan fasa vϕ adalah kecepatan perambatan gelombang yang berfrekuensi ω dan angka gelombang k. Sedangkan kecepatan kelompok vg adalah kecepatan pulsa gelombang yang berfrekuensi dan angka gelombang rata-rata ω dan k. Seringkali vg lebih berperan karena yang ditransmisikan gelombang adalah energi dan momentum. Kecepatan fasa vϕ tidak lain adalah kecepatan suara (2.6) dalam bahasan gelombang elastik dahulu. Karena m/a adalah kerapatan massa satu dimensi Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 61 dan αa dapat diinterpretasikan sebagai tegangan dalam rantai kisi, maka hal ini sama dengan bahasan kecepatan rambat gelombang transversal dalam kawat Melde. Dari (2.40) dan (2.6) dapat dicari hubungan tetapan gaya α dan modulus Young Y, yaitu α=aY (2.41) yang dapat digunakan untuk memprediksi harga α. Untuk nilai a= 5.10-8cm dan Y= 1011 gr/cm s2 didapatkan nilai α= 5.103 dyne/cm. Kasus dengan k<<π/a, atau λ>>a dinamakan batas gelombang panjang.b. Saat k membesar terjadi deviasi secara signifikan terhadap bentuk linier. Pada k=±π/a terdapat nilai frekuensi maksimum. Nilai k=±π/a, berarti λ=2a, menyebabkan atom yang bertetangga bergetar dengan fasa berlawanan, sehingga gaya pulih dan frekuensi menjadi maksimum. Karena adanya fasa berlawanan pada dua atom berdekatan, maka terjadi gelombang pantulan. Akibatnya terjadi superposisi antara gelombang datang dan pantul oleh semua atom dalam kristal, dan menghasilkan gelombang berdiri. Dalam kasus ini kecepatan kelompok vg=0. Kasus dengan k=±π/a dinamakan kondisi refleksi Bragg. Frekuensi maksimum ωo=(4α/m)1/2 yang bergantung pada konstanta pegas dan massa atom adalah memang sifat untuk osilator harmonik. Dengan mensubstitusikan nilai α= 5.103 dyne/cm dan m= 22.10-24 gr (untuk hidrogen) didapatkan nilai ωo= 2.1013/s dalam daerah inframerah.c. Nilai k=0, berarti λ=∞, menyebabkan keseluruhan bagian kristal bertranslasi, sehingga gaya pulih menjadi nol. Hal ini berarti ω=0 untuk k=0. Lihat kembali kurva dispersi (Gambar 2.7) di atas. Tampak bahwa kurvatersebut periodik dalam ruang k, dan simetri terhadap pencerminan di sekitar titikasal k=0. Oleh karena itu daerah yang penting adalah 0<k<π/a. Hanya frekuensidalam rentang 0<ω<ωo yang ditransmisikan dalam kisi. Frekuensi di atas ωomengalami atenuasi tajam. Dalam hal ini, kisi berperan sebagai filter mekaniklolos rendah. Periodisitas ω(k) dalam ruang k mempunyai perioda 2π/a. Oleh karena itu Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 62 ω(k + 2π/a) = ω(k) (2.42)Perhatikanlah contoh sederhana dalam Gambar 2.8 berikut. Gambar 2.8 Gelombang transversal dengan λ=4a dan λ=(4/5)aAngka gelombang keduanya, masing-masing k=π/2a dan k’=(k+2π/a). Terlihatbahwa keduanya merepresentasikan gerakan fisis yang sama. Oleh karena itu duamoda tersebut haruslah mempunyai frekuensi yang sama. Secara umum, hal iniberlaku untuk dua titik sebarang k dan k’, dimana k’=(k + n 2π/a) untuk nbilangan bulat. Hal inilah yang menyebabkan frekuensi ω merupakan fungsiperiodik dari k dengan perioda 2π/a. Dalam kisi diskrit, panjang gelombang suatu gelombang bukanlah besaranunik. Begitu juga nilai k, masing-masing nilai k yang ekivalen ditranslasikansejauh n(2π/a) satu terhadap yang lain dalam ruang k. Pilihan interval tertentudalam ruang k, yakni sama dengan periodanya sebesar 2π/a, diperlukan untukmembuat representasi k maupun λ menjadi unik. Panjang gelombang terpendek dari gelombang dalam kristal linier yangmasih memiliki makna fisis adalah λ=2ayang bersesuaian dengan k=π/a. Oleh karena itu semua getaran, λ=0 sampai λ=∞,yang memiliki makna fisis berada dalam interval 0 < |k| < π/aDaerah antara (-π/a < k < π/a) dinamakan Zona Brillouin Pertama, yangmerepresentasikan semua gelombang yang masih memiliki makna fisis dalamkristal. Jumlah moda getar dalam zona ini sama dengan jumlah total atom dalamkisi. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 63 Simetri refleksi terhadap titik nol dalam ruang k, berarti ω(-k) = ω(k) (2.43)Moda k merepresentasikan gelombang yang merambat ke arah kanan dan –k kearah kiri dalam kisi. Karena kisi ekivalen dalam kedua arah tersebut, makafrekuensinyapun harus sama seperti di atas.2.2.1.2 Kisi Diatomik Satu Dimensi Model ini terdiri dari dua jenis atom, masing-masing bermassa M1 padakoordinat ganjil, dan M2 pada koordinat genap. Jarak setimbang atom bertetanggasebesar a. a M2 M1 x2 -3 x2 -2 x2 -1 x2 Gambar 2.9 Kisi diatomik satu dimensiAsumsi yang digunakan sama dengan bahasan kisi monoatomik. Persamaan gerakuntuk masing-masing massa ∂2 M1 ψ 2l +1 = −α (2ψ 2l +1 − ψ 2l − ψ 2l + 2 ) ∂t 2 (2.44) ∂2 M 2 2 ψ 2l + 2 = −α (2ψ 2l + 2 − ψ 2l +1 − ψ 2l +3 ) ∂tDiambil solusi berbentuk ψ 2l +1 = A1e i [ka (2l +1)−ωt ] (2.45) ψ 2l + 2 = A2 e i [ka (2l + 2 )−ωt ]Substitusi bentuk solusi (2.45) ke dalam persamaan (2.44) menghasilkan duapersamaan yang ekivalen persamaan matrik ⎛ 2α − M 1ω 2 − 2α cos(ka )⎞⎛ A1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ − 2α cos(ka ) 2α − M ω 2 ⎟⎜ A ⎟ = 0 (2.46) ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠Solusi nontrivial persamaan homogen (2.46) ada hanya jika harga determinanmatrik sama dengan nol. Oleh karena itu persamaan sekularnya 2α − M 1ω 2 − 2α cos(ka ) =0 (2.47) − 2α cos(ka ) 2α − M 2ω 2 Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 64yang merupakan persamaan kuadrat dalam ω2, dan memberikan solusi untuk ω2,yakni 1/ 2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎧⎛ 1 ⎪ 1 ⎞ 2 4 sin 2 (ka ) ⎫ ⎪ ω 2 1, 2 = α⎜ ⎜ + ⎟ ± α ⎨⎜ ⎟ ⎜M + M ⎟ − ⎟ ⎬ (2.48) ⎝ M1 M 2 ⎠ ⎪⎝ 1 ⎩ 2 ⎠ M 1M 2 ⎪ ⎭Tanda ± menyebabkan terdapat dua hubungan dispersi, yang masing-masingkurvanya, dengan asumsi M1< M2, disajikan dalam Gambar 2.10 berikut. Gambar 2.10 Dua cabang dispersi kisi diatomik M1< M2Kurva bawah, bersesuaian dengan tanda minus, dinamakan cabang akustik. Kurvaini memiliki ciri sama dengan kisi monoatomik. Sedangkan kurva atas dinamakancabang optik karena dihasilkan frekuensi optik dalam spektrum elektromagnet.Variasi cabang ini tidak begitu besar, sehingga sering dianggap tetap. Pada gambar di atas terdapat daerah tanpa getaran, yaitu daerah frekuensiantara (2α/M2)1/2 sampai (2α/M1)1/2. Untuk harga α= 5.103dyne/cm dan M=10-23gr didapatkan frekuensi ω=(2α/M)1/2= 3.1013/s dalam daerah inframerah. Daerahterlarang ini, dimana kisi tidak dapat mentransmisikan gelombang, disebut celahfrekuensi. Oleh karena itu, kisi diatomik berperan sebagai filter mekanik lolospita. Perbedaan dinamika getaran antara kedua cabang di atas dapat dipelajaridari perbandingan amplitudo A1/ A2 pada nilai k=0 (atau λ=∞). Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 65Cabang akustik. Substitusi ω1=0 ke dalam persamaan matrik (2.46) menghasilkanungkapan A1 = A 2 (2.49)Hal ini berarti dua atom dalam sel, atau molekul, mempunyai amplitudo dan fasayang sama. Keseluruhan kisi bergetar seperti benda tegar, dengan pusat massabergerak bolak-balik, seperti Gambar 2.11 berikut. Gambar 2.11 Getaran cabang akustik pada k=0 1/ 2 ⎧ ⎛ 1 1 ⎞⎫Cabang optik. Substitusi ω 2 = ⎨2α ⎜ ⎜ M + M ⎟⎬⎟ ke dalam persamaan matrik ⎩ ⎝ 1 2 ⎠⎭(2.46) di atas menghasilkan ungkapan M1 A1 + M2 A2 = 0 (2.50)Hal ini berarti cabang optik berosilasi dengan pusat massa atom tidak berubah.Dua atom dalam sel bergetar dalam fasa berlawanan, seperti pada Gambar 2.12berikut. Gambar 2.12 Getaran cabang optik pada k=0 Lihat kembali kurva dispersi kisi diatomik (Gambar 2.10) di atas. Tampakbahwa kurva tersebut periodik dalam ruang k dengan perioda π/a dan mempunyaisimetri refleksi di sekitar titik k=0. Zona Brillouin Pertama terletak pada daerah(π/2a<k<π/2a). Hal ini berkaitan dengan perioda kisi riilnya sebesar 2a. Dalam Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 66zona ini, jumlah nilai k yang diperkenankan sebanyak jumlah atom total N.Karena terdapat dua cabang, maka jumlah moda getar totalnya adalah 2N.2.2.1.3 Kisi Tiga Dimensi Misalnya, terdapat kisi Bravais tiga dimensi dengan satu atom perselsatuan. Diandaikan bentuk solusi gelombang yang merambat dalam kristal ψ n = Ae i (k •r −ωt ) (2.51)Vektor amplitudo A menunjukkan arah getaran atom yang sesuai denganpolarisasi gelombang (longitudinal [ A paralel k ], transversal [ A tegak lurus k ]atau keduanya). Substitusi solusi (2.51) ke dalam persamaan gerak, menghasilkanperangkat tiga persamaan yang melibatkan Ax, Ay dan Az, sehingga diperolehpersamaan sekular dengan determinan matrik 3x3. Akhirnya diperoleh 3 buah harga ω2yang semuanya melalui titik asal k=0 (cabang akustik). Fungsi dispersi termaksudtidak perlu isotropik dalam ruang k untuk arah yang berbeda dalam kristal. Kisi non-Bravais tiga dimensi, dalam tiap sel satuannnya mengandung duaatau lebih atom. Misalnya, terdapat r atom persel, maka akan terdapat 3r kurvadispersi, yang terdiri dari 3 cabang akustik, dan (3-r) cabang optik. RINGKASAN01. Padatan terdiri dari atom diskrit yang berosilasi di sekitar titik setimbangnya sebagai akibat adanya energi termal. Jika gelombang yang merambat mempunyai panjang gelombang yang jauh lebih besar daripada jarak antaratom, maka sifat atomik dapat diabaikan dan padatan dapat dianggap sebagai medium kontinu (lingkup makro). Gelombang yang demikian disebut gelombang elastik. Bahasan ini menghasilkan hubungan dispersi linier ω = vs Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 67 k, dimana vs = (Y/ρ)1/2 adalah kecepatan fasa gelombang. Bila dikenai syarat 3V ω 2 batas periodik, maka diperoleh rapat keadaan g (ω ) = 2π 2 v s302. Menurut teori klasik setiap atom dalam kristal, disamping memiliki 3 derajat kebebasan untuk geraknya di sekitar kedudukan setimbangnya (energi kinetik), juga memiliki energi potensial atom dalam gerak harmoniknya; sehingga energi total sistem atom dalam kristal menurut hukum ekipartisi U = 3RT . Dengan demikian kapasitas panas kristal pada volume konstan adalah CV=3R, yang sesuai dengan penemuan empirik Dulong-Petit (1819), yang berlaku untuk hampir semua zat padat pada suhu ruang atau yang lebih tinggi. Tetapi, hal ini tidak sesuai dengan hasil eksperimen.02. Hasil eksperimen menunjukkan bahwa nilai CV berharga 3R pada suhu tinggi, menurun apabila T menurun, dan mendekati nol apabila T menuju 0 K. Disamping itu, terdapat indikasi yang sangat kuat bahwa pada suhu yang sangat rendah mendekati nol mutlak CV ∼ T3.03. Model Einstein tentang CV zat padat mengandaikan bahwa atom kristal merupakan osilator independen, yang masing-masing memiliki frekuensi sama dan energi diskrit εn=n ћ ω , n = 0, 1, 2, …, dan sebaran energi osilator pada harga energi yang diperbolehkan mengikuti distribusi Boltzmann f (ε n ) = e −ε n / koT . Berdasarkan andaian ini diperoleh kapasitas panas 2 ⎛θ ⎞ eθ E / T CV = 3R⎜ E ⎟ , yang hanya cocok untuk suhu tinggi dan ⎝ T ⎠ eθ E / T − 1(2 ) mendekati 0 K04. Model Debye tentang CV zat padat mengandaikan bahwa atom kristal merupakan osilator yang berkait erat satu sama lain, dengan daerah frekuensi ω=0 sampai suatu frekuensi maksimum ωD yang ditentukan oleh jumlah moda getar yang diperkenankan. Dari andaian ini diperoleh kapasitas panas 3θ /T ⎛T ⎞ D x 4e x CV = 9 R⎜ ⎜θ ⎝ D ⎟ ⎟ ⎠ ∫ (e 0 x −1 ) 2 dx , yang sesuai dengan hasil eksperimen. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 6805. Getaran kisi monoatomik satu dimensi menghasilkan hubungan dispersi ka ω = ω o sin . Kisi hanya bisa merambatkan frekuensi di bawah ωo. Oleh 2 karena itu kisi ini dapat berperan sebagai filter mekanik lolos rendah. Pada nilai k kecil terjadi hubungan dispersi linier, yang mengakibatkan panjang gelombang jauh lebih besar daripada jarak antaratom (sistem makro) atau atom bergerak dalam fasa yang sama satu sama lain. Pada nilai k=±π/a, berarti λ=2a, menyebabkan atom yang bertetangga bergetar dengan fasa berlawanan (terjadi gelombang berdiri), sehingga gaya pulih dan frekuensi menjadi maksimum. Sedangkan pada nilai k=0, berarti λ=∞, menyebabkan keseluruhan bagian kristal bertranslasi, sehingga gaya pulih menjadi nol. Hal ini berarti ω=0 untuk k=0.06. Getaran kisi diatomik satu dimensi menghasilkan dua hubungan dispersi, yakni cabang optik dan akustik 1/ 2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎧⎛ 1 ⎪ 1 ⎞ 2 4 sin 2 (ka ) ⎫ ⎪ ω 2 1, 2 = α⎜ ⎜M + M ⎟ ± α ⎨⎜ ⎟ ⎜M + M ⎟ − ⎟ ⎬ . Pada getaran ini ⎝ 1 2 ⎠ ⎪⎝ 1 ⎩ 2 ⎠ M 1M 2 ⎪ ⎭ terdapat daerah tanpa getaran, yang disebut celah frekuensi. Oleh karena itu, kisi diatomik berperan sebagai filter mekanik lolos pita. Pada nilai k=0, untuk cabang akustik didapatkan bahwa A1=A2, yang artinya dua atom dalam sel, atau molekul, mempunyai amplitudo dan fasa yang sama. Keseluruhan kisi bergetar seperti benda tegar, dengan pusat massa bergerak bolak-balik. Sedangkan untuk cabang optik menghasilkan M1 A1 + M2 A2 = 0, yang artinya bahwa cabang optik berosilasi dengan pusat massa atom tidak berubah. Dua atom dalam sel bergetar dalam fasa berlawanan. LATIHAN SOAL BAB II01. Hasil pengukuran dalam suatu jenis padatan menunjukkan bahwa kecepatan gelombang vs=5.105 cm/s dan rapat massa ρ=5 gr/cm3. Berapakah modulus Young padatan tersebut? Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 6902. Dengan menggunakan distribusi Maxwell-Boltzmann dan hukum ekipartisi energi, tunjukkan bahwa osilator harmonis satu dimensi pada kesetimbangan termal mempunyai energi rata-rata ε = k o T !03. Jika harga konstanta gas umum R≅2 kal/mol K, maka hitunglah kapasitas panas pada volume tetap padatan pada suhu tinggi!04. Tunjukkan penurunan persamaan (2.25)!05. Tembaga mempunyai suhu Einstein θE=240 K. Berapa dan terletak di daerah optik mana frekuensi Einstein tersebut?06. Jika diketahui bahwa suatu padatan mempunyai konsentrasi atom n=1022 atom/cm3 dan kecepatan gelombang vs=5.105 cm/s, maka hitunglah frekuensi Debye ωD!07. Kemukakan sampai sejauh mana kesesuaian (terhadap rentang suhu) kapasitas panas padatan ramalan (a) Dulong-Petit, (b) Einstein, dan (c) Debye dengan hasil pengamatan!08. Tunjukkan penurunan persamaan (2.41)!09.a. Jika konstanta kisi a=5 Å dan modulus Young Y=1011 gr/cm s2, maka tentukan konstanta gaya α! b. Dengan menggunakan harga α dari soal a), dan massa m=2.10-24 gr (untuk hidrogen), maka tentukan frekuensi maksimum ωo!10. Anggaplah bahwa kisi kristal satu dimensi merupakan medium kontinu dan mempunyai syarat batas periodik. Buktikan bahwa jumlah moda getar dalam Zona Brillouin Pertama (ZBP) adalah sama dengan jumlah total atom, atau jumlah sel satuan dalam kisi!11. Semua getaran yang memiliki makna fisis berada dalam interval ZBP ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎜ − ⎟ ≤ k < ⎜ + ⎟ . Sesuai dengan soal nomor (10), maka jika terdapat N ⎝ a⎠ ⎝ a⎠ atom, maka nilai k yang diperbolehkan akan sebanyak N pula, yang terentang 2π 1 2π 1 dari − 2 N hingga + N . Misalnya terdapat vibrasi gelombang yang Na Na 2 merambat dalam kristal monoatomik satu dimensi dengan jarak setimbang Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 70 antaratom a=5 Å. Jika kristal mengandung 6,00.108 atom, maka tentukan rentang angka gelombang k yang diperbolehkan!12. Tunjukkan bahwa untuk harga ka kecil, maka dari persamaan (2.48) dapat diperoleh ⎛ 1 1 ⎞ 2α a. dua harga frekuensi ω 2 = 2α ⎜ ⎜M + M ⎟ dan ω 2 = ⎟ (ka) 2 ⎝ 1 2 ⎠ M1 + M 2 2α a 2 b. kecepatan fasa bunyi v = (Tampak bahwa dengan (M1+M2)/a M1 + M 2 adalah kerapatan massa satu dimensi, maka hal ini sama dengan bahan pegas/kawat kontinu dengan tegangan 2αa)13. Tunjukkan bahwa untuk harga k=π/2a, maka dari persamaan (2.48) diperoleh dua harga frekuensi ω 2 = 2α / M 1 dan ω 2 = 2α / M 214. Kemukakan yang terjadi pada Gambar 2.10, jika diasumsikan bahwa M1>M2!15. Tunjukkan bahwa celah frekuensi dalam vibrasi kisi diatomik satu dimensi a. semakin tajam bila kedua massa semakin tidak sama! b. lenyap bila kedua massa sama besar!16. Buktikan bahwa pada k=π/2a dalam kisi diatomik satu dimensi a. cabang akustik menunjukkan bahwa hanya atom berat yang bervibrasi! b. cabang optik menunjukkan bahwa hanya atom ringan yang bervibrasi!17. Sama dengan soal (10), tetapi untuk kisi kristal diatomik satu dimensi. Buktikan bahwa jumlah moda getarnya dua kali lebih besar karena masing- masing angka gelombang k bersesuaian dengan dua moda, yaitu moda akustik dan optik!18. Harga kecepatan fasa bunyi dalam padatan berorde 3.103 m/s daan jarak antaratomnya berorde 3 Å. Jika padatan diasumsikan sebagai sebuah kisi linier, maka berapakah harga frekuensi maksimumnya?19. Kecepatan kelompok bunyi suatu rantai linier monoatomik adalah 1,08.104 m/s. Jika massa tiap atom 6,81.10-26 kg dan jarak setimbang antaratom 4,85 Å, maka a. berapakah konstanta gaya? Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • II DINAMIKA KISI KRISTAL 71 b. berapakah frekuensi angular maksimum?20. Tunjukkan penurunan persamaan (2.49) dan (2.50)!21. Tunjukkan bahwa untuk panjang gelombang yang jauh lebih besar daripada jarak antaratom, maka persamaan gerak (2.36) dapat direduksi menjadi ∂2 ∂2 persamaan gelombang elastik kontinum ψ l = v 2 2 ψ l , dengan v adalah ∂t 2 ∂x kecepatan fasa bunyi!22. Getaran kisi bujursangkar Diasumsikan terdapat getaran transversal pada kisi bidang bujursangkar monoatomik. Ambillah u ,m pergeseran yang normal terhadap bidang kisi dari atom dalam kolom ke- dan baris ke-m. Setiap atom bermassa m dan konstanta gaya α untuk interaksi tetangga terdekat. a. Buktikan bahwa persamaan geraknya adalah m (d2 u ,m/dt2) = α [(u +1,m + u -1,m - 2 u ,m) + (u ,m+1 + u ,m-1 - 2 u ,m) ! b. Ambillah solusi berbentuk u ,m = u(0) exp[I( kxa + mkya - ωt)], dimana a adalah jarak antara tetangga terdekat atom. Buktikan bahwa relasi dispersi yang sesuai adalah ω2 m = 2 α (2 - cos kxa - cos kya) ! c. Buktikan untuk ka << 1 dipenuhi ω=(αa2/m)1/2 (kx2+ ky2)1/2= (αa2/m)1/2 k, sehingga memiliki kecepatan yang konstan! Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • B A B III ELEKTRON DALAM LOGAM I (MODEL ELEKTRON BEBAS) Logam memegang peranan penting dalam kehidupan manusia, misalnya besidalam produksi otomobil, tembaga untuk penghantar listrik dan lain-lain. Umumnya,logam memiliki sifat kekuatan fisik tinggi, kerapatan tinggi, konduktivitas listrik dantermal baik, dan daya refleksi tinggi. Sifat ini berkaitan dengan struktur mikroskopisbahan, yang dapat diasumsikan bahwa suatu logam mengandung elektron bebas,dengan konsentrasi besar, yang dapat bergerak dalam keseluruhan volume kristal. Saat atom bebas membentuk logam, semua elektron valensi menjadi elektronkonduksi dalam logam. Elektron konduksi bergerak bebas di antara ion, sehinggakeadaannnya berubah tajam. Berbeda dengan elektron “cores” yang tetap terlokalisasisehingga karakternya relatif tidak berubah. Dengan demikian, gambaran sederhanatentang kristal logam adalah suatu kisi ion teratur dalam ruang, dan elektron bebasbergerak di antara ion tersebut. Gambaran lebih lengkapnya, bahwa ion bergetarsecara termal di sekitar titik setimbang, dan demikian pula elektron bebas bergeraktermal di antara ion kristal dan merubah arah geraknya setiap kali menumbuk ion(kemungkinan besar) atau elektron lain (kemungkinan kecil). Dalam logam Na, proporsi volume yang terisi oleh ion “cores” hanya sekitar15%. Hal ini terjadi karena radius ion Na+ adalah 0,98 Å; sedangkan setengah jarakantartetangga terdekat atom adalah 1,83 Å. Konsentrasi elektron konduksi dapatdihitung dari valensi dan kerapatan logam. Jika ρm dan ZV, masing-masing adalahkerapatan bahan dan valensi atom, maka konsentrasi elektronnya adalah ρm N A n = ZV (3.1) M
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 73dengan NA adalah bilangan Avogadro dan M adalah berat atom. Logam memilikikonsentrasi elektron yang besar, yakni n = 1029/m3. Misalnya, logam Na, K, Cu, Agdan Au adalah monovalen; dan logam Be, Mg, Zn dan Cd adalah divalen. Bagian awal bab ini membahas perkembangan model elektron bebas. Bahasankapasitas panas dan suseptibilitas magnetik dari sumbangan elektron menunjukkanbahwa yang sesuai dengan eksperimen adalah hanya jika elektron mengikuti prinsipeksklusi Pauli. Kemudian, dikenalkan konsep tingkatan Fermi dan permukaan Fermi,yang dapat digunakan untuk memperjelas deskripsi konduktivitas listrik dalamlogam. Dalam bab ini juga dibahas pengaruh medan magnet terhadap gerakanelektron bebas, yakni efek Hall dan resonansi siklotron. Bahasan kedua hal inimenghasilkan informasi yang mendasar tentang logam. Dalam model elektron bebas ini elektron mengalami tumbukan dengan fonondan ketidakmurnian. Hal ini menghasilkan ungkapan hukum Matthiessen. Selain itu,elektron dapat melepaskan diri dari permukaan logam sehingga terjadi emisithermionik. Akhirnya, bab ini ditutup dengan dikemukakannya beberapa kegagalanmodel elektron bebas dalam membahas sifat logam.3.1 MODEL ELEKTRON BEBAS KLASIK3.1.1 Teori Drude tentang Elektron dalam Logam Drude (1900) mengandaikan bahwa dalam logam terdapat elektron bebas,yang membentuk sistem gas elektron klasik, yang bergerak acak dalam kristal dengankecepatan random vo karena energi termal dan berubah arah geraknya setelahbertumbukan dengan ion logam. Karena massanya yang jauh lebih besar, maka ionlogam tidak terpengaruh dalam tumbukan ini. Kehadiran medan listrik ε dalam logam hanya mempengaruhi gerakkeseluruhan electron karena ion-ion tertata berjajar dan bervibrasi di sekitar titik kisisehingga tidak memiliki neto gerak translasi. Misalnya, terdapat medan listrik εdalam arah sumbu-X. Percepatan elektron yang timbul Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 74 eε ax = − (3.2) m*dengan e dan m*, masing-masing adalah muatan dan massa efektif elektron. Jikawaktu rata-rata antara dua tumbukan elektron dan ion adalah τ, maka kecepatanhanyut dalam selang waktu tersebut eε v hanyut = vo − τ (3.3) m*Oleh karena itu rapat arus yang terjadi ⎡ ⎛ eε ⎞⎤ J x = ∑ ⎢− e⎜ vo − τ⎟ (3.4) ⎣ ⎝ m * ⎠⎥⎦dimana penjumlahan dilakukan terhadap semua elektron bebas setiap satuan volume.Elektron bergerak secara acak, sehingga ∑vo=0. Oleh sebab itu ungkapan (3.4)menjadi e 2 nτ Jx = ε (3.5) m*Karena hubungan Jx=σε, maka menurut (3.5) konduktivitas listrik memiliki ungkapan e 2 nτ σ = (3.6) m*Pengukuran menunjukkan bahwa nilai rata-rata σ logam sekitar 5.107(Ωm)-1. Denganmenganggap masa efektif m* sama dengan massa bebas mo=9,1.10-31kg, makadidapatkan nilai τ berorde 10-14 s. Contoh analisa lain adalah konduktivitas termal. Misalnya, sepanjang sumbu-X terdapat gradien suhu ∂T/∂x, maka akan terjadi aliran energi persatuan luasperdetik (arus kalor) Qe. Berdasarkan eksperimen arus kalor Qe tersebut sebandingdengan gradien suhu ∂T/∂x Qe = -K ∂T/∂x (3.7)dengan K adalah konduktivitas termal. Dalam isolator, panas dialirkan sepenuhnyaoleh fonon. Sedangkan dalam logam dialirkan oleh fonon dan elektron. Tetapi karenakonsentrasi elektron dalam logam sangat besar, maka konduktivitas termal fonon jauh Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 75lebih kecil daripada elektron, yakni Kfonon≅10-2Kelektron, sehingga konduktivitas fonondiabaikan. Dari pendekatan teori kinetik gas diperoleh ungkapan konduktivitas termal K = (1/3) CV v (3.8)dimana CV, v dan masing-masing adalah kapasitas panas elektron persatuanvolume, kecepatan partikel rata-rata dan lintas bebas rata-rata partikel. KarenaCV=(3/2)nk, (1/2)mv2=(3/2)kT dan =vτ, maka konduktivitas (3.8) menjadi 3 nk 2Tτ K= (3.9) 2 mo Perbandingan konduktivitas termal (3.9) dan listrik (3.6) adalah 2 K 3⎛k ⎞ = ⎜ ⎟ T (3.10) σ 2⎝ e⎠Hal ini sesuai dengan penemuan empirik oleh Wiedemann-Frans (1853). Kadang-kadang perbandingan (3.10) di atas dinyatakan sebagai bilangan Lorentz K L= (3.11) σTTernyata, hukum Wiedemann-Frans sesuai dengan pengamatan untuk suhu tinggi(termasuk suhu kamar) dan suhu sangat rendah (beberapa K). Tetapi, untuk suhu“intermediate”, K/σT bergantung pada suhu. Dalam teori drude, lintas bebas rata-rata elektron bebas, =τvo, tidakbergantung suhu. Namun, karena vo∼T1/2, maka keadaan mengharuskan τ ∼ T-1/2Hal ini didukung fakta eksperimen bahwa σ∼T-1, sehingga dari ungkapankonduktivitas listrik didapatkan n τ ∼ T-1 atau n ∼ T-1/2Ungkapan terakhir ini menunjukkan bahwa bila T naik, maka n menurun. Hal initidak sesuai dengan fakta, dan menyebabkan teori Drude tidak memadai. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 763.1.2 Model Elektron Bebas Klasik Model elektron bebasa klasik tentang logam mengambil andaian berikut.a. Kristal digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip (yang membentuk kisi kristal) dan elektron yang bebas bergerak dalam volume kristal.b. Elektron bebas tersebut diperlakukan sebagai gas, yang masing-masing bergerak secara acak dengan kecepatan termal (seperti molekul dalam gas ideal – tidak ada tumbukan, kecuali terhadap permukaan batas)c. Pengaruh medan potensial ion diabaikan, karena energi kinetik elektron bebas sangat besar.d. Elektron hanya bergerak dalam kristal karena adanya penghalang potensial di permukaan batas. Misalnya, setiap atom memberikan ZV elektron bebas, maka jumlah totalelektron tersebut perkilomol n = ZV NABila elektron berperilaku seperti dalam gas ideal, maka energi kinetik totalnya U = n (3/2) k T = (3/2) ZV R T (3.12)sehingga kapasitas panas sumbangan elektron bebas (CV)el = (3/2) ZV R (3.13)Kapasitas panas total dalam logam, termasuk sumbangan oleh fonon, adalah CV = (CV)f + (CV)el = [3 + (3/2) ZV) R (3.14)Jadi, setidaknya kapasitas panas logam harus 50% lebih tinggi daripada isolator.Tetapi, eksperimen menunjukkan bahwa untuk semua bahan padatan (logam danisolator) nilai CV mendekati 3R pada suhu tinggi. Pengukuran yang akuratmenunjukkan bahwa sumbangan elektron bebas terhadap kapasitas panas total adalahreduksi harga klasik (3/2)R oleh factor 10-2. Oleh karena itu model elektron bebasklasik tidak memberikan hasil ramalan CV yang memadai. Suseptibilitas magnetik χ mengkaitkan momen magnetik M dan kuat medanmagnetik H melalui ungkapan Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 77 M =χ H (3.15)Dalam hal ini hanya dibahas untuk bahan isotropik, sehingga χ skalar. Pengaruhmedan magnet luar H terhadap elektron bebas menyebabkan setiap momen dipol μ ,yang acak arahnya, memperoleh energi magnetik E = −μ • H (3.16)Jika distribusi momen dipol elektron bebas memenuhi statistik Maxwell-Boltzmann,yakni f(E)=e-E/kT, maka momen dipol rata-rata dalam arah medan memenuhi π ∫ μ cosθ e 2π sin θ dθ − E / kT μ= 0 π (3.17) ∫e 2π sin θ dθ − E / kT 0dimana θ adalah sudut antara μ dan H. Hasil dari persamaan (3.17) adalah μ = μ L(x) (3.18)dengan L(x)=coth x – (1/x) = fungsi Langevin x = (μH/kT)Dengan menggunakan deret 1 x x3 2x5 coth x = + − + + ... , untuk 0< x <π x 3 45 945maka untuk medan H tidak kuat, yakni μH<<kT momen dipol rata-rata tersebutberharga 1μH μ =μ (3.19) 3 kTJika jumlah momen dipol magnet adalah N, maka magnetisasinya Nμ 2 M = Nμ = H (3.20) 3kTDengan membandingkan (3.20) dan (3.15) diperoleh suseptibilitas magnetik Nμ 2 χ= (3.21) 3kT Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 78Tetapi, eksperimen tidak menunjukkan adanya kebergantungan χ terhadap T. Hal iniberarti model elektron bebas klasik tidak dapat menerangkan tentang mengapa χuntuk paramagnet elektron tidak bergantung pada T.3.2 MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI Untuk memperbaiki kegagalan model elektron bebas klasik dalam menelaahsifat listrik dan magnet bahan, ditawarkan model elektron bebas yang terkuantisasi.Model ini menggunakan prinsip kuantisasi energi elektron dan prinsip eksklusi Pauliuntuk elektron yang melibatkan distribusi Fermi-Dirac. Model elektron bebas, dimana pengaruh dari semua elektron bebas yang laindan semua ion positip direpresentasikan oleh potensial V sama dengan nol sehinggagaya yang bekerja pada elektron juga sama dengan nol, secara kuantum mengambilpersamaan Schrodinger 2 − ∇ 2ψ (r ) = Eψ (r ) (3.22) 2modengan solusi fungsi elektron ψ (r ) = Ao e ik •r (3.23)dan energi elektron 2 k2 Ek = (3.24) 2moHarga k tidak dibatasi sehingga energi elektron tidak terkuantisasi. Tetapi bilaelektron bebas tersebut bergerak dalam suatu kubus dengan rusuk L, maka haruslahdipenuhi 2 ⎛ 2π ⎞ 2 k =k +k +k =⎜ 2 2 x 2 y 2 z ( ⎟ nx + n y + nz 2 2 ) (3.25) ⎝ L ⎠ n x = n y = n z = 0, ± 1, ± 2, ... Dalam ruang k, setiap keadaan elektron direpresentasikan oleh volumesebesar (2π/L)3, yaitu masing-masing untuk Δnx=Δny=Δnz=1. Semua keadaan Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 79 (k + k y + k z2 ) terletak pada permukaan bola 2elektron yang berenergi E k = 2 x 2 2moberkari-jari k yang memenuhi ( k 2 = k x2 + k y + k z2 = 2 ) 2mo 2 EkSedangkan semua keadaan elektron yang berenergi antara E dan E+dE terletak dalamkulit bola dengan jari-jari antara k dan k+dk dan volume 4πk2dk. Dengan demikian,jumlah keadaan elektron 4π k 2 dk L3 k 2 = (2π L) dk 3 2π 2Apabila diperhitungkan dua spin elektron, maka jumlah tersebut menjadi L3 k 2 dk π2Mengingat ungkapan E=ћ2k2/2mo, maka jumlah keadaan elektron persatuan volumeyang berenergi antara E dan E+dE adalah 3/ 2 k2 1 ⎛ 2 mo ⎞ g ( E ) dE = 2 dk = ⎜ ⎟ E 1 / 2 dE (3.26) π 2π 2 ⎝ 2 ⎠ Prinsip Pauli menyatakan bahwa dalam satu sistem fisis tidak boleh terdapatdua elektron atau lebih yang mempunyai perangkat bilangan kuantum yang tepatsama. Prinsip larangan ini dipenuhi oleh elektron yang mengikuti fungsi distribusiFermi-Dirac 1 f (E) = ( E − E F ) / kT (3.27) 1+ ePada suhu T=0 K, energi Fermi diungkapkan dalam bentuk EF(0); dan fungsidistribusi Fermi-Dirac 1 untuk E < EF(0) → f ( E ) = =1 1 + e −∞ 1 untuk E > EF(0) → f ( E ) = =0 1 + e∞ Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 80Dengan kata lain, pada suhu T=0 K semua tingkat energi E<EF(0) terisi penuhelektron dan E>EF(0) kosong. Sedangkan pada suhu T>0 K berlaku untuk E < EF → f(E) < 1 untuk E = EF → f(E) = 1/2 untuk E > EF → f(E) > 0Hal ini berarti pada T>0 K tingkat energi di atas EF sudah terisi sebagian dan dibawah EF menjadi kosong sebagian. Model elektron bebas terkuantisasi mengambil andaian sebagai berikut.a. Kristal logam digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip (yang membentuk kisi kristal) dan elektron bebas yang bergerak dalam volume kristal.b. Elektron bebas tersebut memenuhi kaidah fisika kuantum, yaitu mempunyai energi terkuantisasi dan mematuhi larangan Pauli, yang secara menyatu dirangkum dalam ungkapan rapat elektron dn = n(E) dE = f(E) g(E) dE (3.28) Dengan mensubstitusikan (3.27) dan (3.26) diperoleh ungkapan rapat elektron sebagai fungsi dari energi elektron dan suhu sistem 3/ 2 1 ⎛ 2mo ⎞ E1/ 2 dn = ⎜ ⎟ dE (3.29) 2π 2 ⎝ 2 ⎠ 1 + e ( E − EF ) / kTc. Pengaruh medan ion positip dapat diabaikan karena energi kinetik elektron bebas sangat besar.d. Pada permukaan batas antara logam dan vakum yang mengelilinginya terdapat suatu potensial penghalang φ yang harus diloncati oleh elektron bebas paling energetik pada suhu T=0 K (energi EF) untuk dapat meninggalkan permukaan batas logam.3.2.1 Sumbangan Elektron Bebas pada Harga CV Rapat elektron pada suhu T=0 K E 3/ 2 3/ 2 ∞ ∞ Fo 1 ⎛ 2m ⎞ 1 ⎛ 2mo E F (0) ⎞n = ∫ n( E )dE = ∫ f ( E ) g ( E )dE = ∫ ⎜ o ⎟ E 1 / 2 dE = ⎜ ⎟ (3.30) 2 ⎜ 2 ⎟ 2⎜ 2 ⎟ 0 0 0 2π ⎝ ⎠ 3π ⎝ ⎠ Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 81dan rapat energi pada suhu T=0 K E 3/ 2 3/ 2 ∞ ∞ Fo 1 ⎛ 2m ⎞ 1 ⎛ 2m o ⎞U o = ∫ Edn = ∫ Ef ( E ) g ( E )dE = ∫ E ⎜ o ⎟ E 1 / 2 dE = ⎜ ⎟ E F / 2 (0) (3.31) 5 ⎜ 2 ⎟ 2⎜ 2 ⎟ 0 0 0 2π 2 ⎝ ⎠ 5π ⎝ ⎠Bila dinyatakan dalam rapat elektron (3.30) di atas, maka 3 Uo = nE F (0) (3.32) 5Sedangkan rapat energi elektron pada suhu T>0 K ∞ ∞ 3/ 2 1 1 ⎛ 2mo ⎞ U = ∫ Ef ( E ) g ( E )dE = ∫ E ( E − E F ) / kT ⎜ ⎟ E 1 / 2 dE 0 0 1+ e 2π 2 ⎝ 2 ⎠ 3/ 2 ∞ (3.32) 1 ⎛ 2mo ⎞ E 3/ 2 = ⎜ ⎟ 2π 2 ⎝ 2 ⎠ ∫ 1 + e (E − EF ) / kT dE oUntuk menyelesaikan integral dalam (3.32) digunakan bentuk integral ∞ yj F j ( yo ) = ∫ dy o 1 + e ( y − yo )yang mempunyai bentuk asymtotik untuk yo besar dan berharga positip y oj +1 ⎛ π 2 j ( j + 1) ⎞ F j ( yo ) ≅ ⎜1 + + ... ⎟ (3.33) j +1⎝ ⎜ 6 yo 2 ⎟ ⎠Diketahui bahwa ungkapan energi Fermi sebagai fungsi suhu adalah ⎛ E F = E F (0)⎜1 − (π kT )2 ⎞ ⎟ (3.34) ⎜ 12 E 2 (0) ⎟ ⎝ F ⎠Karena bentuk [(π kT ) 2 / E F (0)] sangat kecil dibandingkan dengan satu, maka EF 2selalu dapat diganti dengan EF(0). Dengan memakai bentuk (3.33), (3.34) dan deretbinomial (1+x)p, serta memperhatikan ungkapan (3.31) dan (3.30), maka rapat energi(3.32) di atas dapat dihitung dan hasilnya adalah nπ 2 k 2T 2 U ≅ Uo + (3.35) 4EFsehingga kapasitas panas elektron bebas Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 82 nπ 2 k 2T (CV )el = ∂U / ∂T = (3.36) 2EFApabila kapasitas panas elektron bebas model klasik (CV )el (persamaan (3.13)), maka ungkapan (3.36) untuk satu mol zat menjadi π 2 kT (CV ) el = (CV ) el (3.37) 3E FTampak bahwa sumbangan elektron bebas pada harga CV untuk kristal diperkecildengan faktor [π2kT/3EF] dari harga klasiknya. Untuk harga EF=5 eV dan T=300 K,maka hal ini sesuai dengan hasil pengukuran bahwa faktor pengecil tersebut kira-kiraberorde 10-2. Dapatlah disimpulkan bahwa sumbangan elektron bebas pada harga CV suatulogam sangatlah kecil, terutama pada suhu yang sangat tinggi. Tetapi sumbangantersebut akan dominan pada suhu yang cukup rendah. Pada suhu jauh di bawah suhu Debye θD dan suhu Fermi TF, kapasitas panassuatu logam dapat ditulis sebagai jumlah sumbangan elektron bebas dan fonon, yakni CV = γ T + A T3 (3.38)dimana γ dan A merupakan konstanta karakteristik bahan. Secara eksperimen dapatdibuat grafik CV/T terhadap T2 sehingga γ dan A bisa ditentukan.3.2.2 Paramagnetik Pauli Apabila terdapat suatu medan magnet luar H, maka spin elektron bebas akanmenyesuaikan diri terhadap H. Energi total elektron bebas karena pengaruh medan Etot = Ekin ± μB μo H (3.39)Tanda positip untuk spin antiparalel dan negatip untuk spin paralel terhadap medan.Pengaruh medan terhadap rapat keadaan g(E) digambarkan di bawah ini. Rapatkeadaan g(E) dibagi menjadi dua bagian, yaitu spin ke atas dan ke bawah. Tanpamedan magnet luar H, keduanya simetris terhadap sumbu E. Bila terdapat medan magnet luar H, maka secara total lebih banyak elektronyang antiparalel terhadap H. Magnetisasi yang terjadi adalah Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 83 g(E) g(E) μBμoH H Ekin Ekin+mag Gambar 3.1 Variasi tingkat energi karena aplikasi medan magnet luar H ∞ ∞ M = μ B ∫ dn =μ B ∫ f ( E ){1 g ( E + μ B μ o H ) − 1 g ( E − μ B μ o H )} 2 2 dE (3.40) 0 0Bila diambil kasus untuk T=0 K, maka diperoleh μ o μ B 3n 2 M = H (3.41) 2 E FoPerhitungan di atas menggunakan relasi g(E±μoμBH)=g(E)±μoμBH(dg/dE)berdasarkan ekspansi Taylor; dan g(EF)=3n/2 EF yang diperoleh denganmenggabungkan persamaan (3.26) dan (3.30). Dengan demikian suseptibilitasmagnetiknya μ o μ B 3n 2 χ= (3.42) 2 E FoTerlihat bahwa suseptibilitas di atas tidak bergantung secara kuat terhadap suhu.Dengan harga EFo=2 eV didapatkan χ=5.10-6 yang sesuai dengan hasil eksperimen.Meskipun perhitungan di atas diambil pada suhu nol mutlak, tetapi hasilnya validdalam rentang suhu yang cukup besar.3.2.3 Konduktivitas Listrik dalam Logam Elektron yang mempunyai mobilitas besar untuk pindah ke keadaan elektronyang lain adalah elektron yang berenergi E sedemikian sehingga f(E)<1. Hal initerjadi di daerah E∼EF. Elektron yang demikian akan mengalir bila dikenai medanlistrik. Hubungan rapat arus J dan medan listrik ε dinyatakan oleh hukum Ohm Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 84 J =σε (3.43)dimana σ adalah konduktivitas listrik. Bila rapat elektron n dan kecepatan hanyutelektron vd, maka rapat arus dapat juga diungkapkan dalam bentuk J = n e vd Dalam kesetimbangan termal, distribusi elektron berada dalam keadaanmapan (steady state) no (v ) , yang tidak bergantung waktu. Dalam ruang kecepatan,distribusi no (v ) mempunyai simetri bola, dan dinamakan bola Fermi (dengan radiuslaju Fermi vF), serta permukaannya disebut permukaan Fermi. Kecepatan elektronbersifat acak, dan berkaitan dengan energi melalui ungkapan E = ½ m v2direpresentasikan oleh semua titik dalam bola. Arus total nol karena setiap elektronyang berkecepatan v selalu berpasangan dengan yang berkecepatan –v. Kecepatanelektron sangat besar di permukaan Fermi. Permukaan Fermi tidak begitu dipengaruhioleh suhu. Bila suhu naik, hanya sedikit elektron yang melintasinya. Perlu diketahui bahwa pengukuran eksperimen menunjukkan bahwapermukaan Fermi berbentuk bola terdistorsi, sebagai akibat dilibatkannya interaksielektron dan kisi. Hal ini akan dijelaskan dalam bab selanjutnya. Bila terdapat medan listrik, misalnya, εX searah sumbu-X, maka distribusielektron berubah menjadi n(v ) . Perubahan ini mempunyai komponen posisi danwaktu. Dalam hal ini bola Fermi bergeser ke arah (-X), seperti ditunjukkan olehGambar 3.2 berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 85 Gambar 3.2 a. Bola Fermi saat setimbang b. Pergeseran bola Fermi saat dikenakan medanDiambil asumsi bahwa kecepatan pergeseran titik pusat oleh kehadiran medan luar inisangat kecil bila dibandingkan dengan vrms. Bila ε homogen (besar dan arahnya), maka perubahan distribusi elektronhanya dipengaruhi oleh komponen waktu. Proses yang terjadi adalah adanyaperubahan distribusi elektron karena pengaruh medan luar ε dan adanya proseshamburan yang ingin memulihkannya ke keadaan semula. Penggabungan keduaproses ini menghasilkan persamaan kontinuitas ∂n(v ) eε n ( v ) − n o (v ) + • ∇ V n(v ) + =0 (3.44) ∂t mo τdengan τ adalah waktu relaksasi. Ungkapan ini sering disebut persamaan transportBoltzmann. Dalam keadaan mapan ( ∂n(v ) / ∂t = 0 ) persamaan (3.44) menjadi τe n(v ) = n o (v ) − ε • ∇ V n(v ) (3.45) mo ˆDalam kasus di atas diambil ε = ε X i sehingga persamaan (3.45) menjadi τ e ε X ∂n(v ) n(v ) = n o (v ) − (3.46) mo ∂v XRapat arus listrik yang terjadi J X = ∫ ev X n(v )dv X dv y dv z ∞ ⎡ τ e ε X ∂n(v ) ⎤ (3.47) =∫ ∫∞∫ ev X ⎢no (v ) − mo ∂v X ⎥dv X dv y dv z − ⎣ ⎦Integral suku pertama persamaan (3.47) menghasilkan nol karena kecepatan rata-ratav X = 0 dalam no (v ) . Dengan demikian rapat arus (3.47) menjadi ∞ e 2ε X ∂n(v ) JX =− mo ∫ ∫∫v −∞ X ∂v X dv X dv y dv z (3.48)Mengingat bahwaa. τ= /v, dimana adalah lintas bebas rata-rata antara dua tumbukan, Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 86b. v 2 = v X + vY + v Z , dan 2 2 2c. gerak elektron secara acak sehingga v X = 1 v 2 2 3maka ungkapan rapat arus 3.48) berubah menjadi ∞ 4πe 2 ε X ∂no (v ) JX = − 3mo ∫ 0 v ∂v dv (3.49)Dari rapat elektron (3.29), setelah mengganti variabel E menjadi v , diperolehdistribusi elektron no (v ) tidak lain adalah 3 ⎛m ⎞ no (v ) = 2⎜ o ⎟ f ( E ) (3.50) ⎝ h ⎠Substitusi persamaan (3.50) dan setelah diadakan perubahan variabel v menjadi E,maka rapat arus (3.49) menjadi ∞ 16πe 2 mo ⎛ ∂f ( E ) ⎞ JX = ε X ∫ E⎜ − ⎟dE (3.51) 3h 0 ⎝ ∂E ⎠Dengan demikian, mengingat hubungan (3.43) diperoleh konduktivitas listrik ∞ 16πe 2 mo ⎛ ∂f ( E ) ⎞ σ= 3h ∫ 0 E⎜ − ⎝ ∂E ⎠ ⎟dE (3.52)Untuk suhu T=0 K, harga (-∂f(E)/∂E) berupa fungsi delta Dirac δ sehingga integraldalam (3.52) ∞ ⎛ ∂f ( E ) ⎞ ∫ 0 E⎜ − ⎝ ∂E ⎠ ⎟dE = EF EFdan dengan menggunakan ungkapan rapat elektron (3.30), maka ungkapankonduktivitas listrik (3.52) di atas menjadi ne 2 ne 2τ F σ= = EF (3.53) mo v E F modimana τF adalah waktu relaksasi sebuah elektron pada bola Fermi. Ungkapankonduktivitas listrik di atas, ternyata, bentuknya sama dengan hasil teori Drude yanglalu. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 87 Baik teori Drude maupun model elektron bebas terkuantisasi mengemukakanbahwa konduktivitas listrik hanya berbanding lurus dengan konsentrasi elektron.Namun beberapa logam dengan konsentrasi elektron lebih tinggi, justru menunjukkannilai konduktivitas lebih rendah. Disamping itu, sebenarnya fakta menunjukkannahwa konduktivitas listrik bergantung pada suhu, dan juga arah.3.3 PERILAKU ELEKTRON DALAM LOGAM3.3.1 Hukum Matthiessen Konduktivitas listrik logam bergantung pada suhu biasanya dibahas dalambentuk perilaku resistivitas ρ terhadap suhu T. diketahui bahwa ρ=σ--1 sehinggaberdasarkan konduktivitas (3.53), maka resistivitas dapat ditulis m* 1 ρ= 2 (3.54) ne τ Elektron mengalami suatu tumbukan hanya karena ketidaksempurnaanketeraturan kisi. Ketidaksempurnaan tersebut dapat berupa (a) vibrasi kisi (fonon)dari ion di sekitar titik setimbang karena eksitasi termalnya, dan (b) semuaketidaksempurnaan statik, seperti ketidakmurnian atau cacat kristal. Jika mekanismekeduanya dianggap saling bebas satu sama lain, maka dapatlah diungkapkan 1/τ = 1/τf + 1/τi (3.55)dimana suku pertama ruas kanan disebabkan oleh fonon dan suku kedua olehketakmurnian. Dengan demikian, substitusi (3.55) ke dalam (3.34) menghasilkanungkapan resistivitas m* 1 m* 1 ρ (T ) = ρ f (T ) + ρ i = + 2 (3.56) ne 2 τ f ne τ iUngkapan ini disebut hukum Matthiessen. Tampak bahwa ρ terdiri dari dua bentuk,yaitua. resistivitas ideal ρf(T) karena hamburan elektron oleh fonon, sehingga bergantung pada suhu, dan Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 88b. resistivitas residual ρi karena hamburan elektron oleh ketakmurnian (yang tidak bergantung pada suhu). Pada suhu sangat rendah, hamburan oleh fonon dapat diabaikan karenaamplitudo sangat kecil; dalam hal ini τf→∞ dan ρf=0 sehingga ρ(T)=ρi berhargakonstan dan nilainya sebanding dengan konsentrasi ketidakmurnian. Pada suhu yangcukup besar, hamburan oleh fonon menjadi dominan sehingga ρ(T)≅ρf(T). Pada suhutinggi (termasuk suhu ruang), ρf(T) naik secara linier terhadap T sampai logammencapai titik leleh. Tetapi, pada suhu rendah resistivitasnya sebanding dengan T5. Keadaan di atas sesuai dengan data eksperimen untuk logam Na berikut. Pada T=0 K, ρ berharga kecil konstan; sedangkan untuk suhu di atasnya ρ naik secara perlahan pada awalnya dan berikutnya secara linier terhadap T. Pada gambar disamping ρ(290 K) = 2,1.10-8 Ωm. Gambar 3.3 Resistivitas ρ(T)/ρ(290) terhadap T logam Na untuk suhu rendah Gejala penyimpangan terhadap hukum Matthiessen disebut efek Kondo.Misalnya, ρ memiliki harga minimum pada suhu rendah pada sejumlahketidakmurnian Fe yang dilarutkan dalam Cu. Sifat anomali ini terjadi karenahamburan tambahan elektron oleh momen magnet dari pusat ketidakmurnian.3.3.2 Efek Hall Efek Hall dapat dibahas dengan pendekatan model elektron bebas klasik.Perhatikanlah Gambar 3.4 berikut. Pada suatu balok logam bekerja dua medan yangsaling tegak lurus, yaitu medan listrik εX dan medan magnet BZ. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 89 Arus IX mengalir searah εX. akibat pengaruh medan BZ, lintasan elektronmembelok ke bawah, sehingga terkumpul banyak elektron di bagian bawah logam.Dalam waktu bersamaan, terjadi muatan positip di bagian atas karena kekuranganelektron. Dengan demikian terjadilah medan listrik Hall εY. apabila keadaan sudahstasioner, maka εY konstan dan elektron bergerak dalam arah vX. Y εx Z + + + + + + + εy X - - - - - - - vx=kec elektron Bz Gambar 3.4 Efek Hall Dalam keadaan setimbang resultan gaya yang bekerja pada elektron (gayaCoulomb dan Lorentz) sama dengan nol eε Y − ev X BZ = 0 → ε Y = v X BZrapat arus dalam arah εX JX = - n e vXsehingga diperoleh harga konstanta Hall εY 1 RH = =− (3.57) J X BZ neDengan mengukur εY, JX dan BZ, maka rapat elektron konduksi n dapat ditentukan. Efek Hall dapat dipergunakan untuk menentukana. macam rapat pembawa muatan (positip atau negatip), danb. rapat elektron konduksi yang berperan dalam proses penghantaran muatan. Ungkapan koefisien Hall di atas menunjukkan nahwa RH berharga negatip danhanya bergantung pada rapat elektron. Hasil percobaan menunjukkan bahwa padasuhu kamar logam-logam Li, Na, Cu, Ag, dan Au berturut-turut memiliki konstantaHall –1,7.10-10, –2,5.10-10, –0,55.10-10, –0,84.10-10, dan –0,72.10-10 volt.m3/A. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 90 Tetapi fakta lain menunjukkan bahwa terdapat beberapa logam mempunyaiRH positip, dan bahwa RH, umumnya, bergantung pada suhu, waktu relaksasi danbesar medan magnet. Misalnya, logam Zn, dan Cd, masing-masing memilikikonstanta Hall sebesar +0,3.10-10, dan +0,6.10-10 volt.m3/A. Hal ini menunjukkanbahwa pembawa muatan dalam keduanya adalah lubang (hole). Mobilitas elektron μ didefinisikan sebagai besarnya kecepatan rambatelektron persatuan medan listrik μ=v/ε. Dari rapat arus J=nev=neμε sehingga dapatdibentuk hubungan 1 − σ RH = neμ =μ (3.58) neJadi secara eksperimen dengan mengukur konduktivitas listrik σ dan koefisien HallRH, maka mobilitas elektron μ dapat ditentukan.3.3.3 Resonansi Siklotron Perhatikanlah Gambar 3.5 berikut. B sinyal elektromagnet Gambar 3.5 Gerakan siklotronMedan magnet menyebabkan elektron bergerak melingkar berlawanan arah jarumjam dalam bidang normal medan. Frekuensi gerak siklotron yang terjadi eB ωC = (3.59) m* Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 91 Jika sinyal elektromagnet diarahkan tegak lurus B, maka elektron menyerapenerginya. Kecepatan absorbsi terbesar terjadi saat frekuensi sinyal benar-benar samadengan frekuensi siklotron ω = ωC (3.60)Masing-masing elektron bergerak sempurna sepanjang lingkaran sehingga absorbsiterjadi secara kontinu sepanjang lintasan. Kondisi ini disebut resonansi siklotron. Jikaω ≠ ωC, maka absorbsi sinyal hanya terjadi pada sebagian gerak elektron. Agargerakan elektron tetap melingkar, maka elektron harus mengembalikan energi yangtelah diserapnya. Bentuk kurva absorbsi ditunjukkan dalam Gambar 3.6 berikut. α ω ωc Gambar 3.6 Sketsa koefisien absorbsi terhadap frekunsiDari kurva absorbsi dapat diperoleh frekuensi siklotron ωC. Dengan demikian massaelektron m* dapat diukur.3.3.4 Pancaran Thermionik Model elektron bebas terkuantisasi memiliki skema tingkat energi berikut. elektron eφ EF Gambar 3.7 Pancaran thermionik Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 92Pada T=0 K semua tingkatan terisi sampai tingkat energi Fermi EF. Di atas tingkat EFterdapat tingkat energi penghalang eφ sampai permukaan, yang dikenal sebagaifungsi kerja logam. Dengan demikian untuk dapat meninggalkan logam, misalkandalam arah-X, elektron harus memiliki energi 2 pX ≥ E F + eφ (3.61) 2mo Dalam statistik Fermi-Dirac, rapat elektron yang berkecepatan antara(vX,vY,vZ) sampai (vX+dvX, vY+dvY, vZ+dvZ) adalah sama dengan ungkapan distribusi(3.50), yaitu ( ) −1 ⎛ mo ⎞ ⎛ ⎡ m v 2 + vY + v Z ⎤ ⎞ 3 2 2n(v X , vY , v Z ) dv X dvY dv Z = 2⎜ ⎟ ⎜1 + eksp ⎢ o X ⎥ ⎟ dv X dvY dv Z (3.62) ⎝ h ⎠ ⎜ ⎝ ⎣ 2kT ⎦⎠ ⎟Pancaran thermionik hanya mungkin terjadi pada energi yang sangat tinggi, sehinggaangka satu dalam penyebut persamaan (3.62) di atas dapat diabaikan. Oleh karena itudistribusi rapat elektron (3.62) menjadi − o (v X + vY + vZ ) 3 ⎛m ⎞ m2 2 2 n(v X , vY , v Z ) dv X dvY dv Z = 2⎜ o ⎟ e EF / kT e kT dv X dvY dv Z (3.63) ⎝ h ⎠ Rapat elektron dalam arah-X yang berkecepatan antara vX dan (vX+dvX) ⎛∞ ⎞ n(v X ) dv X = ⎜ ∫ ∫ n(v X , vY , v Z )dvY dv Z ⎟dv X ⎜ ⎟ ⎝ −∞ ⎠ (3.64) 4π mo kT EF / kT − 2 kT v 2 2 o m = X 3 e e dv X hUntuk dapat meninggalkan batas permukaan, berdasarkan ungkapan (3.61) elektronharus memiliki kecepatan awal minimal 2 E F + 2eφ vX = (3.65) moDisamping itu, pada permukaan batas kemingkinan terjadi proses pemantulankembali sebanyak r. Oleh karena itu rapat arus total dalam arah-X Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 93 ∞ 4π mo kT 2 m − o v2 JX = (1 − r )e EF / kT ∫ ev X e 2 kT dv X X 3 h vX (3.66) = A(1 − r )T 2 e −eφ / kTdengan A=(4πmok2e)/(h3)=1,2.106 Amp/m2 K2. Ungkapan ini dikenal sebagaipersamaan Richardson-Dushman untuk pancaran thermionik. Jika persamaan di atasditulis dalam bentuk logaritma-natural ln (JX/T2) = ln A + ln (1-r) - eφ/kTmaka dengan membuat grafik ln(JX/T2) terhadap 1/T akan diperoleh harga φ dan (1-r).Harga fungsi kerja beberapa logam yang diperoleh dari pengukuran emisi termionikadalah 4,5; 4,2; 4,6; 4,8; 1,8; dan 5,3 eV, masing-masing untuk W, Ta, Ni, Ag, Csdan Pt. Secara eksperimental pancaran thermionik ini dilakukan dalam tabung hampa,dimana terdapat anoda yang mengumpulkan elektron yang dipancarkan oleh katoda.3.4 KEBERATAN TERHADAP MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI Gejala fisis yang diprediksi oleh model elektron bebas, ternyata, ada yangmenyimpang dari data pengamatan. Kelemahan ini telah dikemukakan secara singkatdalam masing-masing bahasannya, yaitu antara lain sebagai berikut.a. Konduktivitas listrik yang hanya bergantung pada konsentrasi elektron. Padahal fakta menunjukkan bahwa logam divalent (Be, Cd, Zn, dan lain-lain), dan bahkan logam trivalent (Al, dan In) memiliki konduktivitas lebih rendah daripada logam monovalen (Cu, Ag, dan Au) meskipun konsentrasi elektron lebih banyak.b. Koefisien Hall selalu berharga negatip. Padahal beberapa logam menunjukkan konstanta Hall positip, seperti Be, Zn, dan Cd.c. Permukaan Fermi mempunyai simetri bola. Padahal pengukuran kadang-kadang menunjukkan permukaan Fermi berbentuk non-simetri bola. Model elektron bebas mengandaikan elektron berada dalam kotak potensialsederhana V(x) yang sama untuk seluruh logam (biasanya V(x)=0), dan hanya pada Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 94permukaan batas ada potensial penghalang φ yang menghindarkan semua elektronbebas untuk meninggalkan permukaan logam. Dengan pengandaian ini, makainteraksi antara elektron dan ion dianggap sebagai benturan mekanis elastik. Tidakada interaksi listrik antara ion dan elektron, karena interaksi ini telah termaksuddalam potensial V(x)=tetap di atas. Model pengandaian benturan elastik di atas, memberikan suatu nilai (lintasbebas rata-rata) yang panjang dibandingkan dengan jarak rata-rata antarion dalamkristal logam. Hal inilah yang, barangkali, menyebabkan bahasan “aliran” elektrondalam logam kurang bisa memprediksi kenyataan. RINGKASAN01. Logam mengandung elektron bebas (konduksi), dengan konsentrasi besar, yang dapat bergerak dalam keseluruhan volume kristal. Jika ρm dan ZV, masing-masing adalah kerapatan bahan dan valensi atom, maka konsentrasi elektron bebas ρm N A tersebut adalah n = Z V M02. Teori Drude (1900) tentang elektron dalam logam adalah bahwa dalam logam terdapat elektron bebas, yang membentuk sistem gas elektron klasik, yang bergerak acak dalam kristal dengan kecepatan random vo karena energi termal dan berubah arah geraknya setelah bertumbukan dengan ion logam. Karena massanya yang jauh lebih besar, maka ion logam tidak terpengaruh dalam tumbukan ini. e 2 nτ Teori Drude menghasilkan ungkapan konduktivitas listrik σ = dan termal mo 3 nk 2Tτ K= . Hal lain yang didapat adalah bahwa konsentrasi elektron 2 mo Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 95 berbanding terbalik dengan akar suhu mutlak n ∼ T-1/2. Ungkapan terakhir ini tidak sesuai dengan fakta, dan menyebabkan teori Drude tidak memadai.03. Model elektron bebasa klasik tentang logam mengambil andaian bahwa elektron bebas diperlakukan sebagai gas, yang masing-masing bergerak secara acak dengan kecepatan termal, pengaruh medan potensial ion diabaikan, karena energi kinetik elektron bebas sangat besar, dan lektron hanya bergerak dalam kristal karena adanya penghalang potensial di permukaan batas. Teori ini gagal menerangkan kapasitas panas sumbangan elektron bebas pada suhu tinggi dan Suseptibilitas magnetik.04. Model elektron bebas yang terkuantisasi menggunakan prinsip kuantisasi energi elektron dan prinsip eksklusi Pauli, pengaruh medan ion positip dapat diabaikan karena energi kinetik elektron bebas sangat besar dan pada permukaan batas antara logam dan vakum yang mengelilinginya terdapat suatu potensial penghalang φ yang harus diloncati oleh elektron bebas paling energetik pada suhu T=0 K (energi EF) untuk dapat meninggalkan permukaan batas logam.05. Menurut model elektron bebas yang terkuantisasi, ungkapan kapasitas panas nπ 2 k 2T elektron bebas adalah (CV )el = yang sesuai dengan hasil eksperimen. 2E F μ o μ B 3n 2 Sedangkan untuk suseptibilitas magnetik diperoleh χ = yang cocok juga 2 E Fo dengan hasil eksperimen. Model ini juga menghasilkan ungkapan konduktivitas listrik yang sama dengan yang diperoleh teori Drude.06. Hukum Matthiessen membahas resistivitas elektron dalam logam dikarenakan dua hal, yaitu hamburan elektron oleh fonon (bergantung pada suhu) dan oleh ketakmurnian (tidak bergantung pada suhu). Pada suhu sangat rendah, hamburan oleh fonon dapat diabaikan. Sedangkan pada suhu yang cukup besar, hamburan oleh fonon menjadi dominan.07. Efek Hall dapat dipergunakan untuk menentukan macam rapat pembawa muatan (positip atau negatip), dan rapat elektron konduksi yang berperan dalam proses Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 96 penghantaran muatan. Eksperimen efek Hall menggunakan sampel yang dialirkan arus dan medan magnet secara tegak lurus. Karena adanya gaya Coulomb dan Lorentz, maka pada keadaan kesetimbangan terjadi beda potensial Hall.08. Resonansi siklotron digunakan untuk mencari massa efektif elektron. Pada sampel dikenakan sinyal elektromagnet dan medan magnet B, yang saling tegak lurus. Elektron menyerap energi gelombang elektromagnet. Kecepatan absorbsi terbesar terjadi saat frekuensi sinyal benar-benar sama dengan frekuensi siklotron.09. Pancaran thermionik adalah gejala keluarnya arus elektron dari bahan karena suhu. Kegunaan pancaran thermionik adalah untuk menentukan fungsi kerja logam dan koefisien pantul elektron pada permukaan bahan.10.Gejala fisis yang diprediksi oleh model elektron bebas, yang menyimpang dari data pengamatan, antara lain konduktivitas listrik yang hanya bergantung pada konsentrasi elektron, koefisien Hall selalu berharga negatip, dan permukaan Fermi mempunyai simetri bola. Penyimpangan ini akan diperbaiki oleh bahasan teori Pita Energi, bab selanjutnya, yaitu manakala potensial inti berpengaruh terhadap perilaku elektron konduksi. LATIHAN SOAL BAB III01. Jelaskan perbedaan antara elektron terlokalisasi dan terdelokalisasi dalam padatan!02. Tembaga memiliki kerapatan massa ρm=8,95 gr/cm3 dan resistivitas listrik ρ=1,55.10-8 Ωm pada suhu kamar. Jika diasumsikan massa efektif m*=mo, maka hitunglah a. konsentrasi elektron konduksi n! b. waktu bebas rata-rata τ! c. energi Fermi EF! d. suhu Fermi TF! e. kecepatan Fermi vF! Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 97 f. jalan bebas rata-rata pada tingkat Fermi F! g. persentase elektron yang mengalami eksitasi di atas tingkat Fermi pada suhu kamar!03. Natrium memiliki koefisien ekspansi volume 15.10-5/K. Hitunglah persentase perubahan energi Fermi EF jika suhu dinaikkan dari 0 K sampai 300 K!04. Tembaga mempunyai suhu Einstein θE=240 K. Dengan menggunakan harga energi Fermi soal 02), hitunglah perbandingan kapasitas panas elektron terhadap kisi pada suhu T=0,3 K, T=4 K, T=20 K, T=77 K dan T=300 K!05. Anggaplah bahwa energi Fermi EF=5 eV dan tidak bergantung suhu. Berapakah harga energi untuk fungsi Fermi-Dirac f(E)=0,5 , f(E)=0,7 , f(E)=0,9 dan f(E)=0,95 pada suhu kamar!06.a. Buktikan bahwa kapasitas panas kisi dan elektronik berharga sama pada suhu 5θ D 3 TC = ! 24π 2TF b. Hitunglah suhu soal a) untuk logam Ag yang mempunyai suhu Debye θD=225 K dan suhu Fermi TF=6,4.104 K! c. Tunjukkan bahwa pada suhu T<TC kapasitas panas elektronik lebih besar daripada kapasitas panas kisi; dan sebaliknya pada T>TC!07. Jika padatan natrium mempunyai energi Fermi EF=3,12 eV, maka berapakah suseptibilitas paramagnet Paulinya?08. Tembaga mempunyai konstanta Hall RH=-0,55.10-10 Vm3/A. Hitunglah konsentrasi elektronnya!09. Dalam suatu sampel tembaga didapati kecepatan hanyut elektron 2,16 m/s dalam medan listrik 500 V/m. Hitunglah a. mobilitas elektron! b. waktu relaksasi (anggaplah m*=mo)! Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 3 MODEL ELEKTRON BEBAS 9810. Resistivitas listrik suatu sampel tembaga adalah 1,77.10-8 Ωm. Tembaga berstruktur FCC dengan sisi kubus 3,61 Å dan masing-masing atom menyumbangkan satu elektron bebas. Tentukanlah a. waktu relaksasi! b. kecepatan rata-rata elektron dalam medan 100 V/m!11. Logam emas mempunyai kerapatan massa 19,3.103 kg/m3. Jika masing-masing atomnya menyumbangkan satu elektron untuk menghasilkan arus, maka hitunglah koefisien Hall dalam logam tersebut!12. Pengamatan resonansi siklotron dalam tembaga terjadi pada frekuensi 24 GHz. Jika untuk tembaga m*=mo, maka hitunglah medan magnet yang digunakan!13. Sesium mempunyai fungsi kerja 1,8 eV. Hitunglah rapat arus emisi thermionik pada suhu 500 K, 1000 K, 1500 K dan 2000 K! (anggaplah tidak ada elektron yang terpantul di permukaan)14.a. Buktikan bahwa emisi thermionik mencapai maksimum bila suhu T=eφ/2k! b. Berapakah suhu soal a) untuk logam Cs dengan fungsi kerja 1,8 eV? Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • B A B IV ELEKTRON DALAM LOGAM II (TEORI PITA ENERGI) Bahasan gerakan elektron dalam logam dengan menggunakan model elektronbebas, seperti bab sebelumnya, adalah terlalu sederhana karena potensial kristal tidakdiperhitungkan. Model elektron bebas tidak bisa menjelaskan beberapa gejala fisis,seperti membedakan antara logam, semilogam, semikonduktor dan isolator; koefisienHall berharaga positip; hubungan elektron konduksi dalam logam dengan elektronvalensi atom bebas; dan berbagai gejala transport. Oleh karena itu, bab ini menelaahpengaruh potensial kristal terhadap elektron dalam padatan. Bagian awal bab ini menyajikan teori pita energi secara agak rinci. Perilakuelektron dalam pengaruh potensial periodik kristal memenuhi teorema Bloch.Bahasan teori ini menunjukkan bahwa spektrum energi merupakan pita kontinu. Halini berbeda dengan spektrum energi atom yang bersifat diskrit. Di antara pita energiterdapat celah energi yang merupakan daerah terlarang bagi perilaku gelombangelektron. Disamping itu, teori ini mampu menunjukkan perbedaan antara logam danisolator. Elektron dalam kristal selalu dalam keadaan bergerak. Berdasarkan ungkapanenergi, maka dapat dibahas kecepatan dan massa efektif elektron. Juga, dibahaspengaruh medan listrik pada gerakan elektron sehingga menghasilkan rumusankonduktivitas listrik elektron yang lebih umum. Apabila pengaruh medan potensialkristal terhadap elektron diabaikan, maka rumusan konduktivitas umum ini dapatdireduksi menjadi konduktivitas seperti bab yang lalu. Akhirnya, bab ini menyajikan perilaku elektron dalam medan magnet.Bahasan ini mencakup efek Hall dan resonansi siklotron.
  • 4 TEORI PITA ENERGI 994.1 TEORI PITA ENERGI UNTUK ZAT PADAT Apabila deretan ion tersusun teratur dan membentuk kisi kristal, maka energipotensial kristalnya berubah secara periodik sesuai dengan periodisitas kisi tersebut.“Dilihat” oleh elektron, potensial kristal tersebut seperti disajikan pada Gambar 4.1berikut. Gambar 4.1 Potensial sebagai fungsi jarak sepanjang garis inti atomElektron yang dapat bergerak bebas di antara ion adalah elektron yang berada di ataspotensial penghalang. Teori pita energi zat padat mengajukan model tentang elektron dalam kristaldengan asumsi sebagai berikut.a. Terdapat energi potensial V (r ) yang tidak sama dengan nol di dalam kristal dengan keberkalaan kisi kristal.b. Fungsi gelombang ψ (r ) dibuat berdasarkan kisi sempurna dan dimana dianggap bahwa kisi tidak bervibrasi secara termal.c. Teori pita energi dikembangkan dari bahasan perilaku elektron tunggal di bawah pengaruh suatu potensial periodik V (r ) yang merepresentasikan semua interaksi, baik dengan ion kristal maupun dengan sesama elektron lain.d. Bahasan elektron tunggal dapat menggunakan persamaan Schrodinger untuk satu elektron 2 − ∇ 2ψ (r ) + V (r )ψ (r ) = Eψ (r ) (4.1) 2mo dengan ketentuan bahwa pengisian keadaan elektron yang diperoleh menganut distribusi Fermi-Dirac. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 1004.1.1 Teorema Bloch Menurut Bloch, persamaan Schrodinger untuk suatu potensial denganperiodisitas translasi kisi ( ) V r + R = V (r ) (4.2)dimana R adalah vektor kisi, mempunyai solusi berbentuk ψ k ( r ) = u k ( r ) e ik • r (4.3)dengan u k (r ) merupakan suatu fungsi yang juga mempunyai simetri translasi kisi ( ) u k r + R = u k (r ) (4.4)Fungsi Bloch merupakan gelombang bidang berjalan yang dimodulasi oleh medanpotensial periodic, dan ungkapan teorema Bloch, yaitu “Fungsi eigen dari persamaan gelombang untuk suatu potensial periodik adalah hasilkali antara suatu gelombang bidang berjalan eksp (ik • r ) dan suatu fungsi modulasi u k (r ) dengan periodisitas kisi kristal”Fungsi Bloch ψ (r ) merupakan orbital kristal, yakni bersifat delokalisasi di seluruhvolume kristal. Kemampuan elektron bergerak dalam keseluruhan kristal ditandaioleh adanya bentuk gelombang bidang berjalan eksp (ik • r ) dalam fungsi Blochsehingga seperti partikel bebas. Sedangkan gerakan elektron di sekitar inti 2dideskripsikan oleh fungsi periodic. Distribusi probabilitas elektron ψ (r ) bersifatperiodik dalam kristal. Misalnya, kisi kristal satu dimensi dalam arah-X dengan perioda a, makadapatlah dikemukakan beberapa hal sebagai berikut.a. Mengingat V(x+a)=V(x), maka disamping ψ(x), juga ψ(x+a) merupakan solusi persamaan Schrodinger dengan energi E. Apabila tidak ada degenerasi, maka terdapat hubungan 2π ika k= n , n = 0,1,2,3,... ψ(x+a) = e ψ(x) dimana Na (4.5) N = titik kisi identik Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 101b. Mengingat V(x) riil, maka V*(x)=V(x). Karenanya setiap E senantiasa ada dua fungsi gelombang yang memenuhi persamaan Schrodinger, yaitu ψ*(x) dan ψ(x); dan E(k)=E(-k).c. Mengingat hubungan antara vektor kisi resiprok G dan periodisitas kisi a adalah G a = m 2π ; m = 0, ±1, ±2, … maka suatu keadaan elektron dengan vektor gelombang G memenuhi ψG(x+a) = ψG(x) (4.6) Sedangkan suatu keadaan elektron dengan vektor gelombang k = G + k memenuhi ψ k ( x + a ) = e ikaψ k ( x) (4.7) Hal ini berarti ψ k ( x) memenuhi teorema Bloch seolah-olah dengan vektor gelombang k. Dengan demikian suatu keadaan elektron tertentu mempunyai vektor gelombang tidak unik. Mengingat hubungan 2π k= G + k = m+k a ⎛ π⎞ ⎛π ⎞ maka kita bataskan saja daerah ⎜ − ⎟ ≤ k ≤ ⎜ ⎟ . Ternyata semua harga k yang ⎝ a⎠ ⎝a⎠ lain dapat dikembalikan ke dalam daerah tersebut, sehingga daerah ini disebur Zona Brillouin Pertama.4.1.2 Model Kronig-Penney Model Kronig-Penney menelaah gerak elektron dalam suatu potensial persegiperiodik, seperti Gambar 4.2 berikut. V(x) ion Vo x -b 0 a a+b 2a+b 2a+2b Gambar 4.2 Potensial persegi periodik yang dikenalkan Kronig-Penney Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 102Terlihat bahwa perioda potensial sebesar (a+b) dan ⎧ 0 , untuk 0 < x < a V =⎨ ⎩V0 , untuk − b < x < 0Oleh karena itu persamaan Schrodinger yang sesuai 2 d2 − ψ ( x) = Eψ ( x) , untuk 0 < x < a (4.8) 2m0 dx 2 2 d2 − ψ ( x) + Voψ ( x) = Eψ ( x) , untuk − b < x < 0 (4.9) 2m0 dx 2Jika kita bataskan E<Vo dan dua besaran riil 2mo E α2 = 2 (4.10) 2mo (Vo − E ) β2 = 2 (4.11)maka solusi persamaan di atas adalah untuk 0<x<a, ψ = Ae iαx + Be − iαx (4.12) untuk –b<x<0, ψ = Ce βx + De − βx (4.13)Solusi sempurna, yakni yang memenuhi fungsi Bloch (4.3), didapatkan denganmerelasikan solusi untuk a<x<(a+b) dan –b<x<0 dengan teorema Bloch ψ(a<x<(a+b)) = ψ(-b<x<0) eik(a+b) (4.14) Tetapan A, B, C dan D dipilih sedemikian sehingga ψ dan dψ/dt kontinu dix=0 dan x=a. Syarat batas di x=0 menghasilkan A+B=C+D (4.15) i α (A – B) = β (C – D) (4.16)dan syarat batas di x=a menghasilkan A eiαa + B e-iαa = (C e-βb + D eβb) eik(a+b) (4.17) iα (A eiαa - B e-iαa = β (C e-βb - D eβb) eik(a+b) (4.18)Perangkat empat persamaan (4.15) sampai (4.18) di atas memberikan solusi hanyajika determinan dari koefisien A, B, C dan D sama dengan nol. Hal ini menghasilkan Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 103 β 2 −α 2 sinh (β b )sin (α a ) + cosh (β b ) cos(α a ) = cos k (a + b ) (4.19a) 2αβHasil di atas menjadi lebih sederhana apabila potensial periodik merupakan fungsidelta Dirac, yakni Vo→∞ dan b→0, tetapi Vob→berhingga. Dalam kasus ini β>>αdan βb<<1 sehingga persamaan (4.19a) di atas menjadi ⎛ moVo b ⎞ ⎜ 2 ⎟ sin (α a ) + cos(α a ) = cos ka (4.19b) ⎝ α ⎠ ⎛m V b⎞Apabila dibataskan P = ⎜ o 2o ⎟ , maka persamaan (4.19b) menjadi ⎝ ⎠ sin (α a ) + cos(α a ) = cos ka P (4.19c) αaSecara grafik, untuk P=3π/2 persamaan ini dapat digambarkan dalam sketsa berikut. sin (α a ) + cos(α a ) = cos ka untuk P=3π/2 P Gambar 4.3 Sketsa fungsi αa = daerah αa yang meberikan solusi persamaan SchrodingerTampak bahwa nilai energi E yang diperkenankan, dalam ungkapan 1/ 2 ⎛ 2mo E ⎞αa=⎜ 2 ⎟ a , untuk fungsi (4.19c) di atas, terletak antara ±1. Sedangkan ⎝ ⎠daerah lain, yang tidak mengandung solusi, merupakan harga energi yang terlarang. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 104 Secara singkat dari gambar di atas dapatlah dikemukakan hal-hal berikut.a. Spektrum energi elektron terdiri dari beberapa pita energi (daerah energi) yang diperkenankan dan beberapa yang terlarang.b. Lebar pita energi yang diperkenankan bertambah lebar dengan meningkatnya harga αa, atau dengan energi elektron yang meningkat.c. Lebar pita energi tertentu yang diperkenankan mengecil apabila P bertambah, artinya mengecil bila “energi ikatan” makin naik. Apabila P→∞, maka persamaan (4.19c) mempunyai solusi hanya bila Sin αa = 0 αa = ± n π, dengan n = ±1, ±2, ±3, … Oleh karena itu berdasarkan persamaan (4.10) diperoleh harga energi 2 α2 π2 2 E= = 2 n2 (4.20) 2mo 2mo a Ungkapan (4.20) ini sama dengan energi elektron dalam kotak potensial. Energi elektron bersifat diskrit. Apabila P→0, maka persamaan (4.19c) haruslah memenuhi Cos αa = cos (ka) α=k sehingga berdasarkan persamaan (4.10) diperoleh harga energi 2 k2 E= (4.21) 2mo Ungkapan (4.21) ini sama dengan energi elektron bebas. Energi elektron bersifat kontinu.d. Ketidaksinambungan dalam lengkung E=E(k) terjadi pada harga cos (ka) = ±1 atau k= nπ/a, dengan n = ±1, ±2, ±3, … Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 105 Berikut disajikan gambar sketsa energi E untuk berbagai harga P.a. P = 0 (elektron bebas) V(x) E(k) 0 x k 0b. 0<P<∞ (elektron dalam potensial berkala) V(x) E(k) Vo x k -3π/a -2π/a -π/a 0 π/a 2π/a 3π/ac. P=∞ (elektron terikat) V(x) ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ E3 E2 E1 x Gambar 4.4 Sketsa energi E terhadap berbagai harga PDapatlah disimpulkan bahwa pola harga energi elektron untuk sistem potensialberkala adalah keadaan antara model elektron bebas dan kotak potensial.4.1.3 Pita Energi dan Energi Elektron dalam Atom Dalam suatu susunan atom terisolasi, kumpulan atom di dalamnyamempunyai jarak antaratom yang tidak berhingga besarnya. Energi elektron dalam Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 106setiap atom bersifat diskrit, dan sesungguhnya atom dalam keseluruhannya bukanlahmerupakan suatu sistem fisis. Tingkat energi atom yang diskrit tersebut dinamakantingkat 1s, 2s, 2p dan seterusnya. Setiap atom merupakan sistem tersendiri, tanpainteraksi dengan atom lain. Atom yang terisolasi ini, masing-masing memilikibanyak keadaan elektron yang sama energinya. Apabila kemudian jarak antaratom berkurang, maka mulai terjadi interaksiantaratom dan fungsi gelombang elektron mulai saling bertindihan. Interaksi tersebutmenyebabkan harga energinya berubah. Secara keseluruhan atom tersusun menjadisatu sistem fisis dan harus mengikuti kaidah yang menyangkut sistem fisis. Misalnya,prinsip Pauli yang melarang dua elektron atau lebih mempunyai harga energi yangtepat sama. Oleh karena itu terjadi pelebaran dari harga diskrit energi elektron (atomterisolasi) menjadi harga pita energi elektron. Berdasarkan prinsip larangan, tiap tingkat energi tersedia bagi dua elektrondengan spin berlawanan. Oleh karena itu pita energi suatu zat padat yang terdiri dariN atom akan tersedia N tingkat energi atau paling banyak boleh berisikan 2Nelektron. Karena N besar sekali, yakni 1023, maka tingkat-tingkat energi tersebutsaling merapat satu sama lain membentuk pita energi. Pita energi terdiri darikumpulan tingkat energi yang memiliki jarak antartingkat berdekatan sangat kecilsehingga distribusinya kontinu. Misalnya, lebar pita energi 5 eV memiliki jarakantartingkat berdekatan 5.10-23 eV. Jadi pada suatu kristal terdapat banyak pita energiyang masing-masing sesuai dengan tingkat energi atom penyusun kisi tersebut.Misalnya, tingkat energi 1s, 2s, dan 2p masing-masing menimbulkan pita 1s, 2s, dan2p. Perhatikanlah contoh kristal Lithium dalam gambar berikut. Setiap atom Limengandung tiga elektron, yaitu 2 elektron mengisi sel 2s dan 1 elektron dalam sel2s (tidak penuh). Pita 2s dan 2p masing-masing mempunyai kapasitas 2N dan 6Nelektron. Terlihat bahwa lebar pita bertambah saat konstanta kisi mengecil. Juga,untuk a<6ao (dimana ao adalah radius Bohr seharga 0,53 Å) pelebaran pita 2s dan 2pmulai overlap, dan celah antara keduanya melenyap sehingga terbentuk pita tunggaldengan kapasitas 8N. Tetapi pita tunggal ini hanya berisikan N elektron yang berasal Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 107dari pita 2s saja, atau hanya seperdelapan dari kapasitasnya. Karena pita valensinyahanya terisi sebagian, maka kristal Li termasuk kelompok logam. Gambar 4.5 Pelebaran tingkat energi 2s dan 2p menjadi pita energi dalam kristal Pita-pita energi memang berkecenderungan overlap satu sama lain. Selainpita 2s dan 2p seperti di atas, pita yang berkecenderungan overlap adalah 3s dan 3pyang berkapasitas 8N; 4s, 3d dan 4p yang berkapasitas 18N; 5s, 4d dan 5p yangberkapasitas 18N; 6s, 4f, 5d dan 6p yang berkapasitas 32N; serta 7s, 5f, 6d dan7pyang berkapasitas 32N. Sebagai contoh berikut disajikan unsur wolfram (W). Dalam sistem periodik unsur W termasuk golongan VIA dan memiliki nomoratom 74 dengan konfigurasi elektron [Xe]4f145d46s2. Hal ini berarti semua elektronsudah memiliki spin yang sudah berpasang-pasangan sehingga tidak ada yangmenjadi elektron bebas. Tetapi, faktanya tidak demikian. Wolfram termasukkonduktor yang baik. Ternyata, antara satu pita energi dengan yang laindimungkinkan terjadi tumpang-tindih. Untuk konduktor W tersebut, tumpang tindihterluar terjadi pada pita energi 6s, 4f, 5d dan 6p yang secara total memerlukan 32elektron. Sedangkan, di luar sel [Xe], wolfram hanya memiliki 20 elektron. Hal iniberarti masih terdapat 12 tempat kosong elektron, yang bisa berperan sebagai hole. Meskipun pada dasarnya bentuk solusi fungsi gelombang menuruti teoremaBloch, namun dalam memecahkan persamaan Schrodinger, dengan pendekatan Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 108tentang model potensial berkala, memberikan berbagai metode, antara lain sebagaiberikut.a. Metode LCAO (linear combination of atomic orbitals), dimana spektrum energi elektron dalam zat padat diperoleh dengan mengandaikan adanya sedikit tumpang-tindih dari potensial atom yang terpisah. Potensial atom yang begitu kuat menyebabkan elektron hanya bergerak di sekitar atom yang bersangkutan. Model ini merupakan pendekatan kasar terhadap pita sebelah dalam, yaitu pita 3d logam transisi.b. Model elektron hampir bebas, dimana diandaikan bahwa potensial berkala agak rendah; atau dimana tumpang-tindih dari potensial atom sangat besar. Karena potensial begitu lemah, maka elektron berperilaku seperti elektron bebas dan model ini dibahas dengan metode perturbasi. Model ini merupakan pendekatan kasar terhadap pita valensi logam sederhana, seperti Na, K, Al dan lain-lain.c. Metode sel (cellular method) yang dikembangkan oleh Wigner-Seitz.Dalam buku ini hanya akan disajikan metode LCAO saja.4.1.4 Refleksi Bragg dan Celah Energi Bahasan moda getar kisi kristal linier diatomik yang lalu menunjukkan bahwapada batas zona (k=±π/2a) besar kecepatan kelompok vg=0, baik pada cabang akustikmaupun optik, sehingga pada titik ini terjadi gelombang tegak. Kondisi inimenimbulkan refleksi Bragg. Gerakan elektron dalam potensial berkala model Kronig-Penneymenunjukkan bahwa celah energi terjadi pada harga k=nπ/a, dimana n=±1, ±2, …Pada harga batas inipun, fungsi Bloch merupakan gelombang tegak. Gerakanelektron dalam kisi dapat dianalogikan dengan propagasi gelombang elektromagnetdalam kristal. Jika k dan k , masing-masing adalah merupakan vektor gelombangasal dan terhambur, dan G adalah vektor kisi resiprok, maka syarat difraksi Braggharus memenuhi (1.37), yaitu k = Ghkl + k Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 109Karena k = k , maka syarat Bragg menjadi G • G + 2k • G = 0Untuk kristal monoatomik linier dengan jarak antaratom a, hal ini menjadi G π k =± =± (4.22) 2 aPada saat kondisi (4.22) terpenuhi, gelombang yang merambat ke kanan mengalamirefleksi Bragg ke kiri, dan sebaliknya. Oleh karena itu terjadilah gelombang yangtidak merambat ke kanan maupun ke kiri. Gelombang ini disebut gelombang tegak.Dalam hal ini ungkapan gelombang tegak dapat berbentuk ⎧ iπ x π −i x ⎫ πx ψ genap ( x) = u genap ( x)⎨e + e a ⎬ = 2u genap ( x) cos a (4.23) ⎩ ⎭ aRapat muatan listriknya 2 πx − eψ genap ( x) = −e 2u genap ( x) cos 2 ayang berharga maksimum pada setiap saat x=am, dimana m adalah bilangan bulat;jadi pada setiap lokasi atom dalam kristal. Disamping itu, gelombang tegaktermaksud di atas dapat pula disusun dari dua fungsi ganjil π π ⎧ i x −i x ⎫ πx ψ ganjil ( x) = u ganjil ( x)⎨e a −e a ⎬ = 2iu ganjil ( x) sin (4.24) ⎩ ⎭ aRapat muatan listriknya 2 πx − eψ ganjil ( x) = −e 2iu ganjil ( x) sin 2 ayang berharga nol pada setiap lokasi atom dalam kristal linier. Oleh karena ituelektron dengan harga k=±π/a dapat direpresentasikan sebagaia. fungsi gelombang yang selama sebagian besar dari waktunya berada di dekat inti atom (x=ma), ataub. fungsi gelombang yang selama sebagian besar dari waktunya berada dalam ruang di antara inti atom (jauh dari inti atom). Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 110Dari Gambar 4.1 dan 4.2 terlihat bahwa energi potensial elektron di dekat inti atomlebih rendah daripada di dalam ruang antara inti atom. Oleh karena itu energi yangdiperlukan untuk elektron yang direpresentasikan oleh ψgenap(x) lebih rendahdaripada untuk elektron yang direpresentasikan oleh ψganjil(x). Beda energi elektronantara keduanya pada batas k==±π/a ini merupakan celah energi.4.1.5 Logam, Isolator dan Semikonduktor Daerah energi yang diperkenankan sesungguhnya merupakan keadaanelektron yang tersedia bagi elektron dalam kristal. Terisi atau tidak terisi keadaanelektron tersebut oleh elektron masih bergantung pada jumlah dan statistika elektrondalam kristal. Ada dua hal, dimana medan listrik luar tidak menghasilkan arus elektrondalam kristal, yaitua. pita energi yang diperkenankan sama sekali tidak dihuni elektron, danb. pita energi yang diperkenankan terisi penuh oleh elektron, atau semua keadaan elektron terisi penuh oleh elektron.Hal pertama mudah dipahami, yakni karena tidak ada elektron dalam pita energi,maka arus elektronpun sama dengan nol. Hal kedua, misalnya kuat medan listrik εberpengaruh pada distribusi kecepatan elektron v . Andaikanlah kecepatan masing-masing elektron adalah vi , maka kecepatan rata-rata untuk elektron dengankerapatan no pada volume kristal V adalah 1 v= noV ∑v i i (4.25)Penjumlahan dilakukan terhadap semua elektron dalam pita yang ditinjau. Rapat aruselektron yang terjadi e J = −no ev = − V ∑v i i (4.26)Misalnya, pita yang ditinjau seperti Gambar 4.6 berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 111 E(k) k -π/a 0 π/a Gambar 4.6 Pita energi yang diperkenankanDalam hubungannya dengan frekuensi radial ω, energi elektron dapat dinyatakan E= ω (4.27)sehingga kecepatan kelompok vg dapat dinyatakan dω 1 dE vg = = (4.28) dk dkPada gambar di atas, vg sama dengan kemiringan fungsi E=E(k). Sedangkan fungsiE=E(k) simetri terhadap sumbu k=0. Pada harga k=-k, kecepatan elektron samabesar, tetapi berlawanan tanda, sehingga ∑vi=0. Dengan demikian, jelaslah bahwarapat arus sama dengan nol untuk suatu pita energi yang kosong (elektron) atau pitaenergi yang penuh. Hanya pita energi yang terisi sebagian (atau yang kosong sebagian) dapatmemberikan sumbangan pada arus listrik. Misalnya, sebuah elektron A beradadalam suatu pita energi yang kosong, seperti Gambar 4.7 berikut. E(k) A’ A” A k -π/a 0 π/a Gambar 4.7 Sebuah elektron dalam suatu pita energi kosong Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 112Posisi setimbang elektron berada pada kedudukan paling rendah. Medan listrik εmenyebabkan gaya sebesar -eε bekerja pada elektron, dan menggerakkannya secaraterus-menerus ke arah keadaan elektron dengan momentum linier (negatip) yangmakin besar sampai akhirnya mencapai titik A’ pada posisi k=-π/a. Pada titik initerjadi refleksi Bragg, dan elektron muncul di titik A” pada posisi k=+π/a; dankemudian menempuh lagi siklus yang sama. Proses pengulangan ini disebut osilasiZener. Adanya ketidaksempurnaan kisi menyebabkan hamburan terjadi sebelumosilasi Zener sempat muncul. Misalnya, dalam pita yang ditinjau terdapat keadaan elektron total sebanyak , yang terisi elektron sebanyak i, dan yang kosong sebanyak s. Jika masing-masingdianggap mempunyai distribusi kecepatan, maka ∑ v =∑ v + ∑ v i i s s (4.29)karena ∑v =0 , yakni semua keadaan elektron dianggap terisi penuh eleh elektron,maka rapat arus elektron dapat dinyatakan seperti halnya persamaan (4.26), yakni e J =− V ∑v i i (4.30)dan dapat juga ditulis dalam bentuk e J =+ V ∑v s s (4.31)ungkapan rapat arus (4.30) menunjukkan bahwa pembawa muatannya adalahelektron yang bermuatan –e. Umumnya, ungkapan ini digunakan bila keadaanelektron di pita energi yang diperkenankan hanya terisi elektron sedikit saja, sepertiGambar 4.8 berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 113 E(k) k -π/a 0 π/a Gambar 4.8 Pita energi yang diperkenankan dengan sedikit elektron di dalamnyaUngkapan rapat arus (4.31) menunjukkan bahwa pembawa muatannya mempunyaimuatan +e (sering disebut hole) dan “menempati” keadaan elektron yang kosong.Umumnya, ungkapan ini digunakan bila pita energinya hampir penuh elektron. Holemenempati pita energi bagian atas, seperti Gambar 4.9 berikut. E(k) k -π/a 0 π/a Gambar 4.9 Pita energi yang diperkenankan dengan hole pada bagian atasnya Berdasarkan uraian tentang pengisian keadaan elektron dalam pita energiyang diperkenankan seperti di atas, dapatlah dibedakan antara konduktor, isolator,semikonduktor dan semilogam.Isolator. Semua energi terisi penuh oleh elektron atau sama sekali kosong, sehinggatidak dapat terjadi konduksi listrik. Pita energi tertinggi yang terisi penuh elektrondisebut pita valensi. Celah energi ΔE cukup besar, sehingga elektron dari pita energi Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 114 EF ΔE Gambar 4.10 Pengisian elektron dalam pita energi bahan isolator : pita energi terisi elektron : pita energi kosongyang penuh tidak dapat melompat (karena energi termal) ke pita energi yang kosong.Tingkat energi Fermi EF melalui daerah energi yang kosong. Contoh isolator adalahintan (karbon) yang memiliki celah energi 6 eV. Hal ini dijelaskan oleh Gambar 4.10di atas.Konduktor. Tingkat energi Fermi EF melewati pita energi yang diperkenankan,sehingga pita tersebut setengahnya (atau sebagiannya) terisi oleh elektron. Pita energitertinggi yang terisi elektron sebagian disebut pita konduksi. Ada sebagian elektrondi atas EF (apabila T>0 K), tetapi masih berada dalam daerah pita energi yang sama,dengan meninggalkan keadaan elektron kosong (hole) di bawah EF. Konduksi listrikterutama terjadi aliran elektron. Contoh konduktor adalah logam alkali (Li, K danlain-lain) dan logam mulia (Cu, Ag, Au dan lain-lain). Hal ini dijelaskan dalamGambar 4.11 berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 115 EF ΔE Gambar 4.11 Pengisian elektron dalam pita energi bahan konduktor : hole : elektron yang melompati EFSemikonduktor. Tingkat energi Fermi EF melewati daerah harga energi terlarang,sehingga pada T=0 K hanya ada pita yang sama sekali penuh, dan di atasnya pitaenergi yang kosong sama sekali. Celah energi ΔE tidak tinggi, sehingga pada T>0 Ksebagian elektron dapat melompatinya, dan berpindah ke pita konduksi yang masihkosong. Sementara tempat yang ditinggalkan elektron menjadi hole dalam pitavalensi. Dengan demikian, pembawa muatannya adalah elektron dan hole. Makintinggi suhu, makin banyak elektron yang melampaui ΔE sehingga konduktivitas zatmakin meningkat. Contoh semikonduktor adalah Si dan Ge, dengan celah energimasing-masing 1,1 eV dan 0,7 eV. Umumnya, pada suhu kamar celah energisemikonduktor kurang dari 2 eV. Sketsa pengisian elektron dalam pita energiditunjukkan dalam Gambar 4.12 berikut. EF ΔE Gambar 4.12 Pengisian elektron dalam pita energi bahan semikonduktor Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 116Semilogam. Celah energi lenyap seluruhnya, atau bahkan kedua pita energi terjadioverlap tipis. Contoh semilogam adalag Bi, As, Sb dan Sn putih.4.1.6 Metode LCAO Dalam menghitung tingkat energi elektron dalam kristal, metode LCAOmenganggap bahwa elektron terikat kuat pada atom. Metode LCAO termasukpendekatan ikatan kuat (“tight binding approximation”). Energi potensial elektronmerupakan bagian yang dominan dari energi totalnya, sedangkan harga energielektron yang diperkenankan merupakan pita sempit bila dibandingkan dengandaerah harga yang tidak diperkenankan. Fungsi gelombang elektron didasarkan padafungsi gelombang elektron dalam atom yang terisolasi, dan disusun dari fungsigelombang elektron termaksud. Pendekatan ini berbeda dengan pendekatan elektronbebas. Misalnya, orbital masing-masing atom adalah ψo. Bila sejumlah atomtersusun menjadi susunan kristal dengan potensial periodik, tetapi sedemikian rupasehingga ψo tidak terlalu banyak dipengaruhinya, maka fungsi gelombang elektron didalam kristal secara keseluruhan dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari seluruhfungsi gelombang atom dalam kristal ψ k (r ) = ∑ e ik •r ψ o (r − rn ) n (4.32) nPenjumlahan dilakukan atas semua posisi atom rn dalam kristal. Bila potensialperiodik kristal V (r ) dan potensial atom terisolasi di r=rn adalah Vo (r − rn ) , makapersamaan Schrodinger dapat ditulis H ψ k (r ) = E ψ k (r ) (4.33)dengan Hamiltonian 2 H =− ∇ 2 + V (r ) 2mo ⎧ 2 ⎫ = ⎨− ∇ 2 + Vo (r − rn )⎬ + { (r ) − Vo (r − rn )} V (4.34) ⎩ 2mo ⎭ = Ho + H Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 117dengan demikian Ho adalah Hamiltonian untuk sebuah atom terisolasi di r=rn, dan H’untuk semua atom lainnya. Harga ekspektasi energi diperoleh dari 1 N∫ E = ψ k (r ) Eψ k (r )dτ * (4.35) 1 1 = ∫ψ k (r ) H oψ k (r )dτ + ∫ψ k (r ) H ψ k (r )dτ * * N NIntegral pertama dalam (4.35) adalah energi sebuah atom terisolasi Eo. Untukmenghitung integral kedua, permasalahannya disederhanakan, yakni hanyameperhitungkan interaksi antartetangga terdekat atom saja. Oleh karena itu integralkedua dapat dipecah menjadi dua bagian, yakni yang hanya meliputi n=m saja danyang hanya meliputi interaksi antartetangga terdekat saja dengan indek j.1 ∫ψ k (r ) H ψ k (r )dτ *N 1 = ∑∑ e ik •( rn − rm ) ∫ψ o (r − rm ) H ψ o (r − rn )dτ * N n m 1 = ∑ ∫ψ o (r − rn ) H ψ o (r − rn )dτ + ∑ e n j ∫ψ o (r − r j ) H ψ o (r − rn )dτ * ik • ( r − r ) * N n j ≅ ∫ψ o (r − rn ) H ψ o (r − rn )dτ + ∑ e ∫ψ ik •( rn − r j ) * * o (r − r j ) H ψ o (r − rn )dτ j ≅ −α − β ∑ e ik •( rn − r j ) jdengan batasan bahwa integral Coulomb ∫ψ (r − rn ) H ψ o (r − rn )dτ = −α * o (4.36)dan integral overlap ∫ψ (r − r j ) H ψ o (r − rn )dτ = − β * o (4.37)Dengan demikian energi elektron (4.35) dalam kristal di atas dapat ditulis ∑e ik •( rn − r j ) E = Eo − α − β (4.38) jdengan r j = kedudukan atom di sekitar atom rn α dan β = besaran positip, karena H’ negatip Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 118Ungkapan energi (4.38) mengasumsikan bahwa orbital atom ψo mempunyai simetribola sehingga faktor overlap β berharga sama untuk semua pasangan tetanggaterdekat. Dalam kisi kubik sederhana dengan rusuk a, setiap titik kisi mempunyai 6tetangga terdekat, sehingga (rn − r j ) = ± a x, ± a y, ± a z ˆ ˆ ˆOleh karena itu pita energinya E(k) = Eo - α - 2β (cos kxa + cos kya + cos kza) (4.39a)Persamaan (4.39a) dapat juga ditulis dalam bentuk E(k) = Ev + 4β [sin2 (kxa/2) + sin2 (kya/2) + sin2 (kza/2)] (4.39b)dimana Ev=Eo-α-2β merupakan energi dasar pita.Dari ungkapan pita energi (4.39) ini dapatlah dikemukakan hal-hal berikut.a. E(k) periodik terhadap kb. E(k) = E(-k)c. E(k)max = Eo - α + 6β dan E(k)min = Eo - α - 6β E(k)max dan E(k)min, masing-masing adalah harga energi elektron pada puncak dan dasar pita energi. Beda antara keduanya merupakan pita energi, yang besarnya sebanding dengan integral overlap. Rentang energi dalam pita energi ini berperan sebagai energi kinetik elektron, sehingga elektron mampu bergerak ke bagian seluruh kristal.d. Untuk harga k sangat kecil, yakni di dekat dasar pita energi elektron menjadi E(k) ≅ Eo - α - 6β + β a2 k2 (4.40) Terlihat bahwa harga energi ini sama dengan hubungan dispersi untuk elektron bebas.Gambar 4.13 berikut menyajikan kurva dispersi sepanjang arah [100] dan [111]. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 119 Gambar 4.13. Kurva dispersi sepanjang arah [100] dan [111] untuk kisi kubik sederhana dalam model ikatan kuat Model ikatan kuat di atas memperlihatkan bahwa setiap tingkatan energiatomik meluas menjadi sebuah pita energi sebagai akibat adanya interaksi antaratomdalam padatan. Setiap pita energi menggambarkan karakter tingkatan energi atommula-mula. Energi tetap elektron dalam kisi kubik sederhana di atas dapat dibuatkonturnya. Untuk ka<<1, energi tersebut, yakni persamaan (4.40) dapat dinyatakansebagai E (k ) Eo − α − 6 β k x2 + k y + k z2 = 2 − = tetap β a2 β a2yang merupakan persamaan bola dalam ruang k. Sedangkan energi maksimum terjadiapabila cos kxa = cos kya = cos kza = -1 kx = ky = kz = ±π/aTitik ini merupakan titik ujung Zona Brillouin Pertama. Bila dilihat dari titik ujung(dekat E(k)max) dengan melakukan transformasi dari k ke k’=(π/a)-k, maka denganmenggunakan persamaan (4.39b) didapatkan E(k’) – Emaks = - a2 β (k’)2, yaknibentuk permukaan energi tetap juga merupakan bola dengan ujung Zona Brillouintersebut sebagai pusatnya. Dalam bidang kz=0, kontur energi elektron dalam kisikubik sederhana ditunjukkan oleh Gambar 4.14 berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 120 Gambar 4.14 Kontur energi kisi kubik sederhana dalam model ikatan kuat4.2 DINAMIKA ELEKRON DALAM KRISTAL4.2.1 Kecepatan Kelompok dan Massa Efektif Elektron dalam Kristal Gerak elektron dalam kristal dapat divisualisasikan sebagai suatu paketgelombang yang merupakan superposisi gelombang dari berbagai frekuensi ω. Paketgelombang ini mempunyai kecepatan kelompok sama seperti persamaan (4.28) yangsecara vektor dinyatakan oleh v g = ∇ k ω (k ) (4.41a)Karena energi elektron E= ω, maka 1 vg = ∇ k E (k ) (4.41b) Simak kembali elektron yang hanya bergerak dalam arah sumbu-X dalam kisikubik sederhana, sehingga energi (3.39) dapat dinyatakan E(kx) = Eo’ – 2 β cos kxa (4.42)dengan Eo’ adalah konstanta. Kecepatan kelompok dalam arah-X 1 ∂E (k x ) 2 β a (v g ) x = = sin k x a (4.43) ∂k x Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 121Sketsa E(kx) dan (vg)x dalam (4.42) dan (4.43) di atas disajikan pada Gambar 4.15berikut. Gambar 4.15 a. Struktur pita energi kisi kubik sederhana arah-X b. Kecepatan elektron dalam pita energi yang bersangkutan. Garis putus-putus menunjukkan kecepatan elektron bebasTerlihat bahwa di dekat pusat zona kecepatan elektron sebanding dengan vektorgelombang. Di daerah ini elektron berperilaku seperti elektron bebas. Di dekat bataszona, kecepatan elektron menurun drastis, dan akhirnya nol tepat pada batas zona. Dititik ini terjadi gelombang tegak. Disamping itu, telah dijelaskan bahwa untuk pitaenergi yang terisi penuh elektron tidak dapat menunjukkan arus listrik. Hal initerlihat pada gambar di atas bahwa v ( − k ) = −v ( k )sehingga kecepatan total elektron sama dengan nol. Ungkapan (4.41b) menunjukkan bahwa kecepatan kelompok sebandingdengan gradien energi. Hal ini berarti gerak elektron sangat ditentukan olehpermukaan energi tetap. Apabila permukaan energi tetap tersebut berupa permukaanbola (daerah dekat pusat zona), maka arah v g adalah radial. Di dekat batas zona,kontur energi mengalami distorsi (dari permukaan bola) sehingga v g tidak radial.Hal ini ditunjukkan oleh Gambar 4.16 berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 122 Gambar 4.16 Kecepatan elektron dan perubahan bentuk permukaan Fermi saat konsentrasi elektron valensi atau konduksi meningkat Bentuk permukaan Fermi ditentukan oleh geometri kontur energi dalam pitaenergi karena sesungguhnya permukaan Fermi itu sendiri adalah sebuah konturenergi dengan E(k)=EF pada T=0 K. Gambar 4.16 di atas juga menunjukkanperubahan bentuk permukaan Fermi saat konsentrasi elektron valensi n meningkat.Populasi n kecil hanya mengisi daerah dekat dasar pita pada pusat zona sehinggavolumenya berbentuk bola yang dibatasi oleh permukaan bola Fermi. Saat n naik,“volume Fermi” mengembang, dan kontur energi mulai terdistorsi. Distorsi menjadibesar saat permukaan Fermi memotong garis batas zona. Perubahan kecepatan kelompok terhadap waktu t adalah dv g 1 d = ∇ k E (k ) (4.44a) dt dtUntuk suatu vektor A tertentu berlaku dA dk = (∇ k A) • dt dtOleh karena itu dv g 1 dk = ∇ k (∇ k E ) • (4.44b) dt dtGaya luar F pada elektron menyebabkan perubahan momentum dk F= (4.45) dtSubstitusi dk / dt dari (4.45) ke dalam (4.44b) menghasilkan ungkapan percepatan Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 123 dv g 1 a= = 2 ∇ k (∇ k E ) • F (4.46a) dtDalam koordinat Kartesis, ungkapan percepatan (4.46a) ini berbentuk 1 ∂2E ai = ∑ Fj dengan i, j = x, y, z (4.46b) 2 ∂k i ∂k jHubungan ini analogi dengan hukum II Newton, sehingga massa efektif m*didefinisikan sebagai 1 1 = 2 ∇ k (∇ k E ) (4.47a) m*atau dalam koordinat Kartesis ⎛ 1 ⎞ 1 ∂2E ⎜ ⎟ = 2 (4.47b) ⎝ m * ⎠ ij ∂k i ∂k jDari hubungan (4.47) di atas terlihat bahwa massa efektif adalah tensor rank-dua dansimetrik ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ (4.48) ⎝ m * ⎠ ij ⎝ m * ⎠ jiMassa efektif elektron m* tidak perlu sama dengan massa sesungguhnya mo. Hal inidisebabkan oleh adanya dua gaya yang bekerja sekaligus pada elektron, yakni gayamedan kristal (dalam penetapan E(k)) dan gaya luar F. Elektron bebas dalam ruang mempunyai energi kinetik sama sepertipersamaan (3.24) , yang dapat dituliskan 2 E (k ) = (k x2 + k y + k z2 ) 2 (4.49) 2moMenurut teori di atas diperoleh ⎛ 1 ⎞ 1 ∂2E 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ∂2E ⎜ ⎟ = 2 = dan ⎜ ⎟ = 2 =0 ⎝ m * ⎠ xx ∂k x ∂k x mo ⎝ m * ⎠ xy ∂k x ∂k ySimetri ruang dimana elektron berada menyebabkan indek xx=yy=zz danxy=yz=zx=yx=xz=zy, sehingga Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 124 ⎛1 / m o 0 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ 0 1 / mo 0 ⎟ (4.50) ⎝ m * ⎠ xx ⎜ ⎝ 0 0 1 / mo ⎟ ⎠Persamaan Newton yang dapat disusun ⎛ ax ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛ Fx ⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ay ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟⎜ Fy ⎟ (4.51) ⎜ a ⎟ mo ⎜ 0 0 1 ⎟⎜ F ⎟ ⎝ z⎠ ⎝ ⎠⎝ z ⎠ 1merupakan hubungan vektor a = F . Artinya arah percepatan a sesuai dengan moarah gaya F . Jelas bahwa untuk elektron bebas berlaku m*=mo, karena tidak adagaya kisi yang bekerja pada elektron. Untuk gerak elektron dalam suatu kristal kubik sederhana, khususnya bila ksangat kecil terhadap 1/a, maka persamaan (4.40) dapat dituliskan E (k ) = E o − α − 6 β + β a 2 (k x2 + k y + k z2 ) 2 (4.52)Dengan cara yang sama hasilnya terlihat bahwa tensor (1/m*) tidak nol hanya untukelemen diagonalnya, yakni masing-masing besarnya 2β a 2 2Oleh karena itu massa efektifnya isotropik, dan dapat direpresentasikan denganskalar 2 1 m* = (4.53) 2a β 2Terlihat bahwa dalam daerah ini elektron berperilaku seperti elektron bebas denganmassa efektif yang berbanding terbalik dengan integral overlap β. Makin besaroverlap, makin mudah elektron menerobos dari satu atom ke atom yang lain sehingga(massa) inersia elektron lebih kecil, dan sebaliknya. Dalam model ikatan kuat inioverlap kecil sehingga massa efektif besar. Di dekat puncak pita elektron memperlihatkan perilaku yang lain. Misalnya,elektron dalam kisi kubik sederhana satu dimensi dalam arah-X. Jika didefinisikan Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 125kx’=(π/a)-kx dan energi kinetik E(kx) persamaan (4.42) dideretkan dekat titikmaksimum, maka didapatkan E(kx’) = Ex,max – a2 β(k’)2 (4.54)Jadi elektron berperilaku seperti partikel bebas yang mempunyai massa efektifnegatip 2 1 m* = − (4.55) 2a β 2Gambar 4.17 berikut menyajikan struktur pita dan massa efektif dalam kisi kubiksederhana satu dimensi arah-X Gambar 4.17 a. Struktur pita, dan b. Masa efektif elektron sebagai fungsi kx dalam kisi kubik sederhanaMassa efektip negatip di daerah yang lebih besar dari titik perubahan kc, menandakanadanya percepatan negatip elektron karena menurunnya kecepatan. Di daerah ini kisimengenakan gaya pemerlambat yang sangat besar pada elektron.4.2.2 Pengaruh Medan Listrik pada Kecepatan Elektron dalam Kristal Pengaruh gaya luar F terhadap momentum elektron dalam kristaldiungkapkan oleh persamaan (4.45), yakni Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 126 dk =F (4.56) dtHal ini berarti vektor gelombang k terus meningkat terhadap naiknya waktu t,seperti ditunjukkan dalam Gambar 4.18 berikut. kx π/a t 0 -π/a Gambar 4.18 Vektor gelombang elektron Bloch sebagai fungsi waktu saat dikenai gaya luar F (satu dimensi)Terlihat bahwa karena pengaruh Fx, momen kristal kx senantiasa meningkat sampaimencapai batas Zona Brillouin Pertama. Pada saat itu terjadi UMKLAPP dan gerakelektron mulai lagi dari batas baru zona. Misalnya, medan luar εx menyebabkan gaya Fx=-eεx bekerja pada elektron,sehingga vektor gelombang kx berubah terhadap waktu. Gerakan elektron dalam“repeated-zone scheme”, disajikan dalam Gambar 4.19 berikut. Elektron bergeraksepanjang lintasan OABC dan seterusnya. Sedangkan dalam “reduced-zone scheme”,saat elektron sampai di batas zona A, kemudian segera muncul di titik ekivalensinya,yaitu A’, sehingga terjadi gerakan elektron sepanjang OA(→A’)OA dan seterusnya.Karena sifat simetri translasi, maka terlihat bahwa titik A, A’ dan C, C’ adalahekivalen; begitu pula O dan B. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 127 Gambar 4.19 a.Gerakan sebuah elektron karena kehadiran medan listrik b. Kecepatan elektron Pada Gambar 4.19b di atas terlihat bahwa kecepatan elektron (mulai k=0)meningkat mencapai maksimum, tetapi kemudian turun dan akhirnya nol pada bataszona. Kemudian elektron berbalik sehingga mempunyai kecepatan negatip, begituseterusnya. Bahasan ini terjadi dalam ruang nyata, seperti ditunjukkan oleh Gambar4.20 berikut. t D C B A 0 xo Gambar 4.20 Gerak elektron dalam ruang nyata-X sebagai fungsi waktu Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 128Terlihat bahwa gerak elektron hanya bolak-balik antara x=0 sampi x=xo. Setiap kalielektron berada di x=xo, energinya berada di puncak pita konduksi dimana kemudianterjadi refleksi Bragg. Gerakan osilasi periodik elektron Bloch ini sangat berbedadengan perilaku elektron bebas. Apabila εx cukup besar, maka dapat terjadi loncatan elektron ke pita diatasnya, seperti ditunjukkan oleh Gambar 4.21 berikut. Apabila elektron di A danmemperoleh energi sebesar celah energi ΔE, maka elektron tidak dipantulkankembali, tetapi mampu melompat ke pita energi di atasnya(titik A”). Misalnya, jarakkedua titik AA” adalah d, maka haruslah ΔE d≤ (4.57) eε x E(k) A” ΔE A k 0 π/a 2π/a Gambar 4.21 Gerakan elektron karena medan listrik yang melintasi celah energiHal ini dinamakan “tunneling”, dengan syarat bahwa d jauh lebih kecil dari panjanggelombang de Broglie dan juga kecil terhadap konstanta kisi.4.2.3 Konduktivitas Listrik Dalam sistem setimbang, permukaan Fermi berpusat di titik asal. Akibatnyaarus netto nol, karena setiap elektron dalam keadaan k yang berkecepatan v (k )selalu berpasangan dan saling menghapus dengan elektron di keadaan − k yangberkecepatan v (−k ) = −v (k ) . Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 129 Bila dikenakan medan listrik εx, terjadi perpindahan δkx selama intervalwaktu δt, yang memenuhi persamaan eε x δ kx = − δt (4.58a)Karena elektron bertahan dalam interval waktu tumbukan τ, maka eε x δ kx = − τ (4.58b)Akibatnya permukaan Fermi berpindah sejauh δkx, seperti ditunjukkan oleh Gambar4.22 berikut. Gambar 4.22 Permukaan Fermi: a. dalam keadaan setimbang, dan b. dalam kehadiran medan listrik εxPerpindahan menyebabkan terdapat beberapa elektron (dalam daerah bayang-bayang) tidak mempunyai pasangan untuk menghapusnya, sehingga terjadi arusnetto. Pada T=0 K arus netto tersebut ⎛δE ⎞ J x = −ev F , x g ( E F )δ E = −ev F , x g ( E F )⎜ ⎜δ k ⎟δ k x ⎟ (4.59) ⎝ x ⎠dengan v F , x = kecepatan Fermi rata-rata dalam arah-X g(EF)δE = konsentrasi elektron yang tidak berpasangan g(EF) = rapat keadaan pada permukaan Fermi δE = energi medan yang diserap elektronMengingat ∂E/∂kx= vF,x dan harga δkx dalam (4.58b) di atas, maka didapatkan J x = e 2 v F , xτ F g ( E F )ε x 2 (4.60) Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 130sehingga konduktivitas listrik σ = e 2 v F , xτ F g ( E F ) 2 (4.61)Ungkapan (4.61) adalah bentuk umum konduktivitas listrik untuk suatu permukaanFermi tertentu. Tampak bahwa σ bergantung pada kecepatan Fermi vF dan waktutumbukan τF, serta pada rapat keadaan pada permukaan Fermi g(EF). Tingkat EFsuatu logam berada di tengah pita energi, dimana g(EF) besar, sehingga konduktivitasbesar. Sedangkan tingkat EF pada isolator berada pada puncak pita, dimana g(EF)=0,sehingga konduktivitas nol, meskipun kecepatan Fermi sangat besar. Permukaan Fermi sferik menyebabkan v F , x = 1 v F sehingga ungkapan (4.61) 2 3 2menjadi σ = 1 e 2 vFτ F g (E F ) 3 2 (4.62a)Dengan menggunakan hubungan rapat keadaan (3.26) dan (3.30) untuk elektronbebas, yakni 3/ 2 1 ⎛ 2m * ⎞ ⎛ 2 ⎞g (E) = EF = m * v ⎜ 2m * ⎟(3π n) EF = ⎜ /2 2 2 3/ 2 ⎜ ⎟ E 1 ⎟ 2π 2 ⎝ 2 ⎠ F 2 F ⎝ ⎠maka didapatkan ungkapan konduktivitas listrik (4.62a) menjadi ne 2τ F σ= (4.62b) m*yang hanya berlaku untuk model elektron bebas.4.2.4 Dinamika Elektron dalam Medan Magnet4.2.4.1 Efek Hall Dalam logam terdapat hole dan elektron. Bila dua pita mengalami overlapsatu terhadap yang lain, maka elektron berada pada pita bagian atas dan hole dibagian yang lebih rendah. Konstanta Hall saat elektron dan hole ada dalam waktubersamaan diungkapkan oleh Reσ e2 + Rhσ h 2 R= (4.63) (σ e + σ h )2dimana Re = konstanta Hall untuk elektron Rh = konstanta Hall untuk hole Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 131 σe = konduktivitas listrik elektron σh = konduktivitas listrik holeJika konsentrasi elektron sama dengan hole, ne=nh, maka besarnya Re sama denganRh, dan tanda R ditentukan oleh harga relatif konduktivitas σe terhadap σh. Hargaσe>σh berarti bahwa elektron memiliki massa lebih kecil dan waktu hidup panjang,sehingga sumbangan elektron yang dominan dan R berharga negatip, dan sebaliknya. Jika pembawa muatan hanya elektron, maka Rh dan σh berharga nol, sehinggaR=Re. Hal ini didapat pada model elektron bebas.4.2.4.2 Resonansi Siklotron Dinamika elektron dalam medan magnet diungkapkan oleh dk dt ( = −e v ( k ) × B ) (4.64)Momentum kristal berubah terhadap waktu karena kehadiran gaya Lorentz.Perpindahan δ k dalam waktu δt dituliskan dalam bentuk δk =− e (v (k ) × B )δ t (4.65)Perpindahan δ k tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh v (k ) dan B .Mengingat v adalah normal kontur energi dalam ruang k (Gambar 4.16), makaberarti δk terjadi pada sepanjang kontur energi, seperti ditunjukkan oleh Gambar 4.23berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 132 Gambar 4.23 Lintasan elektron sepanjang kontur energi dalam ruang k karena adanya medan magnet Karena elektron bergerak sepanjang kontur energi tetap, maka tidak terjadiproses penyerapan energi terhadap medan magnet. Gerakan elektron yang demikianbersifat siklis. Bila v normal terhadap B , maka gerak elektron mempunyai perioda δk T = ∫δ t = eB ∫ v(k ) (4.66)dimana integrasi dilakukan sepanjang orbit tertutup elektron dalam ruang k . Dengandemikian, ungkapan umum frekuensi siklotron untuk elektron Bloch ini adalah 2π eB ωc = (4.67) δk ∫ v(k ) Eksperimen resonansi siklotron dilakukan dengan mendatangkan berkasradiasi elektromagnetik pada daerah gelombang radio pada permukaan logam, yangsebelumnya telah dikenakan medan magnet B dalam arah tegak lurus berkaselektromagnetik, seperti disajikan oleh Gambar 4.24 berikut. Gelombang radio δ Medan magnet Gambar 4.24 Eksperimen resonansi siklotronRadiasi elektromagnetik ini hanya mampu menembus sedalam “skin depth” δ padapermukaan logam. Elektron menyerap energi sinyal elektromagnetik. Resonansiterjadi antara gerak putar elektron karena B dan energi gelombang radio yang Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 133diserapnya, serta elektron berada dalam daerah “skin depth”. Apabila frekuensigelombang radio ωo, maka ωo = n ωc (4.68)dengan n adalah bilangan bulat. Apabila energi elektron mempunyai bentuk E=( 2k2/2m*), maka orbitelektron berupa lingkaran, v(k ) = k / m * dan k keduanya besarnya konstansepanjang kontur energi. Oleh karena itu dari (4.67) diperoleh ungkapan frekuensi eB ωc = m*yang sama dengan yang diperoleh oleh model elektron bebas. Resonansi siklotron, umumnya, digunakan untuk mengukur massa efektifelektron. Umumnya, frekuensi ωo besarnya tertentu dan medan magnet divariasisehingga terjadi kondisi resonansi. Percobaan yang dilakukan oleh Azbel-Kaner(untuk bahan Cu) menyajikan data impedansi riil permukaan bahan terhadap medanmagnet (dZ/dB) sebagai fungsi medan magnet (B), seperti Gambar 4.25 berikut. Gambar 4.25 Spektrum resonansi siklotron Azbel-Kaner untuk bahan tembaga pada suhu T=4,2 KAbsorbsi maksimum pada elektron dengan orbit terbesar terjadi pada permukaanFermi yang penampang lintangnya tegak lurus B. Oleh karena itu dengan mengubahorientansi B, dapatlah diukur orbit elektron dalam berbagai arah, sehinggarekonstruksi permukaan Fermi dapat dibuat. Percobaan ini, umumnya, dilakukanpada suhu yang sangat rendah (sekitar 4 K) pada sampel yang murni dan berbentukkristal tunggal, dan pada medan magnet yang sangat besar (sekitar 100 kG). Kondisi Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 134ini menyebabkan waktu tumbukan τ cukup panjang, dan frekuensi siklotron ωc cukuptinggi (daerah gelombang mikro), sehingga ωcτ>>1 terpenuhi dan “skin depth” cukupdalam. RINGKASAN01. Apabila deretan ion tersusun teratur dan membentuk kisi kristal, maka energi potensial kristalnya berubah secara periodik sesuai dengan periodisitas kisi tersebut. Teori pita energi zat padat mengajukan model tentang elektron dalam kristal dengan asumsi sebagai berikut. (a). Terdapat energi potensial V (r ) yang tidak sama dengan nol di dalam kristal dengan keberkalaan kisi kristal, (b). Fungsi gelombang ψ (r ) dibuat berdasarkan kisi sempurna dan dimana dianggap bahwa kisi tidak bervibrasi secara termal, (c). Teori pita energi dikembangkan dari bahasan perilaku elektron tunggal di bawah pengaruh suatu potensial periodik V (r ) yang merepresentasikan semua interaksi, baik dengan ion kristal maupun dengan sesama elektron lain, (d). Bahasan elektron tunggal dapat menggunakan persamaan Schrodinger untuk satu elektron, dan dengan ketentuan bahwa pengisian keadaan elektron yang diperoleh menganut distribusi Fermi-Dirac.02. Elektron dalam potensial periodik logam memenuhi teorema Bloch, yaitu “Fungsi eigen (fungsi Bloch) dari persamaan gelombang untuk suatu potensial periodik adalah hasilkali antara suatu gelombang bidang berjalan eksp (ik • r ) dan suatu fungsi modulasi u k (r ) dengan periodisitas kisi kristal”.03. Untuk menyelesaikan perilaku elektron Bloch digunakanlah Model Kronig- Penney, yang menelaah gerak elektron dalam suatu potensial persegi periodik, sebagai penyederhanaan bentuk potensial sebenarnya. Hasil model ini adalah sin (α a ) + cos(α a ) = cos ka . Ungkapan energi elektron, yang tersirat dalam α, P αa memiliki karakter (a). Spektrum energi elektron terdiri dari beberapa pita energi (daerah energi) yang diperkenankan dan beberapa yang terlarang, (b). Lebar pita energi yang diperkenankan bertambah lebar dengan meningkatnya energi Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 135 elektron, (c). Lebar pita energi tertentu yang diperkenankan mengecil apabila “energi ikatan” makin naik, (d). Celah energi terjadi pada harga k= nπ/a, dengan n = ±1, ±2, ±3, …04. Pada titik k= nπ/a terjadi gelombang tegak dan memenuhi kondisi refleksi Bragg. Pada titik ini, elektron dapat direpresentasikan sebagai fungsi gelombang yang selama sebagian besar dari waktunya berada (a) di dekat inti atom (x=ma), atau (b) dalam ruang di antara inti atom (jauh dari inti atom). Energi di kidua tempat ini berbeda dan beda energi elektron antara keduanya pada batas k==±π/a ini merupakan celah energi.05. Ada dua hal, dimana medan listrik luar tidak menghasilkan arus elektron dalam kristal, yaitu (a). pita energi yang diperkenankan sama sekali tidak dihuni elektron, dan (b). pita energi yang diperkenankan terisi penuh oleh elektron, atau semua keadaan elektron terisi penuh oleh elektron. Berarti, hanya pita energi yang terisi sebagian (atau yang kosong sebagian) dapat memberikan sumbangan pada arus listrik. Hal ini menghasilkan dua jenis pembawa muatan, yaitu elektron (negatip) dan hole (positip).06. Ciri isolator adalah semua energi terisi penuh oleh elektron atau sama sekali kosong, sehingga tidak dapat terjadi konduksi listrik. Celah energi ΔE cukup besar, sehingga elektron dari pita energi yang penuh tidak dapat melompat (karena energi termal) ke pita energi yang kosong. Tingkat energi Fermi EF melalui daerah energi yang kosong. Ciri konduktor adalah tingkat energi Fermi EF melewati pita energi yang diperkenankan, sehingga pita tersebut setengahnya (atau sebagiannya) terisi oleh elektron. Ciri semikonduktor adalah tingkat energi Fermi EF melewati daerah harga energi terlarang, sehingga pada T=0 K hanya ada pita yang sama sekali penuh, dan di atasnya pita energi yang kosong sama sekali. Celah energi ΔE tidak tinggi, sehingga pada T>0 K sebagian elektron dapat melompatinya, dan berpindah ke pita konduksi yang masih kosong. Sementara tempat yang ditinggalkan elektron menjadi hole dalam pita valensi. Dengan demikian, pembawa muatannya adalah elektron dan hole. Sedangkan ciri semilogam adalah Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 136 celah energi lenyap seluruhnya, atau bahkan kedua pita energi terjadi overlap tipis.07. Metode LCAO menganggap bahwa elektron terikat kuat pada atom. Fungsi gelombang elektron didasarkan pada fungsi gelombang elektron dalam atom yang terisolasi, dan disusun dari fungsi gelombang elektron termaksud. Hasil ∑e ik •( rn − r j ) metode ini adalah ungkapan energi elektron E = E o − α − β . Untuk j kisi kubik sederhana dengan rusuk a, ungkapan energinya E(k)=Eo-α-2β(cos kxa+ cos kya+cos kza). Hal ini berarti (a). E(k) periodik terhadap k, (b). E(k) = E(-k), (c). E(k)max=Eo-α+6β pada puncak pita, dan E(k)min=Eo-α-6β pada dasar pita, sehingga beda antara keduanya merupakan pita energi, yang besarnya sebanding dengan integral overlap. Rentang energi dalam pita energi ini berperan sebagai energi kinetik elektron, sehingga elektron mampu bergerak ke bagian seluruh kristal, (d). Untuk harga k sangat kecil, yakni di dekat dasar pita energi elektron menjadi E(k) ≅ Eo - α - 6β + β a2 k2. Terlihat bahwa harga energi ini sama dengan hubungan dispersi untuk elektron bebas.08. Kecepatan dan massa efektif elektron, masing-masing dinyatakan sebagai 1 1 1 vg = ∇ k E (k ) dan = 2 ∇ k (∇ k E ) . Misalnya untuk kisi kubik sederhana m* dan elektron bebas dapat dicari ungkapan keduanya.09. Pengaruh gaya luar F terhadap elektron adalah adanya perubahan momentum. Karena bentuk E(k) dan kecepatan elektron yang sebanding dengan gradien energi, maka gerak elektron hanya bolak-balik antara x=0 sampi x=xo. Setiap kali elektron berada di x=xo, energinya berada di puncak pita konduksi dimana kemudian terjadi refleksi Bragg.10. Teori pita energi menghasilkan ungkapan umum konduktivitas listrik σ = e 2 v F , xτ F g ( E F ) . Bila didekati dengan permukaan Fermi sferik, maka 2 didapatkan ungkapan konduktivitas yang hanya berlaku untuk model elektron bebas. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 13711. Teori pita energi menghasilkan ungkapan umum konstanta Hall Reσ e2 + Rhσ h 2 R= . Jika pembawa muatan hanya elektron, maka Rh dan σh (σ e + σ h )2 berharga nol, sehingga R=Re. Hal ini didapat pada model elektron bebas.12. Teori pita energi menghasilkan ungkapan umum frekuensi siklotron untuk 2π eB elektron Bloch ini adalah ωc = . Bila didekati dengan bentuk δk ∫ v(k ) E=( 2k2/2m*), maka ungkapan frekuensi yang sama dengan yang diperoleh oleh model elektron bebas. LATIHAN SOAL BAB IV01.a. Fungsi Bloch satu dimensi mempunyai bentuk ψk(x)=eikxuk(x). Jika fungsi tersebut dikenai syarat batas periodik, maka buktikanlah bahwa jumlah (keadaan) orbital dalam suatu pita energi dalam Zona Brillouin Pertama sama dengan jumlah sel satuan primitip dalam kristal! b. Sama dengan soal a), tetapi untuk soal SC dalam tiga dimensi!02.a. Diketahui bahwa kristal BCC memiliki 8 tetangga terdekat dengan posisi 1 2 ( ˆ ˆ ˆ a x+ y−k ) 1 2 (ˆ ˆ ˆ a −x+ y−k ) 1 2 ( ˆ ˆ ˆ a x− y−k ) 1 2 (ˆ ˆ ˆ a −x− y−k ) 1 2 a (x − y + k ) ˆ ˆ ˆ 1 2 a (− x − y + k ) ˆ ˆ ˆ 1 2 a (x + y + k ) ˆ ˆ ˆ 1 2 a (− x + y + k ) ˆ ˆ ˆ (1) Dengan menggunakan ungkapan energi elektron (4.38) dan pendekatan interaksi tetangga terdekat, buktikan bahwa ungkapan energi untuk kristal BCC adalah E(k) = Eo - α - 8β cos ½ kxa cos ½ kya cos ½ kza (2) Tentukan lebar pita energinya! (3) Gambarkan kontur energi tersebut dalam bidang kx-ky! Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 138 b. Sama dengan soal a), tetapi untuk kristal FCC! Diketahui bahwa kristal FCC memiliki 12 tetangga terdekat dengan posisi 1 2 (ˆ ˆ a y−k ) 1 2 ( ˆ ˆ a − y−k ) 1 2 ( ˆ ˆ a− y+k ) 1 2 (ˆ ˆ a y+k ) 1 2 a(x + y ) ˆ ˆ 1 2 a(x − y ) ˆ ˆ 1 2 a(− x − y ) ˆ ˆ 1 2 a(− x + y ) ˆ ˆ 1 2 (ˆ ˆ a x−k ) 1 2 (ˆ ˆ a x+k ) 1 2 ( ˆ ˆ a −x+k ) 1 2 ( ˆ ˆ a −x−k ) Buktikan bahwa ungkapan energi untuk kristal FCC adalah E(k) = Eo - α - 4β [cos ½ kya cos ½ kza + cos ½ kza cos ½ kxa + cos ½ kxa cos ½ kya]03.a. Dengan menggunakan model ikatan kuat, hitunglah massa efektif elektron dalam kisi dimensi satu! Gambarkan massa m* terhadap k, dan tunjukkan bahwa massa tersebut tidak bergantung pada k hanya di dekat pusat dan di dekat ujung zona! b. Hitunglah massa efektif pada pusat zona dalam suatu kisi SC! c. Sama dengan soal b), tetapi pada ujung zona sepanjang arah [111]!04. Dengan menggunakan model ikatan kuat, hitunglah massa efektif elektron pada kristal SC! Isotropkah massa tersebut?05.a. Hitunglah kecepatan elektron untuk kristal satu dimensi dalam model ikatan kuat dan buktikan bahwa kecepatan tersebut nol pada batas zona! b. Sama dengan soal a), tetapi untuk kisi bujursangkar! Tunjukkan bahwa kecepatan pada batas zona adalah paralel terhadap batas tersebut! Jelaskan hasil ini dengan menggunakan refleksi Bragg! c. Sama dengan soal a), tetapi untuk kisi SC tiga dimensi, dan tunjukkan bahwa kecepatan elektron pada permukaan zona adalah paralel terhadap permukaan tersebut! Jelaskan hal ini dengan menggunakan refleksi Bragg! Kemukakan pernyataan umum tentang arah kecepatan pada permukaan zona tersebut!06. Semikonduktor Si dan Ge mempunyai relasi dispersi berkontur ellips E (k ) = α 1 k x2 + α 2 k y + α 3 k z2 2 a. Buktikanlah bahwa bahan tersebut mempunyai massa elektron anisotrop! Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 4 TEORI PITA ENERGI 139 b. Apa yang akan terjadi jika αi dalam ungkapan relasi dispersi di atas berharga negatip?07. Elektron Bloch berosilasi periodik dalam pengaruh medan listrik. a. Tuliskan ungkapan perioda gerakan dalam “reduced-zone scheme”! b. Jika perioda tersebut berorde 10-5 s dan waktu tumbukan elektron berorde 10-14s, maka hitunglah jumlah tumbukan yang dialami elektron selama satu putaran geraknya! Apakah konsekuensi dari jumlah tumbukan tersebut?08. Medan listrik statik dikenakan pada sebuah elektron pada waktu t=0 saat elektron berada di dasar pita energi. a. Tunjukkan bahwa dalam satu dimensi posisi elektron dalam ruang sebenarnya 1 ⎛ F ⎞ pada saat t adalah X = X o + E ⎜ k = t ⎟ , dengan Xo adalah posisi awal dan F ⎝ ⎠ F=-eε adalah gaya listrik! b. Apakah gerakan dalam soal a) periodik? Jelaskan!09.a. Tentukan harga k yang mana kecepatan elektron mencapai maksimum pada kisi kristal satu dimensi! b. Bagaimana ungkapan m* pada harga k soal a)?10. Turunkan ungkapan konstanta Hall (4.63) untuk sistem elektron-hole! 2 211. Suatu kristal mempunyai kontur energi E (k ) = * k + 2 x * 2 k y . Jika medan 2m 1 2m 2 magnet tegak lurus terhadap bidang kontur, maka buktikan bahwa frkuensi e2 siklotron adalah ω C = * * B ! m1 m2 Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • BAB V SEMIKONDUKTOR Semikonduktor, umumnya, diklasifikasikan berdasarkan harga resistivitaslistriknya pada suhu kamar, yakni dalam rentang (10-2 sampai 109) Ωm. Resistivitasyang lebih tinggi dimiliki oleh bahan isolator, dan yang lebih rendah oleh bahankonduktor. Resistivitas listrik dipengaruhi oleh suhu, cahaya yang menyinari, medanlistrik dan medan magnet. Semikonduktor sangat luas pemakaiannya, terutama, sejak ditemukannyatransistor pada akhir tahun 1940-an. Oleh karena itu semikonduktor dipelajari secaraintensif dalam fisika zat padat. Namun, dalam bab ini, hanya dibahas sifat fisis dasarsemikonduktor saja. Permulaan bab ini menyajikan pengelompokan semikonduktor berdasarkanunsur pembentuknya, beserta jenis struktur kristal dan ikatannya. Berdasarkan murniatau tidak murninya bahan, semikonduktor dibedakan menjadi dua jenis, yaitusemikonduktor intrinsik dan ekstrinsik. Semikonduktor intrinsik adalah semikonduktor murni, yang sifatkelistrikannya ditentukan oleh sifat alam yang melekat pada unsur yangbersangkutan. Sedangkan semikonduktor ekstrinsik adalah semikonduktor tidakmurni, yang sifat kelistrikannya dikendalikan oleh sifat dan jumlah pengotor yangdiberikan pada bahan itu. Dalam menyajikan sifat fisis dasar semikonduktor, bab ini membahas rapatelektron dan hole, yakni partikel pembawa muatan dalam semikonduktor. Umumnya,jarang ditemukan semikonduktor murni, melainkan dalam keadaan dengan
  • 5 SEMIKONDUKTOR 140ketidakmurnian. Bab ini juga membahas pengaruh ketakmurnian pada rapat elektrondan hole. Disamping itu, juga dibahas konduktivitas listrik dalam semikonduktor.Akhirnya, bab ini ditutup oleh bahasan metode optik yang dapat digunakan untukmengukur celah energi.5.1 KLASIFIKASI SEMIKONDUKTOR Dilihat dari unsur pembentuknya, semikonduktor diklasifikasikan menjadibeberapa kelompok berikut.a. Semikonduktor elemental kelompok IV, misalnya Ge dan Si. Kelompok ini memiliki struktur kristal intan dan ikatan kovalen homopolar.b. Senyawa kelompok III-V, misalnya GaAs, GaP, InSb, InAs dan GaSb. Senyawa ini memiliki struktur seng sulfida. Ikatannya berbentuk kovalen heteropolar, karena distribusi elektron sepanjang ikatan lebih banyak menuju ke arah atom yang elektronegativitasnya lebih tinggi, sehingga tidak simetri. Karena sifat polar inilah kisi senyawa III-V dapat dipolarisasikan oleh pemakaian medan listrik.c. Senyawa kelompok II-VI, misalnya CdS dan ZnS yang berstruktur seng sulfida dan berikatan kovalen heteropolar.d. Senyawa kelompok IV-VI, misalnya PbTe.5.2 SEMIKONDUKTOR INTRINSIK Pada T=0 K, pita valensi semikonduktor terisi penuh elektron, sedangkan pitakonduksi kosong. Kedua pita tersebut dipisahkan oleh celah energi kecil, yakni dalamrentang (0,18 – 3,7) eV. Pada suhu kamar, Si dan Ge masing-masing memiliki celahenergi 1,11 eV dan 0,66 eV. Pita konduksi dan pita valensi semikonduktor, masing-masing sebagai pita antibonding dan bonding dari keadaan elektron valensi atomyang bersangkutan. Bila mendapat cukup energi, elektron dapat melepaskan diri dari ikatankovalen dan tereksitasi menyeberangi celah energi. Elektron ini bebas bergerak diantara atom. Sedangkan tempat kekosongan elektron disebut hole, segera terisielektron ikatan kovalen lainnya. Holepun berpindah, begitu seterusnya. Dengan Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 5 SEMIKONDUKTOR 141demikian dasar pita konduksi dihuni oleh elektron, dan puncak pita valensi dihunihole. Sekarang, kedua pita terisi sebagian, dan dapat menimbulkan arus netto biladikenakan medan listrik. Elektron dan hole, masing-masing sebagai pembawa muatan bebas negatipdan positip dalam semikonduktor, mengikuti distribusi Fermi-Dirac. Dalamsemikonduktor murni, elektron dan hole mempunyai konsentrasi sama.Semikonduktor yang demikian disebut semikonduktor intrinsik. Distribusi elektron dalam pita konduksi mengikuti distribusi Fermi-Diracsama seperti persamaan (3.27), yaitu 1 f e (E) = E − EF (5.1a) 1+ e kTDengan mengandaikan bahwa (E-EF)>>kT, maka distribusi (5.1a) di atas menjadi EF − E f e (E) ≅ e kT (5.1b)Tampak bahwa probabilitas orbital elektron konduksi untuk terisi elektron sangatkecil fe(E)<<1. Energi elektron dalam pita konduksi adalah 2 k2 E (k ) = E c + (5.2) 2medengan Ec = tingkat energi dasar pita konduksi me = massa efektif elektronOleh karena itu rapat keadaan elektron, dengan mengacu pada persamaan (3.26),adalah 3/ 2 1 ⎛ 2me ⎞ g e (E) = ⎜ ⎟ (E − Ec )1 / 2 (5.3) 2π 2 ⎝ 2 ⎠dengan tingkat energi referensi diambil pada dasar pita konduksi Ec. Denganmengggunakan (5.1b) dan (5.3) diperoleh rapat elektron di pita konduksi ∞ 3/ 2 ∞ EF − E 1 ⎛ 2me ⎞ ∫ ∫ (E − E c ) e 1/ 2 ne = f e ( E ) g e ( E ) dE = ⎜ ⎟ kT dE (5.4) Ec 2π 2 ⎝ 2 ⎠ EcDengan mengubah variabel, dan menggunakan bentuk Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 5 SEMIKONDUKTOR 142 ∞ π ∫x e − x dx = 1/ 2 0 2maka konsentrasi elektron (5.4) dapat direduksi menjadi 3/ 2 Ec − E F ⎛ 2π me kT ⎞ − ne = 2⎜ 2 ⎟ e kT (5.5) ⎝ h ⎠ 3/ 2 ⎛ 2π me kT ⎞Faktor 2⎜ 2 ⎟ menyatakan rapat keadaan efektif dalam pita konduksi. ⎝ h ⎠Dalam hubungan (5.5) di atas, energi Fermi EF belum diketahui. Distribusi hole dalam pita valensi dapat dituliskan E − EF 1 f h (E) = 1 − f e (E) = EF − E ≅e kT (5.6) 1+ e kTapabila dianggap bahwa (EF-E)>>kT. Energi hole dalam pita valensi 2 k2 E (k ) = E v + (5.7) 2mhdengan Ev = tingkat energi puncak pita valensi mh = massa efektif holeOleh karena itu rapat keadaan hole 3/ 2 g h (E) = 1 ⎛ 2m h ⎞ ⎜ ⎟ (E −E )1/ 2 (5.8) 2π 2 ⎝ 2 ⎠ vdengan mengambil tingkat referensi puncak pita valensi Ev. Dengan menggunakan(5.6) dan (5.8) diperoleh rapat hole di pita valensi Ev nh = ∫f −∞ h ( E ) g h ( E ) dE 3 / 2 Ev E − EF ∫ (E ) 1 ⎛ 2m h ⎞ 1/ 2 = ⎜ ⎟ −E e kT dE (5.9) 2π 2 ⎝ 2 ⎠ v −∞ 3/ 2 E F − Ev ⎛ 2π mh kT ⎞ − = 2⎜ 2 ⎟ e kT ⎝ h ⎠ Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 5 SEMIKONDUKTOR 143 3/ 2 ⎛ 2π m h kT ⎞Faktor 2⎜ ⎟ menyatakan rapat keadaan efektif dalam pita valensi. Energi ⎜ ⎟ ⎝ h2 ⎠Fermi EF dalam hubungan inipun belum diketahui. Sebenarnya, dalam menurunkan ungkapan rapat elektron dan hole di atastidak dinyatakan bahwa bahan tersebut semikonduktor intrinsik atau ekstrinsik.Dengan demikian ungkapan di atas berlaku agak umum. Bila rapat elektron (5.5) dikalikan dengan rapat hole (5.9) diperoleh 3 ⎛ 2π kT ⎞ Eg 3/ 2 − ne nh = 4⎜ 2 ⎟ (me mh ) e kT (5.10) ⎝ h ⎠karena celah energi Eg=Ec-Ev. Hubungan ini disebut hukum Aksi-Massa.Ungkapannya tidak bergantung pada EF, dan jenis bahan murni atau didoping. Padasuhu tertentu T, perkalian nenh berharga konstan dan rapat pembawa muatan yangsatu dapat dihitung bila rapat pembawa muatan lainnya diketahui. Semikonduktor intrinsik harus memenuhi hubungan ne = nh (5.11)Substitusi ne dari (5.5) dan nh dari (5.9) ke dalam (5.11) menghasilkan ungkapanenergi Fermi EF relatif terhadap energi puncak pita valensi Ev Eg 3 m Ec − E F = + kT ln e (5.12) 2 4 mhKarena kT<<Eg, maka suku kedua dapat diabaikan, sehingga EF tepat di tengah-tengah antara Ev dan Ec. Karena persamaan (5.11), maka dari persamaan (5.10) dapatdiperoleh rapat elektron atau hole dalam semikonduktor intrinsik 3/ 2 ⎛ 2π kT ⎞ Eg − ne = nh = 2⎜ 2 ⎟ (me mh )3 / 4 e 2 kT (5.13) ⎝ h ⎠Tampak bahwa n naik secara tajam (secara eksponensial) terhadap suhu T. PadaGambar 5.1 berikut disajikan sketsa pita konduksi dan valensi, fungsi distribusi danrapat keadaan elektron dan hole. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 5 SEMIKONDUKTOR 144 Gambar 5.1 a. Pita valensi dan konduksi b. Fungsi distribusi c. Rapat keadaan elektron dan hole Ungkapan konsentrasi (5.13) di atas dapat dipergunakan untuk menetapkan Egbagi bahan semikonduktor intrinsik. Jika μe dan μh, masing-masing menyatakanmobilitas elektron dan hole, maka dengan menggunakan (5.13) diperolehkonduktivitas total σ = e ne μ e + e n h μ h 3/ 2 ⎛ 2π kT ⎞ Eg − = 2e⎜ 2 ⎟ (me mh ) 3/ 4 e 2 kT (μ e + μ h ) (5.14) ⎝ h ⎠ Eg − = f (T ) e 2 kTdengan f(T) adalah fungsi yang bergantung lemah terhadap suhu. Dengan membuatgrafik ln σ sebagai fungsi 1/T, dari data eksperimen, maka didapatkan kemiringankurva –Eg/2k. Dengan demikian celah energi Eg dapat ditentukan. Pada awalperkembangan semikonduktor, cara ini merupakan prosedur standard dalammenentukan celah energi Eg.5.3 SEMIKONDUKTOR EKSTRINSIK Ketidakmurnian dalam semikonduktor dapat menyumbangkan elektronmaupun hole dalam pita energi. Dengan demikian, konsentrasi elektron dapat menjadi Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 5 SEMIKONDUKTOR 145tidak sama dengan konsentrasi hole, namun masing-masing bergantung padakonsentrasi dan jenis bahan ketidakmurnian. Semikonduktor yang didoping denganketidakmurnian disebut semikonduktor ekstrinsik.5.3.1 Ketidakmurnian Donor dan Aseptor Dalam aplikasi, kadang hanya diperlukan bahan dengan pembawa muatanelektron saja, atau hole saja. Hal ini dilakukan dengan doping ketidakmurnian kedalam semikonduktor.5.3.1.1 Donor Misalnya, Si didoping dengan As. Atom As menempati titik kisi yangsebelumnya ditempati tuan rumah Si secara acak. As adalah pentavalen, sedangkanSi tetravalen. Kelebihan sebuah elektron dari setiap atom As, yang tidak turut dalamikatan tetrahedral Si, bebas bergerak dalam kristal sebagai elektron konduksi dalampita konduksi. Oleh karena itu, ketidakmurnian menjadi ion positip As+. Hal iniberarti ketidakmurnian As menyumbangkan elektron ke dalam pita konduksi, dandisebut donor. Orbit elektron bebas di sekitar donor tersebut ternyata menyerupai atomhidrogen model Bohr. Dengan demikian, interaksi yang terjadi adalah interaksiCoulomb. Dengan memakai model Bohr, maka jari-jari elektron donor ⎛m ⎞ rd = ε r ⎜ o ⎜m ⎟ao ⎟ (5.15) ⎝ e ⎠dengan εr = konstanta dielektrik kristal ao = radius Bohr (=0,53 Å) mo= massa bebas elektron me= massa efektif elektronSi memiliki konstanta dielektrik εr=11,7 dan (me/mo)=0,2. Oleh karena itu, harga rduntuk Si kira-kira 60 kali lebih besar daripada ao. Karena itu orbit elektron donormelingkupi banyak atom “tuan rumah” Si, seperti ditunjukkan oleh Gambar 5.2berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 5 SEMIKONDUKTOR 146 Gambar 5.2 Orbit elektron mengelilingi donorSedangkan energi ikat yang bersesuaian dengan keadaan dasar energi 1 ⎛ me ⎞ Ed = + ⎜ ⎟ Eo (5.16) ε r 2 ⎜ mo ⎝ ⎟ ⎠dengan Eo adalah energi dasar atom hidrogen (-13,6 eV). Hal ini berarti, untuk Si,harga Ed kira-kira 700 kali lebih kecil daripada Eo. Dengan demikian, tingkatanenergi donor dalam semikonduktor berada dalam celah energi sedikit di bawah dasarpita konduksi, seperti ditunjukkan oleh Gambar 5.3 berikut. Gambar 5.3 Tingkat energi donor Ed dalam semikonduktorPada suhu kamar (kT=0,025 eV), sebagian besar donor terionisasi dan elektronnyatereksitasi ke dalam pita konduksi. Jika semua donor terionisasi, maka konsentrasielektron dalam pita konduksi hampir sama dengan jumlah donor. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 5 SEMIKONDUKTOR 1475.3.1.2 Aseptor Misalnya, kristal Si didoping dengan atom Ga. Karena atom Ga trivalen, makapada salah satu ikatan elektronnya terjadi hole. Hole segera terisi oleh elektron dariikatan yang lain sehingga terjadi hole pada ikatan yang lain tadi. Pada akhirnya, holetersebut secara bebas bergerak ke seluruh bagian kristal. Karena cenderung menerimaelektron untuk melengkapi ikatan tetrahedralnya, ketidakmurnian Ga menjadi ionnegatip dan disebut aseptor. Orbit hole di sekitar aseptor juga menyerupai atom hidrogen model Bohr.Energi ikat hole pada aseptor juga sangat kecil harga numeriknya, dan terletak dalamcelah energi, sedikit di atas pita valensi, seperti ditunjukkan dalam Gambar 5.4berikut. Gambar 5.4 Tingkat energi aseptor Ea dalam semikonduktorSaat aseptor terionisasi (karena hole terisi elektron yang tereksitasi dari puncak pitavalensi), hole jatuh ke puncak pita valensi, dan menjadi pembawa muatan bebas. Tingkat energi donor dan aseptor dalam celah energi (pita energi terlarang)merupakan konsekuensi dari ketidaksempurnaan kristal. Kedua tingkatan initerlokalisasi dan tidak bisa menghantarkan listrik. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 5 SEMIKONDUKTOR 148 Umumnya, tidak ada semikonduktor yang benar-benar murni, melainkanmengandung donor maupun aseptor. Elektron dalam pita konduksi dapat terciptamelalui eksitasi antarpita atau ionisasi termal donor. Hole dalam pita valensi dapatterbentuk melalui eksitasi antarpita atau eksitasi termal elektron dari pita valensi kedalam tingkatan aseptor. Dapat juga, elektron jatuh dari tingkat donor ke tingkataseptor. Semikonduktor intrinsik diperoleh bila doping ketidakmurnian kecil. Dengandemikian, konsentrasi pembawa muatan sangat ditentukan oleh transisi antarpitasecara induksi termal, sehingga diperoleh pendekatan ne=nh (persamaan (5.11)) dankonsentrasi elektron atau hole sama seperti persamaan (5.13), yaitu 3/ 2 ⎛ 2π kT ⎞ Eg − ne = nh = ni = 2⎜ 2 ⎟ (me mh )3/ 4 e 2 kT (5.17) ⎝ h ⎠Pada suhu yang cukup tinggi, semua semikonduktor berada dalam keadaan intrinsik,yaitu ni naik secata tajam (secara eksponensial) terhadap suhu T (kecuali konsentrasiketidakmurnian tinggi sekali). Semikonduktor ekstrinsik diperoleh bila doping ketidakmurnian cukup besar,sehingga konsentrasi intrinsik sudah jauh lebih kecil pada suhu kamar. Daerahekstrinsik terbagi menjadi dua kelompok berikut.a. Konsentrasi donor Nd jauh lebih besar daripada aseptor Na Dianggap semua donor terionisasi, sehingga diperoleh pendekatan ne = Nd (5.18)Bila hukum Aksi-Massa dikaitkan dengan konsentrasi intrinsik, maka diperoleh ne nh = ni2 (5.19)Substitusi konsentrasi donor (5.18) ke dalam (5.19) menghasilkan konsentrasi hole ni2 nh = (5.20) Nd Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 5 SEMIKONDUKTOR 149Di daerah ekstrinsik berlaku ni<<Nd, sehingga nh<<Nd. Dengan demikian, konsentrasielektron (dari donor) jauh lebih besar daripada hole. Semikonduktor yang demikiandisebut semikonduktor jenis-n.b. Konsentrasi aseptor Na jauh lebih besar daripada donor Nd Analisa yang sama dengan di atas memberikan pendekatan nh = Na (5.21)Konsentrasi elektron kecil, yang diungkapkan oleh ni2 ne = (5.22) NaSemikonduktor yang demikian disebut semikonduktor jenis-p.5.4 PENGUKURAN CELAH ENERGI DENGAN METODE OPTIK Nilai terendah kurva dispersi pita konduksi semikonduktor, ternyata, tidakhanya satu nilai pada k=0, melainkan bisa juga terjadi beberapa nilai pada k≠0. hal iniditunjukkan oleh sketsa dalam Gambar 5.5 berikut. pita konsuksi Eg Eg pita pita valensi valensi a b Gambar 5.5 a. Semikonduktor celah-langsung b. Semikonduktor celah-tidak langsung Pada semikonduktor celah-langsung, misalnya GaAs dan InSb, elektronmengabsorbsi foton dan langsung melompat ke dalam pita konduksi. Energi fotonharus sama atau lebih besar dari celah energi. Koefisien absorbsi α=α(λ) mencapai Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 5 SEMIKONDUKTOR 150harga maksimum pada panjang gelombang ambang foton λ0. Dengan demikian celahenergi dapat ditentukan melalui hubungan hc Eg = (5.23) λ0 Pada semikonduktor celah-tidak langsung, misalnya Si dan Ge, elektronmengabsorbsi foton dan fonon sekaligus. Proses ini memenuhi hukum kekekalanenergi Efoton + Efonon = Eg (5.24)Karena Efonon(=0,05 eV) sangat kecil bila dibandingkan dengan Efoton(=1 eV), maka hc E g = E foton = (5.25) λ0sehingga dalam hal ini sama dengan kasus transisi langsung pada semikonduktorcelah-langsung. RINGKASAN01. Dilihat dari unsur pembentuknya, semikonduktor diklasifikasikan menjadi beberapa kelompok berikut: (a). elemental kelompok IV, yang berstruktur kristal intan dan ikatan kovalen homopolar, (b). kelompok III-V, yang berstruktur seng sulfida dan ikatannya berbentuk kovalen heteropolar, (c). kelompok II-VI, yang berstruktur seng sulfida dan berikatan kovalen heteropolar, dan (d). kelompok IV- VI.02. Pada T=0 K, pita valensi semikonduktor terisi penuh elektron, sedangkan pita konduksi kosong. Kedua pita tersebut dipisahkan oleh celah energi kecil, yakni dalam rentang (0,18 – 3,7) eV. Dasar pita konduksi dihuni oleh elektron, dan puncak pita valensi dihuni hole. Sekarang, kedua pita terisi sebagian, dan dapat menimbulkan arus netto bila dikenakan medan listrik. Keduanya mengikuti distribusi Fermi-Dirac. Dalam semikonduktor murni, elektron dan hole Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 5 SEMIKONDUKTOR 151 mempunyai konsentrasi sama. Semikonduktor yang demikian disebut semikonduktor intrinsik. 3/ 2 Ec − E F ⎛ 2π me kT ⎞ −03. Konsentrasi elektron dalam pita valensi adalah ne = 2⎜ 2 ⎟ e kT . ⎝ h ⎠ 3/ 2 E F − Ev ⎛ 2π mh kT ⎞ − Sedangkan hole di pita valensi adalah n h = 2⎜ 2 ⎟ e kT . Hukum Aksi- ⎝ h ⎠ Massa adalah perkalian antara rapat elektron dengan rapat hole04. Letak tingkat energi Fermi EF relatif terhadap energi puncak pita valensi Ev untuk semikonduktor intrinsik adalah tepat di tengah-tengah antara Ev dan Ec. Eg −05. Konduktivitas sebagai fungsi suhu dinyatakan oleh σ = f (T ) e 2 kT . Dengan membuat grafik ln σ sebagai fungsi 1/T, dari data eksperimen, maka didapatkan kemiringan kurva –Eg/2k. Dengan demikian celah energi Eg dapat ditentukan.06. Semikonduktor yang didoping dengan ketidakmurnian disebut semikonduktor ekstrinsik. Semikonduktor yang tetravalen, didoping dengan atom pentavalen. Akibatnya, kelebihan sebuah elektron dari setiap atom donor, bebas bergerak dalam kristal sebagai elektron konduksi dalam pita konduksi. Tetapi, jika didoping dengan atom trivalen, maka pada salah satu ikatan elektronnya terjadi hole sehingga atom pendoping tersebut menjadi aseptor.07. Orbit elektron bebas di sekitar donor dan hole di sekitar aseptor tersebut, ternyata, menyerupai atom hidrogen model Bohr. Dengan demikian, interaksi yang terjadi adalah interaksi Coulomb. Jari-jarinya kira-kira 60 kali lebih besar daripada radius Bohr sehingga melingkupi banyak atom “tuan rumah”. Tingkat energi donor dalam semikonduktor berada dalam celah energi sedikit di bawah dasar pita konduksi. Sedangkan energi ikat hole pada terletak dalam celah energi, sedikit di atas pita valensi.08. Dalam semikonduktor ekstrinsik, jika konsentrasi donor Nd jauh lebih besar daripada aseptor Na, konsentrasi elektron (dari donor) jauh lebih besar daripada hole. Semikonduktor yang demikian disebut semikonduktor jenis-n. Tetapi sebaliknya, jika konsentrasi aseptor Na jauh lebih besar daripada donor Nd, maka Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 5 SEMIKONDUKTOR 152 konsentrasi elektron kecil. Semikonduktor yang demikian disebut semikonduktor jenis-p.09. Pengukuran celah energi dengan menggunakan metode optik memenuhi rumus hc hubungan E g = λ0 LATIHAN SOAL BAB V01. Model sederhana menunjukkan bahwa Ge memiliki pita valensi dan pita konduksi tunggal dengan celah energi 0,670 eV. Sedangkan massa efektifnya mh=0,370mo dan me=0,550mo. Hitunglah a. energi Fermi relatif terhadap puncak pita valensi! b. probabilitas terisinya keadaan dasar pita konduksi pada suhu 300 K! c. probabilitas kosongnya keadaan puncak pita valensi pada suhu 300 K! d. konsentrasi elektron dalam pita konduksi pada suhu 300 K!02. Suatu bahan semikonduktor mempunyai struktur intan dengan sisi kubus 5,4 Å, massa efektif me=0,88mo dan mh=0,42mo serta celah energi antara pita valensi dan konduksi sebesar 0,82 eV. Diandaikan bahan tersebut murni, maka hitunglah a. energi Fermi! b. rapat elektron dalam pita konduksi pada suhu 300 K! c. rapat elektron dalam pita valensi pada suhu 300 K! d. Buktikan bahwa rapat elektron dalam pita konduksi sama dengan rapat hole dalam pita valensi pada suhu 300 K!03.a. Hitunglah konsentrasi elektron dan hole dalam sampel murni Si pada suhu kamar! Ambillah harga me=0,7mo; mh=mo dan Eg=1,1 eV! b. Tentukan posisi tingkat energi Fermi dalam keadaan ini!04. Diketahui bahwa rapat keadaan efektif elektron dalam pita konduksi 1,1.1019 cm-3 dan rapat keadaan efektif hole dalam pita valensi 0,51.1019 cm-3 dalam Ge pada suhu kamar. Jika diambil harga Eg=0,7 eV, maka hitunglah Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 5 SEMIKONDUKTOR 153 a. massa efektif me dan mh untuk elektron dan hole! b. konsentrasi pembawa muatan pada suhu kamar! c. konsentrasi pembawa muatan pada suhu 77 K, jika dianggap energi celah tidak bergantung pada suhu!05. Galium Arsenit mempunyai konstanta dielektrik 10,4, massa efektif elektron me=0,07mo dan hole mh=0,09mo. a. Tentukan energi ionisasi donor dan aseptor! b. Hitunglah radius Bohr untuk ikatan elektron donor dan hole aseptor!06. Suatu sampel silikon didoping dengan donor arsen 1,0.1023 m-3. Sampel disimpan dalam keadaan suhu kamar. Data untuk Si adalah Eg=1,1 eV, me=0,7mo dan mh=mo. a. Hitunglah konsentrasi elektron intrinsik, dan tunjukkan bahwa harga tersebut dapat diabaikan bila dibandingkan dengan konsentrasi elektron sumbangan donor! b. Jika dianggap semua ketidakmurnian mengalami ionisasi, maka tentukan posisi tingkat energi Fermi! c. Bagaimana pengaruhnya terhadap tingkat energi Fermi jika terhadap sampel di atas didopingkan aseptor sebanyak 6,0.1021 m-3?07. Data untuk Si adalah μe=1350 cm2/Vs, μh=475 cm2/Vs, Eg=1,1 eV, me=0,7mo dan mh=mo. Hitunglah konduktivitas intrinsik σ pada suhu kamar!08. Turunkan persamaan (5.15) dan (5.16)!09. Untuk Ge didapatkan εr=15,8 dan me/mo=0,1. Hitunglah jari-jari orbit keadaan dasar dan energi ionisasi donor yang didopingkan ke dalam Ge! Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • B A B VI BAHAN DIELEKTRIK Bab ini membahas sifat dielektrik bahan, yang disertai dengan sifat optik danperubahan fasa bahan. Sifat tersebut meliputi rentang frekuensi yang sangat lebar,yakni mulai dari daerah statik sampai ultraviolet, dan memberikan informasi pentingyang berkaitan dengan struktur bahan. Bab ini diawali oleh bahasan rumusan dasar sifat dielektrik bahan.Selanjutnya, dibahas konstanta dielektrik bahan sebagai besaran makroskopis, danmerelasikannya dengan polarisabilitas molekul sebagai besaran mikroskopis. Sumberpolarisasi molekul adalah polarisabilitas polar, ionik dan elektronik. Akhirnya, babini ditutup oleh bahasan gejala piezoelektrik dan ferroelektrik, dimana keduanyaberkaitan dengan polarisabilitas ionik6.1 RUMUSAN DASAR POLARISASI BAHAN Dua muatan listrik berlawanan, tetapi besarnya sama, yakni –q dan +q,membentuk dipol listrik yang momennya p = qd (6.1)dengan d adalah vektor posisi dari muatan negatip ke positip, seperti ditunjukkanoleh Gambar 6.1 berikut. Gambar 6.1 Sebuah dipol listrik
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 155Suatu dipol listrik menimbulkan medan listrik di sekitarnya, yaitu 1 3( p • r )r − r 2 p εr = (6.2) 4π ∈o r5dengan r adalah vektor jarak yang menghubungkan dipol dengan titik medan yangditinjau. Ungkapan medan (6.2) di atas mengasumsikan bahwa r>>d. Menempatkan suatu dipol dalam medan listrik eksternal ε o , menyebabkantimbulnya torsi pada dipol, yaitu τ = p ×εo (6.3)seperti ditunjukkan oleh Gambar 6.2 berikut. Gambar 6.2 Torsi pada suatu dipol yang ditimbulkan oleh medan listrik luarTorsi berusaha membawa dipol menjadi searah medan. Disamping itu, interaksiantara dipol dan medan menimbulkan energi potensial V = − p • ε o = − pε o cosθ (6.4)Tampak bahwa dipol memiliki energi potensial minimum bila orientasinya paralelmedan. Hal ini sesuai dengan kecenderungan torsi pada dipol seperti di atas. Dalam bahan dielektrik, kumpulan momen dipol membentuk polarisasi P ,yakni jumlah momen dipol persatuan volume. Untuk suatu kristal, polarisasimerupakan jumlah momen dipol dalam suatu sel satuan dibagi dengan volume sel.Jika bahan mengandung jumlah molekul persatuan volume sebanyak N, dan masing-masing memiliki momen p , serta momen tersebut searah, maka polarisasinya P=N p (6.5) Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 1566.2 KONSTANTA DIELEKTRIK BAHAN (PANDANGAN MAKROSKOPIS) Bahan dielektrik yang ditempatkan dalam suatu medan listrik eksternal ε omengalami perpindahan listrik D =∈o ε o (6.6)dengan ∈o adalah permitivitas vakum. Disamping itu, bahan menjadi terpolarisasi,sehingga sifat elektromekaniknya berubah melalui ungkapan D =∈o ε + P (6.7)dengan ε adalah medan listrik dalam bahan. Gabungan kedua persamaan (6.6) dan(6.7) di atas menghasilkan 1 ε = εo − P (6.8) ∈oTampak bahwa polarisasi bahan menyebabkan terjadinya induksi medan. Hal inidijelaskan dalam Gambar 6.3 berikut. εo ε ε + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - Gambar 6.3 Medan ε melawan medan luar ε o . Resultan medan internal adalah εPolarisasi menyebabkan terjadinya muatan polarisasi pada permukaan bahan, yaknimuatan positip di sebelah kanan dan negatip di kiri. Muatan ini menimbulkan medanlistrik ε yang arahnya ke kiri melawan medan luar ε o . Akibatnya medan internalresultan, yakni ε lebih kecil daripada ε o . Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 157 Suseptibilitas listrik χ bahan didefinisikan oleh hubungan P =∈o χ ε (6.9)Hubungan (6.9) berlaku untuk bahan dielektrik linier isotropik, misalnya bahan kubikdan amorf. Substitusi polarisasi (6.9) ke dalam perpindahan listrik (6.7) di atasmenghasilkan D =∈o ε + ∈o χ ε =∈o (1 + χ )ε =∈o ∈r ε =∈ ε (6.10)dengan ∈ = permitivitas listrik (mutlak) ∈r = permitivitas listrik relatif (terhadap ∈o ) = konstanta dielektrikKonstanta dielektrik ∈r dan suseptibilitas listrik χ merupakan besaran karakteristikmakroskopis bahan.6.3 POLARISABILITAS BAHAN (PANDANGAN MIKROSKOPIS)6.3.1 Persamaan Clausius-Mosotti Polarisasi bahan, yakni pensejajaran momen dipol molekul, terjadi karenamedan listrik. Oleh karena itu diambil asumsi bahwa momen dipol molekul psebanding dengan medan listrik lokal ε l pada molekul yang bersangkutan p = α εl (6.11)dengan α adalah polarisabilitas molekul. Untuk memperoleh ε l dipergunakan perumusan Lorentz, yaitu suatu dipoltertentu dibayangkan dikelilingi oleh rongga bola yang berjari-jari R cukup besarsehingga titik-titik di permukaan bola luar dapat dianggap sebagai medium kontinu.Medan lokal yang bekerja pada dipol di pusat bola ε l = ε o + ε1 + ε 2 + ε 3 (6.12)dimanaε o = medan eksternalε 1 = medan yang terjadi karena muatan polarisasi pada permukaan eksternal bahanε 2 = medan yang terjadi karena muatan polarisasi pada permukaan bola Lorentzε 3 = medan yang terjadi karena semua dipol dalam bola Lorentz Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 158Bagian antara bola dan permukaan eksternal menghasilkan muatan total nol karenamuatan polarisasinya saling menetralkan satu sama lain. Pada ungkapan (6.12) diatas, ε o dan ε 1 merupakan medan makroskopis. Hal di atas ditunjukkan olehGambar 6.4 berikut. + - - + + + - - + + + + - - + θ + + - - + + + εl - - + + + + + - - + + - Gambar 6.4 Prosedur menghitung ε l pada dipol yang terletak pada pusat bola LorentzMedan ε 1 . Medan ini dikenal sebagai medan depolarisasi karena arahnya melawanmedan eksternal ε o . Untuk bahan berbentuk keping tak berhingga, denganmenggunakan hukum Gauss, nilai medan ini 1 ε1 = − P (6.13) ∈oMedan ε 2 . Karena bola cukup besar, maka muatan polarisasi pada permukaanrongga Lorentz dapat dianggap memiliki distribusi kontinu dengan kerapatan n • P = P cosθ ˆ ˆdengan n adalah normal (arah keluar) permukaan bola. Elemen luas permukaan boladS = R2 sin θ dθ dφ. Medan yang ditimbulkan oleh muatan ini adalah π 2π 1 ⎛ P cosθ ⎞ ε2 = ∫ φ∫ ⎜ ⎟ cosθ R sin θ dθ dφ 2 (6.14) 4π ∈o θ=0 ⎝ =0 R 2 ⎠Faktor cos θ muncul karena integrasi hanya mengambil medan sepanjang arah P(komponen lain lenyap karena simetri). Hasil integrasi di atas 1 ε2 = P (6.15) 3 ∈o Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 159Medan ε 3 . Dipol dalam bola berdistribusi secara diskrit dan masing-masingmenimbulkan medan listrik (persamaan (6.2)) di sekitarnya. Oleh karena itu medantotal diperoleh dengan menjumlahkan seluruhnya. Medan total ini bergantung padastruktur kristal bahan. Untuk bahan berstruktur kubik, nilai medan total ini adalahnol. Jadi ε3 = 0 (6.16)Dengan demikian substitusi medan (6.13), (6.15) dan (6.16) ke dalam (6.12)menghasilkan medan lokal 2 εl = εo − P (6.17) 3 ∈oBila ditulis dalam bentuk medan makroskopis bahan dielektrik ε , denganmenggunakan persamaan (6.8), maka ungkapan medan lokal (6.17) di atas menjadi 1 εl = ε + P (6.18) 3 ∈oTampak bahwa medan lokal ε 1 lebih besar dari medan rata-rata ε . Ungkapan (6.18)sering dinamakan hubungan Lorentz. Medan Maxwell, ε , merupakan besaran makroskopis dan medan konstanrata-rata dari seluruh jumlah molekul. Sedangkan medan Lorentz, ε 1 , merupakanbesaran mikroskopis yang nilainya berfluktuasi, yaitu sangat besar pada tempat disekitar molekul. Oleh sebab itu, molekul akan lebih efektif terpolarisasi dalam ε 1daripada dalam ε . Hal ini dilukiskan dalam Gambar 6.5 berikut. Gambar 6.5 Perbedaan antara medan Maxwell ε dan medan Lorentz ε 1 . Bulatan padat adalah molekul Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 160 Substitusi medan lokal (6.18) ke dalam persamaan (6.5) melalui persamaan(6.11) menghasilkan polarisasi bahan dielektrik Nα P= (6.19) Nα 1− 3 ∈oSedangkan substitusi polarisasi (6.19) ke dalam perpindahan listrik (6.7)menghasilkan ungkapan konstanta dielektrik 2 1+ Nα 3 ∈o ∈r = (6.20) Nα 1− 3 ∈oHasil ini menunjukkan bahwa besaran makroskopis ∈r dapat diungkapkan dalambentuk besaran mikroskopis α. Ungkapan konstanta dielektrik (6.20) di atasseringkali ditulis dalam bentuk ∈r −1 Nα = (6.21) ∈r +2 3 ∈odan disebut sebagai hubungan Clausius-Mosotti. Bentuk (6.21) di atas dapat jugaditulis menjadi W ⎛ ∈r −1 ⎞ N Aα ⎜ ⎟= (6.22) ρ ⎜ ∈r +2 ⎟ 3 ∈o ⎝ ⎠Hal ini menunjukkan bahwa polarisabilitas α dapat ditentukan asalkan besaran beratmolekul W, rapat massa ρ, dan konstanta dielektrik ∈r diketahui. Ungkapan ruaskanan (dan ruas kiri) dalam (6.22) di atas dinamakan polarisabilitas molar. Persamaan Clausius-Mosotti cukup valid untuk bahan muatan dan cairan. N AαUntuk gas, dimana N kecil, penyebut (6.20) menunjukkan << 1 sehingga dapat 3 ∈odideretkan. Bila dari deret tersebut diambil orde pertama, maka diperoleh ungkapankonstanta dielektrik Nα ∈r = 1 + (6.23) ∈o Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 161Hal ini berarti, untuk gas, medan lokal ε 1 lebih kurang berharga sama dengan medanrata-rata ε bahan.6.3.2 Sumber Polarisabilitas Sehubungan dengan proses polarisasi bahan, struktur molekul/atom yangmembangun suatu bahan dapat dikelompokkan menjadi berikut.a. Molekul polar, yakni molekul yang mempunyai resultan momen dipol permanen tidak sama dengan nol. Contohnya H2O.b. Molekul nonpolar, yakni molekul yang mempunyai resultan momen dipol permanen sama dengan nol. Contohnya CO2.c. Molekul ionik, yakni molekul yang berikatan ionik. Contohnya NaCl.d. Atom kristal kovalen bersifat nonpolar dan nonionik. Contohnya Si dan Ge.Berdasarkan jenis molekul/atom di atas dan perilakunya saat dikenakan medan, makapolarisabilitas bahan dapat terdiri dari beberapa jenis sebagai berikut.a. Polarisabilitas polar/orientasional (αp) Momen dipol permanen bahan terdistribusi secara acak sehingga polarisasi sama dengan nol. Saat dikenakan medan momen dipol cenderung mensejajarkan diri terhadap arah medan sehingga polarisasi tidak sama dengan nol.b. Polarisabilitas ionik (αi) Medan menyebabkan ion positip bergerak searah medan dan ion negatip bergerak berlawanan arah medan, sehingga panjang ikatan antarion menjadi longgar. Perpindahan relatif ion bermuatan ini menghasilkan momen dipol dalam satuan sel, yang sebelumnya tidak ada.c. Polarisabilitas elektronik (αe) Masing-masing ion atau atom dalam molekul terdiri dari inti (nukleus) dan elektron. Bila dikenakan medan, maka ion atau atom individual tersebut menjadi terpolarisasi karena elektron mengalami perpindahan relatif terhadap inti ke arah yang berlawanan dengan arah medan. Hal yang sama terjadi juga pada atom netral. Dari uraian di atas, umumnya, polarisabilitas total suatu bahan dapat ditulis Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 162 α = αe + αi + αp (6.24)Bentuk αe terjadi pada semua jenis bahan. Sedangkan bentuk αi hanya terjadi padabahan ionik. Pada bahan polar dapat terjadi proses ketiga polarisasi di atas. Terdapat ciri khusus yang membedakan satu sama lain dari ketiga polarisasi diatas, yakni sebagai berikut.a. Polarisasi polar menunjukkan kebergantungan yang kuat terhadap suhu, sedangkan dua yang lain tidak. Konstanta dielektrik bahan polar mengalami penurunan dengan naiknya suhu.b. Perilaku polarisabilitas bolak-balik, yakni saat pada bahan dikenakan medan listrik bolak-balik, seperti ditunjukkan pada Gambar 6.6 berikut. Gambar 6.6 Sketsa polarisabilitas total α terhadap frekuensi ω dalam bahan polar Terlihat bahwa pada ω>ωp (p=polar), sumbangan αp menghilang karena dipol tidak mampu mengikuti gerakan medan yang berosilasi sedemikian cepatnya sehingga dipol dalam keadaan stasioner. Pada daerah ω>ωi (i=ionik), ion dengan massa yang berat tidak sanggup untuk mengikuti osilasi medan yang sangat cepat sehingga polarisabilitas αi sama dengan nol; dan pada daerah ini hanya terdapat polarisabilitas elektronik αe saja. Tetapi pada ω>ωe (e=elektronik), αe sama dengan nol karena elektron terlalu berat untuk mengikuti medan yang berosilasi Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 163 sangat cepat. Dengan demikian konstanta dielektrik bahan polar menurun dengan kenaikan frekuensi dari daerah statik sampai ke optik.6.3.2.1 Polarisabilitas Polar6.3.2.1.1 Polarisabilitas Polar Statik Semula, momen dipol mempunyai orientasi acak sehingga resultan polarisasirata-rata bahan sama dengan nol. Bila pada bahan dikenakan medan listrik, misalnyaε, maka energi potensial dipol sama seperti persamaan (6.4), yakni V = − p • ε = − pε cosθ (6.25)dengan θ adalah sudut antara arah dipol dan medan. Medan menyebabkan adanyatorsi dan distribusi dipol tidak lagi acak, melainkan cenderung mensejajarkan diridalam arah medan. Probabilitas untuk mendapatkan dipol dalam arah θ memenuhifungsi distribusi Maxwell-Boltzmann f (θ ) = e −V / koT = e pε cosθ / koT (6.26)Terlihat bahwa dipol lebih menyukai arah θ=0o, yakni searah medan. Harga rata-rata dipol dalam arah-X px = ∫ p f (θ )dΩ x (6.27) ∫ f (θ )dΩdimana integrasi dilakukan atas semua arah dipol dalam sudut ruang Ω. Dalam hal inipx = p cos θ θ = (0 s/d π) dΩ = sin θ dθ dφ dan φ = (0 s/d 2π)Hasil integrasi di atas adalah p x = p L(u ) (6.28)dengan L(u) = coth u – 1/u dan u = pε/koT. Fungsi Langevin L(u) mempunyai bentuksketsa seperti ditunjukkan dalam Gambar 6.7 berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 164 L(u) 1 u= ( pε k oT ) 3 Gambar 6.7 Fungsi Langevin L(u) terhadap uPada suhu kamar dan medan yang sedang, u<<1 dan fungsi naik secara linier dandengan mengekspansikan coth (u) dapat diperoleh L(u)≅(1/3)u. Sedangkan untuksuhu tinggi dan medan yang sangat besar, u>>1 fungsi mempunyai harga saturasi,yakni L(u)=1, sehingga semua dipol berdistribusi searah medan. Untuk kebanyakan eksperimen, diambil pendekatan medan yang sedang,sehingga p2 px = ε (6.29) 3k oTTerlihat bahwa momen berbanding lurus dengan medan dan berbanding terbalikdengan suhu. Dengan demikian polarisabilitas polarnya p2 αp = (6.30) 3k oTSubstitusi harga polarisabilitas polar (6.30) ke dalam persamaan Clausius-Mosotti(6.22) menghasilkan W ⎛ ∈r −1 ⎞ N A ⎛ p2 ⎞ ⎜ ⎟= ⎜α ei + ⎟ (6.31) ρ ⎜ ∈r +2 ⎟ 3 ∈o ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ 3k oT ⎟ ⎠dengan αei adalah kombinasi polarisabilitas elektronik dan ionik yang tidakbergantung suhu. Dengan menggrafikkan polarisabilitas molar (ruas kiri) terhadapkebalikan suhu 1/T, maka dapat ditentukan momen dipol permanen molekul polar pdan polarisabilitas nonpolar αei suatu bahan. Untuk molekul nonpolar, grafik tersebutberbentuk horisontal. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 1656.3.2.1.2 Polarisabilitas Polar Bolak-balik Dalam mengikuti osilasi medan listrik, dipol mengalami gesekan karenabertumbukan dengan molekul lain dalam sistem. Penyerapan energi medan inimenimbulkan panas. Hal ini sering disebut “dielectric loss”. Gerakan polarisasi polar digambarkan oleh persamaan dp d (t ) 1 = {p ds (t ) − p d (t )} (6.32) dt τdengan pd(t) = momen dipol polar pada saat t pds(t) = momen dipol saturasi (setimbang) τ = waktu relaksasiMisalnya, medan listrik statik dikenakan pada t=0. Dalam hal ini pds(t) =αpε=po,dimana αp adalah polarisabilitas polar statik dan po adalah momen dipol permanenmolekul. Oleh karena itu persamaan di atas menjadi dp d (t ) p d (t ) p o + = (6.33) dt τ τyang mempunyai solusi pd(t) = po (1 – e-t/τ) (6.34)Jika medan listrik statik dikenakan cukup lama pada bahan sehingga dicapai nilaisetimbang po, dan tiba-tiba medan dihentikan pada t=0, maka pds=0 dalam persamaan(6.32) sehingga solusinya adalah pd(t) = po e-t/τ (6.35) Untuk medan listrik bolak-balik ε(t) = A e-iωt (6.36)keadaan setimbangnya dinyatakan oleh pds(t) = αp(0) ε(t) (6.37)dengan αp(0) adalah polarisabilitas polar statik; dan persamaan geraknya dinyatakanoleh dp d (t ) p d (t ) α p (0) + = ε (t ) (6.38) dt τ τ Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 166Diambil solusi berbentuk ps(t) = αp(ω) ε(t) = αp(ω) A e-iωt (6.39)dengan αp(ω) adalah polarisabilitas bolak-balik. Substitusi bentuk solusi (6.39) kedalam persamaan gerak (6.38) menghasilkan α p (0) α p (ω ) = (6.40) 1 − iω τTerlihat bahwa polarisabilitas αp(ω) merupakan besaran komplek, artinya polarisasitidak sefasa dengan medan. Hal ini berarti terjadi absorbsi energi. Bila kontribusi ionik cukup kecil sehingga dapat diabaikan, maka konstantadielektrik ∈r (ω ) dapat ditulis ∈r (ω ) = 1 + χ e (ω ) + χ p (ω )dengan χ e (ω ) dan χ p (ω ) , masing-masing adalah suseptibilitas elektronik dan polar.Dalam dispersi polar, yakni daerah gelombang mikro, suseptibilitas elektronik relatifkonstan, sehingga kontribusi polar dapat ditulis ∈r (ω ) = n 2 + χ p (ω ) (6.41)dengan n 2 = 1 + χ e (ω ) = konstanta dielektrik optik n = indek biasKontribusi polar χ p (ω ) tidak sepenuhnya mampu mengikuti osilasi medan sehinggaterjadi keterlambatan fasa. Karena χ p sebanding dengan αp, maka χ p (ω )merupakan besaran komplek yang bentuknya sama dengan αp(ω) dalam (6.40)sehingga konstanta dielektrik (6.40) dapat ditulis χ p (0) ∈r (ω ) = n 2 + (6.42) 1 − iω τdengan χ p (0) =∈r (0) − n 2 adalah suseptibilitas polar statik. Terlihat bahwakonstanta dielektrik (6.42) di atas bergantung pada frekuensi. Hal ini berarti bahanmenunjukkan gejala dispersi. Dalam bentuk bagian riil dan imaginer, konstantadielektrik ∈r (ω ) dapat ditulis Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 167 ∈r (ω ) =∈r (ω ) + i ∈" (ω ) r (6.43)dengan ∈r (0) − n 2 ∈r (ω ) = n 2 + (6.44a) 1 + ω 2τ 2 ⎛ ∈r (0) − n 2 ⎞ ∈ (ω ) = ⎜ " r ⎜ 1 + ω 2τ 2 ⎟ω τ ⎟ (6.44b) ⎝ ⎠Ungkapan (6.44) ini disebut persamaan Debye, yang secara grafik ditunjukkan olehGambar 6.8 berikut. Gambar 6.8 Sketsa bagian riil ∈r (ω ) dan bagian imaginer ∈r (ω ) " terhadap ln ωτ untuk bahan polarTerlihat bahwa grafik ∈r (ω ) − ln ω τ merupakan kurva dispersi; dan ∈" (ω ) − ln ω τ rkurva absorbsi. Bagian riil ∈r (0) berharga konstan, yakni ∈r (0) pada daerahω<<1/τ, dan berharga n2 (konstanta dielektrik frekuensi tinggi) pada daerah ω>>1/τ.Besaran 1/τ sering disebut frekuensi tumbukan, yang mencakup semua frekuensisampai dengan daerah gelombang mikro. Sedangkan bagian imaginer ∈" (ω ) rmencapai harga maksimum, yakni 1 2 {∈ r } (0) − n 2 , pada ω=1/τ.6.3.2.2 Polarisabilitas Ionik Kristal ionik diatomik satu dimensi ditunjukkan dalam Gambar 6.9 berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 168 2n 2n+1 + - + - M2 M1 Gambar 6.9 Kisi ionik diatomik satu dimensiDalam satuan sel terdapat dua atom, masing-masing dengan massa M1 dan M2 danmuatan listrik e* dan –e*. Muatan efektif e* lebih kecil daripada muatan elektron ekarena transfer elektron dalam ikatan ionik molekul tidak sempurna. Jika medanlistrik bolak-balik ε dikenakan terhadap kristal, persamaan gerak masing-masing ionadalah ∂ 2U 2 n +1 M1 = −α {2U n +1 − U 2 n − U 2 n + 2 } + e * ε (6.45) ∂t 2 ∂ 2U 2 n M2 = −α {2U 2 n − U 2 n −1 − U 2 n +1 } − e * ε (6.46) ∂t 2Terlihat bahwa kristal mengalami gaya interaksi antaratom dan gaya listrik. Hal iniberarti kisi mengalami vibrasi yang dipaksakan. Misalnya, medan ε berbentuk gelombang bidang ε = εx ei(kx - ωt) (6.47)Jika diasumsikan λ>>d (atau k→0), maka semua atom sejenis mempunyaiperpindahan yang sama. Dalam keadaan mapan, M1 dan M2 masing-masingmempunyai perpindahan U+ dan U- yang berbentuk sama seperti medan gaya (6.47) U+ = Uo+ e-iωt (6.48a) U- = Uo- e-iωt (6.48b)Dengan harga k=0. Substitusi (6.47) dan (6.48) ke dalam persamaan gerak (6.45) dan(6.46) di atas menghasilkan perpindahan ionik ⎛ e* ⎞ U o+ = ⎜ 2 ⎟ ⎜ M (ω − ω ) ε 2 ⎟ x (6.49) ⎝ 1 t ⎠ ⎛ e* ⎞ U o − = −⎜ ⎟ε x (6.50) ⎝ 2 t ( ⎜ M ω 2 −ω 2 ) ⎟ ⎠ Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 169 ⎛ 1 1 ⎞dengan ω t2 = 2α ⎜ ⎜M + M ⎟ . Tampak bahwa ωt adalah frekuensi fonon optik ⎟ ⎝ 1 2 ⎠transversal pada k=0. Perbedaan perpindahan kedua ion ini menyebabkan timbulnyamomen dipol listrik molekul. Dengan demikian polarisasi ionik Pi yang terjadi Pi = N e* (Uo+ -Uo-) (6.51)Selain itu, pada kristal terjadi juga polarisasi elektronik Pe. Polarisasi total Pie (ionik dan elektronik) disubstitusikan ke dalam persamaan(6.7) sehingga menghasilkan konstanta dielektrik Pe N (e*) 2 1 ∈r (ω ) = 1 + + (6.52) ∈o ε ∈o ω t2 μ ω2 1− 2 ωt M 1M 2dengan μ = adalah massa tereduksi kedua ion. Pada ruas kanan, suku M1 + M 2kedua merupakan kontribusi elektronik, dan suku ketiga kontribusi ionik.Untuk ω<<ωt, kedua kontribusi ada dan membentuk fungsi dielektrik statik ∈r (0) .Untuk ω>>ωt, kontribusi ionik menjadi nol.Konstanta dielektrik pada frekuensi tinggi, yang hanya terdiri dari kontribusielektronik, disimbolkan dengan ∈r (∞) = n 2 , dengan n adalah indek bias optik.Dengan demikian ungkapan konstanta dielektrik (6.52) di atas dapat ditulis dalambentuk ∈r (0) − n 2 ∈r (ω ) = n 2 + (6.53) ω2 1− 2 ωtSuku kedua ruas kanan merupakan polarisabilitas ionik bolak-balik, dan besaran∈r (0) − n 2 = χ i (0) merupakan suseptibilitas ionik statik. Sketsa ∈r (ω ) terhadap ωdisajikan dalam Gambar 6.10 berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 170 ∈r (ω ) ∈r (0) n2 0 ω ωt ωl Gambar 6.10 Sketsa konstanta dielektrik ∈r (ω ) terhadap ω molekul ionikPada gambar di atas tampak bahwa ∈r (ω ) <0 dalam rentang ωt<ω<ωl, dengan ωladalah frekuensi dimana ∈r (ω ) =0. Fungsi konstanta dielektrik dapat digunakan untuk mempelajari sifat optikmedium. Jika indek bias optik berbentuk komplek, maka konstanta dielektrik dapatdituliskan dalam bentuk ∈r = (n + i Χ ) 2 (6.54)dengan Χ adalah koefisien pemadaman. Refleksivitas R dan absorbsi medium αabdiungkapkan melalui hubungan R= (n − 1)2 + Χ 2 (6.55) (n + 1)2 + Χ 2 α ab = 2Χk (6.56)Jika ∈r (ω ) <0, maka menurut (6.54) haruslah n=0 dan Χ ≠ 0 , sehingga refleksivitas(6.55) berharga R = 1. Hal ini berarti gelombang datang dengan frekuensi dalamrentang ωt<ω<ωl mengalami refleksi total, dan tidak dapat merambat dalam kristal.Daerah ini disebut celah terlarang. Pada gambar di atas tampak pula bahwa ∈r (ω ) menunjukkan dispersi yangkuat ( ∈r (ω ) →∞) di dekat frekuensi fonon optik ωt. Di daerah ini, disamping terjadiabsorbsi maksimum, juga terjadi kondisi resonansi, yakni dimana frekuensi sinyalsama dengan frekuensi alami sistem ionik sehingga respon sistem menjadi tak Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 171berhingga. Absorbsi dan refleksi optik secara kuat di atas terjadi dalam daerahinframerah.6.3.2.3 Polarisabilitas Elektronik6.3.2.3.1 Polarisabilitas Elektronik Statik Dengan asumsi distribusi elektron uniform di sekitar atom, dikenakannyamedan ε pada atom, melalui hukum elektrostatik, menyebabkan inti mengalamiperpindahan terhadap pusat atom sebesar ⎛ 4π ∈o ra3 ⎞ x=⎜ ⎜ Ze ⎟ε ⎟ (6.57) ⎝ ⎠dengan ra adalah radius atom dan Ze adalah muatan inti. Dengan demikian atomterpolarisasi dengan momen dipol P=Zexsehingga polarisasi elektronik yang terjadi α e = 4π ∈o ra3 (6.58)6.3.2.3.2 Polarisabilitas Elektronik Bolak-balik Dalam hal ini diasumsikan bahwa elektron dalam atom mengalami gaya pulihelastik yang bersesuaian dengan frekuensi resonansi ωo. Persamaan gerak elektronsaat dikenakan medan bolak-balik dengan polarisasi dalam arah-X d 2x m + mω o x = −e ε 2 (6.59) dt 2Jika medan ε = εx e-iωt, maka dapat ditentukan solusi untuk perpindahan x danpolarisasi P. Polarisabilitas elektronik yang diperoleh e2 / m α e (ω ) = 2 (6.60) ωo − ω 2Jika terdapat Z elektron peratom dan N atom persatuan volume, maka suseptibilitaslistriknya Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 172 NZe 2 1 χ e (ω ) = (6.61) ∈o m ω o − ω 2 2dan indek refraksi NZe 2 1 n 2 (ω ) = 1 + (6.62) ∈o m ω o − ω 2 2Secara grafik n2(ω) terhadap ω disajikan dalam Gambar 6.11 berikut. n 2 (ω ) n 2 (0) 1 ω 0 ωo Gambar 6.11 Sketsa kuadrat indek bias n2(ω) terhadap ωTampak bahwa dispersi tajam terjadi pada frekuensi resonansi ωo (daerah ultraviolet).Jika kita memulai ωo=0, maka elektron berperilaku sebagai partikel bebas. Padafrekuensi tinggi, ωo<<ω, harga n2(ω)→1, seperti halnya untuk vakum. Pada frekuensiini elektron tidak mampu mengikuti osilasi medan yang kuat.6.4 GEJALA PIEZOELEKTRIK Gejala piezoelektrik berkait dengan polarisasi ionik. Efek langsungpiezoelektrik menunjukkan bahwa bila pada kristal terjadi regangan, maka akanterjadi pula medan listrik. Sedangkan efek balik, pemakaian medan listrikmenghasilkan regangan . Dengan demikian, gejala piezoelektrik dapat digunakanuntuk mengkonversikan energi listrik menjadi energi mekanik, atau sebaliknya,seperti yang terjadi pada transduser. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 173 Gejala piezoelektrik hanya terjadi pada bahan nonsentrosimetri. Pada bahansentrosimetri, distorsi yang terjadi juga bersifat sentrosimetri sehingga polarisasi nol,seperti ditunjukkan oleh Gambar 6.12 berikut. Gambar 6.12 Kristal sentrosimetri tidak menunjukkan efek piezoelektrikSedangkan dalam bahan nonsentrosimetri, distorsi menghasilkan polarisasi. Distorsimenyebabkan terjadinya perpindahan muatan ionik dalam kristal, yang semulaberimpit, karena dikenakannya tekanan, seperti ditunjukkan oleh Gambar 6.13berikut. Gambar 6.13 Gejala piezoelektrik pada kwarsa6.5 GEJALA FERROELEKTRIK Umumnya, suseptibilitas ionik tak bergantung pada suhu. Tetapi, padakelompok bahan ferroelektrik konstanta dielektrik berubah terhadap suhu melaluihubungan hukum Curie-Weiss C ∈r = (6.63) T − TC Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 174dengan C adalah konstanta Curie dan TC adalah suhu Curie. Hal ini ditunjukkandalam Gambar 6.14 berikut. ∈r 0 T TCGambar 6.14 Sketsa konstanta dielektrik ∈r terhadap suhu T dalam bahan ferroelektrikHubungan di atas berlaku bila T>TC. Dalam daerah ini, bahan berada dalam fasaparaelektrik, yang mana polarisasi hanya dapat terjadi jika pada bahan dikenakanmedan eksternal dan polarisasinya lenyap bila medan dihilangkan. Dalam daerah T<TC, bahan menjadi terpolarisasi secara spontan. Dalamdaerah ini bahan berada dalam fasa ferroelektrik. Dengan demikian, suhu Curie TCmerupakan tempat transisi fasa. Polarisasi spontan PS semakin naik bila suhu turun,seperti ditunjukkan dalam Gambar 6.15 berikut. PS 0 T TC Gambar 6.15 Sketsa polarisasi spontan PS terhadap suhu T dalam bahan ferroelektrikDalam fasa ferroelektrik, pusat muatan positip kristal tidak berimpit dengan pusatmuatan negatip. Gejala ferroelektrik hanya terjadi pada kelas nonsentrosimetri polar. Arah polarisasi spontan ferroelektrik tidak sama dalam keseluruhan bagianbahan. Oleh karena itu bahan terdiri dari sejumlah domain, yakni daerah dimana Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 175polarisasinya konstan. Domain berbeda mempunyai polarisasi berbeda pula sehinggapolarisasi total bahan menjadi nol saat setimbang. Pensejajaran domain terjadi biladikenakan medan listrik eksternal; yakni domain yang polarisasinya searah medanbertambah banyak, dan sebaliknya. Polarisasi ini dapat dibalik oleh medan listrikdalam arah sebaliknya. Dengan demikian bahan ferroelektrik menunjukkan loophisterisis, seperti ditunjukkan oleh Gambar 6.16 berikut. Gambar 6.16 Loop histerisis bahan ferroelektrik Contoh bahan ferroelektrik adalah jenis perovskit, misalnya barium titanat(BaTiO3). Di atas suhu Curie (TC=120oC), BaTiO3 berstruktur kubik, sepertiditunjukkan oleh Gambar 6.17 berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 176 =Ba2+ =O2- =Ti4+ Gambar 6.17 Struktur BaTiO3 dalam fasa kubikTetapi, di bawah suhu Curie strukturnya berubah menjadi tetragonal. Dalam fasa ini,ion Ti4+ dan O2- bergeser terhadap ion Ba2+, seperti ditunjukkan oleh Gambar 6.18berikut. a=b=0,398 nm =Ti4+ c=0,403 nm =O2- 0,006 nm 0,006 nm Gambar 6.18 Pergeseran Ti4+ dan O2- terhadap Ba2+ pada tetragonal BaTiO3Akibatnya, terjadilah pemisahan pusat muatan positip dan negatip sejauh 0,012 nm,sehingga terjadi polarisasi spontan. RINGKASAN Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 17701. Dua muatan listrik berlawanan, tetapi besarnya sama, yakni –q dan +q, membentuk dipol listrik yang momennya p. Suatu dipol listrik menimbulkan medan listrik di sekitarnya. Jika suatu dipol dalam medan listrik eksternal, maka timbul torsi dan energi potensial pada dipol. Dalam bahan dielektrik, kumpulan momen dipol membentuk polarisasi, yakni jumlah momen dipol persatuan volume.02. Bahan dielektrik yang ditempatkan dalam suatu medan listrik eksternal ε o mengalami perpindahan listrik D, bahan menjadi terpolarisasi P, dan terjadi induksi medan ε. Hubungan antara P dan ε melahirkan suseptibilitas listrik χ, dan antara D dan ε melahirkan konstanta dielektrik ∈r . Kedua besaran ini merupakan besaran karakteristik makroskopis bahan.03. Polarisasi bahan terjadi karena medan listrik. Diambil asumsi bahwa momen dipol molekul p sebanding dengan medan listrik lokal ε l pada molekul yang bersangkutan, yakni p = α ε l , dengan α adalah polarisabilitas molekul. Untuk memperoleh ε l dipergunakan perumusan Lorentz, yaitu suatu dipol tertentu dibayangkan dikelilingi oleh rongga bola yang berjari-jari R cukup besar sehingga titik-titik di permukaan bola luar dapat dianggap sebagai medium kontinu. Jika jumlah dipol molekul adalah N, maka didapatkan ungkapan hubungan besaran makroskopis konstanta dielektrik ∈r dan besaran mikroskopis ∈r −1 Nα polarisabilitas molekul α, yaitu = , yang disebut sebagai hubungan ∈r +2 3 ∈o Clausius-Mosotti.04. Sehubungan dengan proses polarisasi bahan, struktur molekul/atom yang membangun suatu bahan dapat dikelompokkan menjadi molekul polar, nonpolar, ionik, dan atom kristal kovalen bersifat nonpolar dan nonionik. Berdasarkan jenis molekul/atom di atas dan perilakunya saat dikenakan medan, maka polarisabilitas bahan dapat terdiri dari beberapa jenis, yaitu polarisabilitas polar/orientasional (αp), ionik (αi), dan elektronik (αe). Oleh karena itu polarisabilitas total suatu Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 178 bahan dapat ditulis α = αe + αi + αp. Bentuk αe terjadi pada semua jenis bahan. Sedangkan bentuk αi hanya terjadi pada bahan ionik. Pada bahan polar dapat terjadi proses ketiga polarisasi di atas.05. Polarisabilitas polar terdiri dari dua macam, yaitu statik dan bolak-balik. Jenis p2 yang pertama menghasilkan α p = ; dan yang kedua menghasilkan 3k oT α p (0) α p (ω ) = yang merupakan besaran komplek, artinya polarisasi tidak 1 − iω τ sefasa dengan medan (terjadi absorbsi energi). Pada jenis yang kedua juga χ p (0) didapatkan konstanta dielektrik ∈r (ω ) = 1 + χ e (ω ) + χ p (ω ) = n 2 + . 1 − iω τ06. Pada frekuensi tinggi, yang hanya terdiri dari kontribusi elektronik, ungkapan ∈r (0) − n 2 konstanta dielektrik dapat ditulis dalam bentuk ∈r (ω ) = n 2 + . Suku ω2 1− 2 ωt kedua ruas kanan merupakan polarisabilitas ionik bolak-balik.07. Polarisabilitas elektronik terdiri dari dua macam, yaitu statik dan bolak-balik. Jenis yang pertama menghasilkan polarisasi elektronik α e = 4π ∈o ra3 . Sedangkan e2 / m jenis yang kedua menghasilkan polarisabilitas elektronik α e (ω ) = 2 . ωo − ω 208. Gejala piezoelektrik berkait dengan polarisasi ionik dan hanya terjadi pada bahan nonsentrosimetri. Gejala piezoelektrik dapat digunakan untuk mengkonversikan energi listrik menjadi energi mekanik (efek balik), atau sebaliknya (efek langsung), seperti yang terjadi pada transduser.09. Pada kelompok bahan ferroelektrik konstanta dielektrik berubah terhadap suhu C melalui hubungan hukum Curie-Weiss ∈r = . Bila T>TC, polarisasi hanya T − TC dapat terjadi jika pada bahan dikenakan medan eksternal dan polarisasinya lenyap bila medan dihilangkan (fasa paraelektrik); dan bila T<TC, bahan menjadi Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 179 terpolarisasi secara spontan (fasa ferroelektrik). Dalam fasa ferroelektrik juga terdapat domain dan loop histerisis. LATIHAN SOAL BAB VI01. Bertolak dari medan lokal dalam persamaan (6.18), maka a. Buktikan bahwa untuk bahan dielektrik linier isotropik medan lokal tersebut dapat ditulis ⎛ χ⎞ ε l = ⎜1 + ⎟ε ⎝ 3⎠ b. Dari soal (a) buktikan bahwa suseptibilitas listrik bahan adalah Nα / ∈o χ= Nα 1− 3 ∈o (Ungkapan ini disebut hubungan Clausius-Mosotti antara suseptibilitas listrik χ dan polarisabilitas molekul α) c. Jika medan lokal sama dengan medan rata-rata dalam bahan, maka buktikan bahwa suseptibilitas listrik soal (b) dapat ditulis χ = Nα / ∈o02. Di antara kedua plat kapasitor diisikan selenium amorf dengan konstanta dielektrik 6,0 dan konsentrasi 3,67.1028 atom/m3. a. Hitunglah polarisabilitas atomnya! b. Hitunglah medan lokal pada atomnya, jika muatan plat menghasilkan medan 1500 V/m! c. Hitunglah momen dipol atomnya dalam medan soal (b)! d. Berapakah harga konstanta dielektriknya, jika medan lokal sama dengan medan makroskopis?03. Andaikanlah bahwa titik asal sistem koordinat bertempat pada pusat bola Lorentz dan polarisasi dalam arah sumbu-Z, maka buktikan bahwa komponen medan ε2 (karena muatan polarisasi pada permukaan bola Lorentz) dalam arah sumbu-X dan sumbu-Y berharga nol! Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 18004. Momen dipol untuk distribusi muatan secara umum didefinisikan sebagai p = ∑ qi ri , dengan qi dan ri , masing-masing adalah muatan dan vektor posisi i dari muatan ke-i, dan penjumlahan dilakukan atas semua muatan yang ada. Pengambilan titik asal adalah sebarang. a. Tunjukkan bahwa ungkapan di atas akan menjadi (6.1) bila hanya ada dua muatan yang sama besar dan berlawanan tanda! b. Buktikan bahwa jika muatan listrik sistem secara keseluruhan netral, maka momen dipol tidak bergantung pada pengambilan titik asal!05. Turunkanlah persamaan (6.13)!06. Konstanta gaya untuk atom berdekatan dalam NaCl berharga 36 N/m. Jarak setimbang kristal ini 2,82 Å. a. Jika besar masing-masing muatan adalah e, maka hitunglah momen dipol pada jarak setimbangnya! b. Hitunglah perubahan jarak pisahnya karena medan listrik lokal 1500 V/m! c. Hitunglah perubahan momen dipolnya! d. Taksirlah polarisabilitas ionik statiknya!07. Suatu kristal berstruktur kubik sederhana (dengan rusuk a) dan masing-masing atomnya memiliki momen dipol sama, yaitu p . a. Tunjukkan bahwa medan listrik pada suatu atom tertentu karena semua atom yang berjarak a bernilai nol! b. Ulangi soal (a) untuk medan dari semua atom yang berjarak a√2. c. Ulangi soal (a) untuk medan dari semua atom yang berjarak a√3.08. Suatu kristal berstruktur tetragonal sederhana (dengan sisi bujursangkar a dan ketinggian c) dan masing-masing atomnya memiliki momen dipol p . a. Tunjukkan bahwa medan listrik pada suatu atom tertentu karena semua atom yang berjarak a adalah 1 p − 3 pZ z ˆ p1 = 2π ∈o a3 ˆ dengan z adalah sumbu derajat-4 (tetrad)! Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 181 b. Tuliskan ungkapan medan yang dihasilkan semua atom yang berjarak c! c. Tunjukkan bahwa resultan medan dari soal (a) dan (b) berharga nol bila c=a!09. Polarisabilitas elektronik statik Na+ dan Cl-, masing-masing adalah 3,47.10-41 C2m/N dan 3,41.10-40 C2m/N. Sedangkan polarisabilitas ionik statik pasangan ion NaCl adalah 3,56.10-40 C2m/N. NaCl berstruktur FCC dengan sisi 5,64 Å. a. Dengan menggunakan hubungan Clausius-Mosotti, hitunglah konstanta dielektrik NaCl! b. Jika medan listrik 1500 V/m diarahkan tegak lurus sisi kubus, maka hitunglah medan lokal pada pasangan ion! Hitung pula medan makroskopis dan medan polarisasi dalam sampel!10. Suatu bahan polar mempunyai konsentrasi molekul polar 1,6.1028 molekul/m3 dan tiap molekul mempunyai momen dipol permanen 3,5.10-26 Cm. Dengan menggunakan formulasi Langevin a. hitunglah polarisasi saturasi! b. hitunglah polarisasi pada 300 K dalam medan listrik 2,5.104 V/m! c. Abaikan efek medan lokal dan hitunglah suseptibilitasnya pada 300 K!11. Cahaya 500 nm diarahkan tegak lurus pada sampel dengan indek bias n=1,653 dan koefosien pemadaman Χ =2,35.10-2. a. Hitunglah kecepatan gelombang dalam sampel! b. Hitunglah panjang gelombang dalam sampel! c. Hitunglah jarak dalam sampel sehingga intensitas gelombang tinggal setengahnya, jika fraksi intensitas gelombang yang diteruskan I = I o e −2 kΧz dengan k = vektor gelombang datang z = jarak tempuh gelombang dalam sampel d. Hitunglah refleksivitasnya! e. Hitunglah bagian riil dan imaginer konstanta dielektriknya! Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 6 BAHAN DIELEKTRIK 18212. Medan ε 3 dalam persamaan (6.12) karena dipol dalam rongga bola bergantung pada simetri kristal, dan umumnya berharga tidak nol dalam kristal nonkubik. Anggaplah bahwa medan ini berharga b ε3 = P ∈o dengan b adalah konstanta, hitunglah konstanta dielektrik ∈r dalam bahan tersebut!13. a. Deretkanlah fungsi Langevin L(u) persamaan (6.28) dalam pangkat u, dan tunjukkan bahwa L(u) = u/3 – u3/45 + … , dimana u<<1 b. Hitunglah medan yang diperlukan untuk menghasilkan polarisasi dalam air sebesar 10% polarisasi saturasi pada suhu kamar, jika diketahui polarisasi air p=1,9.10-29 Cm!14. Polarisabilitas molar air naik dari 4.10-5 menjadi 6,8.10-5 m3 jika suhu diturunkan dari 500 K menjadi 300 K. Hitunglah momen permanen molekul air!15. Ion Na+ dan Cl- dalam NaCl, masing-masing mempunyai polarisabilitas elektronik 0,20.10-40 dan 2,65.10-40 farad m2. NaCl berstruktur FCC. a. Hitunglah jarak terdekat antara atom Na dan Cl! b. Hitunglah konstanta kisi NaCl!16. Hitunglah polarisabilitas statik untuk atom hidrogen, jika diasumsikan bahwa muatan pada elektron terdistribusi seragam dalam keseluruhan bola dengan jari- jari Bohr! Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • B A B VII BAHAN MAGNETIK Bahan magnetik mempunyai banyak aplikasi, mulai dari teras penstransferdalam bidang kelistrikan sampai pada pita magnetik dalam bidang komputer. Olehkarena itu, pengetahuan tentang sifat magnetik bahan banyak menarik minat para ahlifisika, kimia dan teknik. Bagian awal bab ini membahas perilaku magnetik dari atom bebas, dankemudian dilanjutkan dengan sifat magnetik elektron konduksi dalam logam.Bahasan gejala ferromegnetik dibagi menjadi dua kelompok, yakni pada isolator danlogam. Namun keduanya menitikberatkan pada bahasan medan magnet (internal)molekuler yang berperan dalam gejala ferromagnetik. Akhirnya, bab ini ditutup olehbahasan tentang gejala antiferromagnetik dan ferrimagnetik.7.1 SUSEPTIBILITAS MAGNETIK BAHAN Pada bahan yang ditempatkan dalam medan magnet luar yang berintensitasH , terjadi magnetisasi M , yakni momen dipol magnet persatuan volume. Untukkristal, magnetisasi merupakan momen dipol total dalam sel satuan tunggal dibagivolume sel. Pada bahan, juga, terjadi induksi magnet B yang memenuhi hubungan B = μo H + μo M (7.1)Dengan demikian, induksi magnet dalam bahan terdiri dari dua bagian, yakni μ o Hkarena sumber luar dan μ o M karena magnetisasi bahan. Magnetisasi timbul karena medan luar. Untuk medan lemah M sebandingdengan H (bahan isotropik linier)
  • 7 BAHAN MAGNETIK 184 M =χ H (7.2)dengan suseptibilitas magnetik χ sebagai tetapan pembandingnya. Asumsi tersebutmengabaikan medan demagnetisasi, koreksi medan lokal dan lain-lain karena Msangat kecil terhadap harga H (harga χ=M/H=10-5). Tetapi dalam bahasanferromagnetik, dimana M berharga besar, pengabaian ini ditiadakan. Denganmensubstitusikan M ke dalam (7.1) diperoleh B = μ o (1 + χ ) H = μ H (7.3)dengan μ=μo(1+χ) disebut permeabilitas bahan. Seringkali digunakan besaranpermeabilitas relatif μ μr = = 1+ χ (7.4) μo Berdasarkan tanda dan besar nilai suseptibilitas magnet suatu bahandikelompokkan menjadi sebagai berikut.a. Bahan paramagnet, yang mempunyai harga χ positip dengan order 10-5 cm-3. Berarti M paralel terhadap H . Contohnya, ion transisi dan ion tanah-jarang. Ion ini mempunyai sel atomik yang tidak komplit.b. Bahan diamagnet, yang mempunyai harga χ negatip dengan order 10-5 cm-3. Berarti M berlawanan arah dengan H . Contohnya, kristal kovalen, ionik dan atom gas mulia yang mempunyai sel penuh. Perilaku diamagnetiknya muncul karena medan magnet menyebabkan distorsi gerakan orbitalnya.c. Bahan ferromagnet, yang mempunyai harga χ besar sekali dengan order 105 cm-3 dan mengalami magnetisasi spontan di bawah suhu tertentu. Contohnya, logam Fe, Co dan Ni.7.2 GEJALA DIAMAGNETIK LANGEVIN Perhatikanlah sebuah elektron beredar mengelilingi inti atom dalam medanmagnet B , seperti ditunjukkan dalam Gambar 7.1 berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 185 B FL inti Fo velektron Gambar 7.1 Gejala awal diamagnetik atomikSebelum medan dikenakan, pada elektron bekerja gaya Coulomb Fo = mω o r 2 (7.5)dan terjadi momen magnetik elektron e e μ o = IA = π r 2 = ωor 2 (7.6) T 2Setelah medan dikenakan, pada elektron bekerja gaya lain, yakni gaya LorentzFL = −e(v × B) yang melawan arah gaya Coulomb. Dengan demikian, persamaangerak (7.5) berubah menjadi Fo − eBr ω = mω 2 r (7.7)yang merupakan persamaan kuadrat dalam ω. Jika medan kecil, maka bentuksolusinya eB ω = ωo − (7.8) 2mTampak bahwa rotasi elektron lebih pelan. Reduksi frekuensi ini menimbulkanperubahan momen magnetik, bertolak dari (7.6), yaitu ⎛ e2r 2 ⎞ Δμ = −⎜ ⎜ 4m ⎟B ⎟ (7.9) ⎝ ⎠Tampak bahwa momen induksi berlawanan arah dengan medan. Dengan kata lain,respon elektron terhadap kehadiran medan adalah diamagnetik. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 186 Dalam atom, orbit elektron berada dalam permukaan sferik. Tetapi, respondiamagnetik efektif hanyalah pada penampang yang tegak lurus terhadap medan.Dengan demikian, rata-rata r2 dalam ungkapan perubahan momen (7.9) di atas harusdiganti menjadi (2/3)r2, sehingga ⎛ e2r 2 ⎞ Δμ = −⎜ ⎜ 6m ⎟B ⎟ (7.10) ⎝ ⎠dengan r adalah radius bola. Apabila atom mempunyai Z elektron dan dalam satuanvolume terdapat N atom, maka suseptibilitas magnetik χ= M NZ Δμ H = B / μo μ e2 =− o 6m NZ r 2( ) (7.11)dengan r 2 adalah rata-rata kuadrat jari-jari elektron. Perata-rataan dilakukan atassemua orbital elektron dalam atom. Tampak bahwa suseptibilitas tidak bergantungpada suhu. Respon diamagnetik ini terjadi pada padatan yang sel atomiknya terisipenuh. Seringkali digunakan ungkapan suseptibilitas molar yang didefinisikanχmolar=NAχ/N.7.3 GEJALA PARAMAGNET Momentum angular orbital total suatu atom didefinisikan sebagai L = ∑ Li . iSedangkan momentum angular spin totalnya S = ∑ S i . Pada keduanya, penjumlahan idilakukan terhadap semua elektron, dan berharga tidak nol hanya untuk suatu selyang tidak penuh. Momentum angular L dan S berinteraksi, sehingga menimbulkanmomentum angular total J = L+S (7.12)yang relatif konstan. Dengan demikian, L dan S berpresisi mengelilingi J , sepertiditunjukkan dalam Gambar 7.2 berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 187 Gambar 7.2 Interaksi spin-orbit ⎛ e ⎞ ⎛e⎞Momen dipol orbital μ L = −⎜ ⎟ L dan spin μ S = −⎜ ⎟ S , juga berpresisi di sekitar ⎝ 2m ⎠ ⎝m⎠J . Momen dipol totalnya μ = μ L + μ S tidak segaris dengan J , dan juga berpresisidi sekitar J dengan sudut θ. Karena frekuensi presisi yang cukup tinggi, maka yangteramati hanyalah kompnen dari μ sepanjang J , yakni ⎛ e ⎞ μ rata − rata = μ cosθ = g ⎜ − ⎟J ⎝ 2m ⎠dengan j ( j + 1) + s ( s + 1) − l (l + 1) g = 1+ (7.13) 2 j ( j + 1)adalah faktor Lande.Penentuan l, j dan s suatu atom memenuhi aturan Hund, yakti(1). bilangan spin s cenderung mengambil harga maksimum dengan tetap berpegang pada prinsip Pauli,(2). demikian pula l, dan Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 188(3). jika sel kurang dari separoh maksimum, maka j=|l-s|, dan jika sel sama atau lebih dari separoh maksimum, maka j=l+s.Dengan demikian, dapatlah dikatakan bahwa suatu atom yang selnya tidak penuhmempunyai suatu momen magnetik permanen, yang terjadi dari kombinasi gerakanorbital dan spin elektronnya.Teori Klasik Selanjutnya, untuk sederhananya, μ rata −rata disingkat μ saja. Energi potensialdipol magnet dalam suatu medan magnet V = −μ • B (7.14)Dengan analisa yang sama dengan bahasan polarisasi listrik polar (subbab 6.3.2.1.1),didapatkan momen dipol rata-rata dalam arah medan (misalnya, sumbu-Z) μ 2B μZ = (7.15) 3k oTMagnetisasinya μ 2B M = N μZ = N (7.16) 3k o Tdan suseptibilitasnya M μ μ2 χ= =N o (7.17) H 3k oTTampak bahwa χ berbanding terbalik terhadap T. Hubungan ini disebut hukum Curiedan suseptibilitasnya disebut suseptibilitas paramagnet Langevin.Teori Kuantum Saat medan magnet (misalnya, dalam arah sumbu-Z) dikenakan pada atom,terjadilah “Zeeman splitting” E = − μ • B = gμ B B m j (7.18) edengan μ B = =9,3.10-24 Jm2/N disebut magneton Bohr. 2m Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 189 Misalnya, untuk j=1/2 dihasilkan tingkatan energi yang terpisah menjadi dua,yang masing-masing bersesuaian dengan momen dipol paralel dan antiparalel denganarah medan, seperti ditunjukkan oleh Gambar 7.3 berikut. mj=+1/2 ΔE=gμBB mj=-1/2 Gambar 7.3 Zeeman splitting untuk j=1/2Magnetisasinya M = g μB (N1 –N2) (7.19)Dengan g μB = komponen momen dalam arah-Z N1 = konsentrasi atom di tingkat energi bawah N2 = konsentrasi atom di tingkat energi atasPerbandingan antara kedua konsentrasi memenuhi distribusi Boltzmann N1 = e − ΔE / koT (7.20) N2dan hubungan N1+N2=N, dengan N adalah jumlah total konsentrasi. Oleh karena itumagnetisasi (7.19) menjadi e X − e−X M = Ngμ B = Ngμ B tanh(x) (7.21) e X + e−X gμ B Bdengan x = . Sketsa M terhadap x ditunjukkan dalam Gambar 7.4 berikut. k oT M NgμB x Gambar 7.4 Sketsa M terhadap x untuk sistem j=1/2 Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 190Tampak bahwa M sebanding dengan x untuk medan lemah dan M mencapai saturasisaat medan listrik besar. Bila diambil kasus medan lemah, x<<1 dan tanh (x) ≅ x,maka substitusi ke dalam (7.21) didapatkan suseptibilitas μ o N ( gμ B ) 2 χ= (7.22) k oTUngkapan ini sama dengan hasil teori klasik, tetapi dengan mengasumsikan momenefektif atom μef=gμB√3. Bentuk yang lebih umum, suatu atom dengan j tertentu akan mengalamipembelahan tingkat energi sebanyak (2j+1) buah. Sedangkan suseptibilitasnya μ o Nμ ef 2 χ= (7.23) 3k oTdengan μef = p μB dan p = g (j[j+1])1/2 (7.24)Bilangan p disebut bilangan efektif magneton Bohr untuk suatu atom. Eksperimen menunjukkan bahwa kristal ion tanah-jarang memenuhi hukumCurie, dengan bilangan efektif magneton Bohr p seperti yang dijelaskan dalam teoriinteraksi spin-orbit di atas. Dalam ion ini (La s/d Lu), sel 4f, yang menunjukkanperilaku magnetik, terisi tidak penuh. Sel yang lebih luar, yaitu 5p terisi penuh, 5ddan 6s berperan dalam pembentukan ion. Karena letaknya yang jauh lebih dalam,maka elektron dalam sel 4f tidak dipengaruhi oleh ion lain dalam kristal. Perilakumagnetiknya seperti ion bebas, sehingga momentum angular L dan S berkopelsangat kuat. Sedangkan untuk ion logam transisi, eksperimen menunjukkan bahwa j=s.Dalam hal ini, sel terluar 3d terisi tidak penuh. Elektron dalam sel 3d ini berinteraksisangat kuat dengan ion tetangga, sehingga gerakan orbitalnya hanyut, dan tinggalmomen spin yang mengkontribusi terhadap proses magnetisasi. Gejala demikiandisebut “quenching”.7.4 GEJALA MAGNETIK DALAM LOGAM Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 191 Kebanyakan logam bersifat paramagnet. Elektron konduksi dalam logammempunyai dua kontribusi, yaitu sifat paramagnet karena spinnya dan sifatdiamagnetik karena gerakan orbital yang diinduksikan oleh medan magnet.Suseptibilitas elektronik nettonya adalah resultan dari kontribusi keduanya χelektron = χspin + χorbital (7.25)Paramagnetik Pauli Apabila hanya memperhitungkan spin elektron saja, yakni j=s=1/2 dan g=2,maka suseptibilitas bahan paramagnet (7.23) menjadi μ o Nμ B 2 χ= (7.26) k oTTerlihat bahwa χ berbanding terbalik dengan T. Tetapi, eksperimen menunjukkan bahwa suseptibilitas spin dalam logam,pada pokoknya, tidak bergantung pada suhu. Disamping itu, nilai pengamatanmenunjukkan harga yang lebih kecil daripada ungkapan di atas. Perlu diketahuibahwa elektron konduksi dalam logam bersifat delokalisasi dan mengikuti distribusiFermi-Dirac. Sehubungan dengan paramagnetisme spin ini, perhatikanlah Gambar 7.5berikut. s=1/2 EFos=-1/2 B B ½g(E) ½g(E) 2μBB 2μBB a b c Gambar 7.5 Variasi tingkat energi karena pemakaian medan magnet a. Distribusi elektron pada keadaan energi dimana medan nol b. Perubahan tingkat energi saat medan baru dikenakan c. Penyusunan kembali elektron ke dalam keadaan energi terendah saat medan setimbang H Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 192Ketika medan belum dikenakan, sebagian elektron berspin dalam arah-Z positip dansebagian lagi dalam arah-Z negatip sehingga resultan magnetisasi M=0. Tetapi, ketikamedan B dikenakan, tingkat energi spin yang paralel B mengalami penurunan sebesarμBB; dan tingkat energi spin yang antiparalel B naik sebesar μBB. Kondisi yang tidakstabil ini menyebabkan beberapa elektron dengan spin antiparalel B di dekat tingkatFermi berpindah ke spin paralel B sehingga magnetisasinya M≠0. Banyaknyaelektron yang sanggup berpindah (T=0 K) tersebut E Fo + μ B B 1 1 Δn = ∫ E Fo 2 g ( E )dE ≅ g ( E Fo ) μ B B 2Karena masing-masing spin mengalami perubahan sebesar 2μB (dari -μB ke +μB),maka magnetisasi yang terjadi M ≅ Δn 2 μ B = μ B g ( E Fo ) B 2sehingga suseptibilitasnya χ spin = μ o μ B g ( E F ) 2 o (7.27)Tampak bahwa suseptibilitas bergantung pada rapat keadaan pada tingkat energiFermi; dan tidak bergantung pada suhu. Pengaruh suhu terhadap distribusi elektronFermi-Dirac memang kecil. 3 N Mengingat bahwa harga g ( E Fo ) = (lihat persamaan (3.26) dan (3.30)) 2 E Fountuk pita energi standard (E∼k2) dan EFo=koTF , maka suseptibilitas logam 3 T χ spin ≅ χ (7.28) 2 TFdengan χ adalah suseptibilitas klasik (Boltzmann) (7.26). Karena harga suhu FermiTF=30.000 K, maka harga χspin lebih kecil daripada χ dengan faktor pengecil 10-2,yang sesuai pula dengan hasil eksperimen. Pada logam transisi, suseptibilitas paramagnet besar sekali. Hal ini terjadikarena g(EF) besar sebagai akibat sempit dan tingginya pita 3d.Diamagnetik Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 193 Elektron konduksi dalam logam menunjukkan pula sifat diamagnetismekarena gerakan siklotronnya di bawah pengaruh kehadiran medan magnet.Pendekatan klasik menunjukkan kontribusi diamagnetisme total seluruh elektronsama dengan nol. Tetapi, pendekatan kuantum menunjukkan bahwa kontribusisuseptibilitas diamagnetik 1 χ orbital = χ spin (7.29) 3Dengan demikian, suseptibilitas elektronik netto merupakan respon paramagnet. Dalam membandingkan hasil teoritis dengan eksperimen, harus disertakanefek diamagnetik ion “core” (diamagnetik Langevin). Misalnya, bila dalameksperimen diperoleh χtotal dan χcore, maka suseptibilitas elektronik konduksi logam χelektron =χtotal - χcore7.5 GEJALA FERROMAGNETIK Gejala ferromagnetik adalah gejala terjadinya magnetisasi secara spontanpada suatu bahan magnet. Ferromagnetik menyangkut pensejajaran sebagian besarmomen magnetik molekuler ke dalam suatu arah tertentu yang disukai dalam kristal.Gejala ini terjadi pada elemen transisi dan tanah-jarang, yang mana sel 3d dan 4ftidak terisi penuh. Contoh bahan ini adalah logam transisi, seperti Fe, Co dan Ni;logam tanah-jarang, seperti Gd dan Dy; dan oksida logam transisi isolator CrO2. Ferromagnetisme terjadi hanya di bawah suhu tertentu, yakni suhu Curie. Diatas suhu Curie, momen berorientasi secara acak sehingga magnetisasinya nol danbahan menjadi paramagnet. Seperti halnya ferroelektrik, bahan ferromagnetik jugamenunjukkan adanya domain dan kurva histerisis.7.5.1 Gejala Ferromagnetik pada Isolator7.5.1.1 Teori Medan Molekuler Antara momen yang berdekatan terjadi interaksi model Heisenberg, yangbergantung pada spin, satu sama lain. Misalnya, interaksi antara atom i dan j, yangmasing-masing berspin si dan s j , menimbulkan energi pertukaran Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 194 Vex = − J s i • s j (7.30)dengan J’ adalah konstanta pertukaran. Agar terjadi gejala ferromagnet, maka spin sidan sj harus paralel, si = s j . Dengan demikian, agar energinya minimal, makakonstanta J’ haruslah positip. Jika diasumsikan bahwa interaksi pertukaran dipol hanya terjadi antartetanggaterdekat saja (konstanta J’ menurun tajam terhadap bertambahnya jarak antardipol),maka energi pertukaran total dipol Vex = - Z J’ s2Dengan Z adalah jumlah tetangga terdekat dipol. Ekivalensi energi ini terhadapmedan magnet molekuler HW adalah melalui hubungan Z J’ s2 = (g s μB) (μo HW) (7.31)Dengan (gsμB) adalah momen dipol magnet. Dengan demikian, dapatlah dikatakanbahwa interaksi pertukaran spin dipol dalam kristal terjadi karena adanya medanmolekuler; atau medan internal molekuler HW inilah yang menyebabkan terjadinyamagnetisasi spontan. Weiss mengasumsikan bahwa medan internal sebanding dengan magnetisasi HW = λ M (7.32)dengan λ adalah konstanta Weiss. Nimal maksimum HW, yakni sama denganλM(0)=λNgsμB, terjadi pada T=0 K. Substitusi HW maksimum ke dalam (7.31)menghasilkan μ o N ( gμ B ) 2 J = λ (7.33) ZTampak bahwa J’ sebanding dengan λ dan masing-masing memiliki nilai 0,1 eV dan104.7.5.1.2 Magnetisasi Spontan dan Hukum Curie-Weiss Magnetisasi spontan hanya disebabkan oleh adanya medan internal molekulerHW. Bila diambil kasus untuk j=1/2, dengan analisa yang sama dengan bahasan gejalaparamagnet secara kuantum, maka dari persamaan (7.21) diperoleh magnetisasi Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 195 ⎛ μ gμ λ M ⎞ M = N g μ B tanh ⎜ o B ⎜ ⎟ ⎟ (7.34) ⎝ k oT ⎠Solusi ungkapan ini dapat diselesaikan dengan metode grafik. Bila diambil ⎛ μ gμ λ M ⎞ tanh ⎜ o B ⎜ ⎟ = tanh ( x) ⎟ ⎝ k oT ⎠maka didapatkan dua ungkapan magnetisasi, yakni k oT M = x (7.35) μ o gμ B λ M = N g μ B tanh ( x ) (7.36)Keduanya diplot bersamaan dalam grafik M terhadap x untuk mendapatkan titikperpotongan sebagai solusinya, seperti ditunjukkan dalam Gambar 7.6 berikut. M T>TC T=TC M∼x T<TC M∼tanh(x) A x Gambar 7.6 Kurva garis lurus M∼x dan M∼tanh(x) terhadap x. Titik perpotongan A merepresentasikan magnetisasi spontan (keadaan ferromagnetik)Suhu kritik (Curie) TC adalah suhu dimana garis lurus (grafik M∼x) merupakantangensial kurva hiperbolik pada titik asal. Tampak bahwa untuk T<TC, dua kurvaberpotongan di titik A, yang berarti bahwa magnetisasi spontan terjadi pada bahan(karena adanya medan molekuler HW). Pendekatan tanh(x)≅x, untuk x kecil, menjadikan kesamaan M dalam duapersamaan (7.35) dan (7.36) menghasilkan ungkapan konstanta Weiss k oTC λ= (7.37) μ o N ( gμ B )2Bila harga TC=103 K dan N=1029m-3, maka didapatkan pendekatan harga λ≅104. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 196 Dari grafik terlihat bahwa magnetisasi maksimum Ms(0)=NgμB terjadi jikaT→0 K. Dengan mengingat ungkapan konstanta Weiss (7.37), maka persamaan(7.34) juga dapat ditulis dalam bentuk M ⎛T ⎞ = tanh ⎜ ⎜T ⎟ ⎟ (7.38) M ( 0) ⎝ C ⎠yang secara grafik disajikan pada Gambar 7.7 berikut. M/M(0) 1 0 T/TC 1 Gambar 7.7 Sketsa M(T)/M(0) terhadap T/TC untuk j=1/2Grafik di atas adalah kurva universal untuk semua bahan magnet dengan nilai j=1/2. Dalam daerah paramagnet, T>TC, medan total Htotal = H + HWDengan H adalah medan eksternal yang dipasang. Bila diambil kasus untuk j=1/2dalam medan total kecil, dengan analisa yang sama dengan bahasan gejalaparamagnet secara kuantum, maka dari persamaan (7.21) diperoleh μ o gμ B M = M ( 0) (H + λ M ) (7.39) k oTDengan mengingat ungkapan λ dalam (7.37), maka diperoleh magnetisasi C M = H (7.40) T − TC TC μ o N ( gμ B ) 2dengan C= = disebut konstanta Curie. Dengan demikian λ k oTsuseptibilitas dalam daerah paramagnet Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 197 C χ= (7.41) T − TCUngkapan suseptibilitas ini sering disebut hukum Curie-Weiss.7.5.2 Gejala Ferromagnetik pada Logam Bahan ferromagnetik isolator tidak dapat digunakan secara langsung padalogam. Misalnya, bilangan efektif magneton Bohr p untuk logam transisi adalah p=gs.Tetapi, eksperimen menunjukkan bahwa bilangan tersebut adalah 2,22; 1,72 dan 0,54masing-masing untuk Fe, Co dan Ni. Kegagalan ini terjadi karena bahasanferromagnetik isolator mengasumsikan bahwa elektron terlokalisasi di sekitar titikkisi dan mengikuti distribusi Boltzmann. Sedangkan untuk elektron konduksi dalamlogam bersifat delokalisasi di seluruh ruang kristal dan mengikuti distribusi Fermi-Dirac. Bahasan ferromagnetik dalam menggunakan model elektron-itinerant yangdikembangkan oleh Stoner. Perhatikanlah Gambar 7.8 berikut. Bω=μoHω a b Gambar 7.8 Proses magnetisasi dalam model itinerantPita dibagi menjadi dua subpita, masing-masing dengan orientasi spin “up’ dan“down”. Keadaan nonmagnetik (Gambar 7.8.a) ditandai oleh populasi sama dalamdua subpita sehingga resultan magnetisasi nol. Karena interaksi pertukaran, momen berusaha dalam arah “up” (energi yanglebih rendah). Untuk itu, elektron harus berpindah dari daerah “down” ke “up”; danhal ini menimbulkan magnetisasi. Akibatnya, energi kedua subpita tidak sama lagi.Kedua pita mengalami perpindahan relatif satu sama lain (Gambar 7.8.b). Dengan Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 198demikian, magnetisasi bergantung pada perpindahan relatif subpita (atau interaksipertukaran) dan bentuk pita. Energi pertukaran yang hilang dari sebuah elektron yang berpindah dari arah“down” (-μB) ke “up” (+μB) 1 2 BW M = 1 2 (μ o H W )M = 1 μ o λ M 2 = 2μ o λ μ B 2 2karena M=2μB. Ternyata, tidak semua elektron dalam arah “down” dapat berpindah,melainkan hanya elektron yang berada di dekat energi Fermi EF. Misalnya, ΔEmerupakan rentang energi dalam subpita “up” yang hendak ditempati elektron yangberpindah, maka jumlah elektron yang berpindah tersebut n = 1 g ( E Fo ) ΔE 2dengan g(EFo) adalah rapat keadaan pada tingkat Fermi. Jika n=1, maka diperoleh 2 ΔE = g ( E Fo )Dengan demikian, syarat agar terjadi gejala ferromagnetik adalah 2 2μ o λ μ B > 2 (7.42)) g ( E Fo )Untuk memenuhi syarat tersebut, maka konstanta pertukaran harus besar, yakni jikasel atomik beradius kecil. Juga, g(EFo) harus besar, yang berarti menuntut pita sempit. Sel beradius lebih kecil mempunyai kemungkinan overlap fungsi gelombanglebih kecil dan karenanya pita menjadi lebih sempit. Hal ini dipenuhi oleh pita 3ddalam Fe, Co dan Ni; dan pita 4f dalam Gd dan Dy. Nilai g(EFo) besar menyebabkanpita dapat menampung elektron lebih banyak dalam rentang energi kecil. Tetapi,g(EFo) kecil menyebabkan pita melebar, seperti pita 4s, yang tidak menunjukkangejala ferromagnetik.7.6 GEJALA ANTIFERROMAGNETIK DAN FERRIMAGNETIK Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 199 Berkaitan dengan keteraturan magnetik pada bahan, maka perhatikanlahGambar 7.9 berikut. a b c Gambar 7.9 Susunan magnetik a. ferromagnetik, b. antiferromagnetik, dan c. ferrimagnetikFerromagnetik Semua dipol disejajarkan dalam arah yang sama sehingga bahan berada dalamkeadaan termagnetisasi penuh.Antiferromagnetik Masing-masing dipol mempunyai momen yang sama. Tetapi dipol yangberdekatan berlawanan arahnya. Dengan demikian, masing-masing dipol salingmeniadakan satu sama lain, sehingga magnetisasi netto sama dengan nol. Gejala inibanyak ditunjukkan oleh senyawa logam transisi, seperti kristal MnF2.Ferrimagnetik Dipol yang berdekatan berlawanan arah. Tetapi karena masing-masingmomen tidak sama, maka terdapat magnetisasi netto yang tidak sama dengan nol.Bahan ferrimagnetik sering disebut ferrit, yakni kristal oksida ionik Xfe2O4, dimanaX adalah logam divalen. Contoh ferrit adalah magnetit (“lodestone”) Fe3O4. RINGKASAN01. Pada bahan yang ditempatkan dalam medan magnet luar yang berintensitas H , terjadi magnetisasi M , dan juga, terjadi induksi magnet B . M dan H direlasikan oleh suseptibilitas magnetik χ; sedangkan B dan H direlasikan oleh permeabilitas bahan μ. Berdasarkan tanda dan besar nilai suseptibilitas magnet suatu bahan dikelompokkan menjadi (a). paramagnet, (b). diamagnet, dan (c). ferromagnet. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 20002. Elektron yang beredar mengelilingi inti atom dalam medan magnet B mengalami gejala diamagnetik Langevin, yakni momen induksi berlawanan arah dengan medan. Respon diamagnetik ini terjadi pada padatan yang sel atomiknya terisi penuh.03. Momentum angular orbital dan spin total suatu atom, masing-masing adalah L dan S berinteraksi membentuk momentum angular total J, sehingga L dan S berpresisi mengelilingi J. L dan S berharga tidak nol hanya untuk suatu sel yang tidak penuh. Demikian pula, momen dipol orbital μL dan spin μS berpresisi terhadap J, tetapi momen dipol totalnya μ = μ L + μ S tidak segaris dengan J . Karena itu dicari momen dipol total rata-rata sepanjang J, yaitu ⎛ e ⎞ j ( j + 1) + s ( s + 1) − l (l + 1) μ rata − rata = μ cosθ = g ⎜ − ⎟ J dengan g = 1 + adalah ⎝ 2m ⎠ 2 j ( j + 1) faktor Lande.04. Hasil bahasan teori klasik adalah bahwa suseptibilitas paramagnet Langevin χ berbanding terbalik terhadap T. Sedangkan teori kuantum memperoleh μ o Nμ ef 2 suseptibilitas χ = dengan μef = p μB dan p = g (j[j+1])1/2. Bila gerakan 3k oT orbitalnya hanyut, dan tinggal momen spin yang mengkontribusi terhadap proses magnetisasi, maka disebut “quenching”.05. Elektron konduksi dalam logam mempunyai dua kontribusi, yaitu sifat paramagnet karena spinnya dan sifat diamagnetik karena gerakan orbital yang diinduksikan oleh medan magnet. Oleh karaean itu gejala magnetik dalam logam meliputi dua hal, yaitu Paramagnetik Pauli dan diamagnetik. Bahasan Paramagnetik Pauli memperoleh suseptibilitas χ spin = μ o μ B g ( E F ) , yang 2 o bergantung pada rapat keadaan pada tingkat energi Fermi; dan tidak bergantung pada suhu. Sedangkan bahasan diamagnetik, melalui pendekatan kuantum 1 menunjukkan bahwa kontribusi suseptibilitas diamagnetik χ orbital = χ spin 3 sehingga suseptibilitas elektronik netto merupakan respon paramagnet. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 20106. Gejala ferromagnetik adalah gejala terjadinya magnetisasi secara spontan pada suatu bahan magnet dan terjadi hanya di bawah suhu tertentu, yakni suhu Curie. Bahan ferromagnetik juga menunjukkan adanya domain dan kurva histerisis. Bahasan gejala ferromagnetik meliputi dua hal, yaitu pada isolator dan logam.07. Gejala ferromagnetik dalam isolator memakai teori medan molekuler. Teori ini C menghasilkan suseptibilitas dalam daerah paramagnet χ = , yang sering T − TC disebut hukum Curie-Weiss.08. Gejala ferromagnetik dalam logam menasumsikan bahwa elektron konduksi dalam logam bersifat delokalisasi di seluruh ruang kristal dan mengikuti distribusi Fermi-Dirac. Bahasan ini menggunakan model elektron-itinerant yang dikembangkan oleh Stoner. Model ini memiliki syarat agar terjadi gejala 2 ferromagnetik, yaitu 2μ o λ μ B > 2 . Berarti sel atomik harus beradius kecil. g ( E Fo ) Juga, g(EFo) harus besar, yang berarti menuntut pita sempit.09. Berkaitan dengan keteraturan magnetik pada bahan, maka terdapat (a) ferromagnetik, (b) antiferromagnetik, dan (c) ferrimagnetik. LATIHAN SOAL BAB VII01. Sebuah elektron yang bergerak melingkar beraturan mempunyai momen dipol magnetik μ seperti persamaan (7.6). Jika momentum angular elektron tersebut adalah L, maka buktikan bahwa e μ=− L 2m02. Pada suhu 4 K padatan Argon mempunyai konsentrasi 2,66.1028 atom/m3. Jika jarak kuadrat rata-rata sebuah elektron terhadap inti terdekat 0,62 Å, maka a. hitunglah suseptibilitasnya! Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 202 b. hitunglah magnetisasinya dalam medan induksi 2,0 T!03. Hitunglah faktor Lande g untuk keadaan dasar a. ion Praseodymium 59Pr yang mempunyai 2 elektron pada subkulit f! b. ion Erbium 68Er yang mempunyai 11 elektron pada subkulit f!04. Nikel mempunyai 8 elektron dalam sel 3d. a. Hitunglah bilangan efektif magneton Bohr ion Nikel bila (1). Momentum angular orbital tidak “quenching”! (2). Terjadi “quenching”! b. Nilai eksperimen menunjukkan bahwa harga p=3,2. Apa komentar Anda?05. Kontribusi teras (“core”) diamagnetik natrium terhadap suseptibilitas molar adalah sebesar -6,1.10-12 m3/mol. a. Hitunglah jarak rata-rata elektron teras terhadap inti terdekat! b. hitunglah momen dipol teras dalam medan magnet induksi 0,5 T!06. Dengan menggunakan aturan Hund, hitunglah bilangan kuantum l, s, j, faktor Lande g dan momen dipol magnet untuk ion Vanadium 23V dengan 3 elektron dalam sel 3d, bila dianggap momentum angular orbital a. tidak mengalami “quenching”! b. mengalami “quenching”!07. Dengan menggunakan aturan Hund, hitunglah faktor Lande a. untuk setiap bilangan yang mengisi sel d (1 s/d 10)! Anggaplah bahwa atom berada dalam keadaan dasar dan momentum angular orbital tidak “quenching”. b. untuk bilangan berapakah momen dipol magnetnya nol? Atom apakah itu? c. untuk bilangan berapakah momen dipol magnetnya terbesar? Atom apakah itu? d. Ulangi soal (b) dan (c) bila momentum angular orbital mengalami “quenching”.08. Ion magnetik paramagnetik dalam pengaruh medan magnet akan memperoleh energi seperti persamaan (7.18). Bila bahan paramagnet tersebut mempunyai Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 203 momentum angular total ђ, faktor Lande g=2 dan medan magnet induksi 0,7 T serta memenuhi distribusi Maxwell-Boltzmann, maka a. hitunglah fraksi atom dengan JZ=+ђ, dengan JZ=0 dan dengan JZ=-ђ pada suhu 300 K! b. hitunglah momen dipol atomik rata-rata!09. Pada suhu kamar Oksigen merupakan gas paramagnetik dengan suseptibilitas molar 4,33.10-8 m3/mol. a. Hitunglah bilangan efektif magneton Bohr peratom! b. Tunjukkan bahwa soal (a) sesuai dengan sel s dengan 2 elektron!10. Dua bahan ferromagnetik mempunyai struktur kristal dan ukuran sel satuan yang identik. Spin atomnya identik, tetapi koefisien pertukaran J’ yang satu berharga dua kali yang lain. Bandingkan konstanta Weiss λ, konstanta Cuire C, magnetisasi saturasi M(0) dan suhu Cuire TC antara keduanya!11. Suseptibilitas diamagnetik karena ion teras (“cores”) dalam logam Tembaga adalah -0,2.10-6. Jika diketahui bahwa kerapatan Cu adalah 8,93 gr/cm3 dan berat atomnya 63,5 gr/mol, maka hitunglah jari-jari rata-rata ion tersebut!12. Germanium mempunyai kerapatan 5,38 gr/cm3 dan berat atom 72,6 gr/mol. a. Jika diketahui bahwa suseptibilitasnya -0,8.10-5 dan radius ion teras (“core”) 0,44 Å, maka hitunglah persentase dari kontribusi ikatan kovalen terhadap suseptibilitasnya! b. Jika dikenakan medan H=5.104 A/m, maka hitunglah magnetisasi dan induksi magnetnya!13. Suatu sistem dengan spin j=s=1/2 ditempatkan dalam suatu medan magnet H=5.104 A/m,. Hitunglah a. fraksi ion yang paralel terhadap medan pada suhu kamar! b. komponen rata-rata momen dipol searah medan pada suhu kamar! c. medan untuk u Z =0,5μB! d. Ulangi soal (a) dan (b) pada suhu sangat rendah 1 K!14. Turunkanlah persamaan (7.23)! Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • 7 BAHAN MAGNETIK 20415. Buktikanlah bahwa momen dipol rata-rata auatu atom, yang mengandung efek interaksi spin-orbit, mempunyai ungkapan ⎛ e ⎞ u rata − rata = g ⎜ − ⎟J ⎝ 2m ⎠ dengan g adalah faktor Lande (7.13)!16. a. Suseptibilitas spin elektron konduksi pada T=0 K diberikan oleh persamaan (7.27). Nyatakalah hasil ini dalam bentuk konsentrasi elektron untuk pita energi standard! b. Hitunglah suseptibilitas spin logam K, bila diketahui kerapatan 0,87 gr/cm3 dan berat atom 39,1 gr/mol! c. Hitunglah suseptibilitas diamagnetik elektron konduksi logam K! d. Hitung jari-jari rata-rata ion K dalam keadaan logam!17. Data untuk Fe: magnetisasi saturasi M(0)=1,74.106 A/m, suhu Fermi TF=1043 K, kerapatan ρm=7,92 gr/cm3 dan berat atom M=55,6 gr/mol. a. Buktikanlah bahwa momen dipol sebuah atom Fe adalah 2,22 μB! b. Hitunglah konstanta pertukaran Weiss λ dan medan molekuler HW! c. hitunglah konstanta Curie! d. Hitunglah energi pertukaran untuk suatu interaksi dipol antartetangga terdekat! Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  • DAFTAR RUJUKANAlonso, M., Finn, EJ. 1972. Fundamental University Physics III: Quantum and Statistical Physics. California: Addison Wesley Publishing CompanyAshcroft, NW,. Mermin, ND. 1976. Solid State Physics. Philadelphia: Sounders CollegeChrisman, FR. 1984. Fundamental of Solid State Physics. Singapura: John Wiley & Sons, IncKittel, C. 1991. Introduction to Solid State Physics. Singapura: John Wiley & Sons, IncOmar, MA. 1975. Elementary Solid State Physics. Reading-Massachusetts: Addison Wesley Publishing CompanyPointon, AJ. 1976. An Introduction to Statistical Physics for Student. London: LongmanSupangkat, H. Diktat Matakuliah Susunan Zat. Bandung: Jurusan Fisika FMIPA ITBSuwitra, N. 1989. Pengantar Fisika Zat Padat. Jakarta: Depdikbud Dirjendikti P2LPTK