Zat padat parno

21,910 views
21,724 views

Published on

4 Comments
12 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
21,910
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
1,959
Comments
4
Likes
12
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Zat padat parno

  1. 1. FISIKA ZAT PADAT Oleh DRS. P A R N O, M.Si DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS NEGERI MALANGFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN FISIKA Pebruari 2006
  2. 2. Ralat fisika zat padat 2006 hal ralat 10 Gambar 1.9 CsCl 13 c/a = (2/3) akar 6 18 Baris ke-8 dalam table: ………. berikutnya 25 Pers (1.30) fkr,hkl 27 KBR seharusnya adalah KBr 35 interaksi seharusnya Interaksi 41 Baris ke-2 dr bw: dobel + 42 03.b. primitip adalah; 06. ……… 48 2.1 dan 2.3 57 Letak Pers 2.34 i
  3. 3. KATA PENGANTAR Puji syukur dipanjatkan kepada Tuhan Yang Mahaesa atas segala rahmat-Nyasehingga penulisan buku FISIKA ZAT PADAT ini dapat diselesaikan. Buku ini disusun atas dasar deskripsi matakuliah FIU 437 FISIKA ZATPADAT di Jurusan Fisika FMIPA Universitas Negeri Malang dan dengan maksudagar perkuliahan matakuliah tersebut dapat berlangsung lebih efektif dan efisien.Disamping itu, buku ini diharapkan dapat melengkapi pilihan pustaka mahasiswadalam memahami konsep dan gejala mendasar dalam zat padat. Isi buku ini dirancang untuk kuliah satu semester dengan tiga sampai empatkredit pada semester kedua tahun ketiga. Dengan demikian mahasiswa diharapkansudah menempuh matakuliah prasyaratnya, yaitu FISIKA KUANTUM dan FISIKASTATISTIK. Dalam setiap bab buku ini disajikan urutan subbab sedemikian rupa sehinggamemahami subbab sebelumnya menjadi bekal yang cukup baik untuk memahamisubbab sesudahnya. Oleh karena itu dalam mempelajari setiap bab buku inimahasiswa diharapkan membaca dan memahaminya mulai dari awal sampai akhirsecara berturutan. Diucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehinggabuku FISIKA ZAT PADAT ini dapat diselesaikan. Saran dan kritik membangun daripara pembaca sangat diharapkan demi lebih sempurnanya buku ini. Semoga buku ini berguna. Amin! Malang, Pebruari 2006 Penyusun, i
  4. 4. DAFTAR ISI halamanBAB I STRUKTUR KRISTAL 1.1 SIMETRI DAN STRUKTUR KRISTAL 2 1.1.1 Pengertian Pokok 2 1.1.1.1.Zat padat Kristal 2 1.1.1.2 Kisi Kristal 3 1.1.1.3 Vektor Basis 4 1.1.1.4 Sel Satuan Primitip dan Non-Primitip 4 1.1.1.5 Tiga Dimensi 5 1.1.2 Macam Dasar Kisi kristal 6 1.1.3 Beberapa Kristal dengan Struktur Sederhana 9 1.1.3.1 Struktur NaCl 9 1.1.3.2 Struktur CsCl 10 1.1.3.3 Struktur Intan 11 1.1.3.4 Struktur ZnS 12 1.1.3.5 Struktur HCP 12 1.1.4 Geometri Kristal 13 1.1.4.1 Arah kristal 13 1.1.4.2 Bidang Kristal dan Indek Miller 14 1.1.4.3 Jarak antar Bidang Sejajar 16 1.1.4.4 Fraksi Kepadatan 18 1.2 DIFRAKSI KISI KRISTAL 18 1.2.1 Hamburan Sinar-X oleh Kisi Kristal 19 1.2.1.1 Hukum Bragg 19 1.2.1.2 Teori Hamburan 20 1.2.1.3 Kisi Resiprok 23 1.2.1.4 Difraksi Sinar-X 24 1.3 IKATAN ATOMIK DALAM KRISTAL 28 1.3.1 Gaya Antaratom 28 1.3.2 Jenis Ikatan Kristal 30 1.3.2.1 Ikatan Ionik 30 1.3.2.2 Ikatan Kovalen 32 1.3.2.3 Ikatan Logam 34 1.3.2.4 Ikatan Van Der Walls 35 1.3.2.5 Ikatan Hidrogen 37RINGKASAN 38LATIHAN SOAL BAB I 41 ii
  5. 5. B A B II DINAMIKA KISI KRISTAL 2.1. GETARAN DALAM ZAT PADAT 47 2.1.1 Getaran Elastik dan Rapat Moda Getar 47 2.1.2 Kuantisasi Energi Getaran dalam Zat Padat 52 2.1.2.1 Model Einstein tentang Cv Zat Padat 53 2.1.2.2 Model Debye tentang Cv Zat Padat 56 2.2 GETARAN DALAM KISI KRISTAL 58 2.2.1 Getaran dalam Kisi Linier 58 2.2.1.1 Kisi Monoatomik Satu Dimensi 58 2.2.1.2 Kisi Diatomik Satu Dimensi 63 2.2.1.3 Kisi Tiga Dimensi 66RINGKASAN 66LATIHAN SOAL BAB II 68BAB III ELEKTRON DALAM LOGAM I (MODEL ELEKTRON BEBAS) 3.1 MODEL ELEKTRON BEBAS KLASIK 73 3.1.1 Teori Drude tentang Elektron dalam Logam 73 3.1.2 Model Elektron Bebas Klasik 76 3.2 MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI 78 3.2.1 Sumbangan Elektron Bebas pada Harga CV 80 3.2.2 Paramagnetik Pauli 82 3.2.3 Konduktivitas Listrik dalam Logam 83 3.3 PERILAKU ELEKTRON DALAM LOGAM 87 3.3.1 Hukum Matthiessen 87 3.3.2 Efek Hall 88 3.3.3 Resonansi Siklotron 90 3.3.4 Pancaran Termionik 91 3.4 KEBERATAN TERHADAP MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI 93RINGKASAN 94LATIHAN SOAL BAB III 96BAB IV LOGAM II (TEORI PITA ENERGI) 4.1 TEORI PITA ENERGI UNTUK ZAT PADAT 99 4.1.1 Teorema Bloch 100 4.1.2 Model Kronig-Penney 101 4.1.3 Pita Energi dan Energi Elektron dalam Atom 105 4.1.4 Refleksi Bragg dan Celah Energi 108 4.1.5 Logam, Isolator dan Semikonduktor 110 4.1.6 Metode LCAO 115 iii
  6. 6. 4.2 DINAMIKA ELEKTRON DALAM KRISTAL 119 4.2.1 Kecepatan Kelompok dan Massa Efektif Elektron dalam Kristal 119 4.2.2 Pengaruh Medan Listrik pada Kecepatan Elektron dalam Kristal 125 4.2.3 Konduktivitas listrik 127 4.2.4 Dinamika Elektron dalam Medan Magnet 129 4.2.4.1 Efek Hall 129 4.2.4.2 Resonansi Siklotron 130RINGKASAN 133LATIHAN SOAL BAB IV 136BAB V SEMIKONDUKTOR 5.1 KLASIFIKASI SEMIKONDUKTOR 140 5.2 SEMIKONDUKTOR INTRINSIK 140 5.3 SEMIKONDUKTOR EKTRINSIK 144 5.3.1 Ketidakmurnian Donor dan Akseptor 145 5.3.1.1 Donor 145 5.3.1.2 Aseptor 147 5.4 PENGUKURAN CELAH ENERGI DENGAN METODE OPTIK 149RINGKASAN 150LATIHAN SOAL BAB V 152BAB VI BAHAN DIELEKTRIK 6.1 RUMUSAN DASAR POLARISASI BAHAN 154 6.2 KONSTANTA DIELEKTRIK BAHAN (PANDANGAN MAKROSKOPIS) 156 6.3 POLARISABILITAS BAHAN (PANDANGAN MIKROSKOPIS) 157 6.3.1 Persamaan Clausius-Mosotti 157 6.3.2 Sumber Polarisabilitas 161 6.3.2.1 Polarisabilitas Polar 163 6.3.2.1.1 Polarisabilitas Polar Statik 163 6.3.2.1.2 Polarisabilitas Polar Bolak-balik 164 6.3.2.2 Polarisabilitas Ionik 167 6.3.2.3 Polarisabilitas Elektronik 170 6.3.2.3.1 Polarisabilitas Elektronik Statik 170 6.3.2.3.2 Polarisabilitas Elektronik Bolak-balik 171 6.4 GEJALA PIEZOELEKTRIK 172 6.5 GEJALA FERROELEKTRIK 173RINGKASAN 173LATIHAN SOAL BAB VI 178 iv
  7. 7. BAB VII BAHAN MAGNETIK 7.1 SUSEPTIBILITAS MAGNETIK BAHAN 183 7.2 GEJALA DIAMAGNETIK LANGEVIN 184 7.3 GEJALA PARAMAGNET 186 7.4 GEJALA MAGNETIK DALAM LOGAM 190 7.5 GEJALA FERROMAGNETIK 193 7.5.1 Gejala Ferromagnetik pada Isolator 193 7.5.1.1 Teori Medan Molekuler 193 7.5.1.2 Magnetisasi Spontan dan Hukum Curie-Weiss 194 7.5.2 Gejala Ferromagnetik pada Logam 197 7.6 GEJALA ANTIFERROMAGNETIK DAN FERRIMAGNETIK 198RINGKASAN 199LATIHAN SOAL BAB VII 201DAFTAR RUJUKAN v
  8. 8. BAB I STRUKTUR KRISTAL Zat padat, yang terlihat sebagai benda tegar padat, secara mikro terdiri dariatom. Atom-atom zat padat tidaklah diam, melainkan bervibrasi dengan amplitudokecil di sekitar titik kesetimbangannya. Karena posisinya yang relatif tetap, makaatom-atom tersebut cenderung membentuk struktur tertentu. Hal ini berbedadengan cairan atau gas, yang mana atom-atomnya bergerak pada jarak yang lebihbesar sehingga strukturnya tidak tertentu. Distribusi setimbang atom-atom mendefinisikan struktur padatan, yangterdiri dari tiga bagian besar, yaitu kristalin, amorf, dan polikristal. Dalam zatpadat kristal, atom tersebut terdistribusi teratur relatif terhadap yang lain.Terdapat beberapa jenis struktur kristal yang bergantung pada geometri susunanatom. Pemahaman tentang struktur kristal bahan adalah hal penting dalam fisikazat padat, karena, umumnya, struktur kristal mempengaruhi sifat zat padat. Zatpadat polikristal dibentuk oleh sejumlah besar kristal-kristal kecil, yang disebutkristalin. Atom-atom membentuk pola dalam suatu kristal, tetapi orientasinyaakan lenyap pada batas kristalin. Sedangkan dalam zat padat amorf, terjadidistribusi atom secara acak. Bahan-bahan zat padat dapat berbentuk kristalin,polikristal atau amorf, bergantung pada bagaimana bahan tersebut dipreparasi.Selanjutnya, dalam diktat ini hanya dibahas zat padat kristal saja.
  9. 9. I STRUKTUR KRISTAL 2 Bagian awal bab ini menyajikan pengertian struktur kristal besertaperluasannya melalui rumusan dasar matematika. Kemudian dibahas jenis strukturyang mungkin, dan dikenalkan konsep indek Miller. Struktur kristal dapatditentukan dengan menggunakan difraksi sinar-X. Bab ini ditutup oleh bahasangaya antaratom yang menyebabkan terjadinya ikatan dalam kristal.1.1 SIMETRI DAN STRUKTUR KRISTAL1.1.1 Pengertian Pokok1.1.1.1 Zat Padat Kristal Suatu benda padat berbentuk kristal, apabila atom, ion, atau molekulnya(selanjutnya disebut atom saja) teratur dan periodik dalam rentang yang panjangdalam ruang. Kristal sempurna mempunyai keperiodikan tak berhingga. Namun,kenyataannya, tidak mungkin mempreparasi kristal sempurna karena berbagaiketerbatasan fisis, yaitu (a) adanya permukaan kristal, (b) cacat geometrik, (c)ketakmurnian, dan (d) pada suhu T>0 K atom dalam kristal bergetar harmonik disekitar titik setimbangnya. Gambar 1.1 berikut menyajikan geometri kristal dua dimensi. b R a Gambar 1.1 Zat padat kristal. Seluruh atom tersusun periodik.Kedudukan dalam ruang dua dimensi di atas merupakan kedudukan atomnya.Setiap titik di dalamnya terletak pada ujung vektor kisi R = n1 a + n2 b (1.1)dengan (n1, n2) adalah pasangan bilangan bulat; dan a dan b adalah vektor basis. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  10. 10. I STRUKTUR KRISTAL 3 Bahan kristal memiliki simetri translasi, artinya seluruh kristal itu digesersejauh vektor R di atas (yang menghubungkan dua buah atomnya), makakeadaannya tetap sama. Dengan kata lain kristal bersifat invarian terhadaptranslasi semacam itu.1.1.1.2 Kisi Kristal Dalam kristalografi (bahasan geometri kristal), setiap atom dalam kristaldianggap sebagai suatu titik, tepat pada kedudukan setimbang tiap atom itu didalam ruang. Pola geometrik yang diperoleh dinamakan kisi kristal. Terdapat dua kelas kisi, yaitu Bravais dan non-Bravais. Dalam kisiBravais, seluruh titik kisi adalah ekivalen, artinya kisi bersifat invarian terhadapoperasi simetri translasi. Dengan demikian semua atom dalam kristal haruslahsejenis. Sedangkan dalam kisi non-Bravais terdapat beberapa titik kisi yang tidakekivalen. Gambar 1.2 berikut menyajikan kisi non-Bravais. Gambar 1.2 Kisi non-Bravais dengan basis A dan A’Tempat kisi A, B dan C adalah ekivalen, begitu juga A’, B’ dan C’. Tetapi, duatempat kisi A dan A’ tidak ekivalen karena kisi tidak invarian terhadap translasisepanjang AA’. Kisi non-Bravais seringkali disebut sebagai kisi dengan suatubasis. Basis yang dimaksud adalah kumpulan atom yang ditempatkan di sekitartitik kisi Bravais. Dalam Gambar 1.2 di atas basisnya adalah A dan A’. Kisi non-Bravais dapat dipandang sebagai kombinasi dari dua atau lebihkisi Bravais yang saling menembus dengan orientasi tertentu. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  11. 11. I STRUKTUR KRISTAL 41.1.1.3 Vektor Basis Lihat kembali Gambar 1.1. Posisi semua titik kisi dinyatakan olehpersamaan (1.1), yakni R = n1 a + n2 b . Perhatikanlah bahwa a dan b , yangdinamakan vektor basis, (a) bersifat tidak unik, dan (b) haruslah tidak kolinier.1.1.1.4 Sel Satuan Primitip dan non-Primitip Luas daerah jajaran genjang (paralelogram) yang sisinya dibatasi olehvektor basis disebut sel satuan, seperti luasan daerah bayang-bayang dalamGambar 1.3 berikut. b R a Gambar 1.3 Vektor a dan b membentuk sel satuanSel satuan merupakan dasar pola elementer karena berulang secara periodik danmembentuk struktur kisi suatu kristal. Bila sel satuan tersebut dilakukan translasioleh vektor kisi R di atas, maka seluruh kisi kristal tercakup olehnya. Luas daerahparalelogram dengan sisi a dan b adalah a × b =ab sin γ, dimana γ adalah sudutantara a dan b . Perhatikanlah bahwa sel satuan itu (a) tidak unik, (b) setiap sel satuanmempunyai luasan yang sama, dan (c) dalam contoh di atas sel satuanmengandung satu titik kisi. Yang dibicarakan di atas adalah sel primitip, yakni sel satuan yang hanyamengandung satu titik kisi perselnya. Sedangkan sel non-primitip memiliki lebihdari satu titik kisi perselnya. Vektor basis yang membentuk sel satuan primitipdisebut vektor basis primitip; dan sel satuan non-primitip disebut vektor basisnon-primitip. Gambar 1.4 berikut memperjelas perbedaan keduanya. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  12. 12. I STRUKTUR KRISTAL 5 2 1 5 3 4 Gambar 1.4 Sel primitip (3, 4 dan 5) dan non-primitip (1 dan 2 dengan dua titik kisi persatuan sel) Perhatikanlah bahwa jika sel satuannya adalah sel primitip, maka titik-titikkisi hanya ada pada tiap-tiap pojok jajaran genjang, yaitu sebanyak 4 titik kisi.Setiap titik kisi menjadi milik bersama antara 4 buah sel, sehingga jumlah totaltitik kisi dalam sel satuan primitip sebanyak 4x¼=1. Hal demikian tidak terjadipada sel satuan nonprimitip. Beberapa hal penting yang berkaitan dengan sel satuan adalah (a) sel non-primitip menunjukkan simetri lebih besar, (b) luas sel non-primitip merupakankelipatan bulat dari luas sel primitip, dan (c) sel primitip dan non-primitip berkaitdengan pemilihan vektor basis dalam kisi Bravais.1.1.1.5 Tiga Dimensi Bahasan kristal dalam tiga dimensi sama dengan dalam dua dimensi,hanya keadaannya ditambah dengan satu dimensi lagi. Disamping itu, hal yangperlu diperhatikan adalah(a) ungkapan vektor basis menjadi R = n1 a + n2 b + n3 c (1.2) dengan vektor basis (a , b , c ) yang tidak koplanar,(b) vektor basis membentuk sel satuan volume berbentuk paralelepipidum, Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  13. 13. I STRUKTUR KRISTAL 6(c) antarvektor basis satu sama lain membentuk sudut α, β dan γ seperti terlihat pada Gambar 1.5 berikut. (d) volume paralelepipidum dengan sisi a , b dan c adalah luas bagian dasar berbentuk paralelogram a × b yang dikalikan dengan komponen c sepanjang sumbu yang tegak lurus terhadap bagian dasar tersebut, yaitu Gambar 1.5 Kisi tiga dimensi dengan V = c • a ×b . vektor basis (a , b , c ) dan sudut α, β, γ antaranya Perhatikanlah bahwa sel satuan pada Gambar 1.5 adalah sel satuanprimitip, yaitu titik-titik kisi berjumlah 8 hanya ada pada tiap pojokparalelepipidum. Setiap titik kisi menjadi milik bersama sebanyak 8 sel satuan,sehingga jumlah total titik kisi dalam sel satuan primitip tersebut sebanyak8x 1 =1. Hal demikian tidak terjadi pada sel satuan nonprimitip. 81.1.2 Macam Dasar Kisi Kristal Kondisi simetri translasi dalam kristal mempunyai konsekwensi terhadapterbatasnya kemungkinan jenis kisi Bravais yang dapat terjadi, baik dalam kisikristal dua maupun tiga dimensi. Dalam dua dimensi, kisi kristal yang mungkin sebanyak lima jenis, sepertiterlihat dalam Tabel 1.1 dan Gambar 1.6 berikut.Tabel 1.1 Macam kisi dua dimensi No Kisi Sel Satuan Sisi dan Sudut 1 Genjang Jajaran genjang a≠b ϕ ≠ 900 2 Persegi Bujur sangkar a=b ϕ = 900 3 Heksagonal Belah ketupat a=b ϕ = 1200 4 Empat persegi panjang P Empat persegi panjang a≠b ϕ = 900 5 Empat persegi panjang I Empat persegi panjang a≠b ϕ = 900 Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  14. 14. I STRUKTUR KRISTAL 7 a a a a b b b a a a Gambar 1.6 Lima jenis dasar kisi Bravais dua dimensi Tampak bahwa hanya kisi empat persegi panjang I yang memiliki sel satuan nonprimitip Untuk kasus tiga dimensi ternyata ada 14 buah kisi Bravais yangterlingkupi dalam 7 buah sistem kristal. Hal ini sebagai konsekuensi dari simetrirotasi sebuah kristal, yakni rotasi-1, 2, 3, 4, dan 6, seperti disajikan dalam Tabel1.2 dan Gambar 1.7 berikut.Tabel 1.2 Macam kisi tiga dimensi Sistem No Kisi Bravais Geometri Kristal Simetri Khas Kristal 1 Triklinik P a≠b≠c α≠β≠γ Tidak ada 2 Monoklinik P , C a ≠ b ≠ c α = β = 900 γ ≠ 900 Sebuah sumbu rotasi-2 Tiga sumbu rotasi-2 3 Ortorombik P , C, I, F a ≠ b ≠ c α = β = γ = 900 ortogonal 4 Tetragonal P , I a = b ≠ c α = β = γ = 900 Sebuah sumbu rotasi-4 a = b = c α = β = γ < 1200 5 Trigonal R Sebuah sumbu rotasi-3 tetapi bukan 900 6 Heksagonal P a = b ≠ c α = β = 900 γ = 1200 Sebuah sumbu rotasi-3 Empat sumbu rotasi-3 7 Kubik P, I,F a = b = c α = β = γ = 900 sepanjang diagonal kubusKisi Bravais P, C, I, F, dan R, masing-masing mengandung jumlah titik kisi perselsatuannya adalah 1, 2, 2, 4, dan 1. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  15. 15. I STRUKTUR KRISTAL 8Gambar 1.7 Empat belas kisi Bravais berdimensi tiga dan distribusinya dalam 7 sistem kristal P = primitip C = “base centered” I = “body Centered” F = “face centered” R = rombohedral primitip Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  16. 16. I STRUKTUR KRISTAL 91.1.3 Beberapa Kristal dengan Struktur Sederhana1.1.3.1 Struktur Sodium Khlorida (NaCl) Na Cl mempunyai struktur FCC dengan basis satu atom Na dan satu atomCl yang terpisah sepanjang setengah diagonal ruang kubus. Sepanjang ketiga arahsumbu utama kubiknya terdapat alternasi atom Na dan Cl, seperti ditunjukkanoleh Gambar 1.8 berikut. Gambar 1.8 Struktur NaCl tiga dimensiSetiap sel satuan memiliki 4 perangkat NaCl yang atomya berkedudukan di Cl : 000 ½½0 ½0½ 0½½ Na: ½½½ 00½ 0½0 ½00Jika sisi kubik adalah a, maka kedua atom dalam basis terpisah sejauh ½√3a, dansetiap atom memiliki 6 atom tetangga terdekat yang berbeda jenis dengan jarakpisah masing-masing ½a. Nilai konstanta a untuk NaCl berharga 5,63 Å. NaCl dapat pula dipandang sebagai struktur non-Bravais, yang terdiri daridua subkisi FCC, masing-masing untuk Na dan Cl, yang saling menembus. Keduasubkisi tersebut terpisah sejauh ½a satu sama lain. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  17. 17. I STRUKTUR KRISTAL 10 Beberapa kristal yang memiliki struktur NaCl adalah LiH, MgO, MnO,AgBr, PbS, KCl, dan KBr dengan konstanta kisi masing-masing 4,08; 4,20; 4,43;5,77; 5,92; 6,29; dan 6,59 Å.1.1.3.2 Struktur Sesium Khlorida (CsCl) CsCl memiliki struktur SC dengan basis satu atom Cs dan satu atom Cl.Alternasi atom Cs dan Cl terdapat sepanjang diagonal ruang kubik, seperti terlihatpada Gambar 1.9 berikut. Gambar 1.9 Struktur CsClSetiap sel satuan mengandung satu molekul CsCl, dengan posisi atom Cs : 000 Cl : ½½½ CsCl dapat pula dipandang sebagai struktur non-Bravais yang terdiri daridua subkisi SC (kubik sederhana), yang masing-masing dibentuk oleh atom-atomCs dan Cl, yang keduanya terpisah sejauh ½√3a (setengah diagonal ruang).Jumlah titik terdekat setiap atom adalah 8 atom yang berbeda jenis. CsCl memilikikonstanta kisi 4,11 Å. Beberapa kristal yang memiliki struktur CsCl adalah BeCu, AlNi, CuZn,CuPd, AgMg, LiHg, NH4Cl, TlBr, dan TlI dengan konstanta kisi masing-masing2,70; 2,88; 2,94; 2,99; 3,28; 3,29; 3,87; 3,97; dan 4,20 Å. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  18. 18. I STRUKTUR KRISTAL 111.1.3.3 Struktur Intan Struktur intan dapat dilihat sebagai struktur yang sel satuannya adalah selFCC dengan suatu basis, yakni dua atom C yang posisinya 000 dan ¼¼¼seperti terlihat pada Gambar 1.10 dan 1.11 berikut. Gambar 1.10 Struktur kristal intan dengan ikatan tetrahedralnya Gambar 1.11 Proyeksi posisi atom dalam struktur intan sel kubik pada salah satu sisi kubik. Bilangan pecahan menunjukkan ketinggian di atas bidang dasar Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  19. 19. I STRUKTUR KRISTAL 12Dalam setiap sel satuan terdapat 8 atom C dan bilangan koordinasinya adalah 4.Keempat atom terdekat membentuk suatu tetrahedral, dengan pusat atom yangbersangkutan. Konfigurasi semacam itu sering dijumpai pada semikonduktor, dandinamakan ikatan tetrahedral. Struktur intan merupakan contoh ikatan kovalendalam unsur-unsur kolom IV tabel periodik. Struktur intan dapat pula dipandang sebagai gabungan dari dua subkisiFCC yang saling menembus dengan titik asal, masing-masing 000 dan ¼ ¼ ¼. Beberapa kristal yang memiliki struktur intan adalah Ge, Si, C, timah putihdengan konstanta kisi masing-masing 5,65; 5,43; 3,56; dan 6,46 Å.1.1.3.4 Struktur Seng Sulfida (ZnS) Struktur ZnS sama dengan struktur intan, tetapi dengan basis yang terdiridari dua atom berbeda, yakni Zn dan S. Setiap sel satuan memiliki 4 molekul ZnSdengan posisi atom Zn : 000 0½½ ½0½ ½½0 S: ¼¼¼ ¼¾¾ ¾¼¾ ¾¾¼Setiap atom memiliki jarak yang sama terhadap keempat atom yang berbedaterdekatnya yang menempati pojok-pojok tetrahedron regular. ZnS memilikikonstanta kisi 5,41 Å. Beberapa kristal yang memiliki struktur ZnS adalah CuF, SiC, CuCl, AlP,GaP, ZnSe, GaAs, AlAs, CdS, InSb, dan AgI dengan konstanta kisi masing-masing 4,26; 4,35; 5,41; 5,45; 5,45; 5,65; 5,65; 5,66; 5,82; 6,46; dan 6,47 Å.1.1.3.5 Struktur HCP (hexagonal close-packed structure) Banyak cara untuk menyusun bola identik dengan jumlah tak berhinggasecara tertentu sehingga menghasilkan susunan teratur yang memiliki fraksikepadatan maksimum atau ruang kosong antarbola minimum. Gambar 1.12berikut melukiskan susunan satu lapis bola identik dengan pusat titik A, yangmana tiap bola bersinggungan dengan enam bola tetangga terdekatnya. Lapisankedua yang identik ditempatkan paralel di atasnya (lapisan pertama) dengan pusattitik B. Penempatan lapisan ketiga memiliki dua kemungkinan, yakni Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  20. 20. I STRUKTUR KRISTAL 13 Gambar 1.12 Lapisan bola terkemas rapat dengan pusat titik A(a) dengan pusat titik A, sehingga terdapat urutan lapisan ABABAB…, dan menghasilkan struktur HCP, dan(b) dengan pusat titik C, sehingga terdapat urutan ABCABC…, dan menghasilkan struktur FCC. Lapisan pertama A merupakan bidang dasar untuk struktur HCP ataubidang (111) untuk struktur FCC. Struktur HCP memiliki sel primitip kisiheksagonal, tetapi dengan basis dua atom. Sedangkan sel primitip FCC berbasissatu atom. Baik HCP maupun FCC mempunyai perbandingan c/a= 2 6 =1,633 dan 3jumlah tetangga terdekat 12 buah atom, serta energi ikatan yang hanya bergantungpada jumlah ikatan tetangga terdekat peratom. Beberapa kristal yang memiliki struktur HCP adalah He, Be, Mg, Ti, Zn,Cd, Co, Y, Zr, Gd, dan Lu dengan nilai c/a masing-masing adalah 1,633; 1,581;1,623; 1,586; 1,861; 1,886; 1,622; 1,570; 1,594; 1,592; dan 1,586.1.1.4 Geometri Kristal1.1.4.1 Arah Kristal Telah dikemukakan bahwa arah tertentu dalam kisi dinyatakan oleh vektorkisi (1.2), yaitu R = n1 a + n 2 b + n3 c . Arah vektor R dinyatakan dengan [n1 n2n3], yang lazimnya dalam perbandingan bilangan bulat terkecil. Semua arah yang Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  21. 21. I STRUKTUR KRISTAL 14sejajar memiliki indek yang sama. Perhatikanlah beberapa arah dalam kristalortorombik seperti Gambar 1.13 berikut. c D C B O b a A Gambar 1.13 Indek arah satuan sel ortorombik OA: [110] OB: [111] OC: [112] OD: [001] Apabila sel satuan yang ditinjau mempunyai simetri rotasi, makaseringkali ada arah nonparalel yang karena kesimetriannya merupakan arah yangekivalen. Arah [n1 n2 n3] yang ekivalen menggunakan notasi <n1 n2 n3>. Misalnya,pada suatu kubik sumbu X, Y dan Z masing-masing memiliki arah [100], [010]dan [001] yang ekivalen, dinotasikan dengan <100>. Secara sepenuhnya <100>mencakup arah [100], [010], [001], [ 1 00], [0 1 0] dan [00 1 ] dimana makna dari1 adalah –1; dan <111> menunjukkan semua diagonal ruang suatu kubik. Satu arah dengan indeks Miller besar, misalnya [157], memiliki jumlahatom persatuan panjang yang lebih sedikit daripada indeks yang kecil, misalnya[111].1.1.4.2 Bidang Kristal dan Indek Miller Representasi suatu bidang datar dalam suatu kisi kristal diungkapkan olehindek Miller (hkl). Perhatikanlah Gambar 1.14 berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  22. 22. I STRUKTUR KRISTAL 15 Gambar 1.14 Bidang (233)Bidang memotong sepanjang sumbu vektor basis a , b dan c masing-masing pada ⎛x y z⎞x, y dan z. Didapatkan perangkat tiga bilangan ⎜ ⎟ . Lalu, diambil ⎝a b c⎠ ⎛a b c⎞kebalikannya, yaitu ⎜ ⎜ x y z ⎟ . Indek Miller didapatkan dengan menyatakan ⎟ ⎝ ⎠perangkat tiga bilangan terakhir sebagai perbandingan bilangan bulat terkecil, dandinyatakan dengan notasi ⎛ a c⎞ (h k l) = ⎜m ⎜ x m b m ⎟ (1.3) ⎝ y z⎟ ⎠dengan m adalah bilangan bulat untuk mereduksi indek menjadi bilangan bulatterkecil. Dengan demikian, kumpulan bidang paralel mempunyai representasiindek Miller yang sama. Pada Gambar 1.14 di atas x=3a, y=2b dan z=2c, sehinggajika dianggap a=b=c=1, maka bidang yang dimaksud memiliki indek Miller(hkl)=(233). Pada kasus lain, misalnya x=2a, y=(3/2)b, dan z=c memiliki indeksMiller (hkl)=(346). Dalam satuan sel yang memiliki simetri rotasi, beberapa bidang nonparalel(hkl) adalah ekivalen karena kesimetriannya, dan dinotasikan dengan {hkl}.Misalnya dalam sistem kubik indek {100} menunjukkan enam bidang, yaitu(100), (010), (001), ( 1 00), (0 1 0) dan (00 1 ). Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  23. 23. I STRUKTUR KRISTAL 16 Berikut adalah beberapa contoh bidang (hkl) dalam sistem kubik. Gambar 1.15 Bidang (100), (110), (111), (200) dan ( 1 00) dalam sistem kubik Dalam koordinat Kartesis bidang (hkl) = (mnox mnoy mnoz) memberikanvektor arah yang tegak lurus terhadap bidang tersebut, yakni ˆ j ˆno = nox i + noy ˆ + noz k .1.1.4.3 Jarak Antarbidang Sejajar Miller Bahasan ini dibatasi pada sistem dengan sumbu ortogonal, dengan a≠b≠c.Perhatikanlah Gambar 1.16 berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  24. 24. I STRUKTUR KRISTAL 17 Z z Garis normal γ β y Y α x X Gambar 1.16 Cara mendapatkan jarak antarbidang MillerJarak dari titik O ke titik potong P dinayatakan dengan dhkl. Jika x, y dan zmerupakan titik potong bidang (hkl) dengan sumbu a, b dan c maka dhkl=x cosα=y cos β=z cos γ. Secara geometri, pada gambar di atas didapatkan hubungancos2α+ cos2 β+ cos2 γ=1 sehingga didapatkan 1 d hkl = 1/ 2 (1.4) ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ 2 + 2 + 2⎟ ⎜x ⎝ y z ⎟⎠Harga x, y dan z berkaitan dengan bilangan h, k dan l melalui ungkapan a b c h=m ; k=m ; l=m (1.5) x y zsehingga jarak antarbidang (1.4) menjadi m d hkl = 1/ 2 (1.6) ⎛ h2 k 2 l 2 ⎞ ⎜ 2 + 2 + 2⎟ ⎜a ⎝ b c ⎟ ⎠Misalnya, pada sistem kubik dengan sisi a didapatkan d111=(1/3)√3a; d110=½√2adan d020=½a. Pada umumnya bidang yang indek Millernya rendah memiliki jarakantarbidang lebih besar, tetapi memiliki kerapatan atom persatuan luas yang lebihbesar. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  25. 25. I STRUKTUR KRISTAL 181.1.4.4 Fraksi Kepadatan Fraksi kepadatan, didefinisikan sebagai proporsi maksimum dari volumeyang ada yang dapat diisi oleh bola atom dalam sebuah sel satuan, diungkapkandalam bentuk rumusan F=N (4 / 3)π r3 (1.7) Vdengan N= jumlah atom dalam sel satuan r = jari-jari bola atom V = volume sel satuanJarak kesetimbangan antara pusat dua atom berdekatan dapat dipandang sebagaijumlah jari-jari kedua atom tersebut. Tabel 1.3 berikut menunjukkan hubungan antara struktur kristal denganukuran geometrik sel satuan.Tabel 1.3 Ukuran geometrik dan struktur kristal No Parameter SC BCC FCC Intan HCP 1 Jari-jari atom a/2 a√3/4 a√2/4 a√3/8 a/2 2 Atom persel satuan 1 2 4 8 6 3 3 3 Volume sel satuan a a a3 a3 3a3√2 π/6 π√3/8 π√2/6 π√3/16 π√2/6 4 Fraksi kepadatan (=0,524) (=0,68) (=0,74) (=0,34) (=0,74) Jumlah tetangga 5 6 8 12 4 12 terdekat Jarak terhadap 6 a (½)a√3 (½)a√2 (¼)a√3 a tetangga terdekat Jumlah tetangga 7 12 6 6 12 6 terdekat berikutnya Jarak terhadap 8 tetangga terdekat a√2 a a (½)a√13 a√3 berikutnyaTampak bahwa intan memiliki struktur yang relatif kosong (hanya terisi 0,34) danFCC atau HCP relatif padat (terisi 0,74).1.2 DIFRAKSI KISI KRISTAL Struktur kristal dapat dipelajari melalui difraksi foton, netron dan elektron.Panjang gelombang optik, misalnya 5000 Å, menghasilkan gelombang terhambur Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  26. 26. I STRUKTUR KRISTAL 19elastis dengan atom-atom kristal sehingga terjadi refraksi optik biasa. Tetapi, jikapanjang gelombang radiasi sebanding atau lebih kecil daripada konstanta kisi(orde angstrom), maka didapatkan berkas difraksi yang arahnya sangat berbedadengan arah berkas datang.1.2.1 Hamburan Sinar-X oleh Kisi Kristal1.2.1.1 Hukum Bragg W.L. Bragg menjelaskan gejala berkas difraksi kristal dengan modelsederhana. Jika sinar-X mengenai permukaan suatu kristal, maka terjadi refleksi.Model disajikan pada Gambar 1.17, yakni kristal direpresentasikan oleh kumpulanbidang paralel yang bersesuaian dengan bidang atom. Bidang tersebut berperansebagai cermin. Setiap bidang hanya merefleksikan 10-3 sampai 10-5 radiasi yangdatang sehingga diperlukan 103 sampai 105 bidang untuk menghasilkan berkasrefleksi Bragg yang sempurna. Hamburan ini dianggap elastik, yakni energi sinar-X tidak mengalami perubahan sebelum dan sesudah refleksi. (a) (b) Gambar 1.17 (a) Refleksi sinar-X dari suatu kristal. Sinar hampir paralel karena posisi detektor jauh dari kristal. (b) Intensitas refleksi kristal KBr. Pada gambar ditunjukkan bidang-bidang refleksi yang menghasilkan difraksiBeda lintasan untuk kedua sinar refleksi adalah Δ=AB + BC – AC’ = 2 AB – AC’karena AB=BC. Mengingat jarak antarbidang d, maka AB = d/sinθ dan AC’ = AC cos θ = (2d/tg θ) cos θ Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  27. 27. I STRUKTUR KRISTAL 20dimana θ adalah sudut pantul antara berkas datang dan bidang refleksi, sehinggaΔ = 2 d sin θ. Interferensi maksimum (konstruktif) terjadi hanya jika Δ=nλ (1.8)dimana n = 1, 2, 3, …. (ordo refleksi) dan λ = panjang gelombang sinar-X,sehingga diperoleh hukum Bragg untuk refleksi oleh bidang kristal (hkl) n λ = 2 dhkl sin θ (1.9)Harga λ ditentukan secara bebas dan sin θ diukur secara langsung dari refleksieksperimen, sehingga jarak antarbidang dhkl dapat dihitung. Hal lain adalahdifraksi hanya mungkin terjadi jika λ<2d. Oleh karena itu dalam hal ini tidakdapat digunakan cahaya tampak. Model yang dikemukakan di atas terlalu sederhana. Fakta menunjukkanbahwa hamburan berkas sinar-X disebabkan oleh atom diskrit kristal yangbersangkutan. Oleh karena itu bahasan berikut menelaah hukum Bragg melaluiproses hamburan.1.2.1.2 Teori Hamburan Hamburan radiasi elektromagnet oleh suatu elektron disajikan olehGambar 1.18 berikut. Dalam proses ini diandaikan hamburan bersifat elastik(hamburan Thomson). Gambar 1.18 Hamburan oleh elektron tunggalGelombang datar ψ (r , t ) = Ae i (k o • r −ω t ) (1.10)mengenai elektron. Gelombang sferik terhambur pada jarak radial D dinyatakanoleh Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  28. 28. I STRUKTUR KRISTAL 21 ψ (D , t ) = f e A i (kD −ω t ) e (1.11) Ddengan fe adalah panjang hamburan elektron. Terlihat bahwa penurunanamplitudo gelombang terhambur sebanding dengan 1/D. Hamburan oleh sistem dua elektron, yang masing-masing berkedudukan diP1 dan P2 disajikan pada Gambar 1.19 berikut. k s 2θ ko Gambar 1.19 Hamburan oleh dua elektron. r Gambar 1.20 Vektor hamburan s . adalah vektor posisi elektron-1 terhadap Sudut 2θ adalah sudut hamburan elektron-2Didefinisikan vektor hamburan s , seperti pada Gambar 1.20, yaitu s = k − ko (1.12)Karena hamburan bersifat elastik k o = k = k , maka terlihat dari Gambar 1.20bahwa s = s = 2k sin θ (1.13)Beda panjang lintasan sinar terhambur Δ=P1M- P1N. Jika S o dan S , masing- 1masing merupakan vektor satuan dalam arah k o dan k , maka Δ = (r • s ) . Beda kfasa antara gelombang terhambur dalam radial Δ δ = 2π = kΔ = r • s (1.14) λSuperposisi dari dua gelombang terhambur dalam fungsi ruang ψ T = fe D ( A ikD A ) ( e + e ik ( D +δ ) = f e e ikD 1 + e is •r D ) (1.15) Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  29. 29. I STRUKTUR KRISTAL 22Secara umum, bila vektor posisi r1 untuk elektron-1 dan r2 untuk elektron-2relatif terhadap pusat tertentu, maka ψ T = fe D e e ( A ikD is •r1 + e is •r2 ) (1.16) Bila yang ditinjau atom dengan l buah elektron, masing-masing denganvektor posisi rl , dengan l = 1, 2, 3, …, n, maka bentuk umum gelombang untuk(1.16) dalam arah terhambur s tertentu A ikD ψT = f e (1.17) Ddengan n f = f e ∑ e is •rl (1.18) l =1disebut panjang hamburan total. Intensitas parsial gelombang terhambur I sebanding dengan kuadratbesarnya medan. Oleh karena itu n 2 = f e2 ∑ e is •rl 2 I∞ f (1.19) l =1 Jika atom dalam kristal, misalnya, terletak pada posisi Rl , maka faktorhamburan kristal fkr N f kr = ∑ f al e is • Rl (1.20) l =1Ungkapan faktor hamburan kristal (1.20) di atas mengambil bentuk analogi dariatom. Posisi atom dapat ditinjau dalam sel satuannya, yaitu Rl = Rlc + δ j , dimanaRlc adalah posisi sel satuan ke-l, dan δj adalah posisi atom dalam sel satuan,sehingga faktor hamburan kristal (1.20) di atas dapat dinyatakan dalam bentukfaktorisasi fkr = F S (1.21)dengan F = ∑ f aj e dan S = ∑ e is •δ j is • Rlc (1.22) j l Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  30. 30. I STRUKTUR KRISTAL 23F dan S, masing-masing mengungkapkan faktor struktur geometri dan kisi. Faktorstruktur kisi hanya bergantung pada sistem kristal. Sedangkan faktor strukturgeometri bergantung pada bentuk geometri dan isi sel satuan.1.2.1.3 Kisi Resiprok Setiap struktur kristal memiliki 2 kisi, yaitu kisi kristal dan resiprok. Saatkristal dikenai sinar-X, akan dihasilkan pola difraksi yang merupakan peta kisiresiprok kristal tersebut. Kedua kisi ini memiliki relasi sebagai berikut.Andaikanlah vektor basis dalam kisi nyata adalah a , b dan c , maka dapatdidefinisikan vektor basis dalam kisi resiprok, yakni b xc c xa axb a ∗ = 2π b ∗ = 2π c ∗ = 2π (1.23) a • b xc b • c xa c • axbHal ini berarti vektor basis resiproka. memiliki satuan m-1, yang sama dengan angka gelombang, ( )b. bahwa a ∗ tegak lurus terhadap bidang b , c , dan demikian pula permutasi siklisnya, danc. bahwa a • b xc = b • c xa = c • axb merepresentasikan volume sel satuan dengan rusuk vektor a , b dan c .Vektor basis resiprok mendefinisikan vektor kisi resiprok Gn = n1 a ∗ + n2 b ∗ + n3 c ∗ (1.24)dengan n1, n2 dan n3 adalah bilangan bulat. Kisi resiprok memiliki hubungan dengan kisi nyata sebagai berikut.a. a ∗ • a = b ∗ • b = c ∗ • c = 2πb. V ∗ = (2π )3 , dengan Vo = a • b xc dan Vo∗ = a ∗ • b ∗ xc ∗ o Voc. Setiap vektor dari kisi resiprok Ghkl = ha ∗ + kb ∗ + lc ∗ tegak lurus terhadap bidang kisi (hkl) dalam ruang nyata.d. Kisi nyata merupakan resiprok dari kisi resiprok.e. Jarak antarbidang dhkl dan Ghkl direlasikan oleh Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  31. 31. I STRUKTUR KRISTAL 24 d hkl Ghkl = 2π (1.25)Perhatikanlah perbandingan kisi nyata dan resiproknya pada Gambar 1. 21berikut. 120 d100 010 G110 d010 b* O 100 b a* O a Gambar 1.21 Perbandingan kisi nyata dan resiproknyaDari Gambar 1.21 di atas jelaslah bahwaa. a ∗ tegak lurus terhadap b ; dan b ∗ tegak lurus terhadap a 2π 2π 2π a∗ = = b∗ = a d100 d 010b. setiap titik (hkl) dalam ruang resiprok terkait dengan perangkat bidang (hkl) dalam ruang nyata, danc. simetri kelompok titik dalam ruang resiprok sama dengan simetri ruang nyata. Dapat pula dibuktikan bahwa terdapat hubungan sebagai berikut.a. Kisi resiprok kisi SC adalah kisi SC juga.b. Kisi resiprok kisi BCC adalah kisi FCC; dan sebaliknya.1.2.1.4 Difraksi Sinar-X Kisi resiprok berguna dalam menentukan besarnya faktor struktur.Ternyata N ∑e l =1 iA• Rlc = N δ A,G n (1.26) Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  32. 32. I STRUKTUR KRISTAL 25Dalam hal ini A adalah vektor sebarang dan penjumlahan dilakukan sepanjangvektor kisi nyata yang mengandung N buah total sel dan vektor kedudukan Rlc .Dengan demikian faktor struktur kisi S (1.22) berharga nol untuk setiap nilaivektor hamburan s , kecuali s = Ghkl (1.27)Hal ini berarti s harus tegak lurus terhadap bidang (hkl). Dengan menginatbahwa k=2π/λ, maka substitusi persamaan (1.13) dan (1.25) ke dalam persamaan(1.27), dalam teori hamburan ini, menghasilkan bentuk hukum Bragg 2 dhkl sin θ = λ (1.28)Dapatlah dikatakan bahwa gambaran Bragg tentang difraksi yang terjadi karenapemantulan oleh bidang kristal, secara konseptual lebih sederhana daripadamelihatnya sebagai interferensi konstruktif berkas terhambur oleh atom kristaldari teori hamburan. Gambar 1.22 berikut menjelaskan syarat terpenuhinya hukumBragg menurut teori hamburan. Gambar 1.22 Vektor hamburan sama dengan vektor kisi resiprok Saat kondisi Bragg (127) terpenuhi, maka faktor struktur kisi S≠0, tetapibernilai S=N, seperti tampak pada (1.26), sehingga Shkl = N (1.29)Substitusi (1.29) ke dalam (1.21) menghasilkan faktor hamburan kristal fkrmenjadi fkr,hkl = N Fhkl (1.30)dan intensitas I menjadi Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  33. 33. I STRUKTUR KRISTAL 26 2 2 I hkl ∞ f kr ,hkl ∞ Fhkl (1.31) Setiap berkas terdifraksi bersesuaian dengan suatu perangkat bidang (hkl).Tetapi untuk suatu perangkat bidang (hkl) tertentu kadang intensitas berkasterdifraksi menjadi nol. Hal ini terjadi karena faktor struktur geometri Fhkl=0,meskipun bidang (hkl) yang bersesuaian memenuhi kondisi Bragg. Misalnya, semua atom identik, kedudukan atom ke-j dalam sel satuan δ j = u j a + v jb + w jcdan kondisi Bragg terpenuhi s = Ghkl = ha ∗ + kb ∗ + lc ∗maka ( ) Fhkl = f a ∑ e 2πi hu j + kv j + lw j (1.32) jContoh menghitung faktor struktur geometri Fhkl.a. Sel satuan primitip (P). Atomnya terletak di 000 sehingga (1.32) menjadi Fhkl = fab. Sel satuan “base centered” C. Atomnya terletak di 000 dan ½½0 sehingga (1.32) menjadi Fhkl = fa (1 + eπi(h + k)) Dengan demikian Fhkl≠0 hanya jika h+k=2n dengan n=0, ±1, ±2, …c. Sel satuan “body centered” I. Atomnya terletak di 000 dan ½½½ sehingga (1.32) menjadi Fhkl = fa (1 + eπi(h + k+ l)) Dengan demikian Fhkl≠0 hanya jika h+k+l=2n dengan n=0, ±1, ±2, …d. Sel satuan “face centered” F. Atomnya terletak di 000, ½½0, ½0½ dan 0½½ sehingga (1.32) menjadi Fhkl = fa (1 + eπi(h + k) + eπi(h + l) + eπi(k + l)) Dengan demikian Fhkl≠0 hanya jika h+k=2n dan k+l=2n dengan n=0, ±1, ±2, … Dengan kata lain Fhkl≠0 hanya jika semua indek genap atau semua indek ganjil. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  34. 34. I STRUKTUR KRISTAL 27 Berikut ini diberikan contoh kurva intensitas refleksi sinar-X dan suduthamburan (I vs 2θ) hasil eksperimen difraksi sinar-X dari bubukan KCl dan KBr. Gambar 1.23 Perbandingan refleksi sinar-X antara bubukan KCl dan KBrKCl dan KBr, keduanya, memiliki struktur FCC. Dalam KCl, jumlah elektronpada K+ dan Cl- sama banyak sehingga faktor hamburan atom fa keduanya hampirsama sehingga ia “terlihat” oleh sinar-X sebagai kristal SC monoatomik dengankonstanta kisi a/2. Adanya refleksi indek-indek yang genap bulat menunjukkanbahwa kristal tersebut adalah SC dengan konstanta kisi a. Sedangkan dalam KBr, Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  35. 35. I STRUKTUR KRISTAL 28faktor hamburan atomnya berbeda sehingga ia tetap terlihat sebagai struktur FCColeh difraksi sinar-X. Kondisi Bragg (1.27) masih dapat ditulis dalam bentuk lain. Substitusi(1.12) ke dalam (1.27) menghasilkan k − ko = G (1.33)Mengalikan kedua ruas (1.33) dengan ħ menghasilkan ko = k − GPersamaan ini dapat dipandang sebagai kekekalan momentum, dan difraksinyasebagai proses tumbukan antara foton sinar-X dan kristal. Momentum sebelumtumbukan hanya momentum linier foton yang datang p o = k o , dan setelahtumbukan adalah momentum linier foton terhambur p = k dan momentum linierkristal − G . Dengan demikian perubahan momentum linier foton Δp = p − p o = GEnergi kinetik seluruh kristal Ek=(ħGhkl)2/2M, dengan M adalah massa seluruhkristal. Karena M sangat besar relatif terhadap massa atom, maka Ek sangat kecildan diabaikan. Dengan demikian dalam proses hamburan foton sinar-X tidak adaenergi yang hilang Eo = E → c ko = c k → ko = kJelaslah bahwa proses hamburan tersebut di atas bersifat elastik.1.3 IKATAN ATOMIK DALAM KRISTAL1.3.1 Gaya Antaratom Dalam suatu kristal letak atom relatif jauh satu sama lain sehingga gayainti tidak berperan. Dengan demikian formasi kristal terjadi karena gayaantaratom. Dalam kristal, gaya antaratom bersifat listrik. Energi kristal lebih rendah daripada energi atom bebasnya. Hal inimenyebabkan kristal lebih stabil daripada atom-atom bebas penyusunnya.Misalnya, kristal NaCl lebih stabil daripada kumpulan atom-atom Na dan Clbebas. Perbedaan energi ini, disebut energi ikat (energi kohesi), besarnya sama Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  36. 36. I STRUKTUR KRISTAL 29dengan energi yang diperlukan untuk memecah kristal tersebut menjadi atombebas bagiannya. Energi kohesi berkisar antara 0,02 eV peratom untuk ikatanterlemah (ikatan Van der Walls) dan 10 eV peratom untuk ikatan terkuat (ikatankovalen). Ikatan logam terletak di antara dua harga ekstrim tersebut. Molekul adalah sekelompok atom bermuatan listrik netral, terikat kuatbersama dan berperilaku sebagai partikel tunggal. Suatu jenis molekul tertentumemiliki komposisi dan struktur tertentu pula. Energi potensial yangmerepresentasikan interaksi antara dua atom dalam suatu molekul sebagai fungsijarak diperlihatkan pada Gambar 1.24 berikut. Gambar 1.24 Energi potensial sebagai fungsi jarak dari ikatan dua atomPosisi setimbang ditandai oleh energi terendah –Vo, yang terjadi pada jarak Royang berordo beberapa angstrom. Pada R>Ro, potensial naik secara bertahapsehingga mencapai nol pada R→∞ (dua atom bebas). Sedangkan pada R<Ro,potensial naik secara tajam menuju ∞. Gaya antaratom dapat dirumuskan F (R ) = −∇V (R ) (1.34)Terlihat bahwa F(R)<0 untuk R>Ro, sehingga terjadi tarik-menarik; dan F(R)>0untuk R<Ro, sehingga terjadi tolak-menolak antara dua atom tesebut. Kedua gayaini saling meniadakan satu sama lain pada titik setimbang Ro. Tetapi, umumnya,energi tarikan mendominansi energi tolakan pada titik setimbang Ro. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  37. 37. I STRUKTUR KRISTAL 301.3.2 Jenis Ikatan Kristal1.3.2.1 Ikatan Ionik Ikatan ini terjadi antara ion positip dan negatip sehingga sering disebutikatan heteropolar. Setelah terjadi perpindahan elektron, konfigurasi elektron ionmenyerupai gas mulia. Oleh karena itu sebaran muatan elektronnya mempunyaisimetri bola. Contohnya adalah ikatan yang terjadi pada alkalihalida. Biasanya, ikatan ionik tidak menghasilkan pembentukan molekul yangberpasangan, tetapi merupakan kumpulan ion positip dan negatip yang tersusundalam struktur tertentu. Misalnya, struktur FCC NaCl, dalam setiap bentuk danukuran apapun selalu berisikan jumlah ion Na+ dan ion Cl- yang sama banyak. Apabila Uij adalah energi interaksi antara ion ke-i dan ke-j, maka energitotal ion ke-i adalah U i = ∑ U ij (1.35) jdimana penjumlahan dilakukan untuk semua ion kecuali j=i. Energi Uij berasaldari potensial tolak-menolak medan sentral empirik λ eksp (-rij/ρ), dimana λ(tetapan) dan ρ (panjang karakteristik) merupakan parameter empirik; dan tarik-menarik Coulomb ±q2/4πεorij. Dengan demikian − rij / ρ q2 U ij = λ e ± (1.36) 4πε o rijPotensial tolak-menolak terjadi karena penerapan prinsip eksklusi Pauli saat jarakantarion berkurang (lebih kecil dari jarak kesetimbangan). Berkurangnya jarakantarion menyebabkab orbit elektron tumpang-tindih. Hal ini melanggar prinsipeksklusi Pauli karena sel terluar ion sudah komplit. Akibatnya elektron harusmenempati tingkat energi yang lebih tinggi sehingga energi potensial naik secaratajam. Sedangkan potensial Coulomb terjadi antara ion sejenis (tanda +) atau tidaksejenis (tanda -). Energi kisi kristal total yang terdiri dari N buah molekul atau 2N buah ion Utot = N Ui Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  38. 38. I STRUKTUR KRISTAL 31Ungkapan ini menunjukkan bahwa setiap pasangan atau setiap ikatan hanyadihitung sekali. Andaikanlah r kita tulis sebagai rij=pijR, dengan R adalah jarakterdekat antara dua atom terdekat dan interaksi tolak-menolak hanya terjadiantartetangga terdekat saja, maka ⎧ q2 ⎪ λ e −R / ρ − (te tan gga terdekat ) ⎪ 4πε o R U ij = ⎨ 2 (1.37) ⎪± 1 q (bukan te tan gga terdekat ) ⎪ pij 4πε o R ⎩sehingga energi total ⎛ α q2 ⎞ U tot = NU i = N ⎜ zλ e − R / ρ − ⎜ ⎟ (1.38) ⎝ 4πε o R ⎟ ⎠dengan z = jumlah tetangga terdekat suatu ion ±1 α =∑ adalah konstanta Madelung (termasuk j=i) j pijDalam menghitung konstanta Madelung, jika ion referensi bermuatan negatip,maka tanda (+) digunakan untuk ion positip dan tanda (-) untuk ion negatip. Jika dU totdiambil syarat bahwa = 0 , maka diperoleh dR R = Ro ραq 2 Ro2 e − Ro / ρ = (1.39) 4πε o λ zDengan menggunakan (1.38) dan (1.39), maka energi kisi kristal total dengan 2Nbuah ion pada jarak setimbang Ro Nαq 2 ⎛ ρ ⎞ U tot =− ⎜1 − ⎜ R ⎟ ⎟ (1.40) R = Ro 4πε o Ro ⎝ o ⎠ Nαq 2Bentuk − disebut energi Madelung. Harga ρ berorde 0,1Ro sehingga 4πε o Rointeraksi tolak-menolak mempunyai rentang yang amat pendek dan sedikit sekalipengaruhnya terhadap energi kisi. Sebagai contoh disajikan data tentang energi permolekul dalam kristalKCl, yaitu energi Madelung (energi Coulomb) sebesar (25,2)/R eV dan energi Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  39. 39. I STRUKTUR KRISTAL 32tolak menolak (2,4.104)exp(-R/0,30) eV dimana R berorde 10-8 cm. Hargakonstanta Madelung α bergantung pada struktur kristal ionik, misalnya untukNaCl, CsCl dan ZnS, masing-masing berharga 1,747565 , 1,762675 dan 1,6381. Ikatan ionik tergolong lebih kuat daripada ikatan lain, dengan energi rata-rata 5 eV setiap pasangan atom. Oleh karena itu kristal ionik mempunyai titikleleh yang tinggi. Misalnya titik leleh NaCl adalah 8010C, sedangkan untuk logamNa dan K, masing-masing adalah 97,80C dan 630C.1.3.2.2 Ikatan Kovalen Andaikanlah ada dua atom hidrogen yang terpisah pada jarak yang cukupjauh satu sala lainnya sehingga tidak ada interaksi di antara elektronnya, makamasing-masing atom memiliki orbit 1s. Jika kedua atom saling mendekat danmembentuk molekul H2, maka orbital molekulnya merupakan kombinasi linierdari kedua orbital atom 1s. Orbital molekul tersebut mempunyai duakemungkinan, yaitu ψ genap = ψ 1 + ψ 2 dan ψ ganjil = ψ 1 − ψ 2 (1.41)dimana ψ1 dan ψ2 merepresentasikan keadaan 1s pada dua proton. Orbitalmolekular ψgenap dan ψganjil secara grafik diperlihatkan pada Gambar 1.25 berikut. a b Gambar 1.25 Fungsi gelombang (a) ψgenap dan (b) ψganjilSedangkan distribusi muatan untuk kedua orbital tersebut adalah |ψgenap|2 dan|ψganjil|2 seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.26 berikut. (a) (b) Gambar 1.26 Propil distribusi muatan dan representasi kontur Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  40. 40. I STRUKTUR KRISTAL 33 (a) ψgenap dan (b) ψganjilTampak bahwa ψgenap mengandung elektron terutama pada daerah antara duaproton, sedangkan ψganjil mengandung elektron di sekitar masing-masing protonyang bersangkutan dan jauh dari daerah antara dua proton. Kedua orbital molekul di atas mempunyai energi yang berbeda sepertiditunjukkan oleh Gambar 1.27 berikut. Gambar 1.27 Energi keadaan dasar dan eksitasi molekul hidrogen sebagai fungsi jarak antarintiOrbital genap berenergi lebih rendah daripada orbital ganjil. Bahkan orbital genapmempunyai energi negatip. Dengan demikian orbital genap merupakan orbitalstabil (orbital bonding) dan orbital ganjil merupakan orbital tidak stabil (orbitalantibonding). Pada gambar di atas tampak bahwa molekul hidrogen memilikikeadaan setimbang pada 0,74 Å dan energi ikat 4,48 eV (relatif terhadap keadaandasar dua atom hidrogen yang terpisah pada jarak tak terhingga). Sesuai denganprinsip eksklusi Pauli, kedua elektron dalam orbital bonding memiliki spinantiparalel. Keberadaan sepasang elektron di antara atom hidrogen di atasmenyebabkan terjadinya ikatan yang kuat dalam molekul hidrogen. Ikatan yangterjadi karena pemakaian bersama sepasang elektron oleh atom untuk mencapaikonfigurasi gas mulia dalam suatu molekul disebut ikatan kovalen. Hal ini Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  41. 41. I STRUKTUR KRISTAL 34merupakan bukti bahwa semua atom adalah identik sehingga transfer elektron darisatu atom ke yang lain tidak menimbulkan akibat apapun. Keadaan fisis ikatan kovalen dalam kristal sama dengan dalam molekul.Gaya tarikan terjadi antara elektron dan proton di sepanjang garis yangmenghubungkan inti berturutan. Sedangkan gaya tolaknya terjadi karena interaksiprinsip eksklusi Pauli saat inti saling merapat. Gaya tarikan elektron-proton lebihdari cukup untuk mengimbangi penolakan langsung elektron-elektron ataupunproton-proton. Ikatan kovalen juga kuat, seperti ditunjukkan oleh intan yang tingkatkekerasannya tinggi dan titik leleh di atas 30000C. Ikatan dua atom karbon dalamstruktur intan memiliki energi kohesi 7,3 eV peratom.1.3.2.3 Ikatan Logam Model ikatan logam menggambarkan adanya suatu susunan ion teratur dansuatu lautan elektron valensi ion tersebut yang dapat bergerak bebas di antarasusunan ion. Dengan demikian elektron valensi atom berubah menjadi elektronkonduksi logam. Ikatan logam terjadi bila tarikan antara ion positip dan gaselektron melebihi penolakan antarelektron dalam gas tersebut. Gaya tolakCoulomb antarion positip menjadi tidak efektif karena gas elektron melingkupiion secara kuat sehingga menjadi ion noninteraksi yang netral. Atom logam bersatu sehingga terbentuk kristal logam yang stabil karenaenergi sistem kristal lebih rendah daripada energi atom bebasnya. Dalam atombebas terisolasi, elektron dimodelkan sebagai sebuah partikel dalam kotakpotensial. Dengan demikian gerakan elektron dibatasi dalam volume yang kecilsehingga, menurut prinsip ketidaktentuan Heisenberg, energi kinetiknya besar.Dengan menggunakan persamaan Scrodinger, dimana potensial interaksi nol, dansyarat batas periodik diperoleh energi kinetik elektron E ∼ V-2/3 (1.42)Dimana V adalah volume kotak tempat elektron bergerak. Sedangkan dalamkristal, elektron secara bebas bergerak dalam keseluruhan volume kristal yangsangat besar. Akibatnya, energi kinetik elektron turun secara tajam dan Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  42. 42. I STRUKTUR KRISTAL 35mengkontribusi pengurangan energi total sistem. Penurunan energi inilah yangmenjadi sumber ikatan logam. Ikatan logam lebih lemah daripada ikatan kovalen dan ionik. Contohnya,logam Na memiliki titik leleh pada 97,80C. Energi kinetik yang kecilmenyebabkan ikatannya lemah. Susunan kristal logam cenderung untuk memilikisusunan dimana setiap atom atau ion memiliki banyak tetangga (struktur tersusunpadat), misalnya HCP (seng), FCC (tembaga), BCC (lithium dan natrium) danlain-lain.1.3.2.4 Ikatan Van der Walls Ikatan ionik, kovalen dan logam terjadi karena pengaturan elektronvalensi. Hal demikian tidak bisa terjadi pada gas mulia yang sangat stabil karenasel terluarnya penuh. Distribusi elektronnya mempunyai simetri bola sehinggapotensial listrik berharga nol di luar jari-jari atom. Demikian juga momenmultipol listriknya. Jika hal ini benar, maka atom gas mulia tidak memiliki energikohesi dan tidak dapat terkondensasi menjadi cairan. Tetapi, terjadinyakondensasi dan pembekuan pada suhu yang sangat rendah membuktikan bahwaterdapat energi ikat yang lemah pada gas ini. Gaya yang lemah antaratom dalampadatan gas mulia ditandai oleh titik lelehnya yang rendah, yaitu -272,20C, -248,70C dan -189,20C, masing-masing untuk He, Ne dan Ar. Meskipun secara rata-rata semua momen multipol listriknya sama dengannol, tetapi di setiap suatu waktu momen dipol listrik tidak sama dengan nolsebagai akibat adanya kelebihan elektron di bagian tertentu. Ketidaksimetrisan initidak permanen, tetapi selalu berfluktuasi. Momen dipol listrik sesaat ini dapatmenginduksi atom atau molekul tetangganya sehingga terjadi interaksi antarakeduanya. Interaksi antara momen dipol listrik sesaat inilah yang memberikanikatan antara atom gas mulia. Interaksi tarik-menarik dipol induksi antara dua dipol berjarak R telahdirumuskan oleh Van der Walls – London melalui energi A ΔU = − (1.43) R6 Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  43. 43. I STRUKTUR KRISTAL 36Interaksi tolak-menolaknya bersumber dari interaksi prinsip eksklusi Pauli. Secaraempirik didapatkan potensial tolak-menolak B ΔU = (1.44) R 12A dan B adalah parameter empirik. Sehingga, biasanya, energi potensial total duaatom berjarak R adalah ⎡⎛ σ ⎞12 ⎛ σ ⎞ 6 ⎤ U (R ) = 4ε ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ (1.45) ⎢⎝ R ⎠ ⎣ ⎝R⎠ ⎥ ⎦dimana ε dan σ adalah parameter baru, dengan 4εσ6=A dan 4εσ12=B. Potensial(1.45) di atas dikenal dengan nama potensial Lennard-Jones. Gaya antara dua atom ditentukan melalui –dU/dR. gaya ini sangat cepatberubah dengan jarak R sehingga atom dalam kristal cenderung untuk serapatmungkin. Biasanya, struktur yang dimiliki oleh gas mulia adalah FCC (“cubicclose-packed”). Energi kinetik atom gas mulia dapat diabaikan. Oleh karena itu energikohesi kristal gas mulia didapatkan dengan menjumlahkan potensial Lennard-Jones (1.45) di atas terhadap semua pasangan atom dalam kristal. Jika terdapat Nbuah atom dalam kristal, maka energi tersebut ⎡ ⎛ σ ⎞12 ⎛ σ ⎞ ⎤ 6 U tot = N (4ε )⎢∑ ⎜ 1 ⎟ − ∑⎜ ⎟ ⎥ (1.46) ⎢ j ⎜ pij R ⎟ ⎜ p R⎟ ⎥ 2 ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ij ⎠ ⎦dimana pijR adalah jarak antara atom ke-i dan j. Faktor ½ muncul karena hitungandilakukan dua kali pada setiap pasangan atom. Untuk struktur FCC, dimana terdapat 12 tetangga terdekat, perhitunganmenghasilkan ∑pj −12 ij = 12,13188 ; ∑p j −6 ij = 14,45392 (1.47)Pada posisi setimbang Ro, energi total sistem berharga minimum sehingga dU tot ⎡ σ 12 σ6⎤ = 0 = −2 Nε ⎢(12 )(12,13) 13 − (6)(14,45) 7 ⎥ (1.48) dR R = Ro ⎣ R R ⎦dan menghasilkan harga Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  44. 44. I STRUKTUR KRISTAL 37 Ro/σ = 1,09 (1.49)Nilai Ro/σ hasil pengamatan menunjukkan untuk Ne, Ar, Kr dan Xe adalah 1,14;1,11; 1,1 dan 1,09 yang tidak berbeda jauh dengan (1.49). Dengan demikianenergi kohesi kristal gas mulia pada suhu nol mutlak dan tekanan nol diperolehdengan mensubstitusikan (1.47) dan (1.49) ke dalam (1.46). Hasilnya diperoleh ⎡ ⎛σ ⎞ 12 ⎛σ ⎞ ⎤ 6 U tot (R ) = 2 Nε ⎢(12,13)⎜ ⎟ − (14,45)⎜ ⎟ ⎥ (1.50) ⎢ ⎣ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎥ ⎦dan pada posisi setimbang Ro Utot(Ro) = - (2,15) (4Nε) (1.51)Perhitungan energi kohesi ini berlaku jika atom-atom dalam keadaan diam. Jikadilakukan koreksi mekanika kuantum, maka energi tersebut harus direduksisebesar 28; 10; 6 dan 4 %, masing-masing untuk Ne, Ar, Kr dan Xe.1.3.2.5 Ikatan Hidrogen Molekul air (H2O) terisolasi berikatan kovalen sehingga atompenyusunnya terikat secara kuat. Tetapi, dalam kristal es, yang tersusun atasmolekul air, ikatannya jauh lebih lemah. Hal ini ditandai oleh adanya titik leleh airpada 00C. Sifat listrik sebuah molekul air terisolasi adalah netral. Tetapi, dalamkristal es distribusi muatan internal sedemikian rupa sehingga menghasilkaninteraksi antarmolekul. Elektron lebih ditarik ke arah atom oksigen sehinggabermuatan negatip; dan dalam waktu bersamaan atom hidrogen menjadibermuatan positip. Keadaan ini menghasilkan dipol listrik dalam molekul air.Gaya tarik-menarik antardipol listrik inilah yang menghasilkan ikatan hidrogensehingga terbentuk kristal. Hal ini dijelaskan dalam Gambar 1.28 berikut. Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  45. 45. I STRUKTUR KRISTAL 38 Gambar 1.28 (a) Molekul air; dan (b) Susunan molekul air sebagai akibat adanya ikatan hidrogenTetapi, gaya antarmolekul ini jauh lebih lemah daripada gaya internal yangmengikat molekul itu sehingga molekul tetap dapat mempertahankan identitasnyasalam kristal. Ikatan hidrogen mempunyai orde 0,1 eV. RINGKASAN01. Suatu benda padat berbentuk kristal, apabila atom, ion, atau molekulnya teratur dan periodik dalam rentang yang panjang dalam ruang. Bahan kristal memiliki simetri translasi, artinya bila seluruh kristal itu digeser sejauh vektor translasi kisi R = n1 a + n2 b , maka keadaannya tetap sama.02. Pola geometrik dari kedudukan setimbang tiap atom sebagai suatu titik dinamakan kisi kristal. Terdapat dua kelas kisi, yaitu Bravais dan non- Bravais. Kisi non-Bravais seringkali disebut sebagai kisi dengan suatu basis dan dapat dipandang sebagai kombinasi dari dua atau lebih kisi Bravais yang saling menembus dengan orientasi tertentu.03. Luas daerah jajaran genjang yang sisinya dibatasi oleh vektor basis disebut sel satuan. Terdapat dua jenis sel satuan, yaitu sel primitip (satu titik kisi perselnya) dan sel non-primitip (lebih dari satu titik kisi perselnya). Hubungan antara keduanya adalah (a) sel non-primitip menunjukkan simetri lebih besar, dan (b) luas sel non-primitip merupakan kelipatan bulat dari luas sel primitip.04. Dalam dua dimensi, kisi kristal Bravais yang mungkin sebanyak lima jenis, yaitu Genjang, Persegi, Heksagonal, Empat persegi panjang P, dan Empat persegi panjang I. Sedangkan untuk tiga dimensi ternyata ada 14 buah kisi Bravais yang terlingkupi dalam 7 buah sistem kristal, yaitu Triklinik (P), Monoklinik (P, C), Ortorombik (P, C, I, F), Tetragonal (P, I), Trigonal (R), Heksagonal (P), dan Kubik (P, I, F).05. Beberapa kristal dengan struktur sederhana, di antaranya NaCl, CsCl, intan, ZnS dan HCP06. Arah kristal, yakni vektor R = n1 a + n 2 b + n3 c , dinyatakan dengan [n1 n2 n3], yang lazimnya dalam perbandingan bilangan bulat terkecil. Sedangkan Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  46. 46. I STRUKTUR KRISTAL 39 bidang kristal dinyatakan sebagai indek Miller (hkl). Jarak antarbidang Miller, khusus untuk sumbu ortogonal dengan a≠b≠c dinyatakan oleh persamaan 1 d hkl = 1/ 2 ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ 2 + 2 + 2⎟ ⎜x ⎝ y z ⎟⎠07. Fraksi kepadatan, didefinisikan sebagai proporsi maksimum dari volume yang ada yang dapat diisi oleh bola atom dalam sebuah sel satuan, diungkapkan dalam bentuk rumusan F=N (4 / 3)π r3 V08. Menurut Bragg kristal direpresentasikan oleh kumpulan bidang paralel yang bersesuaian dengan bidang atom, yang berperan sebagai cermin. Interferensi maksimum (konstruktif) yang terjadi memenuhi hukum Bragg n λ = 2 dhkl sin θ Dengan menggunakan hukum Bragg, secara eksperimen, jarak antarbidang dhkl dapat dihitung.09. Fakta menunjukkan bahwa hamburan berkas sinar-X disebabkan oleh atom diskrit kristal yang bersangkutan. Oleh karena itu bahasan berikut menelaah hukum Bragg melalui proses hamburan elastik (hamburan Thomson) sinar-X oleh elektron dalam setiap atom dalam kristal. Dalam teori ini ditemukan bahwa intensitas parsial gelombang terhambur sebanding dengan kuadrat faktor hamburan kristal, yaitu Fkr = F S, dimana S dan F, masing-masing adalah faktor struktur geometri dan kisi.10. Faktor struktur kisi S berharga tidak nol, yakni S=N, hanya untuk s = Ghkl , yakni vektor hamburan sama dengan vektor kisi resiprok (syarat Bragg). Dari hubungan ini dapatlah diturunkan hukum Bragg 2dhklsin θ = λ.11. Jika syarat Bragg terpenuhi dan semua atom identik, maka untuk kedudukan atom ke-j dalam sel satuan δ j = u j a + v j b + w j c , didapatkan faktor struktur ( ) kisi Fhkl = f a ∑ e 2πi hu j + kv j + lw j . j Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  47. 47. I STRUKTUR KRISTAL 4012. Dalam suatu kristal letak atom relatif jauh satu sama lain sehingga gaya inti tidak berperan. Dengan demikian formasi kristal terjadi karena gaya antaratom (bersifat listrik). Pada titik setimbang, energi potensial terendah dan didominansi oleh energi tarik-menarik, serta resultan gaya nol. Pada jarak lebih kecil dari titik setimbang, potensial naik secara tajam menuju tak berhingga dan terjadi gaya tolak-menolak; sedangkan pada jarak yang lebih besar, potensial naik secara bertahap sehingga mencapai nol pada jarak tak berhingga dan terjadi gaya tarik-menarik.13. Ikatan ion terjadi antara ion positip dan negatip karena terjadi perpindahan elektron sehingga menyerupai kofigurasi gas mulia. Energi ikatan berasal dari potensial tolak-menolak medan sentral empirik dan tarik-menarik Coulomb. Di Nαq 2 ⎛ ρ ⎞ titik setimbang energi tersebut adalah U tot =− ⎜ R ⎟ ⎜1 − ⎟ R = Ro 4πε o Ro ⎝ o ⎠14. Ikatan yang terjadi karena pemakaian bersama sepasang elektron oleh atom untuk mencapai konfigurasi gas mulia dalam suatu molekul disebut ikatan kovalen. Sepasang elektron tersebut lebih banyak terdistribusi di antara inti- inti. Gaya tarikan terjadi antara elektron dan proton di sepanjang garis yang menghubungkan inti berturutan. Sedangkan gaya tolaknya terjadi karena interaksi prinsip eksklusi Pauli saat inti saling merapat. Gaya tarikan elektron- proton lebih dari cukup untuk mengimbangi penolakan langsung elektron- elektron ataupun proton-proton.15. Model ikatan logam menggambarkan adanya suatu susunan ion teratur dan suatu lautan elektron valensi (elektron konduksi) ion tersebut yang dapat bergerak bebas di antara susunan ion. Ikatan logam terjadi bila tarikan antara ion positip dan gas elektron melebihi penolakan antarelektron dalam gas tersebut. Gaya tolak Coulomb antarion positip menjadi tidak efektif karena gas elektron melingkupi ion secara kuat sehingga menjadi ion noninteraksi yang netral.16. Terdapat energi ikat yang lemah pada gas mulia. Meskipun secara rata-rata semua momen multipol listriknya sama dengan nol, tetapi di setiap suatu waktu momen dipol listrik terjadi secara fluktuatif sebagai akibat adanya kelebihan Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  48. 48. I STRUKTUR KRISTAL 41 elektron di bagian tertentu. Momen dipol listrik sesaat ini dapat menginduksi atom atau molekul tetangganya sehingga terjadi interaksi antara keduanya. Interaksi antara momen dipol listrik sesaat inilah yang memberikan ikatan antara atom gas mulia. Energi ikatan Van der Walls ini adalah ⎡ ⎛ σ ⎞12 ⎛ σ ⎞ ⎤ 6 U tot = 1 N (4ε )⎢∑ ⎜ ⎟ − ∑⎜ ⎟ ⎥ ⎢ j ⎜ pij R ⎟ ⎜ p R⎟ ⎥ 2 ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ij ⎠ ⎦17. Contoh ikatan hidrogen adalah kristal air. Sifat listrik sebuah molekul air terisolasi adalah netral. Tetapi, dalam kristal es distribusi muatan internal sedemikian rupa sehingga menghasilkan interaksi antarmolekul. Elektron lebih ditarik ke arah atom oksigen sehingga bermuatan negatip; dan dalam waktu bersamaan atom hidrogen menjadi bermuatan positip. Keadaan ini menghasilkan dipol listrik dalam molekul air. Gaya tarik-menarik antardipol listrik inilah yang menghasilkan ikatan hidrogen sehingga terbentuk kristal. LATIHAN SOAL BAB I ˆ j ˆ01. Diketahui vektor basis primitip suatu kisi adalah a = ai , b = bˆ, c = ck , ˆ dengan i , ˆ dan k adalah tiga vektor satuan dalam koordinat Kartesian. ˆ j a. Gambarlah kisi tersebut! b. Membentuk kisi Bravais jenis apakan vektor basis tersebut? c. Berapakah volume sel satuan primitip tersebut?02.a. Sama dengan soal 01), tetapi untuk vektor basis primitip j ˆ ˆ ˆ a = (a / 2)(i + ˆ), b = (a / 2)( ˆ + k ) dan c = (a / 2)(k + i ) ! ˆ j ˆ b. Buktikan bahwa ungkapan vektor satuan i , ˆ dan k sebagai kombinasi linier ˆ j dari vektor basis primitip ialah ˆ j ˆ ai = a − b + c , aˆ = a + b − c dan ak = −a + b + c ˆ j ˆ ˆ ˆ j ˆ c. Posisi kedelapan pojok sel adalah 0, a i , a ˆ , a k , a( i + ˆ ), a( i + k ), a( ˆ + k ) ˆ j ˆ j ˆ dan a( i + ˆ + k ). Nyatakan posisi-posisi tersebut dalam a , b dan c ! Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  49. 49. I STRUKTUR KRISTAL 42 ˆ ˆ d. Sama dengan (c), tetapi untuk 6 titik pada pusat muka, yaitu (½)a( i + k ), j ˆ j ˆ ˆ j ˆ (½)a( ˆ + k ), (½)a( i + ˆ ), (½)a( i + 2 ˆ + k ), (½)a( 2i + ˆ + k ), dan ˆ j ˆ ˆ (½)a( i + ˆ + 2k ) ! (Nyatalah bahwa, berdasarkan (c) dan (d) semua posisi ˆ j atom dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor kisi primitip dengan koefisien bilangan bulat)03.a. Sama dengan soal 02), tetapi untuk vektor basis primitip ˆ j ˆ j ˆ ˆ ˆ ˆ j a = (a / 2)(i + ˆ − k ), b = ( a / 2)( ˆ + k − i ) dan c = (a / 2)(k + i − ˆ) ! ˆ b. Buktikan bahwa ungkapan vektor satuan i , ˆ dan k sebagai kombinasi linier ˆ j ˆ j ˆ dari vektor basis primitip adalah ai = a + c , aˆ = a + b dan ak = b + c !04. Sama dengan soal (1), tetapi untuk vektor basis primitip 1 ˆ j ˆ a (i + ˆ ) − 1 ck , 2 2 1 ˆ a (−i + ˆ) + 1 ck , dan ˆ j 1 ˆ a (i − ˆ) + 1 ck dimana a adalah sisi bujursangkar dan ˆ j 2 2 2 2 c adalah sisi yang tegak lurus terhadap bujursangkar tersebut !05. Kisi kristal dapat dipetakan ke dalam dirinya sendiri oleh simetri translasi kisi, pencerminan dan rotasi di sekitar suatu sumbu. Kisi kristal memiliki simetri rotasi derajat-1, 2, 3, 4 dan 6 atau 2π; 2π/2; 2π/3; 2π/4; dan 2π/6. Tetapi, misalnya, kisi kristal tidak memiliki simetri rotasi 2π/5 karena tidak memungkinkan untuk mengisi seluruh ruang secara periodik dengan bentuk bangun pentagon. Tunjukkan bahwa kisi dua dimensi tidak mempunyai simetri putar 2π/5 !06. Buktikan bahwa struktur HCP memiliki rasio sumbu c/a= 2 6 =1,633 ! 307. Pada suhu 1190 K besi memiliki struktur FCC dengan parameter kisi a=3,647 Å; dan pada suhu 1670 K berstruktur BCC dengan a=2,932 Å. Jika berat atom besi adalah 55,85 sma, maka tentukan kerapatan massa pada masing-masing suhu tersebut!08. Diketahui padatan Al berstruktur FCC dengan a=4,04 Å dan berat atom 26,98 sma. Hitunglah massa jenisnya!09. Gambarlah bidang dan arah berikut dalam sel satuan kubik: (122), [122], (1 1 2) dan [1 1 2]! Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  50. 50. I STRUKTUR KRISTAL 4310. Kristal Cu mempunyai struktur FCC dengan jari-jari atom 1,278 Å. Berapakah kerapatan atom yang terdapat pada bidang (100)?11. Sama dengan soal 08), tetapi untuk kristal Fe yang berstruktur BCC dengan konstanta kisi 2,86 Å!12. Buktikan bahwa dalam koordinat Kartesis bidang (hkl)=(mnox+mnoy+mnoz) memberikan vektor arah yang tegak lurus bidang tersebut, yakni ˆ j ˆ no = nox i + noy ˆ + noz k !13. Buktikan harga jari-jari atom dan fraksi kepadatan dari berbagai struktur kristal dalam Tabel 5.1!14. Suatu kristal kubik mempunyai konstanta kisi 2,62 Å. Berapakah sudut Bragg yang sesuai untuk terjadi refleksi oleh bidang (100), (110), (111), (200), (210) dan (211), jika berkas sinar-X monokhromatik yang digunakan mempunyai panjang gelombang 1,54 Å?15. Sudut Bragg untuk refleksi kristal besi BCC pada bidang (110) adalah 220, dengan sinar-X yang panjang gelombangnya 1,54 Å. a. Berapakah konstanta kisinya? b. Jika berat atom Fe adalah 55,8 sma, maka berapakah kerapatan massanya?16. Buktikan bahwa persamaan (1.21) dapat diturunkan dari persamaan (1.20), dengan mengingat definisi (1.22)!17. Gambarkan kisi resiprok untuk kisi dua dimensi yang mana a=1,25 Å, b=2,50 Å dan γ=120o!18.a. Buktikan bahwa vektor kisi resiprok G = ha1 + ka 2 + la3 tegak lurus terhadap bidang (hkl) dalam kisi kristal! b. Buktikan bahwa jarak antara dua bidang paralel berturutan dalam kisi adalah dhkl=2π/ G !19. Suatu sel satuan berukuran a=4 Å, b=6 Å, c=8 Å dan α=β=900, γ=1200. Tentukan a. vektor basis a*, b* dan c* untuk kisi resiprok! b. jarak antar bidang (210)! Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  51. 51. I STRUKTUR KRISTAL 44 c. sudut Bragg untuk bidang (210), jika diketahui panjang gelombang sinar-X yang dipakai 1,54 Å!20. Buktikan bahwa a. kisi resiprok suatu kisi SC adalah kisi SC juga! b. kisi resiprok suatu kisi FCC adalah kisi BCC, dan sebaliknya!21. Diketahui bahwa vektor basis primitip kisi ruang heksagonal adalah a1 = ( 1 a 3 ) x + ( 1 a ) y, a 2 = −( 1 a 3 ) x + ( 1 a ) y, a3 = cz 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ a. Tunjukkan bahwa volume sel primitipnya adalah (31/2/2)a2c! b. Tunjukkan bahwa vektor basis primitip kisi resiproknya adalah ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ 2π b1 = ⎜ ⎜ ⎟x + ⎜ ⎟ˆ ⎟ y, b2 = −⎜ ˆ ⎜ ⎟ x + ⎜ ⎟ y, b3 = ⎟ˆ ˆ ˆ z , sehingga kisi ⎝a 3⎠ ⎝ a ⎠ ⎝a 3⎠ ⎝ a ⎠ c merupakan resiprok dirinya sendiri, tetapi dengan merotasikan 30o sumbu- sumbunya terhadap sumbu a3!22. Buktikan persamaan (1.26)!23.a. Pada bidang yang mana dalam kisi BCC berikut yang tidak menimbulkan refleksi Bragg: (100), (110), (111), (200), (210) dan (211)! b. Sama dengan soal a), tetapi dalam kisi FCC!24. Hitunglah faktor struktur geometri F100 untuk kristal CsCl yang berstruktur BCC, jika diasumsikan bahwa fCs=3fCl!25. Teori ikatan kristal ionik model Born-Meyer menyebutkan bahwa energi A α q2 potensial total suatu sistem kristal ionik adalah E = N −N , dengan Rn 4π ε 0 R N adalah jumlah pasangan ion positip-negatip. Suku pertama merepresentasikan potensial tolak-menolak, dengan A dan n adalah konstanta yang ditentukan melalui eksperimen. Suku kedua merepresentasikan potensial tarik-menarik Coulomb, dengan α adalah konstanta Madelung yang hanya bergantung pada struktur kristal. 4π ε 0 A a. Tunjukkan bahwa jarak kesetimbangan antarion adalah R0n −1 = n! α q2 b. Tunjukkan bahwa energi ikatan pada titik kesetimbangan adalah Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM
  52. 52. I STRUKTUR KRISTAL 45 α Nq 2 ⎛ 1 ⎞ E0 = − ⎜1 − ⎟ ! 4π ε 0 R0 ⎝ n ⎠ c. Jika kristal NaCl mempunyai konstanta kisi 5,63 Å, energi ikat terukur 7,95 eV/molekul dan konstanta Madelung 1,75, maka tentukan konstanta n!26. Berikut disajikan data eksperimen tentang pembentukan molekul NaCl Na (gas) + 5,14 eV (energi ionisasi) → Na+ (gas) + e- (elektron) - e (elektron) + Cl (gas) → Cl- (gas) + 3,61 eV (afinitas elektron) Na+ (gas) + Cl- (gas) → NaCl (kristal) + 7,9 eV (energi kohesif) Hitunglah energi permolekul kristal NaCl tersebut! (Energi permolekul ini lebih kecil daripada energi kohesif/ikat permolekul (7,9 eV). Energi ikat molekul adalah energi yang diperlukan untuk memecahkan molekul tersebut menjadi ion-ion penyusunnya)27. Dalam kristal NaCl didapatkan data eksperimen tentang harga jarak suatu ion positip terhadap ion negatip terdekatnya adalah 2.81.10-8 cm. Tentukan energi tarik menarik Coulomb sebagai bagian dari energi potensial antara dua ion tersebut! (Harga ini masih seorde dengan data eksperimen tentang energi ikat 7,9 eV/molekul)29. Buktikan bahwa konstanta Madelung a. berharga 2 ln 2 untuk kristal ionik alternasi satu dimensi! b. berharga 1,747565 , 1, 762675 dan 1,6381 , masing-masing untuk kristal NaCl, CsCl dan ZnS!30. Untuk gas He, yang berstruktur FCC, hasil pengukuran menunjukkan bahwa parameter Lennard-Jones ε=50.10-16 erg dan σ=2,96 Å. Hitunglah energi kohesifnya dalam kJ/mol! (Nilai pengamatan energi kohesif 0,751 kJ/mol, jauh lebih kecil daripada hasil perhitungan sehingga koreksi kuantum sangat penting)31. Dengan menggunakan potensial Lennard-Jones, hitunglah perbandingan energi kohesi Ne dalam struktur BCC dan FCC! Diketahui bahwa untuk kisi BCC harga ∑p j −12 ij = 9,11418 ; ∑p j −6 ij = 12,2533 . Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM

×