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Teria metodos numericos
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    Teria metodos numericos Teria metodos numericos Document Transcript

    • Universidad de Tecnológica de PanamáFacultad de Ingeniería IndustrialLicenciatura en Ingeniería IndustrialProyecto de Método NuméricosIntegrantes:Avendaño, Betzaida4-767-1014De Gracias, Sherlyn4- 772- 1342Kuan, Lilibeth8- 891-215Grupo1II125Profesor:Beseler, FernandoFecha de Entrega:Lunes 6 de mayo de 2013
    • Métodos de Integración Numérica
    • IndicéIntroducción………………………………………………………………………….…Pág.5Fórmulas de Newton –Cotes…………………………………………………….……Pág.6Regla del Trapecio…………………………………………………………..……….…Pág.8Regla de Simpson…………………………………………………………………..….Pág.12Conclusión…………………………………………………………………………..…Pág.14Bibliografía……………………………………………………………..…………..…Pág.15
    • IntroducciónIntegrar es buscar el área debajo de una curva, en este trabajo utilizaremos métodosdesarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida. EnMétodos numéricos utilizamos la integración numérica para aproximarnos al valor de lasolución del integral definido en vez de una solución analítica, por lo tanto el error de laaproximación depende del método que se utilice y puede llegar a ser tan pequeño que esposible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en las primeras cifrasdecimales. Nosotros vamos a enfocarnos en la integración numérica con el método deltrapecio y de Simpson, en donde el método de trapecio corresponde al caso donde elpolinomio de la ecuación es de primer grado y el de Simpson consiste en usar polinomiosde grado superior para unir los puntos.
    • Fórmulas de Newton-CotesEn análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por IsaacNewton y Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valoraproximado de la integral. Cuantos más intervalos se divida la función más preciso será elresultado.Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos igualmenteseparados.Para la integración numérica de utilizando las fórmulas de Newton-Cotes sesubdivide el intervalo en intervalos iguales. Así se obtienen puntos dondese evaluará la función:Si y se denominan fórmulas cerradas de Newton-Cotes ya que losintervalos de los extremos están incluidos en la integral, si por el contrario no se tienen encuenta se denominan fórmulas abiertas de Newton-Cotes. Para el calculo se utilizará lasiguiente función:dónde:Es el polinomio de LaGrange, por lo tanto se deduce que
    • Esta función se expresa de la siguiente formaDonde los "pesos" wi están definidos porSe clasifican en: Fórmulas cerradas de Newton-Coteso Regla del trapecioo Regla de Simpsono Regla de Simpson 1/3o Regla de Simpson 3/8o Regla de Booleo Regla de quinto ordeno Regla de Sexto orden Fórmulas abiertas de Newton-Coteso Regla del punto medio Reglas compuestaso Regla del trapecio compuesta
    • Regla del TrapecioEs un método de integración numérica para el cálculo aproximado de unaintegral, es decir el área del trapecio bajo la línea que une F(a) y F(B).Es la primera de las fórmulas de “Newton Coste”Se clasifica de la siguiente manera: Regla del trapecio simple:Para polinomios de primer grado y se usa la siguiente formula:De manera que el resultado de la integración es para n nuero de sub divisiones:I=La regla del trapecio es equivalente al área de un trapecio sobre la línea recta deF(a) y F(b).
    • Por lo tanto, también puede ser representado comoO también,Y el error de esta aplicación está dada por:(ℰ)Dondeℰ es un elemento del intervalo [a,b]. Si la función sujeta es lineal la regla deltrapecio es exactaCon funciones que posean derivadas de segundo orden y de orden superior puedeocurrir algún error.Ejemplo#1:para n=6Como la función sujeta a Integración es lineal, la regla del trapecio es exacta.(6-2)(4)21.3333010203040500 2 4 6
    • Ejemplo#2: para n=5, siendo ℰ un elemento del intervalo[1,6] entonces ℰ= 2(ℰ)== Regla del trapecio Compuesta:Es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En laformulación de este método se supone que f es continua y positiva en elintervalo [a,b]. De tal modo la integral definida representa el áreade la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b.Primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno de ancho:(6-1)(5)h=-20-1001020304050607080900 1 2 3 4 5 6 7
    • Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:es decirPara calcular e erros se usa:(ℰ)
    • La regla de SimpsonDado por el matemático Thomas Simpson.Corresponde al caso donde el polinomio es de segundo orden,A y b se les designa X0 y X2 respectivamente, y el resultado de la integración esPara este casoTambién puede ser representado de esta formapunto medio entre a y b dado porEsta formula se puede comprobar de la siguiente manera: = = = = [ ) + )+6C] =
    •  = = = = [Y el error de esta aplicación esta dado porYa queEntoncesEjemplo: se integra por la regla deSimpsonDesde a=0 hasta b=0.8Y el error aproximado es
    • ConclusiónEn este trabajo hemos hecho un estudio de dos tipos de integración numérica en la cual sedivide en la integración de polinomios de primer grado (método del trapecio) y polinomiosde orden superior (método de Simpson).La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integración de NewtonCotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación es de primer grado.Cuando utilizamos este método de integración numérica obviamente se tiene un error quepuede ser importante. Una estimación al error de truncamiento local para una solaaplicación de la regla del trapecio es:Donde ᵹestá en algún lugar en el intervalo de ɑ a b. La ecuación indica que si la funciónsujeta a integración es lineal, la regla del trapecio será exacta. De otra manera, parafunciones con derivadas de segundo orden y de orden superior (es decir, con curvatura),puede ocurrir algún error.La regla se Simpson ⅓ resulta cuando un polinomio de interpolación de segundo grado sesustituye en la fórmula:Y el error de truncamiento de esta aplicación está dada por:
    • Bibliografíahttp://es.wikipedia.org/wiki/Regla_del_trapeciohttp://www.cienciasbasicasitcv.com.mx/metodos/4_2_1.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttp://www.matematicas.unam.mx/gfgf/sc091/archivos/IntegracionNumerica.pdf