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Volumes de sólidos integral
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Volumes de sólidos integral

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  • 1. Módulo 2 Aplicações da Integral A partir deste momento Nesta seção vamos abordar uma das aplicações passaremos a examinar as aplicações do conteúdo estudado na Unidade anterior.matemático – a determinação da área de uma região R do plano, queestudamos na Unidade 7. f (x) e g(x) sejam funções con- a, b e que f (x) g(x) para todo x em a, b . Então, a área da região limitada acima por y f (x) , abaixo pory g(x) , à esquerda pela reta x a e à direita pela reta x b , confor- b A f (x) g(x) dx . a 327
  • 2. Curso de Graduação em Administração a Distância y f(x) A g(x) [ ] 0 a b x Figura 8.1 - de integração. Segue abaixo um procedimento sistemático que podemos seguir para estabelecer a fórmula, utilizando os seguintes passos. Passo 1. acima e qual limita abaixo. Passo 2. a e b serão as abscissas x dos dois pontos de interseção das curvas y f (x) e y g(x) . Para tanto iguala-se f (x) e g(x) , ou seja, faz f (x) g(x) e resolve-se a equação resultante em relação a x. Passo 3. curvas. Observação f (x) , pelas retas x a e x b e o eixo x, onde f (x) é uma função contínua sendo f (x) 0 , para todo x em a, b , conforme 328
  • 3. Módulo 2 y a b 0 x A f(x)Figura 8.2O cálculo da área A é dado por: b A f (x) dx , a Apresentaremos alguns exemplos de cálculo de área entre duas curvas:Exemplo 8.1 Determinar a área da região limitada entre as curvas: y f (x) x 6 e y g(x) x2 . Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado acima, temos os seguintes passos: Passo 1. Esboço da região y 10 8 6 4 2 −2 −1 0 1 2 3 x Figura 8.3 329
  • 4. Curso de Graduação em Administração a Distância Passo 2. Para encontrar os limites de integração ,fazemos f (x) g(x) , isto é, x 6 x 2 ou x 2 x 6, que fornece 2 x x 6 0 da equação acima, x 2 e x 3 , que serão os limites de inte- gração. Observe, pelo x 6 x 2 , para todo x em 2, 3 . Passo 3. Calculando a área da região limitada por: y f (x) x 6 e y g(x) x 2 em 2, 3 temos : b A f (x) g(x) dx a 3 3 2 = x 6 x dx x 6 x 2 dx 2 2 3 x2 x3 = 6x 2 3 2 32 33 ( 2)2 ( 2)3 = 6 3 6 ( 2) 2 3 2 3 9 4 8 = + 18 32 12 2 2 3 9 8 = + 18 9 2 12 + 2 3 9 8 9 18 30 8 9 10 2 3 2 3 27 22 27 22 81 + 44 125 = = u.a. 2 3 2 3 6 6 Portanto, a área limitada por 125 y f (x) x 6 e y g(x) x 2 em 2, 3 é 6 unidades de área. Exemplo 8.2 Determinar a área da região limitada por y f (x) 4 e y g(x) x2 . 330
  • 5. Módulo 2Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentadoacima, temos os seguintes passos:Passo 1. Esboço da região: y 5 4 3 2 1 −2 −1 0 1 2 xFigura 8.4Passo 2. Para encontrar os limites de integração fazendo f (x) g(x) ,temos,4 x 2 ou x 2 = 4.Logo,x 4= 2,ouseja,x1 2 e x2 2. Assim, a 2 e b 2.Passo 3. A área da região limitada por y f (x) 4 e y g(x) x2 ,em 2, 2 será: b A f (x) g(x) dx a 2 2 2 x3 = 4 x dx 4x 2 3 2 23 ( 2)3 = 4 2 4 ( 2) 3 3 8 8 8 8 = 8 8 8 8+ 3 3 3 3 8 8 8 16 =8 +8 = 16 2 = 16 3 3 3 3 48 16 32 = u.a. 3 3Portanto, a área limitada por y f (x) 4 e y g(x) x 2 em 32 2, 2 é unidades de área. 3 331
  • 6. Curso de Graduação em Administração a Distância Exemplo 8.3 Determinar a área da região limitada por y f (x) 8 x 2 e g(x) x2 . Resolução: Temos os seguintes passos: Passo 1. Esboço da região: y 8 7 6 5 4 3 2 1 −2 −1 0 1 2 x Figura 8.5 Passo 2. Para encontrar os limites de integração, fazemos f (x) g(x) , isto é, 8 x 2 x 2 , que fornece 8 2 x2 e x1 2 e x2 2 . Assim, a 2 e b 2. Passo 3. A área da região limitada por y f (x) 8 x 2 e g(x) x2 será: b 2 A f (x) g(x) dx 8 x2 x 2 dx a 2 2 2 2 x3 = 8 2 x dx 8x 2 2 3 2 3 2 ( 2)3 = 8 2 2 8 ( 2) 2 3 3 8 8 = 16 2 16 2 3 3 332
  • 7. Módulo 2 16 16 16 = 16 + 16 = 32 2 3 3 3 32 96 32 64 = 32 = u.a. 3 3 3 Portanto, a área limitada por y f (x) 8 x 2 e g(x) x 2 em 64 2, 2 é unidades de área. 3Exemplo 8.4 Determinar a área limitada pela curva y f (x) x2 5x ,o eixo x e as retas x 1 e x 3. Resolução: Temos os seguintes passos: Passo 1. Esboço da região. y 1 1,5 2 2,5 3 0 x −1 −2 −3 −4 −5 −6 Figura 8.6 Passo 2. Os limites de integração são a 1 e b 3. Passo 3. A área limitada pela curva y f (x) x2 5x o eixo x e as retas x 1 e x 3, será: 333
  • 8. Curso de Graduação em Administração a Distância 3 3 2 x3 x2 A x 5x dx 5 1 3 2 1 33 32 13 12 = 5 5 3 2 3 2 27 9 1 1 = 5 5 3 2 3 2 45 1 5 18 45 2 15 = 9 2 3 2 2 6 27 13 27 13 = 2 6 2 6 81 + 13 68 34 34 = u.a. 6 6 3 3 Portanto, a área limitada pela curva y f (x) x 2 5x , o eixo x 34 e as retas x 1 e x 3 é unidades de área. 3 Exemplo 8.5 Encontrar a área da região limitada pela curva y f (x) sen x e pelo eixo x de 0 a 2 . Resolução: Passo 1. Esboço da região: y 1 0 x 2 2 1 Figura 8.7 334
  • 9. Módulo 2 Passo 2. Para determinar os limites de integração, temos, pelo 0, , f (x) sen x 0 e no interva- lo ,2 , f (x) sen x 0. Passo 3. A área da região limitada pela curva f (x) sen x , e pelo eixo x de 0 até 2 será: 2 2 A sen x dx sen x dx c os x 0 cos x 0 = cos ( cos 0) + cos 2 ( cos = ( 1) ( 1) + 1 ( 1) = 1+1+ 1 1 =2+ 2 = 2 + 2 = 4 u.a. Portanto, a área da região limitada pela curva f (x) sen x e pelo eixo x de 0 até 2 é 4 unidades de área. dúvidas, busque orientação junto ao Exercícios propostos – 1 y a) 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 xFigura 8.8 335
  • 10. Curso de Graduação em Administração a Distância Onde y f (x) x 1. b) y 4 3 2 1 0 1 2 3 4 x Figura 8.9 Onde y f (x) x. 2) Determinar a área da região limitada por: y f (x) x e y g(x) x2 x. 3) Determinar a área da região limitada por y f (x) x 1, o eixo x e as retas x 2 e x 0. 4) Determinar a área da região limitada por 2 2 y f (x) x e y g(x) x 4x . 1 5) Calcular a área da região limitada por y f (x) , o eixo x e x as retas x 1 e x 4. Volume de sólido de revolução - centro de massa e de momento de inércia. Como é difícil determinar o volume de um sólido de forma irregular, começaremos com objetos que apresentam formas simples. Incluídos nesta categoria estão os sólidos de revolução. 336
  • 11. Módulo 2 Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma região do pla- eixo de revolução, contida no plano. Seja S o sólido gerado pela rotação da região do plano limitadapor y f (x) , o eixo x , x a e x b em torno do eixo x . Então ovolume V deste sólido é dado por: b 2 V f (x) dx. a -tes aos usados para calcular a área de uma região plana e limitada, mas y y = f(x) a 0 b xFigura 8.10 337
  • 12. Curso de Graduação em Administração a Distância y x Figura 8.11 Analogamente, quando o eixo de revolução é o eixo y e a frontei- ra da região plana é dada pela curva x g(y) e o eixo y entre y c e y d , então o volume V do sólido de revolução é dado por d 2 V g y dy. c y d x = g(y) 0 x c Figura 8.12 338
  • 13. Módulo 2 Sejam f x e g x funções contínuas no intervalo a,b e su -mos que f x g x 0 para todo x a,b . Então o volume do sólidode revolução gerado pela rotação em torno do eixo x , da região limitadapelas curvas y f x e y g x e as retas x a e x b é dado por: b 2 2 V f x g x dx. a y y = f(x) y = g(x) a 0 b xFigura 8.13 y xFigura 8.14 339
  • 14. Curso de Graduação em Administração a Distância Exemplo 8.6 A região limitada pela curva y x 2 , o eixo x e as retas x 1 e x 2 , sofrem uma rotação em torno do eixo x . Encontre o volume do sólido de revolução gerado. Resolução: y y = f(x) 4 1 0 1 2 x Figura 8.15 Temos: b 2 2 2 V f x dx x 2 dx a 1 2 x5 32 1 5 1 5 31 , unidades de volume (u.v.). 5 Exemplo 8.7 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por y x 3 , y 0 e x 1 em torno do eixo y . 340
  • 15. Módulo 2 Resolução: y 2 y = x3 1,5 1 0,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2 x −0,5 −1Figura 8.16 De y x 3 temos x y1/ 3 . Logo, o volume do sólido obtido pela revolução em torno do eixo y é dado por d 2 1 V g y dy y 2/ 3dy c 0 3 5/ 3 1 3 y u.v. 5 0 5Exemplo 8.8 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação daregião limitada por x 2 y 2 , 2y x 2 0,x 0 e x 1em tornodo eixo x . 341
  • 16. Curso de Graduação em Administração a Distância Resolução: y 5 x² = y−2 4 3 2 2y−x−2 = 0 1 x −2 0 2 4 −1 Figura 8.17 (a) Volume do sólido em torno do eixo x . Neste caso, temos b 2 2 V f x g x dx a 2 1 2 2 1 x 2 x 1 dx 0 2 1 15 2 x4 x x 3 dx 0 4 1 x5 5x 3 x2 3x 5 4 2 0 1 5 1 79 3 u.v. 5 4 2 20 342
  • 17. Módulo 2 Exercícios propostos – 21) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x , de região limitada por: a) y 2x 1, x 0, x 3e y 0. b) y x 2 1, x 1, x 3e y 0.2) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo y , de região limitada por: y ln x, y 1, y 3 e x 0.3) Calcule o volume do sólido obtido girando cada região limitada pelas curvas e retas dadas em torno do eixo indicado: a) y 2x 2 , y 0, x 0, x 5 ; em torno do eixo dos x . b) y x2 5x 6, y 0 ; em torno do eixo dos x . c) y2 2x , x 0, y 0 ey 3; em torno do eixo dos y . d) y 2x 1, x 0, x 3 ey 0 ; em torno do eixo dos x . 343
  • 18. Curso de Graduação em Administração a Distância Comprimento de arco A seguir, apresentaremos o comprimento de arco de uma curva plana em coordenadas cartesianas. Seja f uma função contínua no in- [a,b] y f (x) . y B = (b,ƒ(b)) y = ƒ(x) A = (a,ƒ(a)) a b x Figura 8.18 Sejam A a, f (a) e B(b, f (b)) dois pontos na curva y f (x) . ª Seja s o comprimento da curva AB y f (x) . Então, s é dado por b 2 s 1 f (x) dx. a A seguir, apresentaremos alguns exemplos. x Exemplo 8.9 Determinar o comprimento de arco da curva y 1, 2 0 x 3. Resolução: Temos, x 1 y 1 y . 2 2 344
  • 19. Módulo 2 Logo, b 2 s 1 f (x) dx a 3 1 1 dx 0 4 3 5 3 5 3 dx 5. x 0 4 2 4 0 x Portanto, o comprimento de f (x) 1, para 0 x 3 é dada 2 3 por s 5 u.c. 2Exemplo 8.10 Calcule o comprimento do arco da curva 24xy x4 48de x 2ax 4 Resolução: Temos, 24xy x4 48 1 3 2 y x 24 x 2 3x 2 x 4 16 y . 24 x 2 8x 2 Agora, 2 b 2 4 x 4 16 s 1 y dx 1 dx a 2 8x 2 4 1 1 4 x8 256 32x 4 dx 2 64x 4 x8 32x 4 256 dx 2 64x 4 4 (x 4 16)2 4 (x 4 16)2 dx dx 2 (32x 2 )2 2 (32x 2 )2 4 x 4 16 dx 2 8x 2 4 1 4 2 2 1 x3 16 x 16x dx 8 2 8 3 x 2 1 64 8 1 56 17 4 8 4 u.v. 8 3 3 8 3 6 345
  • 20. Curso de Graduação em Administração a Distânciacompreendeu estas importantese para isto tente resolver osexercícios propostos a seguir. Selas antes de seguir adiante. Exercícios propostos – 3 Determine o comprimento das curvas dadas por: x2 1 1) y ln x, 2 x 4. 2 4 1 3 2) y ln 1 x 2 de x ax . 4 4 1 4 1 3) y x de x 1 a x 2. 4 8x 2 4) y 1 ln sen x de x ax . 6 4 1 x 5) y e e x de x 0 a x 1. 2 Saiba Mais... Para aprofundar os conteúdos abordados neste capítulo consulte: FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Fun- ções, Limite, Derivação, Integração, 5ª ed. São Paulo: Makron Books, 1992. LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1994. Vol. 1. 346
  • 21. Módulo 2RESUMO do sólido de revolução, e no comprimento de arco de uma curva utilizando o sistema de coordenadas cartesianas. 347
  • 22. Curso de Graduação em Administração a Distância RESPOSTAS • Exercícios propostos – 1 16 1) a) 12 unidades de área. b) unidades de área. 3 4 2) unidades de área. 3 3) 4 unidades de área. 8 4) unidades de área. 3 5) 2 unidades de área. • Exercícios propostos – 2 1016 1) a) 57 u.v.; b) u.v. 15 1 2) e6 u.v.; 2 e2 3) a) 2500 u.v. b) u.v. 30 243 c) u.v. d) 21 u.v. 20 • Exercícios propostos – 3 1 1) 6+ ln 2 6,173u.c. 4 21 1 123 2) ln u.c. 3) u.c. 5 2 32 1 4) ln 2 ln 2 2 ln 2 3 u.c. 2 1 2 5) e 1 u.c. 2e 348

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