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  • 1. ÍNDICECirculo.-_________________________________________________________________ 2Teorema I _______________________________________________________________ 2Teorema II ______________________________________________________________ 2Teorema III ______________________________________________________________ 3Teorema IV ______________________________________________________________ 3TEOREMA V _____________________________________________________________ 4
  • 2. Circulo.- Es una figura plana que está limitada por una curva cerrada llamada circunferenciacuyos puntos equidistan de un punto llamada centro. Teorema IEn un mismo círculo o en círculos iguales, ángulos centrales iguales interceptan arcos iguales, y elmayo de dos ángulos desiguales intercepta mayor arco.Demostrar: arco AB = arco A´B´ Arco AC > arco A´B´ OA = C´A´ por hipótesis OC = C´B´ por hipótesis<AOB = <A´C´B´ por hipótesis C´ encaja en O por postulado 5 A´ encaja en A B´ encaja en BArco AB = Arco A´B´< AOC ><AOB por axioma 10 Arco AC > arco ABarco AB = arco A´B´ lqqd Teorema IIEn un mismo círculo o en círculos iguales, arcos iguales subtienden ángulos centrales iguales; y elmayor de dos arcos desiguales subtiende mayor ángulo central que el menor.
  • 3. Demostrar < AOB = < A´B´C´ < AOC ><A´O´B´Demostración 1.- Colóquese el circulo O sobre el O ‘de suerte que OA coincida con O´A´ y el arcoAB con el A´B´. Entonces OB coincidirá con O´B por postulado 1 <AOB = <A´O´B´ igualdad de los ángulos2. Puesto que el aco Ac es mayor que el A´B´es mayor que AB, y OB se halla dentro del angulo AOC< AOC ><AOB Axioma 10<AOC ><A´B´C´ Axioma 8. Teorema IIIEn un mismo círculo o en círculos iguales, arcos iguales son subtendidos por cuerdas iguales, y elmayor de dos arcos desiguales es subtendido por mayor cuerda.Demostrar: 1.Que cuerda Ab = cuerda A´B´ 2. que cuerda AF > cuerda A´B´Demostración 1. Trácese OA, OB, OF en el círculo O y O´A´, O´B´ en el O´Tiene se: OA = O´A´ y OB = O´B´, Igualdad de los radios< AOB = A´O´B´ Teorema II (circulo) OAB = O´A´B´ TEOREMA II (TRIANGULOS)Cuerda AB = cuerda A´B´ corolario.OA = O´A´, OF = O´B´ igualdad de los radios.<AOF ><A´O´B´ Teorema II (círculos) Cuerda AF > cuerda A´B´ lqqd. Teorema IVEn un mismo círculo o en círculos iguales, cuerdas iguales subtienden arcos iguales, y la mayor dedos cuerdas desiguales subtiende el mayor arco.
  • 4. Demostrar: 1.Que arco Ab = Arco A´B´. 2. Que arco AF > arco A´B´Demostración 1. Trácense OA, OB, OF, O´A´, O´B´. OA = O´A´, y OB = O´B´ igualdad de radios. Cuerda AB = cuerda A´B´ por hipótesis. OAB = O´A´B´. Teorema VI. <AOB = A´O´B´ por corolario. Arco AB = arco A´B´ por corolario.2. Se tiene OA = O´A´ = OF = O´B´. Cuerda AF > cuerda A´B´ por hipótesis.<AOF ><A´O´B´ Teorema XXIV Arco AF > arco A´B´ Teorema I (círculos). TEOREMA VLa perpendicular trazada por el centro de un círculo a una cuerda bisecta la cuerda y los arcossubtendidos.Demostrar: que AM = BM, arco AQ = arco BQ, y arco AP = arcoBPTrácense los radios OA, OB.OM = OM, y OA = OP, AMO = BMO, Teorema XII Por tanto AM = BM, <AOQ = <BOQ. Por corolario (las partes homologas de dos figurascongruentes son iguales).<AOP = <BOP. Corolario 5. Arco AQ = arco BQ, y arco AP = arco BP teorema I (circulo).

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