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Estatística básica

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Estatística Básica

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  • 1. Estatística básica Estatística é a ciência dos dados, envolvendo o desenvolvimento de processos, métodos e técnicas de coleta, classificação, organização, resumo, análise e interpretação de dados sobre uma população, e os métodos de tirar conclusões ou fazer predições com base nesses dados. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 2. Estatística básica Organização e descrição dos dados Descritiva Cálculo de médias, variâncias, estudo de gráficos, tabelas, etc. Estatística Indutiva (Inferencial) Estimação de parâmetros, teste de hipóteses, etc. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 3. Estatística básica • A estatística tem a capacidade de sintetizar os dados; • A amostragem é o ponto de partida (na prática) para todo um Estudo Estatístico. É através da amostragem que obtemos os dados da medição de determinada característica ou propriedade de um objeto, pessoa ou coisa; Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 4. Estatística básica • População: é a coleção de todas as observações potenciais sobre determinado fenômeno; •Amostra: é o conjunto de dados efetivamente observados, ou extraídos; População Amostras Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 5. Estatística básica Cada observação individual ou item é denominada como unidade elementar, que pode estar composta por um ou mais itens medidos, propriedades, atributos, etc, denominados como variáveis. Variável é uma característica, propriedade ou atributo de uma unidade da população, cujo valor pode variar entre as unidades da população. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 6. Estatística básica Exemplo: Variáveis Unidade elementar Nome Idade Cargo Sexo Peso Escolaridade João 27 Supervisor M 62 kg 2º grau Alex 38 Chefe M 78 kg 1º grau Ana 32 Secretária F 58 kg 3º grau Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 7. Estatística básica •Tipos de variáveis Nominal Qualitativa Ordinal Variável Discreta Quantitativa Contínua Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 8. Estatística básica • Exemplo: Para uma população de peças produzidos em um processo, poderíamos ter: Variável Tipo Estado: Perfeita ou defeituosa Qualitativa Nominal Qualidade: 1ª, 2ª ou 3ª categoria Qualitativa Ordinal Número de peças defeituosas Quantitativa Discreta Diâmetro das peças Quantitativa Contínua Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 9. Estatística básica Agrupamento de dados e distribuição de frequências • Quando vamos fazer um levantamento de uma população, um dos passos é retirar uma amostra dessa população e obter dados relativos à variável desejada nessa amostra; • Cabe à Estatística sintetizar tais dados na forma de tabela e gráficos que contenham, além dos valores das variáveis, o número de elementos correspondentes a cada variável; Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 10. Estatística básica Agrupamento de dados e distribuição de frequências • A esse procedimento está associado o conceito de: • Dados brutos: é o conjunto de dados numéricos obtidos que ainda não foram organizados; • Rol: é o arranjo dos dados brutos em ordem crescente (ou decrescente); • Amplitude (H): é a diferença entre o maior e o menor dos valores observados; •Frequência absoluta (ni): é o número de vezes que um elemento aparece na amostra; Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 11. Estatística básica Agrupamento de dados e distribuição de frequências • n : número total de dados da amostra k n i 1 i n • k : número de valores diferentes na amostra • Frequência relativa (fi): ni fi  n k  i 1 fi  1 • Frequência absoluta acumulada (Ni): é a soma da frequência absoluta do valor da variável i com todas as frequências absolutas anteriores; • Frequência relativa acumulada (Fi): Ni Fi  n Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 12. Estatística básica Agrupamento de dados e distribuição de frequências • Exemplo: Os seguintes dados foram amostrados do números de negócios efetuados diariamente por um operador financeiro: População: Número de negócios efetuados diariamente Dados brutos: {14, 12, 13, 11, 12, 13, 16, 14, 14, 15, 17, 14, 11, 13, 14, 15, 13, 12, 14, 13, 14, 13, 15, 16, 12, 12} Rol: {11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14,14, 15,15,15, 16,16, 17} Amplitude: 17 – 11 = 6 n = 26 observações Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 13. Estatística básica Número de Operações fechadas por dia Freq. Absoluta 11 12 13 14 15 16 Freq. Relativa Freq. Absoluta Acumulada Freq. Acumulada 2 5 6 7 3 2 7,69% 19,23% 23,08% 26,92% 11,54% 7,69% 2 7 13 20 23 25 7,69% 26,92% 50,00% 76,92% 88,46% 96,15% 17 1 3,85% 26 100,00% Total 26 100,00% Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 14. Estatística básica Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 15. Estatística básica Classes • As classes são um artifício para condensar o número de elementos diferentes de uma amostra. Imagine construir uma tabela para 200 valores diferentes, nos moldes do problema anterior. • Os principais pré-requisitos para uma boa definição de classes em um conjunto de dados são: •a) as classes devem abranger todas as observações; •b) o extremo superior de uma classe é o extremo inferior da classe subsequente (simbologia: |, intervalo fechado à esquerda e aberto à direita); •c) cada valor absoluto deve enquadrar-se em apenas uma classe; •d) k  25, de modo geral, sendo k o número de classes; •e) As unidades das classes devem ser as mesmas dos dados. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 16. Estatística básica Classes • Cálculo de k (Formas de calcular) : k  1 log 2 N (Fórmula de Sturges) k  N ln n 2 n2 nk  ln 2 k k Obs.: N é o número de elementos diferentes da amostra e, muitas vezes, pode ser considerado N = n (no. de observações). • Intervalo da classe (h): h  H/k • Ponto médio da classe (xi) : Ponto médio entre o limite inferior e o limite superior de cada classe. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 17. Estatística básica • Exemplo: Utilizando os dados do exemplo anterior, temos: H 6 k  7 3 6 k  1  log 2 7  4 h 2 k  ln N 3 3 ln 2 Xi Freq. Absoluta Freq. Relativa Freq. Absoluta Acumulada Freq. Acumulad a 11|13 12 7 26,92% 7 26,92% 13|15 14 13 50,00% 20 76,92% 15|17 16 6 23,08% 26 100,00% 26 100,00% Faixa de negócios Total Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 18. Estatística básica Medidas de Posição • Mostram o valor representativo em torno do qual os dados tendem a agrupar-se com maior ou menor frequência. n x • Média aritmética: x1  x2  x3  x4  ...  xn x   n • Média aritmética ponderada: x1 . p1  x2 . p2  x3 . p3  ...  xn . pn x  p1  p2  p3  ...  pn i i 1 n n  x .p i 1 n i i p i 1 pi : peso da amostra xi Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com i
  • 19. Estatística básica Medidas de Posição • Exemplo: Os dados {11, 13, 15, 17, 19} apresenta a seguinte média (n=5, pois temos cinco números) : 11  13  15  17  19 x  15 5 • Se um aluno obteve as notas {7, 10, 6, 8} com pesos {1, 2, 2, 3}, qual será a nota final do aluno: 7.1  10.2  6.2  8.3 63 x   7,875 1 2  2  3 8 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 20. Estatística básica Medidas de Posição P R O P R I E D A D E • A soma dos desvios é sempre igual a zero •A soma dos quadrados dos desvios das observações de uma série é sempre um valor mínimo Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 21. Estatística básica Medidas de Posição • Média aritmética ponderada para dados agrupados em classes: n x1 .n1  x2 .n2  x3 .n3  ...  xn .nn x  n1  n2  n3  ...  nn  x .n i 1 n • Sabendo que: n   ni i 1 i n i 1 n i i ni fi  n x  x1 . f1  x2 . f 2  x3 . f 3  ...  xn . f n  n  x .f i 1 i • fi : Frequência de ocorrência da amostra xi Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com i
  • 22. Estatística básica Medidas de Posição • Exemplo: Qual a média do número de operações fechadas por dia: Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 23. Estatística básica Medidas de Posição • A média pela frequência absoluta é: 11.2  12.5  13.6  14.7  15.3  16.2  17.1 x 2  5  6  7  3  2 1 352 x  13,54 26 • A média pela frequência relativa é: x  11 .7,69 %  12 .19 ,23 %  13 .23,08 %  14 .26 ,92 %  15 .11,54 %  16 .7,69 %  17 .3,85 % x  13,54 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 24. Estatística básica Medidas de Posição • Exemplo: Calcule a média da tabela abaixo: Valor médio da classe 12.7  14.13  16.6 362 x   13,92 7  13  6 26 •Observe que o resultado apresentou uma pequena diferença do anterior (2,8% maior que 13,54 ). A precisão dos dados na tabela em classes diminuiu pouco em relação aos dados originais. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 25. Estatística básica Medidas de Posição • Mediana: É o valor do meio de um conjunto de dados, quando os dados estão dispostos em ordem crescente ou decrescente, ou seja, o Rol de Dados.  n 1 x  termo  2  o ~ o Se n é impar o n n    termo    1 termo ~ 2 2  x  2 Se n é par Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 26. Estatística básica Medidas de Posição Exemplo: Qual a mediana dos dados abaixo: Dados brutos: {14, 12, 13, 11, 12, 13, 16, 14, 14, 15, 17, 14, 11, 13, 14, 15, 13, 12, 14, 13, 14, 13, 15, 16, 12, 12} Rol: {11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14,14, 15,15,15, 16,16, 17} n = 26 observações (par) o o  26   26    termo    1 termo ~ 13o termo  14o termo 13  14 2  2  x     13,5 2 2 2 A mediana dos dados é 13,5. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 27. Estatística básica Medidas de Posição • Exemplo: Calcule a mediana dos dados abaixo: • A mediana estará na faixa de 13 a 15, pois temos no total 26 observações e mediana encontra-se no meio (13º termo) (aqui não iremos calcular a média entre o 13º e o 14º Verique !). ~ x 13  13 15  13 13  7   20  7 ~ x 13  13,92 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 28. Estatística básica Medidas de Posição • Moda ou classe modal (mo): É o valor que representa a maior frequência em um conjunto de observações individuais. Em alguns casos, pode haver mais de uma moda. X Xi ni 0| 3 1,5 7 3| 6 6| 9 9| 12 4,5 7,5 10,5 13 6 2  Classe modal Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 29. Estatística básica Medidas de Posição Média • Sensível a valores extremos de um conjunto de observações • Usa todos os dados disponíveis • “Robusta” : Não sofre muito com a presença de alguns valores muito altos ou muito baixos Mediana • Não usa todos os dados disponíveis Moda • Não é afetada por valores extremos • Não usa todos os dados disponíveis Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 30. Estatística básica Medidas de Posição • Percentil: De forma geral, o percentil de um conjunto de valores postos em ordem crescente é um valor que contém p% das observações abaixo dele. Os percentis de ordem 25, 50 e 75 são chamados de quartis. Os decis são os percentis de ordem 10, 20, ..., 90. p0 x 1  100  0 n  1 p 1 x n x 1 p  100. n 1 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 31. Estatística básica Medidas de Posição • Calcular o percentil de ordem 50 (2º Quartil). Q50 = mediana (são 50 dados  o Q50 está no 25º termo) X ni Acum. 1,810| 1,822 7 7 1,822| 1,834 14 21 1,834| 1,846 18 39 1,846| 1,858 7 46 1,858| 1,870 4 50 ~ x  1,834 25  21  1,846  1,834 39  21 ~ x  1,834 0,012 4  18 ~ x  1,837 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 32. Estatística básica Medidas de Dispersão ou Variabilidade As medidas de dispersão possuem a finalidade de verificar quanto os valores da série estão distantes da média da série. O principal meio de calcular a variabilidade é através da variância, que é calculada pela fórmula abaixo:  x n s  2 i 1 i x n  x n 2  i 1 n 2 i x 2 Onde n é o número de observações, x é a média e xi são os valores individuais. Esta fórmula é valida para população. Para amostra deve-se considerar n-1 ao invés de n. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 33. Estatística básica Medidas de Dispersão ou Variabilidade Exemplo: Os dados {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} apresentam qual média, variância e desvio padrão ? A sequência apresenta n=10 números. A média é igual a soma dos valores dividido pelo número de elementos. A variância e desvio padrão são calculados na sequência: 55  5,5 10 x n x i 1 2 i  12  2 2  ... 9 2  10 2  385 n xi2  s2  385  5,5 2  8,25 n 10  8,25  s  2,87 i 1  s2 x 2  Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 34. Estatística básica Medidas de Dispersão ou Variabilidade Para calcular a variância quando os dados estiverem dispostos em classes deve-se utilizar a seguinte fórmula:  x k s  2 i 1 i  2  x .ni n   x k i 1 i  2  x . fi k é o número de classes, ni é a frequência absoluta, n o número de observações e fi a frequência relativa; •Quando extraímos a raiz quadrada da variância, obtemos o desvio padrão (s). • Uma observação importante é que a variância possui as unidades dos dados individuais elevado ao quadrado, enquanto que o desvio padrão e média possuem mesma unidade. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 35. Estatística básica Medidas de Dispersão ou Variabilidade Exemplo: Calcular a variância e desvio padrão dos dados abaixo: X Freq. Absoluta 1,810|1,822 7 1,822|1,834 14 1,834|1,846 18 1,846|1,858 7 1,858|1,870 4 Iremos realizar os cálculos na forma de tabela, porque os dados ficam mais organizados e os cálculos mais fáceis de serem entendidos. Verifique que as colunas serão organizadas de acordo com a fórmula para calcular a variância.  x  x  .n k s 2  i 1 2 i i n Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 36. Estatística básica Medidas de Dispersão ou Variabilidade x xi ni xi-xm (xi-xm)2 (xi-xm)2.ni 1,810|1,822 1,816 7 -0,0024 0,00058 0,0040 1,822|1,834 1,828 14 -0,012 0,00014 0,0020 1,834|1,846 1,840 18 0,000 0,00000 0,0000 1,846|1,858 1,852 7 0,012 0,00014 0,0010 1,858|1,870 1,864 4 0,024 0,00058 0,0023 Soma 9,200 Soma 0,00936 Média (xm) 1,840 s2 0,00187 s 2  0,00187 s  0,043 CV  s x .100 %  0,043 1,840 .100 %  2,4% Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 37. Estatística básica Medidas de Dispersão ou Variabilidade Outra forma de expressar a dispersão dos dados é através do Coeficiente de Variação (CV), que é dado pela fórmula: s CV  .100% x onde s é o desvio padrão, e x é a média. • O Coeficiente de Variação dá uma indicação de quanto os dados estão dispersos em torno da média. Quanto maior o valor de CV, maior a dispersão. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 38. Estatística básica Medidas de Dispersão ou Variabilidade Exemplo: No exemplo de cálculo de variância e desvio padrão, obtivemos os valores 8,25 e 2,87 respectivamente. A média tinha resultado em 5,5 O valor do Coeficiente de Variação será: s 2,87 CV  .100 %  .100 %  52 % 5,5 x Um valor de 52% indica que os dados estão muito dispersos com relação a média. Por exemplo, os dados {5,1; 5,2; 5,3; 5,4; 5,5; 5,6; 5,7; 5,8; 5,9; 6,0} apresentam média: 5,55; desvio-padrão: 0,29 e CV = 5% (Confira!) Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 39. Estatística básica Covariância: Mede a correlação (dependência) linear entre duas variáveis x e y. É calculada como:  x n Cov( x, y )  i 1 i   x . yi  y n   x. y  x. y A covariância entre as mesmas variáveis, isto é, Cov(x, x) por exemplo, é igual a própria variância Var(x) = s2. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 40. Estatística básica  x n Cov( x, x )  i 1 i   x . xi  x n   Var( x )  s 2 • Os seguintes valores de covariância dão uma indicação se os valores são independentes, ou possuem correlação positiva ou negativa. Cov( x, y )  0 Variáveis independentes Cov( x, y )  0 Correlação linear positiva Cov( x, y )  0 Correlação linear negativa Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 41. Estatística básica Cov( x, y )  0 Cov( x, y )  0 Correlação linear positiva Correlação linear negativa Cov( x, y )  0 Variáveis independentes • Na prática quando as variáveis são independentes o valor da covariância resulta em um valor próximo de 0 (entre -3 a 3), mas não sendo estes valores fixos e, portanto, é sempre recomendável considerar o gráfico das variáveis x e y para uma avaliação conjunta. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 42. Estatística básica Exemplo: Calcular a covariância dos dados abaixo, e verifique se a correlação é positiva ou negativa. X Y 10 21 15 15 18 12 12 18 9 20 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 43. Estatística básica Solução: Sempre esboce o gráfico das variáveis X e Y para confirmar! X X.Y 10 21 210 15 15 225 18 12 18 216 9 20 180 12,8 17,2 Cov( x, y )  x. y  x. y  209,4  12,8.17,2  10,76 216 12 Média Y 209,4 A covariância resultou em um valor negativo, indicando uma correlação linear negativa que podemos confirmar pelo gráfico. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com