Análise combinatória
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Análise combinatória Presentation Transcript

  • 1. Análise Combinatória • Problemas análise combinatória são problemas de contagem.  Princípio Fundamental da Contagem – PFC (ou Princípio Multiplicativo) SE um acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se cada etapa i ocorrer de ki maneiras diferentes ENTÃO o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 2. Análise Combinatória • T = k1.k2.k3. ... ki ....kn ; i=1,2,3,...,n • Exemplo: Placa Detran 3 Letras / 4 algarismos • Alfabeto 26 letras s ; Algarismos 0..9 são 10 • T = 26.26.26.10.10.10.10 = 175.760.000 combinações s (Podem ocorrer repetição de algarismos: Por exemplo: Placa KKK-7777) Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 3. Análise Combinatória Exercício: Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto? Solução: Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente. Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC: N = 2.2.2.2.2.2 = 64 Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então que o número procurado é igual a 64 - 1 = 63. Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 4. Análise Combinatória Fatorial • Seja n um número positivo pertencente ao conjunto dos números Naturais (n  N), então n! (lê-se “ene fatorial”) é igual a: n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)...1 5! = 5.4.3.2.1 = 120 Propriedades: 0! = 1 e 1!=1 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 5. Análise Combinatória  Permutação Simples • Formado por n elementos distintos (s ) que são agrupados e diferem um dos outros pela ordem de seus elementos. (Os conjuntos obtidos são chamados de Anagramas) • Calculado por Pn = n! = n.(n-1).(n-2)...2.1, n N Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 6. Análise Combinatória Exemplo: 3 elementos {A, B, C} P3 = 3! = 3.2.1 = 6 combinações ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA => 6 Anagramas Quantos números com 5 algarismos distintos podemos formar c/ 1, 2, 3, 4, 5 : P5 = 5! = 120 Quantos são os anagramas da palavra “Cola” => A palavra possui 4 letras diferentes, logo o número de anagramas é dados por P4 = 4! = 24 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 7. Análise Combinatória O número de anagramas da palavra ESTUDAR que começam e terminam com vogal: Vamos analisar os casos: E_ _ _ _ _ U U_ _ _ _ _ E A_ _ _ _ _ E E_ _ _ _ _ A A_ _ _ _ _ U U_ _ _ _ _ A Cada um resulta em P5 = 5! Anagramas, logo no total teremos 6.5! = 6.120 = 720 anagramas s (Total de anagramas de ESTUDAR P7 = 7! = 5.040) Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 8. Análise Combinatória  Permutação com elementos repetidos • Se entre os n elementos de um conjunto existem a elementos repetidos, b elementos repetidos e assim sucessivamente, então o número total de permutações é dado por: • Calculado por a ,b ,... Pn n!  a!b!... Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 9. Análise Combinatória • Anagrama de MATEMATICA a= 2 • n = 10 letras 2 , 3, 2 P10 2x M b=3 3x A c=2 2x T 10! 10.9.8.7.6.5.4.3!    151.200 2!.3!.2! 2!.3!.2! Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 10. Análise Combinatória • Exemplo: Quantos números de cinco algarismos podemos escrever com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3, respeitadas as repetições apresentadas ? •Solução: Caso de permutação com repetição n1 2 , n 2  2 P5 5! 5.4.3.2!    30 2!.2! 2!.2! •O número de combinações possíveis será 30. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 11. Análise Combinatória  Permutações circulares • O número de permutações circulares de n elementos é dado por: • Calculado por P  (n 1)! , Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 12. Análise Combinatória Arranjos Simples • Dado um conjunto de n elementos, chama-se arranjo simples de k elementos, a todo agrupamento de k elementos distintos numa certa ordem. •Atenção: Não há repetição de elementos; a ordem dos elementos é considerada (A ORDEM É IMPORTANTE). Calcula-se o número de arranjo simples: (arranjo de n elementos tomados k a k) An ,k n!  (n  k )! Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 13. Análise Combinatória • A Permutação Simples é um caso especial de Arranjo Simples quando o número de elementos tomados k = n (tamanho do conjunto) n! n! n! An ,n     n! (n  n)! 0! 1  An ,n  Pn  n! • Problemas de Arranjos Simples também poderão ser resolvidos pelo Princípio Fundamental da Contagem. Você poderá optar por aquele processo que achar mais conveniente. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 14. Análise Combinatória • Exemplo: Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os elementos do conjunto {1, 2, 3 ,4, 5} ? A5,3 • ou: 5! 5! 5.4.3.2!     60 (5  3)! 2! 2! T  5.4.3  60 pelo Princípio Fundamental da Contagem Portanto, poderemos formar 60 números com três algarismos distintos. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 15. • Exemplo: Análise Combinatória Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras diferentes que eles podem sentar-se em uma mesma fila de modo que as moças fiquem todas juntas é igual a: • Solução: São 5 lugares e as moças ficam sempre juntas (A ORDEM É IMPORTANTE) •1 caso: M M H H H : 3! = 3.2.1 = 6 opções para os rapazes (A3,3=3!=6) •2 caso: H M M H H : 3! = 3.2.1 = 6 opções para os rapazes (A3,3=3!=6) •3 caso: H H M M H : 3! = 3.2.1 = 6 opções para os rapazes (A3,3=3!=6) •4 caso: H H H M M : 3! = 3.2.1 = 6 opções para os rapazes (A3,3=3!=6) •Devemos lembrar agora que são 2 mulheres, então elas poderão revezar de lado (2 opções = A2,2 = 2! = 2). • Logo o número de combinações será: 4x6x2 = 48 maneiras s de sentar. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 16. Análise Combinatória • Exemplo: O número de maneiras diferentes que três rapazes e duas moças podem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as moças fiquem todas juntas é igual a: •Solução: São 5 lugares e SOMENTE as moças ficam sempre juntas • Temos somente os seguintes casos: •1 caso: H M M H H : 3! = 3.2.1 = 6 opções para os rapazes •2 caso: H H M M H : 3! = 3.2.1 = 6 opções para os rapazes •Devemos lembrar agora que são 2 mulheres, então elas poderão revezar de lado (2 opções). • Logo o número de combinações será: 2x6x2 = 24 maneiras s de sentar. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 17. Análise Combinatória • Com os algarismos 0, 1, 2, 5 e 6 sem os repetir, quantos números compreendidos entre 100 e 1.000 poderemos formar ? • Os números serão de 3 algarismos • Não pode haver repetição => a ordem é importante (ARRANJO SIMPLES) • Núm. Iniciados por 1: 1_ _ => A4,2 = 12 • Núm. Iniciados por 2: 2_ _ => A4,2 = 12 • Núm. Iniciados por 5: 5 _ _=> A4,2 = 12 • Núm. Iniciados por 6: 6 _ _=> A4,2 = 12 • O NÚMERO TOTAL É 4.12 = 48 •RESOLVENDO PELO PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM: T = 4.4.3 = 48  Na 1ª opção temos 4 opções (não pode ser zero), na 2ª opção temos 4 opções (3 + 1 do zero), 3ª opção temos 3 /(2 + 1 doContato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com Aulas de Matemática / Física Química – zero).
  • 18. Análise Combinatória • Exemplo: Quantos números entre 30.000 e 65.000 distintos com os algarismos {2, 3, 4, 6, 7} podemos formar ? •Solução: A ORDEM É IMPORTANTE => ARRANJO SIMPLES •Para resolvermos o problema fica mais fácil separar dos números em duas faixas: de 30.000 a 60.000 e de 60.000 a 65.000 porque não é possível impor uma restrição para o segundo dígito sem incorrer com a perda de combinações de números {6, 7} no 2º dígito. •Primeiro iremos resolver pelo PFC e depois pela fórmula de Arranjo Simples: •Temos 5 algarismos que devem ser distintos entre 30.000 e 60.000 •Se não tivéssemos a condição do intervalo teríamos a seguinte condição: Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 19. Análise Combinatória •1º algarismo: 5 opções (temos 5 opções de números) •2º algarismo: 4 •3º algarismo: 3 •4º algarismo: 2 •5º algarismo: 1 • Contudo para obedecer à condição de estar entre 30.000-60.000 os números possíveis para o 1º algarismo são {3, 4}, ou seja, 2 opções. Então para a faixa de 30.000-60.000 podemos formar T1=2x4x3x2x1=48; • Para a faixa 60.000-65.000, aplicando o mesmo princípio, ficaríamos: Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 20. Análise Combinatória •1º algarismo: 5 opções •2º algarismo: 4 •3º algarismo: 3 •4º algarismo: 2 •5º algarismo: 1 • Contudo para obedecer à condição de estar entre 60.000-65.000 o único número possível para o 1º algarismo é {6}, portanto 1 opção. O segundo algarismo somente pode comportar {2, 3, 4}, portanto 3 opções. Logo para a faixa de 60.000-65.000 podemos formar T2=1x3x3x2x1=18; • Por fim, ficamos com um total de T1 + T2 = 48 + 18 = 66 formas diferentes. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 21. Análise Combinatória •Resolvendo por fórmula também devemos fazer a separação das duas faixas: • Na primeira faixa ficamos: A5,5 – 3.A4,4 {devido aos números 2, 6, 7} que ficaram no 1º algarismo; •Na segunda faixa ficamos: A4,4-A3,3 {devido o número 7 que pode ocorrer no 2º dígito} •No total ficamos com: A5,5 – 3.A4,4 + A4,4-A3,3 = 5! – 2.4! – 3! = 120 - 48 6 = 66 •Pelo PFC fica muito mais fácil resolver problemas de arranjo simples e fazer os cálculos! Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 22. Análise Combinatória • Exemplo: Sete modelos entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas de quatro modelos. Além disso, a última da fila podem ser somente Ana, Beatriz, Carla, Denise e a Denise não pode ocupar o primeiro lugar da fila. Quantas combinações diferentes podemos formar de modo que as filas fiquem todas distintas ? •Solução: A ORDEM É IMPORTANTE => ARRANJO SIMPLES •Neste exemplo devemos notar que em 3 casos teremos como restrição o fim da fila podendo ser formado pela Ana, Beatriz e Carla e a 1ª não sendo a Denise. No 4º caso teremos a Denise em último lugar e nenhuma restrição para o 1º lugar. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 23. Análise Combinatória •Pelo PFC temos: • 1º lugar: 6 opções • 2º lugar: 5 • 3º lugar: 4 •No 1º lugar devemos tirar 1 opção para evitar que a Denise a ocupe. Portanto, Temos 5x5x4 = 100 combinações. Para 3 casos serão 300 combinações; •No 4º caso teremos 6 opções e 3 lugares, então 6x5x4 = 120; •Portanto, no total formaremos 420 filas diferentes. •Por fórmula ficaremos com: 3x(A6,3 - A5,2)+A6,3 = 3x(120 - 20)+120 = 420. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 24. Análise Combinatória  Arranjo com Repetição • O número de arranjos com repetição de n elementos k a k é dado por: * n,k A n k Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 25. Análise Combinatória  Arranjo com Repetição Uma placa de motocicleta contenha duas letras distintas do alfabeto completo, seguida por três dígitos. Quantas placas diferentes podem ser impressas ? * 10, 3 A26, 2 . A 26! 3 3  .10  26.25.10  650.000 24! Pelo PFC: 26.25.10.10.10 = 650.000 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 26. Análise Combinatória  Combinação Simples • É a combinação de n elementos distintos tomados k a k aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos. São agrupamentos onde a ordem com que os elementos comparecem não é considerada. •Exemplo: Seja o conjunto formado por {a, b, c, d} •O número de combinações tomados 2 a 2: • {ab, ac, ad, bc, bd, cd} Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 27. Análise Combinatória  Combinação Simples •Exemplo: Seja o conjunto formado por {a, b, c, d} •O número de combinações tomados 3 a 3: • {abc, abd, acd, bcd} • O número de combinações tomados 4 a 4: • {abcd} * Repare que agora, se mudarmos a posição dos elementos em um agrupamento não obteremos um novo agrupamento. Isto é a dupla ab é igual à dupla ba. Ou seja, A ORDEM NÃO É IMPORTANTE! Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 28. Análise Combinatória  Combinação Simples • É calculado como: Cn,k  n n!    (n  k )!k!  k    •Exemplo: C10, 2 10! 10! 10 .9.8! 10 .9      45 (10  2)!2! 8!.2! 8!.2.1 2 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 29. Análise Combinatória  Combinação Simples n, • Macete: C n , k  k números em cima dede e k números embaixo k n  n    k  n  k       C10, 2 C10,8 kn 10.9   45 2.1 10  10         C10, 2  45 8 2     Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 30. Análise Combinatória • Exemplo: Em uma prova de 15 questões o aluno deve resolver 10 questões. De quantas formas pode escolher as 10 questões: •Obs.: A ordem não é importante => Combinação Simples C15,10 n! 15! 15!    (n  k )! k! (15  10 )!10! 5! ! 10 C15,10 15! 15.14.13.12.11.10!    3.003 5! ! 10 5.4.3.2.1.10! Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 31. Análise Combinatória • Exemplo: Quantas comissões formadas de 4 elementos cada uma podemos formar com 10 alunos de uma classe ? •Obs.: A ordem não é importante => Combinação Simples C10, 4 10! 10! 10 .9.8.7.6!     210 (10  4)!4! 6!4! 6!4.3.2.1 C10, 4 10.9.8.7   210 4.3.2.1 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 32. Análise Combinatória • Exemplo: Uma organização dispõe de 10 economistas e 6 administradores. Quantas comissões de 6 pessoas podem ser formadas de modo que cada comissão tenha no mínimo 3 administradores ? •Obs.: A ordem não é importante => Combinação Simples Teremos que considerar as seguintes considerações:  3 Adm. e 3 Econ. : C6,3 x C10,3 = 20. 120 = 2.400  4 Adm. e 2 Econ. : C6,4 x C10,2 = 15. 45 = 675  5 Adm. e 1 Econ. : C6,5 x C10,1 = 6.10 = 60  6 Adm. e 0 Econ.: C6,6 x C10,0 = 1.1 = 1  Logo o total de comissões que poderemos formar será então: 2.400 + 675 + 60 + 1 = 3.136 comissões Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 33. Análise Combinatória • Exemplo: Em um grupo de dança participam dez meninos e dez meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças que podem ser formadas de modo que em cada um dos grupos participem três meninos e duas meninas é dado por: Solução: Observe que a não é dito como os meninos ou meninas serão escolhidos, somente o número de cada. Neste caso, temos que a ORDEM NÃO É IMPORTANTE!. Logo, é COMBINAÇÃO SIMPLES. Devemos formar um grupo de 5 com 3 meninos e 2 meninas: Logo: C10,3 x C10,2 = 10.9.8 10.9 .  120.45  5.400 3.2.1 2.1 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 34. Análise Combinatória  Combinação Simples Resolva a equação C19,x = 3.C19,x-1 C19, x  3.C19, x 1 19! 19!  3. (19  x)! x! [19  ( x  1)]! ( x  1)! 19! 19!  3. (19  x)! x! [19  ( x  1)]! ( x  1)! Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 35. Análise Combinatória  Combinação Simples 19! 19!  3. (19  x)! x.( x  1)! (20  x).(19  x)! ( x  1)! 1 1  3. x 20  x 20  x  3x  4x  20 x  5 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 36. Análise Combinatória  Combinação Simples O valor de Cn,0 + Cn,1+ Cn,2 + ...+ Cn,n-1 com nN* :  n   n   n  1 Relação de Stifel    k   k  1   k  1           n  n  n  n   n Triângulo n          ...   0  1  2  n  1   n   2    de Pascal           Cn,0 + Cn,1+ Cn,2 + ...+ Cn,n-1 = 2n - 1 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 37. Análise Combinatória  Combinação Simples – Com REPETIÇÃO • O número de combinações com repetição de n elementos k a k é dado por: C * n,k  Cn k 1,k  n  k  1 (n  k  1)!     (n  1)!k! k   Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com
  • 38. Análise Combinatória  Combinação Simples – Com REPETIÇÃO • Exercício: De quantas maneiras, uma oficina pode pintar 5 automóveis iguais, recebendo cada um, tinta de uma única cor, se a oficina dispõe apenas de 3 cores e não quer misturálas ? •Solução: Como são 5 automóveis iguais, a ordem que irão pintar eles não importa (Combinação Simples). Necessariamente irá ocorrer repetição de cor, pois são 5 carros e apenas 3 cores: C * 3, 5  C351,5  C7 ,5  C7 , 2 7.6   21 2.1 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 9-8126-2831  horacimar@gmail.com