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Razão áurea

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Transcript

  • 1. A Razão Áurea A História de FI, um número surpreendente
  • 2. O Livro  Autor: Mário Livio  Editora: Record  Idioma: Português  Nº de Páginas: 333  Edição: 2006  Preço: 48 reais (www.livifusp.com.br)
  • 3. Estrutura 9 capítulos  1: Prelúdio para um Número  2: O Tom e o Pentagrama  3: Sob uma Pirâmide que Aponta para a Estrela Y  4: O Segundo Tesouro  5: Filho da Boa Natureza  6: A Proporção Divina  7: Pintores e Poetas têm a Mesma Licença  8: Dos Ladrilhos aos Céus  9: Será que Deus é um Matemático?
  • 4. O Número FI  Existem diversas definições matemáticas para FI, ao lado as mais conhecidas.  A seguir uma aproximação um pouco melhor para FI.
  • 5. Uma Aproximação Melhor 1.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596
  • 6. FI na Geometria A razão entre (a+b) e a é a mesma encontrada entre a e b.
  • 7. O Retângulo Áureo  Chamamos de retângulo áureo aqueles onde a razão entre os dois lados diferentes é FI.  No exemplo temos que A/B = FI.
  • 8. Construindo o Retângulo Áureo
  • 9. O Pentagrama e a Razão Áurea  No pentagrama encontramos a razão áurea entre diversos segmentos, um deles está exemplificado ao lado.
  • 10. Filho da boa Natureza “Os nove números indianos são: 987654321. Com esses números e com o signo 0, qualquer número pode ser escrito, como está demonstrado abaixo” Leonardo de Pisa (1170-1240)
  • 11. Todos os pensamentos de um coelho são coelhos Um homem pos um par de coelhos num lugar cercado por todos os lados por um muro. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir deste par em um ano se, supostamente, todo mês cada par dá a luz a um novo par, que é fértil a partir do segundo mês?
  • 12. COELHOS
  • 13. A seqüência de Fibonacci  Definimos a Seqüência de Fibonacci como descrito a seguir. (um termo qualquer da seqüência é atingido somando-se os dois termos anteriores)
  • 14. Fibonaccis Áureos 1 1 1,00000000000000 2 2,00000000000000 3 1,50000000000000 5 1,66666666666667 8 1,60000000000000 13 1,62500000000000 21 1,61538461538462 34 1,61904761904762 55 1,61764705882353 89 1,61818181818182 144 1,61797752808989 233 1,61805555555556 377 1,61802575107296 610 1,61803713527851 987 1,61803278688525 1597 1,61803444782168 2584 1,61803381340013 4181 1,61803405572755 6765 1,61803396316671 10946 1,61803399852180 17711 1,61803398501736 28657 1,61803399017560 46368 1,61803398820532
  • 15. Fibonaccis Áureos
  • 16. Fibonacci e a Razão Áurea
  • 17. Fibonacci e o Retângulo Áureo
  • 18. 1/89 0,01 0,001 0,0002 0,00003 0,000005 0,0000008 0,00000013 SOMA = 1/89
  • 19. Aplicações de FI  Podemos encontrar a razão áurea em diversas áreas das nossas vidas, em geral relacionamos essa razão a beleza e equilíbrio.  A seguir mostraremos a razão áurea, em particular o retângulo áureo, sendo aplicada na arquitetura, pintura e escultura do mundo clássico e do atual.
  • 20. O FI na Arquitetura (Grécia) Os gregos já usavam o retângulo áureo em suas construções mais importantes, o Partenon é um exemplo claro disso.
  • 21. O FI na Arquitetura (Egito) Encontramos a razão áurea nas pirâmides do Egito.
  • 22. O FI na Arquitetura (Paris) Encontramos a razão áurea em diversas proporções da igreja de Notre-Dame, em Paris.
  • 23. O FI na Arquitetura (New York) Encontramos o retângulo áureo no prédio da ONU, em Nova Iorque.
  • 24. O FI na Arquitetura (Canadá) No Canadá encontramos o FI na torre CN, em Toronto.
  • 25. O FI em Pinturas Clássicas  Leonardo da Vinci, assim como muitos outros artistas Clássicos, usou vastamente a razão áurea em suas obras.  A seguir veremos alguns exemplos da razão áurea sendo usada em obras por diversos artistas.
  • 26. No famoso quadro Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, o retângulo áureo aparece diversas vezes. Note que as proporções do próprio quadro seguem a razão áurea nesse caso.
  • 27. Neste quadro, também de Da Vinci, podemos usar o retângulo áureo para enquadrar a mulher ou anjo, colocando-o para a esquerda da pintura ou para a direita. O que sobra é um quadrado.
  • 28. A belíssima Vênus, ou Afrodite, deusa da beleza em um quadro que retrata o mito de seu nascimento. Repare que suas proporções seguem aquelas do retângulo áureo nessa pintura de Bouguereau.
  • 29. Aqui estão apenas alguns exemplos de onde encontramos o retângulo áureo nessa pintura.
  • 30. Outros exemplos: Pintura de Raphael, onde encontramos o pentágono e suas razões áureas.
  • 31. O FI na Fotografia  Uma famosa técnica de fotografia é colocar o foco da foto em um ponto que é encontrado usando a razão áurea, como ilustrado ao lado.  A seguir algumas fotos que usam esse principio.
  • 32. O FI no Design Tecnológico  Podemos encontrar diversos exemplos do FI sendo usado para fazer o design de objetos tecnológicos.  Exemplos disso são os nossos cartões de crédito, carteirinha USP, bilhete único e cartões de seguro saúde.  A seguir veremos mais alguns exemplos da razão de ouro sendo usada em design tecnológico.
  • 33. O FI na Natureza  Encontramos o FI em diversos lugares da natureza, nos animais, nas plantas e até mesmo em nossos corpos.  A seguir mostraremos diversos exemplos que podem ser encontrados na natureza.
  • 34. O retângulo de ouro pode ser encontrado na concha do Nautilus, veja o esquema abaixo, que mostra o espiral da concha limitado pelo retângulo áureo. Também encontramos a espiral no rabo do camaleão.
  • 35. Outras conchas:
  • 36. O corpo de diversos animais também apresenta a razão áurea:
  • 37. O abacaxi também esconde a razão áurea no número de segmentos seguindo cada uma de espirais, atenção na animação ao lado.
  • 38. 34/21 = 1.690476
  • 39. O FI no Corpo Humano  O corpo humano apresenta inúmeras proporções muito próximas da razão áurea. Em geral consideramos bonitas as pessoas com esse tipo de proporção, a seguir faremos um pequeno estudo dessas pessoas.
  • 40. Os dentes e a Razão Áurea  Na foto abaixo podemos ver que a razão áurea aparece nesse lindo sorriso. A beleza desse sorriso está em parte associada a essa razão, cor, contraste e tamanho também são considerados, é claro.
  • 41. Mais alguns exemplos
  • 42. O Rosto Humano  A seguir veremos algumas proporções áureas encontradas no rosto humano.  Inicialmente mostraremos alguns casos soltos, e depois faremos uma análise mais cuidadosa de 4 casos diferentes, escolhidos completamente ao acaso, duas mulheres e dois homens.
  • 43. Jennifer Aniston
  • 44. Angelina Jolie
  • 45. Eis um exemplar ideal da espécie... Se perguntando qual a razão disso?
  • 46. Entende? Quer ver outro?
  • 47. Eis outro exemplar magnífico da espécie, já sabe porque?
  • 48. Essa é a razão.. Entende? A razão!
  • 49. Curiosidades sobre o Fi  Sabia que a proporção de abelhas fêmeas e zangões em uma colméia é muito próxima de FI?  A figura ao lado passa uma idéia do porque disso.
  • 50. Uma ampliação do esquema das abelhas..
  • 51. O FI na Bíblia  A arca de Noé é descrita na bíblia como um colóide de 300 cúbitos por 50 cúbitos por 30 cúbitos (comprimento, largura e altura da arca). Então sua frente é um cubo de 50x30, aproximadamente FI.  Outra arca bíblica apresenta a razão FI, a arca da aliança, que guardaria as tábuas dos dez mandamentos é descrita na bíblia como uma arca de 2.5 x 1.5 x 1.5 (em cúbitos). Logo percebemos que sua base e sua frente são retângulos áureos.
  • 52. O Lado Mau de FI  Encontra-se também o número FI a partir do número da besta (mais uma referência bíblica).  O número da besta é 666. sen(666) = -0.809016994... Note que isso é metade do FI negativo: sen(666)*(-2)=1.61803...
  • 53. A Lei de Benford  A Lei de Benford cita que a probabilidade de algum digito ser o primeiro de um número em dados da vida real (como a primeira página de um jornal) segue uma regra.  Em essência a regra pode ser definida como a tabela ao lado.  Você consegue encontrar FI nesses dados? d p 1 30.1% 2 17.6% 3 12.5% 4 9.7% 5 7.9% 6 6.7% 7 5.8% 8 5.1% 9 4.6%
  • 54. O FI na Música  O tempo de uma música pode ser visto como uma razão, por exemplo a razão entre os tempos de batidas de bumbo e caixa de uma bateria por exemplo.  Em algumas de suas sinfonias Ludwig Van (Beethoven para os íntimos) usou a razão áurea na marcação do tempo. Encontramos a razão em sua quinta e nona sinfonias.  Max Roach, baterista de Jazz também usou FI em alguns de seus solos.