[1] O documento discute sistemas de partículas, centro de massa, momento linear, conservação do momento linear e tipos de colisões. [2] Aborda o conceito de centro de massa para sistemas com duas ou mais partículas e sua aplicação em corpos rígidos e maciços. [3] Explica que o momento linear total de um sistema é conservado quando não há forças externas atuando, o que é ilustrado com exemplos de colisões elásticas e inelásticas em uma e duas dim

1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E TECNOLÓGICO
CURSO DE ENGENHARIA FLORESTAL
CAMPUS MARABÁ
FÍSICA GERAL I
Profº André Scheidegger Laia

2. AULA 8
Sistemas de partículas e Colisões
Centro de massa e sistemas de partículas
Corpos rígidos
Lei de Newton para sistemas de partículas
Momento linear
O momento linear de um sistema de partículas
Conservação do momento linear
Colisões
Impulso e momento linear
Colisões elásticas
Colisões inelásticas
Colisões em duas dimensões

3. Quem nunca viu!

4. Sistemas de partículas
• Em física temos um importante ponto de analise e
que tem grande aplicação na resolução de muitos
problemas físicos.
• Este ponto é o centro de massa. Um ponto
imaginário que representa uma posição em um
corpo na qual toda a massa pode ser condensada e a
partícula ainda pode se comportar do mesmo modo
e inclusive seguir a mesma trajetória.

5. Centro de massa
• Se considerarmos o nosso sistema constituído por
duas partículas de massa m1 e m2 estando m1 na
origem do eixo x e separada de m2 por uma distancia
d. Por definição o centro de massa será:

6. Centro de Massa
Se a massa m1 não estiver na origem do eixo x, o centro
de massa passa a ser representado por:
Podemos ainda substituir m1 e m2 por M:

7. Centro de Massa
• O sistema ainda pode ser formado por n
partículas todas em posições diferentes ao
longo do eixo x. Neste caso:

8. Centro de Massa
• Se as n partículas estiverem distribuída em três dimensões, a
posição do centro de massa deve ser especificada por três
coordenadas.

9. Vetor posição do Centro de Massa
• Usando vetores para representar a posição da partícula em 3D
o vetor posição do centro de massa passa a ser:
• O que simplificando é:

10. • Objetos comuns como um martelo, um machado, um prego
ou qualquer outro objeto é uma junção de “bilhões” de
átomos que se comportam cada como uma partícula
minúsculas do sistema (objeto) que são distribuídas de forma
contínua.
• Neste caso cada partícula possui massa infinitesimal dm e no
lugar de uma somatória agora iremos integrar essa partículas.
• onde M é a massa do objeto.
Corpos Maciços

11. Corpos Maciços
• Fazer este calculo para objetos comuns como TV, mesa,
cadeira, machado, etc, se tornaria muito difícil e trabalhoso,
daí a necessidade de considerarmos apenas objetos uniformes
onde a massa especifica (densidade = ) é a mesma para
qualquer partícula e também para o objeto como um todo.
• Onde dV é o volume ocupado por uma partícula de massa dm
e V é o volume total do objeto.

12. Eixo de simetria
• Se o corpo possuir algum eixo de simetria o trabalho é
reduzido sendo que o centro de massa se encontra sobre este
eixo de simetria.

13. Exemplo

14. A segunda lei de Newton para
sistemas de partículas
• Na colisão de duas partículas tais como duas bolas de sinuca, ocorre
freqüentemente situações diferentes. As bolas seguem em linha reta,
se dirigem para direções diferentes, uma para e a outra passa a se
mover...
• Porem nestes casos algo que não muda e permanece constante é a
velocidade do centro de massa, uma vez que após a tacada o sistema
não sofre influencia de nenhuma força externa e as forças internas se
anulam (desconsiderando o atrito).
• Embora seja um ponto imaginário, o centro de massa move-se como
uma única partícula cuja massa é igual à massa total do sistema,
podendo ser associado a este uma posição, uma velocidade e uma
aceleração.

15. A segunda lei de Newton para
sistemas de partículas
• Considerando a massa do sistema igual a M e
a aceleração deste ponto igual a acm , a
resultante das forças externas será:
• E em relação aos três eixos de coordenadas
temos:

16. Caso semelhante ao da colisão de
duas bolas de sinuca acontece também
com a explosão de fogos de artifícios. Se
lançado em uma trajetória parabólica
como na figura ele tenderá a permanecer
na trajetória caso não exploda, porem as
forças envolvidas na explosão são forças
internas ao sistema realizada por parte do
sistema sobre outras, portanto mesmo
após a explosão o centro de massa dos
fragmentos do foguete segue a trajetória
normalmente sendo influenciados apenas
pela força g.
A segunda lei de Newton para
sistemas de partículas

17. Exemplo

18. Momento Linear
• Em física momento linear de uma partícula é uma grandeza
vetorial  definida através da equação:
onde m é a massa e V a velocidade da partícula.
Sua unidade no SI é o (kg . m/s)
• Derivando essa expressão temos que:
• Isso nos comprova que aplicando uma força sobre uma
partícula provocamos uma variação em seu momento.

19. Momento linear de um sistema de
partículas
Considerando um sistema constituído por n partículas
cada uma com massa, velocidade e momento
próprios e sujeitas tanto a forças internas como
externas. Podemos representar o momento linear
total destas partículas por P.
Lembramos porem que esta expressão pode ser
reduzida a:

20. Momento linear de um sistema de
partículas
• Derivando a expressão anterior temos que:
• O que retorna a Lei fundamental da dinâmica.

21. Colisões
O momento de uma partícula só pode sofrer
variação com a ação de uma força externa. Em
colisões com outros corpos (alvos) a partícula
(projétil) é sujeita a uma força de curta duração e de
grande intensidade.

22. Colisões Simples
• Em colisões simples tais como a de uma bola em um taco de
beisebol, onde a colisão dura poucos instantes mas é
suficiente para inverter o movimento do projétil. A força
responsável pela variação do movimento e
conseqüentemente do momento muda de intensidade
durante a colisão e pode ser definida como:
Como a força é variável durante a colisão
podemos determiná-la integrando a expressão:

23. Colisões Simples
• Esta expressão nos mostra que a variação do momento entre
os instantes i e f são iguais tanto a intensidade quanto a
duração da força da colisão, conhecido como impulso (J).
ou
• Calculando a força média com a qual a colisão acontece temos
que o impulso será:

24. Colisões em Série
Em diversas colisões com projeteis de momentos iguais sobre
um mesmo alvo é certo que o impulso total destes projeteis
no intervalo de tempo t é n.p. Pela 3ª lei de Newton a força
a que o alvo é submetido tem modulo igual a dos projeteis e
portanto o impulso sofrido pelo alvo também é igual ao dos
projeteis porem com sentido oposto:
Combinando as duas ultimas equações temos que:

25. Colisões em Série
• Se os projeteis param após a colisão a variação da velocidade
é:
v = Vf – Vi = 0 – V = -V
• Se porem o projétil ricocheteia e volta com a mesma
velocidade em sentido oposto a variação da velocidade é:
v = Vf – Vi = -V – V = - 2V
• Num intervalo de tempo t há a colisão de n projeteis de
massa m, sendo m = nm a variação desta massa no decorrer
do tempo. Sendo Fméd :

26. Conservação do momento linear
• Se um sistema de partículas não está submetido a nenhuma
força externa, o momento linear total P do sistema não pode
variar. Ou seja em um sistema isolado o momento se
conserva.
EXEMPLO:

27. Momento e Energia Cinética em
Colisões (elásticas)
• Em uma colisão elástica o momento total do sistema é
conservado de tal forma que tendo um sistema fechado e
isolado de forças externas, podemos admitir que em todo o
percurso o momento total sempre será o mesmo. Neste caso
o projétil retorna com a mesma velocidade que estava antes
do choque. E não tendo outra força dissipativa envolvida,
nenhuma energia é perdida e a energia cinética também se
conserva.
• Em colisões perfeitamente elásticas temos que:

28. Momento e Energia Cinética em
Colisões (inelásticas)
• Já em colisões inelásticas o momento total é conservado, porem parte da energia
do sistema é dissipada, de forma que parte da energia cinética sempre é
transformada em outra forma de energia tal como térmica, sonora, etc.
• Quando parte da energia cinética do projétil é perdida na colisão e os corpos ficam
unidos com a mesma velocidade chamamos de colisões perfeitamente inelásticas.

29. EXEMPLO

30. Colisões projétil & alvo
• Com alvo estacionário:
• Alvo em movimento:

31. Colisões em duas dimensões
• Nem sempre as colisões são frontais, e não sendo frontal a
direção do movimento depois do choque não é igual a direção
de antes, porem mesmo assim, sendo um sistema isolado de
forças externas o momento das partículas são conservados e a
colisão agora é bidimensional.

32. Colisões em duas dimensões
• Note que as partículas após a colisão formam
ângulos 1e 2 com o eixo x, sendo a componente
momento no eixo x:
• E no eixo y:
• Podemos ainda ter a equação da energia cinética
dada pela expressão:

33. Problemas

34. Problemas