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A closed-loop method for the development of an optimal shape of an injection cam ...

A closed-loop method for the development of an optimal shape of an injection cam
for a common rail injection system of a large-bore Diesel engine is presented.
Es wird ein geschlossenes Verfahren zur Entwicklung einer optimalen Kontur einer
Einspritznocke für ein Common-Rail-Einspritzsystem für Großdieselmotoren vorgestellt.

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Entwicklung von optimalen Nockenkonturen, Development of optimal cam shapes Entwicklung von optimalen Nockenkonturen, Development of optimal cam shapes Document Transcript

  • HAUS DER TECHNIK INSTITUT FÜR MOBILE SYSTEME Außeninstitut der RWTH Aachen Kooperationspartner der Universitäten Duisburg-Essen Münster - Bonn - Braunschweig 7. Tagung Diesel- und Benzindirekteinspritzung 1. und 2. Dezember 2010 Unter der wissenschaftlichen Leitung von Prof. Dr.-Ing. Dr. h.c. Helmut Tschöke Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Veranstaltungsort Berlin Hotel Sol Meliá Friedrichstraße 103www.hdt-automotive.de FB030/24610N
  • Tschöke, HelmutDiesel- und Benzindirekteinspritzung, VI:Einspritzqualität – Gemischbildung – Simulation – Applikation – MesstechnikUnt. Mitarb. v. 104 Ko-Aut. 2011, 377 S., 328 Abb., 20 Tab. (HdT, 116) Kt.69,00 €, 114,00 CHFISBN-13: 978-3-8169-3052-5www.uni-magdeburg.de/ims/kmhttp://www.hdt-essen.de/
  • Autoren:Dipl.-Ing. (FH) Hendrik Große-Löscher, MAN Diesel & Turbo SE, AugsburgDr.-Ing. Heiner Haberland, Volkswagen AG, WolfsburgHendrik Große-Löscher ist Entwicklungsingenieur im Bereich Einspritzsysteme undbefasst sich neben der Optimierung von Bauteilen, Verfahren und Prozessen mittelsPartikelschwarmoptimierung mit neuronalen Netzen, DoE sowie 1D-Hydraulik- undPneumatiksimulation.Heiner Haberland war Entwicklungsingenieur im Bereich Einspritzsysteme der MANDiesel SE und befasste sich neben der 1D-Hydrauliksimulation mit DoE und Bauteil-,Prozess- und Verfahrensoptimierung. Seit kurzem ist er im BereichMethodenentwicklung bei der Volkswagen AG tätig.
  • Entwicklung von optimalen NockenkonturenHendrik Große-LöscherHeiner HaberlandAbstractA closed-loop method for the development of an optimal shape of an injection camfor a common rail injection system of a large-bore Diesel engine is presented. Due tothe demanded fuel flow rate of the engine, a three-loop cam is necessary. The op-timal shape of the cam results of a multitude of criteria, constraints and optimizationaims. A stepwise resolution of 0.5° rotation angle of the cam shape is required due tomanufacturing demands. One single cam shape consists of 120° rotation angles.Thus, the calculation of the optimal cam shape comprises 241 nodes. The methoddescribed aims to develop an optimal cam shape depending on all criteria and con-straints. Due to the huge number of constraints as well as the complex calculations,the application of a particle swarm optimization (PSO) algorithm is proposed. An op-timal cam shape complies to all demands required at each single node. Therefore, aloose lifting curve without any additional conditions applying, such as e.g. linear ve-locity profiles, is created. Following this procedure, all potentials are best exploited.Each node of the cam shape is basically independent of all other nodes within thechosen demands and constraints. The nodes are thus treated as independent para-meters. The procedure described generates optimal cam shapes.KurzfassungEs wird ein geschlossenes Verfahren zur Entwicklung einer optimalen Kontur einerEinspritznocke für ein Common-Rail-Einspritzsystem für Großdieselmotoren vorge-stellt. Aufgrund des Fördermengenbedarfs des Motors ist ein Dreifachnocken erfor-derlich. Die optimale Kontur des Nockens ergibt sich aus einer Vielzahl von Kriterien,Randbedingungen und Optimierungszielen. Für die Fertigung wird eine Auflösungvon 0,5° Nockendrehwinkel gefordert. Eine Nockenkontur überstreicht 120° Nocken-drehwinkel. Somit ergeben sich für die Berechnung der Kontur 241 Stützstellen. DasZiel ist die Entwicklung einer optimalen Kontur des Nockens, abhängig von allen Kri-terien und Beschränkungen. Aufgrund der Vielzahl dieser Randbedingungen und deskomplexen Berechnungsgangs bietet sich die Verwendung eines Algorithmus derPartikelschwarmoptimierung (PSO) an. Eine optimale Nockenkontur erfüllt die Anfor-derungen an jeder einzelnen Stützstelle. Es wird daher eine freie Hubkurve ohne zu-sätzliche Bedingungen (z.B. lineare Geschwindigkeitsverläufe) erstellt. So werdendie Potentiale maximal ausgeschöpft. Jede Stützstelle der Nockenkontur ist damitgrundsätzlich innerhalb der gewählten Anforderungen und Beschränkungen unab-hängig von allen anderen. Sie werden somit als unabhängige Parameter verwendet.Das vorgestellte Verfahren liefert optimale Nockenkonturen. 129
  • 1. EinleitungNocken sind die mechanischen Steuerorgane des Verbrennungsmotors. Sie bestim-men den Zeitpunkt und die Charakteristik des Öffnens und Schließens der Gaswech-selventile sowie ebenso den Zeitpunkt und die Charakteristik der Förderung der Ein-spritzpumpen.In einem konventionellen Einspritzsystem steuert der Nockenhubverlauf direkt denEinspritzverlauf und bestimmt damit den Verbrennungsablauf mit allen Auswirkungenauf die Motorbetriebswerte und Emissionen. Die Nockenkontur wird dabei entspre-chend den Anforderungen der Motorthermodynamik gestaltet.Im Common-Rail-Einspritzsystem dienen die Einspritz-/Hochdruckpumpen aus-schließlich der Förderung des Kraftstoffs und der Druckerzeugung. Die Förderung istvon der Einspritzung zeitlich entkoppelt. Damit besteht für die Auslegung der Ein-spritznocken zusätzlich die Randbedingung, dass pro Pumpenkolben ein möglichsthoher Förderstrom (Leistungsdichte → Pumpenanzahl) erzeugt werden muss. BeimCommon-Rail-System der MAN Diesel & Turbo SE wird dem Rechnung getragen,indem für jede Einzel-Hochdruckpumpe ein Dreifachnocken verwendet wird, welcherpro Nockenwellenumdrehung drei Förderhübe ausführt. Generell gilt im Großmoto-renbau die Forderung nach einer sehr langen Betriebsdauer, die im Fall der Nockengleich der Motorlebensdauer ist und durchaus einige Jahrzehnte mit hohem Lastprofilbetragen kann. Die Auslegung der Nockenkontur unterliegt mit diesen Maßgaben inbesonderer Weise Kriterien wie beispielsweise der maximalen Flächenpressung, derAbhebe-Grenzdrehzahl, der maximalen Beschleunigung und der maximalen Quer-kraft.Bisherige Auslegungsverfahren für CR-Einspritznocken benötigen eine Einteilung derNockenkontur in verschiedene Abschnitte und die Vorgabe verschiedener Ge-schwindigkeiten und/oder Beschleunigungen für diese Abschnitte. So sind harmoni-sche Nocken mit einem einzigen Sinus-Geschwindigkeitsprofil aber auch Nocken mitmehreren Abschnitten unterschiedlicher aber konstanter Beschleunigungen undKombinationen daraus bekannt. Für Motoren mit immer gleicher Drehrichtung sindauch asymmetrische Nockenformen möglich. Der Nachteil der Vorgabe eines Profilsist, dass nicht in jedem Punkt die durch die Randbedingungen gegebenen Möglich-keiten ausgeschöpft werden können.Die Anzahl der Anforderungen und Randbedingungen an die Nockengestaltung stelltein multikriterielles Problem dar. Da diese durch viele gestalterische Parameter be-stimmt werden, ist die Nockenauslegung hochdimensional. Damit sind Optimierungs-verfahren zur Suche eines optimalen Nockens zielführend.Die für die Nockenberechnung verwendeten Gleichungen und vor allem deren Be-grenzungen sind im Zusammenhang sehr komplex und oftmals unstetig. Sie entzie-hen sich daher weitgehend der Lösung durch klassische Optimierer (z.B. nach demGradientenverfahren). Daher wird in diesem Beitrag ein stochastisches, naturanalo-ges Partikelschwarm-Optimierungsverfahren (PSO) zur Auslegung von Nockenkontu-ren vorgeschlagen. Am Beispiel eines Nockens für das Common-Rail-Einspritzsystem eines mittelschnelllaufenden Großdieselmotors wird der Berech-nungsgang, das PSO-Optimierungsverfahren und die Generierung einer optimalenNockenkontur erläutert. 130
  • 2. NockenberechnungDer Ansatz einer freien Optimierung der Nockenkontur ohne Vorgaben von Ge-schwindigkeitsprofilen erfordert die Definition von Stützstellen in der Nockenkontur.Dafür kann zweckmäßigerweise die für die Nockenfertigung vorgegebene Auflösungder Fräskontur herangezogen werden. Bei der MAN Diesel & Turbo SE werden No-cken mit einer Winkelauflösung von 0.5° gefertigt. Bei der Wahl des bewährten Drei-fachnockens und Annahme einer asymmetrischen Nockenkontur bzgl. einer Nocken-erhebung müssen nur 120° betrachtet werden. Damit wird die Nockenkontur in 241Stützstellen diskretisiert.Bild 1: Nockenkontur eines optimalen Dreifach-PumpennockensJede dieser Stützstellen (Nockenerhebung = f(Drehwinkel)) ist ein geometrischer Pa-rameter des Nockens. Für die Optimierung stellt die diskretisierte Nockenkontur da-mit einen 241-dimensionalen Zusammenhang dar. Die Nockenerhebungen in denStützstellen erhalten ihren Zusammenhang ausschließlich durch die physikalischenAbhängigkeiten (wie z.B. Geschwindigkeit und Beschleunigung). Sie können damitinnerhalb der technischen Grenzen freie Werte annehmen. Durch das Optimierungs-verfahren wird so der entsprechend der festzulegenden Optimierungsziele optimaleNocken generiert.Die geometrischen Gegebenheiten während des Abrollens und die physikalischenVorgänge müssen geschlossen berechnet werden. Dafür gelten die geometrischenZusammenhänge nach Bild 2. 131
  • Bild 2: Geometrie der Nocken-Rolle-Bewegung mit DesachsierungDer Berechnungsgang ist so ausgelegt, dass der Stößelhub h zunächst in Abhängig-keit vom Nockendrehwinkel Φ in den Optimierungsalgorithmus integriert wird. Dietatsächliche Nockenkonturkurve hN=f(Φ+Ψ) wird jeweils nachträglich berechnet.Zur Reduktion des Antriebsmoments wird eine desachsierte Anordnung des Stößels(e) über dem Nockenmittelpunkt vorgesehen. Die Geschwindigkeiten des Stößels vwerden jeweils numerisch als Hubanstieg des Stößels der vorangegangenen Stütz-stelle (i-1) berechnet. Die Beschleunigungen a werden als Geschwindigkeitsanstiegzur nachfolgenden Stützstelle (i+1) interpretiert. 132
  • Damit ergibt sich die Beschleunigung an der aktuellen Stützstelle i jeweils aus denHüben der Nachbar-Stützstellen. Unter Berücksichtigung der Desachsierung e kannanalytisch der Vorlaufwinkel α berechnet werden. Die kinematischen Zusammen-hänge werden nach folgenden Gleichungen berechnet.Stößelhub=f(Nockendrehwinkel); hi=f(φi)Nockenerhebung=f(Nockendrehwinkel+Vorlaufdrehwinkel); hNi=f(φi+ψi)mit i=1..241; ∆φ=φi-φi-1=0.5° (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)Zur Bestimmung der Flächenpressung wird der lokale Krümmungsradius RP benö-tigt. Da kein stetiger Konturverlauf für den Berechnungsalgorithmus vorliegt, wurdeein numerisches Berechnungsverfahren entwickelt. Den Ansatz zeigt Bild 2. Darinwerden drei benachbarte Konturpunkte durch zwei Geraden (G1 und G2) verbunden.Der Abstand des Schnittpunktes beider Geradennormalen zum mittleren Konturpunktbildet den lokalen Krümmungsradius dieses Punktes.Die Beanspruchung des Nockens, welche minimiert werden soll, wird durch die Dy-namik der kombinierten Hub- und Abrollbewegung der Stößelrolle auf der Nocken-kontur bestimmt. Dafür sind folgende Berechnungsschritte notwendig. 133
  • Bild 3: Berechnungsansatz für den lokalen Krümmungsradius (11) (12) (13) 134
  • (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (Druckkraft) (22) (Querkraft) (23)Der vorgestellte Berechnungsgang erfasst alle geometrischen, kinematischen unddynamischen Größen, die für die Auslegung des Nockens erforderlich sind. Der Be-rechnungsablauf ist für jeden Konturpunkt geschlossen und kann für die gesamteNockenkontur angewendet werden.3. Optimierungsziele, Kriterien und RandbedingungenEine optimale Nockenkontur soll die Anforderungen an jeder der 241 Stützstellenerfüllen. Damit ist es möglich, die Potentiale maximal auszuschöpfen. Jede Stützstel-le der Nockenkontur ist damit grundsätzlich unabhängig von allen anderen. Sie sinddamit als unabhängige Parameter zu verwenden.Die Randbedingungen beschränken die Wertebereiche der Eigenschaften des No-ckens. Die Einhaltung dieser Randbedingungen ist Voraussetzung für einen funkti-onsfähigen, jedoch noch nicht optimalen Nocken. Die gewählten Randbedingungenzeigt Tabelle 1.Die Nockenoptimierung hat bei Einhaltung der Randbedingungen zum Ziel, die Be-anspruchungen des Nockens und der verbundenen Bauteile zu minimieren. Damitsind Zielgrößen wie in Tabelle 2 zu definieren. 135
  • Randbedingung/ Größe Grund/Herkunft Grenzwert v max. Stößelgeschwindigkeit Schmierfilmabriss, Erfahrungswert a max. Stößelbeschleunigung mech. Belastung, Erfahrungs- wert pzul zul. Pumpenraumdruck hydr. Belastung Pumpenzylin- der n Grenzdrehzahl Abheben der Stößelrolle und Sicherheit RK lokaler Krümmungsradius Punktauflage auf Rolle und Sicherheit pmax zul. Hertz‘sche Pressung WerkstoffgrenzwertTabelle 1: Randbedingungen der Optimierung Formelzeichen Größe Optimierungsziel v Stößelgeschwindigkeit minimieren a Stößelbeschleunigung minimieren Md Nockenantriebsmoment minimieren pzul zul. Pumpenraumdruck maximieren nPGrenz Grenzdrehzahl maximieren FReib Reibkraft des Stößels minimierenTabelle 2: Zielgrößen der Optimierung3.1 GütefunktionDiese Zielgrößen werden normiert und in einer Gütefunktion je nach Optimierungs-ziel gewichtet und aufsummiert. Die Gewichtungsfaktoren g geben mit ihrem jeweili-gen Vorzeichen zudem an, ob die Zielgröße maximiert oder minimiert werden soll.Die Guete wird für jeden Konturpunkt i berechnet und über die gesamte Nockenkon-tur aufsummiert. (24)Die in Tabelle 1 genannten Randbedingungen und Begrenzungen werden durchStrafen berücksichtigt. Liegt ein Kriterium für einen Konturpunkt außerhalb der ange-gebenen Grenzwerte, wird eine für dieses Kriterium charakteristische Strafe verge- 136
  • ben. Diese Strafterme werden für alle Kriterien und über alle Konturpunkte aufsum-miert. Eine Strafe muss deutlich größer sein, als der Variationsbereich der Guete.Damit wird der Optimierungsalgorithmus veranlasst, zunächst den Bereich der Land-schaft innerhalb der Grenzwerte zu suchen. Danach kann der Algorithmus auf einOptimum konvergieren.Die gesamte Landschaft erscheint damit durch die Strafen gestuft. In dem Bereichinnerhalb der Grenzwerte ergibt sich dann eine straffreie Fläche (Gütefunktion≈0), inder das globale Optimum liegt oder lokale Optima auftreten.Bild 4: Funktionslandschaft bei acht Parametern, 6 Parameter fix, 2 Parameter varia-belDie über die gesamte Kontur aufsummierte Guete und alle Strafterme werden addiertund bilden damit die Gütefunktion einer Nockenkontur. Der Wert der Gütefunktionwird mit dem PSO-Optimierungsverfahren für die gesamte Nockenkontur minimiert.Hierbei beinhaltet jedes Partikel jeweils einen Parametersatz zur Lösung der Opti-mierungsaufgabe und liefert somit eine mögliche Stößelhubkontur. Jedes Partikel hatseinen individuellen Gütefunktionswert.Am Ende eines Berechnungsgangs werden die berechneten 241 Stützstellen desRollenhubes ausgegeben. Sie werden dann in die Nockenkonturpunkte hN umge-rechnet, welche somit eine optimale Nockenkontur darstellen.Da der PSO-Algorithmus sowohl lokale Optima als auch das globale Optimum deraufgestellten Gütefunktion finden kann, können bei wiederholten Rechnungen meh-rere verschiedene optimale Nockenkonturen gefunden werden. Die hier vorgegebe-nen strengen Randbedingungen können allerdings zu einer relativ geringen Streu-breite der gefundenen Nockenkonturen führen, weil der straffreie Bereich der Such-landschaft vergleichsweise klein ist. 137
  • 3.2 NockengeneseUm zu gewährleisten, dass die Guete immer geringer als ein Strafterm ist, wird eindynamischer Guete-Faktor eingeführt. Die Berechnungen sind gestuft ausgeführt.Ein Nockenoptimierungslauf untergliedert sich in mehrere Einzeloptimierungen. DieBerechnung einer Nockenkontur mit 241 Freiheitsgraden ist in 49 einzelne Berech-nungsabschnitte unterteilt und beginnt mit acht Freiheitsgraden/Parametern.Bild 5: Entstehung der StößelhubkonturBild 5 zeigt die Entstehung einer Stößelhubkontur. Im vorliegenden Fall startet dieBerechnung mit acht Parametern. Zunächst werden die Partikeln und somit die Pa-rameter stochastisch im Suchraum initialisiert (erstes Bild in der ersten Reihe). JederBerechnungsabschnitt verwendet 30 Partikeln und erstreckt sich über 100 Iteratio-nen. Nach 50 Iterationsschritten befindet sich der Partikelschwarm auf seinem Wegin die Konvergenz auf das beste gefundene Ergebnis (zweites Bild in der ersten Rei- 138
  • he). Aus der anfänglich stochastischen Verteilung der Parameter innerhalb der Such-raumgrenzen (minimaler und maximaler Stößelhub für jeden Freiheitsgrad) beginntsich eine Stößelhubkontur abzuzeichnen. Mit fortschreitender Berechnung beginnensich alle Partikeln im besten gefundenen Gütefunktionswert zu sammeln (80 Iterati-onsschritte, drittes Bild in der ersten Reihe). Am Ende eines Berechnungsabschnittesist der Schwarm soweit fokussiert und konvergiert, dass sich nahezu alle Partikelnauf einem Punkt im Funktionsraum befinden (100 Iterationsschritte, letztes Bild in derersten Reihe). Dieser Punkt ist mit hoher Wahrscheinlichkeit das globale Optimum(Minimum) des untersuchten Raums. Da am Ende der Berechnungen ein 241-dimensionaler Suchraum steht und mit dem Partikelschwarm-Optimierungsverfahreneine Metaheuristik zum Einsatz kommt, liegt keine Garantie vor, dass das globaleOptimum erzielt wurde. Jedoch bietet das Verfahren eine praktische Lösungsmög-lichkeit eines nicht-trivialen Optimierungsproblems, das mit einem einfachen Berech-nungslauf und direkt zu optimierenden 241 Freiheitsgraden, praktisch nicht zu lösenist.Das Ergebnis des Berechnungsgangs mit 8 Freiheitsgraden wird als Startwert desneuen Berechnungsgangs übernommen. Hierzu erfolgt eine Interpolation der voran-gegangenen Parameter auf die nächsthöhere Freiheitsgradanzahl. Zusätzlich wirdein entsprechender Prozentsatz der Partikeln stochastisch im Suchraum initialisiert,um eine ausreichende Suchraumabdeckung zu garantieren. Dieses Vorgehen wirdsowohl für Dreifachnocken mit 241 Parametern als auch für Zweifachnocken mit 361Freiheitsgraden appliziert.Bild 6: GUI zur Ergebnisausgabe 139
  • Nach der Terminierung der Berechnungen werden die Ergebnisse nach dem Güte-funktionswert sortiert ausgegeben und können in einem GUI ausgewertet werden.Die wesentlichen Betriebswerte einer so generierten Nocke werden in den folgendenBildern dargestellt.Bild 7: Stößelhub, -geschwindigkeit und -beschleunigungBild 8: Krümmungsradius, zul. Pumpenraumdruck und Grenzdrehzahl 140
  • Bild 9: Querkraft, Drehmoment und DruckkraftBild 10: Nockenwellenteilstück mit Pumpen- und Gaswechselnocken 141
  • 4. Optimierungsalgorithmus PSODie Methodik der Partikelschwarmoptimierung (Particle Swarm Optimization - PSO)wurde 1995 durch den Elektroingenieur Russell Eberhart und den SozialpsychologenJames Kennedy vorgestellt [2].In den letzten Jahren hat die Partikelschwarmoptimierung immer mehr Beachtungerfahren, da sie sich als effektive Methode zur Lösung unterschiedlicher Arten vonOptimierungsproblemen bewährt hat. Die Anwendungsbereiche der PSO reichenmittlerweile vom Ingenieurwesen bis zur Betriebswirtschaft. Die Partikelschwarmop-timierung ist eine Metaheuristik, deren Paradigmen, angelehnt an Schwarmintelli-genz und Evolutionary Computation, durch Vogel- und Fischschwärme inspiriert wur-den. Die Vorgänger des ursprünglichen PSO-Algorithmus waren zunächst als gra-phische Simulatoren der eleganten aber unvorhersagbaren Bewegungsabläufe vonVogelschwärmen gedacht.Die Entwickler entdeckten schnell das Potential der Methode, nichtlineare, kontinuier-liche Funktionen durch die Simulation von einem vereinfachten sozialen Umfeld zuoptimieren. Die PSO beinhaltet nicht das Prinzip des „survival of the fittest“, wie esbeispielsweise in Genetischen Algorithmen angewendet wird. Vom Beginn bis zumEnde eines Optimierungslaufs „überleben“ alle Partikeln und nehmen aktiv an derSuche nach Optima im Suchraum teil. Ein Partikel ist ein Tupel aller Parameter undliefert deshalb eine Lösungsmöglichkeit einer gegebenen Funktion. Nach einer an-fänglichen, meist zufälligen Verteilung der Partikeln im Such- bzw. Funktionsraum,bewegen sich die Partikeln mit einer richtungsabhängigen Geschwindigkeit. Nachjedem Bewegungsschritt wird die „Fitness“ jedes Partikels bestimmt. Die sogenannteFitness entspricht dem numerischen Funktionswert an der Stelle, wo sich das Parti-kel gerade im n-dimensionalen Funktionsraum befindet. Der Partikelschwarm bestehtaus mehreren einzelnen Partikeln. Dadurch, dass die Schwarmmitglieder miteinan-der aufgrund der Informationen über die bisher beste durch den gesamten Schwarmgefundene Lösung (global best) sowie über die bisher beste individuelle Lösung (lo-cal best) interagieren, können wahrnehmungsbasierte und soziale Muster abgeleitetwerden. Die Partikeln werden durch die besten Positionen angezogen und bewegensich in Richtung auf die beste globale Position. Während des Optimierungsprozesseskönnen die Partikeln auf ihrem Weg zum bisher besten Funktionswert Positionen mitnoch höherer Fitness finden. Abhängig von der verwendeten PSO-Variante und deneingestellten Parametern des Algorithmus können die globalen Sucheigenschaften,das Schwarmverhalten, die Konvergenzrate und somit auch die Qualität der endgül-tigen Lösung beeinflusst werden. Der Algorithmus hat sich als relativ einfach, sehrrobust und sehr effizient erwiesen. Bezüglich der Dimensionalität oder Komplexitätder Optimierungsaufgabe bestehen theoretisch keine Einschränkungen.4.1 VerfahrenOptimierung zielt darauf ab, das Minimum oder Maximum einer Ziel- bzw. Gütefunk-tion innerhalb eines definierten Suchraumes zu finden.Neben anderen mathematischen Anwendungsbereichen liegt der Fokus der hier be-handelten Applikationen auf der Optimierung nichtlinearer Funktionen mit Nebenbe-dingungen. Die Zielfunktion kann entweder auf eine einzelne Zielgröße ausgerichtet 142
  • sein (single-objective), oder die gleichzeitige, multikriterielle Optimierung mehrererZielgrößen beinhalten (multi-objective). Dies kann z. B. eine Funktion mit standardi-sierten, gewichteten Zielgrößen sein, in der Nebenbedingungen durch Straftermeeingebracht werden und somit das Problem auf eine Zielfunktion mit nur einer Ziel-größe reduziert wird.Die Partikelschwarmoptimierung ist ein stochastischer, gradienten- und ableitungs-freier, naturanaloger Algorithmus, der auf einer Reihe von Partikeln basiert. Ein Par-tikel verkörpert ein Tupel aller Parameter des Optimierungsproblems und liefert somiteine potentielle Lösung. Nach der anfänglichen Verteilung der Partikeln im Suchraumerhalten alle Partikeln richtungsabhängige und dimensionsbezogene Geschwindig-keiten. Der operative Ablauf für statische Optimierungsaufgaben ist wie folgt:1. Stochastische Initialisierung einer Partikelpopulation innerhalb des Funktions- / Suchraums.2. Berechnung der Fitness jedes Partikels.3. Modifikation der individuellen Geschwindigkeiten in Abhängigkeit der bisherigen besten individuellen und der besten globalen Position (Nachbarschaft).4. Bestimmung der neuen Positionen der Partikeln.5. Fitnessevaluierung jedes Partikels (2.), bei Konvergenz / Abbruchkriterium: END, sonst gehe zu 3.Die Gleichung zur Bestimmung der Geschwindigkeiten lautet (25)Die neuen Positionen werden bestimmt durch (26)Gleichung (25) und (26) verwenden folgende Bezeichnungenxid :Lösungsmöglichkeit, Ort von Partikel i in Dimension dvid :Geschwindigkeit von Partikel i in Dimension dpid :bisheriger bester Ort von Partikel i in Dimension dpgd :bisheriger bester Ort des besten Partikels g aller Nachbarn von Partikel i in Dimension dc1 : kognitiver Parameterc2 : sozialer Parameterrand(), Rand(): gleichverteilte Zufallszahlen aus [0;1]t ist der aktuelle Iterationsschritt. Die Bewegung der Partikeln aus Gleichung (25) ba-siert auf einem sogenannten kognitiven Term (Term 2) und einem sozialen Term(Term 3) sowie der Geschwindigkeit vid(t-1) (Term 1), welche im Fall der PSO denCharakter einer (Massen-)Trägheit besitzt und die Partikeln keine abrupten Rich-tungsänderungen beschreiben lässt.Die kognitive Konstante c1 beeinflusst das individuelle Verhalten eines Partikels bzgl.seiner eigenen bisherigen besten Position. Die soziale Konstante c2 bestimmt dieBewegung in Richtung auf die Position, die die bisher beste bekannte Position des 143
  • Schwarms ist. c2 beeinflusst das Verhalten von Partikel i in Abhängigkeit der Fitnessseiner Nachbarn und beschreibt somit eine Komponente sozialen Verhaltens. In je-dem Iterationsschritt werden die kognitiven und sozialen Anteile der Bewegung zufäl-lig variiert, um Diversität und Bewegung im Schwarmverhalten zu erhalten.Während ihres Weges durch den Suchraum in Richtung auf das beste Partikel bzw.beste Position können die Partikeln Orte mit höherer Fitness entdecken, als es dasbeste bisher gefundene (lokale) Optimum hat. Das Schwarmverhalten wird durch dieErfahrung eines jeden einzelnen Schwarmmitglieds, seine momentane Position undden Informationsaustausch der einzelnen Schwarmmitglieder untereinander be-stimmt (Orientierung an Gruppenbesten). Somit imitiert die PSO erfolgreich das na-türliche Verhalten von Tieren in Gruppen bzw. Schwärmen.Sowohl die Schwarmgröße, Nachbarschaftsgröße als auch die Topologie des Infor-mationsaustausches haben Auswirkungen auf das Schwarmverhalten und steuerndeshalb die Suchcharakteristika des Schwarms. Es existiert neben zwei Hauptvarian-ten eine Vielzahl von Ansätzen zur Beschreibung der Informationstopologie der Par-tikeln. Diese sind gbest und lbest. Im Fall der gbest-Topologie wird das Verhaltenjedes Partikels durch das beste Partikel im gesamten Schwarm bestimmt. Im lbest-Modell wird die Bewegung jedes Partikels durch die Partikeln in seiner direktenNachbarschaft geprägt. In vielen Applikationen tendiert das gbest-Modell dazu,schneller zu konvergieren als das lbest-Modell.Ein weiterer erwähnenswerter Aspekt ist die Informationsanalyse der besten Positio-nen. In der sogenannten synchronen PSO, die der Originalversion nahesteht, werdendie besten Positionen im Anschluss an alle Partikelbewegungen eines Iterations-schrittes ermittelt. Die asynchrone PSO verwendet die Bestimmung der besten Posi-tionen nach jeder einzelnen Partikelbewegung, was eine direkte Rückkopplung bzgl.der besten Regionen im Suchraum erlaubt und somit zu einer höheren Konvergenz-rate führt.Basierend auf Anwendungserfahrungen mit der klassischen, originären PSO-Versionsind mehrere Optimierungsdurchläufe mit relativ kleinen Populationen zielführenderim Aufspüren praktikabler Lösungen als weniger Optimierungsdurchläufe mit relativgroßen Populationen. Dieser zunächst überraschende Effekt begründet sich in derschnellen und oftmals verfrühten Konvergenz des PSO-Verfahrens, bei der keinebefriedigende Suchraumerkundung stattfindet.4.2 PSO mit „Constriction Coefficient“In der Literatur sind zahlreiche Ausführungsformen des PSO-Algorithmus beschrie-ben, die die Parametereinstellungen untersuchen und auf eine Verbesserung desVerfahrens abzielen, insbesondere, um die verfrühte Konvergenz des Schwarmes zuverhindern.Die meisten Arbeiten konzentrieren sich hierbei auf die Analyse des Schwarmverhal-tens unter der Verwendung sogenannter „Inertia Weight“- und „Constriction Coeffi-cient“- Ansätze. In diesen Fällen wird Term 1 aus Gleichung (25) (Inertia Weight)bzw. die gesamte Gleichung (25) (Constriction Coefficient) mit einem Parameter mul-tipliziert. Das Ziel ist jeweils, sowohl die Erkundung als auch die Ausbeutung desSuchraumes zu kontrollieren und somit die globalen und lokalen Sucheigenschaftendes Schwarmes zu steuern. 144
  • Mathematisch gesehen ist die Implementierung des „Constriction Coefficient“ χ einSonderfall der „Inertia Weight“-Version. Mit der Verwendung dieses Koeffizientenerweitert sich die Gleichung (25) zu (27)χ wird definiert als mit , (28)Standardmäßig ist c1 = c2 = 2,05 was zu χ = 0,72984 führt [1].4.3 PSO mit erweitertem „Constriction Coefficient“Basierend auf den bisherigen Anwendungserfahrungen [3,4,5,6] hat sich die Ver-wendung einer verfeinerten „Constriction Coefficient“-Strategie als besonders effektivund zielführend erwiesen.Die neue Strategie verbessert signifikant das Schwarmverhalten. Die einfache abereffektive Vorgehensweise besteht darin, χ folgendermaßen über einen Optimierungs-lauf und somit in jedem Iterationsschritt zu verändern. In den ersten 75% der Iteratio-nen eines Durchlaufs wird χ aus gleichverteilten Zufallszahlen des Intervalls [0,1;1,7]entnommen. Zwischen 75% und 95% der Iterationen verringert sich χ linear von 1 bis0,20871. Dieser Wert resultiert aus Gleichung (28) mit c1=2 und c2=5 und wurdeebenso wie der gesamte Verlauf von χ empirisch ermittelt. Die letzten 5% der Itera-tionen wird χ=0,20871 konstant gehalten.Die neuartige Implementierung von χ > 1 führt zu einer signifikanten Verbesserungdes globalen Suchverhaltens (Erkundung). Die Grundidee ist, eine gründliche undflächendeckende globale Suche zu gewährleisten, bei der die Diversität desSchwarms erhalten bleibt und nicht durch verfrühte Konvergenz gemindert wird bzw.verlorengeht. Im Anschluss an diese Suche soll eine intensive lokale Suche stattfin-den (Ausbeutung), die sich durch kontrollierte Konvergenz auszeichnet. Die Parame-tereinstellungen sollen so gewählt werden, dass sie einer breiten Anwendungspalettegenügen.Die konventionelle „Constriction Coefficient“-Methode belässt χ = constant. Es wird ingraphischen Vergleichen [6] deutlich, dass der Schwarm, ebenso wie in der klassi-schen PSO-Version, relativ schnell beginnt, zu konvergieren. Eine globale Suchefindet nicht statt. Die Version mit dem erweiterten „Constriction Coefficient“ hingegenführt eine sehr ausgeprägte globale Suche durch, gefolgt von einem kontrolliertenFokussieren des Schwarms (Konvergenz).Die Wahl von c1 und c2 resultiert aus dem Wunsch, die globale Suche zu verstärken.Animationen hingegen zeigen, dass die beschriebene Strategie das ursprünglicheSchwarmverhalten und die Partikelgemeinschaft während der Phase der zufälligen χ- Werte massiv aufweicht, sodass eine filigrane Einstellung der Parameter zumindestin diesem Abschnitt der Berechnungen entfällt. Die Suche bzw. das Bewegungsver-halten der Partikeln scheint in dieser Berechnungsphase vollständig stochastisch zuwerden. Diese Tatsache führt zu einem wichtigen Aspekt des Algorithmus. 145
  • Es ist eine gängige Praxis, Partikeln auf die Suchraumgrenze zu setzen, wenn sieden Suchraum durch ihre Geschwindigkeit verlassen würden. Streben Partikeln inder vorgestellten Version nach außerhalb des Suchraums, so werden sie stochas-tisch im Funktionsraum reinitialisiert [7]. Dies ist ein essentieller Mechanismus, daansonsten die Mehrzahl der Partikeln durch die Wahl von χ > 1 nur auf den Such-raumgrenzen inaktiv verharren würde.Durch diese Implementierung und das kontrollierte Konvergenzverhalten am Schlusseines Optimierungslaufes kann die sehr sensible Einstellung des Parameters vmaxentfallen. In bisherigen Applikationen beschreibt vmax die maximale Ortsänderungeines Partikels in einer Dimension. Somit reduziert sich die Anzahl der im Algorith-mus einzustellenden Parameter. Der vorgestellte schematische Verlauf von χ genügteiner breiten Palette von Optimierungsapplikationen und unterschiedlichen Arten vonOptimierungsproblemstellungen. Somit minimiert sich der für den Anwender im Algo-rithmus einzustellende Parametersatz auf einen einzelnen Wert. In Abhängigkeit derKomplexität der zu lösenden Aufgabe ist daher nur die Anzahl der Partikeln festzule-gen.Bild 11: Beispielhafter Verlauf des erweiterten „Constriction Coefficient“Erfahrungsgemäß sollte die obere Grenze von χ im zufälligen Bereich der Berech-nungen mindestens 1,5 betragen. Dies sichert die gute globale Suchraumabdeckung,wobei hingegen der untere Grenzwert in dieser Phase relativ unbedeutend ist. Ver-suche mit χ von bis zu 30 als oberem Grenzwert ergaben keine wesentlichen Verän-derungen im Schwarmverhalten. Der Endwert von χ ist sehr sensibel einzustellenund hat einen integralen Einfluss auf die Konvergenz des Schwarms und somit auf 146
  • die Güte des Endergebnisses. Ist der Wert zu gering, werden die Partikeln in ihrerBewegung so sehr eingeschnürt, dass keine lokale Suche mehr erfolgen kann. Einzu hoher Betrag von χ lässt zu große Ortsänderungen der Partikeln zu, dass schließ-lich keine zufriedenstellende Konvergenz erreicht wird und der Bereich der bisherbesten Position nur unzureichend evaluiert wird.Die beschriebenen Verbesserungen werden in einer graphischen Darstellung deut-lich.Bild 12: Partikelschwarm im Suchraum unter Verwendung des erweiterten „Constric-tion Coefficient“ 147
  • Der dargestellte Suchraum ist die Funktionslandschaft einer zweidimensionalen, mo-difizierten Griewank-Funktion. 75 Partikeln finden hierbei über 200 Iterationen dasMaximum der Funktion. Die Einzelbilder eins bis sechs zeigen die Partikelverteilungzum Zeitpunkt von 1 (1), 10 (2), 30 (3), 50 (4), 100 (5) und 200 (6) Iterationsschritten.Bild 13: Partikelschwarm der Originalversion im SuchraumIm Vergleich ist zu erkennen, dass die Originalversion relativ schnell konvergiert undkeine zufriedenstellende globale Suche ausführt. Die erweiterte Version hingegen 148
  • vollzieht eine erschöpfende Suchraumerkundung und läuft am Ende der Iterationenin eine kontrollierte Konvergenz.4.4 PSO mit erweitertem „Constriction Coefficient“ für die NockenoptimierungObwohl die beschriebene Erweiterung des PSO-Algorithmus durch die verfeinerte„Constriction Coefficient“-Methode in einer wesentlichen Verbesserung und Kontrolledes Schwarmverhaltens resultiert, sind die mit dieser Methode erzielten Ergebnisseder Nockenoptimierungsrechnungen nicht zufriedenstellend.Dies resultiert aus der gewählten Formulierung der zu optimierenden Funktion (Güte-funktion). Im Fall der Nockenoptimierung liegt das globale Optimum in der Regel amRand des n-dimensionalen Suchraums. Die stochastische Reinitialisierung der Parti-keln bei Suchraumgrenzverletzungen führt in diesem Anwendungsfall zu einer unzu-reichenden Ergebnisqualität, ist aber zielführend, wenn das Optimum eher in der Mit-te des Suchraumes erwartet wird. Werden die Partikeln bei Grenzverletzungen aufdie Dimensionsgrenze gesetzt, liefert der Algorithmus sehr gute Ergebnisse. EineReduzierung des Zufallsintervalls von χ auf [0,1;0,6] innerhalb der ersten 60% derIterationen erhöht die Leistung zusätzlich. Um die Güte des Endergebnisses zu ver-bessern, wurde der Endwert von χ zudem auf 0,01 empirisch in den letzten 10% derIterationen reduziert. Der Startwert des linearen Abschnitts wird entsprechend auf 0,3vermindert.Bild 14: Beispielhafter Verlauf des erweiterten, angepassten „Constriction Coefficient“ 149
  • Eine Reduzierung der globalen Sucheigenschaft mit der gesteigerten Möglichkeit,frühzeitiger zu konvergieren, ist für die Nockenoptimierung zielführend und zeigt er-neut die Individualität von Optimierungsaufgaben und die Notwendigkeit, den Opti-mierer sinnvoll und oftmals empirisch an das Problem zu adaptieren.5. ZusammenfassungIm Rahmen der Entwicklung eines Common-Rail-Einspritzsystems für mittelschnell-laufende Großdieselmotoren wird ein geschlossenes Verfahren zur Entwicklung eineroptimalen Kontur einer Einspritznocke vorgestellt. Aufgrund des Fördermengenbe-darfs des Motors ist ein Dreifachnocken erforderlich. Die optimale Kontur des No-ckens ergibt sich aus einer Vielzahl von Kriterien, Randbedingungen und Optimie-rungszielen.Für die Fertigung wird eine Auflösung von 0,5° Nockendrehwinkel gefordert. EineNockenkontur überstreicht 120° Nockendrehwinkel. Somit ergeben sich für die Be-rechnung der Kontur 241 Stützstellen. Das Ziel ist die Entwicklung einer optimalenKontur des Nockens, abhängig von allen Kriterien und Beschränkungen. Aufgrundder Vielzahl dieser Randbedingungen bietet sich die Verwendung eines Optimie-rungsalgorithmus an. Die vielversprechenden Erfahrungen aus vorangegangenenEntwicklungsarbeiten führen zur Anwendung der Partikelschwarmoptimierung (PSO).Eine optimale Nockenkontur erfüllt die Anforderungen an jeder einzelnen Stützstelle.Es wird daher eine freie Hubkurve ohne zusätzliche Bedingungen (z.B. lineare Ge-schwindigkeitsverläufe) erstellt. So werden die Potentiale maximal ausgeschöpft. Je-de Stützstelle der Nockenkontur ist damit grundsätzlich innerhalb der gewählten An-forderungen und Beschränkungen unabhängig von allen anderen. Sie werden somitals unabhängige Parameter verwendet. Die Optimierungsaufgabe umfasst daher 241Dimensionen. Das vorgestellte Verfahren liefert optimale Nockenkonturen.Literatur[1] Clerc, M.: Particle Swarm Optimization. ISTE - Hermes Science Publishing, London, 2006[2] Eberhart, R.; Kennedy, J.: Swarm Intelligence. Morgan Kaufmann Publishers, San Francisco, 2001[3] Große-Löscher, H.: Application of PSO for the optimization of Diesel engine operation. Deliverables D11.2.b+c, HERCULES Integrated Project, EU Sixth Framework Program, TIP3-CT-2003-506676, Augsburg, 2007[4] Große-Löscher, H., Haberland, H., Yalcin, H.: Verfahren zur Optimierung einer Einspritzdüse für eine Brennkraftmaschine. Offenlegungsschrift, Deutsches Patent- und Markenamt, DE 102006043460 A1 2008.03.27, München, 2008[5] Große-Löscher, H., Haberland, H.: Schwarmintelligenz zur Optimierung von Einspritzdüsen. MTZ – Motortechnische Zeitschrift, Nr. 2, S. 80-85, Springer Automotive Media, Wiesbaden, 2010[6] Große-Löscher, H.: Particle Swarm Intelligence: A Particle Swarm Optimizer with Enhanced Global Search Qualities and Guaranteed Convergence, Pro- 150
  • ceedings of 55th IWK – Internationales Wissenschaftliches Kolloquium, pp. 186- 191, Ilmenau University of Technology, Ilmenau, 2010[7] Helwig, S., Wanka, R.: Particle Swarm Optimization in High-Dimensional Bounded Search Spaces. Proceedings of IEEE Swarm Intelligence Sympo- sium, pp. 198-205, 2007 151