Este documento describe cómo calcular el volumen máximo de una caja rectangular sin tapa que se fabricará recortando cuadrados de una pieza de cartón. Proporciona un diagrama y tabla con los valores del recorte x, largo, ancho y volumen. Luego deriva la función del volumen para encontrar el punto crítico, que es el recorte de 42.21 cm que maximiza el volumen en 1,390,564.40 cm2.

1. Matemáticas
Aplicación de la derivada

2. Problema de razonamiento
• Se dispone de una pieza rectangular de cartón que
mide 351 x 208 cm, con este material se va a fabricar
una caja sin tapa, para ello se recortan cuadrados,
uno en cada esquina, y de doblará la pieza resultante.

3. Diagrama y análisis del sistema
208 cm
x
351 cm
Longitud = 351 cm
Ancho = 208 cm

4. Tabulación en la que se observa el punto
critico de interés ( máximo o mínimo)
x 351-2x 208-2x x y=(351-2x)(208-2x)(x)
Recorte Largo Ancho Altura Volumen máximo
5 341 198 5 337590
10 331 188 10 622280
15 321 178 15 857070
20 311 168 20 1044960
25 301 158 25 1188950
30 291 148 30 1292040
35 281 138 35 1357230
40 271 128 40 1387520
45 261 118 45 1385910
50 251 108 50 1355400
55 241 98 55 1298990
60 231 88 60 1219680
65 221 78 65 1120470
70 211 68 70 1004360

5. Gráfica

6. Función que se va a derivar
• (351 – 2x) (208 – 2x)
73008 – 416x – 702x + 4x2
• (4x2 -1118x2 + 73008x)(x)
y = 4x3 -1118x2 + 73008x
• y = 12x2 -2236x + 73008

7. Fórmula general

8. Solución del problema
• Se deben recortar cuadrados de 42.21 cm
para obtener un área máxima de
1,390,564.40 cm2