• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Fisika Statistik
 

Fisika Statistik

on

  • 3,678 views

 

Statistics

Views

Total Views
3,678
Views on SlideShare
3,678
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
273
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Fisika Statistik Fisika Statistik Document Transcript

    • Catatan Kuliah Fisika StatistikSparisoma Viridi, Siti Nurul Khotimah, dan NovitrianAgustus 2010
    • ii
    • Isi1 Pendahuluan 11.1 Ruang lingkup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 FI3202 Fisika Statistik (4 SKS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Versi catatan kuliah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Buku rujukan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Faktorial dan Fungsi Gamma 52.1 Faktorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Fungsi gamma untuk n bulat positif . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Fungsi gamma untuk n kelipatan ganjil 12 . . . . . . . . . . . . . 72.4 Fungsi gamma yang lebih umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Aproksimasi Striling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Aproksimasi dengan grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.7 Aproksimasi lain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.8 Script menggambar grafik ln n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.9 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Pengali Tak Tentu Lagrange 133.1 Maksimum dan minimum suatu fungsi . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Syarat tambahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17iii
    • iv ISI4 Konfigurasi Paling Mungkin Suatu Statistik 194.1 Syarat batas suatu sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Memaksimumkan W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Distribusi suatu statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Parameter β 255.1 Dua buah sistem kontak secara termal . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Hukum pertama termodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3 Teori kinetik gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 Degenerasi dalam Ruang Fasa 316.1 Ruang fasa enam dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2 Integral volume ruang momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.3 Integral volume ruang laju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.4 Integral volume ruang energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.5 Integral volume ruang frekuensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.6 Integral volume ruang panjang gelombang . . . . . . . . . . . . . 346.7 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 Distribusi Suatu Statistik 377.1 Bentuk umum distribusi ketiga statistik . . . . . . . . . . . . . . 377.2 Statistik Maxwell-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.3 Statistik Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.4 Statisti Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.5 Bentuk umum distribusi statistik lain . . . . . . . . . . . . . . . 427.6 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
    • ISI v8 Termodinamika Gas Ideal Monoatomik 438.1 Peluang termodinamika Wmaks gas ideal klasik . . . . . . . . . . 438.2 Fungsi partisi Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.3 Tekanan dan kalor jenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.4 Persamaan keadaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.5 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 Paradoks Gibb 519.1 Entropi gas klasik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.2 Pencampuran dua gas berbeda jenis . . . . . . . . . . . . . . . . 529.3 Pencampuran gas sejenis: paradoks Gibb . . . . . . . . . . . . . 549.4 Gas ideal semi-klasik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559.5 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5610 Statistik Fermi-Dirac: Nj dan ∆S 5710.1 Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.2 Jawab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6011 Tingkat dan Keadaan Energi 6311.1 Tingkat Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6311.2 Keadaan Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312 Keadaan Makro dan Mikro 6513 Peluang Termodinamika 6713.1 Postulat termodinamika statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6713.2 Peluang termodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6813.3 Observabel dan rata-rata bilangan okupasi . . . . . . . . . . . . . 6814 Pengali α dan β 71
    • vi ISI14.1 Peluang termodinamik suatu keadaan makro . . . . . . . . . . . 7114.2 Keadaan makro yang paling mungkin . . . . . . . . . . . . . . . . 7214.3 Fungsi distribusi dalam bentuk diferensial . . . . . . . . . . . . . 7214.4 Pengali β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7314.5 Ruang fasa enam dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7614.6 Degenerasi dalam volume ruang fasa . . . . . . . . . . . . . . . . 7714.7 Teori kinetik gas dan β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7814.8 Pengali α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7915 Energi Bebas Helmholtz 8315.1 Energy bebas Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8315.2 Ekspansi reversibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8415.3 Energi sebagai fungsi dari energi bebas . . . . . . . . . . . . . . . 8515.4 CV dari E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8516 Fungsi Partisi Boltzmann 8716.1 Fungsi partisi Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8716.2 Fungsi partisi dan energi bebas Helmholtz . . . . . . . . . . . . . 8816.3 Energi sistem dan fungsi partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8916.4 Entropi dan fungsi partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8916.5 Energi bebas tiap partikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9016.6 Kapasitas panas spesifik pada volume tetap . . . . . . . . . . . . 9016.7 Tekanan sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9017 Gas Ideal Monoatomik 9117.1 Tingkat energi makro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9117.2 Degenerasi tingkat energi makro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9217.3 Fungsi partisi sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9317.4 Persamaan keadaan dan besaran-besaran termodinamika . . . . . 94
    • ISI vii18 Distribusi Laju Molekular 9518.1 Bilangan okupasi rata-rata tingkat energi makro . . . . . . . . . 9518.2 Laju yang paling mungkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9618.3 Laju rata-rata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9718.4 Laju rms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9718.5 Perbandingan ketiga laju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9718.6 Ekipartisi energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9819 Paradoks Gibb 9919.1 Fungsi partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9919.2 Beberapa besaran termodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10119.3 Paradoks Gibb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10319.4 Gas ideal semi-klasik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10420 Ekipartisi Energi 10720.1 Bentuk-bentuk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10720.2 Rata-rata energi kinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10820.3 Rata-rata energi potensial mirip pegas . . . . . . . . . . . . . . . 10920.4 Rata-rata energi osilator harmonik . . . . . . . . . . . . . . . . . 11020.5 Derajat kebebasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11120.6 Gas diatomik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11120.7 Bukan suku kuadrat koordinat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11121 Tambahan Informasi 1 11321.1 Ilustrasi Cv bergantung T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11321.2 Publikasi mengenai gas ideal dan ensembel mikrokanonik . . . . 11422 Gas Ideal dalam Medan Gravitasi 11722.1 Sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
    • viii ISI22.2 Persamaan termodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11722.3 Energi total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11822.4 Fungsi partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11822.5 Energi bebas Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12022.6 Entropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12122.7 Distribusi partikel sebagai fungsi ketinggian . . . . . . . . . . . . 12122.8 Percobaan Perrin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12423 Gas diatomik 12523.1 Suku-suku energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12523.2 Fungsi-fungsi partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12623.3 Fungsi partisi gerak translasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12623.4 Fungsi partisi gerak rotasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12623.5 Fungsi partisi gerak vibrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12723.6 Fungsi partisi gerak elektron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12723.7 Fungsi partisi spin nuklir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12823.8 Fungsi partisi lengkap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12823.9 Panas spesifik gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12924 Gas Bose-Einstein 13324.1 Distribusi molekul gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13324.2 Gas foton dan radiasi benda hitam . . . . . . . . . . . . . . . . . 13524.3 Hukum radiasi Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13724.4 Formula Rayleigh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13824.5 Hukum Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13825 Gas Fermi-Dirac 14125.1 Distribusi partikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14125.2 Fungsi Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
    • ISI ix26 Ensemble Kanonis 14326.1 Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14326.2 Ensemble yang bertemperatur konstan . . . . . . . . . . . . . . . 14426.3 Sifat-sifat termodinamik ensemble kanonis . . . . . . . . . . . . . 14526.4 Evaluasi Fungsi Partisi Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14726.5 Fungsi Partisi Klasik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14726.6 Fungsi partisi semi-klasik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14826.7 Fungsi Partisi untuk Kasus Ada Interaksi . . . . . . . . . . . . . 14926.8 Distribusi energi pada ensembel kanonik . . . . . . . . . . . . . . 14926.9 Aplikasi ensemble kanonis untuk gas tak ideal . . . . . . . . . . . 15027 Simulasi: Sistem Paramagnetik 15328 Soal 1: Tingkat Energi dan Peluang Termodinamika 15528.1 Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15528.2 Jawab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15629 Soal 2: Fungsi Distribusi dan Entropi 16129.1 Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16129.2 Jawab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16230 Soal 3: Fungsi Partisi dan Tabulasi Keadaan Makro 16530.1 Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16530.2 Jawab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16531 Soal 4: Distribusi Laju dan Persamaan Keadaaan 16931.1 Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16931.2 Jawab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17032 Simulasi Keadaan Mikro dengan Kartu 175
    • x ISI33 Berkas-berkas 18133.1 Kuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18133.2 Ujian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
    • Catatan 1PendahuluanSetiap cabang khusus fisika mula-mula dipelajari dengan memisahkan ruangyang terbatas dari lingkungannnya. Bagian yang dipisahkan yang menjadipusat perhatian kita disebut sistem, dan segala sesuatu diluar sistem dise-but lingkungan. Bila suatu sistem telah dipilih maka kelakuan sistem atauantaraksinya dengan lingkungan atau keduanya dinyatakan dalam kuantitas-kuantitas fisis. Pada umumnya terdapat dua pandangan yang dapat diambil,pandangan makroskopik dan pandangan mikroskopik.1.1 Ruang lingkupPemerian makroskopik suatu sistem meliputi perincian beberapa sifat pokoksistem, atau sifat skala besar dari sistem, yang dapat diukur berdasarkan ataspenerimaan indera kita. Termodinamika adalah contoh cabang ilmu fisika yangmenerapkan pandangan makroskopik. Sedangkan, pemerian mikroskopik suatusistem meliputi beberapa ciri khas seperti adanya pengandaian bahwa sistemterdiri atas sejumlah molekul, dan kuantitas-kuantitas yang diperinci tidak da-pat diukur. Contoh penerapan pandangan mikroskopik untuk cabang ilmu fisikayaitu dalam fisika statistik. Bila kedua pandangan itu diterapkan pada sistemyang sama maka keduanya harus meghasilkan kesimpulan yang sama.Ruang lingkup fisika statistik meliputi dua bagian besar, yaitu teori kinetik danmekanika statistik. Berdasarkan pada teori peluang dan hukum mekanika, teorikinetik mampu menggambarkan sistem dalam keadaan tak seimbang, seperti:proses efusi, viskositas, konduktivitas termal, dan difusi. Disini, molekul suatugas ideal tidak dianggap bebas sempurna tetapi ada antaraksi ketika bertum-bukan dengan molekul lain atau dengan dinding. Bentuk antaraksi yang ter-batas ini diacukan sebagai antaraksi lemah atau kuasi bebas. Ruang lingkup initidak membahas partikel berantaraksi kuatTidak seperti pada teori kinetik, mekanika statistik tidak membahas perin-1
    • 2 CATATAN 1. PENDAHULUANcian mekanis gerak molekular, tetapi berurusan dengan segi energi molekul.Mekanika statistik sangat mengandalkan teori peluang untuk menentukankeadaan seimbang sistem. Dalam kuliah ini, bahasan ditekankan pada sistemyang partikel-partikelnya berinteraksi sangat lemah baik untuk partikel-partikelterbedakan maupun tak terbedakan. Selain memiliki sifat kuasi bebas, molekul-molekul suatu gas ideal bersifat tak terbedakan karena molekul tidak berkecen-derungan menempati tempat tertentu dalam ruang atau memiliki kecepatantertentu. Sedangkan, untuk partikel-partikel yang menempati kedudukan kisiyang teratur dalam kristal, yakni partikel bergetar di sekitar titik tetap, dapatdibedakan karena letaknya.Materi kuliah mencakup probabilitas dan fungsi distribusi, teori kinetik, danmekanika statistik. Selain itu juga disentuh pengertian ensemble, terutamaensemble kanonis untuk perluasan penerapan pada gas yang menyimpang darisifat ideal.1.2 FI3202 Fisika Statistik (4 SKS)Kuliah ini bertujuan untuk meletakkan dasar fisika statistik kepada mahasiswatingkat 3 jenjang stratum 1. Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa diharap-kan: (1) memahami peran dan kedudukan fisika statistik dalam bidang fisika,(2) memahami dasar-dasar fisika statistik, (3) dapat menerapkannya dalammasalah sederhana, dan (4) dapat memahami kuliah lanjut tentang sifat-sifatzat maupun kuliah lain yang menggunakan fisika statistik.Isi kuliah meliputi:• Probabilitas dan fungsi distribusi,• Teori kinetik gas: anggapan dasar, fluks molekul, tekanan, persamaankeadaan, prinsip ekipartisi energi,• Fungsi distribusi laju menurut Maxwell,• Gejala transport: penampang tumbukan, jalan bebas rata-rata, viskositasgas, konduktivitas termal gas, difusi gas.• Mekanika statistik: tingkat energi, keadaan energi, keadaan makro,keadaan mikro,• Statistik Maxwell-Boltzmann: peluang termodinamik, penurunan dis-tribusi partikel, fungsi partisi, entropi dan paradoks Gibbs,• Statistik semi-klasik: entropi, fungsi Helmholtz,• Statistik Bose-Einstein: peluang termodinamik, penurunan distribusi par-tikel,• Statistik Fermi-Dirac: peluang termodinamik, penurunan distribusi par-tikel,
    • 1.3. VERSI CATATAN KULIAH 3• Keterbatasan ansambel mikrokanonis,• Ansambel kanonis: gas riel dengan interaksi lemah.Prasyarat: FI2182 Fisika Moderen, FI2102 Fisika Matematika IA, FI2202Fisika Matematika II, dan FI2202 Termodinamika.Keempat prasayarat tersersebut sebaiknya telah dipenuhi agar peserta mataku-liah ini tidak mengalami kesulitan dalam mengikuti materi-materi dalam perku-liahan ini.1.3 Versi catatan kuliahTerdapat tiga versi catatan kuliah in sebelumnya, yaitu versi Mei 2010 yangdigunakan dalam kuliah pada Semester II Tahun 2009/2010, versi Juli 2010yang digunakan dalam kuliah Semester III Tahun 2009/2010, dan versi draftyang merupakan gabungan versi Mei 2010 ditambahkan dengan contoh simulasiuntuk diajukan pada hibah penulisan buku. Versi yang ada sekarang adalahversi Agustus 2010 yang merupakan gabungan kesemua versi di atas. Olehkarena itu versi ini terlihat agak tidak terintegrasi.1.4 Buku rujukanBuku rujukan utama kuliah ini adalah1. A. J. Pointon, ”An Introduction to Statistical Physics for Students”, Long-mans, First Print, (1967)2. Francis W. Sears and Gerhard L. Salinger, ”Thermodynamics, KineticTheory, and Statistical Thermodynamics”, Addison-Wesley, Third Edi-tion, Fifth Print, (1980)
    • 4 CATATAN 1. PENDAHULUAN
    • Catatan 2Faktorial dan FungsiGammaFungsi gamma atau biasa dituliskan sebagai Γ(n) dan kaitannya dengan fak-torial n! akan dibicarakan dalam tulisan ini. Detil mengenai relasi tersebutdapat dilihat dalam literatur [1]. Faktorial untuk bilangan bulat dan setengahbulat akan digunakan dalam distribusi Maxwell-Boltzmann untuk energi, mo-mentum, dan laju dalam suatu asembli klasik [2] dan juga dalam penurunanfungsi distribusi partikel yang memenuhi berbagai jenis statistik [3].2.1 FaktorialFaktorial dari suatu bilangan bulat, misalnya saja n, memiliki artin! = n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) · · · 3 · 2 · 1, (2.1)di mana0! = 1. (2.2)Demikinlah nilai faktorial terdefinisi pada nilai bilangan bulat positif.2.2 Fungsi gamma untuk n bulat positifFungsi gamma didefinisikan sebagai5
    • 6 CATATAN 2. FAKTORIAL DAN FUNGSI GAMMAΓ(n + 1) =∞0e−xxndx. (2.3)Dengan melakukan integrasi parsial terhadap Persamaan (2.3) dapat diperolehΓ(n + 1) = nΓ(n), (2.4)yang apabila dituliskan lebih jauhΓ(n + 1) = n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) · · · 2 · 1 · Γ(1) = n! Γ(1). (2.5)Dengan menggunakan Persamaan (2.3) dapat dihitung bahwaΓ(1) =∞0e−xdx = 1, (2.6)sehingga dapat diperoleh hubungan antara fungsi gamma dan faktorial, yaituΓ(n + 1) = n!. (2.7)Soal 1. Aturan L’Hˆopital menyatakan bahwalimx→af(x)g(x)= limx→af′(x)g′(x), (2.8)di mana f(a) dan g(a) keduanya bernilai nol. Gunakan Persamaan (2.8) untukmenghitunge−xxn ∞x=0. (2.9)Jawab 1. Persamaan (2.9) dapat dituliskan dalam bentuke−xxn ∞x=0= limx→∞e−xx−n− limx→0e−xx−n= limx→∞e−xx−n− 0. (2.10)Persamaan (2.10) dengan menggunakan aturan L’Hˆopital akan menjadilimx→∞e−xx−n= limx→∞e−xnx−n+1= limx→∞e−xn(n − 1)x−n+2= limx→∞e−xn(n − 1)(n − 2)x−n+3= ·· = limx→∞e−xn!= 0.
    • 2.3. FUNGSI GAMMA UNTUK N KELIPATAN GANJIL 12 7Penggunaan aturan L’Hˆopital dalam persamaan sebelumny dilakukan pada ben-tuk xn/ex, baru kemudian pada setiap langkah dievaluasi untuk bentuk 0/0-nya(e−x/x−n).Soal 2. Buktikan hubungan dalam Persamaan (2.4) dengan menggunakan in-tegral parsial pada Persamaan (2.3) dan hasil dari Persamaan (2.9).Jawab 2. Intergral pada ruas kanan Persamaan (2.3) dihitung melalui interasiparsialΓ(n + 1) =∞0e−xxndx⇒∞0e−xxndx = −e−xxn ∞x=0+ n∞0e−xxn−1dx⇒∞0e−xxndx = 0 + n∞0e−xxn−1dx⇒∞0e−xxndx = n∞0e−xxn−1dx⇒ Γ(n + 1) = nΓ(n),yang memberikan sifat rekusif dari fungsi gamma seperti dituliskan dalam Per-samaan (2.4).Soal 3. Hitunglah 0! dengan menggunakan fungsi gamma.Jawab 3. Dari Persamaan (2.7) dapat diperoleh bahwa 0! = Γ(1) dan dariPersamaan (2.6) diperoleh bahwa Γ(1) = 1. Dengan demikian dapat diperolehbahwa 0! = 1.2.3 Fungsi gamma untuk n kelipatan ganjil 12Dengan menggunakan Persamaan (2.3) dapat dituliskan bahwaΓ(12) =∞0e−xx− 12 dx. (2.11)Soal 4. Turunkan Persamaan (2.11) dari Persamaan (2.3).Jawab 4. Gunakan nilai n = 12 .Bila n adalah setengah bilangan bulat maka fungsi gamma akan memberikanhubunganΓ(n + 1) = n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) · · ·52·32·12· Γ(12). (2.12)
    • 8 CATATAN 2. FAKTORIAL DAN FUNGSI GAMMAPersamaan (2.12) tetap memenuhi hubungan dalam Persamaan (2.4).Nilai dari Γ(12 ) sendiri dapat dihitung dengan menyelesaikan Persamaan (2.11)sehingga diperoleh bahwa∞0e−xx− 12 dx =√π. (2.13)Soal 5. Buktikan Persamaan (2.13).Jawab 5. Pertama-tama tuliskan Persamaan (2.13) dalam bentuk∞0e−uu− 12 du.Lalu misalkan u = x2sehingga∞0e−x2x−1(2xdx) = 2∞0e−x2dx =∞−∞e−x2dx.Misalkan bahwaI ≡ Ix =∞−∞e−x2dx.sehinggaI2≡ IxIy =∞−∞e−x2dx∞−∞e−y2dy =∞x=−∞∞y=−∞e−(x2+y2)dxdy.Ubahlah elemen luas dalam sistem koordinat kartesian (dx)(dy) menjadi elemenluas dalam sistem koordinat polar (dr)(rdθ) dan dengan hubunga r2= x2+ y2sehinggaI2≡∞r=02πθ=0e−r2rdrdθ =∞r=0e−r2 12d(r2)2πθ=0dθ =12· 1 · 2π = π.Dengan demikian dapat diperoleh bahwaI =√π ⇒∞0e−uu− 12 du. =√π ⇒ Γ(12) =√π.Soal 6. Hitunglah Γ(52 ).Jawab 6. Γ(52 ) = Γ(1 + 32 ) = 32 · 12 · Γ(12 ) = 34√π.
    • 2.4. FUNGSI GAMMA YANG LEBIH UMUM 92.4 Fungsi gamma yang lebih umumSecara umum dapat dituliskan bahwa∞0e−λxx− 12 dx =1λ12Γ(12) =πλ(2.14)dan∞0xne−ax2dx =12a(n+1)/2∞0y(n−1)/2e−ydy=12a(n+1)/2Γ[(n + 1)/2]. (2.15)2.5 Aproksimasi StrilingAproksimasi Striling yang berguna untuk menyederhanakan faktorial dan saatmenurunkannya adalahn! ≈ nne−n√2πn (2.16)atauln n! ≈ (n +12) ln n − n +12ln(2π). (2.17)2.6 Aproksimasi dengan grafikAproksimasi lain untuk ln n! dapat diperoleh lewat grafik seperti ditunjukkandalam Gambar 2.1. Dengan demikian dapat dituliskan bahwa aproksimasi untukln n! adalahln n! =ni=1ln i ≈12ln n +n1ln xdx = (n +12) ln n − n + 1. (2.18)Soal 7. Buktikan dari grafik aproksimasi dalam Persamaan (2.18) dengan meng-gunakan Gambar 2.1.Jawab 7. Bahas luas dari kurva di bawah ln x untuk kotak pertam, di manakelebihan kotak sebelah kanan titik tengah n adalah untuk bagian sebelah kiri di
    • 10 CATATAN 2. FAKTORIAL DAN FUNGSI GAMMAbawah kurva. Demikian seterusnya sehingga tersisa saat kotak ke n ada faktor12 ln n yang belum dihitung dalam ln xdx. Lebar tiap kotak adalah 1.00.511.522.50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12lnnnGambar 2.1: Histogram dari ln n dan kurva ln x yang saling digambarkanbertumpang tindih.2.7 Aproksimasi lainDengan melihat nilai yang besar dari n di mana umumnya merupakan daerahkerja mekanika statistik dan umumnya yang dibahas adalah perubahan nilaiatau turunan dari ln n! maka aproksimasi lain digunakan, yaituln n! ≈ n ln n − n. (2.19)Soal 8. Bandingkan nilai-nilai ln n! dengan menggunakan Persamaan (2.17),(2.18), dan (2.19).Jawab 8. Pembandingan nilai-nila ln n! yang diminta dapat dilihat dalam Tabel2.1.2.8 Script menggambar grafik ln nset term post eps color enhanced 28 lw 1set output "ln-n.eps"set size 1.4, 1.2set xrange [-0.2:12.2]
    • 2.9. REFERENSI 11Tabel 2.1: Nilai-nilai ln n! dengan menggunakan Persamaan (2.17), (2.18), dan(2.19).n ln n!Persamaan(2.17) (2.18) (2.19)10 15.1 15.1 15.18 13.0350 148.48 148.48 148.56 145.6100 363.74 363.74 363.82 360.52150 605.02 605.02 605.1 601.6170 706.57 706.57 706.65 703.09set yrange [-0.1:2.6]set xtics 1set ytics 0.5set grid#set label "{/Italics D}_{/Italics L}" #at 0, 0.12set xlabel "{/Italics n}"set ylabel "ln {/Italics n}"plot "data.txt" u 1:(log($1)) t "" lw 4 w boxes, log(x) t "" lw 4Script di atas dipanggil dengna menggunakan aplikas gnuplot sehingga berkasln-n.eps dihasilkan seperti dalam Gambar 2.1.2.9 Referensi1. Mary L. Boas, ”Mathematical Methods in the Physical Sciences”, JohnWiley & Sons, New York, Second Edition, 457-462 (1983)2. A. J. Pointon, ”An Introduction to Statistical Physics for Students”, Long-mans, First Print, 189-191 (1967)3. Francis W. Sears and Gerhard L. Salinger, ”Thermodynamics, KineticTheory, and Statistical Thermodynamics”, Addison-Wesley, Third Edi-tion, Fifth Print, 424-426 (1980)
    • 12 CATATAN 2. FAKTORIAL DAN FUNGSI GAMMA
    • Catatan 3Pengali Tak Tentu LagrangePengali Tak Tentu Lagrange (the Lagrange method of undetermined multipli-ers) adalah suatu metoda matematika untuk mencari maksimum atau minimumsuatu fungsi yang dibatasi oleh suatu syarat dari fungsi lain [1], di mana metodeini termasuk dalam optimisasi matematika [2]. Bila jumlah variabel bebas dansyarat yang membatasi sedikit, cukup dilakukan substitusi standar. Akan tetapibila jumlah variabel bebas dan syarat-syarat banyak, maka akan terdapat terlalubanyak fungsi yang harus diselesaikan secara bersama-sama. Di sinilah metodaini ini berperan dengan memperkenalkan satu konstanta untuk setiap syaratdari satu fungsi lain yang diperlukan [3]. Penjelasan yang cukup sederhanadapat dilihat dalam literatur [4].3.1 Maksimum dan minimum suatu fungsiBila terdapat suatu fungsi f(x, y, z) yang ingin dicari nilai maksimum atauminimumnya, maka cukup dipenuhidf =∂f∂xdx +∂f∂ydy +∂f∂zdz = 0. (3.1)Soal 1. Suatu lingkaran yang terletak di pusat koordinat dengan jari-jari Rmemiliki fungsi f(x, y) = x2+ y2− R2= 0. Tentukanlah nilai maksimum danminimum dari x.Jawab 1. Gunakan Persamaan (3.1) sehingga diperolehdf = 2xdx + 2ydy = 0.Untuk mencari nilai maksimum dari x maka perlu dicari nilai y lewat13
    • 14 CATATAN 3. PENGALI TAK TENTU LAGRANGEdxdy=yx= 0 ⇒ y = 0.Gunakan nilai ini ke persamaan lingkaran sehinga diperoleh bahwax2− R2= 0 ⇒ x = ±R.Jadi nilai maksimum dan minimum x berturut-turut adalah −R dan +R.Soal 2. Tentukan nilai y minimum dari fungsi f(x, y) = y − x2= 0.Jawab 2. Gunakan Persamaan (3.1) sehingga diperolehdf = dy − 2xdx = 0.Untuk mencari nilai minimum y perlu dicari nilai x daridydx= 2x = 0 ⇒ x = 0.Dengan demikian dapat diperoleh bahway − 02= 0 ⇒ y = 0,yang merupakan nilai minimum y.3.2 Syarat tambahanMencari minimum atau maksimum suatu fungsi f(x, y, z) tidak cukup denganmenggunakan Persamaan (3.1) bila terdapat syarat tambahan berupa fungsilain, misalnya φ(x, y, z). Untuk itu diperkenalan dengan suatu metode yangmenggunakan pengali berupa konstanta α yang belum diketahui nilainya, pen-gali tak tentu Lagrange, sehingga perluasan dari Persamaan (3.1) yang meru-pakan kondisi yang harus terpenuhi adalahdf + αdφ = 0, (3.2)dengan bentuk dφ mirip dengan bentuk df. Bila bentuk φ(x, y, z) dapat dit-uliskan dalam bentuk
    • 3.2. SYARAT TAMBAHAN 15φ(x, y, z) = 0 (3.3)makadφ =∂φ∂xdx +∂φ∂ydy +∂φ∂zdz = 0. (3.4)Selanjutnya dapat diperoleh dari Persamaan (3.4) bentukdx = −∂φ∂ydy +∂φ∂zdz /∂φ∂x, (3.5)sebagaimana untuk dy maupun dz. Substitusi Persamaan (3.5) ke Persamaan(3.1) akan memberikandf =∂f∂xdx +∂f∂ydy +∂f∂zdz = 0,⇒ df =∂f∂x−∂φ∂ydy +∂φ∂zdz /∂φ∂x+∂f∂ydy +∂f∂zdz = 0,⇒ df =∂f∂y−∂f∂x∂φ/∂y∂φ/∂xdy +∂f∂z−∂f∂x∂φ/∂z∂φ/∂xdz = 0. (3.6)Dengan ∂f∂x /∂φ∂x pada titik stasioner diberi nilai −α maka∂f∂x+ α∂φ∂x= 0. (3.7)Persamaan (3.6) dapat dituliskan menjadidf ≡∂f∂x+ α∂φ∂xdx +∂f∂y+ α∂φ∂ydy +∂f∂z+ α∂φ∂zdz = 0. (3.8)Agar Persamaan (3.8) dapat menentukan suatu titik stasioner maka setiap sukudalam tanda kurung harus bernilai nol, sebagaimana persamaan tersebut harusdipenuhi untuk setiap nilai dari perubahan dy dan dz, maka kurung kedua danketiga harus bernilai nol, sementara kurung pertama bernilai nol akibat definisidari α dalam Persamaan (3.7).Karena α merupakan rasio dari −∂f∂x /∂φ∂x pada suatu titik stasioner, nilaniyahanya dapat ditentukan dengan melakukan substitusi kembali solusi yang diper-oleh ke persamaan yang merupakan syarat awal φ(x, y, z) = 0. Oleh karena itu
    • 16 CATATAN 3. PENGALI TAK TENTU LAGRANGEα dikenal sebagai suatu pengali tak tentu atau lebih umum, pengali tak tenuLagrange (a Lagrange undetermined multiplier).Soal 3. Suatu fungsi f(x, y, z) ingin diminimumkan dengan syarat-syaratφ1(x, y, z), φ2(x, y, z), dan φ3(x, y, z). Tentukanlah bentuk persamaan yangharus dipecahkan dengan memperkenalkan tiga buah pengali tak tentu La-grange.Jawab 3. Dengan menggunakan Persamaan (3.2) dapat dituliskandf = αφ1 + βφ2 + γφ3 = 0adalah fungsi yang harus dipecahkan dengan pengali-pengali tak tentu La-grangenya adalah α, β, dan γ, yang akan dicari kemudian.Soal 4. Tentukan kuadrat jarak minimum dan maksimum dari suatu titik (2R,0) terhadap lingkaran x2+ y2= R2.Jawab 4. Fungsi yang ingin dicari titik stasionernya adalahf(x, y) = (x − 2R)2+ y2dengan syarat batasφ(x, y) = x2+ y2− R2= 0.Dengan menggunakan Persamaan (3.2) dapat dituliskan bahwadf + αdφ = [2(x − 2R)dx + 2ydy] + α[2xdx + 2ydy] = 0.[x(1 + α) − 2R]dx + y(1 + α)dy = 0.dxdy=y(1 + α)2R − x(1 + α). (3.9)Nilai x minimum dan maksimum dapat dicari dengan membuat Persamaan (3.9)menjadi nol, sehingga0 = y(1 + α) ⇒y = 0, α =?α = −1, y =?Bila dipilih y = 0 maka diperoleh dari syarat batas bahwa x = ±R sehingga fbernilai R2dan (3R)2. Dengan menggunakan x = 2R/(1+α) dan α = −1 tidakmemberikan solusi karena tidak memenuhi fungsi yang φ(x, y) yang membatasi.
    • 3.3. REFERENSI 17Soal 5. Tentukan kuadrat jarak minimum dan maksimum dari suatu titik (R,R) terhadap lingkaran x2+ y2= R2.Jawab 5. Fungsi yang ingin dicari titik stasionernya adalahf(x, y) = (x − R)2+ (y − R)2dengan syarat batasφ(x, y) = x2+ y2− R2= 0.Dengan menggunakan Persamaan (3.2) dapat dituliskan bahwadf + αdφ = [2(x − R)dx + 2(y − R)dy] + α[2xdx + 2ydy] = 0.[x(1 + α) − R]dx + [y(1 + α) − R]dy = 0. (3.10)Dapat dipilih α = ±√2−1 agar Persamaan (3.10) dapat bernilai nol dan fungsiyang membatasi tetap terpenuhi. Dengan pilihan ini diperoleh bahwa kuadratjarak minimum adalah (3 − 2√2)R2dan kuadrat jarak maksimum adalah (3 +2√2)R2.3.3 Referensi1. Mary L. Boas, ”Mathematical Methods in the Physical Sciences”, JohnWiley & Sons, New York, Second Edition, 174-181 (1983)2. Wikipedia contributors, ”Lagrange multipliers”, Wikipedia, The Free En-cyclopedia, 26 May 2010, 20:32 UTC, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Lagrange multipliers&oldid=364362085[accessed 6July 2010]3. Francis W. Sears and Gerhard L. Salinger, ”Thermodynamics, KineticTheory, and Statistical Thermodynamics”, Addison-Wesley, Third Edi-tion, Fifth Print, 421-423 (1980)4. A. J. Pointon, ”An Introduction to Statistical Physics for Students”, Long-mans, First Print, 189-191 (1967)
    • 18 CATATAN 3. PENGALI TAK TENTU LAGRANGE
    • Catatan 4Konfigurasi Paling MungkinSuatu StatistikDari ketiga statistik yang dipelajari, yaitu statistik Maxwell-Boltzmann, statis-tik Bose-Einstein, dan statistik Fermi-Dirac, dapat diperoleh rumusan mengenaipeluang termodinamika suatu keadaan makro k, yaitu Wk. Dengan mengang-gap bahwa suatu sistem tersusun atas banyak partikel maka terdapat suatupuncak yang cukup tajam dari Wk terhadap nilai-nilai lain di sekelilingnya,yang disebut sebagai Wk,maks dan dicari dengan memaksimumkan Wk [1].4.1 Syarat batas suatu sistemSistem yang dibahas di sini dibatasi pada sistem tertutup dan terisolasi. Istilahtertutup dan terisolasi terkait dengan jumlah total partikel dalam sistem N danenergi total sistem U, di mana energi pada tingkat energi j adalah ǫj dan jumlahpartikel yang menempati tingkat energi tersebut adalah Nj.Soal 1. Bila terdapat M tingkat energi dengan masing-masing tingkat energiditempati oleh Nj partikel, tuliskan rumusan bagaimana menghitung jumlahtotal partikel dalam sistem.Jawab 1. Jumlah total partikel dalam sistem dihitung melaluiN =Mj=1Nj. (4.1)Soal 2. Energi tingkat energi j adalah ǫj dan ditempati oleh Nj partikel.Hitunglah energi total sistem U apabila terdapat M tingkat energi.Jawab 2. Energi total sistem U dihitung melalui19
    • 20 CATATAN 4. KONFIGURASI PALING MUNGKIN SUATU STATISTIKU =Mj=1ǫjNj. (4.2)Soal 3. Hitunglah energi rata-rata sistem bila energi tingkat energi j adalah ǫjdan ditempati oleh Nj partikel.Jawab 3. Energi rata-rata sistem dihitung melaluiǫ =UN=Mj=1 ǫjNjMj=1 Nj. (4.3)Soal 4. Apa yang dimaksud dengan sistem tertutup dan terisolasi? Bagaimanamerumuskannya terkait dengan Persamaan (4.1) dan (4.2)?Jawab 4. Sistem tertutup berarti bahwa jumlah partikel dalam sistem tetap.Tidak terjadi perubahan jumlah partikel, jumlah partikel tidak berkurangmelalui keluarnya partikel dari sistem atau jumlah partikel tidak bertambahmelalui masuknya partikel ke dalam sistem. Syarat ini dirumuskan dengandN = djNj =jdNj = 0. (4.4)Sedangkan sistem terisolasi berarti energi total sistem tetap yang dirumuskanmelaluidU = djǫjNj =jǫjdNj = 0. (4.5)Soal 5. Bagaimana cara mencari Wk,maks dari suatu sistem tertutup dan ter-isolasi dengan memperkenalkan dua pengali tak tentu Lagrange a dan b?Jawab 5. Fungsi yang harus dimaksimmukan adalah Wk dengan mencari tu-runan parsialnya terhadap Nj dan syarat batas yang harus dipergunakan adalahdN = 0 (sistem tertutup) dan dU = 0 (sistem terisolasi). Dengan demikiandW + adN + bdU = 0, (4.6)yang lebih eksplisitnya adalahj∂Wk∂NjdNj +j∂(adN)∂NjdNj +j∂(bdU)∂NjdNj = 0,
    • 4.2. MEMAKSIMUMKAN W 21⇒j∂Wk∂NjdNj +j∂(a i dNi)∂NjdNj +j∂(b i ǫidNi)∂NjdNj = 0,⇒j∂Wk∂NjdNj +jaδij∂Ni∂NjdNj +jbǫiδij∂Ni∂NjdNj = 0,⇒j∂Wk∂NjdNj + ajdNj + bjǫjdNj = 0. (4.7)Umumnya, yang dimaksimumkan bukanlah Wk akan tetapi ln Wk sehingga Per-samaan (4.6) akan menjadidln W + αdN + βdU = 0, (4.8)dengan memperkenalkan α dan β sebagai pengali tak tentu Lagrange. Denganmenggunakan prosedur yang sama untuk menghasilkan Persamaan (4.7) dapatdiperolehj∂ ln Wk∂NjdNj + αjdNj + βjǫjdNj = 0. (4.9)Selanjutnya Wk dalam Persamaan (4.9) akan dituliskan hanya sebagai W agartidak indeks k tidak membingungkan.4.2 Memaksimumkan WTelah diperoleh bahwa persamaan yang harus dipecahkan adalah Persamaan(4.9), yang dapat dituliskan kembali menjadij∂ ln W∂Nj+ α + βǫj dNj = 0. (4.10)Untuk mencari nilai ln W maksimum (dapat juga minimum) maka harus pulaberlaku maksimum untuk setiap suku yang terkait dengan dNj, yang berartibahwa∂ ln W∂Nj+ α + βǫj = 0. (4.11)Soal 6. Bila W = j Nj!, selesaikan Persamaan (4.11) untuk setiap Nj denganmenggunakan aproksimasi Stirling.Jawab 6. Aproksimasi Strirling untuk ln n! dalam Persamaan (2.17) mem-berikan ln N! ≃ N ln N − N. Dengan demikian dapat diperoleh bahwa
    • 22 CATATAN 4. KONFIGURASI PALING MUNGKIN SUATU STATISTIKln W =j(ln Nj!) ≃j(Nj ln Nj − Nj).Soal 7. Tentukan ln W untuk statistik Maxwell-Boltzmann.Jawab 7. Statistik Maxwell-BoltzmannWMB = N!jgNjjNj!(4.12)sehinggaln WMB = ln N! +j(Nj ln gj − ln Nj!)≃ N ln N − N +j(Nj ln gj − Nj ln Nj + Nj) (4.13)Soal 8. Tentukan ln W untuk statistik Bose-Einstein.Jawab 8. Statistic Bose-EinsteinWBE =j[(gj − 1) + Nj]!(gj − 1)!Nj!(4.14)sehinggaln WBE =j[(gj − 1) + Nj]! −j(gj − 1)! −jNj!≃j{[(gj − 1) + Nj] ln[(gj − 1) + Nj] − [(gj − 1) + Nj]}−j{(gj − 1) ln(gj − 1) − (gj − 1)} −j{Nj ln Nj − Nj}≃j{[(gj − 1) + Nj] ln[(gj − 1) + Nj] − (gj − 1) ln(gj − 1)−Nj ln Nj}. (4.15)Soal 9 Tentukan ln W untuk statistik Fermi-Dirac.Jawab 9. Statistik Fermi-Dirac
    • 4.3. DISTRIBUSI SUATU STATISTIK 23WFD =jgj!(gj − Nj)!Nj!(4.16)sehinggaln WFD =jgj! −j(gj − Nj)! −jNj!≃j(gj ln gj − gj) −j[(gj − Nj) ln(gj − Nj) − (gj − Nj)]−j(Nj ln Nj − Nj)≃j[gj ln gj − (gj − Nj) ln(gj − Nj) − Nj ln Nj] (4.17)4.3 Distribusi suatu statistikDengan menggunakan Persamaan (4.11) untuk masing-masing stastik sepertidalam Persamaan (4.13), (4.15), dan (4.17), akan dapat diperoleh untuk kon-figurasi yang paling mungkin distribusi partikel untuk masing-masing statistik,yaituNj,MB =gje−(α+βǫj), (4.18)Nj,BE =gje−(α+βǫj) − 1, (4.19)Nj,FD =gje−(α+βǫj) + 1. (4.20)Soal 10. Turunkan Persamaan (4.18).Jawab 10. Dari Persamaan (4.13) dan Persamaan (4.11) dapat dituliskan dandiperleh bahwa∂∂NjlnN ln N +j(Nj ln gj − Nj ln Nj)+ α + βǫj = 0⇒ lngjNj+ α + βǫj = 0 ⇒ lngjNj= −(α + βǫj)⇒gjNj= e−(α+βǫj)⇒ Nj =gje−(α+βǫj),
    • 24 CATATAN 4. KONFIGURASI PALING MUNGKIN SUATU STATISTIKseperti dalam Persamaan (4.18).Soal 11. Turunkan Persamaan (4.19).Jawab 11. Dari Persamaan (4.15) dan Persamaan (4.11) dapat dituliskan dandiperleh bahwa∂∂Nj{[(gj − 1) + Nj] ln[(gj − 1) + Nj] − (gj − 1) ln(gj − 1) − Nj ln Nj}+α + βǫj = 0⇒ ln[(gj − 1) + Nj] − ln Nj + α + βǫj = 0⇒ ln[(gj − 1) + Nj]Nj= −(α + βǫj) ⇒gj − 1Nj= e−(α+βǫj)− 1gj >> 1 ⇒gjNj= e−(α+βǫj)− 1 ⇒ Nj =gje−(α+βǫj) − 1,seperti dalam Persamaan (4.19).Soal 12. Turunkan Persamaan (4.20).Jawab 12. Dari Persamaan (4.17) dan Persamaan (4.11) dapat dituliskan dandiperleh bahwa∂∂Nj{gj ln gj − (gj − Nj) ln(gj − Nj) − Nj ln Nj} + α + βǫj = 0⇒ ln(gj − Nj) − ln Nj + α + βǫj = 0⇒ lngj − NjNj= −(α + βǫj) ⇒gjNj= e−(α+βǫj)+ 1⇒ Nj =gje−(α+βǫj) + 1,seperti dalam Persamaan (4.20).4.4 Referensi1. A. J. Pointon, ”An Introduction to Statistical Physics for Students”, Long-mans, First Print, 14-15 (1967)
    • Catatan 5Parameter βParameter β yang digunakan sebagai salah satu pengali tak tentu Lagrangeuntuk mencari nilai maksimum dari logaritma peluang termodinamika suatukeadaan makro ln W, sebagaimana dituliskan dalam Persamaan (4.8), perludicari artinya secara fisis. Distribusi partikel dari konfigurasi yang palingmungkin untuk ketiga statistik, Maxwell-Boltzmann (MB), Bose-Einstein (BE),dan Fermi-Dirac (FD), telah diperoleh dan masing-masing mengandung param-eter β sebagaimana dituangkan dalam Persamaan (4.18), (4.19), dan (4.20).Bagaimana fungsi dari parameter β dan bentuk eksplisitnya dapat dilihat pen-jelasannya dalam [1] dan saduran bebasnya dalam [2].5.1 Dua buah sistem kontak secara termalSalah satu pendekatan yang digunakan untuk menunjukkan bagaimana intepre-tasi secara fisis dari parameter β adalah dengan memisalkan terdapatnya duabuah sistem tertutup yang hanya dapat saling mempertukarkan energi, akantetapi tidak dapat mempertukarkan partikel. Kedua sistem yang dimaksud,secara gabungan, dianggap sebagai sistem yang terisolasi.Soal 1. Bagaimanakah rumusan dua buah sistem yang masing-masing tertutupdi mana keduanya dapat saling mempertukarkan energi, akan tetapi gabungankeduanya merupakan suatu sistem terisolasi terhadap lingkungannya? Gunakanuntuk sistem pertama tanda ′dan untuk sistem kedua tanda ′′.Jawab 1. Kedua sistem merupakan sistem tertutup, sehingga dapat dituliskanbahwadN′= 0, (5.1)dN′′= 0, (5.2)25
    • 26 CATATAN 5. PARAMETER βdan karena gabungan keduanya merupakan sistem yang terisolasi denganlingkungannya makadU = 0, (5.3)dU = dU′+ dU′′. (5.4)Saat dua buah sistem digabungkan maka ada parameter dalam sistem gabunganyang merupakan hasil perkalian dari parameter masing-masing sistem. Salahsatu contoh parameter yang bersifat seperti ini adalah peluang termodinamikasuatu keadaan makro (yang mulai sekarang diambil tak lain adalah keadaanmakro yang paling mungkin muncul) W. Jadi bila peluang keadaan makroyang paling mungkin muncul dari sistem pertama adalah W′dan untuk sistemkedua adalah W′′maka peluang keadaan makro sistem gabungan adalahW = W′W′′. (5.5)Soal 2. Peluang termodinamika keadaan-keadaan makro suatu sistem adalah20, 30, 4000, 35, 20, 5. Sedangan suatu sistem lain memiliki peluang termodi-namika keadaan-keadaan makro 1, 5, 1500, 3, 1. Tentukanlah peluang keadaanmakro yang paling mungkin mumcul dari gabungan kedua sistem tersebut.Jawab 2. Untuk sistem pertama W′= 4000 dan untuk sistem kedua W′′=1500, sehingga dengan menggunakan Persamaan (5.5) dapat diperoleh bahwaW = 6000000.Soal 3. Rumuskan dengan menggunakan pengali tak tentu Lagrange α′, α′′,dan β dua buah sistem tertutup yang dapat kontak secara termal dan meru-pakan sistem gabungan yang terisolasi terhadap lingkungannya. Serta jelaskanmengapa hanya perlu satu parameter β.Jawab 3. Dengan menggunakan W sistem gabungan dan syarat bahwa dN′=0, dN′′= 0, dan dU = 0 maka dapat dituliskan bahwad ln W + α′dN′+ α′′dN′′+ βdU = 0, (5.6)sehingga dapat diperoleh untuk tiap dN′j dan dN′′j∂W′∂N′j+ α′+ βǫ′j = 0, (5.7)∂W′′∂N′′j+ α′′+ βǫ′′j = 0, (5.8)karena W′hanya bergantung dari N′j dan W′′hanya bergantung dari N′′j .
    • 5.2. HUKUM PERTAMA TERMODINAMIKA 27Soal 4. Turunkan Persamaan (5.7) dan (5.8) dari Persamaan (5.6) denganmenggunakan Persamaan (5.4).Jawab 4. Dapat dituliskan dan diperoleh bahwad ln W + α′dN′+ α′′dN′′+ βdU = 0,d ln(W′W′′) + α′dN′+ α′′dN′′+ βd(U′+ U′′) = 0,d ln W′+ d ln W′′+ α′dN′+ α′′dN′′+ βdU′+ βdU′′= 0,(d ln W′+ α′dN′+ βdU′) + (d ln W′′+ α′′dN′′+ βdU′′) = 0,j∂W′∂N′j+ α′+ βǫ′j dN′j +j∂W′′∂N′′j+ α′′+ βǫ′′j dN′′j = 0seperti dalam Persamaan (5.7) dan (5.8) di mana masing-masing suku harus noluntuk setiap perubahan dN′j dan dN′′j .Karena kedua sistem hanya dapat mempetukarkan kalor maka saat terjadinyakesetimbangan hanya satu parameter yang akan berniali sama yaitu temperaturT (hal ini sesuai dengan hukum ke-nol termodinamika). Dari (5.7) dan (5.8)dapat dilihat bahwa hanya satu parameter yang sama untuk kedua sistem yaituβ. Dengan demikian dapat diperoleh bahwa seharusnyaβ = β(T ) (5.9)yang merupakan suatu intepretasi secara fisis kelakuan dari β.5.2 Hukum pertama termodinamikaTerdapat pula sudut pandang lain untuk melihat arti dari pengali β yang me-manfaatkan hubungan yang diungkapkan oleh hukum pertama termodinamika,yaitudU = dQ − pdV. (5.10)Dengan menggunakan Persamaan (4.5) dalam bentuk yang lebih umum di manamungkin terdapat perubahan dǫj maka dapat dituliskan bahwadU = djǫjNj =jNjdǫj +jǫjdNj. (5.11)Perubahan volume akan mengubah tingkat-tingkat energi sebagaimana kasuspartikel dalam kotak sedangkan perubahan kalor akan membuat terjadinya pe-
    • 28 CATATAN 5. PARAMETER βrubahan susunan partikel dalam tingkat-tingkat energi. Dengan demikian dapatdituliskan bahwajNjdǫj = −pdV, (5.12)jǫjdNj = dQ. (5.13)Soal 5. Pada saat tercapainya kesetimbangan sehingga tidak lagi terjadi pe-rubahan volume, turunkan bentuk parameter β secara eksplisit dengan meng-gunakan rumusan pengali tak tentu Lagrange dalam mencari peluang termodi-namika suatu keadaan makro W yang paling mungkin dan rumusan entropi dariBoltzmann serta hubungan antara perubahan entropi dengan perubahan kalor.Sistem merupakan sistem tertutup.Jawab 5. Rumusan pengali tak tentu Lagrange dalam mencari peluang ter-modinamika suatu keadaan makro W yang paling mungkin memberikandW + αdN + βdU = 0,di mana bila tidak terjadi perubahan volume maka melalui hukum pertamatermodinamikadU = dQ,sehingga dapat diperolehdW + αdN + βdQ = 0.Dengan menerapkan syarat sistem tertutup, yaitu dN = 0 maka dapat diperolehbahwad ln W = −βdQ.Selanjutnya dengan menggunakan ungkapan Boltzmann untuk entropi, yaituS = k ln W, (5.14)dan hubungan dS = dQ/T dapat dituliskan bahwa
    • 5.3. TEORI KINETIK GAS 29d ln W = −βdQ⇒ dSk= −βdQ⇒dSk= −βdQ⇒dSdQ= −βk⇒1T= −βkβ = −1kT. (5.15)Persamaan (5.15) menggambarkan hubungan eksplisit antara β dang T .5.3 Teori kinetik gasKhusus untuk statistik Maxwell Boltzmann, terdapat hubunganNj = gjeαj +βǫjseperti telah ditunjukkan oleh Persamaan (4.18). Sedangka teori kinetik gasmenyatakan bahwa energi rata-rata tiap partikel gas monoatomik adalahǫ =32kT. (5.16)Jumlah total partikel dapat diperoleh lewatN =jNj =jgjeαj +βǫj≈∞0[2π(2m)3/2ǫ1/2dǫ/h3]eα+βǫ(5.17)dan energi sistemU =jǫjNj =jǫjgjeαj +βǫj≈∞0ǫ[2π(2m)3/2ǫ1/2dǫ/h3]eα+βǫ(5.18)di managj ≡2π(2m)3/2ǫ1/2dǫh3. (5.19)
    • 30 CATATAN 5. PARAMETER βKemudian dengan menggunakan relasi yang diperoleh dari integral parsial∞0ǫ3/2eβǫdǫ = −32β∞0ǫ1/2eβǫdǫ (5.20)dan bahwa ǫ = U/N makaǫ = −32β=32kT ⇒ β = −1kT,seperti dalam Persamaan (5.15).Soal 6. Buktikan Persamaan (5.20).Jawab 6. Dengan melihat bentuk persamaan yang dimaksud maka dapat dit-uliskanǫ3/2eβǫdǫ =1βǫ3/2eβǫ−32βǫ1/2eβǫdǫ⇒∞0ǫ3/2eβǫdǫ =1βǫ3/2eβǫ∞0−32β∞0ǫ1/2eβǫdǫ⇒∞0ǫ3/2eβǫdǫ = 0 −32β∞0ǫ1/2eβǫdǫ⇒∞0ǫ3/2eβǫdǫ = −32β∞0ǫ1/2eβǫdǫ,di mana telah digunakan suatu asumsi mengenai nilai β, yaitu bahwa β < 0.Soal 7.5.4 Referensi1. A. J. Pointon, ”An Introduction to Statistical Physics for Students”, Long-mans, First Print, 19-25 (1967)2. Sparisoma Viridi dan Siti Nurul Khotimah, ”Catatan Kuliah Fisika Statis-tik”, Semester II Tahun 2009/2010, Mei, 21-27 (2010)
    • Catatan 6Degenerasi dalam RuangFasaDegenerasi atau jumlah keadaan energi gj pada suatu tingkat energi j yangmemiliki energi antara ǫj dan ǫj +dǫj yang bersifat dikrit dapat dilihat menjadisuatu besaran yang berharga kontinu [1]. Bagaimana hal itu dapat dilakukan,akan diilustrasikan dalam catatan ini.6.1 Ruang fasa enam dimensiSaat sebuah partikel bergerak dalam ruang tiga dimensi (x, y, z) dan memilikimomentum pada ketiga arah tersebut (px, py, pz), keadaan partikel tersebutsetiap saat secara lengkap dispesifikasikan dengan enam koordinat yaitu (x, y,z, px, py, pz). Ruang di mana partikel dispesifikasikan dengan enam koordinattersebut disebut sebagai ruang enam dimensi atau ruang Γ.Soal 1. Bila elemen volume ruang koordinat tiga dimensi adalah dxdydz, ten-tukanlah elemen volume ruang fasa enam dimensi Γ.Jawab 1. Ruang Γ memiliki koordinat x, y, z, px, py, pz untuk tiap-tiappartikel. Dengan demikian elemen volumenya adalahdΓ = (dV )(dVp) = (dx, dy, dz)(dpx, dpy, dpz) = dxdydzdpxdpydpz. (6.1)Kaitan antara gj dan dΓ adalahgj ≡dΓh3, (6.2)31
    • 32 CATATAN 6. DEGENERASI DALAM RUANG FASAdi mana h adalah konstanta Planck, h = 6.626 × 10−34m2kg s−1.Bila fungsi yang akan diinteralkan, dalam hal ini adalah suku1eα+βǫj + c, c = −1, 0, 1,tidak bergantung pada koordinat spasial (x, y, z) maka dΓ dapat dituliskanmenjadidΓ = V dpxdpydpzyang artinya telah dilakukan integrasi terhadap elemen volume spasial.Demikian pula bila suku tersebut tidak mengandung koordinat momentum (px,py, pz) maka dapat dituliskan menjadidΓ = Vpdxdydzyang artinya telah dilakukan integrasi terhadap elemen volume momentum.6.2 Integral volume ruang momentumElemen ruang momentum dpxdpydpz dapat pula dituliskan sebagaidVp = dpxdpydpz = 4πp2dpapabila sifat momentumnya dianggap isotropik, homogen ke semua arah.Soal 2. Turunkan dVp = 4πp2dp.Jawab 2. Dengan mengambil analogi seperti transformasi dari ruang spasialdengan sistem koordinat kartesian ke sistem koordinat bola, maka dapat dit-uliskan bahwadVp = dpxdpydpz = (dp)(pdθ)(p sin θ)dϕ.Apabila momentum p bersifat isotropik, maka dapat dilakukan integral terhadapvariabel dθ dan dϕ sehingga dapat diperolehdVp =π0sin θdθ2π0dϕ p2dp = 4πp2dp.
    • 6.3. INTEGRAL VOLUME RUANG LAJU 33Dengan demikian dapat dituliskan bahwadΓ = 4πV p2dp.6.3 Integral volume ruang lajuHubungan antara momentum dan laju adalahp = mv ⇒ dp = mdvsehingga dapat diperolehdΓ = 4πV m3v2dv.Soal 3. Turunkan dΓ = 4πV m3v2dv.Jawab 3. Gunakan hubungan p = mv dan dp = mdv dalam dΓ = 4πV p2dp.6.4 Integral volume ruang energiEnergi setiap partikel dalam bentuk energi kinetik terkait dengan momentumnyaadalah melalui hubunganǫ =p22msehingga dapat dituliskan bahwadǫ =pdpm.Soal 4. Rumuskan dΓ dalam bentuk dǫ.Jawab 4. Dengan menggunakan ǫ = p2/2m, dǫ = pdp/m, dan dΓ = 4πV p2dp,dapat diperolehdΓ = 4πV (p2)(dp)⇒ dΓ = 4πV (2mǫ)m√2mǫdǫ⇒ dΓ = 2πV (2m)3/2ǫ1/2dǫ
    • 34 CATATAN 6. DEGENERASI DALAM RUANG FASA6.5 Integral volume ruang frekuensiKhusus untuk partikel yang merupakan foton, maka energinya dirumuskan se-bagaiǫ = hνsehinggadǫ = hdν.Perlu diingat bahwa foton tidak memiliki massa sehingga momentumnya adalahp = hν/c.Soal 5. Rumuskan dΓ dalam bentuk dν.Jawab 5. Dengan menggunakan dΓ = 4πV p2dp dapat dituliskan bahwadΓ = 4πV (p2)(dp) = 4πVhνc2hdνc= 4πVh3c3ν2dν.6.6 Integral volume ruang panjang gelombangSelain dalam ruang frekuensi, untuk partikel yang merupakan foton, dapat puladΓ dinyatakan dalam ruang panjang gelombang λ, dengan hubunganλ =cν⇒ dλ = −cdνν2.Soal 6. Rumuskan dΓ dalam bentuk dλ.Jawab 6. Dengan menggunakan 4πV h3ν2dν/c3dan λ = c/ν (serta turunan-nya) dapat diperolehdΓ = 4πVh3c3ν2dν⇒ dΓ = 4πVh3c3cλ2−cλ2 1cdλ = −4πV h3λ4dλ.Bila diambil nilai positifnya dan sebuah foton memiliki dua arah polarisasi,maka degenerasi gj tiap satuan volume akan menjadi
    • 6.7. REFERENSI 35g(λ)dλ =gjV=4πh3λ4dλ.Umumnya hanya tanda negatif akibat penurunan tidak digunakan.Soal 7. Gas foton memiliki statistik Bose-Einstein. Rumuskan bagaimanabentuk g(λ) dan n(λ).Jawab 7. Suatu foton dalam gas foton memiliki dua arah polarisasi sehinggadegenerasinya menjadi dua kali dari degenerasi yang diperoleh dari gj. Selain ituumumnya jumlah denerasi atau keadaan yang diperbolehkan dinyatakan dalamtiap satuan volume [2], sehinggag(λ)dλ =2gjV=2dΓV h3=8πλ4dλ.Kemudian dengan menggunakan statistik Bose-Einstein dapat dituliskan bahwan(λ)dλ = g(λ)dλf(λ) =8πλ4dλ1ehc/kλT − 1.6.7 Referensi1. Sparisoma Viridi dan Siti Nurul Khotimah, ”Catatan Kuliah Fisika Statis-tik”, Semester II Tahun 2009/2010, Mei, 24-25 (2010)2. A. J. Pointon, ”An Introduction to Statistical Physics for Students”, Long-mans, First Print, 51-55 (1967)
    • 36 CATATAN 6. DEGENERASI DALAM RUANG FASA
    • Catatan 7Distribusi Suatu StatistikTelah diperkenalkan dalam suatu catatan sebelumnya yang berjudul Konfig-urasi Paling Mungkin Suatu Statistik, bagaimana bentuk distribusi dari ketigastatistik (Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein, dan Fermi-Dirac).7.1 Bentuk umum distribusi ketiga statistikKetiga statistik memiliki bentuk umum distribusi partikel, yaituNj,MB =gje−(α+βǫj), (7.1)untuk statistik Maxwell-Boltzmann,Nj,BE =gje−(α+βǫj) − 1, (7.2)untuk statistik Bose-Einstein, danNj,FD =gje−(α+βǫj) + 1. (7.3)untuk statistik Fermi-Dirac. Ketiga bentuk dalam Persamaan (7.1), (7.2), dan(7.3) dapa dituliskan dalam bentuk diferensialnya NX(ǫ)dǫ, di mana X = MB,BE, dan FD.37
    • 38 CATATAN 7. DISTRIBUSI SUATU STATISTIK7.2 Statistik Maxwell-BoltzmannSoal 1. Dengan menggunakan dΓ = 2πV (2m)3/2ǫ1/2dǫ, gj ≡ dΓ/h3, β =−1/kT , tentukanlah NMB(ǫ)dǫ.Jawab 1. Dapat dituliskan bahwaNj,MB =gje−(α+βǫj)= gj1e−(α+βǫj)⇒ NMB(ǫ)dǫ =2πV (2m)3/2ǫ1/2dǫh31e−(α+βǫ)⇒ NMB(ǫ)dǫ =2πV (2m)3/2h3eαeβǫǫ1/2dǫ⇒ NMB(ǫ)dǫ =2πV (2m)3/2h3eαe−ǫ/kTǫ1/2dǫ. (7.4)Soal 2. Bila diketahui bahwa bentuk distribusi Maxwell-Boltzmann dalambentuk diferensial secara lengkap adalah [1]NMB(ǫ)dǫ =2πN(πkT )3/2e−ǫ/kTǫ1/2dǫ, (7.5)tentukanlah nilai α dari Persamaan (7.4).Jawab 2. Dari Persamaan (7.4) dan (7.5) dapat dituliskan bahwa2πV (2m)3/2h3eα=2πN(πkT )3/2⇒ eα=Nh3V (2mπkT )3/2⇒ α = lnNh3V (2mπkT )3/2. (7.6)Soal 3. Tunjukkan bahwa∞0NMB(ǫ)dǫ = N. (7.7)Jawab 3. Dapat dituliskan bahwa∞0NMB(ǫ)dǫ =∞02πN(πkT )3/2e−ǫ/kTǫ1/2dǫ
    • 7.2. STATISTIK MAXWELL-BOLTZMANN 39=2πN(πkT )3/2∞0e−ǫ/kTǫ1/2dǫ.Kemudian dengan menggunakanΓ12=∞0e−xx− 12 dx =√π,dan∞0e−xx12 dx =12∞0e−xx− 12 dx =12√π,dapat diperoleh∞0e−ǫ/kTǫ1/2dǫ = (kT )3/2∞0e−ǫ/kT ǫkT1/2dǫkT=12√π(kT )3/2,sehingga⇒2πN(πkT )3/2∞0e−ǫ/kTǫ1/2dǫ =2πN(πkT )3/212√π(kT )3/2= N.Jadi, Persamaan (7.7) telah dapat dibuktikan. Sebenarnya nilai α dapat di-cari karena syarat bahwa∞0NMB(ǫ)dǫ = N dari Persamaan (7.4) tanpa perluterlebih dahulu mengetahui bentuk lengkapnya seperti dalam Persamaan (7.5).Soal 4. Gas ideal monoatomik memenuhi distribusi Maxwell-Boltzmann dalamPersamaan (7.5). Hitunglah energi total sistem yang terdiri dari N partikel gasdengan menggunakan U =∞0 NMB(ǫ)ǫdǫ.Jawab 4. Dapat dituliskanU =∞0NMB(ǫ)ǫdǫ =2πN(πkT )3/2∞0e−ǫ/kTǫ3/2dǫ,di mana∞0e−ǫ/kTǫ3/2dǫ = (kT )5/2∞0e−ǫ/kT ǫkT3/2dǫkT= (kT )5/2 3212√π =34(kT )5/2√π,
    • 40 CATATAN 7. DISTRIBUSI SUATU STATISTIKsehinggaU =2πN(πkT )3/234(kT )5/2√π =32NkT.7.3 Statistik Bose-EinsteinSoal 5. Dengan menggunakan dΓ = 2πV (2m)3/2ǫ1/2dǫ, gj ≡ dΓ/h3,β = −1/kT , tentukanlah NBE(ǫ)dǫ untuk foton dalam suatu ruang tertutupberlubang, di mana foton memiliki dua arah polarisasi yang akan mempen-garuhi jumlah keadaan energinya dan bahwa jumlah foton tidak tetap (adayang diserap dan dipancarkan kembali oleh dinding). Lubang pada ruang ter-tutup tersebut akan berfungsi sebagai benda hitam. Apakah ada yang salahdari hasil yang diperoleh?Jawab 5. Dapat diperoleh bahwaNj,BE =gje−(α+βǫj) − 1= gj1e−(α+βǫj) − 1⇒ NBE(ǫ)dǫ = 22πV (2m)3/2ǫ1/2dǫh31e−(α+βǫ) − 1⇒ NBE(ǫ)dǫ =4πV (2m)3/2h31e−(α+βǫ) − 1ǫ1/2dǫ⇒ NBE(ǫ)dǫ =4πV (2m)3/2h31e−(α−ǫ/kT ) − 1ǫ1/2dǫ. (7.8)Sebelum mencari nilai α, sebaiknya hasil yang diperoleh dicermati terlebihdahulu. Sekilas terlihat bahwa tidak ada yang salah dalam Persamaan (7.8)akan tetapi perhatikan bahwa dalam bentuk NBE(ǫ)dǫ yang dicari untuk fotonterdapat massa foton. Tidak ada arti fisis dari massa foton. Dengan demikianungkapan dalam Persamaan (7.8) adalah salah atau NBE tidak dapat dinyatakandalam bentuk seperti di atas. Ungkapan yang benar adalah apabila dinyatakandalam panjang gelombang λ atau frekuensi ν dari foton.Soal 6. Perbaikilah Persamaan (7.8) dengan mencari NBE(λ)dλ menggunakanrepresentasi dΓ dalam dλ.Jawab 6. Dalam catatan sebelumnya dapat diperoleh bahwag(λ)dλ =gjV=4πh3λ4dλakan tetapi karena foton memiliki dua arah polarisasi yang menyebabkan jumlahkeadaan energi yang dimilikinya menjadi dua kalinya, maka ungkapan di atasakan menjadi
    • 7.4. STATISTI FERMI-DIRAC 418πh3λ4dλ.Ungkapan-ungkapan di atas diperoleh melalui hubungan ǫ = hc/λ dan turunan-nya. Dengan demikian dapat dituliskanNj,BE =gje−(α+βǫj) − 1= gj1e−(α+βǫj) − 1⇒ NBE(λ)dλ =8πλ4dλ1e−(α+βhc/λ) − 1⇒ NBE(λ)dλ =8πλ41e−(α−hc/kλT ) − 1dλ. (7.9)Ungkapan dalam Persamaan (7.9) sudah dalam per satuan volume V . Selan-jutnya adalah bagaimana mencari nilai α. Dalam soal diinformasikan bahwajumlah foton dalam sistem tidak tetap karena ada foton yang diserap olehwadah tertutup dan ada foton yang dipancarkan kembali setelah diserap, dengandemikian pada saat penurunan Nj,BE menggunakan pengali tak tentu Lagranged ln W + αdN + βdU = 0tidak dapat dipenuhi bahwa dN = 0. Agar persamaan di atas dapat tetapdipenuhi, dipilih α = 0. Dengan demikian akan diperoleh untuk foton dalamsuatu ruang tertutupNBE(λ)dλ =8πλ41ehc/kλT − 1dλ. (7.10)7.4 Statisti Fermi-DiracSoal 7. Dengan menggunakan dΓ = 2πV (2m)3/2ǫ1/2dǫ, gj ≡ dΓ/h3, β =−1/kT , tentukanlah NFD(ǫ)dǫ untuk gas elektron yang memiliki dua kemungk-inan spin, yaitu +12 dan −12 . Gunakan pula hubungan bahwa α = ǫF /kT .Jawab 7. Dapat dituliskan bahwaNj,FD =gje−(α+βǫj) + 1= gj1e−(α+βǫj) + 1⇒ NFD(ǫ)dǫ = 22πV (2m)3/2ǫ1/2dǫh31e−(α+βǫ) + 1
    • 42 CATATAN 7. DISTRIBUSI SUATU STATISTIK⇒ NFD(ǫ)dǫ =4πV (2m)3/2h31e−(α+βǫ) + 1ǫ1/2dǫ⇒ NFD(ǫ)dǫ = V 4π2mh232ǫ1/2 1e(ǫ−ǫF )/kT + 1dǫ. (7.11)Khusus untuk statistik Fermi-Dirac, distribusi partikel (dalam hal ini elektron)dapat dituliskan dalam bentukN(ǫ)dǫ = g(ǫ)f(ǫ)dǫ,di manag(ǫ) = V 4π2mh232ǫ1/2danf(ǫ) =1e(ǫ−ǫF )/kT + 1yang dikenal sebagai fungsi Fermi. ǫF disebut sebagai energi Fermi.7.5 Bentuk umum distribusi statistik lainWalaupun tidak lazim dituliskan, secara umum ketiga statistik seharusnya dapatdituliskan dalam bentukN(ǫ)dǫ = g(ǫ)f(ǫ)dǫ, (7.12)dengan g(ǫ) memiliki arti jumlah keadaan energi pada tiap tingkat energi ataukerapatan keadaan energi (density of states).7.6 Referensi1. A. J. Pointon, ”An Introduction to Statistical Physics for Students”, Long-mans, First Print, 25-26 (1967)
    • Catatan 8Termodinamika Gas IdealMonoatomikDalam gas ideal segala interaksi yang terjadi antara partikel-partikel gas, terma-suk yang terjadi saat partikel-partikel gas saling bertumbukan, dianggap mem-berikan pengaruh yang dapat diabaikan terhadap sifat-sifat termodinamika gas[1].8.1 Peluang termodinamika Wmaks gas idealklasikPeluang termodinamika suatu keadaan makro dari gas ideal yang mengandungN partikel gas tak berstruktur adalahW = N!jgNjjNj!, (8.1)dengan Nj adalah bilangan okupasi pada tingkat energi j, di mana tingkatenergi tersebut terdegenerasi sejumlah gj dan berenergi ǫj. Terpenuhi pulabahwa N = j Nj.Soal 1. Gunakan aproksimasi Stirling ln x! ≃ x ln x − x untuk mencari ln W.Jawab 1. Bentuk ln j xj = j ln xj, sehinggaln W = lnN!jgNjjNj!43
    • 44 CATATAN 8. TERMODINAMIKA GAS IDEAL MONOATOMIK= ln N! + lnjgNjjNj!= ln N! +jlngNjjNj!= ln N! +jln gNjj − ln Nj!= ln N! +jNj ln gj −jln Nj!≃ (N ln N − N) +jNj ln gj −j(Nj ln Nj − Nj)= N ln N − N +jNj ln gj −jNj ln Nj +jNj= N ln N − N +jNj ln gj −jNj ln Nj + N= N ln N +jNj ln gj −jNj ln Nj= N ln N +jNj lngjNj. (8.2)Soal 2. Dengan menggunakan rumusan untuk mencari Wmaks pada statis-tik Maxwell-Boltzman yang memberikan Nj = gj/e−(α+βǫj)tentukan bentukln Wmaks dalam N dan U.Jawab 2. Dengan menggunakan Persamaan (8.2) untuk Wmaks sehinggahubungan Nj = gj/e−(α+βǫj)dapat digunakan, diperolehln W = N ln N +jNj lngjNj⇒ ln Wmaks = N ln N +jNj ln e−(α+βǫj)= N ln N +jNj[−(α + βǫj)]= N ln N − αjNj − βjNjǫj= N ln N − αN − βU. (8.3)Soal 3. Ubahlah Persamaan (8.3) dengan menggunakan A = eαdan β =−1/kT .Jawab 3. Dapat dituliskan bahwa
    • 8.2. FUNGSI PARTISI BOLTZMANN 45ln Wmaks = N ln N − αN − βU= N ln N − (ln A)N +UkT= N lnNA+UkT.8.2 Fungsi partisi BoltzmannSuatu fungsi partisi didefinisikan sebagai Z = N/A.Soal 4. Rumuskan bentuk fungsi partisi Z dengan menggunakan j Nj daneα.Jawab 4. Dapat dituliskan bahwaZ =NA≡j Njeα=j gj/e−(α+βǫj)eα=j gje(α+βǫj)eα=eαj gjeβǫjeα=jgjeβǫj=jgje−ǫj /kT. (8.4)Persamaan (8.4) ini disebut sebagai fungsi partisi Boltzmann (atau fungsi par-tisi) sebuah partikel dalam suatu suatu sistem. Istilah ini digunakan karenadalam ekspresi Z, setiap suku dalam somasi mementukan bagaimana partikeldalam sistem didistribusikan atau dipartisikan di antara (pada) tingkat-tingkatenergi.Soal 5. Dengan menggunakan perumusan Boltzmann untuk entropi, tentukanbentuk dari S yang bergantung pada Z.Jawab 5. Perumusan Boltzmann untuk entropi adalah S = k ln Wmaks sehinggaS = k ln Wmaks= k N lnNA+UkT= k N ln Z +UkT
    • 46 CATATAN 8. TERMODINAMIKA GAS IDEAL MONOATOMIK= Nk ln Z +UT. (8.5)Soal 6. Energi bebas Helmholtz didefinisikan sebagai F = U − T S. Gunakanekspresi tersebut untuk membuat fungsi F = F(N, T, Z)/Jawab 6. Dengan menggunakan Persamaan (8.5) dapat dituliskanS = Nk ln Z +UTT S = NkT ln Z + U−NkT ln Z = U − T S−NkT ln Z = F. (8.6)Soal 7. Hitunglah energi dalam U dari energi bebas Helmholtz F denganmenggunakan rumusanU = −T 2 ∂(F/T )∂T V(8.7)dan Z = V (2πmkT )32 /h3.Jawab 7. Dengan menggunakan Persamaan (8.6) dan (8.7) dapat dituliskanU = −T 2 ∂(F/T )∂T V= −T 2 ∂(−NkT ln Z/T )∂T V= T 2 ∂(Nk ln Z)∂T V= T 2Nk∂ ln[V (2πmkT )32 /h3]∂TV= T 2Nk∂ ln[V (2πmkT )32 ]∂T−∂ ln h3∂TV= T 2Nk1V (2πmkT )3232(2πmkT )12 2πmk − 0= T 2Nk32T=32NkT.Soal 8. Turunkan ekspresi
    • 8.3. TEKANAN DAN KALOR JENIS 47U = NkT 2 ∂ ln Z∂T V(8.8)dari U = Nǫ, N = j Nj, U = j ǫjNj, Nj = gjAe−ǫj /kT, dan Z =j gje−ǫj /kT.Jawab 8. Dengan menggunakan persamaan-persamaan di atas dapat dituliskanbahwaU = Nǫ = NUN= Nj ǫjNjj Nj= Nj ǫjgjAe−ǫj /kTj gjAe−ǫj/kT= Nj ǫjgje−ǫj/kTj gje−ǫj /kT=NZ jǫjgje−ǫj /kT=NZ jgj kT 2 ∂(e−ǫj/kT)∂T= kT 2 NZ∂∂T jgje−ǫj/kT= kT 2 NZ∂Z∂T V= NkT 2 ∂ ln Z∂T V.Soal 9. Turunkan Persamaan (8.8) dari Persamaan (8.7).Jawab 9. Dengan menggunakan kedua persamaan yang disebutkan dalam soal,dapat dituliskan bahwaU = −T 2 ∂(F/T )∂T V= −T 2 ∂(−NkT ln Z/T )∂T V= T 2 ∂(Nk ln Z)∂T V= NkT 2 ∂ ln Z∂T V.8.3 Tekanan dan kalor jenisMelalui definisi energi bebas HelmholtzF = U − T S
    • 48 CATATAN 8. TERMODINAMIKA GAS IDEAL MONOATOMIKdapat diperoleh bahwa secara umumdF = dU − T dS − SdT.Dengan menggunakan hubungandQ = dU + pdVdandQ = T dSmaka dapat diperolehdF = −pdV − SdT. (8.9)Dari persamaan terakhir ini dapat diturunkan p dan S sebagai fungsi dari F.Soal 10. Tentukanlah ungkapan p dan S dari F.Jawab 10. Dengan menggunakan Persamaan (8.9) dapat dituliskan bahwap = −∂F∂V T(8.10)danS = −∂F∂T V. (8.11)Soal 11. Tentukanlah ungkapan U sebagai fungsi dari F. Bila perlu gunakanpula hubungan β = −1/kT .Jawab 11. Dengan menggunakan Persamaan (8.11) dan definisi energi bebasHelmholtz F = U − T S dapat diperolehF = U − T S = U + T∂F∂T VU = F − T∂F∂T V= −T 2 ∂(F/T )∂T V=∂(βF)∂β V(8.12)Soal 12. Dengan menggunakan definisi dari kapasitas panas pada volume tetap
    • 8.4. PERSAMAAN KEADAAN 49CV =∂U∂T V(8.13)tentukanlah CV dari F. Bila perlu gunakan pula hubungan β = −1/kT .Jawab 12. Dengan segera dapat diperoleh bahwaCV =∂U∂T V=∂∂T−T 2 ∂(F/T )∂T V V= −2T∂(F/T )∂T V− T 2 ∂∂T∂(F/T )∂T V V= 2TFT 2−1T∂F∂T V+ T 2 ∂∂TFT 2−1T∂F∂T V V= 2FT− 2∂F∂T V+∂F∂T V− 2FT+∂F∂T V− T∂2F∂T 2V= −T∂2F∂T 2V= −kβ2 ∂2(βF)∂β2V.8.4 Persamaan keadaanDengan menggunakanZ =V (2πmkT )32h3,p = −∂F∂V TdanF = −NkT ln Zdapat diperolehp =NkTVyang merupakan persamaan keadaan gas ideal monotomik.
    • 50 CATATAN 8. TERMODINAMIKA GAS IDEAL MONOATOMIK8.5 Referensi1. A. J. Pointon, ”An Introduction to Statistical Physics for Students”, Long-mans, First Print, 86-93 (1967)
    • Catatan 9Paradoks GibbSaat dua jenis gas berbeda dengan entropi masing-masing dicampur, maka en-tropi campuran adalah penjumlahan kedua entropi semula. Lalu bagaimanaapabila kedua gas tersebut adalah jenis yang sama? Ternyata entropinyabukanya hanya penjumlahan dari kedua entropi semula melainkan terdapat su-atu suku tambahan. Untuk itu perumusan gas klasik perlu diperbaiki den-gan menggunakan perumusan semi-klasik [1]. Dalam catatan ini gas yangdibicarakan adalah gas ideal monoatomik tanpa adanya struktur di dalamnya.9.1 Entropi gas klasikDengan menggunakan perumusan entropi S dari energi bebas Helmholtz FS = −∂F∂T V, (9.1)kaitan antara energi bebas Helmholtz F dengan fungsi partisi ZF = −NkT ln Z, (9.2)dan bentuk eksplisit fungsi partisi BoltzmannZ =V (2πmkT )32h3, (9.3)dapat diperoleh bentuk eksplisit dari entropi yang bergantung dari jumlah par-tikel N, volume gas V , dan temperatur gas T , yaitu51
    • 52 CATATAN 9. PARADOKS GIBBS = Nk lnV (2πmkT )32h3+32Nk. (9.4)Di sini m adalah massa satu partikel gas, k adalah konstanta Boltzmann, danh adalah konstanta Planck.Soal 1. Turunkan Persamaan (9.4).Jawab 1. Dapat dituliskan bahwaS = −∂F∂T V= −∂(−NkT ln Z)∂T V=∂(NkT ln Z)∂T V= Nk ln Z +NkTZ∂Z∂T V= Nk lnV (2πmkT )32h3+NkTV (2πmkT )32 /h3∂∂TV (2πmkT )32h3V= Nk lnV (2πmkT )32h3+NkT h3V (2πmkT )32V (2πmk)32h3d(T32 )dT= Nk lnV (2πmkT )32h3+NkTT3232T12= Nk lnV (2πmkT )32h3+32Nk.9.2 Pencampuran dua gas berbeda jenisSebuah sistem terdiri dari dua ruangan yang masing-masing terisi oleh satujenis gas. Gas 1 yang memiliki jumlah partikel N1, dengan massa tiap par-tikel m1, menempati ruangan bervolume V , bertemperatur T , dan bertekananp. Sedangkan gas 2 yang menempati ruangan bervolume, bertemperatur, danbertekanan sama dengan gas 1, akan tetapi memiliki jumlah partikel N2 danmassa tiap partikelnya adalah m2. Terdapat sekat yang memisahkan ruangankedua jenis gas tersebut.Soal 2. Hitunglah entropi total sistem sebelum kedua jenis gas bercampur.Jawab 2. Dengan menggunakan Persamaan (9.4) dapat dihitung entropimasing-masing gas, yaitu S1 dan S2 dan entropi total sistem S
    • 9.2. PENCAMPURAN DUA GAS BERBEDA JENIS 53S = Nk lnV (2πmkT )32h3+32Nk,⇒ S1 = N1k lnV (2πm1kT )32h3+32N1k,⇒ S1 = N2k lnV (2πm2kT )32h3+32N2k,⇒ S = S1 + S2.Soal 3. Hitunglah entropi total sistem setelah kedua jenis gas bercampur.Jawab 3. Setelah sekat pemisah ruangan kedua jenis gas dihilangkan makakedua jenis gas akan bercampur. Mengingat tekanan dan temperatur awal keduagas adalah sama, maka partikel-partikel kedua gas akan memiliki temperaturdan tekanan campuran yang sama pula. Hanya saja setelah tercampur, masing-masing partikel kedua gas akan melihat voume ruangan menjadi dua kali volumesemula. Dengan demikianS′= Nk lnV ′(2πmkT )32h3+32Nk,⇒ S′1 = N1k ln2V (2πm1kT )32h3+32N1k,⇒ S′1 = N2k ln2V (2πm2kT )32h3+32N2k,⇒ S′= S′1 + S′2.Soal 4. Hitunglah perubahan entropi sistem ∆S.Jawab 4. Perubahan entropi sistem ∆S = S′− S sehingga∆S = S′− S = (S′1 + S′2) − (S1 + S2) = (S′1 − S1) + (S′2 − S2)= ∆S1 + ∆S2.⇒ ∆S1 = N1k ln2V (2πm1kT )32h3+32N1k− N1k lnV (2πm1kT )32h3+32N1k= N1k ln 2.⇒ ∆S2 = N2k ln 2.⇒ ∆S = (N1 + N2)k ln 2.
    • 54 CATATAN 9. PARADOKS GIBB9.3 Pencampuran gas sejenis: paradoks GibbBagaimana bila gas yang dicampur memiliki jenis yang sama? Suatu fenomenayang disebut sebagai paradoks Gibb muncul di sini. Sistem yang ditinjau samadengan sistem sebelumnya, hanya saja dalam hal ini kedua gas berjenis sama.Dan karena dijaga agar tekanan p, temperatur T , dan volume V sama, makadengan m1 = m2 = m akan terpenuhi bahwa N1 = N2 = N.Soal 5. Hitunglah entropi total sistem sebelum kedua gas berjenis sama bercam-pur.Jawab 5. Dengan menggunakan Persamaan (9.4) dapat dihitung entropimasing-masing gas, yaitu S1 dan S2 dan entropi total sistem SS = Nk lnV (2πmkT )32h3+32Nk,⇒ S1 = Nk lnV (2πmkT )32h3+32Nk,⇒ S2 = Nk lnV (2πmkT )32h3+32Nk,⇒ S = S1 + S2 = 2S1 = 2S2.Soal 6. Hitunglah entropi total sistem setelah kedua gas berjenis sama bercam-pur.Jawab 6. Setelah sekat pemisah ruangan kedua jenis gas dihilangkan makakedua gas akan bercampur. Mengingat tekanan dan temperatur awal keduagas adalah sama, maka partikel-partikel kedua gas akan memiliki temperaturdan tekanan campuran yang sama pula. Hanya saja setelah tercampur, masing-masing partikel kedua gas akan melihat voume ruangan menjadi dua kali volumesemula. Dengan demikianS′= Nk lnV ′(2πmkT )32h3+32Nk,⇒ S′1 = Nk ln(2V )(2πmkT )32h3+32Nk,⇒ S′1 = Nk ln(2V )(2πmkT )32h3+32Nk,⇒ S′= S′1 + S′2 = 2S′1 = 2S′2.Soal 7. Hitunglah perubahan entropi sistem ∆S.
    • 9.4. GAS IDEAL SEMI-KLASIK 55Jawab 7. Perubahan entropi sistem ∆S∆S = ∆S1 + ∆S2.⇒ ∆S1 = Nk ln2V (2πmkT )32h3+32Nk− Nk lnV (2πmkT )32h3+32Nk= Nk ln 2.⇒ ∆S2 = Nk ln 2.⇒ ∆S = 2Nk ln 2.Di sini diperoleh bahwa ∆S = 2Nk ln 2 dan bukan ∆S = 0, padahal kedua gasadalah jenis gas yang sama. Ketidakcocokan ini disebut sebagai paradok Gibb.9.4 Gas ideal semi-klasikPeluang suatu keadaan makro gas ideal klasik yang semula menggunakan statis-tik Maxwell-BoltzmannWMB = N!jgNjjNj!dapat dikoreksi dengan menggunakan statistik kuantum, yang seharusnya tetapmemperhatikan sifat statistik dari partikel gas – apakah bersifat sebagai bosonatau fermin, sehingga menjadi menjadi peluang termodinamika suatu keadaanmakro semi-klasikWSK =jgNjjNj!. (9.5)Dengan menggunakan dua pengali tak tentu Lagrange α dan β dapat diperolehbahwaWmaks =UkT− αN + N,dan dengan S = k ln Wmaks dapat dituliskanS = Nk lnV (2πmkT )32Nh3+52Nk, (9.6)
    • 56 CATATAN 9. PARADOKS GIBBdengan menggunakan fungsi partisi Boltzmann yang sama Z = V (2πmkT )32 /h3.Soal 8. Hitunglah entropi sistem yang terdiri dari dua gas berjenis sama sepertidalam soal sebelumnya, saat sebelum dan sudah dicampur. Hitung pula peruba-han entropinya.Jawab 8. Saat sebelum dicampur, dengan menggunakan Persamaan (9.6) dapatdiperolehS = Nk lnV (2πmkT )32Nh3+52Nk,⇒ S1 = Nk lnV (2πmkT )32Nh3+52Nk,⇒ S2 = Nk lnV (2πmkT )32Nh3+52Nk,⇒ S = S1 + S2 = 2S1 = 2S2,sedangkan saat setelah dicampurS′= N′k lnV (2πmkT )32N′h3+52N′k,⇒ S′= S1 + S2 = (2N)k ln(2V )(2πmkT )32(2N)h3+52(2N)k,= 2S2 = 2S1,sehingga perubahan entropinya menjadi∆S = S′− S,= 2S1 − 2S1 = 2S2 − 2S2 = 0.Dengan menggunakan statistik semi-klasik, telah ditunjukkan bahwa paradoksGibb tidak lagi muncul saat dua gas berjenis sama dicampurkan.9.5 Referensi1. A. J. Pointon, ”An Introduction to Statistical Physics for Students”, Long-mans, First Print, 93-99 (1967)
    • Catatan 10Statistik Fermi-Dirac: Njdan ∆S[20100629] Peluang termodinamika suatu keadaan makro-k dalam sistem yangmemenuhi statistik Fermi-Dirac diberikan olehWk =jgj!nj!(gj − nj)!, (10.1)dengan gj adalah degenerasi tingkat energi j yang memiliki energi ǫj dalamkeadaan makro k dan nj adalah jumlah partikel yang menempati tingkat energi jjuga dalam keadaan makro k tersebut. Dalam statistik Fermi-Dirac hanya bolehterdapat satu partikel atau tidak ada partikel yang menempati satu keadaanenergi. Jumlah keadaan energi dalam satu tingkat energi j ditunjukkan dengannilai degenerasi tingkat energi tersebut gj.Bilangan okupasi rata-rata setiap tingkat energi j dapat diperoleh lewatNj =1ΩkWkNjk. (10.2)Terdapat suatu sistem yang terdiri dari 5 partikel mematuhi statistik Fermi-Dirac. Terdapat empat tingkat energi yang diperhitungkan, yaitu ǫ1 = 2ǫ, ǫ2 =3ǫ, ǫ3 = 4ǫ, dan ǫ4 = 5ǫ. Degenerasi masing-masing tingkat energi bergantungdari volume sistem V dan energi total sistem tergantung dari temperatur sistemT .57
    • 58 CATATAN 10. STATISTIK FERMI-DIRAC: NJ DAN ∆S10.1 Soal1. Tuliskan semua kemungkinan kelima partikel tersebut didistribusikan padakeempat tingkat energi sehingga memberikan U = 19ǫ dan U = 17ǫ tanpamemperhatikan statistik yang digunakan.2. Pada titik a dalam ruang parameter V − T , sistem memiliki temperaturTa, volume Va, dan energi total Ua = 19ǫ. Degenerasi tingkat-tingkatenergi sistem pada keadaan ini adalah g1 = 1, g2 = 3, g3 = 4, dan g4 = 6.Lengkapilah tabel berikut ini.j ǫj/ǫ gjkNj1 2 3 4 5 6 7Njk4 53 42 31 2WkΩHitunglah entropi sistem Sa dengan menggunakan rumusan Planck.3. Pada titik a dalam ruang parameter V − T , sistem memiliki temperaturTb = Ta, volume Vb < Va, dan energi total Ua = 19ǫ. Degenerasi tingkat-tingkat energi sistem pada keadaan ini adalah g1 = 1, g2 = 2, g3 = 3, dang4 = 5. Lengkapilah tabel berikut ini.j ǫj/ǫ gjkNj1 2 3 4 5 6 7Njk4 53 42 31 2WkΩHitunglah entropi sistem Sb dengan menggunakan rumusan Planck.4. Pada titik a dalam ruang parameter V − T , sistem memiliki temperaturTc < Tb, volume Vc < Vb, dan energi total Ua = 17ǫ. Degenerasi tingkat-tingkat energi sistem pada keadaan ini adalah g1 = 1, g2 = 2, g3 = 3, dang4 = 5. Lengkapilah tabel berikut ini.
    • 10.1. SOAL 59j ǫj/ǫ gjkNj1 2 3 4 5 6 7Njk4 53 42 31 2WkΩHitunglah entropi sistem Sc dengan menggunakan rumusan Planck.5. Pada titik a dalam ruang parameter V − T , sistem memiliki temperaturTd = Tc, volume Vd = Va, dan energi total Ua = 17ǫ. Degenerasi tingkat-tingkat energi sistem pada keadaan ini adalah g1 = 1, g2 = 3, g3 = 4, dang4 = 6. Lengkapilah tabel berikut ini.j ǫj/ǫ gjkNj1 2 3 4 5 6 7Njk4 53 42 31 2WkΩHitunglah entropi sistem Sd dengan menggunakan rumusan Planck.6. Gambarkan keempat titik a, b, c, dan d dalam ruang parameter V − Tdan tentukanlah proses dari titik mana ke titik mana yang mungkin terjadiapabila hanya entropi sistem yang ditinjau. Apa syaratnya?
    • 60 CATATAN 10. STATISTIK FERMI-DIRAC: NJ DAN ∆S10.2 Jawab1. Agar diperoleh U = 19ǫ kelima partikel dapat disusun seperti tampakdalam Tabel 10.1 berikut. Sedangkan untuk U = 17ǫ dapat dilihat dalamTabel 10.2.Tabel 10.1: Susunan yang mungkin kelima partikel pada empat tingkat energidengan U = 19ǫ.j ǫj/ǫk1 2 3 4 5 6Njk4 5 2 1 0 1 2 33 4 1 3 4 2 0 02 3 1 0 1 2 3 01 2 1 1 0 0 0 2Uk/ǫ 19 19 19 19 19 19Tabel 10.2: Susunan yang mungkin kelima partikel pada empat tingkat energidengan U = 17ǫ.j ǫj/ǫk1 2 3 4 5 6Njk4 5 0 1 2 1 0 13 4 3 1 0 0 2 22 3 1 2 1 4 3 01 2 1 1 2 0 0 2Uk/ǫ 17 17 17 17 17 172. Dengan degenerasi tingkat-tingkat energi sistem pada Ta dan Va adalahg1 = 1, g2 = 3, g3 = 4, dan g4 = 6 maka dapat diperoleh penempatanyang mungkin bagi kelima partikel adalah seperti dalam Tabel 10.3.W1 =6!2!(6 − 2)!·4!1!(4 − 1)!·3!1!(3 − 1)!·1!1!(1 − 1)!= 15 · 4 · 3 · 1 = 180W2 =6!1!(6 − 1)!·4!3!(4 − 3)!·3!0!(3 − 0)!·1!1!(1 − 1)!= 6 · 4 · 1 · 1 = 24W3 =6!0!(6 − 0)!·4!4!(4 − 4)!·3!1!(3 − 1)!·1!0!(1 − 0)!= 1 · 1 · 3 · 1 = 3W4 =6!1!(6 − 1)!·4!2!(4 − 2)!·3!2!(3 − 2)!·1!0!(1 − 0)!= 6 · 6 · 3 · 1 = 108W5 =6!2!(6 − 2)!·4!0!(4 − 0)!·3!3!(3 − 3)!·1!0!(1 − 0)!= 15 · 1 · 1 · 1 = 15Ω = 180 + 24 + 3 + 108 + 15 = 330
    • 10.2. JAWAB 61N1 =1270(180 · 1 + 24 · 1 + 3 · 0 + 108 · 0 + 15 · 0) =204330= 0.618N2 =1270(180 · 1 + 24 · 0 + 3 · 1 + 108 · 2 + 15 · 3) =444330= 1.345N3 =1270(180 · 1 + 24 · 3 + 3 · 4 + 108 · 2 + 15 · 0) =480330= 1.455N4 =1270(180 · 2 + 24 · 1 + 3 · 0 + 108 · 1 + 15 · 2) =522330= 1.582N = 0.618 + 1.345 + 1.455 + 1.582 = 5Tabel 10.3: Susunan yang mungkin kelima partikel pada empat tingkat energidengan U = 19ǫ dan g1 = 1, g2 = 3, g3 = 4, dan g4 = 6.j ǫj/ǫ gjkNj1 2 3 4 5 6Njk4 5 6 2 1 0 1 2 - 0.6183 4 4 1 3 4 2 0 - 1.3452 3 3 1 0 1 2 3 - 1.4551 2 1 1 1 0 0 0 - 1.582Wk 180 24 3 108 15 - 330Ω3. Dengan degenerasi tingkat-tingkat energi sistem pada Tb = Ta dan Vb < Vaadalah g1 = 1, g2 = 2, g3 = 3, dan g4 = 5 maka dapat diperoleh pen-empatan yang mungkin bagi kelima partikel adalah seperti dalam Tabel10.4.W1 =5!2!(5 − 2)!·3!1!(3 − 1)!·2!1!(2 − 1)!·1!1!(1 − 1)!= 10 · 3 · 2 · 1 = 60W2 =5!1!(5 − 1)!·3!3!(3 − 3)!·2!0!(2 − 0)!·1!1!(1 − 1)!= 5 · 1 · 1 · 1 = 5W4 =5!1!(5 − 1)!·3!2!(3 − 2)!·2!2!(2 − 2)!·1!0!(1 − 0)!= 5 · 3 · 1 · 1 = 15Ω = 60 + 5 + 15 = 80N1 =180(60 · 1 + 5 · 1 + 15 · 0) =6580= 0.8125N2 =180(60 · 1 + 5 · 0 + 15 · 2) =9080= 1.1250
    • 62 CATATAN 10. STATISTIK FERMI-DIRAC: NJ DAN ∆SN3 =180(60 · 1 + 5 · 3 + 15 · 2) =10580= 1.3125N4 =180(60 · 2 + 5 · 1 + 15 · 1) =14080= 1.7500N = 0.8125 + 1.1250 + 1.3125 + 1.7500 = 5Tabel 10.4: Susunan yang mungkin kelima partikel pada empat tingkat energidengan U = 19ǫ dan g1 = 1, g2 = 2, g3 = 3, dan g4 = 5.j ǫj/ǫ gjkNj1 2 3 4 5 6Njk4 5 5 2 1 - 1 - - 1.7500s3 4 3 1 3 - 2 - - 1.31252 3 2 1 0 - 2 - - 1.12501 2 1 1 1 - 0 - - 0.8125Wk 60 5 - 15 - - 80Ω
    • Catatan 11Tingkat dan KeadaanEnergiSuatu sistem kuantum memiliki diskritisasi energi. Dapat dibedakan antaratingkat energi (energy levels) dan keadaan energi (energy sates). Sebagai ilus-trasi beberapa sistem dengan konfigurasi yang berbeda akan ditunjukkan. Isti-lah degenerasi pun akan digunakan dalam bab ini.11.1 Tingkat EnergiTingkat energi atau level energi (energy level) adalah susunan tingkat-tingkatdi mana energi pada tingkat-tingkat tersebut berbeda. Dalam buku ini suatutingkat energi diberi label j dan besar energi pada suatu tingkat adalah ǫj.11.2 Keadaan EnergiDalam satu tingkat energi terdapat semacam ruang-ruang yang memiliki energihampir sama dan dinamakan sebagai keadaan-keadaan energi.63
    • 64 CATATAN 11. TINGKAT DAN KEADAAN ENERGI
    • Catatan 12Keadaan Makro dan Mikro65
    • 66 CATATAN 12. KEADAAN MAKRO DAN MIKRO
    • Catatan 13Peluang TermodinamikaDalam suatu sistem yang terisolasi dan tertutup jumlah energi sistem E tetapdan jumlah partikel dalam sistem N tetap. Dengan berevolusinya waktu, in-teraksi antar partikel dalam suatu sistem yang terisolasi dan tertutup men-gakibatkan perubahan jumlah partikel yang menempati suatu tingkat energidan dapat juga terjadi perubahan keadaan energi dari setiap partikel. Untuksistem berupa gas interaksi yang dimaksud dapat berupa tumbukan antar par-tikel gas atau dengan wadahnya sedangkan untuk molekul-molekul kristas dapatberupa pertukaran energi. Berbagai bentuk interaksi ini menghasilkan peruba-han keadaan mikro dari sistem yang tetap harus memenuhi syarat tetapnya Edan N.13.1 Postulat termodinamika statistikPostulat fundamental dair termodinamika statistik menyatakan bahwa semuakeadaan mikro yang mungkin muncul dari suatu sistem terisolai adalah samapeluangnya. Terdapat dua cara untuk melakukan intepretasi dari postulat ini.Cara pertama adalah dengan membayangkan sistem telah diamati dalam suaturentang waktu t yang cukup lama sehingga setiap keadan mikro dari suatu sis-tem yang terisolasi telah muncul amat sering. Bila ∆t adalah total waktu sistemberada pada suatu keadaan mikro yang mungkin, maka postulat ini menyatakanbahwa rentang waktu ∆t adalah sama untuk semua keadaan mikro.Sebagai alternatif, cara kedua dapat dipergunakan di mana dibayangkan ter-dapat sejumlah salinan atau replika dari sistem (sebuah ensemble) yang jum-lahnya adalah N. Pada suatu saat pengamatan, terdapat sejumlah ∆N replikayang berada dalam keadaan mikro yang sama. Postulat termodinamika statistikmenyatakan bahwa jumlah ∆N adalah sama untuk semua keadaan mikro.Postulat ini terlihat tidak diturunkan suatu prinsip fundamental apapun se-hingga tidak dapat diverifikasi menggunakan eksperimen. Justifikasi kebenaran67
    • 68 CATATAN 13. PELUANG TERMODINAMIKApostulat ini terletak pada ketepatan kesimpulan yang dapat ditarik.13.2 Peluang termodinamikaSejumlah keadaan mikro akan membentuk satu keadaan makro. Jumlah darisemua keadaan mikro yang mungkin bagi suatu keadaan makro k disebut sebagaipeluang termodinamika Wk dari keadaan makro tersebut. Suatu asembli denganbanyak partikel, peluang termodinamika akan bernilai besar.Jumlah total keadaan mikro yang mungkin untuk suatu asembli, atau dapatdikatakan sebagai peluang termodinamika asembli tersebut, adalah jumlah pelu-ang termodinammika keadaan makro dari semua keadaan makro dalam asemblitersebutΩ =kWk. (13.1)Persamaan (13.1) dapat dijelaskan dengan ilustrasi sebagai berikut. Misalkansaja dalam suatu sistem terdapat Ω keadaan mikro. Jumlah keadaan mikroyang dapat membentuk keadaan makro pertama adalah W1 (peluang termodi-namika keadaan makro pertama), jumlah keadaan mikro yang dapat memben-tuk keadaan makro kedua adalah W2 (peluang termodinamika keadaan makrokedua), dan seterusnya. Dengan demikian jumlah seluruh keadaan mikro dalamsistem tersebut tak lain adalah jumlah peluang termodinammika keadaan makrodari semua keadaan makro dalam asembli tersebut.Untuk sistem dengan aturan yang berbeda, peluang termodinamika suatukeadaan makro Wk, akan berbeda pula cara perhitungannya. Pada bagianstatistik Fermi-Dirac, Bose-Einstein, dan Maxwell-Boltzmann, akan diperli-hatkan bagaimana menghitung Wk untuk ketiga kasus tersebut.13.3 Observabel dan rata-rata bilangan okupasiSifat atau properti suatu observabel suatu sistem makroskopik bergantung padanilai rata-rata terhadap waktu dari properti atau sifat mikroskopik sistem terse-but. Sebagai contoh, tekanan suatu gas bergantung pada nilai rata-rata ter-hadap waktu dari transpor momentum pada suatu luasan. Melalui postulatfundmental yang telah dibahas pada bagian sebelumnya, properti observabelsuatu sistem makroskopik akan pula bergantung pada nilai rata-rata propertimikroskopik dari banyak replika suatu asembli yang diamati hanya pada suatuwaktu.Kemudian tujuan dari teori statistik adalah mencari bagaimana menurunkanekspresi jumlah rata-rata dari partikel Nj yang menempati tingkat energi j
    • 13.3. OBSERVABEL DAN RATA-RATA BILANGAN OKUPASI 69yang diperbolehkan dalam suatu asembli. Ekspresi yang akan diturunkan inidisebut sebagai rata-rata bilangan okupasi pada tingkat (energi) j.Misalkan Njk adalah bilangan okupasi tingkat j dalam keadaan makro k. Nilarata-rata kelompok (grup) bilangan okupasi pada tingkat j, Ngj , diperoleh den-gan mengalikan Njk dengan jumlah replika pada keadaan makro k, Wk∆Ndan dijumlahkan untuk seluruh keadaan makro dalam asembli, dibagi denganjumlah replika N, yaituNgj =1NkNjkWk∆N. (13.2)Akan tetapiN =kWk∆N, (13.3)di mana ∆N sama untuk semua keadaan makro sehinggaNgj = k NjkWkk Wk=1ΩkNjkWk, (13.4)di mana rumusan untuk menghitung Ω diperoleh dari Persamaan (13.1).Dengan cara yang serupa dapat dicari rata-rata waktu dari bilangan okupasipada tingkat (energi) j. Sebagaimana telah dijelaskan dalam postulat funda-mental termodinamika statistik bahwa semua keadaan mikro memiliki peluangyang sama untuk muncul, yang artinya bahwa apabila sistem diamati untuk su-atu rentang waktu yang lama t maka setiap keadaan mikro akan muncul dalamrentang waktu total ∆t yang sama. Total durasi waktu suatu asembli beradapada keadaan makro k tak lain adalah perkalian dari rentang waktu ∆t denganjumlah keadaan mikro Wk dalam keadaan makro tersebut. Jumlah dari semuahasi perkalian ini untuk seluruh keadaan makro adalah sama dengan total waktupengamatan t,t =kWk∆t. (13.5)Kemudian nilai rata-rata waktu bilangan okupasi pada tingkat j, Ntj, diperolehdengan mengalikan bilakang okupasi pada tingkat j pada keadaan makro k, Njkdengan waktu asembli tersebut pada keadaan makro k, Wk∆t, dijumlahkan un-tuk seluruh keadaan makro dalam asembli tersebut, dan hasilnya dibagi dengantotal waktu pengamatan t, yaituNtj =1tkNjkWk∆t. (13.6)
    • 70 CATATAN 13. PELUANG TERMODINAMIKADengan mempergunakan Persamaan (13.5) dan postulat bahwa ∆t sama untuksemua keadaan mikro, maka Persamaan (13.6) dapat dituliskan kembali menjadiNtj = k NjkWkWk=1ΩkNjkWk. (13.7)Jadi apabila semua keadaan mikro memiliki peluang yang sama untuk munculmaka rata-rata kelompok bilangan okupasi pada tingkat j sama dengan rata-rata waktu bilangan okupasi pada tingkat j,Ntj = Ngj . (13.8)seperti telah ditunjukkan dalam Persamaan (13.4) dan (13.7). Selanjutnya ke-dua besaran yang sama ini akan dirujuk sebagai rata-rata bilangan okupasi padatingkat j, yaitu Nj.
    • Catatan 14Pengali α dan βPada bab sebelumnya telah ditunjukkan bagaimana bentuk peluang termodi-namik Wk setiap keadaan makro k untuk ketiga jenis statistik, yaitu statistikMaxwell-Boltzmann (MB), statistik Bose-Einstein (BE), dan statistik Fermi-Dirac (FD).14.1 Peluang termodinamik suatu keadaanmakroBila terdapat sejumlah tingkat energi j yang memiliki energi ǫj dengan jumlahkeadaan energi atau degenerasi pada masing-masing tingkat energi adalah gj,maka untuk statistik MB bentuk peluang termodinamik suatu keadaan makro-nya adalahWMB = N!jgNjjNj!, (14.1)untuk statistik BE adalahWBE =j(gj + Nj − 1)!(gj − 1)!Nj!, (14.2)dan untuk statistik FD adalahWFD =jgj!(gj − Nj)!Nj!. (14.3)71
    • 72 CATATAN 14. PENGALI α DAN β14.2 Keadaan makro yang paling mungkinDengan menggunakan pengali tak tentu Lagrange α dan β untuk mencarikeadaan makro yang memiliki keadaan mikro yang paling besar, digunakanhubungand ln W + αdN + βdE = 0, (14.4)dengan syaratN =jNj ⇒ dN =jdNj = 0, (14.5)E =jǫjNj ⇒ E =jǫjdNj = 0. (14.6)Selanjutnya dapat diperoleh keadaan makro yang paling mungkin dari ketigastatistik, atau disebut distribusi dari statistik tersebut. Distribusi MB memilikibentukNMBj =gje−(α+βǫj), (14.7)distribusi BE memiliki bentukNBEj =gje−(α+βǫj) − 1, (14.8)dan distribusi FD memiliki bentukNFDj =gje−(α+βǫj) + 1. (14.9)14.3 Fungsi distribusi dalam bentuk diferensialSetelah konstanta pengali α dan β diintepretasikan secara fisis dan diterap-kan pada gas, masing-masing distribusi dari masing-masing statistik dapat dit-uliskan dalam bentuk diferensial, yaitu untuk distribusi MB menjadi,NMB(ǫ)dǫ =2πN(πkT )3/2ǫ1/2dǫeǫ/kT(14.10)distribusi BE menjadi
    • 14.4. PENGALI β 73NBE(ǫ)dǫ =2π(2m)3/2Vh3ǫ1/2dǫ1A eǫ/kT − 1, A =Nh3V (2πmkT )3/2, (14.11)dan distribusi FD menjadiNFD(ǫ)dǫ =4π(2m)3/2Vh3ǫ1/2dǫe(ǫ−ǫF )/kT − 1, ǫF (0) =h22m3N8πV2/3. (14.12)14.4 Pengali βTerdapat berbagai kriteria untuk menentukan bagaimana arti sebenarnya daripengali β. Dikarenakan jumlah partikel yang memiliki energi tak hingga harus-lah nol maka Persamaan (14.7), (14.8), dan (14.9) memperkirakan bahwa nilaiβ haruslah lebih kecil dari nol dengan syarat dalam bagian kanan Persamaan(14.5) dan (14.6).Pendekatan dengan salah satu sudut pandang termodinamika dapat men-gungkapkan bagaimana sifat dari pengali β. Untuk itu dimisalkan terdapatdua buah sistem, yang masing-masing tersusun atas N′dan N′′partikel, yangsaling kontak sehingga dapat bertukar energi tetapi tidak bertukar partikel ataudua buah sistem yang memenuhi kondisidN′= 0, dN′′= 0, dE = 0. (14.13)Dengan demikian energi total kedua sistem tak lain adalahE =jǫ′jN′j +jǫ′′j N′′j . (14.14)Selanjutnya kondisi dalam Persamaan (14.5) dan (14.6) akan menjadidN′=jdN′j = 0, dN′′=jdN′′j = 0, (14.15)dandE =jǫ′jdN′j +jǫ′′j dN′′j = 0. (14.16)Dalam bab sebelumnya telah ditunjukkan bahwa peluang termodinamik suatukeadaan makro sistem gabungan tak lain adalah perkalian peluang termodi-namik suatu keadaan makro dari masing-masing sistem, yaitu
    • 74 CATATAN 14. PENGALI α DAN βWT = W′W′′. (14.17)Dengan kembali menggunakan pengali tak tentu Lagrange, yang dalam hal inimenjadi α′, α′′, dan β, maka diperolehd ln WT + α′dN′+ α′′dN′′+ βdE = 0. (14.18)Dikarenakan W′hanya bergantung dari n′j dan juga W′′hanya bergantung darin′′j maka dapat diperoleh bahwa∂ ln W′∂N′j+ α′+ βǫ′j = 0 (14.19)dan∂ ln W′′∂N′′j+ α′′+ βǫ′′j = 0. (14.20)Persamaan (14.19) dan (14.20) mendefinisikan suatu keadaan makro yang palingmungkin muncul bagi kedua sistem penyusun sistem gabungan dan terlihatbahwa kedua keduanya bergantung dari pengali β. Dari kedua sistem hanyaterdapat satu parameter fisis yang perlu bernilai sama, karena keduanya kontaksecara termal, yaitu temperatur – sesuai dengan hukum kenol termodinamika.Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa β hanya fungsi dari temperaturβ = β(T ). (14.21)Pengali β dapat pula dilihat dari sudut pandang lain apabila dikaitkan denganperubahan energi dE. Untuk itu misalkan dalam suatu sistem diasupkan panassebesar dQ sehingga sebagian energi tersebut digunakan untuk melakukan kerjadalam bentuk ekspansi dV . Menurut hukum pertama termodinamikadE = dQ − pdV, (14.22)di mana dalam hal inidE = djǫjNj =jǫjdNj +jNjdǫj. (14.23)Suku pertama pada ruas paling kanan Persamaan (14.23) menyatakan kerjayang dilakukan sistem, di mana perubahan volume akan mengubah tingkat-tingkat energi sistem. Dengan sendirinya dǫj pada tingkat energi ǫj akan
    • 14.4. PENGALI β 75berubah. Sedangkan suku kedua terkait dari perubahan susunan partikel padamasing-masing tingkat energi dan hal ini dapat terjadi karena adanya asupanpanas. Perbandingan Persamaan (14.23) dengan Persamaan (14.22) akan mem-berikanjNjdǫj = −pdV (14.24)danjǫjdNj = dQ. (14.25)Saat kondisi kesetimbangan tercapai di mana tidak lagi terdapat perubahanvolume, substitusi Persamaan (14.25) ke dalam Persamaan (14.4) melalui Per-samaan (14.23) akan memberikand ln W + αdN + βdQ = 0. (14.26)Dengan menerapkan syarat bahwa jumlah partikel dalam sistem adalah tetapakan diperoleh bahwad ln W = −βdQ. (14.27)Selanjutnya dengan menggunakan hubungan bahwaS = k ln Ω, (14.28)dan untuk sistem dengan jumlah partikel banyak sehinggaΩ ≈ W, (14.29)sertadS =dQT, (14.30)maka dapat diperoleh bahwaβ = −1kT. (14.31)
    • 76 CATATAN 14. PENGALI α DAN β14.5 Ruang fasa enam dimensiSuatu elemen ruang fasa enam dimensi dΓ didefinisikan melalui relasi (Pointon,1967) dalam bentukdΓ = dxdydzdpxdpydpz. (14.32)Dalam Persamaan (14.32) terdapat elemen volume dalam ruang momentumdan elemen volume dalam ruang koordinat. Pertama-tama, misalkan bahwavolume dalam ruang momentum terletak antara dua nilai momentum, yaitu pdan p + dp. Bila momentum total dinyatakan dalam koordinat polar (p, θ, ϕ)maka elemen dari ruang momentum dengan rentang koordinat antara p sampaip + dp, antara θ sampai θ + dθ, dan antara ϕ sampai ϕ + dϕ adalahdVp = (dp)(pdθ)(p sin θdϕ) = p2sin θdθdϕdp. (14.33)Dengan cara yang sama apabila posisi terletak rentang koordinat antara x sam-pai x + dx, antara y sampai y + dy, dan antara z sampai z + dz, maka elemenruang koordinat tak lain adalahdV = (dx)(dx)(dz) = dxdydz. (14.34)Dengan demikian volume dalam ruang fasa yang berkorespondensi dengan mo-mentum dalam rentang koordinat antara p sampai p + dp, antara θ sampaiθ + dθ, dan antara ϕ sampai ϕ + dϕ dan posisi dalam rentang koordinat antarax sampai x + dx, antara y sampai y + dy, dan antara z sampai z + dz adalahdΓ = dxdydz p2sin θdθdϕdp. (14.35)Volume ruang momentum ∆Vp yang terletak antara p dan p + dp dan tidaklagi bergantung arah diperoleh dengan melakukan inegrasi Persamaan (14.33)terhadap seluruh nilai θ dan ϕ, yaitu∆Vp = p2dpπ0sin θdθ2π0dϕ = 4πp2dp, (14.36)yang tak lain adalah volume dari kulit bola antara p dan p + dp.Dengan demikian volume dalam ruang fasa ∆Γ yang terkait dengan ∆Vp dalamruang momentum dan volume V dalam ruang koordinat diberikan oleh∆Γ = 4πp2dpVdxdydz = 4πp2dp V. (14.37)
    • 14.6. DEGENERASI DALAM VOLUME RUANG FASA 77Dengan menggunakan hubungan antara momentum dan kecepatan (pi =mvi, i = x, y, z), elemen volume dalam ruang fasa ∆Γ untuk rentang kecepatanantara vx sampai vx + dvx, antara vy sampai vy + dvy, dan antara vz sampaivz + dvz dapat dituliskan dalam bentukdΓ = dxdydz m3dvxdvydvz ⇒ ∆Γ = m3dvxdvydvz V. (14.38)Baik dengan menggunakan hubungan p = mv dan dp = mdv dalam Persamaan(14.37) atau dvxdvydvz = 4πv2dv dalam Persamaan (14.38) dapat diperolehhubungan∆Γ = m34πv2dv V. (14.39)Selanjutnya adalah bagaimana mendifinisikan elemen ruang fasa dalam rentangenergi kinetik antara ǫ sampai ǫ + dǫ. Dengan menggunakan hubungan antaramomentum dan energi kinetik melalui p =√2mǫ sehingga dp = m/(2ǫ)dǫ,diperoleh∆Γ = 4π 2mǫ m/(2ǫ) V = 2π(2m)3/2ǫ1/2dǫ V. (14.40)14.6 Degenerasi dalam volume ruang fasaDegenerasi atau jumlah keadaan energi pada suatu tingkat energi ǫj, yaitu gjdapat diungkapkan sebagai fungsi dari ǫj, di mana umumnya suatu tingkatenergi memiliki energi antara ǫj sampai ǫj + dǫj. Dengan menggunakan asumsibahwa volume ruang fasa yang sama akan memberikan jumlah keadaan energi,yang diperbolehkan, yang sama pula. Asumsi ini dapat dijustifikasi dalam kasusmekanika kuantum, misalknya pada contoh partikel dalam kotak. Bila terdapatB keadaan energi tiap satuan volume ruang fasa sehingga sebuah elemen ruangfasa dΓ akan mengandung BdΓ keadaan energi. Degenerasi dari tingkat energij tak lain adalahgj = B(∆Γ)j, (14.41)dengan (∆Γ)j adalah volume dari ruang fasa enam dimensi yang terletak dalamrentan energi antara ǫj sampai ǫj + dǫj dan dalam volume koordinat V dalamsistem.Dengan menggunakan Persamaan (14.40) untuk tingkat energi j Persamaan(14.41) dapat dituliskan menjadigj ≡ BV 2π(2m)3/2ǫ1/2j dǫj (14.42)
    • 78 CATATAN 14. PENGALI α DAN β14.7 Teori kinetik gas dan βTeori kinetik gas menyatakan bahwa energi rata-rata tiap partikel gas adalahǫ =32kT, (14.43)dengan k = R/NA adalah konstanta Boltzmann, R adalah konstanta gas uni-versal, dan NA adalah bilangan Avogadro. Dengan menggunakan energi sistemadalah E = j Njǫj dan jumlah partikel adalah N = j Nj, maka denganmenggunakan Persamaan (14.7) dapat dituliskan bahwaE =j(gjeα+βǫj)(ǫj) (14.44)danN =j(gjeα+βǫj). (14.45)Dengan demikian rata-rata energi tiap partikel adalahǫ =EN=j ǫjgjeα+βǫjj gjeα+βǫj=j ǫjgjeβǫjj gjeβǫj. (14.46)Kemudian dengan menggunakan rumusan untuk gj sebagai fungsi dari ǫj dalamPersamaan (14.41) maka dapat diperoleh bahwaǫ =∞0ǫj(BV 2π(2m)3/2ǫ1/2j dǫj)eβǫj∞0 (BV 2π(2m)3/2ǫ1/2j dǫj)eβǫj= .∞0ǫ3/2j eβǫjdǫj∞0 ǫ1/2j eβǫj dǫj(14.47)dengan mengganti penjumlahan menjadi integral terhadap semua nilai energiyang mungkin. Kemudian dengan mengingat bahwa kuantitas β adalah lebihkecil dari nol, maka integral parsial akan memberikan∞0ǫ3/2j eβǫjdǫj= −32β∞0ǫ1/2j eβǫjdǫj(14.48)sehingga Persamaan (14.47) akan menjadiǫ = −32β. (14.49)
    • 14.8. PENGALI α 79Dengan membandingkan Persamaan (14.49) dengan Persamaan (14.43) dapatdiperoleh bahwaβ = −1kTseperti dalam Persamaan(14.31).14.8 Pengali αSecara umum, pengali α tidak bernilai sama untuk ketiga statistik, melainkanbergantung dari pada kasus yang ditinjau. Berikut ini akan dibahas denganmenggunakan statistik MB. Bila dituliskan bahwaA = eα(14.50)maka Persamaan (14.7) akan menjadiNj = Agjeβǫj(14.51)dan jumlah total partikel adalahN = Ajgjeβǫj(14.52)sehinggaA =Nj gjeβǫj. (14.53)Dengan menggunakan hasil dari Persamaan (14.41) makaA =N∞0 (BV 2π(2m)3/2ǫ1/2j dǫj)eβǫj, (14.54)yang kembali diperoleh dengan mengganti penjumlahan dengan integrasi untuksemua nilai energi yang mungkin. Kemudian dengan menggunakan integralfungsi Γ, yaitu
    • 80 CATATAN 14. PENGALI α DAN βΓ(n + 1) =∞0e−xxndx, (14.55)Γ(n + 1) = nΓ(n), (14.56)Γ(n + 1) = n!, (14.57)Γ(1/2) =√ı, (14.58)dan dengan x ≡ −βǫ, maka∞0ǫ1/2j eβǫjdǫj = (−β)−1/2∞0x1/2e−xdx= (−β)−1/2Γ(3/2) = (−β)−1/2√π2. (14.59)Dengan demikianA =NBV (−2πm/β)3/2=NBV (2πmkT )3/2(14.60)danα = ln A = lnNBV (2πmkT )3/2. (14.61)Untuk gas BE akan diperoleh bahwaA =Nh3V (2πmkT )3/2(14.62)atauα = ln A = lnNh3V (2πmkT )3/2, (14.63)di mana dalam hal ini degenerasi, atau lebih tepatnya jumlah keadaan energiyang menempati elemen ruang fasa enam dimensi didefinisikan sebagaig =dΓh3. (14.64)Sedangkan dalam statistik FD maka α akan terkait dengan apa yang dikenalsebagai energi Fermi ǫF , yaitu lewat hubungan
    • 14.8. PENGALI α 81α =ǫFkT. (14.65)Gambar 14.1: Ilustrasi band gap dan energi Fermi pada semikonduktor.
    • 82 CATATAN 14. PENGALI α DAN β
    • Catatan 15Energi Bebas HelmholtzDengan mengetahui temperatur dan entropi suatu sistem dalam deskripsi statis-tiknya ada gunanya pula untuk mengaitkan fungsi termodinamika lain dengansifat-sifat statistik. Dalam hal ini, misalnya saja adala energi bebas HelmholtzF sistem yang didefinisikan sebagai15.1 Energy bebas HelmholtzF = E − T S. (15.1)Bila suatu sistem mengalami perubahan kecil keadaannya pada temperaturtetap sehingga energinya berubah dari E menjadi E + dE dan entropinyaberubah dari S menjadi S + dS, maka perubahan energi bebas HelmholtznyamenjadidF = dE − T dS. (15.2)Dari hukum pertama dan kedua termodinamika dapat dituliskan bahwaT ds ≥ dE + dW, (15.3)di mana dW adala kerja yang dilakukan oleh sistem terhadap lingkungannyadan tanda sama dengan berlaku hanya untuk proses termodinamika reversibel.Dengan mengabungkan Persamaan (15.2) dan (15.3) dapat diperoleh ketidak-samaandF ≤ −dW. (15.4)83
    • 84 CATATAN 15. ENERGI BEBAS HELMHOLTZSelama terjadinya perubahan, energi bebas F akan berkurang sejumlah samaatau lebih besar dari kerja yang dilakukan oleh sistem. Bila tidak ada kerja yangdilakukan (dW = 0) setiap perubahan isotermal dalam energi bebas akan kurangdari atau sama dengan nol. Keadaan setimbang sistem dalam kondisi ini beradapada keadaan di mana energi bebas telah berkurang sampai nilai minimumnyakarena perubahan parameter dari sistem akan memberikan perubahan energibebas sebesardF = 0 (15.5)dan tidak ada kerja yang dilakukan sistem.Saat temperatur sistem bernilai tetap, penerapan Persamaan (15.5) akan mem-perbolehkan keadaan kesetimbangan sistem ditentukan bila energi bebas dike-tahui bentuknya dalam berbagai parameter termodinamika.15.2 Ekspansi reversibelKegunaan dari diketahuinya energi bebas terkait pula dengan hubungannya den-gan fungsi termodinamika lainnya dari sistem. Sebagai contoh, misalnya sebuahberubahan reversibel sistem berlangsung dengan perubahan dT dan kerja yangdilakukan hanya merupakan ekspansi sehingga volumenya bertambah sebesardV . Kerja yang dilakukan sistem adalah pdV dengan p adalah tekanan sis-tem. Pertidaksamaan (15.3) akan menjadi persamaan untuk proses reversiblesehinggaT ds = dE + dW. (15.6)Dengan nilai T dS ini dan bahwa temperatu boleh berubah maka perubahanenergi bebas F dapat diperoleh dari Persamaan (15.1), yaitudF = dE − T dS − SdT = dE − (dE + pdV ) − SdT = −pdV − SdT. (15.7)Dari Persamaan (15.7) dapat diperoleh bahwap = −∂F∂V T(15.8)danS = −∂F∂T V. (15.9)
    • 15.3. ENERGI SEBAGAI FUNGSI DARI ENERGI BEBAS 85Persamaan (15.8) akan berguna saat mencari persamaan keadaan sistem yangakan memberikan tekanan sistem dalam fungsi volume dan temperatur sistem.Salah satu contoh persamaan keadaan misalnya untuk gas ideal adalah pV =NRT .15.3 Energi sebagai fungsi dari energi bebasSubstitusi Persamaan (15.9) ke dalam Persamaan (15.1) akan memberikanF = E + T∂F∂T V. (15.10)Selanjutnya dapat diperoleh bahwaE = F − T∂F∂T V= −T 2 ∂(F/T )∂T V(15.11)≡∂(βF)∂β V, (15.12)dengan β = −1/kT (di mana ∂β = ∂T/kT 2).15.4 CV dari EDengan menggunakan definisi dari CVCV =∂E∂T V(15.13)dapat diperolehCV = −T∂2F∂T 2V(15.14)atauCV = −kβ2 ∂2(βF)∂β2V. (15.15)Dengan menggunakan pengetahuan mengenai distribusi statistik sistem, energibebas dapat ditentukan dalam representasi statis tik.
    • 86 CATATAN 15. ENERGI BEBAS HELMHOLTZ
    • Catatan 16Fungsi Partisi BoltzmannPeluang termodinamika untuk keadaan makro yang paling sering muncul Wmaxpada sistem gas sempurna memiliki bentukln Wmax = N lnNA+EkT. (16.1)Suatu kuantitas Z, yang nantinya akan disebut sebagai fungsi partisi, diperke-nalkan sebagai pengganti suku N/A.16.1 Fungsi partisi BoltzmannKuantitas Z didefinisikan sebagaiZ =NA. (16.2)Dengan menggunakan Persamaan (14.7) dan (14.50) yang disubtsitusikan kePersamaan (16.2) akan diperolehZ =j gje(α−ǫj /kT )eα=jgje−ǫj/kT(16.3)yang disebut sebagai fungsi partisi Boltzmann atau fungsi partisi, untuk suatupartikel dalam suatu sistem. Istilah ini digunakan karena dalam ekspresi Z,suku-suku dalam penjumlahan di atas menentukan bagaimana partikel-partikeldalam sistem terdistribusi atau terpartisi di antara berbagai tingkat-tingkatenergi.87
    • 88 CATATAN 16. FUNGSI PARTISI BOLTZMANNSelain dalam bentuk Persamaan (16.3) fungsi partisi dapat pula diungkapkanuntuk keadaan-keadaan energi yang ada secara individual. Bila energi darikeadaaan energi i adalah ǫi, dan karena degenerasi dari suatu keadaan energiadalah 1, makaZ =ie−ǫi/kT. (16.4)(Dikarenakan terdapat kemungkinan untuk menuliskan Z dalam bentuk ini, Zkadang dirujuk sebagai jumlah meliputi seluruh keadaan energi atau jumlahkeadaan energi bagi suatu sistem. Lambang Z diambil dari ekspresi ekivalendalam bahasa Jerman Zustandsumme.)Fungsi partisi yang diperoleh baik dari Persamaan (16.3) maupun Persamaan(16.4) adalah bukan besaran termodinamika yang terukur atau dapat diukursecara umum, ataupun muncul dalam persamaan termodinamika yang wajar.Tetapi, hasil tersebut merupakan suatu jembatan yang penting antara ekspresistatistik untuk suatu keadaan energi suatu sistem dengan fungsi-fungsi termod-inamika terkait, yang akan ditunjukkan kemudian.16.2 Fungsi partisi dan energi bebas HelmholtzDengan menggunakan definisi dari fungsi partisi dalam Persamaan (16.2) kedalam Persamaan (16.1), asumsi Wmax ≈ Ω, dan kaitan antara entropi S danΩ makaS = Nk ln Z +ET. (16.5)(Boltzmann mendefinisikan bahwa S = k ln Wmax sedangkan Planck menggu-nakan S = k ln Ω. Untuk sistem dengan jumlah keadaan mikro yang banyakkedua ungkapan tersebut hampir tidak memiliki perbedaan, akan tetapi apa-bila terdapat pembedaan maka ekspresi yang diungkapkan oleh Planck adalahyang lebih tepat.)Dengan menggunakan Persamaan (15.1) maka dapat diperoleh bahwaF = −NKT ln Z. (16.6)Dengan demikian besaran-besaran lain seperti energi E, tekanan p, dan capa-sitas panas CV dapat diperoleh.
    • 16.3. ENERGI SISTEM DAN FUNGSI PARTISI 8916.3 Energi sistem dan fungsi partisiDengan menggunakan Persamaan (15.11) atau melalui energi rata-rata dapatdiperoleh kaitan antara E dan Z. Energi rata-rata setiap partikel diperolehlewatǫ =EN=j njǫjj nj=j gjǫjeα−ǫj /kTj gjeα−ǫj/kT=j gjǫje−ǫj/kTj gje−ǫj/kT=j gjǫje−ǫj/kTZ.Dengan menggunakan Persamaan (16.3) dapat diturunkan bahwa∂Z∂T V=1kT 2jgjǫje−ǫj /kT(16.7)sehinggaǫ =kT 2 ∂Z∂T VZ= kT 2 ∂ln Z∂T V. (16.8)Kemudian dengan menggunakan E = Nǫ dapat diperoleh bahwaE = NkT 2 ∂ln Z∂T V= N∂ln Z∂β V(16.9)16.4 Entropi dan fungsi partisiDengan melakukan substitusi Persamaan (16.9) ke dalam Persamaan (16.5) da-pat diperolehS = Nk ln Z +∂ln Z∂ln β V(16.10)yang menunjukkan bahwa entropi S dapat dihitung hanya dengan meman-faatkan informasi mengenai fungsi partisi Z.
    • 90 CATATAN 16. FUNGSI PARTISI BOLTZMANN16.5 Energi bebas tiap partikelPersamaan (16.6) dapat diubah bentuknya menjadiZ = e−F/NkT(16.11)di mana dengan f = F/N yang menyatakan energi bebas tiap partikel makafungsi partisi untuk tiap keadaan energi bagi partikel dalam sistem dapat dit-uliskan menjadiZ =ie−ǫi/kT= e−f/kT. (16.12)16.6 Kapasitas panas spesifik pada volume tetapDengan menggunakan definisi dari Persamaan (15.13) dapat diperoleh bahwaCV =∂E∂T V= NK 2T∂ ln Z∂T+ T 2 ∂2ln Z∂T 2(16.13)16.7 Tekanan sistemTekanan dapat diperoleh dari Persamaan (15.8) dan Persamaan (16.6)p = −∂F∂V T= NkT∂ln Z∂V T(16.14)
    • Catatan 17Gas Ideal MonoatomikSuatu gas ideal yang terdiri dari N molekul identik yang masing-masingbermassa m. Molekul-molekul gas tak-terbedakan dan jumlah molekul dalamtiap keadaan energi yang mungkin, kecuali pada temperatur amat rendah se-hingga semua gas mencair, adalah amat kecil. Statistik yang cocok adalahstatistik klasik.Langkah pertama adalah menghitung fungsi partisi dari sistem ini, sebagaimanatelah diungkapkan dalam Persamaan (16.3), yaituZ =jgje−ǫj /kT17.1 Tingkat energi makroUntuk memperoleh fungsi partisi diperlukan informasi mengenai energi ǫjdan degenerasi gj pada tiap tingkat energi j. Di sini diasumsikan bahwanmolekul-molekul tidak berinteraksi kecuali saat saling bertumbukan secara in-stan, sehingga tiap molekul dapat dianggap sebagai partikel bebas dan memilikisusunan tingkat energi yang sama sebagaimana sebuah partikel dalam kotak.Dengan menggunakan mekanika kuantum dapat diperoleh bahwa tingkat energipartikel dalam kotak adalahǫj =n2j h2V −2/38m, (17.1)di mana n2j = n2x + n2y + n2z, dan nx, ny, nz adalah bilangan bulat yang masing-masing dapat bernilai 1, 2, 3, ....Degenerasi masing-masing tingkat energi atau jumlah keadaan energi dalamtiap tingkat energi dapat dengan mudah dihitung apabila bilangan kuantum91
    • 92 CATATAN 17. GAS IDEAL MONOATOMIKbernilai kecil. Dalam banyak contoh, sayangnya, tingkat-tingkat energi suatuasembli berjarak amat rapat dibandingkan dengan nilai energi tingkat energi itusendiri. Dengan demikian tingkat-tingkat energi dapat dikelompokkan menjadisuatu grup dengan lebar energi ∆ǫj untuk tingkat-tingkat energi yang memilikiyang energi antara ǫj dan ǫj + ∆ǫj. Setiap grup ini dirujuk sebagai tingkatenergi makro.Nyatakan bahwa Gj merepresentasikan jumlah total keadaan energi yangmungkin dalam tingkat energi sampai dan termasuk yang memiliki energi ǫj.Jumlah keadaaan energi yang mungkin ∆Gj dalam tingkat energi makro terse-but adalah sama dengan jumlah keadaan-keadaan energi dalam semua tingkatenergi yang termasuk ke dalam tingkat energi makro tersebut. Jadi, ∆Gj taklain adalah degenerasi dari tingkat energi makro, di mana degenerasi ini munculkarena terjadinya pengelompokan sejumlah besar tingkat-tingkat energi, akantetapi gj ditetapkan dari sifat alami asembli.17.2 Degenerasi tingkat energi makroBayangkan bilangan kuantum nx, ny, nz merupakan label tiga buah sumbuyang saling tegak lurus. Setiap kombinasi tiga angka nx, ny, nz akan mendefin-isikan sebuah titik dalam ruang-n. Setiap titik seperti itu terkait dengan suatukeadaan energi yang mungkin, memberikan nilai bilangan kuantum positif. Da-pat diambil bahwa setiap titik terdapat dalam kubus dengan panjang rusukdalam satuan panjang sehingga volumenya adalah satu.Bilangan kuantum nj berkaitan dengan sebuah vektor dalam ruang-n yang di-hitung dari pusat koordinat ke setiap titik, karena n2j = n2x + n2y + n2z. Dalamsistem, dengan volume yang diberikan, energi hanya bergantun dari nj, sehinggasemua kedaan energi dengan energi yang saya berada pada permukaan bola den-gan jari-jari nj dari pusat koordinat. Karena nx, ny, nz semua bernilai positif,dan terdapat satu titik setiap satuan volume dalam ruang-n, maka jumlah to-tal Gj dari semua keadaan energi yang mungkin, dalam semua tingkat energisampai dan termasuk yang memiliki energi ǫj, adalah sama dengan volume satuoktan dari bola dengan jari-jari nj, yaituGj =18×43πn3j =π6n3j . (17.2)Kulit bola sudah tentu akan memotong beberapa sel satuan sehingga tidak jelasapakah titik yang merepresentasikan suatu keadaan energi terdapat di dalamatau di luar permukaan bola. Akan tetapi, untuk nilai nj besar, yang meru-pakan kasus kebanyakan molekul-molekul suatu gas pada temperatur umum,ketidakpastian ini menjadi dapat diabaikan karena kecil.Selanjutnya, jumlah keadaan energi dalam tingkat keadaan makro yang memilikienergi antara ǫj dan ǫj +∆ǫj, atau degenerasi tingkat energi makro ∆Gj adalah
    • 17.3. FUNGSI PARTISI SISTEM 93∆Gj =π6× 3n2j∆nj =π2n2j ∆nj. (17.3)Secara geometri, nilai ini terkait dengan jumlah titik-titik dalam suatu kulit boladengan jari-jari nj dan tebal ∆nj. Dengan melihat bentuk dalam Persamaan(17.3), degenerasi akan meningkat dengan pertambahan nj secara kuadratikuntuk harga ∆nj yang sama.17.3 Fungsi partisi sistemDengan demikian fungsi partisi sistem dapat dituliskan sebagaiZ =j∆Gje−ǫj /kT, (17.4)di mana dengan menggunakan Persamaan (17.3) dan (17.1) akan menjadiZ =π2 jn2j exp −h2V −2/38mkTn2j ∆nj. (17.5)Denganf(nj) = n2j exp −h2V −2/38mkTn2j (17.6)maka f(nj)∆nj tak lain adalah luas di bawah kurva dari grafik f(nj) terhadapnj. Nilai Z terkait dengan jumlah seluruh luas seperti itu untuk seluruh nilainj dari j = 1 sampai j = ∞ karena tidak terdapat batas atas untuk nilai yangdiperbolehkan bagi nj.Untuk suatu aproksimasi yang baik, jumlah dalam Persamaan (17.5) sama den-gan luas di bawah kurva kontinu yang melewati puncak nilai-nilai f(nj), antarabatas 0 dan ∞ adalahZ =π2∞0n2j exp −h2V −2/38mkTn2j dnj. (17.7)Dengan menggunakan tabel integral tentu dapat diperoleh bahwaZ = V2πmkTh23/2. (17.8)
    • 94 CATATAN 17. GAS IDEAL MONOATOMIKHasil dalam Persamaan (17.8) ini akan dapat digunakan untuk mencari besaran-besaran termodinamika. Atau lebih umum apabila digunakanln Z = ln V +32ln2πmkTh2. (17.9)17.4 Persamaan keadaan dan besaran-besarantermodinamikaDengan menggunakan Persamaan (15.8) dan (16.6) dapat diperoleh bahwap = −∂F∂V T= −∂∂V(−NkT ln Z)T= NkT∂ ln Z∂V T=NkTV=nRTV, (17.10)yang tak lain adalah persamaan keadaan untuk gas ideal. Kemudian denganmenggunakan Persamaan (15.11)U = E = −T 2 ∂(F/T )∂T V= −T 2 ∂∂T−NkT ln ZT V= NkT 2 ∂ ln Z∂T V= NkT 2 32·h22πmkT·2πmkh2=32NkT =32nRT, (17.11)yang juga cocok dengan hasil teori kinetik untuk gas monoatomik dengan tigaderajat kebebasan.Kapasitas panas pada volume tetap pun dapat diperoleh melaluiCV =∂U∂T V=32Nk =32nR (17.12)dan juga kapasitas spesifik molalcV =CVn=32R. (17.13)
    • Catatan 18Distribusi Laju MolekularSebagaimana penurunan dalam Bab Gas Ideal Monoatomik di sini, di manadigunakan pula statistik klasik, tetap digunakan tingkat energi makro.18.1 Bilangan okupasi rata-rata tingkat energimakroDistribusi akan dinyatakan dalam bilangan okupasi rata-rata suatu tingkat en-ergi makro, yang meliputi suatu rentang energi antara ǫj sampai ǫj + ∆ǫj.Variabel N menyatakan jumlah molekul yang memiliki energi sampai dan ter-masuk berenergi ǫj. Rata-rata jumlah molekul yang termasuk ke dalam tingkatenergi makro atau rata-rata bilangan okupasi tingkat energi makro tersebutadalah ∆Nj. Kuantitas ∆Nj dan ∆Gj terkait dengan bilangan okupasi rata-rata suatu tingkat energi Nj dan degenerasi suatu tingkat energi tunggal gj.Untuk kedua fungsi distribusi, baik Maxwell-Boltzmann maupun klasik, memi-liki bentuk∆Nj =NZ∆Gje−ǫ/kT. (18.1)Dengan menggunakanǫj =n2j h2V −2/38m=12mv2j⇒ n2j =4m2v2jh2V −2/3⇒ nj =2mvjhV −1/3.⇒ ∆nj =2mhV −1/3∆vj.95
    • 96 CATATAN 18. DISTRIBUSI LAJU MOLEKULAR∆Gj =π2n2j ∆nj =π24m2v2jh2V −2/32mhV −1/3∆vj =4πm3Vh3v2j ∆vj. (18.2)Dengan menghilangkan indeks j pada Persamaan (18.2) di atas dan memberikanindeks v dapat dituliskan∆Gv =4πm3Vh3v2∆v. (18.3)Gunakan hasil dalam Persamaan (18.3) ke dalam Persamaan (18.1) dan hasiluntuk Z dari Persamaan (17.8) sehingga∆Nj =NZ∆Gje−ǫ/kT⇒ ∆Nv =NV 2πmkTh23/24πm3Vh3v2∆v e−mv2/2kT=4N√πm2kT3/2v2e−mv2/2kT∆v. (18.4)Kuantitas Nv merepresentasikan rata-rata total jumlah molekul yang memilikilaju sampai dan termasuk v, dan ∆Nv adalah rata-rata jumlah dengan lajuantara v dan v + ∆v.Persamaan (18.4) disebut sebagai fungsi distribusi laju Maxwell-Boltzmann.18.2 Laju yang paling mungkinLaju yang paling mungkin vm untuk molekul-molekul yang memiliki laju antarav dan v+∆v dapat diperoleh dengan mencari nilai maksimum dari (18.4) denganhanya memperhatikanddvv2e−mv2/2kT= 0yang akan memberikan hasilvm =2kTm. (18.5)Dengan demikian Persamaan (18.4) dapat dituliskan dalam bentuk yang lebihkompak, dengan menggunakan vm, yaitu
    • 18.3. LAJU RATA-RATA 97∆Nv∆v=4N√πv3mv2e−v2/v2m . (18.6)Fungsi distribusi laju ini bergantung terhadap temperatur T melalui kuantitasvm.18.3 Laju rata-rataLaju rata-rata diperoleh melaluiv =1Nv∆Nv.Dengan menggunakan Persamaan (18.6) dan melakukan aproksimasi jumlahdengan integral dapat diperoleh bahwav =4√πv3m∞0v3e−v2/v2m dv =2√πvm =8kTπm(18.7)18.4 Laju rmsDengan menggunakan cara yang sama untuk mencari v dapat dicari vrms, yaituvrms =√v =1Nv2∆Nv1/2=4√πv3m∞0v4e−v2/v2m dv1/2=32vm =3kTm(18.8)18.5 Perbandingan ketiga lajuDengan melihat Persamaan (18.5), (18.7), dan (18.8) dapat dituliskan bahwavm : v : vrms =2kTm:8kTπm:3kTm= 1 : 1.128 : 1.224. (18.9)
    • 98 CATATAN 18. DISTRIBUSI LAJU MOLEKULAR18.6 Ekipartisi energiBila energi partikel-partikel dalam suatu sistem terbuat dari suku-sukukuadratik dalam koordinat posisi dan momentum partikel, maka untuk setiapsuku kuadratik, kontribusinya kepada energi rata-rata akan berbentuk 12 kT dimana T adalah temperatur dari sistem.
    • Catatan 19Paradoks GibbBab ini akan menceritakan bagaimana entropi bertambah setelah dua jenis gasyang semula terpisahkan oleh dinding diatermal dicampurkan. Pertambahanentropi ini sayangnya juga terjadi saat kedua jenis gas merupakan jenis gasyang sama, yang menjadikannya suatu paradoks yang dikenal sebagai paradoksGibb.19.1 Fungsi partisiSecara umum, degenerasi pada setiap tingkat energi ǫj, yaitu gj, dapat di-ungkapkan dalam bentuk kontinu di ruang-Γ menjadigj ≡dΓh3(19.1)sehingga fungsi partisi dapat dituliskan menjadiZ =jgje−ǫj/kT≡ e−ǫ/kT dΓh3. (19.2)Elemen ruang fasa enam-dimensi dΓ terdiri dari tiga elemen ruang spasial dantiga elemen ruang momentum, yaitudΓ = (dV )(dVp) = (dxdydz)(dpxdpydpz). (19.3)Suku pertama dalam ruas paling kanan pada Persamaan (19.2), yaitu e−ǫ/kTmerupakan fungsi dari energi, dengan demikian elemen ruang fasa enam-dimensidΓ dalam Persamaan (19.3) harus pula dirumuskan dalam variabel energi ǫ.99
    • 100 CATATAN 19. PARADOKS GIBBUntuk partikel-partikel gas yang bebas bergerak tanpa pengaruh suatu medanmaka energinya hanya merupkana energi kinetik sehinggaǫ =p22m. (19.4)Oleh karena itu elemen ruang momentum dVp = dpxdpydpz dalam Persamaan(19.3) harus dirumuskan dalam momentum total p dan bukan dalam px, py, danpz. Dengan mengingat bentuk bahwa dxdydz dalam sistem koordinat kartesianmemiliki representasi r2dr sin θdθdϕ dalam sistem koordinat bola maka dengancara yang sama dapat diperolehdVp = dpxdpydpz = p2dp sin θdθdϕ. (19.5)Dan karena energi dalam Persamaan (19.4) hanya bergantung dari p dan tidakθ dan ϕ maka Persamaan (19.5) dapat diungkapkan dalam bentukdVp = p2dpπ0sin θdθ2π0dϕ = 4πp2dp. (19.6)Ungkapan untuk dp dapat diperoleh dari dǫ dengan menurunkan Persamaan(19.4) terhadap ǫ sehingga diperolehdǫdp=pm=√2mǫm=2ǫm⇒ dp =m2ǫdǫ. (19.7)Dengan demikian Persamaan (19.6) akan menjadidVp = 4πp2dp = 4π(2mǫ)m2ǫdǫ = 2π(2m)3/2ǫ1/2dǫ. (19.8)Selanjutnya dengan menuliskan elemen volume dalam ruang spasial dapat di-integralkan menjadi V karena fungsi energi yang dibahas tidak tergantung darikoordinat spasial. Akhirnya elemen ruang fasa enam-dimensi dΓ dapat dit-uliskan menjadidΓ = 2πV (2m)3/2ǫ1/2dǫ (19.9)sehingga bentuk kontinu gj dalam Persamaan (19.1) dalam ruang energi ǫ akanmenjadigj ≡ g(ǫ)dǫ = 2πV (2m)3/2ǫ1/2dǫ ⇒ g(ǫ) = 2πV (2m)3/2ǫ1/2. (19.10)
    • 19.2. BEBERAPA BESARAN TERMODINAMIKA 101Dengan menggunakan Persamaan (19.9) dan V maka Persamaan (19.2) dapatdituliskan menjadiZ ≡ e−ǫ/kT dΓh3=2πV (2m)3/2h3∞0ǫ1/2e−ǫ/kTdǫ (19.11)Persamaan (19.11) dapat diselesaikan dengan menggunakan integral fungsi Γ(x)sehingga∞0ǫ1/2e−ǫ/kTdǫ = (kT )3/2Γ(3/2) = (kT )3/2√π2(19.12)Dengan menggunakan hasil dalam Persamaan (19.12) maka Persamaan (19.11)akan menjadiZ =2πV (2m)3/2h3· (kT )3/2√π2=V (2πmkT )3/2h3(19.13)19.2 Beberapa besaran termodinamikaEnergi bebas Helmholtz F dapat dihitung dengan menggunakan hubunganF = −NkT ln Z (19.14)sehingga diperolehF = −NkT lnV (2πmkT )3/2h3. (19.15)Entropi S dapat diperoleh lewatS = −∂F∂T V(19.16)sehingga diperolehS = −∂∂T−NkT lnV (2πmkT )3/2h3V=∂∂TNkT lnV (2πmkT )3/2h3V
    • 102 CATATAN 19. PARADOKS GIBB= Nk lnV (2πmkT )3/2h3+ NkT ·h3V (2πmkT )3/2·V (2πmk)3/2h3·32√T= Nk lnV (2πmkT )3/2h3+32Nk. (19.17)Energi total sistem U adalahU = F + T S (19.18)sehingga dengan menggunakan Persamaan (19.15) dan (19.17) dapat dituliskankembali menjadiU = −NkT lnV (2πmkT )3/2h3+ T Nk lnV (2πmkT )3/2h3+32Nk=32NkT (19.19)yang cocok dengan energi dalam suatu gas ideal monoatomik. Sedangkantekanan dapat diperoleh darip = −∂F∂V T(19.20)yang akan memberikanp = −∂∂V−NkT lnV (2πmkT )3/2h3T=NkTV. (19.21)Persamaan (19.21) akan memberikan persamaan keadaan untuk gas ideal klasikmonoatomik. Selanjutnya, kapasitas panas pada volume konstan CV dapatdiperoleh lewatCV =∂Q∂T V=∂U∂T V(19.22)sehingga dengan menggunakan Persamaan (19.19) akan diperolehCV =32Nk. (19.23)
    • 19.3. PARADOKS GIBB 103Sedangkan untuk kapasitas panas pada tekanan konstan CpCp =∂Q∂T p=∂U∂T p+ p∂V∂T p. (19.24)Dengan menggunakan Persamaan (19.21) akan diperoleh bahwaCp = CV + Nk. (19.25)19.3 Paradoks GibbMisalkan terdapat gas berjenis sama yang menempati dua ruang berbeda denganvolume V yang sama, temperatur T yang sama, tekanan p yang sama, jumlahpartikel N yang sama, sehingga akan memiliki entropi S yang sama dan energitotal U yang sama.Apabila kedua ruang tersebut digabungkan maka besaran-besaran yang dise-butkan sebelumnya akan menjadiT ′= T, (19.26)U′= 2U, (19.27)V ′= 2V, (19.28)N′= 2N, (19.29)S′= (2N)k ln(2V )(2πmkT )3/2h3+32(2N)k= 2 Nk lnV (2πmkT )3/2h3+32Nk + 2Nk ln 2= 2S + 2Nk ln 2 > 2S. (19.30)Persamaan (19.30) menceritakan bahwa dengan menghilangkan pembatas an-tara kedua ruang yang berisi gas yang sama, akan terjadi peningkatan entropisebesar 2Nk ln 2 dari seharusnya yang diperkirakan, yaitu 2S. Sebaliknya, bilapembatas dipasang kembali maka entropi kedua sistem yang terpisah akan kem-bali menjadi 2S. Seharusnya dinding pemisah tidak memiliki pengaruh padaentropi gas apabila kedua jenis gas adalah sama. Kontradiksi kelakuan entropiini disebut sebagai paradoks Gibb.Bila kedua jenis gas berbeda, tidak terdapat kontradiksi ini karena setelah dind-ing pembatas dihilangkan dan entropi bertambah, pemasangan kembali dindingpembatas tidak akan mengambalikan dinding pembatas tidak akan mengamba-likan gas kepada kondisi masing-masing jenis gas terpisah. Masing-masing gas
    • 104 CATATAN 19. PARADOKS GIBBmemiliki entropi awal yang berbeda karena memiliki massa partikel gas yangbebeda.Suku campuran apabila kedua gas berjenis sama ini dapat pula dipandang darisisi statistik klasik bahwa ruang yang baru akan membuat seakan-akan g′j men-jadi 2gj sehingga peluang termodinamika keadaan makro paling mungkin akanmenjadiW′max = (2NWmax)(2NWmax). (19.31)Dengan menggunakan hubungan entropi menurut BoltzmannS′= k ln W′max = k ln (2NWmax)2= 2k ln Wmax + 2kN ln 2= 2S + 2kN ln 2. (19.32)19.4 Gas ideal semi-klasikGibb kemudian mempostulatkan bahwa terdapat kesalahan dalam menghi-tung jumlah keadaan sehingga peluang termodinamika untuk statistik Maxwell-Boltzmann perlu dikoreksi sehingga menjadi N! kali lebih kecil dari seharusnya,yaitu dariWMB = N!jgNjjNj!(19.33)menjadiWsemi−klasik =jgNjjNj!. (19.34)Yang disebut sebagai statistik semi-klasik. Koreksi ini akan memberikan kon-sekuensi dalam perumusan entropi sehingga menjadiS = Nk lnV (2πmkT )3/2Nh3+52Nk. (19.35)yang dikenal sebagai persamaan Sackur-Tetrode. Banding Persamaan (19.35)dengan Persamaan (19.17) semula. Dapat pula dilihat bahwa volume yangberperan di sini sekarang adalah volume untuk tiap partikel atau N/V sehingga
    • 19.4. GAS IDEAL SEMI-KLASIK 105apabila dua jenis gas dicampur dengan kondisi seperti telah disebabkan sebelum-nya, volume untuk tiap partikel tidak akan berubah. Dengan Persamaan (19.35)akan diperoleh bahwaS′= (2N)k ln(2V )(2πmkT )3/2(2N)h3+52(2N)k= 2 Nk lnV (2πmkT )3/2Nh3+52Nk = 2S.Persamaan (19.35) juga akan membuat perubahan hubungan antara besaran-besaran termodinamika terhadap fungsi partisi. Akan tetapi hasi akhir besaran-besaran termodinamika yang diturunkan tidak akan berubah. Hal ini akandibahas pada bab khusus mengenai gas semi-klasik.
    • 106 CATATAN 19. PARADOKS GIBB
    • Catatan 20Ekipartisi EnergiBila energi partikel-partikel dalam suatu sistem berbentuk kuadrat dari koordi-nat posisi dan momentum sistem maka setiap suku yang mengandung kuadrattersebut tersebut akan berkontribusi terhadap energi rata-rata sebesar 12 kT dimana T adalah temperatur sistem. Hal ini akan dibahas sebagai suatu aplikasidari statistik Maxwell-Boltzmann.20.1 Bentuk-bentuk energiEnergi suatu partikel dapat berbentuk murni energi kinetik, misalnya dalamarah-xǫx =p2x2m, (20.1)yang juga berlaku sama dengan dalam arah-y dan arah-z. Dapat pula berbentukenergi kinetik dan energi potensial, misalnya pada osilator harmonik, yang untukarah-x-nya adalahǫx =p2x2m+12µx2, (20.2)yang akan memiliki bentuk yang sama pula dalam kedua arah lainnya.Dengan demikian, secara lengkap suku energi ǫ merupakan fungsi dari x, y, z,px, py, dan pz atau koordinat dari ruang fasa enam-dimensi Γ. Suatu bentuklengkap ǫ yang bergantung kuadrat dari koordinat-koordinat ruang Γ adalah107
    • 108 CATATAN 20. EKIPARTISI ENERGIǫ =p2x2m+12µx2+p2y2m+12µy2+p2z2m+12µz2. (20.3)20.2 Rata-rata energi kinetikDengan demikian, apabila ingin dihitung ǫx untuk suatu partikel gasmonoatomik yang bebas dari pengaruh medan apapun, dapat dilakukan lewatǫx = Γ(p2x/2m)e−ǫ/kTdΓΓe−ǫ/kT dΓ, (20.4)dengan dΓ = dxdydxdpxdpydpz. Dengan melihat bentuk umum dalam Per-samaan (20.3) maka apabila dituliskanǫ − (p2x/2m) (20.5)merupakan suatu suku yang tidak lagi bergantung dari px. Dengan menggu-nakan cara ini maka Persamaan (20.7) dapat dituliskan menjadiǫx = Γe−[ǫ−(p2x/2m)]/kTdV dpydpzΓe−[ǫ−(p2x/2m)]/kT dV dpydpz∞−∞(p2x/2m)e−p2x/2mkTdpx∞−∞e−p2x/2mkT dpx=∞−∞(p2x/2m)e−p2x/2mkTdpx∞−∞ e−p2x/2mkT dpx. (20.6)Dengan melakukan subtsitusi u2= p2x/2mkT maka Persamaan (20.6) akan men-jadiǫx =kT∞−∞u2e−u2du∞−∞e−u2du=12kT, (20.7)karena dengan menggunakan integral parsial dapat diperoleh bahwa∞−∞u2e−u2du =12∞−∞ue−u2d(u2)= −12ue−u2 ∞u=−∞+12∞−∞e−u2du =12∞−∞e−u2du. (20.8)Dengan cara yang sama akan dapat diperoleh bahwa
    • 20.3. RATA-RATA ENERGI POTENSIAL MIRIP PEGAS 109ǫy =12kT, (20.9)ǫz =12kT. (20.10)20.3 Rata-rata energi potensial mirip pegasBila partikel memiliki energi potensial yang bergantun posisi seperti dalam Per-samaan (20.2), maka rata-rata energi potensial dalam arah-x dapat dicari, mis-alnya sajaux =12µx2. (20.11)Kemudian dengan menggunakan prosedur yang sama seperti sebelumnya, yaitumembuat suatu suku yang bebas terhadap x, yaituǫ −12µx2, (20.12)maka dapat diperoleh bahwaux = Γ e−[ǫ−(µx2/2)]/kTdVpdydzΓ e−[ǫ−(µx2/2)]/kT dVpdydz∞−∞(µx2/2)e−µx2/2kTdx∞−∞ e−µx2/2kT dx=∞−∞(µx2/2)e−µx2/2kTdx∞−∞e−µx2/2kT dx. (20.13)Kali ini dengan menggunakan u2= µx2/2kT maka Persamaan (20.13) akanmenjadiux =kT∞−∞u2e−u2du∞−∞e−u2du=12kT, (20.14)sehingga untuk potensial pada arah-y dan arah-z akan diperoleh pulauy =12kT, (20.15)uz =12kT. (20.16)
    • 110 CATATAN 20. EKIPARTISI ENERGI20.4 Rata-rata energi osilator harmonikSuatu osilator harmonik yang memiliki energi pada arah-x seperti dalam Per-samaan (20.2) dapat pula dihitung energi rata-ratanya pada arah-x, yaituǫx =∞−∞∞−∞(p2x/2m + µx2/2) exp[−(p2x/2m + µx2/2)/kT ]dxdpx∞−∞∞−∞(p2x/2m + µx2/2)dxdpx(20.17)dengan kembali menggunakan prosedur yang sama dalam membahas integraldalam dΓ. Untuk menyelesaikan Persamaan (20.2), nyatakan koordinat x danpx dalam bentuk polar sehinggap2x2m= r2sin2θ, (20.18)12µx2= r2cos2θ, (20.19)dxdpx = 2(m/µ)1/2rdrdθ. (20.20)Persamaan (20.20) diperoleh dengan memisalkan dx′≡ (µ/2)1/2dx, dy′=(2m)−1/2dpx, dan dx′dy′= (dr)(rdθ). Dengan demikian Persamaan (20.17)akan menjadiǫx =2π0 dθ∞0 e−r2/kTr3dr2π0dθ∞0e−r2/kT rdr= kT. (20.21)Integral e−au2u3du dapat dipecahkan lewat∞0e−au2u3du =12a∞0u2e−au2d(au2)= −12au2e−au2∞u=0+1a∞0ue−au2du= 0 +1a∞0ue−au2du =1a∞0ue−au2du.a =1kT⇒∞0e−r2/kTr3dr = kT∞0e−r2/kTrdr. (20.22)Hasil dari Persamaan (20.21) cocok dengan hasil sebelumnya di mana rata-ratadari suku kuadrat dari x dan px akan memberikan kontribusi energi 12 kT .
    • 20.5. DERAJAT KEBEBASAN 11120.5 Derajat kebebasanUmumnya, dan lebih berguna, apabila setiap kontribusi saling bebas dalamenergi berupa suku kuadrat yang bergantung pada koordinat ruang Γ dirujuksebagai suatu derajat kebebasan sebuah partikel gas. Energi rata-rata 12 kT dim-iliki oleh setiap derajat kebebasan atau mode saling bebas dalam menyimpangenergi. Sebagai contoh, misalnya terdapat N partikel yang merupakan osila-tor harmonik, maka derajat kebebasannya adalah 6, biasa dinyatakan denganf, sehingga energi sistem tak lain adalah U = 6 · N · 12 kT = 3NkT . Dengandemikian energi sistem adalahU = fN12kT . (20.23)Kapasitas panas pada volume konstan CV adalahCV =∂U∂T V=12Nkf =12nRf. (20.24)20.6 Gas diatomikUntuk gas diatomik selain bertranslasi, molekul gas dapat pula berotasi sehinggaada tambahan energi dariǫrot =12Ixω2x +12Iyω2y. (20.25)Dengan demikian dalam hal ini derajat kebebasannya f = 5. Untuk molekulgas diatomik atau yang lebih kompleks umumnya terdapat, secara umum, enamderajat kebebasan.20.7 Bukan suku kuadrat koordinatBila suku energi bukan berbentuk kuadrat dari koordinat dari ruang Γ, sepertiuz = mgz, (20.26)maka prinsip ekipertisi energi tidak akan berlaku di sini, yang berartiuz =12kT. (20.27)
    • 112 CATATAN 20. EKIPARTISI ENERGIHal ini akan dibahas pada gas monoatomik dalam pengaruh energi potensialgravitasi.
    • Catatan 21Tambahan Informasi 1Bab ini memberikan tambahan informasi yang mendukung kuliah dan diharap-kan dapat memberikan motivasi bagi peserta kuliah.21.1 Ilustrasi Cv bergantung TPada bab sebelumnya telah diceritakan bahwa terkait dengan prinsip ekipartisienergi bahwa setiap suku energi yang mengandung kuadrat dari koordinat ruangfasa Γ akan memberikan kontribusi 12 kT terhadap energi rata-rata, yang dirujuksebagai suatu derajat kebebasan. Akan tetapi kapan suatu derajat kebebasanmuncul pada molekul gas, dalam hal ini harus diatomi, triatomik, atau lebihkompleks, masih tidak jelas.Gambar 21.1: Ilustrasi secara kualitaf perubahan CV terhadap temperatur.113
    • 114 CATATAN 21. TAMBAHAN INFORMASI 1Gambar 21.1 (AbsoluteAstronomy.com, http://www.absoluteastronomy.com/topics/Equipartition theorem [accessed 2010.04.16.06.22]) menggambarkanbahwa CV berubah dengan temperatur. Skala temperatur sebenarnya dalamskala logaritmik. Ilustrasi yang lebih baik karena merupakan hasil eksperimenuntuk gas hidrogen dapa dilihat dalam literatur (Francis W. Sears and GerhardL. Salinger, ”Thermodynamics, Kinetic Theory, and Statistical Thermodynam-ics”, Addison-Wesley Pub. Co., Reading, Fifth Printing, 1980, pp. 379, Fig.12-16) dengan temperatur rotasi kira-kira pada 90 K dan vibrasi pada 7500 K.Gambar 21.2: Sketsa mode-mode energi molekul gas triatomik, H2O.Gambar 21.2 memperlihatkan model-mode energi yang memberikan kontribusi12 kT pada energi rata-rata tiap molekul gas (Chemistry Department OccidentalCollege http://departments.oxy.edu/chemistry/enthropy.htm [accessed 2010.04.16.06.23]).21.2 Publikasi mengenai gas ideal dan ensembelmikrokanonikDengan menggunakan sedikit partikel gas misalnya terdapat publikasi oleh S.Velasco, J. A. White, dan J. G¨u´emez dalam European Journal of Physics 14(4), 166-170 (1993) dengan judul ”Single-particle energy and velocity distribu-tions for finite simple systems in the microcanonical ensemble” yang melakukansimulasi dengan sedikit partikel.
    • 21.2. PUBLIKASI MENGENAI GAS IDEAL DAN ENSEMBEL MIKROKANONIK115Gambar 21.3: Hasil yang diperoleh oleh Velasco et. al (1993).Selain itu juga terdapat publikasi oleh F. L. Roman, J. A. White, dan S. Velascodalam European Journal of Physics 16 (2), 83-90 (1995) dengan judul ”Micro-canonical single-particle distributions for an ideal gas in a gravitational field”yang terkait dengan topik yang akan dibahas pada bab berikutnya.Selain itu terdapat pula publikas-publikasi dengan topik-topik yang lebih ad-vanced, misalnya saja:• Kourosh Nozari and S. Hamid Mehdipour, ”Implications of MinimalLength Scale on the Statistical Mechanics of Ideal Gas”, Arxiv 0601096(2006)• F. Becattini and L. Ferroni, ”The microcanonical ensemble of the idealrelativistic quantum gas”, Arxiv 0704.1967 (2007)• F. Becattini and L. Ferroni, ”The microcanonical ensemble of the idealrelativistic quantum gas with angular momentum conservation”, Arxiv0707.0793 (2007)• Ying-Qiu Gu, ”Thermodynamics of Ideal Gas in Cosmology”, Arxiv0708.2962 (2009)
    • 116 CATATAN 21. TAMBAHAN INFORMASI 1• Felipe Asenjo, Cristian A. Far´ıas and Pablo S. Moya, ”Statistical rela-tivistic temperature transformation for ideal gas of bradyons, luxons andtachyons”, Arxiv 0712.4368 (2009)
    • Catatan 22Gas Ideal dalam MedanGravitasiDalam bab-bab sebelumnya energi gas umumnya dianggap seluruhnya dalambentuk energi kinetik, yang berarti walaupun wadah gas memiliki ketinggian,energi potensial gravitasi dari molekul-molekul gas diabaikan. Dalam bab inienergi potensial jenis ini akan diperhitungkan dan akan ditunjukkan bahwa gasberfungsi sebagai suatu sistem multi variabel.22.1 SistemSistem yang dibahas di sini adalah terdapat suatu wadah dengan tinggi L yangdapat diatur menggunakan piston dan luas penampang A sehingga volume ruangyang ditempati gas pada suatu saat adalah AL. Sumbu-y diambil ke arah atasdengan percepatan gravitasi diambil ke arah bawah. Temperatur T dalam gasdiasumsikan seragam.Dengan demikian gas menjadi suatu sistem multivariabel yang dideskripsikanoleh tiga variabel saling bebas T , L, dang g.22.2 Persamaan termodinamikaUntuk sistem ini dapat dituliskan bahwaT dS = dU + Y1dX1 − X2dY2 (22.1)dengan variabel ekstensif X1 adalah L dan variabel intensif Y2 adalah medan117
    • 118 CATATAN 22. GAS IDEAL DALAM MEDAN GRAVITASIgravitasi dengan intensitas g. Dengan menggunakan Π sebagai Y1 dan Γ sebagaiX2 maka Persamaan (22.1) akan menjadiT dS = dU + ΠdL − Γdg. (22.2)22.3 Energi totalSistem ini memiliki energi potensiap gravitasi UG sebagai mana energi internalgas yang hanya merupakan fungsi dari temperatur UT . Energi tiap partikelakan menjadiǫ =p22m+ mgy (22.3)dengan titik acuan nol untuk y diambil pada dasar ruang.22.4 Fungsi partisiSeperti telah dijelaskan dalam bab-bab sebelumnya, fungsi partisi dapat diny-atakan dalam bentuk diskritZ =jgjeǫj/kT(22.4)ataupun kontinuZ =∞0e−ǫ/kT dΓh3(22.5)dengangj ≡dΓh3. (22.6)Saat energi terdiri dari dua suku, yaitu suku energi kinetik dan suku energipotensial, maka dapat dituliskan bahwa masing-masing suku akan memberikan’satu’ fungsi partisi. Untuk suku energi kinetik digunakan Zp yang hanyabergantung dari koordinat momentumZp = e−p2/2mkT dΓh3(22.7)
    • 22.4. FUNGSI PARTISI 119dan untuk suku energi potensial gravitasi digunakan Zy yang hanya bergantungdari koordinat spasial yZy = e−mgy/kT dΓh3. (22.8)Akan tetapi karena partisi sistem secara keseluruhan, tak lain adalahZ = ZpZy, (22.9)maka akan lebih tepat apabilaZ = e−p2/2mkTe−mgy/kT dΓh3(22.10)sehingga Persamaan (22.7) dapat tetap digunakan akan tetapi Persamaan (22.8)harus dimodifikasi menjadiZy =1Le−mgy/kTdy. (22.11)Dengan menggunakandΓ = 4πV p2dp (22.12)maka Persamaan (22.7) akan menjadiZp =4πVh3(2mkT )3/2∞0e−p2/2mkT p22mKTdp√2mkT=4πVh3(2mkT )3/2 14(√π) =V2πmkTh23/2= AL2πmkTh23/2. (22.13)Pemecahan ini dilakukan dengan menggunakan∞−∞ e−x2dx =√π dan Per-samaan (20.8)Sedangkan Persamaan (22.8) akan menjadiZy =1LkTmgL0e−mgy/kTdmgykT=kTmgL−e−mgy/kTLy=0=kTmgL1 − e−mgL/kT. (22.14)
    • 120 CATATAN 22. GAS IDEAL DALAM MEDAN GRAVITASIFaktor 1/L muncul karena dalam Persamaan (22.13) dihitung volume spasialpadahal untuk komponen dy telah dihitung pada Zy. Dengan demikian fungsipartisi total adalahZ = AL2πmkTh23/2kTmgL1 − e−mgL/kT. (22.15)22.5 Energi bebas HelmholtzDengan menggunakan rumusan energi bebas Helmholtz untuk gas semi-klasik,yaituF∗ = −NkT (ln Z − ln N + 1), (22.16)(Ingat bahwa rumusan F = −NkT ln Z adalah untuk gas klasik, yang masihdapat menyebabkan paradok Gibb) dapat diperoleh dua besaran baru, yaituΠ = −∂F∗∂L T,g= NkT∂ ln Z∂L T,g(22.17)danΓ = −∂F∗∂g T,L= NkT∂ ln Z∂g T,L, (22.18)yang akan memberikanΠ =Nmgexp(mgL/kT) − 1, (22.19)Γ =NkTg−NmLexp(mgL/kT) − 1. (22.20)Jadi sistem ini memiliki dua persamaan keadaan yaitu Π(T, L, g) dan Γ(T, L, g).Γ = UG/g sehinggaUG = NkT −NmgLexp(mgL/kT) − 1(22.21)sehingga dengan menggunakan
    • 22.6. ENTROPI 121U = NkT 2 ∂ ln Z∂T L,g=52NkT −NmgLexp(mgL/kT) − 1(22.22)dan U = UG + UT dapat diperoleh bahwaUT =32NkT (22.23)yang merupakan energi dalam gas saat tidak terdapat medan gravitasi, yanghanya bergantung dari temperatur.22.6 EntropiDengan menggunakan hubungan antara entropi S, energi dalam sistem U, danenergi bebas Helmholtz F untuk gas semi-klasik dari Persamaan (22.16)F∗ = U − T S, (22.24)maka dapat diperoleh entropi sistem adalahS =UT−FT=1T52NkT −NmgLexp(mgL/kT) − 1−1T[−NkT (ln Z − ln N + 1)]=52Nk −NmgL/Texp(mgL/kT) − 1+ Nk(ln Z − ln N + 1). (22.25)22.7 Distribusi partikel sebagai fungsi keting-gianJumlah total partikel dalam sistem secara umum adalahN =jnj =jgjeα−ǫj/kT(22.26)atau dalam bentuk integralnya adalahN =∞0eα−ǫ/kT dΓh3. (22.27)
    • 122 CATATAN 22. GAS IDEAL DALAM MEDAN GRAVITASIDalam hal ini, apabila ingin dibahas bagaimana distribusinya terhadap keting-gian y maka, suku energi akan diperhatikan hanya bagian yang bergantung ydari Persamaan (22.3). Dengan demikian Persamaan (22.27) akan menjadiN = eα−p2/2mkT −mgy/kT dΓh3= eα∞0e−p2/2mkT dΓh3L0e−mgy/kT dyL= eαZpL0e−mgy/kT dyL. (22.28)Jumlah partikel yang berada antara ketinggian y dan y + ∆y adalahdNy = eαZpe−mgy/kT dyL(22.29)Persammaan (22.28) dapat diubah menjadiN = eαZpL0e−mgy/kT dyL= eαZpZy, (22.30)selanjutnya, dengan menggunakan Persamaan (22.30), Persamaan (22.29) dapatdituliskan kembali menjadidNy =NZye−mgy/kT dyL. (22.31)Volume sebuah daerah tipis adalah Ady sehingga jumlah partikel per satuanvolume pada ketinggian y adalahny =dNyV=1AdNydy. (22.32)Dengan menggunakan persamaan keadaaan untuk gas idel (pV = NkT ) makatekanan pada ketinggial y adalahpy = nyKT. (22.33)Bentuk eksplisit dari ny dapat dihitung menggunakan Persamaan (22.31), yaituny =NAZye−mgy/kT 1L. (22.34)
    • 22.7. DISTRIBUSI PARTIKEL SEBAGAI FUNGSI KETINGGIAN 123Nilai dari Zy telah dihitung dalam Persamaan (22.14) sehingga dapat dituliskanbahwany =NA1Zye−mgy/kT 1L=NAmgLkT11 − e−mgL/kTe−mgy/kT 1L=NmgA1kTe−mgy/kT1 − e−mgL/kT. (22.35)Substitusikan Persamaan (22.35) ke dalam Persamaan (22.33) sehingga diper-olehpy =NmgAe−mgy/kT1 − e−mgL/kT(22.36)Pada y = 0 tekanan dinyatakan sebagai p0 sehinggap0 =NmgA11 − e−mgL/kT, (22.37)sehingga Persamaan (22.36) dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih kompak,yaitu menjadipy = p0e−mgy/kT. (22.38)Persamaan (22.38) ini menceritakan bahwa tekanan berkuran secara eksponen-sial dengan bertambahnya ketinggian. Persamaan ini dikenal sebagai persamaanbarometrik atau hukum atmosfer (the law of atmospheres), yang dapat pula di-turunkan dari prinsip hidrostatik dan persamaan keadaan gas ideal, yaitup = p0 − ρgy ⇒ dp = −ρgdyρ =MV=NmVpV = NkT ⇒1V=pNkTρ = NmpNkT=mkTpdp = −ρgdy = −mkTpgdy ⇒dpp= −(mg/kT )dy⇒ ln p − ln p0 = −mgy/kT⇒ p = p0e−mgy/kT. (22.39)
    • 124 CATATAN 22. GAS IDEAL DALAM MEDAN GRAVITASIPada bagian atas wadah gas di mana y = L akan diperoleh bahwapL =NmgAe−mgL/kT1 − e−mgL/kT=NmgA1emgL/kT − 1=ΠA, (22.40)sehinggaΠ = pLA, (22.41)dengan kuantitas Π adalah gaya yang melawan piston pada bagian atas wadahgas. Bila terjadi perubahan tinggi piston sebesar dL ke arah atas maka kerjaadalahdW = ΠdL = pLAdL = pLdV, (22.42)adalah kerja yang dihasilkan saat gas mengembang.22.8 Percobaan PerrinJean Perrin (1870-1942), seorang fisikawan Perancis, menggunakan Persamaan(22.38) untuk menentukan bilangan Avogadro NA. Caranya ini termasuk salahsatu dari cara-cara terawal yang presisi.Perrin tidak menggunakan molekul-molekul gas melainkan partikel-partikelmikroskopik yang tersuspensi dalam fluida dengan densitas sedikit lebih kecildari densitas partikel-partikel mikroskopik tersebut, yang akan mereduksi nilaiefektif dari percepatan gravitasi g. Jumlah partikel pada ketinggian-ketinggianyang berbeda dihitung menggunakan sebuah mikroskop.Jika ∆N1 dan ∆N2 adalah jumlah rata-rata partikel pada ketinggian y1 dan y2,maka dengan menggunakan Persamaan (22.31) akan dapat diperoleh bahwa∆N1∆N2= e−mg(y1−y2)/kT. (22.43)Semua kuantitas dalam Persamaan (22.43) dapat diukur secara eksperimen ke-cuali konstanta Boltzmann k. Jadi persamaan tersebut dapat diselesaikan untukmendapatkan k. Kemudian NA dapat dicari melalui R/k, di mana konstantauniversal gas R diperoleh dari eksperimen lain pada saat itu.Perrin menyimpulkan bahwa nilai NA terletak antara 6.5 × 1026dan 7.2 × 1026,yang terbandingkan dengan hasil eksperimen terbaik saat ini 6.022 × 1026molekul per kmol.
    • Catatan 23Gas diatomikDalam bab ini akan dibahas mengenai gas diatomik, di mana partikel gas bukanlagi merupakan satu atom (gas monoatomik) melainkan merupakan molekulyang terdiri dari dua atom (gas diatomik).23.1 Suku-suku energiDalam sebuah molekul diatomik energi dapat dianggap terbangun dari limabuah kontribusi yang saling bebas satu sama lain. Kelima kontribusi tersebutmuncul akibat• translasi molekul sebagai suatu kesatuan,• rotasi molekul sebagai suatu kesatuan,• gerak vibrasi dua atom sepanjang sumbu molekul,• gerak elektron-elekron di sekeliling inti, dan• spin nuklir.Tingkat-tingkat energi yang tersedia bagi kelima jenis gerak perlu terkuanti-sasi dan hanya pada kasus gerak translasi dapat diperlakukan tingkat-tingkatenerginya sebagai suatu tingkat kontinu klasik. Pada kasus yang lain tingkat-tingkat energi harus diperlakukan secara benar-benar diskrit kecuali, mungkin,pada temperatur amat tinggi.Dengan melihat ini, dapat disimpulkan untuk sementara, bahwa untuk sistemyang lebih rumit, dapat dilakukan prosedur yang sama asalkan deskripsi sistemtelah lengkap untuk seluruh faktor yang dapat menyumbangkan energi.125
    • 126 CATATAN 23. GAS DIATOMIK23.2 Fungsi-fungsi partisiUntuk mempelajari properti termodinamika suatu gas ideal diatomik perlu diru-muskan fungsi partisi sebuah molekul gas dalam suku-suku fungsi-fungsi partisiyang terpisah untuk setiap bentuk gerak yang berkontribusi. Dengan mengikuticara dalam bab gas ideal dalam pengaruh medan gravitasi, adalah mungkin un-tuk melaukan faktorisasi fungsi partisi total Z sepertiZ = ZtZrZvZeZn, (23.1)di mana Zt adalah fungsi partisi untuk gerak translasi, Zr adalah fungsi partisiuntuk gerak rotasi, Zv adalah fungsi partisi untuk gerak vibrasi, Ze adalahfungsi partisi untuk gerak elektron-elektron, dan Zn adalah fungsi partisi untukgerak spin inti.23.3 Fungsi partisi gerak translasiGerak translasi molekul diatomik cukup mirip sehingga dapat dianalogikandengan gerak translasi molekul tak-berstruktur (structureless) yang telah ditu-runkan untuk gas ideal monoatomik, sehingga Zt tak lain adalah seperti dalamPersamaan (22.13), yaituZt = V2πmkTh21/2. (23.2)23.4 Fungsi partisi gerak rotasiUntuk mementukan fungsi partisi gerak rotasi molekul diatomik perlu dituliskantingkat energi rotasi yang diperbolehkan ǫj dalam bentuk mekanika kuantum,yaituǫj = j(j + 1)h28π2I, (23.3)di mana I adalah momen inersia molekul terhada suatu sumbu yang melewatititik pusat massa molekul dan tegak lurus terhadap garis yang menghubungkankedua atom dalam molekul diatomik. Sedangkan j adalah bilangan kuantummomentum angular total gerakan rotasi. Salah satu penurunan Persamaan(23.3) dapat dilihat dalam S. Glasstone, ”Theoretical Chemistry”, D. Van Nos-trand Co. Inc., (1947).Untuk setiap nilai bilangan kuantum j bilangan kuantum magnetik mj hanyadapat memiliki nilai bilangan bulat antara j dan −j, yang berarti terdapat
    • 23.5. FUNGSI PARTISI GERAK VIBRASI 127(2j +1) nilai. Dengan demikian setiap tingkat energi merepresentasikan (2j +1)keadaan energi dan, dengan menggunakan informasi ini sebagai degenerasi, akanmemberikan fungsi partisi untuk gerak rotasi menjadiZr =∞j(2j + 1)eǫj/kT=∞j(2j + 1)e−j(j+1)K/kT, (23.4)denganK =h28π2I. (23.5)23.5 Fungsi partisi gerak vibrasiGerak vibrasi molekul dapat diasumsikan, pada suatu aproksimasi yang baik,sebagai suatu bentuk osilator harmonik dan bebas dari segala distorsi tak-harmonik. Oleh karena itu memungkinkan untuk menggunakan hasil fungsipartisi untuk osilator harmonik satu-dimensi, yaituZv =e− 12 hν/kT1 − e−hν/kT, (23.6)dengan ν adalah frekuensi karakteristik vibrasi molekular, yang ditentukan den-gan menggunakan massa atom yang membentuk molekul dan kopling alamiantara keduanya.23.6 Fungsi partisi gerak elektronFungsi partisi elektronik biasanya dapat direpresentasikan dengan akurasi yangcukup dalam dua suku pertama energi penjumlahan normal. Bila energi diper-lukan untuk mengeksitasi sebuah elektron dari tingkat energi dasar ke tingkatenergi tereksitasi pertama, kedua, ketiga, dan seterusnya, dengan energi ǫe1, ǫe2,ǫe3, dan seterusnya, maka fungsi partisi dapat secara efektif dituliskan sebagaiZe = g0 + g1e−ǫe1/kT+ g2e−ǫe2/kT+ g3e−ǫe3/kT+ .., (23.7)di mana g0 adalah degenerasi untuk tingkat energi dasar dan g1, g2, g3, danseterusnya adalah denerasi tingkat energi tereksitasi pertama, kedua, ketiga,dan seterusnya.
    • 128 CATATAN 23. GAS DIATOMIKEnergi ǫe1 dan ǫe2 secara umum amat sangat besar apabila dibandingkan denganenergi termal kT kecuali dalam kasus pada temperatur amat tinggi. Oleh karenaitu umumnya mungkin untuk mendekati Persamaan (23.7) denganZe ≃ g0 + g1e−ǫe1/kT. (23.8)23.7 Fungsi partisi spin nuklirUmumnya fungsi partisi spin nuklir hanya melibatkan perkalian dengan suatufaktor konstan, misalnyaZn. (23.9)23.8 Fungsi partisi lengkapDengan demikian, fungsi partisi lengkap molekul diatomik dapat dituliskan den-gan melakukan subtsitusi dari Persamaan (23.2), (23.4), (23.6), (23.8), dan(23.9) ke dalam Persamaan (23.1), yaituZ = V2πmkTh21/2∞j(2j + 1)e−j(j+1)K/kTe− 12 hν/kT1 − e−hν/kTg0 + g1e−ǫe1/kTZn (23.10)Fungsi partisi total suatu gas yang tersusun atas N molekul diatomik identikadalahZtotal =ZNN!. (23.11)Dengan menggunakan hubungan antara fungsi partisi dan energi dalam sistem,yaituU = NkT 2 ∂ ln Z∂T V, (23.12)maka dapat diperoleh bahwa
    • 23.9. PANAS SPESIFIK GAS 129U = NkT 2 ∂ ln Zt∂T V+∂ ln Zr∂T V+∂ ln Zv∂T V+∂ ln Ze∂T V+∂ ln Zn∂T V= N32kT + kT 2 ∂ ln∂T∞j(2j + 1)e−j(j+1)K/kT+hν12+1ehν/kT − 1+g1ǫe1e−ǫe1/kTg0 + g1ǫe1e−ǫe1/kT+ 0 . (23.13)Persamaan (23.13) menggambarkan bahwa tidak ada kontribusi dari suku Znyang dianggap tidak bergantung dari temperatur.Besarnya berbagai kontribusi terhadap U dalam Persamaan (23.13) dapat lebihmudah diparesiasikan dan umum untuk mendefisikan temperatur karakteristikuntuk rotasi θrot, vibrasi θvib, dan energi-energi elektronik θe.θrot =Kk=h28π2Ik, (23.14)θvib =hνk, (23.15)θe =ǫe1k, (23.16)yang nilai-nilainya dapat diperoleh dari parameter-parameter fisis molekul dansecara umum ditemukan bahwa terdapat pertidaksamaanθrot ≪ θvib ≪ θe. (23.17)Beberapa nilai θrot, θvib, dan θe dapat dilihat dalam Tabel 23.1 (gabungan dariSears and Salinger, 1975 dan Pointon, 1967; data yang kosong tidak terdapatpada kedua sumber tersebut).23.9 Panas spesifik gasPada temperatur rendah di mana T ≪ θrot jelas dari bentuk fungsi partisilengkap dalam Persamaan (23.10) bahwa hanya sejumlah kecil molekul, yangmerupakan fraksi tak-signifikan, yang berotasi, bervibrasi, atau energi elek-troniknya berada di atas tingkat energi dasarnya. Dalam kasus energi total,seperti dalam rumusan Persamaan (23.13), hanya merupakan kontribusi darigerak translasi ditambah dengan energi titik nol gerak rotasi (12 Nhν), dan en-ergi tingkat dasar dari elektron-elektron.
    • 130 CATATAN 23. GAS DIATOMIKTabel 23.1: Temperatur karakteristik bagi beberapa molekul diatomik.Bahan θrot (K) θvib (K) θe (K)H2 85.5 6140 118000Cl2 0.35 810 25500O2 2.09 2260 11000OH 27.5 5360HCl 15.3 4300CH 20.7 4100CO 2.77 3120NO 2.47 2740Br2 0.117 470Na2 0.224 230K2 0.081 140Dalam hal ini dapat dituliskan bahwaZt = V2πmKTh23/2, (23.18)Zr ≃ 1, (23.19)Zv ≃ e− 12 hν/kT, (23.20)Ze ≃ g0, (23.21)Zn, (23.22)⇒ Z = V2πmKTh23/2· 1 · e− 12 hν/kT· g0 · Zn, (23.23)sehinggaU(T ≪ θrot ≪ θvib) =32NkT + 0 −12hνke− 12 hν/kT+ 0 + 0=32NkT −12θvibe− 12 θvib/T≃32NkT (23.24)⇒ CV =∂U∂T V=32Nk. (23.25)Bila termperatur dinaikkan sampai orde θrot maka sebagian molekul akan terek-sitasi sehingga menempati tingkat energi rotasi di atas tingkat energi dasar. En-ergi rotasi akan mulai berkontribusi kepada energi total sistem dan panas spesifikgas, sementara gerak vobrasi masih berada pada tingkat energi dasarnya.Pada keadaan T ≫ θrot ini dapat pula dilakukan aproksimasi untuk fungsipartisi gerak rotasi Zr dengan mengubah somasi menjadi integrasi
    • 23.9. PANAS SPESIFIK GAS 131Zr =∞j(2j + 1)e−j(j+1)θrot/T,⇒ Zr =∞0(2j + 1)e−j(j+1)θrot/Tdj= eθrot/4T∞0e−(j+ 12 )2θrot/T2 j +12d j +12= eθrot/4T Tθrot. (23.26)Kemudian denganθrotT≪ 1 ⇒ eθrot/4T≃ 1 ⇒ Zr ≃Tθrot. (23.27)akan membuat fungsi partisi lengkap menjadiZ = V2πmKTh23/2·Tθrot· e− 12 hν/kT· g0 · Zn, (23.28)sehinggaU(θrot ≪ T ≪ θvib) =32NkT + NkT −12hνke− 12 hν/kT+ 0 + 0=52NkT −12θvibe− 12 θvib/T≃52NkT (23.29)⇒ CV =∂U∂T V=52Nk. (23.30)Bertambahnya nilai CV sebesar 2(12 kT ) ini sesuai dengan bertambahnya duaderajat kebebasan pada rotasi molekul gas diatomik. Pada temperatur ini energivibrasi belum berkontribusi terhadap energi total sistem sehingga juga gerakvibrasi tidak berkontribusi pada panas spesifik gas sampai temperatur mencapaitemperatur karakteristik vibrasi θvib.Bila temperatur dinaikkan sehingga T ≫ θvib maka molekul gas akan mulaibervibrasi dengan fungsi partisi vibrasi Zv seperti dalam Persamaan (23.6) mulaiberperan yang akan memberikan sumbangan ke energi total sebesar 2(12 kT )karena terdapat dua mode vibrasi yaitu simetri dan asimetri. Dalam hal initetap berada dalam kondisi T ≫ θe. Dengan demikian dapat dituliskan bahwaU =72NkT, (23.31)
    • 132 CATATAN 23. GAS DIATOMIKCV =72Nk. (23.32)Peningkatan CV ini sebagai fungsi temperatur akan seperti pernah diilustrasikandalam Gambar 21.1.Penurunan panas spesifik sampai sejauh ini telah mengabaikan setiap kontribusiyang mungkin dari tingkat-tingkat energi elektronik. Pengabaian ini mengimp-likasikan bahwa untuk semua molekul diatomik yang memenuhi kondisi T ≪ θeakan terpenuhi kecuali pada temperatur amat tinggi.Untuk oksigen misalnya, θe kira-kira 11000 K, yang termasuk terendah untukmolekul diatomik. Teramati bahwa gas yang tersusun atas molekul oksigentidak akan terdapat kontribusi yang signifikan dari tingkat energi elektroniksampai temperatur gas mencapai kira-kira 2000 K. Dalam kasus ini kontribusitingkat-tingkat energ elektronik cukup dengan dalam bentuk faktor mutiplikasig0, degenerasi tingkat energi dasar.Pada kasus lain, molekul NO memiliki nilai θe yang jauh lebih kecil dari molekulgas oksigen dan tingkat-tingkat energi elektronik memberikan kontribusi kepanas spesifik saat temperatur lingkungan 80 K. Kasus ini, akan tetapi, meru-pakan kasus yang tidak umum.Kontribusi dari spin nuklir akan muncul dari degenerasi keadaan energi spinnuklir. Bila jumlah total spin yang disumbangkan oleh dua inti suatu molekulmemiliki bilangan kuantum I maka keadaan spin akan berjumlah (2I + 1),atau degenerasinya adalah (2I + 1). Nilai (2I + 1) jumlah keadaan ini memilikienergi yang hampir sama berkaitan dengan nilai-nilai yang diperbolehkan untukdimiliki bilangan kuantum magnetik mI, I, (I − 1), .., 0, −(I − 1), −I. Dengandemikian fungsi partisi Zn dapat digantikan dengan suku tingkat dasar 2I + 1),sehingga Z = ZtZrZvg0(2I + 1) yang mengatakan bahwa suku g0(2I + 1) iniakan berkontribusi pada entropi sistem S, tetapi tidak pada energi sistem Uatau panas spesifik CV .
    • Catatan 24Gas Bose-EinsteinDalam bab ini akan dibahas mengenai gas Bose-Einstein yang memenuhi statis-tik Bose-Einstein. Photon dan phonon termasuk di dalamnya. Untuk saat inihanya photon yang akan dibahasBila molekul-molekul dalam suatu gas biasa memiliki momentum angular inte-gral dalam satuan h/2π maka, dapat dikatakan dengan sangat, bahwa molekul-molekul tersebut adalah boson dan akan mematuhi statistik Bose-Einstein.24.1 Distribusi molekul gasDistribusi molekul-molekul gas meliputi berbagai tingkat energi diberikan oleholehNj =gje−αeǫj/kT − 1, (24.1)di manaA = eα. (24.2)Karena setiap keadaan energi yang diperbolehkan membutuhkan suatu volumeh3dalam ruang fasa, bobot suatu tingkat energi, atau keadaan-keadaan yangdapat dipertimbangkan memenuhi suatu volume dΓ dalam ruang fasa akan men-jadigj ≡dΓh3. (24.3)Dengan menggunakan bahwa elemen ruang fasa enam-dimensi bahwa133
    • 134 CATATAN 24. GAS BOSE-EINSTEINdΓ = (dV )(dVp) = (dxdydz)(dpxdpydpz), (24.4)maka dapat dituliskan, apabila momentum dilihat dalam koordinat polar, men-jadidΓ = 4πV p2dp. (24.5)Dengan hanya memperhitungkan energi kinetikǫ =p22m⇒ p =√2mǫ, (24.6)dapat diperoleh bahwa2mdǫ = 2pdp. (24.7)Substitusi Persamaan (24.7) dan (24.6) ke dalam Persamaan (24.5) akan mem-berikandΓ = 2πV (2m)32 ǫ12 dǫ. (24.8)Dengan demikian Persamaan (24.3), dengan substitusi dari Persamaan (24.8),akan menjadig(ǫ)dǫ =dΓh3=2πV (2m)32 ǫ12 dǫh3, (24.9)yang menyatakan jumlah keadaan energi yang tersedia dalam rentang energiantara ǫ dan ǫ + dǫ untuk suatu volume V . Di sini g(ǫ) adalah kerapatankeadaan energi (density of states).Jumlah molekul-molekul yang memiliki energi dalam rentang ǫ dan ǫ + dǫdiberikan oleh Persamaan (24.1) dan (24.10), yaituN(ǫ)dǫ =2πV (2m)32 ǫ12 dǫh31e−αeǫ/kT − 1. (24.10)Nilai parameter A atau α untuk distribusi ini dapat ditentukan untuk kondisibahwa∞0N(ǫ)dǫ = N, (24.11)
    • 24.2. GAS FOTON DAN RADIASI BENDA HITAM 135dengan N adalah jumlah total molekul dalam volume V .Secara umum bentuk integral dalam Persamaan (24.11) sulit untuk dipecahkansecara eksak, akan tetapi dapat dilihat, bahwa dalam beberapa kasus prak-tis, nilai A untuk gas cukup kecil sehingga menyebabkan suku bernilai 1 padapenyebut dalam Persamaan (24.10) dapat diabaikan. Bila kondisi ini dipenuhidistribusi akan mendekati distribusi Maxwell-Boltzmann, dan karena molekul-molekul gas akan tersebar di antara keadaan-keadaan energi, gas dikatakan tidakterdegenerasi. Dengan demikian integrasi Persamaan (24.10) akan menghasilkanseperti integrasi dalam distribusi Maxwell-Boltzmann yang memberikanA =Nh3V (2πmkT )32(24.12)danα = ln A = lnNh3V (2πmkT )32. (24.13)Dikarenakan nilai exponen eǫ/kTselalu lebih besar (atau setidaknya sama den-gan) satu untuk semua nilai energi kondisi yang akan didekati oleh Persamaan(24.10) untuk menjadi distribusi klasik adalah membuat A ≪ 1.Bila digunakan nilai-nilai N, V , dan m untuk helium maka akan diperoleh nilaiA untuk tekanan atmosfer, yaituA ≃ 3 × 10−6untuk T = 300 K, danA ≃ 1.5 × 10−1untuk T = 4 K.Jadi bahkan untuk temperaturn 4 K pun, kondisi (1/A)eǫ/kT≫ 1 tetap ter-penuhi dan gas helium akan berlaku, untuk suatu aproksimasi yang baik, seba-gai suatu gas klasik.24.2 Gas foton dan radiasi benda hitamRadiasi elektromagnetik yang berada dalam suatu ruang tertutup bertemper-atur tetap dapat dipertimbangkan sebagai suatu sistem foton-foton denganberbagai nilai energi. Dan karena foton-foton memiliki momentum angular in-tegral dalam satuan h/2π maka mereka akan secara alami berkelakuan sebagaiboson dan dapat diasumsikan bahwa suatu gas foton akan memiliki distribusienergi yang diberikan oleh statistik Bose-Einstein. Akan tetapi, terdapat duahal yang harus diperhatikan.Pertama, foton dapat diserap dan dipancarkan kembali oleh dinding lingkun-gan tertutup yang bertemperatur tetap, dengan demikian jumlah foton dalam
    • 136 CATATAN 24. GAS BOSE-EINSTEINlingkungan tersebut tidaklah tetap. Dengan demikian kondisi j Nj = N ataudNj = 0 dalamd ln W + αjdNj + βjǫjdNj = 0 (24.14)tidak dapat terpenuhi. Agar Persamaan (24.14) masih dapat berlaku makaperlu dipilih bahwa α = 0 sehingga A = 1.Kedua, energi foton berbentuk hν, di mana ν adalah frekuensi radiasi. Olehkarena itu lebih memudahkan apabila distribusi energi diungkapkan dalamfreku-ensi atau panjang gelombang foton.Dengan menggunakan rumusan panjang gelombang de Broglieλ =hp(24.15)makadp = −hλ2dλ (24.16)Persamaan (24.5) akan menjadidΓ = 4πV p2dp = 4πVhλ2−hλ2dλ = −4πVh3λ4dλ (24.17)Selanjutnya karena setiap foton memiliki kemungkinan polarisasi pada dua arahmaka jumlah keadaan energi yang diperbolehkan atau mode, dalam rentangantara λ dan λ + dλ, untuk setiap satuan volume adalah (dengan mengambilnilai positifnya)g(λ)dλ =dΓh3=1V(2)1h34πVh3λ4dλ = 8πdλλ4. (24.18)Kemudian dengan menggunakan ǫ = hcλ dalam Persamaan (24.1) akan diper-oleh bahwaN(λ)dλ =8πλ4dλehc/λkT − 1. (24.19)Rumusan untuk E(λ) dapat diperoleh dengan mengalikan Persamaan (24.19)dengan hc/λ sehingga diperoleh
    • 24.3. HUKUM RADIASI WIEN 137E(λ)dλ =8πhc dλλ5(ehc/λkT − 1). (24.20)Ekspresi dalam Persamaan (24.20) dikenal sebagai hukum radias Planck untukdistribusi energi spektral dari energi radiasi dalam suatu lingkungan tertutupbertemperatur konstan. Ilustrasi distribusi energi spektral dapat dilihat dalamGambar 24.1.02e+314e+316e+312e-07 4e-07 6e-07 8e-07 1e-06E(λ)λT1T2T3 T3 > T2 > T1Gambar 24.1: Distribusi energi terhadap panjang gelombang E(λ) untuk fungsic1λ−5(ec2/T λ− 1)−1dengan c1 = 25 dan c2 = 4 × 10−4, untuk berbagai tem-peratur: T1 = 250K, T2 = 300K, dan T3 = 330K.Beberapa pengamatan dapat dibuat terkait dengan Persamaan (24.20).24.3 Hukum radiasi WienEkspresi untuk E(λ) dalam bentukE(λ) =1λ5f(λT ) (24.21)diprediksikan oleh hukum radiasi Wien yang hanya berdasarkan argumen-argumen termodinamika. Aproksimasi Persamaan (24.20) pada daerah panjanggelombang dengan nilai kecil, di mana ehc/λkT≫ 1, yang akan menghasilkanformula distribusi WienE(λ)dλ ≃8πhcλ5e−hc/λkTdλ, (24.22)yang awalnya diusulkan sebagai suatu pencocokan empiris terhadap dapateksperimen pada pengukuran di daerah panjang gelombang kecil.
    • 138 CATATAN 24. GAS BOSE-EINSTEIN24.4 Formula Rayleigh-JeansPada daerah dengan panjang gelombang bernilai besar di mana dapat dilakukanaproksimasi ehc/λkT≃ 1 + hc/λkT sehingga Persamaan (24.20) akan menjadiE(λ)dλ ≃8πkTλ4dλ, (24.23)yang diturunkan pada asumsi bahwa setiap (8π/λ4)dλ foton memiliki energiosilator harmonik klasik kT . Rumusan ini tidak baik untuk menjelaskan radiasipada panjang gelombang pendek karena akan menghasilkan E(λ) → ∞02e+314e+316e+312e-07 4e-07 6e-07 8e-07 1e-06E(λ)λHukum PlankHukum WienHukum Rayleigh-JeansGambar 24.2: Ketiga hukum radiasi: Wien (cocok sekali pada daerah panjanggelombang kecil), Rayleigh-Jeans (berkelakukan baik pada panjang gelombangbesar), dan Plank (yang cocok untuk semua daerah panjang gelombang).Dengan menggunakan parameter seperti dalam Gambar 24.1 ketiga hukum ra-diasi diilustrasikan dalam Gambar 24.2.24.5 Hukum Stefan-BoltzmannBila lingkungan tertutup dengan temperatur tetap, yang digunakan dalammemi-salkan gelombang elektromagnetik sebagai gas boson, dibuat berlubangmaka gelombang elektromagnetik akan teradiasi ke luar melewati lubang terse-but.Dari teori kinetik diketahui bahwa gas dengan jumlah molekul setiap satuan vol-ume n jumlah molekul yang keluar pada setiap satuan luas dalam satuan waktuadalah 14 nv, di mana v adalah laju rata-rata molekul. Kemudian, bila tidak adaseleksi terhadap panjang gelombang tertentu untuk peristiwa absorbsi ataupunemisi dari radiasi oleh lubang (yang berperan sebagai suatu peradiasi benda
    • 24.5. HUKUM STEFAN-BOLTZMANN 139hitam) maka jumlah foto yang diemisikan dalam rentang panjang gelombangλ dan λ + dλ tiap satuan luas lubang tiap satuan waktu diungkapkan dalamNrad(λ)dλ.Untuk foton yang laju rata-ratanya adalah c maka dapat dituliskan bahwaNrad(λ)dλ =c4N(λ)dλ. (24.24)Dengan menggunakan Persamaan (24.19) maka diperoleh bahwaNrad(λ)dλ =2πcλ4dλehc/λkT − 1(24.25)danErad(λ)dλ =2πhc2λ5dλehc/λkT − 1. (24.26)Total energi tiap satuan volume suatu lingkungan tertutup dengan temperaturtetap diperoleh dengan melakukan integrasi Persamaan (24.20) terhadap seluruhrentang panjang gelombangE =∞0E(λ)dλ =∞08πhc dλλ5(ehc/λkT − 1)=8πhc3kTh4 ∞0t3dtet − 1=8π5k415h3c3T 4, (24.27)∞0t3dtet − 1= 6∞n=11n4=π415, (24.28)Erad =c4E = σT 4, (24.29)σ =2π5k415h3c2. (24.30)Hukum Stefan-Boltzmann dalam Persamaan (24.29) menggambarkanbagaimana kalor dirambatkan secara radiatif (tanpa perantaraan medium,sebagaimana medium diperlukan pada peristiwa kondusi atau konveksi).Konstant Stefan σ diungkapkan dalam Persamaan (24.30).
    • 140 CATATAN 24. GAS BOSE-EINSTEIN
    • Catatan 25Gas Fermi-DiracPartikel-partikel yang termasuk dalam keluarga fermion, yang memiliki duajenis spin (spin up dan down), dapat pula dimisalkan sebagai gas fermin.25.1 Distribusi partikelDistribusi partikel dalam statistik Fermi-Dirac adalahNj =gje−(α+βǫj) + 1. (25.1)Setiap fermion memiliki kemungkinan dua keadaan spin (up dengan spin 12 dandown dengan spin −12 ) sehingga dalam representasi ruang enam-dimensi dΓPersamaan (25.1) dengan menggunakan Persamaan (24.8) akan menjadiN(ǫ)dǫ = (2) 2πV (2m)32 ǫ12 dǫ1h31e−(α+βǫ) + 1. (25.2)Persamaan (25.2) dapat dituliskan menjadiN(ǫ)dǫ = g(ǫ)f(ǫ)dǫ, (25.3)dengang(ǫ) = 4πV2mh232ǫ12 , (25.4)141
    • 142 CATATAN 25. GAS FERMI-DIRACf(ǫ) =1e(ǫ−ǫF )/kT ) + 1, (25.5)β = −1kT, (25.6)ǫF = kT α. (25.7)Persamaan (25.5) merupakan fungsi Fermi dengan energi Fermi tak lain didefin-isikan untuk menggantikan parameter α seperti dalam Persamaan (25.7).25.2 Fungsi FermiSebelum membahas gas fermin perlu terlebih dahulu melihat fungsi Fermi danbagaimana kelakukannya.
    • Catatan 26Ensemble KanonisSemua pembahasan yang telah dilakukan adalah terbatas pada sistem-sistemyang mempunyai energi total tetap dan banyaknya partikel dalam sistem jugatetap, dan tidak ada interaksi antar partikel. Meskipun demikian, studi tentangsistem-sistem tersebut dapat memberikan hasil-hasil yang berguna pada daerahpermasalahan fisika yang cukup luas. Pembatasan yang diterapkan pada sistemjuga akan membatasi daerah berlakunya hasil yang diperoleh.26.1 EnsembleAgar metoda statistik dapat diperlebar ke daerah permasalahan fisika yanglebih luas, akan diperkenalkan konsep ensemble. Untuk maksud ini, tinjausekumpulan sistem yang semuanya mempunyai volum sama dan partikelnyasejenis. Lalu, bergantung pada kondisi yang diterapkan pada sistem-sistemtersebut, ada banyak keadaan mikro dalam sistem-sistem itu. Jika untuk se-tiap keadaan mikro, ada paling tidak satu sistem lain dalam kumpulan sis-tem tersebut yang mempunyai keadaan mikro sama, maka kumpulan sistem itudikatakan membentuk sebuah ensemble. Sekarang, karena setiap kemungkinankeadaan dari sebuah sistem akan direpresentasikan dalam ensamble, mempela-jari sebuah ensemble akan ekivalen dengan mempelajari sebuah sistem yangsusunan partikel-partikelnya bervariasi terhadap waktu untuk semua kemungk-inan keadaan mikronya. Maka, perata-rataan sifat sistem untuk seluruh sistemyang membentuk ensemble akan memberikan hasil yang sama sebagaimana jikaperata-rataan ini dilakukan untuk sebuah sistem yang keadaannya bervariasidengan waktu.Dalam bab ini, akan dibahas sistem-sistem yang membentuk ensemble kano-nis (canonical ensemble). Dalam ensemble ini, banyaknya partikel pada tiapsistem adalah sama dan merupakan bilangan konstan, dan temperatur tiap sis-tem (bukan energinya) adalah sama dan merupakan bilangan konstan,. Kondisiseperti ini memperbolehkan kemungkinan adanya pertukaran energi antar sis-143
    • 144 CATATAN 26. ENSEMBLE KANONIStem dalam sebuah ensemble dan juga interaksi antar partikel dalam sebuahsistem. Untuk sistem-sistem yang boleh mengalami perubahan energi dan jum-lah partikelnya tidak akan dibahas dalam bab ini. Sebagai catatan , ensembleyang sistem-sistemnya dibatasi dengan N (banyaknya partikel), V (volum) danU (energi) yang tetap dinamakan ensemble mikrokanonis.26.2 Ensemble yang bertemperatur konstanKarena sistem-sistem dalamsebuah ensemble kanonis didefinisikan bertemper-atur sama, maka sistem-sistem ini kontak termal dengan sistem tetangganyadalam sebuah ensemble. Bila sistem-sistem ini dalam keadaan keseimbangantermodinamik, keseluruhan ensemble dapat dipandang membentuk sebuah en-closure bertemperatur konstan.Ilustrasikan ensemble kanonis atau ensemble bertemperatur konstan ditun-jukkan pada Gambar 26.1. Sistem mempunyai nilai N (banyaknya partikel),V (volum) dan T (temperatur) yang tetap. Batas antar sistem adalah dindingdiatermik yang permeabel terhadap transfer energi (kalor). Secara teori, energisebuah sistem dalam ensemble kanonis berubah dengan waktu dari nilai energisama dengan nol sampai nilai total energi ensemble tersebut.Gambar 26.1: Ilustrasi suatu ensembel kanonis.Sekarang, tinjaulah sebuah sistem dalam ensemble kanonis yang ada dalamkeadaan i dan berenergi Ui . Keadaan ini akan didefinisikan oleh nilai dari6N koordinat momentum dan posisi dari N buah partikel sistem yang adadalam keadaan ini. Peluang bahwa sebuah sistem ada dalam keadaan i den-gan energi Ui mungkin diperoleh dengan memperlakukan masing-masing sistemdalam ensemble seolah-olah mereka merupakan ’partikel’ dari sebuah sistemyang besar. Dalam hal ini, sistem yang besar tersebut adalah ensemble kanonisitu sendiri yang dipandang mempunyai nilai yang tetap untuk energi dan jugauntuk temperatur. Sekarang, tinjau bahwa sistem-sistem dalam ensemble kano-nis mempunyai ukuran yang cukup sedemikian sehingga energi interaksi antaradua sistem dapat diabaikan terhadap energi total sistem-sistem yang berinter-aksi tersebut. Maka, meskipun interaksi antar partikel dalam sebuah sistem
    • 26.3. SIFAT-SIFAT TERMODINAMIK ENSEMBLE KANONIS 145mungkin tidak dapat diabaikan, sistem-sistem ini dapat diperlakukan sebagai’partiklel-partikel’ yang tidak saling berinteraksi dalam sistem yang besar yangdibentuk oleh ensemble kanonis.Dengan mengingat kembali hasil yang diperoleh untuk distribusi energi dalamsistem klasik, dapat dituliskan bahwa peluang sebuah sistem berada dalamkeadaan adalahpi = p(0)e−Ui/kT, (26.1)dengan p(0) adalah fungsi dari temperatur ensemble T dan total seluruh peluangadalah 1, i pi = 1 dengan penjumlahan dilaukan untuk seluruh keadaan i.Jadi, dapat diperolehp(0) =1i e−Ui/kT. (26.2)Definisikan kembali fungsi partisi untuk sistem-sistem dalam ensemble kanonissebagai berikut (sering disebut sebagai constant temperature partition functionof the ensemble)Z =ie−Ui/kT. (26.3)Bandingkan Persamaan (26.3) dengan bentuk Z = i e−ǫi/kT, penjumlahandilakukan untuk seluruh keadaan energi. Dapat dilihat bahwa fungsi partisi inimempunyai sifat-sifat yang serupa dengan fungsi partisi total meskipun harusdiingat bahwa fungsi partisi total diberikan untuk kasus sebuah sistem dimanatidak ada interaksi antar partikelnya.Jadi peluang bahwa sebuah sistem berada dalam keadaan i adalah pi = e−Ui/kTZ .26.3 Sifat-sifat termodinamik ensemble kanonisJika keadaan-keadaan energi dari sistem-sistem dalam ensemble kanonis adalahUi maka energi rata-rata sebuah sistem dalam ensemble pada temperatur TadalahU =ipiUi, (26.4)U =1Zie−Ui/kTUi, (26.5)
    • 146 CATATAN 26. ENSEMBLE KANONISU =kT 2Z∂Z∂T= kT 2 ∂ ln Z∂T. (26.6)Hubungan termodinamik antara energi F dan energi U diberikan oleh per-samaanU = −T 2 (∂F/T )∂T. (26.7)Dari Persamaan (26.6) dan (26.7) dapat diperoleh(∂F/T )∂T= −kln Z∂T(26.8)yang mempunyai solusi dalam bentukF = kT ln Z + C, (26.9)dengan C adalah sebarang fungsi yang tidak bergantung pada temperatur.Sekarang jika hubungan F = U − T S dan S = − ∂F∂T Vdigunakan maka jelasbahwa nilai C adalah nol. Jadi energi bebas Helmholtz sebuah sistem dalamensembel kanonis sama seperti dalam statistik klasik dan semi-klasis dalam bab-bab sebelumnya.Ungkapan untuk fungsi partisi Z dan peluang pi adalahZ = e−F/kT, (26.10)pi = e(F −Ui)/kT(26.11)Persamaan (26.11) kadang-kadang dipakai sebagai definisi suatu ensembel kano-nis. Jika peluang sebuah sistem ada dalam keadaan i dengan energi Ui diny-atakan oleh peramaan pi = e(F −Ui)/kTmaka sistem tersebut dikatakan sebagaianggota sebuah ensembel kanonis.Entropi sebuah sistem dalam ensemble kanonis dapat dievaluasi dari ungkapanS = − ∂F∂T V. Dengan menggunakan ungkapan energi Helmholtz F = kT ln Zmaka ungkapan untuk entropi dapat dituliskan sebagai berikutS = k ln Z + T∂ ln Z∂T. (26.12)
    • 26.4. EVALUASI FUNGSI PARTISI TOTAL 147Tetapi, ungkapan lain untuk entropi dapat diperoleh dengan menggunakanhubungan lain dalam termodinamik, yaituS =U − FT. (26.13)Tulislah energi U sebagai U = i piUi dan F = F i pi (ingat bahwa i pi =1) maka:S =ipiUi − FT= −kipiF − UikT= −kipi ln pi. (26.14)Ungkapan dalam Persamaan (26.14) untuk entropi ini digunakan oleh beberapapengarang sebagai titik awal untuk menyelesaikan semua permasalah mekanikastatistik. Hai itu dilakukan karena sembarang formula mekanika statistik harusdijustifikasi oleh a posteriori, sering pula dinyatakan bahwa titik awal ini sebagaipostulat yang dapat langsung diterapkan pada sejumlah besar sistem. Logikadasar menerapkan S = −k i pi ln pi sebagai persamaan fundamental dalamfisika statistik terletak pada studi teori informasi yang memungkinkan untukmenghubungkan entropi dengan informasi.26.4 Evaluasi Fungsi Partisi TotalDalam bagian ini metoda penjumlahan dan integrasi dalam penentuanfungsipartisi total akan dibahas untuk kasus klasik dan semi-klasik saja.26.5 Fungsi Partisi KlasikTinjau sebuah sistem pada temperatur T yang terdiri dari N partikel yangterbedakan dan tidak saling berinteraksi. Jika ǫs, gs, dan Ns masing-masingmenyatakan energi, degenerasi, dan banyaknya partikel pada tingkat ke-s maka:• banyaknya partikel pada tiap tingkat energi dibatasi oleh kondisi s Ns =N,• total energi sistem ketika berada dalam keadaan i adalah Ui = s Nsǫs• bobot wi untuk keadaan i menyatakan banyaknya susunan yang berbedadari partikel-partikel atau banyaknya keadaan mikro sistem dalamkeadaan makro i, yaitu: wi = N sgNssNs! .
    • 148 CATATAN 26. ENSEMBLE KANONISBila bobot ini dimasukkan dalam fungsi partisi yang didefinisikan dalam Per-samaan 26.3 dengan penjumlahan dilakukan untuk semua keadaan i yangmungkin dari sistem tersebut, maka diperoleh hasil:Z =iwie−Ui/kT=NsNsgNssNs!exp −sNsǫskT, (26.15)sekarang, penjumlahan dilakukan untuk semua himpunan nilai Ns yangmungkin yang memenuhi syarat s NS = N. Penjumlahan ini akan mema-sukkan semua konfigurasi yang mungkin, yaitu semua keadaan makro yangmungkin.Dengan menggunakan formula ( s xs)N= NsN sxNssNs! dan menuliskanxs = gse−ǫs/kTmakasgse−ǫs/kTN=NsN!sgNss e−Nsǫs/kTNs!=NsN!sgNssNs!e−Nsǫs/kT.Dan diperoleh hasil bahwa:Z =sgse−ǫs/kTN= ZNdengan fungsi partisi sebuah partikel dalam sistem s gse−ǫs/kT= Z.26.6 Fungsi partisi semi-klasikBila partikel-partikel sistem tak terbedakan dan tak saling berinteraksi, makabobot wi untuk keadaan i harus diganti dengan bobot semi-klasik yaitu wi =sgNssNs! . Ungkapan untuk fungsi partisi total menjadi:Z =jwje−Uj /kT=sgNssNs!e−Ps Nsǫs/kT(26.16)Z =1N! sgse−ǫs/kTN=ZNN!. (26.17)
    • 26.7. FUNGSI PARTISI UNTUK KASUS ADA INTERAKSI 14926.7 Fungsi Partisi untuk Kasus Ada InteraksiBila interaksi antar partikel tidak dapat diabaikan, energi partikel akan bergan-tung pada koordinat posisi dan koordinat momentum. Fungsi partisi diperolehdengan mengintegrasikan koordinat -koordinat partikel untuk semua nilai yangmungkin. Bila dΓ6N adalah elemen volum dalam ruang fasa berdimensi 6Ndari N partikel sistem, maka banyaknya keadaan dalam elemen volum tersebutadalah dΓ6N /h3N. Besaran ini ekivalen dengan bobot w untuk sebuah sistemyang partikel-partikelnya ada dalam keadaan tersebut sedemikian sehingga jikaenergi sistem dalam keadaan ini adalah U maka:• untuk sistem yang partikel-partikelnya terbedakanFungsi partisi klasik:Z =Γ6Ne−U/kT dΓ6Nh3N• untuk sistem yang partikel-partikelnya tak terbedakanFungsi partisi semi-klasik:Z =Γ6Ne−U/kT dΓ6Nh3N N!Perhatikan bahwa untuk partikel-partikel tak terbedakan, ada N! carapenyusunan untuk tiga koordinat posisi dan tiga koordinat momentumdari N partikel sistem yang menyatakan keadaan sistem yang sama. Den-gan demikian, ada faktor N! pada penyebut fungsi partisi total pada kasusini.• untuk sistem yang partikel-partikelnya tak terbedakan dan tidak ada in-teraksi antar partikel, makaU =12m j=1p2xj + p2yj + p2zjdan dengan menggunakan dΓ6N = Nj=1 dxjdyjdzjdpxjdpyjdpzj, makadengan mudah dapat ditunjukkan bahwa fungsi partisi total adalahZ = e−U/kT dΓ6Nh3N N!=1N!N(2πmkT )3/2h3N=ZNN!.26.8 Distribusi energi pada ensembel kanonikPeluang bahwa sebuah sistem pada temperatur T ada dalam keadaan energi Uitelah ditunjukkan oleh persamaan:
    • 150 CATATAN 26. ENSEMBLE KANONISpi = e(F −Ui)/kTBila Ω′(U)dU menyatakan banyaknya keadaan sistem-sistem dalam ensembleyang mempunyai energi antara U dan U + dU, maka banyaknya sistem yangmempunyai energi antara U dan U + dU adalah:N(U)dU = e(F −U)/kTΩ′(U)dU.Kurva N(U) diperlihatkan pada Gambar 26.2. Energi pada nilai maksimumkurva akan sangat dekat dengan nilai energi rata-rata sistem karena ketajamandistribusi kurva tersebut sangat menyolok.Gambar 26.2: Distribusi energi sistem-sistem.26.9 Aplikasi ensemble kanonis untuk gas takidealBagian ini akan membahas satu contoh aplikasi ensemble kanonis untuk gas takideal, yaitu untuk kasus interaksi antar molekul tak dapat diabaikan. Molekul-molekul yang ditinjau adalah molekul semi-klasik. Energi sistem gas ini diten-tukan oleh komponen yang bergantung pada momentum dan posisi molekul-molekulnya. Jika dianggap bahwa energi interaksi antara dua buah molekultidak bergantung pada momentum kedua buah molekul yang berinteraksi danjuga tidak bergantung pada posisi molekul-molekul lain, maka energi total sis-tem dapat dituliskan sebagai:U =12mNj=1p2xj + p2yj + p2zj+ +Nj=1 l>jUij
    • 26.9. APLIKASI ENSEMBLE KANONIS UNTUK GAS TAK IDEAL 151engan N adalah jumlah molekul, pxj, pyj, pzj adalah komponen dalam arah x,y dan z dari momentum molekul ke-j. Sedangkan, Ujl adalah energi interaksiantara molekul ke-j dan molekul ke-l4 dan kondisi l > j dalam salah satusomasi dari dobel somasi tersebut berlaku untuk semua nilai l untuk mencegahpenghitungan energi interaksi dua kali, misal sekali untuk Ujl dan sekali untukUlj. Fungsi partisi untuk gas semi-klasik ini adalah:Z =Γ6Ne−U/kT dΓ6Nh3N N!Z =1N!h3NΓ6Nexp−12mNj=1 p2xj + p2yj + p2zj +l>jUjl /kTdΓ6Ndengan dΓ6N =Nj=1 dxjdyjdzjdpxjdpyjdpzj.Integrasi yang melibatkan(26.18)
    • 152 CATATAN 26. ENSEMBLE KANONIS
    • Catatan 27Simulasi: SistemParamagnetikSebuah sistem paramegnetik dengan memperhitungkan dua jenis spin atom-atom, yaitu up (+12 ) dan down (−12 ), dapat disimulasi dengan menggunakanpiranti lunak yang telah akrab dengan peserta kuliah. Piranti lunak yang di-maksud adalah spreadsheet, misalnya saja Microsoft Excel atau OpenOfficeCalc.153
    • 154 CATATAN 27. SIMULASI: SISTEM PARAMAGNETIKGambar 27.1: Ilustrasi simulasi sistem paramagnetik dengan menggunakanspreadsheet.
    • Catatan 28Soal 1: Tingkat Energi danPeluang Termodinamika28.1 Soal1. (a) Tabulasikan nilai-nilai bilangan kuantum nx, ny, dan nz untuk dua be-las tingkat energi terendah dari suatu partikel bebas yang berada dalam se-buah wadah dengan volume V ! Nilai nx, ny, dan nz = 0, 1, 2, 3, .. (tetapitidak boleh semuanya bernilai nol bersama-sama). (b) Bagaimana degen-erasi dari tiap tingkat (energi)? (c) Hitunglah energi pada tiap tingkatdalam satuan h2/(8mV 2/3! (d) Apakah tingkat-tingkat energi tersebutmemiliki perbedaan energi yang sama satu sama lain?2. Hitunglah nilai nj sehingga sebuah atom oksigen yang berada di dalamsuatu kubus dengan rusuk 1 cm akan memiliki energi yang sama sepertienergi terendah yang diperbolehkan bagi sebuah atom helium yang beradadi dalam sebuah kubus dengan rusuk 2 × 10−10m! Perhatikan bahwa nx,ny, dan nz = 0, 1, 2, 3, .. (tetapi tidak boleh semuanya bernilai nolbersama-sama).3. Terdapat 30 partikel terbedakan yang terdistribusi pada tiga tingkat energiyang tidak terdegenerasi, yang dilabelkan dengan 1, 2, 3, sehingga N1 =N2 = N3 = 10. Energi pada masing-masing tingkat energi adalah ǫ1 = 2eV, ǫ2 = 4 eV, dan ǫ3 = 6 eV. (a) Bila terjadi perubahan bilangan okupasipada tingkat 2, di mana dN2 = −2, tentukan dN1 dan dN3 sehinggadU = 0! (b) Hitunglah peluang termodinamika keadaan makro sebelumdan sesudah perubahan terjadi!4. Lima partikel terdistribusi pada keadaan-keadaan energi dari empattingkat energi yang perbedaan jarak energi satu dengan lainnya sama,ǫ1 = ǫ1, g1 = 1, ǫ2 = 2ǫ1, g2 = 3, ǫ3 = 3ǫ1, g3 = 4, dan ǫ4 = 4ǫ1,g4 = 5 sehingga total energi sistem U = 12ǫ1. Hitunglah peluang ter-modinamika untuk setiap keadaan makro dan rata-rata bilangan okupasi155
    • 156CATATAN 28. SOAL 1: TINGKAT ENERGI DAN PELUANG TERMODINAMIKAuntuk setiap tingkat (energi) apabila partike-partikel tersebut memenuhi(a) statitstik Bose-Einstein, (b) statitstik Fermi-Dirac, dan (c) statistikMaxwell-Boltzmann!28.2 Jawab1. (a), (b), dan (c) dapat dilihat pada Tabel 28.1, (d) Tingkat-tingkat energitidak selalu berjarak sama satu sama lain untuk dua belas tingkat pertamaenergi. Tingkat energi ke-6 dan ke-7 berjarak 2 h28mV 3/2 sementara yanglain berjarak h28mV 3/2 .2. Energi sebuah atom oksigen ǫO dalam kubus berusuk 1 cm sama denganenergi terendah sebuah atom helium ǫHe dalam kubus berusuk 2 × 10−10m, sehinggaǫO = ǫHe⇒ n2jh28mOV2/3O= 12 h28mHeV2/3He⇒ n2j =mOmHeV2/3OV2/3He=mOmHeL2OL2Hed=164(10−2)2(2 × 10−10)2= 1016⇒ nj = 108.Tingkat energi terendah helium adalah saat n2j = n2x + n2y + n2z = 1.3. N = 30ǫ3 = 6 eV, g3 = 1, N3 = 10, dN3 =?ǫ2 = 4 eV, g3 = 1, N2 = 10, dN2 = −2ǫ1 = 2 eV, g3 = 1, N3 = 10, dN1 =?(a) • dU = ǫjdNj = ǫ1dN1 + ǫ2dN2 + ǫ3dN30 = 2dN1 + 4(−2) + 6dN3• dN = dN1 + dN2 + dN30 = dN1 − 2 + dN3• 2dN1 + 6dN3 = 82dN1 + 2dN3 = 4⇒ 4dN3 = 4⇒ dN3 1• dN1 + dN3 = 2dN1 = 2 − dN3 = 2 − 1 = 1∴dN1 = 1, dN3 = 1
    • 28.2. JAWAB 157(b) Sebelum:Wk = N!jgNjjNj!= N!gN11 gN22 gN33N1!N2!N3!= 30!11011011010!10!10!=30!10!10!10!Sesudah:Wk = N!jgNjjNj!= N!gN11 gN22 gN33N1!N2!N3!= 30!1111811111!8!11!=30!11!8!11!4. N = 5 dan U = 12ǫ1Jawab (a), (b), dan (c) dapat dilihat dalam Tabel 28.2, 28.3, dan 28.4.Catatan:• N = j Nj = N1 + N2 + N3 + N4 = 0 + 2 + 3 + 0 = 5.• U = j Njǫj = N1ǫ1 + N2ǫ2 + N3ǫ3 + N4ǫ4= 0 · ǫ1 + 3 · 2ǫ1 + 2 · 3ǫ1 + 0 · 4ǫ1 = 12ǫ1• Statistik BE:WBE =j(Nj + gj − 1)!Nj!(gj − 1)!e.g.W1 =0!0!0!·5!3!2!·5!2!3!·4!0!4!= 1 · 10 · 10 · 1 = 100• Statistik FD:WF D =jgj!Nj!(gj − Nj)!; gj ≥ Nje.g.W1 =1!0!1!·3!3!0!·4!2!2!·5!0!5!= 1 · 1 · 6 · 1 = 6• Statistik MB:WMB = N!jgNjjNj!e.g.W1 = 5! ·101!·333!·422!·500!= 120 · 1 ·92· 8 · 1 = 4320•Nj =1ΩkNjkWke.g.N1,BE =1450(0 · 100 + 0 · 75 + 1 · 60 + 1 · 120 + 2 · 50 + +2 · 45)=0 + 0 + 60 + 120 + 100 + 90450=370450= 0.82
    • 158CATATAN 28. SOAL 1: TINGKAT ENERGI DAN PELUANG TERMODINAMIKATabel 28.1: Tingkat energi, degenerasi, dan keadaan mikro yang mungkin untukdua belas tingkat energi pertama partikel dalam kotak tiga dimensi.NomorTingkatEnerginx ny nz ǫjh28mV 2/3 gj11 0 01 30 1 00 0 121 1 02 31 0 10 1 13 1 1 1 3 142 0 04 30 2 00 0 252 1 05 62 0 11 2 01 0 20 1 20 2 162 1 16 31 2 11 1 272 2 08 32 0 20 2 282 2 19 62 1 21 2 23 0 00 3 00 0 393 1 010 63 0 11 0 31 3 00 1 30 3 1103 1 111 31 3 11 1 311 2 2 2 12 1123 2 013 63 0 22 3 02 0 30 3 20 2 3
    • 28.2. JAWAB 159Tabel 28.2: Keadaan makro, keadaan mikro, bilangan okupasi rata-rata denganN = 5 dan U = 12ǫ1 untuk statistik B-E.NomorTingkatEnergi jǫj/ǫ1 gjNjk Keadaan Makro kNj1 2 3 4 5 64 4 5 0 1 0 1 1 2 0.743 3 4 2 0 3 1 2 0 1.332 2 3 3 4 1 2 0 1 2.101 1 1 0 0 1 1 2 2 0.82Wk 100 75 60 120 50 45 450ΩTabel 28.3: Keadaan makro, keadaan mikro, bilangan okupasi rata-rata denganN = 5 dan U = 12ǫ1 untuk statistik F-D.NomorTingkatEnergi jǫj/ǫ1 gjNjk Keadaan Makro kNj1 2 3 4 5 64 4 5 0 1 0 1 1 2 0.773 3 4 2 0 3 1 2 0 1.382 2 3 3 4 1 2 0 1 1.921 1 1 0 0 1 1 2 2 0.92Wk 6 0 12 60 0 0 78ΩTabel 28.4: Keadaan makro, keadaan mikro, bilangan okupasi rata-rata denganN = 5 dan U = 12ǫ1 untuk statistik M-B.NomorTingkatEnergi jǫj/ǫ1 gjNjk Keadaan Makro kNj1 2 3 4 5 64 4 5 0 1 0 1 1 2 0.773 3 4 2 0 3 1 2 0 1.392 2 3 3 4 1 2 0 1 1.901 1 1 0 0 1 1 2 2 0.93Wk 4320 2025 3840 10800 2400 2250 25635Ω
    • 160CATATAN 28. SOAL 1: TINGKAT ENERGI DAN PELUANG TERMODINAMIKA
    • Catatan 29Soal 2: Fungsi Distribusidan Entropi29.1 Soal1. Tunjukkan bahwa rumusan entropi statistik Bose-Einstein dalam batasanklasik (gj >> Nj >> 1) akan tereduksi menjadiS ≈ kjNj lngjNj+ Nj .Gunakan aproksimasi Strirling.2. Fungsi distribusi untuk partikel tak terbedakan dapat representasikan olehsatu persamaan, yaituNjgj=1expεj −µkT + a.(a) Apa arti dari µ? (b) Apakah nilai dari a untuk (i) statistik Bose-Einstein, (ii) statistik Fermi-Dirac, dan (iii) statistik klasik? (c) Gam-barkan dalam diagramNjgjterhadapεj −µkT fungsi distribusi Bose-Einstein, Fermi-Dirac, dan klasik! (d) Dengan merujuk pada pertanyaansebelumnya, dalam kondisi apa statistik klasik dapat diterapkan?3. Misalkan terdapat sebuah sistem dengan N partikel terbedakan. Partike-partikel tersebut terdistribusi dalam dua tingkat energi tak terdegenerasi.Bilangan okupasi pada tingkat energi 1 adalah N1 dan partikel-partikellain berada pada tingkat energi 2. (a) Tuliskan peluang termodinamikauntuk sistem ini. (b) Tuliskan entropi sistem ini (dalam variabel N, N1,dan konstanta Boltzmann k).161
    • 162 CATATAN 29. SOAL 2: FUNGSI DISTRIBUSI DAN ENTROPI29.2 Jawab1. Statistik Bose-Einstein (BE) memiliki peluang termodinamika untuk su-atu keadaan makro kWBE =j(Nj + gj − 1)!Nj!(gj − 1)!,di mana dalam limit klasik (gj >> Nj >> 1) suku-suku dalam persamaandi atas aka menjadigj + Nj − 1 ≃ gj + Nj,gj − 1 ≃ gj.sehinggaWBE =j(Nj + gj)!Nj!gj!.Kemudianln WBE = lnj(Nj + gj)!Nj!gj!=j[(Nj + gj) ln(Nj + gj) − Nj ln Nj − gj ln gj]=jNj lnNj + gjNj+ gj lnNj + gjgj.Kemudian dengan gj >> Nj akan diperolehNj + gjNj≃gjNjdanNj + gjgj= 1 +Njgj.Dari syarat limit klasik dapat dilihat bahwa Nj/gj << 1 sehinggaln 1 +Njgj≃Njgj.Dengan demikian peluang termodinamika suatu keadaan makro statistikBE dengan limit klasik akan menjadi
    • 29.2. JAWAB 163ln WBE ≃jNj lngjNj+ gjNjgj=jNj lngjNj+ Nj ,sehingga entropinya (dengan Ω ≈ W) akan mejadiS = k ln WBE = kjNj lngjNj+ Nj .2. Fungsi distribusi partikel tak terbedakanNjgj=1expεj −µkT + a.(a) µ adalah potensial kimia setiap partikel.(b) Nilai a tidak sama untuk ketiga statistik, yaitu• a = −1 untuk statistik BE,• a = +1 untuk statistik FD,• a = 0 untuk statistik MB.• Lihat Sears dan Salinger (Cetakan ke-5, 1980) Gambar 11.11 Ha-laman 334.• Statistik klasik dapat diterapkan hanya dengan syarat Nj << gj.3. Sistem partikel terbedakan mengikuti statistik BM.Tabel 29.1: Sistem partikel terbedakan dengan dua tingkat energi yang masing-masing memiliki bilangan okupasi N1 dan N −N1 dengan degenerasi yang samag1 = g2 = 1.j ǫj gj Nj1 ǫ1 1 N12 ǫ2 1 N − N1(a) Peluang termodinamika sistem ini adalahWMB = N!jgNjjNj!= N!1N11N−N1N1!(N − N1)!=N!N1!(N − N1)!(b) Entropi sistem adalahS = k ln Ω ≈ k ln W = k lnN!N1!(N − N1)!.
    • 164 CATATAN 29. SOAL 2: FUNGSI DISTRIBUSI DAN ENTROPI
    • Catatan 30Soal 3: Fungsi Partisi danTabulasi Keadaan Makro30.1 Soal1. Sebuah sistem yang terdiri dari N partikel terbedakan terdistribusi dalamdua tingkat energi yang tak terdegenerasi. Tingkat pertama memiliki en-ergi nol sedangkan tingkat energi kedua memiliki energi ǫ. Sistem iniberada dalam kesetimbangan termal dengan sebuah reservoir pada tem-peratur T . Tentukan: (dalam variabel ǫ, T , N, dan konstanta Boltzmannk) (a) fungsi partisi, (b) fraksi dari N1/N dan N2/N dari partikel dalamsetiap keadaan, (c) energi internal sistem U (atau E), dan (d) rata-rataenergi sebuah partikel.2. Enam partikel tak-terbedakan yang mematuhi statistik Fermi-Dirac ter-distribusi dalam lima tingkat energi, ǫj = (j − 1)ǫ; j = 1, 2, .., 5. Setiaptingkat energi memiliki degenerasi dengan gj = 3. Energi total sistemadalah U = 6ǫ. (a) Tabulasikan nilai-nilai bilangan okupasi pada setiaptingkat energi untuk keadaan-keadaan makro yang mungkin bagi sistemini, (b) hitunglah peluang termodinamika untuk tiap-tiap keadaan makro,dan (c) tentukan bilangan okupasi rata-rata dari tiap tingkat energi.30.2 Jawab1. Statistik untuk partikel terbedakan menggunakan statistik Maxwell-Boltzmann (MB)Jumlah partikel N = N1 + N2, dengan N1 partikel berada dalam tingkatenergi pertama dan N2 partikel berada dalam tingkat energi kedua.165
    • 166CATATAN 30. SOAL 3: FUNGSI PARTISI DAN TABULASI KEADAAN MAKROTabel 30.1: Sistem partikel terbedakan dengan dua tingkat energi yang masing-masing memiliki bilangan okupasi N1 dan N2 dengan degenerasi yang samag1 = g2 = 1.j ǫj gj Nj1 0 1 N12 ǫ 1 N2(a) Fungsi partisi setiap partikelZ =jgje−ǫj/kT= g1e−ǫ1/kT+ g2e−ǫ2/kT= 1e−0/kT+ 1e−ǫ/kT= 1 + e−ǫ/kT.(b) Fraksi N1/N dan N2/N adalahNjN=gjeα−ǫj/kTj gjeα−ǫj /kT=gje−ǫj/kTj gje−ǫj /kT=gje−ǫj/kTZ.⇒N1N=1Z=11 + e−ǫ/kT= 1 + e−ǫ/kT−1⇒N2N=e−ǫ/kTZ=e−ǫ/kT1 + e−ǫ/kT=1eǫ/kT + 1= 1 + eǫ/kT−1,(c) Dari jawab sebelumnya dapat diperolehN1 = NN1N= N 1 + e−ǫ/kT−1danN2 = NN2N= N 1 + eǫ/kT−1sehinggaU = E =jNjǫj = N1ǫ1 + N2ǫ2= N 1 + e−ǫ/kT−10 + N 1 + eǫ/kT−1ǫ = Nǫ 1 + eǫ/kT−1.(d) Energi rata-rata tiap partikelǫ =UN= ǫ 1 + eǫ/kT−1.2. (a) Tabulasi bilangan okupasi pada tiap-tiap keadaan makro yangmungkin bagi sistem ini, (b) peluang termodinamika tiap-tiap keadaanmakro, dan (c) bilangan okupasi rata-rata tiap tingkat energi dapat dili-hat dalam Tabel 30.2 berikut ini.
    • 30.2. JAWAB 167Wk =jgj!Nj!(gj − Nj)!⇒ W1 =3!1!(3 − 1)!·3!0!(3 − 0)!·3!0!(3 − 0)!·3!2!(3 − 2)!·3!3!(3 − 3)!= 3 · 1 · 1 · 3 · 1 = 9.⇒ W2 =3!0!(3 − 0)!·3!1!(3 − 1)!·3!1!(3 − 1)!·3!1!(3 − 1)!·3!3!(3 − 3)!= 1 · 3 · 3 · 3 · 1 = 27.⇒ W3 =3!0!(3 − 0)!·3!1!(3 − 1)!·3!0!(3 − 0)!·3!3!(3 − 3)!·3!2!(3 − 2)!= 1 · 3 · 1 · 1 · 3 = 9.⇒ W4 =3!0!(3 − 0)!·3!0!(3 − 0)!·3!2!(3 − 2)!·3!2!(3 − 2)!·3!2!(3 − 2)!= 1 · 1 · 3 · 3 · 3 = 27.⇒ W5 =3!0!(3 − 0)!·3!0!(3 − 0)!·3!3!(3 − 3)!·3!0!(3 − 0)!·3!3!(3 − 3)!= 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1.Ω =kWk = 9 + 27 + 9 + 27 + 1 = 73.Tabel 30.2: Keadaan makro, keadaan mikro, bilangan okupasi rata-rata denganN = 6 dan U = 6ǫ untuk statistik F-D.NomorTingkatEnergi jǫj/ǫ gjNjk untuk tiap kNj1 2 3 4 55 4 3 1 0 0 0 0 0.1234 3 3 0 1 1 0 0 0.4933 2 3 0 1 0 2 3 1.1512 1 3 2 1 3 2 0 1.7261 0 3 3 3 2 2 3 2.507Wk 9 27 9 27 1 73ΩNj = k NjkWkk Wk= k NjkWkΩ⇒ N1 =N11W1 + N12W2 + N13W3 + N14W4 + N15W5Ω=3 · 9 + 3 · 27 + 2 · 9 + 2 · 27 + 3 · 173=18373= 2.507.⇒ N2 =N21W1 + N22W2 + N23W3 + N24W4 + N25W5Ω=2 · 9 + 1 · 27 + 3 · 9 + 2 · 27 + 0 · 173=12673= 1.726.
    • 168CATATAN 30. SOAL 3: FUNGSI PARTISI DAN TABULASI KEADAAN MAKRO⇒ N3 =N31W1 + N32W2 + N33W3 + N34W4 + N35W5Ω=0 · 9 + 1 · 27 + 0 · 9 + 2 · 27 + 3 · 173=8473= 1.151.⇒ N4 =N41W1 + N42W2 + N43W3 + N44W4 + N45W5Ω=0 · 9 + 1 · 27 + 1 · 9 + 0 · 27 + 0 · 173=3673= 0.493.⇒ N5 =N51W1 + N52W2 + N53W3 + N54W4 + N55W5Ω=1 · 9 + 0 · 27 + 0 · 9 + 0 · 27 + 0 · 173=973= 0.123.N =jNj = N1 + N2 + N3 + N4 + N5= 2.507 + 1.726 + 1.151 + 0.493 + 0.123 = 6.
    • Catatan 31Soal 4: Distribusi Laju danPersamaan KeadaaanPersamaan-persamaan yang diberikan:WMB = N!jgNjjNj!Z =jgje−ǫj /kTNj =NZgje−ǫj/kT∞0e−ax2dx =14πa3WFD =jgj!Nj!(gj − Nj)!31.1 Soal1. Lima partikel terdistribusi dalam keadaan-keadaan dengan empat tingkatenergi yang berjarak energi sama satu sama lain: ǫ1 = ǫ, g1 = 2, ǫ2 = 2ǫ,169
    • 170CATATAN 31. SOAL 4: DISTRIBUSI LAJU DAN PERSAMAAN KEADAAANg2 = 3, ǫ3 = 3ǫ, g3 = 4, dan ǫ4 = 4ǫ, g4 = 5 dengan energi total U adalah12ǫ. Partikel-partikel tersebut mematuhi statistik Fermi-Dirac statistics.Hitunglah: (a) peluang termodinamika untuk setiap keadaan makro (darikeseluruhan 5 keadaan makro), (b) bilangan okupasi rata-rata untuk tiaptingkat energi, dan (c) entropi sistem.2. Dalam suatu gas dua-dimensi, molekul-molekul gas dapat bergerak bebaspada sebuah bidang, akan tetapi dibatasi dalam suatu luas A. Terdapatsuatu sistem dengan N partikel untuk gas monoatomik dua-dimensi padatemperatur T , massa tiap partikel adalah m. Konsep yang berkaitandengan tekanan P menjadi gaya per satuan panjang τ dan volume Vmenjadi luas A. Tentukan: (a) energi tiap partikel, (b) fungsi partisi, dan(c) persamaan keadaaan gas dari fungsi Helmholtz gas tersebut.3. Untuk gas ideal monoatomik, jumlah partikel dengan laju antara v danv + dv adalahdNv = N4πm2πkT3/2v2exp −mv22kTdv(a) Dari persamaan di atas, tentukan ekspresi untuk laju rata-rata kuadratv, (b) Telah diturunkan ekspresi untuk tekanan P dari teori kinetik, yaitu13 m(N/V )v2. Temukan persamaan keadaan dari persamaan ini.4. Sebuah sistem N partikel mematuhi statistik Maxwell-Boltzmann atauklasik. (a) Temukan ekspresi untuk rata-rata jumlah partikel pada tingkatenergi j (Nj) (dalam variable N, T , ln Z, ǫj, dan konstanta Boltzmannk). (b) Temukan ekspresi untuk energi sistem (U) (dalam variable N, T ,ln Z, dan konstanta Boltzmann k).31.2 Jawab1. Terdapat lima keadaan makro yang mungkin seperti ditunjukkan dalamTabel 31.1. Statistik FD:(a) Peluang termodinamika masing-masing keadaan makro:WF D =jgj!Nj!(gj − Nj)!; gj ≥ NjW1 =2!0!(2 − 0)!·3!3!(3 − 3)!·4!2!(4 − 2)!·5!0!(5 − 0)!= 1 · 1 · 6 · 1 = 6W2 =2!1!(2 − 1)!·3!1!(3 − 1)!·4!3!(4 − 3)!·5!0!(5 − 0)!= 2 · 3 · 4 · 1 = 24W3 =2!1!(2 − 1)!·3!2!(3 − 2)!·4!1!(4 − 1)!·5!1!(5 − 1)!= 2 · 3 · 4 · 5 = 120W4 =2!2!(2 − 2)!·3!0!(3 − 0)!·4!2!(4 − 2)!·5!1!(5 − 1)!= 1 · 1 · 6 · 5 = 30W5 =2!2!(2 − 2)!·3!1!(3 − 1)!·4!0!(4 − 0)!·5!2!(5 − 2)!= 1 · 3 · 1 · 10 = 30
    • 31.2. JAWAB 171(b) Bilangan okupasi rata-rata tiap tingkat energi:Nj =1ΩkWkNjkN1 =1210(0 · 6 + 1 · 24 + 1 · 120 + 2 · 30 + 2 · 30) =264210= 1.257N2 =1210(3 · 6 + 1 · 24 + 2 · 120 + 0 · 30 + 1 · 30) =312210= 1.486N3 =1210(2 · 6 + 3 · 24 + 1 · 120 + 2 · 30 + 0 · 30) =264210= 1.257N4 =1210(0 · 6 + 0 · 24 + 1 · 120 + 1 · 30 + 2 · 30) =210210= 1.000(31.1)Tabel 31.1: Keadaan makro, keadaan mikro, bilangan okupasi rata-rata denganN = 5 dan U = 12ǫ1 untuk statistik F-D.NomorTingkatEnergi jǫj/ǫ gjNjk Kead. Mak. kNj1 2 3 4 54 4 5 0 0 1 1 2 1.2573 3 4 2 3 1 2 0 1.4862 2 3 3 1 2 0 1 1.2571 1 2 0 1 1 2 2 1.000Wk 6 24 120 30 30 210Ω(c) Entropi sistem:• menurut Boltzmann S = k ln Wmax = k ln 120 = 4.787k• menurut Planck S = k ln Ω = k ln 210 = 5.347k2. (a) Partikel hanya bergerak dalam bidang sehingga hanya terdapat gerakpada arah-x dan arah-y. Dengan demikian energi tiap partikel adalahǫ =p2x + p2y2m(b) Fungsi partisi dihitung dengan mengambil bentuk kontinunya, yaituZ = e−ǫ/kT dΓh3=∞−∞ep2x/2mkTdpx21h2dxdy=Ah2[(2πmkT )]2=Ah2(2πmkT )
    • 172CATATAN 31. SOAL 4: DISTRIBUSI LAJU DAN PERSAMAAN KEADAAAN(c) Dengan menggunakan analogi untuk p dapat dicari τ, yaitup = −∂F∂V T⇒ τ = −∂F∂A Tdi manaF = −NkT ln Z = −NkT lnAh2(2πmkT )sehinggaτ =NkTALalu τA = NkT merupakan persamaan keadaan yang dicari (miripseperti pV = NkT ).3. Jumlah partikel yang memiliki laju antara v dan v + dvdNv = Nf(v)dV∴f(v) = 4πm2πkT3/2v2exp −mv22kT(a) Rata-rata laju adalahv2 =∞0v2f(v)dv =∞04πm2πkT3/2v4exp −mv22kTdv= 4πm2πkT3/2 ∞0v2exp −mv22kTdv= 4πm2πkT3/2 38√π2kTm5/2=322kTm=3kTm(b) Persamaan keadaaan menjadip =13m(N/V )v2 =13m(N/V )3kTm=NkTV⇒ pV = NkT4. (a) Rata-rata jumlah partikel pada tingkat energi j, yaitu Nj telahdiberikan akan tetapi belum dinyatakan dalam N, T , ln Z, ǫj, dankonstanta Boltzmann k (tanpa lagi adanya rumusan gjNj =NZgje−ǫj/kTdan Z =igje−ǫj/kT∂Z∂ǫj= −1kTgje−ǫj/kT⇒ gje−ǫj/kT= −kT∂Z∂ǫjNj =NZ−kT∂Z∂ǫj⇒ Nj = −NkT∂ ln Z∂ǫj
    • 31.2. JAWAB 173(b) Energi sistem U dalam variable N, T , ln Z, dan konstanta BoltzmannkU = F + T S = F + T −∂F∂T V= F − T∂F∂T V= −T 2 ∂(F/T )∂T V= −T 2 ∂∂T−NkT ln ZT= T 2 ∂∂T(Nk ln Z)= NkT 2 ∂∂Tln Z
    • 174CATATAN 31. SOAL 4: DISTRIBUSI LAJU DAN PERSAMAAN KEADAAAN
    • Catatan 32Simulasi Keadaan Mikrodengan KartuKeadaan-keadaan mikro dari suatu sistem yang memiliki 28 keadaan mikro dibu-atkan dalam bentuk kartu dan para peserta kuliah diberikan kesempatan untukmemilih kartu yang akan keluar dan seorang dari mereka diminta mencatat danmelakukan tabulasi dari hasil-hasil yang diperoleh.Gambar 32.1: Ilustrasi 28 keadaan mikro dari suatu sistem yang akan disimu-lasikan.175
    • 176 CATATAN 32. SIMULASI KEADAAN MIKRO DENGAN KARTU
    • 177
    • 178 CATATAN 32. SIMULASI KEADAAN MIKRO DENGAN KARTU
    • 179
    • 180 CATATAN 32. SIMULASI KEADAAN MIKRO DENGAN KARTUDari hasil yang diperoleh, walaupun hanya dibuat sekitar 4 set, hasil yang diper-oleh untuk kemungkinan suatu keadaan makro muncul, sudah mendekati. Suatuhasil yang mencengangkan. Perlu diakan telaah lebih lanjut mengenai hal ini.
    • Catatan 33Berkas-berkasBeberapa kuis dan ujian pada Semester III Tahun 2009/2010 diarsipkan dalamcatatann ini.33.1 KuisSuatu sistem yang terdiri dari 5 partikel mematuhi statistik Fermi-Dirac. Ter-dapat empat tingkat energi yang diperhitungkan, yaitu 1 = 2, 2 = 3, 3 = 4, dan4 = 5. Degenerasi masing-masing tingkat energi bergantung dari volume sistemV dan energi total sistem tergantung dari temperatur sistem T.Soal 1. Pada titik a dalam ruang parameter V-T, temperatur memiliki nilaiTa dan volume memiliki nilai Va sistem memiliki energi total Ua = 19 dandegenerasi tingkat-tingkat energi adalah g1 = 1, g2 = 3, g3 = 4, dan g4 = 6.Lengkapilah tabel di bawah ini.Hitunglah entropi sistem Sa dengan menggunakan rumusan Planck.Soal 2. Pada titik b dalam ruang parameter V-T, temperatur memiliki nilai Tb= Ta dan volume memiliki nilai Vb ¡ Va sistem memiliki energi total Ub = 19dan degenerasi tingkat-tingkat energi adalah g1 = 1, g2 = 2, g3 = 3, dan g4 =5. Lengkapilah tabel di bawah ini.181
    • 182 CATATAN 33. BERKAS-BERKASHitunglah entropi sistem Sb dengan menggunakan rumusan Planck.Soal 3. Pada titik b dalam ruang parameter V-T, temperatur memiliki nilai Tc¡ Tb dan volume memiliki nilai Vc = Vb sistem memiliki energi total Uc = 17dan degenerasi tingkat-tingkat energi adalah g1 = 1, g2 = 2, g3 = 3, dan g4 =5. Lengkapilah tabel di bawah ini.Hitunglah entropi sistem Sc dengan menggunakan rumusan Planck.Soal 4. Pada titik b dalam ruang parameter V-T, temperatur memiliki nilai Td= Tc dan volume memiliki nilai Vd = Va sistem memiliki energi total Ud = 17dan degenerasi tingkat-tingkat energi adalah g1 = 1, g2 = 3, g3 = 4, dan g4 =6. Lengkapilah tabel di bawah ini.Hitunglah entropi sistem Sd dengan menggunakan rumusan Planck.Soal 5. Gambarkan keempat titik a, b, c, dan d dalam ruang parameter V-T dantentukanlah proses dari titik mana ke titik mana yang mungkin terjadi apabilahanya entropi sistem yang ditinjau. Apa syaratnya?
    • 33.2. UJIAN 1 18333.2 Ujian 1Soal 1. Dengan mengacu pada tabel di atas, a. jelaskan apa yang dimaksuddengan variabel j, j, gj, k, Njk, N, , Wk dan , b. tentukanlah jumlah partikeldan jenis statistik dari sistem partikel di atas disertai dengan alasannya.Soal 2. Terkait dengan Jawab 1.b, a. apakah keadaan makro sistem partikel diatas telah lengkap? bila belum, lengkapilah, b. hitung pula nilai-nilai Njk, N, ,Wk dan d. lengkapi pada tabel di atas (tuliskan jalannya pada lembar terpisah,soal kembali dikumpulkan).Soal 3. Hitunglah entropi dari sistem partikel di atas dengan menggunakana. rumusan Boltzman, nyatakan dengan SBoltzmann, b. rumusan Planck, ny-atakan dengan SPlanck.Soal 4. Bila diketahui bahwa S = S1 + S2 dan = 1 2 untuk dua sistemyang dicampur dalam kesetimbangan termal, a. buktikan hubungan ini denganmenggunakan rumusan yang diketahui, b. buktikan hubungan ini dengan meng-gunakan contoh di bawah ini (konstruksi keadaan makro, mikro, dan gabugansistem), c. bagaimanakah dengan U, V, dan T? Lengkapi pula tabel berikut ini.
    • 184 CATATAN 33. BERKAS-BERKAS33.3 Ujian 2Ketiga statistik diujikan dengan contohnya masing-masing. Diminta untuk men-jelaskan mengapai terdapat faktor pengali seperti arah polarisasi, arah spin, danlainnya.Soal terakhir membahas mengenai paradok Gibb.