Fisika Statistik

7,844 views

Published on

0 Comments
4 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
7,844
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
480
Comments
0
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Fisika Statistik

  1. 1. Catatan Kuliah Fisika StatistikSparisoma Viridi, Siti Nurul Khotimah, dan NovitrianAgustus 2010
  2. 2. ii
  3. 3. Isi1 Pendahuluan 11.1 Ruang lingkup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 FI3202 Fisika Statistik (4 SKS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Versi catatan kuliah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Buku rujukan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Faktorial dan Fungsi Gamma 52.1 Faktorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Fungsi gamma untuk n bulat positif . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Fungsi gamma untuk n kelipatan ganjil 12 . . . . . . . . . . . . . 72.4 Fungsi gamma yang lebih umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Aproksimasi Striling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Aproksimasi dengan grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.7 Aproksimasi lain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.8 Script menggambar grafik ln n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.9 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Pengali Tak Tentu Lagrange 133.1 Maksimum dan minimum suatu fungsi . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Syarat tambahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17iii
  4. 4. iv ISI4 Konfigurasi Paling Mungkin Suatu Statistik 194.1 Syarat batas suatu sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Memaksimumkan W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Distribusi suatu statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Parameter β 255.1 Dua buah sistem kontak secara termal . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Hukum pertama termodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3 Teori kinetik gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 Degenerasi dalam Ruang Fasa 316.1 Ruang fasa enam dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2 Integral volume ruang momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.3 Integral volume ruang laju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.4 Integral volume ruang energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.5 Integral volume ruang frekuensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.6 Integral volume ruang panjang gelombang . . . . . . . . . . . . . 346.7 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 Distribusi Suatu Statistik 377.1 Bentuk umum distribusi ketiga statistik . . . . . . . . . . . . . . 377.2 Statistik Maxwell-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.3 Statistik Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.4 Statisti Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.5 Bentuk umum distribusi statistik lain . . . . . . . . . . . . . . . 427.6 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
  5. 5. ISI v8 Termodinamika Gas Ideal Monoatomik 438.1 Peluang termodinamika Wmaks gas ideal klasik . . . . . . . . . . 438.2 Fungsi partisi Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.3 Tekanan dan kalor jenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.4 Persamaan keadaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.5 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 Paradoks Gibb 519.1 Entropi gas klasik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.2 Pencampuran dua gas berbeda jenis . . . . . . . . . . . . . . . . 529.3 Pencampuran gas sejenis: paradoks Gibb . . . . . . . . . . . . . 549.4 Gas ideal semi-klasik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559.5 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5610 Statistik Fermi-Dirac: Nj dan ∆S 5710.1 Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.2 Jawab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6011 Tingkat dan Keadaan Energi 6311.1 Tingkat Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6311.2 Keadaan Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312 Keadaan Makro dan Mikro 6513 Peluang Termodinamika 6713.1 Postulat termodinamika statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6713.2 Peluang termodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6813.3 Observabel dan rata-rata bilangan okupasi . . . . . . . . . . . . . 6814 Pengali α dan β 71
  6. 6. vi ISI14.1 Peluang termodinamik suatu keadaan makro . . . . . . . . . . . 7114.2 Keadaan makro yang paling mungkin . . . . . . . . . . . . . . . . 7214.3 Fungsi distribusi dalam bentuk diferensial . . . . . . . . . . . . . 7214.4 Pengali β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7314.5 Ruang fasa enam dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7614.6 Degenerasi dalam volume ruang fasa . . . . . . . . . . . . . . . . 7714.7 Teori kinetik gas dan β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7814.8 Pengali α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7915 Energi Bebas Helmholtz 8315.1 Energy bebas Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8315.2 Ekspansi reversibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8415.3 Energi sebagai fungsi dari energi bebas . . . . . . . . . . . . . . . 8515.4 CV dari E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8516 Fungsi Partisi Boltzmann 8716.1 Fungsi partisi Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8716.2 Fungsi partisi dan energi bebas Helmholtz . . . . . . . . . . . . . 8816.3 Energi sistem dan fungsi partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8916.4 Entropi dan fungsi partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8916.5 Energi bebas tiap partikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9016.6 Kapasitas panas spesifik pada volume tetap . . . . . . . . . . . . 9016.7 Tekanan sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9017 Gas Ideal Monoatomik 9117.1 Tingkat energi makro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9117.2 Degenerasi tingkat energi makro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9217.3 Fungsi partisi sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9317.4 Persamaan keadaan dan besaran-besaran termodinamika . . . . . 94
  7. 7. ISI vii18 Distribusi Laju Molekular 9518.1 Bilangan okupasi rata-rata tingkat energi makro . . . . . . . . . 9518.2 Laju yang paling mungkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9618.3 Laju rata-rata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9718.4 Laju rms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9718.5 Perbandingan ketiga laju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9718.6 Ekipartisi energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9819 Paradoks Gibb 9919.1 Fungsi partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9919.2 Beberapa besaran termodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10119.3 Paradoks Gibb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10319.4 Gas ideal semi-klasik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10420 Ekipartisi Energi 10720.1 Bentuk-bentuk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10720.2 Rata-rata energi kinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10820.3 Rata-rata energi potensial mirip pegas . . . . . . . . . . . . . . . 10920.4 Rata-rata energi osilator harmonik . . . . . . . . . . . . . . . . . 11020.5 Derajat kebebasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11120.6 Gas diatomik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11120.7 Bukan suku kuadrat koordinat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11121 Tambahan Informasi 1 11321.1 Ilustrasi Cv bergantung T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11321.2 Publikasi mengenai gas ideal dan ensembel mikrokanonik . . . . 11422 Gas Ideal dalam Medan Gravitasi 11722.1 Sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
  8. 8. viii ISI22.2 Persamaan termodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11722.3 Energi total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11822.4 Fungsi partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11822.5 Energi bebas Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12022.6 Entropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12122.7 Distribusi partikel sebagai fungsi ketinggian . . . . . . . . . . . . 12122.8 Percobaan Perrin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12423 Gas diatomik 12523.1 Suku-suku energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12523.2 Fungsi-fungsi partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12623.3 Fungsi partisi gerak translasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12623.4 Fungsi partisi gerak rotasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12623.5 Fungsi partisi gerak vibrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12723.6 Fungsi partisi gerak elektron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12723.7 Fungsi partisi spin nuklir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12823.8 Fungsi partisi lengkap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12823.9 Panas spesifik gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12924 Gas Bose-Einstein 13324.1 Distribusi molekul gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13324.2 Gas foton dan radiasi benda hitam . . . . . . . . . . . . . . . . . 13524.3 Hukum radiasi Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13724.4 Formula Rayleigh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13824.5 Hukum Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13825 Gas Fermi-Dirac 14125.1 Distribusi partikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14125.2 Fungsi Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
  9. 9. ISI ix26 Ensemble Kanonis 14326.1 Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14326.2 Ensemble yang bertemperatur konstan . . . . . . . . . . . . . . . 14426.3 Sifat-sifat termodinamik ensemble kanonis . . . . . . . . . . . . . 14526.4 Evaluasi Fungsi Partisi Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14726.5 Fungsi Partisi Klasik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14726.6 Fungsi partisi semi-klasik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14826.7 Fungsi Partisi untuk Kasus Ada Interaksi . . . . . . . . . . . . . 14926.8 Distribusi energi pada ensembel kanonik . . . . . . . . . . . . . . 14926.9 Aplikasi ensemble kanonis untuk gas tak ideal . . . . . . . . . . . 15027 Simulasi: Sistem Paramagnetik 15328 Soal 1: Tingkat Energi dan Peluang Termodinamika 15528.1 Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15528.2 Jawab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15629 Soal 2: Fungsi Distribusi dan Entropi 16129.1 Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16129.2 Jawab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16230 Soal 3: Fungsi Partisi dan Tabulasi Keadaan Makro 16530.1 Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16530.2 Jawab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16531 Soal 4: Distribusi Laju dan Persamaan Keadaaan 16931.1 Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16931.2 Jawab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17032 Simulasi Keadaan Mikro dengan Kartu 175
  10. 10. x ISI33 Berkas-berkas 18133.1 Kuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18133.2 Ujian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
  11. 11. Catatan 1PendahuluanSetiap cabang khusus fisika mula-mula dipelajari dengan memisahkan ruangyang terbatas dari lingkungannnya. Bagian yang dipisahkan yang menjadipusat perhatian kita disebut sistem, dan segala sesuatu diluar sistem dise-but lingkungan. Bila suatu sistem telah dipilih maka kelakuan sistem atauantaraksinya dengan lingkungan atau keduanya dinyatakan dalam kuantitas-kuantitas fisis. Pada umumnya terdapat dua pandangan yang dapat diambil,pandangan makroskopik dan pandangan mikroskopik.1.1 Ruang lingkupPemerian makroskopik suatu sistem meliputi perincian beberapa sifat pokoksistem, atau sifat skala besar dari sistem, yang dapat diukur berdasarkan ataspenerimaan indera kita. Termodinamika adalah contoh cabang ilmu fisika yangmenerapkan pandangan makroskopik. Sedangkan, pemerian mikroskopik suatusistem meliputi beberapa ciri khas seperti adanya pengandaian bahwa sistemterdiri atas sejumlah molekul, dan kuantitas-kuantitas yang diperinci tidak da-pat diukur. Contoh penerapan pandangan mikroskopik untuk cabang ilmu fisikayaitu dalam fisika statistik. Bila kedua pandangan itu diterapkan pada sistemyang sama maka keduanya harus meghasilkan kesimpulan yang sama.Ruang lingkup fisika statistik meliputi dua bagian besar, yaitu teori kinetik danmekanika statistik. Berdasarkan pada teori peluang dan hukum mekanika, teorikinetik mampu menggambarkan sistem dalam keadaan tak seimbang, seperti:proses efusi, viskositas, konduktivitas termal, dan difusi. Disini, molekul suatugas ideal tidak dianggap bebas sempurna tetapi ada antaraksi ketika bertum-bukan dengan molekul lain atau dengan dinding. Bentuk antaraksi yang ter-batas ini diacukan sebagai antaraksi lemah atau kuasi bebas. Ruang lingkup initidak membahas partikel berantaraksi kuatTidak seperti pada teori kinetik, mekanika statistik tidak membahas perin-1
  12. 12. 2 CATATAN 1. PENDAHULUANcian mekanis gerak molekular, tetapi berurusan dengan segi energi molekul.Mekanika statistik sangat mengandalkan teori peluang untuk menentukankeadaan seimbang sistem. Dalam kuliah ini, bahasan ditekankan pada sistemyang partikel-partikelnya berinteraksi sangat lemah baik untuk partikel-partikelterbedakan maupun tak terbedakan. Selain memiliki sifat kuasi bebas, molekul-molekul suatu gas ideal bersifat tak terbedakan karena molekul tidak berkecen-derungan menempati tempat tertentu dalam ruang atau memiliki kecepatantertentu. Sedangkan, untuk partikel-partikel yang menempati kedudukan kisiyang teratur dalam kristal, yakni partikel bergetar di sekitar titik tetap, dapatdibedakan karena letaknya.Materi kuliah mencakup probabilitas dan fungsi distribusi, teori kinetik, danmekanika statistik. Selain itu juga disentuh pengertian ensemble, terutamaensemble kanonis untuk perluasan penerapan pada gas yang menyimpang darisifat ideal.1.2 FI3202 Fisika Statistik (4 SKS)Kuliah ini bertujuan untuk meletakkan dasar fisika statistik kepada mahasiswatingkat 3 jenjang stratum 1. Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa diharap-kan: (1) memahami peran dan kedudukan fisika statistik dalam bidang fisika,(2) memahami dasar-dasar fisika statistik, (3) dapat menerapkannya dalammasalah sederhana, dan (4) dapat memahami kuliah lanjut tentang sifat-sifatzat maupun kuliah lain yang menggunakan fisika statistik.Isi kuliah meliputi:• Probabilitas dan fungsi distribusi,• Teori kinetik gas: anggapan dasar, fluks molekul, tekanan, persamaankeadaan, prinsip ekipartisi energi,• Fungsi distribusi laju menurut Maxwell,• Gejala transport: penampang tumbukan, jalan bebas rata-rata, viskositasgas, konduktivitas termal gas, difusi gas.• Mekanika statistik: tingkat energi, keadaan energi, keadaan makro,keadaan mikro,• Statistik Maxwell-Boltzmann: peluang termodinamik, penurunan dis-tribusi partikel, fungsi partisi, entropi dan paradoks Gibbs,• Statistik semi-klasik: entropi, fungsi Helmholtz,• Statistik Bose-Einstein: peluang termodinamik, penurunan distribusi par-tikel,• Statistik Fermi-Dirac: peluang termodinamik, penurunan distribusi par-tikel,
  13. 13. 1.3. VERSI CATATAN KULIAH 3• Keterbatasan ansambel mikrokanonis,• Ansambel kanonis: gas riel dengan interaksi lemah.Prasyarat: FI2182 Fisika Moderen, FI2102 Fisika Matematika IA, FI2202Fisika Matematika II, dan FI2202 Termodinamika.Keempat prasayarat tersersebut sebaiknya telah dipenuhi agar peserta mataku-liah ini tidak mengalami kesulitan dalam mengikuti materi-materi dalam perku-liahan ini.1.3 Versi catatan kuliahTerdapat tiga versi catatan kuliah in sebelumnya, yaitu versi Mei 2010 yangdigunakan dalam kuliah pada Semester II Tahun 2009/2010, versi Juli 2010yang digunakan dalam kuliah Semester III Tahun 2009/2010, dan versi draftyang merupakan gabungan versi Mei 2010 ditambahkan dengan contoh simulasiuntuk diajukan pada hibah penulisan buku. Versi yang ada sekarang adalahversi Agustus 2010 yang merupakan gabungan kesemua versi di atas. Olehkarena itu versi ini terlihat agak tidak terintegrasi.1.4 Buku rujukanBuku rujukan utama kuliah ini adalah1. A. J. Pointon, ”An Introduction to Statistical Physics for Students”, Long-mans, First Print, (1967)2. Francis W. Sears and Gerhard L. Salinger, ”Thermodynamics, KineticTheory, and Statistical Thermodynamics”, Addison-Wesley, Third Edi-tion, Fifth Print, (1980)
  14. 14. 4 CATATAN 1. PENDAHULUAN
  15. 15. Catatan 2Faktorial dan FungsiGammaFungsi gamma atau biasa dituliskan sebagai Γ(n) dan kaitannya dengan fak-torial n! akan dibicarakan dalam tulisan ini. Detil mengenai relasi tersebutdapat dilihat dalam literatur [1]. Faktorial untuk bilangan bulat dan setengahbulat akan digunakan dalam distribusi Maxwell-Boltzmann untuk energi, mo-mentum, dan laju dalam suatu asembli klasik [2] dan juga dalam penurunanfungsi distribusi partikel yang memenuhi berbagai jenis statistik [3].2.1 FaktorialFaktorial dari suatu bilangan bulat, misalnya saja n, memiliki artin! = n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) · · · 3 · 2 · 1, (2.1)di mana0! = 1. (2.2)Demikinlah nilai faktorial terdefinisi pada nilai bilangan bulat positif.2.2 Fungsi gamma untuk n bulat positifFungsi gamma didefinisikan sebagai5
  16. 16. 6 CATATAN 2. FAKTORIAL DAN FUNGSI GAMMAΓ(n + 1) =∞0e−xxndx. (2.3)Dengan melakukan integrasi parsial terhadap Persamaan (2.3) dapat diperolehΓ(n + 1) = nΓ(n), (2.4)yang apabila dituliskan lebih jauhΓ(n + 1) = n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) · · · 2 · 1 · Γ(1) = n! Γ(1). (2.5)Dengan menggunakan Persamaan (2.3) dapat dihitung bahwaΓ(1) =∞0e−xdx = 1, (2.6)sehingga dapat diperoleh hubungan antara fungsi gamma dan faktorial, yaituΓ(n + 1) = n!. (2.7)Soal 1. Aturan L’Hˆopital menyatakan bahwalimx→af(x)g(x)= limx→af′(x)g′(x), (2.8)di mana f(a) dan g(a) keduanya bernilai nol. Gunakan Persamaan (2.8) untukmenghitunge−xxn ∞x=0. (2.9)Jawab 1. Persamaan (2.9) dapat dituliskan dalam bentuke−xxn ∞x=0= limx→∞e−xx−n− limx→0e−xx−n= limx→∞e−xx−n− 0. (2.10)Persamaan (2.10) dengan menggunakan aturan L’Hˆopital akan menjadilimx→∞e−xx−n= limx→∞e−xnx−n+1= limx→∞e−xn(n − 1)x−n+2= limx→∞e−xn(n − 1)(n − 2)x−n+3= ·· = limx→∞e−xn!= 0.
  17. 17. 2.3. FUNGSI GAMMA UNTUK N KELIPATAN GANJIL 12 7Penggunaan aturan L’Hˆopital dalam persamaan sebelumny dilakukan pada ben-tuk xn/ex, baru kemudian pada setiap langkah dievaluasi untuk bentuk 0/0-nya(e−x/x−n).Soal 2. Buktikan hubungan dalam Persamaan (2.4) dengan menggunakan in-tegral parsial pada Persamaan (2.3) dan hasil dari Persamaan (2.9).Jawab 2. Intergral pada ruas kanan Persamaan (2.3) dihitung melalui interasiparsialΓ(n + 1) =∞0e−xxndx⇒∞0e−xxndx = −e−xxn ∞x=0+ n∞0e−xxn−1dx⇒∞0e−xxndx = 0 + n∞0e−xxn−1dx⇒∞0e−xxndx = n∞0e−xxn−1dx⇒ Γ(n + 1) = nΓ(n),yang memberikan sifat rekusif dari fungsi gamma seperti dituliskan dalam Per-samaan (2.4).Soal 3. Hitunglah 0! dengan menggunakan fungsi gamma.Jawab 3. Dari Persamaan (2.7) dapat diperoleh bahwa 0! = Γ(1) dan dariPersamaan (2.6) diperoleh bahwa Γ(1) = 1. Dengan demikian dapat diperolehbahwa 0! = 1.2.3 Fungsi gamma untuk n kelipatan ganjil 12Dengan menggunakan Persamaan (2.3) dapat dituliskan bahwaΓ(12) =∞0e−xx− 12 dx. (2.11)Soal 4. Turunkan Persamaan (2.11) dari Persamaan (2.3).Jawab 4. Gunakan nilai n = 12 .Bila n adalah setengah bilangan bulat maka fungsi gamma akan memberikanhubunganΓ(n + 1) = n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) · · ·52·32·12· Γ(12). (2.12)
  18. 18. 8 CATATAN 2. FAKTORIAL DAN FUNGSI GAMMAPersamaan (2.12) tetap memenuhi hubungan dalam Persamaan (2.4).Nilai dari Γ(12 ) sendiri dapat dihitung dengan menyelesaikan Persamaan (2.11)sehingga diperoleh bahwa∞0e−xx− 12 dx =√π. (2.13)Soal 5. Buktikan Persamaan (2.13).Jawab 5. Pertama-tama tuliskan Persamaan (2.13) dalam bentuk∞0e−uu− 12 du.Lalu misalkan u = x2sehingga∞0e−x2x−1(2xdx) = 2∞0e−x2dx =∞−∞e−x2dx.Misalkan bahwaI ≡ Ix =∞−∞e−x2dx.sehinggaI2≡ IxIy =∞−∞e−x2dx∞−∞e−y2dy =∞x=−∞∞y=−∞e−(x2+y2)dxdy.Ubahlah elemen luas dalam sistem koordinat kartesian (dx)(dy) menjadi elemenluas dalam sistem koordinat polar (dr)(rdθ) dan dengan hubunga r2= x2+ y2sehinggaI2≡∞r=02πθ=0e−r2rdrdθ =∞r=0e−r2 12d(r2)2πθ=0dθ =12· 1 · 2π = π.Dengan demikian dapat diperoleh bahwaI =√π ⇒∞0e−uu− 12 du. =√π ⇒ Γ(12) =√π.Soal 6. Hitunglah Γ(52 ).Jawab 6. Γ(52 ) = Γ(1 + 32 ) = 32 · 12 · Γ(12 ) = 34√π.
  19. 19. 2.4. FUNGSI GAMMA YANG LEBIH UMUM 92.4 Fungsi gamma yang lebih umumSecara umum dapat dituliskan bahwa∞0e−λxx− 12 dx =1λ12Γ(12) =πλ(2.14)dan∞0xne−ax2dx =12a(n+1)/2∞0y(n−1)/2e−ydy=12a(n+1)/2Γ[(n + 1)/2]. (2.15)2.5 Aproksimasi StrilingAproksimasi Striling yang berguna untuk menyederhanakan faktorial dan saatmenurunkannya adalahn! ≈ nne−n√2πn (2.16)atauln n! ≈ (n +12) ln n − n +12ln(2π). (2.17)2.6 Aproksimasi dengan grafikAproksimasi lain untuk ln n! dapat diperoleh lewat grafik seperti ditunjukkandalam Gambar 2.1. Dengan demikian dapat dituliskan bahwa aproksimasi untukln n! adalahln n! =ni=1ln i ≈12ln n +n1ln xdx = (n +12) ln n − n + 1. (2.18)Soal 7. Buktikan dari grafik aproksimasi dalam Persamaan (2.18) dengan meng-gunakan Gambar 2.1.Jawab 7. Bahas luas dari kurva di bawah ln x untuk kotak pertam, di manakelebihan kotak sebelah kanan titik tengah n adalah untuk bagian sebelah kiri di
  20. 20. 10 CATATAN 2. FAKTORIAL DAN FUNGSI GAMMAbawah kurva. Demikian seterusnya sehingga tersisa saat kotak ke n ada faktor12 ln n yang belum dihitung dalam ln xdx. Lebar tiap kotak adalah 1.00.511.522.50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12lnnnGambar 2.1: Histogram dari ln n dan kurva ln x yang saling digambarkanbertumpang tindih.2.7 Aproksimasi lainDengan melihat nilai yang besar dari n di mana umumnya merupakan daerahkerja mekanika statistik dan umumnya yang dibahas adalah perubahan nilaiatau turunan dari ln n! maka aproksimasi lain digunakan, yaituln n! ≈ n ln n − n. (2.19)Soal 8. Bandingkan nilai-nilai ln n! dengan menggunakan Persamaan (2.17),(2.18), dan (2.19).Jawab 8. Pembandingan nilai-nila ln n! yang diminta dapat dilihat dalam Tabel2.1.2.8 Script menggambar grafik ln nset term post eps color enhanced 28 lw 1set output "ln-n.eps"set size 1.4, 1.2set xrange [-0.2:12.2]
  21. 21. 2.9. REFERENSI 11Tabel 2.1: Nilai-nilai ln n! dengan menggunakan Persamaan (2.17), (2.18), dan(2.19).n ln n!Persamaan(2.17) (2.18) (2.19)10 15.1 15.1 15.18 13.0350 148.48 148.48 148.56 145.6100 363.74 363.74 363.82 360.52150 605.02 605.02 605.1 601.6170 706.57 706.57 706.65 703.09set yrange [-0.1:2.6]set xtics 1set ytics 0.5set grid#set label "{/Italics D}_{/Italics L}" #at 0, 0.12set xlabel "{/Italics n}"set ylabel "ln {/Italics n}"plot "data.txt" u 1:(log($1)) t "" lw 4 w boxes, log(x) t "" lw 4Script di atas dipanggil dengna menggunakan aplikas gnuplot sehingga berkasln-n.eps dihasilkan seperti dalam Gambar 2.1.2.9 Referensi1. Mary L. Boas, ”Mathematical Methods in the Physical Sciences”, JohnWiley & Sons, New York, Second Edition, 457-462 (1983)2. A. J. Pointon, ”An Introduction to Statistical Physics for Students”, Long-mans, First Print, 189-191 (1967)3. Francis W. Sears and Gerhard L. Salinger, ”Thermodynamics, KineticTheory, and Statistical Thermodynamics”, Addison-Wesley, Third Edi-tion, Fifth Print, 424-426 (1980)
  22. 22. 12 CATATAN 2. FAKTORIAL DAN FUNGSI GAMMA
  23. 23. Catatan 3Pengali Tak Tentu LagrangePengali Tak Tentu Lagrange (the Lagrange method of undetermined multipli-ers) adalah suatu metoda matematika untuk mencari maksimum atau minimumsuatu fungsi yang dibatasi oleh suatu syarat dari fungsi lain [1], di mana metodeini termasuk dalam optimisasi matematika [2]. Bila jumlah variabel bebas dansyarat yang membatasi sedikit, cukup dilakukan substitusi standar. Akan tetapibila jumlah variabel bebas dan syarat-syarat banyak, maka akan terdapat terlalubanyak fungsi yang harus diselesaikan secara bersama-sama. Di sinilah metodaini ini berperan dengan memperkenalkan satu konstanta untuk setiap syaratdari satu fungsi lain yang diperlukan [3]. Penjelasan yang cukup sederhanadapat dilihat dalam literatur [4].3.1 Maksimum dan minimum suatu fungsiBila terdapat suatu fungsi f(x, y, z) yang ingin dicari nilai maksimum atauminimumnya, maka cukup dipenuhidf =∂f∂xdx +∂f∂ydy +∂f∂zdz = 0. (3.1)Soal 1. Suatu lingkaran yang terletak di pusat koordinat dengan jari-jari Rmemiliki fungsi f(x, y) = x2+ y2− R2= 0. Tentukanlah nilai maksimum danminimum dari x.Jawab 1. Gunakan Persamaan (3.1) sehingga diperolehdf = 2xdx + 2ydy = 0.Untuk mencari nilai maksimum dari x maka perlu dicari nilai y lewat13
  24. 24. 14 CATATAN 3. PENGALI TAK TENTU LAGRANGEdxdy=yx= 0 ⇒ y = 0.Gunakan nilai ini ke persamaan lingkaran sehinga diperoleh bahwax2− R2= 0 ⇒ x = ±R.Jadi nilai maksimum dan minimum x berturut-turut adalah −R dan +R.Soal 2. Tentukan nilai y minimum dari fungsi f(x, y) = y − x2= 0.Jawab 2. Gunakan Persamaan (3.1) sehingga diperolehdf = dy − 2xdx = 0.Untuk mencari nilai minimum y perlu dicari nilai x daridydx= 2x = 0 ⇒ x = 0.Dengan demikian dapat diperoleh bahway − 02= 0 ⇒ y = 0,yang merupakan nilai minimum y.3.2 Syarat tambahanMencari minimum atau maksimum suatu fungsi f(x, y, z) tidak cukup denganmenggunakan Persamaan (3.1) bila terdapat syarat tambahan berupa fungsilain, misalnya φ(x, y, z). Untuk itu diperkenalan dengan suatu metode yangmenggunakan pengali berupa konstanta α yang belum diketahui nilainya, pen-gali tak tentu Lagrange, sehingga perluasan dari Persamaan (3.1) yang meru-pakan kondisi yang harus terpenuhi adalahdf + αdφ = 0, (3.2)dengan bentuk dφ mirip dengan bentuk df. Bila bentuk φ(x, y, z) dapat dit-uliskan dalam bentuk
  25. 25. 3.2. SYARAT TAMBAHAN 15φ(x, y, z) = 0 (3.3)makadφ =∂φ∂xdx +∂φ∂ydy +∂φ∂zdz = 0. (3.4)Selanjutnya dapat diperoleh dari Persamaan (3.4) bentukdx = −∂φ∂ydy +∂φ∂zdz /∂φ∂x, (3.5)sebagaimana untuk dy maupun dz. Substitusi Persamaan (3.5) ke Persamaan(3.1) akan memberikandf =∂f∂xdx +∂f∂ydy +∂f∂zdz = 0,⇒ df =∂f∂x−∂φ∂ydy +∂φ∂zdz /∂φ∂x+∂f∂ydy +∂f∂zdz = 0,⇒ df =∂f∂y−∂f∂x∂φ/∂y∂φ/∂xdy +∂f∂z−∂f∂x∂φ/∂z∂φ/∂xdz = 0. (3.6)Dengan ∂f∂x /∂φ∂x pada titik stasioner diberi nilai −α maka∂f∂x+ α∂φ∂x= 0. (3.7)Persamaan (3.6) dapat dituliskan menjadidf ≡∂f∂x+ α∂φ∂xdx +∂f∂y+ α∂φ∂ydy +∂f∂z+ α∂φ∂zdz = 0. (3.8)Agar Persamaan (3.8) dapat menentukan suatu titik stasioner maka setiap sukudalam tanda kurung harus bernilai nol, sebagaimana persamaan tersebut harusdipenuhi untuk setiap nilai dari perubahan dy dan dz, maka kurung kedua danketiga harus bernilai nol, sementara kurung pertama bernilai nol akibat definisidari α dalam Persamaan (3.7).Karena α merupakan rasio dari −∂f∂x /∂φ∂x pada suatu titik stasioner, nilaniyahanya dapat ditentukan dengan melakukan substitusi kembali solusi yang diper-oleh ke persamaan yang merupakan syarat awal φ(x, y, z) = 0. Oleh karena itu
  26. 26. 16 CATATAN 3. PENGALI TAK TENTU LAGRANGEα dikenal sebagai suatu pengali tak tentu atau lebih umum, pengali tak tenuLagrange (a Lagrange undetermined multiplier).Soal 3. Suatu fungsi f(x, y, z) ingin diminimumkan dengan syarat-syaratφ1(x, y, z), φ2(x, y, z), dan φ3(x, y, z). Tentukanlah bentuk persamaan yangharus dipecahkan dengan memperkenalkan tiga buah pengali tak tentu La-grange.Jawab 3. Dengan menggunakan Persamaan (3.2) dapat dituliskandf = αφ1 + βφ2 + γφ3 = 0adalah fungsi yang harus dipecahkan dengan pengali-pengali tak tentu La-grangenya adalah α, β, dan γ, yang akan dicari kemudian.Soal 4. Tentukan kuadrat jarak minimum dan maksimum dari suatu titik (2R,0) terhadap lingkaran x2+ y2= R2.Jawab 4. Fungsi yang ingin dicari titik stasionernya adalahf(x, y) = (x − 2R)2+ y2dengan syarat batasφ(x, y) = x2+ y2− R2= 0.Dengan menggunakan Persamaan (3.2) dapat dituliskan bahwadf + αdφ = [2(x − 2R)dx + 2ydy] + α[2xdx + 2ydy] = 0.[x(1 + α) − 2R]dx + y(1 + α)dy = 0.dxdy=y(1 + α)2R − x(1 + α). (3.9)Nilai x minimum dan maksimum dapat dicari dengan membuat Persamaan (3.9)menjadi nol, sehingga0 = y(1 + α) ⇒y = 0, α =?α = −1, y =?Bila dipilih y = 0 maka diperoleh dari syarat batas bahwa x = ±R sehingga fbernilai R2dan (3R)2. Dengan menggunakan x = 2R/(1+α) dan α = −1 tidakmemberikan solusi karena tidak memenuhi fungsi yang φ(x, y) yang membatasi.
  27. 27. 3.3. REFERENSI 17Soal 5. Tentukan kuadrat jarak minimum dan maksimum dari suatu titik (R,R) terhadap lingkaran x2+ y2= R2.Jawab 5. Fungsi yang ingin dicari titik stasionernya adalahf(x, y) = (x − R)2+ (y − R)2dengan syarat batasφ(x, y) = x2+ y2− R2= 0.Dengan menggunakan Persamaan (3.2) dapat dituliskan bahwadf + αdφ = [2(x − R)dx + 2(y − R)dy] + α[2xdx + 2ydy] = 0.[x(1 + α) − R]dx + [y(1 + α) − R]dy = 0. (3.10)Dapat dipilih α = ±√2−1 agar Persamaan (3.10) dapat bernilai nol dan fungsiyang membatasi tetap terpenuhi. Dengan pilihan ini diperoleh bahwa kuadratjarak minimum adalah (3 − 2√2)R2dan kuadrat jarak maksimum adalah (3 +2√2)R2.3.3 Referensi1. Mary L. Boas, ”Mathematical Methods in the Physical Sciences”, JohnWiley & Sons, New York, Second Edition, 174-181 (1983)2. Wikipedia contributors, ”Lagrange multipliers”, Wikipedia, The Free En-cyclopedia, 26 May 2010, 20:32 UTC, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Lagrange multipliers&oldid=364362085[accessed 6July 2010]3. Francis W. Sears and Gerhard L. Salinger, ”Thermodynamics, KineticTheory, and Statistical Thermodynamics”, Addison-Wesley, Third Edi-tion, Fifth Print, 421-423 (1980)4. A. J. Pointon, ”An Introduction to Statistical Physics for Students”, Long-mans, First Print, 189-191 (1967)
  28. 28. 18 CATATAN 3. PENGALI TAK TENTU LAGRANGE
  29. 29. Catatan 4Konfigurasi Paling MungkinSuatu StatistikDari ketiga statistik yang dipelajari, yaitu statistik Maxwell-Boltzmann, statis-tik Bose-Einstein, dan statistik Fermi-Dirac, dapat diperoleh rumusan mengenaipeluang termodinamika suatu keadaan makro k, yaitu Wk. Dengan mengang-gap bahwa suatu sistem tersusun atas banyak partikel maka terdapat suatupuncak yang cukup tajam dari Wk terhadap nilai-nilai lain di sekelilingnya,yang disebut sebagai Wk,maks dan dicari dengan memaksimumkan Wk [1].4.1 Syarat batas suatu sistemSistem yang dibahas di sini dibatasi pada sistem tertutup dan terisolasi. Istilahtertutup dan terisolasi terkait dengan jumlah total partikel dalam sistem N danenergi total sistem U, di mana energi pada tingkat energi j adalah ǫj dan jumlahpartikel yang menempati tingkat energi tersebut adalah Nj.Soal 1. Bila terdapat M tingkat energi dengan masing-masing tingkat energiditempati oleh Nj partikel, tuliskan rumusan bagaimana menghitung jumlahtotal partikel dalam sistem.Jawab 1. Jumlah total partikel dalam sistem dihitung melaluiN =Mj=1Nj. (4.1)Soal 2. Energi tingkat energi j adalah ǫj dan ditempati oleh Nj partikel.Hitunglah energi total sistem U apabila terdapat M tingkat energi.Jawab 2. Energi total sistem U dihitung melalui19
  30. 30. 20 CATATAN 4. KONFIGURASI PALING MUNGKIN SUATU STATISTIKU =Mj=1ǫjNj. (4.2)Soal 3. Hitunglah energi rata-rata sistem bila energi tingkat energi j adalah ǫjdan ditempati oleh Nj partikel.Jawab 3. Energi rata-rata sistem dihitung melaluiǫ =UN=Mj=1 ǫjNjMj=1 Nj. (4.3)Soal 4. Apa yang dimaksud dengan sistem tertutup dan terisolasi? Bagaimanamerumuskannya terkait dengan Persamaan (4.1) dan (4.2)?Jawab 4. Sistem tertutup berarti bahwa jumlah partikel dalam sistem tetap.Tidak terjadi perubahan jumlah partikel, jumlah partikel tidak berkurangmelalui keluarnya partikel dari sistem atau jumlah partikel tidak bertambahmelalui masuknya partikel ke dalam sistem. Syarat ini dirumuskan dengandN = djNj =jdNj = 0. (4.4)Sedangkan sistem terisolasi berarti energi total sistem tetap yang dirumuskanmelaluidU = djǫjNj =jǫjdNj = 0. (4.5)Soal 5. Bagaimana cara mencari Wk,maks dari suatu sistem tertutup dan ter-isolasi dengan memperkenalkan dua pengali tak tentu Lagrange a dan b?Jawab 5. Fungsi yang harus dimaksimmukan adalah Wk dengan mencari tu-runan parsialnya terhadap Nj dan syarat batas yang harus dipergunakan adalahdN = 0 (sistem tertutup) dan dU = 0 (sistem terisolasi). Dengan demikiandW + adN + bdU = 0, (4.6)yang lebih eksplisitnya adalahj∂Wk∂NjdNj +j∂(adN)∂NjdNj +j∂(bdU)∂NjdNj = 0,
  31. 31. 4.2. MEMAKSIMUMKAN W 21⇒j∂Wk∂NjdNj +j∂(a i dNi)∂NjdNj +j∂(b i ǫidNi)∂NjdNj = 0,⇒j∂Wk∂NjdNj +jaδij∂Ni∂NjdNj +jbǫiδij∂Ni∂NjdNj = 0,⇒j∂Wk∂NjdNj + ajdNj + bjǫjdNj = 0. (4.7)Umumnya, yang dimaksimumkan bukanlah Wk akan tetapi ln Wk sehingga Per-samaan (4.6) akan menjadidln W + αdN + βdU = 0, (4.8)dengan memperkenalkan α dan β sebagai pengali tak tentu Lagrange. Denganmenggunakan prosedur yang sama untuk menghasilkan Persamaan (4.7) dapatdiperolehj∂ ln Wk∂NjdNj + αjdNj + βjǫjdNj = 0. (4.9)Selanjutnya Wk dalam Persamaan (4.9) akan dituliskan hanya sebagai W agartidak indeks k tidak membingungkan.4.2 Memaksimumkan WTelah diperoleh bahwa persamaan yang harus dipecahkan adalah Persamaan(4.9), yang dapat dituliskan kembali menjadij∂ ln W∂Nj+ α + βǫj dNj = 0. (4.10)Untuk mencari nilai ln W maksimum (dapat juga minimum) maka harus pulaberlaku maksimum untuk setiap suku yang terkait dengan dNj, yang berartibahwa∂ ln W∂Nj+ α + βǫj = 0. (4.11)Soal 6. Bila W = j Nj!, selesaikan Persamaan (4.11) untuk setiap Nj denganmenggunakan aproksimasi Stirling.Jawab 6. Aproksimasi Strirling untuk ln n! dalam Persamaan (2.17) mem-berikan ln N! ≃ N ln N − N. Dengan demikian dapat diperoleh bahwa
  32. 32. 22 CATATAN 4. KONFIGURASI PALING MUNGKIN SUATU STATISTIKln W =j(ln Nj!) ≃j(Nj ln Nj − Nj).Soal 7. Tentukan ln W untuk statistik Maxwell-Boltzmann.Jawab 7. Statistik Maxwell-BoltzmannWMB = N!jgNjjNj!(4.12)sehinggaln WMB = ln N! +j(Nj ln gj − ln Nj!)≃ N ln N − N +j(Nj ln gj − Nj ln Nj + Nj) (4.13)Soal 8. Tentukan ln W untuk statistik Bose-Einstein.Jawab 8. Statistic Bose-EinsteinWBE =j[(gj − 1) + Nj]!(gj − 1)!Nj!(4.14)sehinggaln WBE =j[(gj − 1) + Nj]! −j(gj − 1)! −jNj!≃j{[(gj − 1) + Nj] ln[(gj − 1) + Nj] − [(gj − 1) + Nj]}−j{(gj − 1) ln(gj − 1) − (gj − 1)} −j{Nj ln Nj − Nj}≃j{[(gj − 1) + Nj] ln[(gj − 1) + Nj] − (gj − 1) ln(gj − 1)−Nj ln Nj}. (4.15)Soal 9 Tentukan ln W untuk statistik Fermi-Dirac.Jawab 9. Statistik Fermi-Dirac
  33. 33. 4.3. DISTRIBUSI SUATU STATISTIK 23WFD =jgj!(gj − Nj)!Nj!(4.16)sehinggaln WFD =jgj! −j(gj − Nj)! −jNj!≃j(gj ln gj − gj) −j[(gj − Nj) ln(gj − Nj) − (gj − Nj)]−j(Nj ln Nj − Nj)≃j[gj ln gj − (gj − Nj) ln(gj − Nj) − Nj ln Nj] (4.17)4.3 Distribusi suatu statistikDengan menggunakan Persamaan (4.11) untuk masing-masing stastik sepertidalam Persamaan (4.13), (4.15), dan (4.17), akan dapat diperoleh untuk kon-figurasi yang paling mungkin distribusi partikel untuk masing-masing statistik,yaituNj,MB =gje−(α+βǫj), (4.18)Nj,BE =gje−(α+βǫj) − 1, (4.19)Nj,FD =gje−(α+βǫj) + 1. (4.20)Soal 10. Turunkan Persamaan (4.18).Jawab 10. Dari Persamaan (4.13) dan Persamaan (4.11) dapat dituliskan dandiperleh bahwa∂∂NjlnN ln N +j(Nj ln gj − Nj ln Nj)+ α + βǫj = 0⇒ lngjNj+ α + βǫj = 0 ⇒ lngjNj= −(α + βǫj)⇒gjNj= e−(α+βǫj)⇒ Nj =gje−(α+βǫj),
  34. 34. 24 CATATAN 4. KONFIGURASI PALING MUNGKIN SUATU STATISTIKseperti dalam Persamaan (4.18).Soal 11. Turunkan Persamaan (4.19).Jawab 11. Dari Persamaan (4.15) dan Persamaan (4.11) dapat dituliskan dandiperleh bahwa∂∂Nj{[(gj − 1) + Nj] ln[(gj − 1) + Nj] − (gj − 1) ln(gj − 1) − Nj ln Nj}+α + βǫj = 0⇒ ln[(gj − 1) + Nj] − ln Nj + α + βǫj = 0⇒ ln[(gj − 1) + Nj]Nj= −(α + βǫj) ⇒gj − 1Nj= e−(α+βǫj)− 1gj >> 1 ⇒gjNj= e−(α+βǫj)− 1 ⇒ Nj =gje−(α+βǫj) − 1,seperti dalam Persamaan (4.19).Soal 12. Turunkan Persamaan (4.20).Jawab 12. Dari Persamaan (4.17) dan Persamaan (4.11) dapat dituliskan dandiperleh bahwa∂∂Nj{gj ln gj − (gj − Nj) ln(gj − Nj) − Nj ln Nj} + α + βǫj = 0⇒ ln(gj − Nj) − ln Nj + α + βǫj = 0⇒ lngj − NjNj= −(α + βǫj) ⇒gjNj= e−(α+βǫj)+ 1⇒ Nj =gje−(α+βǫj) + 1,seperti dalam Persamaan (4.20).4.4 Referensi1. A. J. Pointon, ”An Introduction to Statistical Physics for Students”, Long-mans, First Print, 14-15 (1967)
  35. 35. Catatan 5Parameter βParameter β yang digunakan sebagai salah satu pengali tak tentu Lagrangeuntuk mencari nilai maksimum dari logaritma peluang termodinamika suatukeadaan makro ln W, sebagaimana dituliskan dalam Persamaan (4.8), perludicari artinya secara fisis. Distribusi partikel dari konfigurasi yang palingmungkin untuk ketiga statistik, Maxwell-Boltzmann (MB), Bose-Einstein (BE),dan Fermi-Dirac (FD), telah diperoleh dan masing-masing mengandung param-eter β sebagaimana dituangkan dalam Persamaan (4.18), (4.19), dan (4.20).Bagaimana fungsi dari parameter β dan bentuk eksplisitnya dapat dilihat pen-jelasannya dalam [1] dan saduran bebasnya dalam [2].5.1 Dua buah sistem kontak secara termalSalah satu pendekatan yang digunakan untuk menunjukkan bagaimana intepre-tasi secara fisis dari parameter β adalah dengan memisalkan terdapatnya duabuah sistem tertutup yang hanya dapat saling mempertukarkan energi, akantetapi tidak dapat mempertukarkan partikel. Kedua sistem yang dimaksud,secara gabungan, dianggap sebagai sistem yang terisolasi.Soal 1. Bagaimanakah rumusan dua buah sistem yang masing-masing tertutupdi mana keduanya dapat saling mempertukarkan energi, akan tetapi gabungankeduanya merupakan suatu sistem terisolasi terhadap lingkungannya? Gunakanuntuk sistem pertama tanda ′dan untuk sistem kedua tanda ′′.Jawab 1. Kedua sistem merupakan sistem tertutup, sehingga dapat dituliskanbahwadN′= 0, (5.1)dN′′= 0, (5.2)25
  36. 36. 26 CATATAN 5. PARAMETER βdan karena gabungan keduanya merupakan sistem yang terisolasi denganlingkungannya makadU = 0, (5.3)dU = dU′+ dU′′. (5.4)Saat dua buah sistem digabungkan maka ada parameter dalam sistem gabunganyang merupakan hasil perkalian dari parameter masing-masing sistem. Salahsatu contoh parameter yang bersifat seperti ini adalah peluang termodinamikasuatu keadaan makro (yang mulai sekarang diambil tak lain adalah keadaanmakro yang paling mungkin muncul) W. Jadi bila peluang keadaan makroyang paling mungkin muncul dari sistem pertama adalah W′dan untuk sistemkedua adalah W′′maka peluang keadaan makro sistem gabungan adalahW = W′W′′. (5.5)Soal 2. Peluang termodinamika keadaan-keadaan makro suatu sistem adalah20, 30, 4000, 35, 20, 5. Sedangan suatu sistem lain memiliki peluang termodi-namika keadaan-keadaan makro 1, 5, 1500, 3, 1. Tentukanlah peluang keadaanmakro yang paling mungkin mumcul dari gabungan kedua sistem tersebut.Jawab 2. Untuk sistem pertama W′= 4000 dan untuk sistem kedua W′′=1500, sehingga dengan menggunakan Persamaan (5.5) dapat diperoleh bahwaW = 6000000.Soal 3. Rumuskan dengan menggunakan pengali tak tentu Lagrange α′, α′′,dan β dua buah sistem tertutup yang dapat kontak secara termal dan meru-pakan sistem gabungan yang terisolasi terhadap lingkungannya. Serta jelaskanmengapa hanya perlu satu parameter β.Jawab 3. Dengan menggunakan W sistem gabungan dan syarat bahwa dN′=0, dN′′= 0, dan dU = 0 maka dapat dituliskan bahwad ln W + α′dN′+ α′′dN′′+ βdU = 0, (5.6)sehingga dapat diperoleh untuk tiap dN′j dan dN′′j∂W′∂N′j+ α′+ βǫ′j = 0, (5.7)∂W′′∂N′′j+ α′′+ βǫ′′j = 0, (5.8)karena W′hanya bergantung dari N′j dan W′′hanya bergantung dari N′′j .
  37. 37. 5.2. HUKUM PERTAMA TERMODINAMIKA 27Soal 4. Turunkan Persamaan (5.7) dan (5.8) dari Persamaan (5.6) denganmenggunakan Persamaan (5.4).Jawab 4. Dapat dituliskan dan diperoleh bahwad ln W + α′dN′+ α′′dN′′+ βdU = 0,d ln(W′W′′) + α′dN′+ α′′dN′′+ βd(U′+ U′′) = 0,d ln W′+ d ln W′′+ α′dN′+ α′′dN′′+ βdU′+ βdU′′= 0,(d ln W′+ α′dN′+ βdU′) + (d ln W′′+ α′′dN′′+ βdU′′) = 0,j∂W′∂N′j+ α′+ βǫ′j dN′j +j∂W′′∂N′′j+ α′′+ βǫ′′j dN′′j = 0seperti dalam Persamaan (5.7) dan (5.8) di mana masing-masing suku harus noluntuk setiap perubahan dN′j dan dN′′j .Karena kedua sistem hanya dapat mempetukarkan kalor maka saat terjadinyakesetimbangan hanya satu parameter yang akan berniali sama yaitu temperaturT (hal ini sesuai dengan hukum ke-nol termodinamika). Dari (5.7) dan (5.8)dapat dilihat bahwa hanya satu parameter yang sama untuk kedua sistem yaituβ. Dengan demikian dapat diperoleh bahwa seharusnyaβ = β(T ) (5.9)yang merupakan suatu intepretasi secara fisis kelakuan dari β.5.2 Hukum pertama termodinamikaTerdapat pula sudut pandang lain untuk melihat arti dari pengali β yang me-manfaatkan hubungan yang diungkapkan oleh hukum pertama termodinamika,yaitudU = dQ − pdV. (5.10)Dengan menggunakan Persamaan (4.5) dalam bentuk yang lebih umum di manamungkin terdapat perubahan dǫj maka dapat dituliskan bahwadU = djǫjNj =jNjdǫj +jǫjdNj. (5.11)Perubahan volume akan mengubah tingkat-tingkat energi sebagaimana kasuspartikel dalam kotak sedangkan perubahan kalor akan membuat terjadinya pe-
  38. 38. 28 CATATAN 5. PARAMETER βrubahan susunan partikel dalam tingkat-tingkat energi. Dengan demikian dapatdituliskan bahwajNjdǫj = −pdV, (5.12)jǫjdNj = dQ. (5.13)Soal 5. Pada saat tercapainya kesetimbangan sehingga tidak lagi terjadi pe-rubahan volume, turunkan bentuk parameter β secara eksplisit dengan meng-gunakan rumusan pengali tak tentu Lagrange dalam mencari peluang termodi-namika suatu keadaan makro W yang paling mungkin dan rumusan entropi dariBoltzmann serta hubungan antara perubahan entropi dengan perubahan kalor.Sistem merupakan sistem tertutup.Jawab 5. Rumusan pengali tak tentu Lagrange dalam mencari peluang ter-modinamika suatu keadaan makro W yang paling mungkin memberikandW + αdN + βdU = 0,di mana bila tidak terjadi perubahan volume maka melalui hukum pertamatermodinamikadU = dQ,sehingga dapat diperolehdW + αdN + βdQ = 0.Dengan menerapkan syarat sistem tertutup, yaitu dN = 0 maka dapat diperolehbahwad ln W = −βdQ.Selanjutnya dengan menggunakan ungkapan Boltzmann untuk entropi, yaituS = k ln W, (5.14)dan hubungan dS = dQ/T dapat dituliskan bahwa
  39. 39. 5.3. TEORI KINETIK GAS 29d ln W = −βdQ⇒ dSk= −βdQ⇒dSk= −βdQ⇒dSdQ= −βk⇒1T= −βkβ = −1kT. (5.15)Persamaan (5.15) menggambarkan hubungan eksplisit antara β dang T .5.3 Teori kinetik gasKhusus untuk statistik Maxwell Boltzmann, terdapat hubunganNj = gjeαj +βǫjseperti telah ditunjukkan oleh Persamaan (4.18). Sedangka teori kinetik gasmenyatakan bahwa energi rata-rata tiap partikel gas monoatomik adalahǫ =32kT. (5.16)Jumlah total partikel dapat diperoleh lewatN =jNj =jgjeαj +βǫj≈∞0[2π(2m)3/2ǫ1/2dǫ/h3]eα+βǫ(5.17)dan energi sistemU =jǫjNj =jǫjgjeαj +βǫj≈∞0ǫ[2π(2m)3/2ǫ1/2dǫ/h3]eα+βǫ(5.18)di managj ≡2π(2m)3/2ǫ1/2dǫh3. (5.19)
  40. 40. 30 CATATAN 5. PARAMETER βKemudian dengan menggunakan relasi yang diperoleh dari integral parsial∞0ǫ3/2eβǫdǫ = −32β∞0ǫ1/2eβǫdǫ (5.20)dan bahwa ǫ = U/N makaǫ = −32β=32kT ⇒ β = −1kT,seperti dalam Persamaan (5.15).Soal 6. Buktikan Persamaan (5.20).Jawab 6. Dengan melihat bentuk persamaan yang dimaksud maka dapat dit-uliskanǫ3/2eβǫdǫ =1βǫ3/2eβǫ−32βǫ1/2eβǫdǫ⇒∞0ǫ3/2eβǫdǫ =1βǫ3/2eβǫ∞0−32β∞0ǫ1/2eβǫdǫ⇒∞0ǫ3/2eβǫdǫ = 0 −32β∞0ǫ1/2eβǫdǫ⇒∞0ǫ3/2eβǫdǫ = −32β∞0ǫ1/2eβǫdǫ,di mana telah digunakan suatu asumsi mengenai nilai β, yaitu bahwa β < 0.Soal 7.5.4 Referensi1. A. J. Pointon, ”An Introduction to Statistical Physics for Students”, Long-mans, First Print, 19-25 (1967)2. Sparisoma Viridi dan Siti Nurul Khotimah, ”Catatan Kuliah Fisika Statis-tik”, Semester II Tahun 2009/2010, Mei, 21-27 (2010)
  41. 41. Catatan 6Degenerasi dalam RuangFasaDegenerasi atau jumlah keadaan energi gj pada suatu tingkat energi j yangmemiliki energi antara ǫj dan ǫj +dǫj yang bersifat dikrit dapat dilihat menjadisuatu besaran yang berharga kontinu [1]. Bagaimana hal itu dapat dilakukan,akan diilustrasikan dalam catatan ini.6.1 Ruang fasa enam dimensiSaat sebuah partikel bergerak dalam ruang tiga dimensi (x, y, z) dan memilikimomentum pada ketiga arah tersebut (px, py, pz), keadaan partikel tersebutsetiap saat secara lengkap dispesifikasikan dengan enam koordinat yaitu (x, y,z, px, py, pz). Ruang di mana partikel dispesifikasikan dengan enam koordinattersebut disebut sebagai ruang enam dimensi atau ruang Γ.Soal 1. Bila elemen volume ruang koordinat tiga dimensi adalah dxdydz, ten-tukanlah elemen volume ruang fasa enam dimensi Γ.Jawab 1. Ruang Γ memiliki koordinat x, y, z, px, py, pz untuk tiap-tiappartikel. Dengan demikian elemen volumenya adalahdΓ = (dV )(dVp) = (dx, dy, dz)(dpx, dpy, dpz) = dxdydzdpxdpydpz. (6.1)Kaitan antara gj dan dΓ adalahgj ≡dΓh3, (6.2)31
  42. 42. 32 CATATAN 6. DEGENERASI DALAM RUANG FASAdi mana h adalah konstanta Planck, h = 6.626 × 10−34m2kg s−1.Bila fungsi yang akan diinteralkan, dalam hal ini adalah suku1eα+βǫj + c, c = −1, 0, 1,tidak bergantung pada koordinat spasial (x, y, z) maka dΓ dapat dituliskanmenjadidΓ = V dpxdpydpzyang artinya telah dilakukan integrasi terhadap elemen volume spasial.Demikian pula bila suku tersebut tidak mengandung koordinat momentum (px,py, pz) maka dapat dituliskan menjadidΓ = Vpdxdydzyang artinya telah dilakukan integrasi terhadap elemen volume momentum.6.2 Integral volume ruang momentumElemen ruang momentum dpxdpydpz dapat pula dituliskan sebagaidVp = dpxdpydpz = 4πp2dpapabila sifat momentumnya dianggap isotropik, homogen ke semua arah.Soal 2. Turunkan dVp = 4πp2dp.Jawab 2. Dengan mengambil analogi seperti transformasi dari ruang spasialdengan sistem koordinat kartesian ke sistem koordinat bola, maka dapat dit-uliskan bahwadVp = dpxdpydpz = (dp)(pdθ)(p sin θ)dϕ.Apabila momentum p bersifat isotropik, maka dapat dilakukan integral terhadapvariabel dθ dan dϕ sehingga dapat diperolehdVp =π0sin θdθ2π0dϕ p2dp = 4πp2dp.
  43. 43. 6.3. INTEGRAL VOLUME RUANG LAJU 33Dengan demikian dapat dituliskan bahwadΓ = 4πV p2dp.6.3 Integral volume ruang lajuHubungan antara momentum dan laju adalahp = mv ⇒ dp = mdvsehingga dapat diperolehdΓ = 4πV m3v2dv.Soal 3. Turunkan dΓ = 4πV m3v2dv.Jawab 3. Gunakan hubungan p = mv dan dp = mdv dalam dΓ = 4πV p2dp.6.4 Integral volume ruang energiEnergi setiap partikel dalam bentuk energi kinetik terkait dengan momentumnyaadalah melalui hubunganǫ =p22msehingga dapat dituliskan bahwadǫ =pdpm.Soal 4. Rumuskan dΓ dalam bentuk dǫ.Jawab 4. Dengan menggunakan ǫ = p2/2m, dǫ = pdp/m, dan dΓ = 4πV p2dp,dapat diperolehdΓ = 4πV (p2)(dp)⇒ dΓ = 4πV (2mǫ)m√2mǫdǫ⇒ dΓ = 2πV (2m)3/2ǫ1/2dǫ
  44. 44. 34 CATATAN 6. DEGENERASI DALAM RUANG FASA6.5 Integral volume ruang frekuensiKhusus untuk partikel yang merupakan foton, maka energinya dirumuskan se-bagaiǫ = hνsehinggadǫ = hdν.Perlu diingat bahwa foton tidak memiliki massa sehingga momentumnya adalahp = hν/c.Soal 5. Rumuskan dΓ dalam bentuk dν.Jawab 5. Dengan menggunakan dΓ = 4πV p2dp dapat dituliskan bahwadΓ = 4πV (p2)(dp) = 4πVhνc2hdνc= 4πVh3c3ν2dν.6.6 Integral volume ruang panjang gelombangSelain dalam ruang frekuensi, untuk partikel yang merupakan foton, dapat puladΓ dinyatakan dalam ruang panjang gelombang λ, dengan hubunganλ =cν⇒ dλ = −cdνν2.Soal 6. Rumuskan dΓ dalam bentuk dλ.Jawab 6. Dengan menggunakan 4πV h3ν2dν/c3dan λ = c/ν (serta turunan-nya) dapat diperolehdΓ = 4πVh3c3ν2dν⇒ dΓ = 4πVh3c3cλ2−cλ2 1cdλ = −4πV h3λ4dλ.Bila diambil nilai positifnya dan sebuah foton memiliki dua arah polarisasi,maka degenerasi gj tiap satuan volume akan menjadi
  45. 45. 6.7. REFERENSI 35g(λ)dλ =gjV=4πh3λ4dλ.Umumnya hanya tanda negatif akibat penurunan tidak digunakan.Soal 7. Gas foton memiliki statistik Bose-Einstein. Rumuskan bagaimanabentuk g(λ) dan n(λ).Jawab 7. Suatu foton dalam gas foton memiliki dua arah polarisasi sehinggadegenerasinya menjadi dua kali dari degenerasi yang diperoleh dari gj. Selain ituumumnya jumlah denerasi atau keadaan yang diperbolehkan dinyatakan dalamtiap satuan volume [2], sehinggag(λ)dλ =2gjV=2dΓV h3=8πλ4dλ.Kemudian dengan menggunakan statistik Bose-Einstein dapat dituliskan bahwan(λ)dλ = g(λ)dλf(λ) =8πλ4dλ1ehc/kλT − 1.6.7 Referensi1. Sparisoma Viridi dan Siti Nurul Khotimah, ”Catatan Kuliah Fisika Statis-tik”, Semester II Tahun 2009/2010, Mei, 24-25 (2010)2. A. J. Pointon, ”An Introduction to Statistical Physics for Students”, Long-mans, First Print, 51-55 (1967)
  46. 46. 36 CATATAN 6. DEGENERASI DALAM RUANG FASA
  47. 47. Catatan 7Distribusi Suatu StatistikTelah diperkenalkan dalam suatu catatan sebelumnya yang berjudul Konfig-urasi Paling Mungkin Suatu Statistik, bagaimana bentuk distribusi dari ketigastatistik (Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein, dan Fermi-Dirac).7.1 Bentuk umum distribusi ketiga statistikKetiga statistik memiliki bentuk umum distribusi partikel, yaituNj,MB =gje−(α+βǫj), (7.1)untuk statistik Maxwell-Boltzmann,Nj,BE =gje−(α+βǫj) − 1, (7.2)untuk statistik Bose-Einstein, danNj,FD =gje−(α+βǫj) + 1. (7.3)untuk statistik Fermi-Dirac. Ketiga bentuk dalam Persamaan (7.1), (7.2), dan(7.3) dapa dituliskan dalam bentuk diferensialnya NX(ǫ)dǫ, di mana X = MB,BE, dan FD.37
  48. 48. 38 CATATAN 7. DISTRIBUSI SUATU STATISTIK7.2 Statistik Maxwell-BoltzmannSoal 1. Dengan menggunakan dΓ = 2πV (2m)3/2ǫ1/2dǫ, gj ≡ dΓ/h3, β =−1/kT , tentukanlah NMB(ǫ)dǫ.Jawab 1. Dapat dituliskan bahwaNj,MB =gje−(α+βǫj)= gj1e−(α+βǫj)⇒ NMB(ǫ)dǫ =2πV (2m)3/2ǫ1/2dǫh31e−(α+βǫ)⇒ NMB(ǫ)dǫ =2πV (2m)3/2h3eαeβǫǫ1/2dǫ⇒ NMB(ǫ)dǫ =2πV (2m)3/2h3eαe−ǫ/kTǫ1/2dǫ. (7.4)Soal 2. Bila diketahui bahwa bentuk distribusi Maxwell-Boltzmann dalambentuk diferensial secara lengkap adalah [1]NMB(ǫ)dǫ =2πN(πkT )3/2e−ǫ/kTǫ1/2dǫ, (7.5)tentukanlah nilai α dari Persamaan (7.4).Jawab 2. Dari Persamaan (7.4) dan (7.5) dapat dituliskan bahwa2πV (2m)3/2h3eα=2πN(πkT )3/2⇒ eα=Nh3V (2mπkT )3/2⇒ α = lnNh3V (2mπkT )3/2. (7.6)Soal 3. Tunjukkan bahwa∞0NMB(ǫ)dǫ = N. (7.7)Jawab 3. Dapat dituliskan bahwa∞0NMB(ǫ)dǫ =∞02πN(πkT )3/2e−ǫ/kTǫ1/2dǫ
  49. 49. 7.2. STATISTIK MAXWELL-BOLTZMANN 39=2πN(πkT )3/2∞0e−ǫ/kTǫ1/2dǫ.Kemudian dengan menggunakanΓ12=∞0e−xx− 12 dx =√π,dan∞0e−xx12 dx =12∞0e−xx− 12 dx =12√π,dapat diperoleh∞0e−ǫ/kTǫ1/2dǫ = (kT )3/2∞0e−ǫ/kT ǫkT1/2dǫkT=12√π(kT )3/2,sehingga⇒2πN(πkT )3/2∞0e−ǫ/kTǫ1/2dǫ =2πN(πkT )3/212√π(kT )3/2= N.Jadi, Persamaan (7.7) telah dapat dibuktikan. Sebenarnya nilai α dapat di-cari karena syarat bahwa∞0NMB(ǫ)dǫ = N dari Persamaan (7.4) tanpa perluterlebih dahulu mengetahui bentuk lengkapnya seperti dalam Persamaan (7.5).Soal 4. Gas ideal monoatomik memenuhi distribusi Maxwell-Boltzmann dalamPersamaan (7.5). Hitunglah energi total sistem yang terdiri dari N partikel gasdengan menggunakan U =∞0 NMB(ǫ)ǫdǫ.Jawab 4. Dapat dituliskanU =∞0NMB(ǫ)ǫdǫ =2πN(πkT )3/2∞0e−ǫ/kTǫ3/2dǫ,di mana∞0e−ǫ/kTǫ3/2dǫ = (kT )5/2∞0e−ǫ/kT ǫkT3/2dǫkT= (kT )5/2 3212√π =34(kT )5/2√π,
  50. 50. 40 CATATAN 7. DISTRIBUSI SUATU STATISTIKsehinggaU =2πN(πkT )3/234(kT )5/2√π =32NkT.7.3 Statistik Bose-EinsteinSoal 5. Dengan menggunakan dΓ = 2πV (2m)3/2ǫ1/2dǫ, gj ≡ dΓ/h3,β = −1/kT , tentukanlah NBE(ǫ)dǫ untuk foton dalam suatu ruang tertutupberlubang, di mana foton memiliki dua arah polarisasi yang akan mempen-garuhi jumlah keadaan energinya dan bahwa jumlah foton tidak tetap (adayang diserap dan dipancarkan kembali oleh dinding). Lubang pada ruang ter-tutup tersebut akan berfungsi sebagai benda hitam. Apakah ada yang salahdari hasil yang diperoleh?Jawab 5. Dapat diperoleh bahwaNj,BE =gje−(α+βǫj) − 1= gj1e−(α+βǫj) − 1⇒ NBE(ǫ)dǫ = 22πV (2m)3/2ǫ1/2dǫh31e−(α+βǫ) − 1⇒ NBE(ǫ)dǫ =4πV (2m)3/2h31e−(α+βǫ) − 1ǫ1/2dǫ⇒ NBE(ǫ)dǫ =4πV (2m)3/2h31e−(α−ǫ/kT ) − 1ǫ1/2dǫ. (7.8)Sebelum mencari nilai α, sebaiknya hasil yang diperoleh dicermati terlebihdahulu. Sekilas terlihat bahwa tidak ada yang salah dalam Persamaan (7.8)akan tetapi perhatikan bahwa dalam bentuk NBE(ǫ)dǫ yang dicari untuk fotonterdapat massa foton. Tidak ada arti fisis dari massa foton. Dengan demikianungkapan dalam Persamaan (7.8) adalah salah atau NBE tidak dapat dinyatakandalam bentuk seperti di atas. Ungkapan yang benar adalah apabila dinyatakandalam panjang gelombang λ atau frekuensi ν dari foton.Soal 6. Perbaikilah Persamaan (7.8) dengan mencari NBE(λ)dλ menggunakanrepresentasi dΓ dalam dλ.Jawab 6. Dalam catatan sebelumnya dapat diperoleh bahwag(λ)dλ =gjV=4πh3λ4dλakan tetapi karena foton memiliki dua arah polarisasi yang menyebabkan jumlahkeadaan energi yang dimilikinya menjadi dua kalinya, maka ungkapan di atasakan menjadi
  51. 51. 7.4. STATISTI FERMI-DIRAC 418πh3λ4dλ.Ungkapan-ungkapan di atas diperoleh melalui hubungan ǫ = hc/λ dan turunan-nya. Dengan demikian dapat dituliskanNj,BE =gje−(α+βǫj) − 1= gj1e−(α+βǫj) − 1⇒ NBE(λ)dλ =8πλ4dλ1e−(α+βhc/λ) − 1⇒ NBE(λ)dλ =8πλ41e−(α−hc/kλT ) − 1dλ. (7.9)Ungkapan dalam Persamaan (7.9) sudah dalam per satuan volume V . Selan-jutnya adalah bagaimana mencari nilai α. Dalam soal diinformasikan bahwajumlah foton dalam sistem tidak tetap karena ada foton yang diserap olehwadah tertutup dan ada foton yang dipancarkan kembali setelah diserap, dengandemikian pada saat penurunan Nj,BE menggunakan pengali tak tentu Lagranged ln W + αdN + βdU = 0tidak dapat dipenuhi bahwa dN = 0. Agar persamaan di atas dapat tetapdipenuhi, dipilih α = 0. Dengan demikian akan diperoleh untuk foton dalamsuatu ruang tertutupNBE(λ)dλ =8πλ41ehc/kλT − 1dλ. (7.10)7.4 Statisti Fermi-DiracSoal 7. Dengan menggunakan dΓ = 2πV (2m)3/2ǫ1/2dǫ, gj ≡ dΓ/h3, β =−1/kT , tentukanlah NFD(ǫ)dǫ untuk gas elektron yang memiliki dua kemungk-inan spin, yaitu +12 dan −12 . Gunakan pula hubungan bahwa α = ǫF /kT .Jawab 7. Dapat dituliskan bahwaNj,FD =gje−(α+βǫj) + 1= gj1e−(α+βǫj) + 1⇒ NFD(ǫ)dǫ = 22πV (2m)3/2ǫ1/2dǫh31e−(α+βǫ) + 1
  52. 52. 42 CATATAN 7. DISTRIBUSI SUATU STATISTIK⇒ NFD(ǫ)dǫ =4πV (2m)3/2h31e−(α+βǫ) + 1ǫ1/2dǫ⇒ NFD(ǫ)dǫ = V 4π2mh232ǫ1/2 1e(ǫ−ǫF )/kT + 1dǫ. (7.11)Khusus untuk statistik Fermi-Dirac, distribusi partikel (dalam hal ini elektron)dapat dituliskan dalam bentukN(ǫ)dǫ = g(ǫ)f(ǫ)dǫ,di manag(ǫ) = V 4π2mh232ǫ1/2danf(ǫ) =1e(ǫ−ǫF )/kT + 1yang dikenal sebagai fungsi Fermi. ǫF disebut sebagai energi Fermi.7.5 Bentuk umum distribusi statistik lainWalaupun tidak lazim dituliskan, secara umum ketiga statistik seharusnya dapatdituliskan dalam bentukN(ǫ)dǫ = g(ǫ)f(ǫ)dǫ, (7.12)dengan g(ǫ) memiliki arti jumlah keadaan energi pada tiap tingkat energi ataukerapatan keadaan energi (density of states).7.6 Referensi1. A. J. Pointon, ”An Introduction to Statistical Physics for Students”, Long-mans, First Print, 25-26 (1967)
  53. 53. Catatan 8Termodinamika Gas IdealMonoatomikDalam gas ideal segala interaksi yang terjadi antara partikel-partikel gas, terma-suk yang terjadi saat partikel-partikel gas saling bertumbukan, dianggap mem-berikan pengaruh yang dapat diabaikan terhadap sifat-sifat termodinamika gas[1].8.1 Peluang termodinamika Wmaks gas idealklasikPeluang termodinamika suatu keadaan makro dari gas ideal yang mengandungN partikel gas tak berstruktur adalahW = N!jgNjjNj!, (8.1)dengan Nj adalah bilangan okupasi pada tingkat energi j, di mana tingkatenergi tersebut terdegenerasi sejumlah gj dan berenergi ǫj. Terpenuhi pulabahwa N = j Nj.Soal 1. Gunakan aproksimasi Stirling ln x! ≃ x ln x − x untuk mencari ln W.Jawab 1. Bentuk ln j xj = j ln xj, sehinggaln W = lnN!jgNjjNj!43
  54. 54. 44 CATATAN 8. TERMODINAMIKA GAS IDEAL MONOATOMIK= ln N! + lnjgNjjNj!= ln N! +jlngNjjNj!= ln N! +jln gNjj − ln Nj!= ln N! +jNj ln gj −jln Nj!≃ (N ln N − N) +jNj ln gj −j(Nj ln Nj − Nj)= N ln N − N +jNj ln gj −jNj ln Nj +jNj= N ln N − N +jNj ln gj −jNj ln Nj + N= N ln N +jNj ln gj −jNj ln Nj= N ln N +jNj lngjNj. (8.2)Soal 2. Dengan menggunakan rumusan untuk mencari Wmaks pada statis-tik Maxwell-Boltzman yang memberikan Nj = gj/e−(α+βǫj)tentukan bentukln Wmaks dalam N dan U.Jawab 2. Dengan menggunakan Persamaan (8.2) untuk Wmaks sehinggahubungan Nj = gj/e−(α+βǫj)dapat digunakan, diperolehln W = N ln N +jNj lngjNj⇒ ln Wmaks = N ln N +jNj ln e−(α+βǫj)= N ln N +jNj[−(α + βǫj)]= N ln N − αjNj − βjNjǫj= N ln N − αN − βU. (8.3)Soal 3. Ubahlah Persamaan (8.3) dengan menggunakan A = eαdan β =−1/kT .Jawab 3. Dapat dituliskan bahwa
  55. 55. 8.2. FUNGSI PARTISI BOLTZMANN 45ln Wmaks = N ln N − αN − βU= N ln N − (ln A)N +UkT= N lnNA+UkT.8.2 Fungsi partisi BoltzmannSuatu fungsi partisi didefinisikan sebagai Z = N/A.Soal 4. Rumuskan bentuk fungsi partisi Z dengan menggunakan j Nj daneα.Jawab 4. Dapat dituliskan bahwaZ =NA≡j Njeα=j gj/e−(α+βǫj)eα=j gje(α+βǫj)eα=eαj gjeβǫjeα=jgjeβǫj=jgje−ǫj /kT. (8.4)Persamaan (8.4) ini disebut sebagai fungsi partisi Boltzmann (atau fungsi par-tisi) sebuah partikel dalam suatu suatu sistem. Istilah ini digunakan karenadalam ekspresi Z, setiap suku dalam somasi mementukan bagaimana partikeldalam sistem didistribusikan atau dipartisikan di antara (pada) tingkat-tingkatenergi.Soal 5. Dengan menggunakan perumusan Boltzmann untuk entropi, tentukanbentuk dari S yang bergantung pada Z.Jawab 5. Perumusan Boltzmann untuk entropi adalah S = k ln Wmaks sehinggaS = k ln Wmaks= k N lnNA+UkT= k N ln Z +UkT
  56. 56. 46 CATATAN 8. TERMODINAMIKA GAS IDEAL MONOATOMIK= Nk ln Z +UT. (8.5)Soal 6. Energi bebas Helmholtz didefinisikan sebagai F = U − T S. Gunakanekspresi tersebut untuk membuat fungsi F = F(N, T, Z)/Jawab 6. Dengan menggunakan Persamaan (8.5) dapat dituliskanS = Nk ln Z +UTT S = NkT ln Z + U−NkT ln Z = U − T S−NkT ln Z = F. (8.6)Soal 7. Hitunglah energi dalam U dari energi bebas Helmholtz F denganmenggunakan rumusanU = −T 2 ∂(F/T )∂T V(8.7)dan Z = V (2πmkT )32 /h3.Jawab 7. Dengan menggunakan Persamaan (8.6) dan (8.7) dapat dituliskanU = −T 2 ∂(F/T )∂T V= −T 2 ∂(−NkT ln Z/T )∂T V= T 2 ∂(Nk ln Z)∂T V= T 2Nk∂ ln[V (2πmkT )32 /h3]∂TV= T 2Nk∂ ln[V (2πmkT )32 ]∂T−∂ ln h3∂TV= T 2Nk1V (2πmkT )3232(2πmkT )12 2πmk − 0= T 2Nk32T=32NkT.Soal 8. Turunkan ekspresi
  57. 57. 8.3. TEKANAN DAN KALOR JENIS 47U = NkT 2 ∂ ln Z∂T V(8.8)dari U = Nǫ, N = j Nj, U = j ǫjNj, Nj = gjAe−ǫj /kT, dan Z =j gje−ǫj /kT.Jawab 8. Dengan menggunakan persamaan-persamaan di atas dapat dituliskanbahwaU = Nǫ = NUN= Nj ǫjNjj Nj= Nj ǫjgjAe−ǫj /kTj gjAe−ǫj/kT= Nj ǫjgje−ǫj/kTj gje−ǫj /kT=NZ jǫjgje−ǫj /kT=NZ jgj kT 2 ∂(e−ǫj/kT)∂T= kT 2 NZ∂∂T jgje−ǫj/kT= kT 2 NZ∂Z∂T V= NkT 2 ∂ ln Z∂T V.Soal 9. Turunkan Persamaan (8.8) dari Persamaan (8.7).Jawab 9. Dengan menggunakan kedua persamaan yang disebutkan dalam soal,dapat dituliskan bahwaU = −T 2 ∂(F/T )∂T V= −T 2 ∂(−NkT ln Z/T )∂T V= T 2 ∂(Nk ln Z)∂T V= NkT 2 ∂ ln Z∂T V.8.3 Tekanan dan kalor jenisMelalui definisi energi bebas HelmholtzF = U − T S
  58. 58. 48 CATATAN 8. TERMODINAMIKA GAS IDEAL MONOATOMIKdapat diperoleh bahwa secara umumdF = dU − T dS − SdT.Dengan menggunakan hubungandQ = dU + pdVdandQ = T dSmaka dapat diperolehdF = −pdV − SdT. (8.9)Dari persamaan terakhir ini dapat diturunkan p dan S sebagai fungsi dari F.Soal 10. Tentukanlah ungkapan p dan S dari F.Jawab 10. Dengan menggunakan Persamaan (8.9) dapat dituliskan bahwap = −∂F∂V T(8.10)danS = −∂F∂T V. (8.11)Soal 11. Tentukanlah ungkapan U sebagai fungsi dari F. Bila perlu gunakanpula hubungan β = −1/kT .Jawab 11. Dengan menggunakan Persamaan (8.11) dan definisi energi bebasHelmholtz F = U − T S dapat diperolehF = U − T S = U + T∂F∂T VU = F − T∂F∂T V= −T 2 ∂(F/T )∂T V=∂(βF)∂β V(8.12)Soal 12. Dengan menggunakan definisi dari kapasitas panas pada volume tetap
  59. 59. 8.4. PERSAMAAN KEADAAN 49CV =∂U∂T V(8.13)tentukanlah CV dari F. Bila perlu gunakan pula hubungan β = −1/kT .Jawab 12. Dengan segera dapat diperoleh bahwaCV =∂U∂T V=∂∂T−T 2 ∂(F/T )∂T V V= −2T∂(F/T )∂T V− T 2 ∂∂T∂(F/T )∂T V V= 2TFT 2−1T∂F∂T V+ T 2 ∂∂TFT 2−1T∂F∂T V V= 2FT− 2∂F∂T V+∂F∂T V− 2FT+∂F∂T V− T∂2F∂T 2V= −T∂2F∂T 2V= −kβ2 ∂2(βF)∂β2V.8.4 Persamaan keadaanDengan menggunakanZ =V (2πmkT )32h3,p = −∂F∂V TdanF = −NkT ln Zdapat diperolehp =NkTVyang merupakan persamaan keadaan gas ideal monotomik.
  60. 60. 50 CATATAN 8. TERMODINAMIKA GAS IDEAL MONOATOMIK8.5 Referensi1. A. J. Pointon, ”An Introduction to Statistical Physics for Students”, Long-mans, First Print, 86-93 (1967)
  61. 61. Catatan 9Paradoks GibbSaat dua jenis gas berbeda dengan entropi masing-masing dicampur, maka en-tropi campuran adalah penjumlahan kedua entropi semula. Lalu bagaimanaapabila kedua gas tersebut adalah jenis yang sama? Ternyata entropinyabukanya hanya penjumlahan dari kedua entropi semula melainkan terdapat su-atu suku tambahan. Untuk itu perumusan gas klasik perlu diperbaiki den-gan menggunakan perumusan semi-klasik [1]. Dalam catatan ini gas yangdibicarakan adalah gas ideal monoatomik tanpa adanya struktur di dalamnya.9.1 Entropi gas klasikDengan menggunakan perumusan entropi S dari energi bebas Helmholtz FS = −∂F∂T V, (9.1)kaitan antara energi bebas Helmholtz F dengan fungsi partisi ZF = −NkT ln Z, (9.2)dan bentuk eksplisit fungsi partisi BoltzmannZ =V (2πmkT )32h3, (9.3)dapat diperoleh bentuk eksplisit dari entropi yang bergantung dari jumlah par-tikel N, volume gas V , dan temperatur gas T , yaitu51
  62. 62. 52 CATATAN 9. PARADOKS GIBBS = Nk lnV (2πmkT )32h3+32Nk. (9.4)Di sini m adalah massa satu partikel gas, k adalah konstanta Boltzmann, danh adalah konstanta Planck.Soal 1. Turunkan Persamaan (9.4).Jawab 1. Dapat dituliskan bahwaS = −∂F∂T V= −∂(−NkT ln Z)∂T V=∂(NkT ln Z)∂T V= Nk ln Z +NkTZ∂Z∂T V= Nk lnV (2πmkT )32h3+NkTV (2πmkT )32 /h3∂∂TV (2πmkT )32h3V= Nk lnV (2πmkT )32h3+NkT h3V (2πmkT )32V (2πmk)32h3d(T32 )dT= Nk lnV (2πmkT )32h3+NkTT3232T12= Nk lnV (2πmkT )32h3+32Nk.9.2 Pencampuran dua gas berbeda jenisSebuah sistem terdiri dari dua ruangan yang masing-masing terisi oleh satujenis gas. Gas 1 yang memiliki jumlah partikel N1, dengan massa tiap par-tikel m1, menempati ruangan bervolume V , bertemperatur T , dan bertekananp. Sedangkan gas 2 yang menempati ruangan bervolume, bertemperatur, danbertekanan sama dengan gas 1, akan tetapi memiliki jumlah partikel N2 danmassa tiap partikelnya adalah m2. Terdapat sekat yang memisahkan ruangankedua jenis gas tersebut.Soal 2. Hitunglah entropi total sistem sebelum kedua jenis gas bercampur.Jawab 2. Dengan menggunakan Persamaan (9.4) dapat dihitung entropimasing-masing gas, yaitu S1 dan S2 dan entropi total sistem S
  63. 63. 9.2. PENCAMPURAN DUA GAS BERBEDA JENIS 53S = Nk lnV (2πmkT )32h3+32Nk,⇒ S1 = N1k lnV (2πm1kT )32h3+32N1k,⇒ S1 = N2k lnV (2πm2kT )32h3+32N2k,⇒ S = S1 + S2.Soal 3. Hitunglah entropi total sistem setelah kedua jenis gas bercampur.Jawab 3. Setelah sekat pemisah ruangan kedua jenis gas dihilangkan makakedua jenis gas akan bercampur. Mengingat tekanan dan temperatur awal keduagas adalah sama, maka partikel-partikel kedua gas akan memiliki temperaturdan tekanan campuran yang sama pula. Hanya saja setelah tercampur, masing-masing partikel kedua gas akan melihat voume ruangan menjadi dua kali volumesemula. Dengan demikianS′= Nk lnV ′(2πmkT )32h3+32Nk,⇒ S′1 = N1k ln2V (2πm1kT )32h3+32N1k,⇒ S′1 = N2k ln2V (2πm2kT )32h3+32N2k,⇒ S′= S′1 + S′2.Soal 4. Hitunglah perubahan entropi sistem ∆S.Jawab 4. Perubahan entropi sistem ∆S = S′− S sehingga∆S = S′− S = (S′1 + S′2) − (S1 + S2) = (S′1 − S1) + (S′2 − S2)= ∆S1 + ∆S2.⇒ ∆S1 = N1k ln2V (2πm1kT )32h3+32N1k− N1k lnV (2πm1kT )32h3+32N1k= N1k ln 2.⇒ ∆S2 = N2k ln 2.⇒ ∆S = (N1 + N2)k ln 2.
  64. 64. 54 CATATAN 9. PARADOKS GIBB9.3 Pencampuran gas sejenis: paradoks GibbBagaimana bila gas yang dicampur memiliki jenis yang sama? Suatu fenomenayang disebut sebagai paradoks Gibb muncul di sini. Sistem yang ditinjau samadengan sistem sebelumnya, hanya saja dalam hal ini kedua gas berjenis sama.Dan karena dijaga agar tekanan p, temperatur T , dan volume V sama, makadengan m1 = m2 = m akan terpenuhi bahwa N1 = N2 = N.Soal 5. Hitunglah entropi total sistem sebelum kedua gas berjenis sama bercam-pur.Jawab 5. Dengan menggunakan Persamaan (9.4) dapat dihitung entropimasing-masing gas, yaitu S1 dan S2 dan entropi total sistem SS = Nk lnV (2πmkT )32h3+32Nk,⇒ S1 = Nk lnV (2πmkT )32h3+32Nk,⇒ S2 = Nk lnV (2πmkT )32h3+32Nk,⇒ S = S1 + S2 = 2S1 = 2S2.Soal 6. Hitunglah entropi total sistem setelah kedua gas berjenis sama bercam-pur.Jawab 6. Setelah sekat pemisah ruangan kedua jenis gas dihilangkan makakedua gas akan bercampur. Mengingat tekanan dan temperatur awal keduagas adalah sama, maka partikel-partikel kedua gas akan memiliki temperaturdan tekanan campuran yang sama pula. Hanya saja setelah tercampur, masing-masing partikel kedua gas akan melihat voume ruangan menjadi dua kali volumesemula. Dengan demikianS′= Nk lnV ′(2πmkT )32h3+32Nk,⇒ S′1 = Nk ln(2V )(2πmkT )32h3+32Nk,⇒ S′1 = Nk ln(2V )(2πmkT )32h3+32Nk,⇒ S′= S′1 + S′2 = 2S′1 = 2S′2.Soal 7. Hitunglah perubahan entropi sistem ∆S.
  65. 65. 9.4. GAS IDEAL SEMI-KLASIK 55Jawab 7. Perubahan entropi sistem ∆S∆S = ∆S1 + ∆S2.⇒ ∆S1 = Nk ln2V (2πmkT )32h3+32Nk− Nk lnV (2πmkT )32h3+32Nk= Nk ln 2.⇒ ∆S2 = Nk ln 2.⇒ ∆S = 2Nk ln 2.Di sini diperoleh bahwa ∆S = 2Nk ln 2 dan bukan ∆S = 0, padahal kedua gasadalah jenis gas yang sama. Ketidakcocokan ini disebut sebagai paradok Gibb.9.4 Gas ideal semi-klasikPeluang suatu keadaan makro gas ideal klasik yang semula menggunakan statis-tik Maxwell-BoltzmannWMB = N!jgNjjNj!dapat dikoreksi dengan menggunakan statistik kuantum, yang seharusnya tetapmemperhatikan sifat statistik dari partikel gas – apakah bersifat sebagai bosonatau fermin, sehingga menjadi menjadi peluang termodinamika suatu keadaanmakro semi-klasikWSK =jgNjjNj!. (9.5)Dengan menggunakan dua pengali tak tentu Lagrange α dan β dapat diperolehbahwaWmaks =UkT− αN + N,dan dengan S = k ln Wmaks dapat dituliskanS = Nk lnV (2πmkT )32Nh3+52Nk, (9.6)
  66. 66. 56 CATATAN 9. PARADOKS GIBBdengan menggunakan fungsi partisi Boltzmann yang sama Z = V (2πmkT )32 /h3.Soal 8. Hitunglah entropi sistem yang terdiri dari dua gas berjenis sama sepertidalam soal sebelumnya, saat sebelum dan sudah dicampur. Hitung pula peruba-han entropinya.Jawab 8. Saat sebelum dicampur, dengan menggunakan Persamaan (9.6) dapatdiperolehS = Nk lnV (2πmkT )32Nh3+52Nk,⇒ S1 = Nk lnV (2πmkT )32Nh3+52Nk,⇒ S2 = Nk lnV (2πmkT )32Nh3+52Nk,⇒ S = S1 + S2 = 2S1 = 2S2,sedangkan saat setelah dicampurS′= N′k lnV (2πmkT )32N′h3+52N′k,⇒ S′= S1 + S2 = (2N)k ln(2V )(2πmkT )32(2N)h3+52(2N)k,= 2S2 = 2S1,sehingga perubahan entropinya menjadi∆S = S′− S,= 2S1 − 2S1 = 2S2 − 2S2 = 0.Dengan menggunakan statistik semi-klasik, telah ditunjukkan bahwa paradoksGibb tidak lagi muncul saat dua gas berjenis sama dicampurkan.9.5 Referensi1. A. J. Pointon, ”An Introduction to Statistical Physics for Students”, Long-mans, First Print, 93-99 (1967)
  67. 67. Catatan 10Statistik Fermi-Dirac: Njdan ∆S[20100629] Peluang termodinamika suatu keadaan makro-k dalam sistem yangmemenuhi statistik Fermi-Dirac diberikan olehWk =jgj!nj!(gj − nj)!, (10.1)dengan gj adalah degenerasi tingkat energi j yang memiliki energi ǫj dalamkeadaan makro k dan nj adalah jumlah partikel yang menempati tingkat energi jjuga dalam keadaan makro k tersebut. Dalam statistik Fermi-Dirac hanya bolehterdapat satu partikel atau tidak ada partikel yang menempati satu keadaanenergi. Jumlah keadaan energi dalam satu tingkat energi j ditunjukkan dengannilai degenerasi tingkat energi tersebut gj.Bilangan okupasi rata-rata setiap tingkat energi j dapat diperoleh lewatNj =1ΩkWkNjk. (10.2)Terdapat suatu sistem yang terdiri dari 5 partikel mematuhi statistik Fermi-Dirac. Terdapat empat tingkat energi yang diperhitungkan, yaitu ǫ1 = 2ǫ, ǫ2 =3ǫ, ǫ3 = 4ǫ, dan ǫ4 = 5ǫ. Degenerasi masing-masing tingkat energi bergantungdari volume sistem V dan energi total sistem tergantung dari temperatur sistemT .57
  68. 68. 58 CATATAN 10. STATISTIK FERMI-DIRAC: NJ DAN ∆S10.1 Soal1. Tuliskan semua kemungkinan kelima partikel tersebut didistribusikan padakeempat tingkat energi sehingga memberikan U = 19ǫ dan U = 17ǫ tanpamemperhatikan statistik yang digunakan.2. Pada titik a dalam ruang parameter V − T , sistem memiliki temperaturTa, volume Va, dan energi total Ua = 19ǫ. Degenerasi tingkat-tingkatenergi sistem pada keadaan ini adalah g1 = 1, g2 = 3, g3 = 4, dan g4 = 6.Lengkapilah tabel berikut ini.j ǫj/ǫ gjkNj1 2 3 4 5 6 7Njk4 53 42 31 2WkΩHitunglah entropi sistem Sa dengan menggunakan rumusan Planck.3. Pada titik a dalam ruang parameter V − T , sistem memiliki temperaturTb = Ta, volume Vb < Va, dan energi total Ua = 19ǫ. Degenerasi tingkat-tingkat energi sistem pada keadaan ini adalah g1 = 1, g2 = 2, g3 = 3, dang4 = 5. Lengkapilah tabel berikut ini.j ǫj/ǫ gjkNj1 2 3 4 5 6 7Njk4 53 42 31 2WkΩHitunglah entropi sistem Sb dengan menggunakan rumusan Planck.4. Pada titik a dalam ruang parameter V − T , sistem memiliki temperaturTc < Tb, volume Vc < Vb, dan energi total Ua = 17ǫ. Degenerasi tingkat-tingkat energi sistem pada keadaan ini adalah g1 = 1, g2 = 2, g3 = 3, dang4 = 5. Lengkapilah tabel berikut ini.
  69. 69. 10.1. SOAL 59j ǫj/ǫ gjkNj1 2 3 4 5 6 7Njk4 53 42 31 2WkΩHitunglah entropi sistem Sc dengan menggunakan rumusan Planck.5. Pada titik a dalam ruang parameter V − T , sistem memiliki temperaturTd = Tc, volume Vd = Va, dan energi total Ua = 17ǫ. Degenerasi tingkat-tingkat energi sistem pada keadaan ini adalah g1 = 1, g2 = 3, g3 = 4, dang4 = 6. Lengkapilah tabel berikut ini.j ǫj/ǫ gjkNj1 2 3 4 5 6 7Njk4 53 42 31 2WkΩHitunglah entropi sistem Sd dengan menggunakan rumusan Planck.6. Gambarkan keempat titik a, b, c, dan d dalam ruang parameter V − Tdan tentukanlah proses dari titik mana ke titik mana yang mungkin terjadiapabila hanya entropi sistem yang ditinjau. Apa syaratnya?
  70. 70. 60 CATATAN 10. STATISTIK FERMI-DIRAC: NJ DAN ∆S10.2 Jawab1. Agar diperoleh U = 19ǫ kelima partikel dapat disusun seperti tampakdalam Tabel 10.1 berikut. Sedangkan untuk U = 17ǫ dapat dilihat dalamTabel 10.2.Tabel 10.1: Susunan yang mungkin kelima partikel pada empat tingkat energidengan U = 19ǫ.j ǫj/ǫk1 2 3 4 5 6Njk4 5 2 1 0 1 2 33 4 1 3 4 2 0 02 3 1 0 1 2 3 01 2 1 1 0 0 0 2Uk/ǫ 19 19 19 19 19 19Tabel 10.2: Susunan yang mungkin kelima partikel pada empat tingkat energidengan U = 17ǫ.j ǫj/ǫk1 2 3 4 5 6Njk4 5 0 1 2 1 0 13 4 3 1 0 0 2 22 3 1 2 1 4 3 01 2 1 1 2 0 0 2Uk/ǫ 17 17 17 17 17 172. Dengan degenerasi tingkat-tingkat energi sistem pada Ta dan Va adalahg1 = 1, g2 = 3, g3 = 4, dan g4 = 6 maka dapat diperoleh penempatanyang mungkin bagi kelima partikel adalah seperti dalam Tabel 10.3.W1 =6!2!(6 − 2)!·4!1!(4 − 1)!·3!1!(3 − 1)!·1!1!(1 − 1)!= 15 · 4 · 3 · 1 = 180W2 =6!1!(6 − 1)!·4!3!(4 − 3)!·3!0!(3 − 0)!·1!1!(1 − 1)!= 6 · 4 · 1 · 1 = 24W3 =6!0!(6 − 0)!·4!4!(4 − 4)!·3!1!(3 − 1)!·1!0!(1 − 0)!= 1 · 1 · 3 · 1 = 3W4 =6!1!(6 − 1)!·4!2!(4 − 2)!·3!2!(3 − 2)!·1!0!(1 − 0)!= 6 · 6 · 3 · 1 = 108W5 =6!2!(6 − 2)!·4!0!(4 − 0)!·3!3!(3 − 3)!·1!0!(1 − 0)!= 15 · 1 · 1 · 1 = 15Ω = 180 + 24 + 3 + 108 + 15 = 330
  71. 71. 10.2. JAWAB 61N1 =1270(180 · 1 + 24 · 1 + 3 · 0 + 108 · 0 + 15 · 0) =204330= 0.618N2 =1270(180 · 1 + 24 · 0 + 3 · 1 + 108 · 2 + 15 · 3) =444330= 1.345N3 =1270(180 · 1 + 24 · 3 + 3 · 4 + 108 · 2 + 15 · 0) =480330= 1.455N4 =1270(180 · 2 + 24 · 1 + 3 · 0 + 108 · 1 + 15 · 2) =522330= 1.582N = 0.618 + 1.345 + 1.455 + 1.582 = 5Tabel 10.3: Susunan yang mungkin kelima partikel pada empat tingkat energidengan U = 19ǫ dan g1 = 1, g2 = 3, g3 = 4, dan g4 = 6.j ǫj/ǫ gjkNj1 2 3 4 5 6Njk4 5 6 2 1 0 1 2 - 0.6183 4 4 1 3 4 2 0 - 1.3452 3 3 1 0 1 2 3 - 1.4551 2 1 1 1 0 0 0 - 1.582Wk 180 24 3 108 15 - 330Ω3. Dengan degenerasi tingkat-tingkat energi sistem pada Tb = Ta dan Vb < Vaadalah g1 = 1, g2 = 2, g3 = 3, dan g4 = 5 maka dapat diperoleh pen-empatan yang mungkin bagi kelima partikel adalah seperti dalam Tabel10.4.W1 =5!2!(5 − 2)!·3!1!(3 − 1)!·2!1!(2 − 1)!·1!1!(1 − 1)!= 10 · 3 · 2 · 1 = 60W2 =5!1!(5 − 1)!·3!3!(3 − 3)!·2!0!(2 − 0)!·1!1!(1 − 1)!= 5 · 1 · 1 · 1 = 5W4 =5!1!(5 − 1)!·3!2!(3 − 2)!·2!2!(2 − 2)!·1!0!(1 − 0)!= 5 · 3 · 1 · 1 = 15Ω = 60 + 5 + 15 = 80N1 =180(60 · 1 + 5 · 1 + 15 · 0) =6580= 0.8125N2 =180(60 · 1 + 5 · 0 + 15 · 2) =9080= 1.1250
  72. 72. 62 CATATAN 10. STATISTIK FERMI-DIRAC: NJ DAN ∆SN3 =180(60 · 1 + 5 · 3 + 15 · 2) =10580= 1.3125N4 =180(60 · 2 + 5 · 1 + 15 · 1) =14080= 1.7500N = 0.8125 + 1.1250 + 1.3125 + 1.7500 = 5Tabel 10.4: Susunan yang mungkin kelima partikel pada empat tingkat energidengan U = 19ǫ dan g1 = 1, g2 = 2, g3 = 3, dan g4 = 5.j ǫj/ǫ gjkNj1 2 3 4 5 6Njk4 5 5 2 1 - 1 - - 1.7500s3 4 3 1 3 - 2 - - 1.31252 3 2 1 0 - 2 - - 1.12501 2 1 1 1 - 0 - - 0.8125Wk 60 5 - 15 - - 80Ω
  73. 73. Catatan 11Tingkat dan KeadaanEnergiSuatu sistem kuantum memiliki diskritisasi energi. Dapat dibedakan antaratingkat energi (energy levels) dan keadaan energi (energy sates). Sebagai ilus-trasi beberapa sistem dengan konfigurasi yang berbeda akan ditunjukkan. Isti-lah degenerasi pun akan digunakan dalam bab ini.11.1 Tingkat EnergiTingkat energi atau level energi (energy level) adalah susunan tingkat-tingkatdi mana energi pada tingkat-tingkat tersebut berbeda. Dalam buku ini suatutingkat energi diberi label j dan besar energi pada suatu tingkat adalah ǫj.11.2 Keadaan EnergiDalam satu tingkat energi terdapat semacam ruang-ruang yang memiliki energihampir sama dan dinamakan sebagai keadaan-keadaan energi.63
  74. 74. 64 CATATAN 11. TINGKAT DAN KEADAAN ENERGI
  75. 75. Catatan 12Keadaan Makro dan Mikro65
  76. 76. 66 CATATAN 12. KEADAAN MAKRO DAN MIKRO
  77. 77. Catatan 13Peluang TermodinamikaDalam suatu sistem yang terisolasi dan tertutup jumlah energi sistem E tetapdan jumlah partikel dalam sistem N tetap. Dengan berevolusinya waktu, in-teraksi antar partikel dalam suatu sistem yang terisolasi dan tertutup men-gakibatkan perubahan jumlah partikel yang menempati suatu tingkat energidan dapat juga terjadi perubahan keadaan energi dari setiap partikel. Untuksistem berupa gas interaksi yang dimaksud dapat berupa tumbukan antar par-tikel gas atau dengan wadahnya sedangkan untuk molekul-molekul kristas dapatberupa pertukaran energi. Berbagai bentuk interaksi ini menghasilkan peruba-han keadaan mikro dari sistem yang tetap harus memenuhi syarat tetapnya Edan N.13.1 Postulat termodinamika statistikPostulat fundamental dair termodinamika statistik menyatakan bahwa semuakeadaan mikro yang mungkin muncul dari suatu sistem terisolai adalah samapeluangnya. Terdapat dua cara untuk melakukan intepretasi dari postulat ini.Cara pertama adalah dengan membayangkan sistem telah diamati dalam suaturentang waktu t yang cukup lama sehingga setiap keadan mikro dari suatu sis-tem yang terisolasi telah muncul amat sering. Bila ∆t adalah total waktu sistemberada pada suatu keadaan mikro yang mungkin, maka postulat ini menyatakanbahwa rentang waktu ∆t adalah sama untuk semua keadaan mikro.Sebagai alternatif, cara kedua dapat dipergunakan di mana dibayangkan ter-dapat sejumlah salinan atau replika dari sistem (sebuah ensemble) yang jum-lahnya adalah N. Pada suatu saat pengamatan, terdapat sejumlah ∆N replikayang berada dalam keadaan mikro yang sama. Postulat termodinamika statistikmenyatakan bahwa jumlah ∆N adalah sama untuk semua keadaan mikro.Postulat ini terlihat tidak diturunkan suatu prinsip fundamental apapun se-hingga tidak dapat diverifikasi menggunakan eksperimen. Justifikasi kebenaran67
  78. 78. 68 CATATAN 13. PELUANG TERMODINAMIKApostulat ini terletak pada ketepatan kesimpulan yang dapat ditarik.13.2 Peluang termodinamikaSejumlah keadaan mikro akan membentuk satu keadaan makro. Jumlah darisemua keadaan mikro yang mungkin bagi suatu keadaan makro k disebut sebagaipeluang termodinamika Wk dari keadaan makro tersebut. Suatu asembli denganbanyak partikel, peluang termodinamika akan bernilai besar.Jumlah total keadaan mikro yang mungkin untuk suatu asembli, atau dapatdikatakan sebagai peluang termodinamika asembli tersebut, adalah jumlah pelu-ang termodinammika keadaan makro dari semua keadaan makro dalam asemblitersebutΩ =kWk. (13.1)Persamaan (13.1) dapat dijelaskan dengan ilustrasi sebagai berikut. Misalkansaja dalam suatu sistem terdapat Ω keadaan mikro. Jumlah keadaan mikroyang dapat membentuk keadaan makro pertama adalah W1 (peluang termodi-namika keadaan makro pertama), jumlah keadaan mikro yang dapat memben-tuk keadaan makro kedua adalah W2 (peluang termodinamika keadaan makrokedua), dan seterusnya. Dengan demikian jumlah seluruh keadaan mikro dalamsistem tersebut tak lain adalah jumlah peluang termodinammika keadaan makrodari semua keadaan makro dalam asembli tersebut.Untuk sistem dengan aturan yang berbeda, peluang termodinamika suatukeadaan makro Wk, akan berbeda pula cara perhitungannya. Pada bagianstatistik Fermi-Dirac, Bose-Einstein, dan Maxwell-Boltzmann, akan diperli-hatkan bagaimana menghitung Wk untuk ketiga kasus tersebut.13.3 Observabel dan rata-rata bilangan okupasiSifat atau properti suatu observabel suatu sistem makroskopik bergantung padanilai rata-rata terhadap waktu dari properti atau sifat mikroskopik sistem terse-but. Sebagai contoh, tekanan suatu gas bergantung pada nilai rata-rata ter-hadap waktu dari transpor momentum pada suatu luasan. Melalui postulatfundmental yang telah dibahas pada bagian sebelumnya, properti observabelsuatu sistem makroskopik akan pula bergantung pada nilai rata-rata propertimikroskopik dari banyak replika suatu asembli yang diamati hanya pada suatuwaktu.Kemudian tujuan dari teori statistik adalah mencari bagaimana menurunkanekspresi jumlah rata-rata dari partikel Nj yang menempati tingkat energi j
  79. 79. 13.3. OBSERVABEL DAN RATA-RATA BILANGAN OKUPASI 69yang diperbolehkan dalam suatu asembli. Ekspresi yang akan diturunkan inidisebut sebagai rata-rata bilangan okupasi pada tingkat (energi) j.Misalkan Njk adalah bilangan okupasi tingkat j dalam keadaan makro k. Nilarata-rata kelompok (grup) bilangan okupasi pada tingkat j, Ngj , diperoleh den-gan mengalikan Njk dengan jumlah replika pada keadaan makro k, Wk∆Ndan dijumlahkan untuk seluruh keadaan makro dalam asembli, dibagi denganjumlah replika N, yaituNgj =1NkNjkWk∆N. (13.2)Akan tetapiN =kWk∆N, (13.3)di mana ∆N sama untuk semua keadaan makro sehinggaNgj = k NjkWkk Wk=1ΩkNjkWk, (13.4)di mana rumusan untuk menghitung Ω diperoleh dari Persamaan (13.1).Dengan cara yang serupa dapat dicari rata-rata waktu dari bilangan okupasipada tingkat (energi) j. Sebagaimana telah dijelaskan dalam postulat funda-mental termodinamika statistik bahwa semua keadaan mikro memiliki peluangyang sama untuk muncul, yang artinya bahwa apabila sistem diamati untuk su-atu rentang waktu yang lama t maka setiap keadaan mikro akan muncul dalamrentang waktu total ∆t yang sama. Total durasi waktu suatu asembli beradapada keadaan makro k tak lain adalah perkalian dari rentang waktu ∆t denganjumlah keadaan mikro Wk dalam keadaan makro tersebut. Jumlah dari semuahasi perkalian ini untuk seluruh keadaan makro adalah sama dengan total waktupengamatan t,t =kWk∆t. (13.5)Kemudian nilai rata-rata waktu bilangan okupasi pada tingkat j, Ntj, diperolehdengan mengalikan bilakang okupasi pada tingkat j pada keadaan makro k, Njkdengan waktu asembli tersebut pada keadaan makro k, Wk∆t, dijumlahkan un-tuk seluruh keadaan makro dalam asembli tersebut, dan hasilnya dibagi dengantotal waktu pengamatan t, yaituNtj =1tkNjkWk∆t. (13.6)
  80. 80. 70 CATATAN 13. PELUANG TERMODINAMIKADengan mempergunakan Persamaan (13.5) dan postulat bahwa ∆t sama untuksemua keadaan mikro, maka Persamaan (13.6) dapat dituliskan kembali menjadiNtj = k NjkWkWk=1ΩkNjkWk. (13.7)Jadi apabila semua keadaan mikro memiliki peluang yang sama untuk munculmaka rata-rata kelompok bilangan okupasi pada tingkat j sama dengan rata-rata waktu bilangan okupasi pada tingkat j,Ntj = Ngj . (13.8)seperti telah ditunjukkan dalam Persamaan (13.4) dan (13.7). Selanjutnya ke-dua besaran yang sama ini akan dirujuk sebagai rata-rata bilangan okupasi padatingkat j, yaitu Nj.
  81. 81. Catatan 14Pengali α dan βPada bab sebelumnya telah ditunjukkan bagaimana bentuk peluang termodi-namik Wk setiap keadaan makro k untuk ketiga jenis statistik, yaitu statistikMaxwell-Boltzmann (MB), statistik Bose-Einstein (BE), dan statistik Fermi-Dirac (FD).14.1 Peluang termodinamik suatu keadaanmakroBila terdapat sejumlah tingkat energi j yang memiliki energi ǫj dengan jumlahkeadaan energi atau degenerasi pada masing-masing tingkat energi adalah gj,maka untuk statistik MB bentuk peluang termodinamik suatu keadaan makro-nya adalahWMB = N!jgNjjNj!, (14.1)untuk statistik BE adalahWBE =j(gj + Nj − 1)!(gj − 1)!Nj!, (14.2)dan untuk statistik FD adalahWFD =jgj!(gj − Nj)!Nj!. (14.3)71
  82. 82. 72 CATATAN 14. PENGALI α DAN β14.2 Keadaan makro yang paling mungkinDengan menggunakan pengali tak tentu Lagrange α dan β untuk mencarikeadaan makro yang memiliki keadaan mikro yang paling besar, digunakanhubungand ln W + αdN + βdE = 0, (14.4)dengan syaratN =jNj ⇒ dN =jdNj = 0, (14.5)E =jǫjNj ⇒ E =jǫjdNj = 0. (14.6)Selanjutnya dapat diperoleh keadaan makro yang paling mungkin dari ketigastatistik, atau disebut distribusi dari statistik tersebut. Distribusi MB memilikibentukNMBj =gje−(α+βǫj), (14.7)distribusi BE memiliki bentukNBEj =gje−(α+βǫj) − 1, (14.8)dan distribusi FD memiliki bentukNFDj =gje−(α+βǫj) + 1. (14.9)14.3 Fungsi distribusi dalam bentuk diferensialSetelah konstanta pengali α dan β diintepretasikan secara fisis dan diterap-kan pada gas, masing-masing distribusi dari masing-masing statistik dapat dit-uliskan dalam bentuk diferensial, yaitu untuk distribusi MB menjadi,NMB(ǫ)dǫ =2πN(πkT )3/2ǫ1/2dǫeǫ/kT(14.10)distribusi BE menjadi
  83. 83. 14.4. PENGALI β 73NBE(ǫ)dǫ =2π(2m)3/2Vh3ǫ1/2dǫ1A eǫ/kT − 1, A =Nh3V (2πmkT )3/2, (14.11)dan distribusi FD menjadiNFD(ǫ)dǫ =4π(2m)3/2Vh3ǫ1/2dǫe(ǫ−ǫF )/kT − 1, ǫF (0) =h22m3N8πV2/3. (14.12)14.4 Pengali βTerdapat berbagai kriteria untuk menentukan bagaimana arti sebenarnya daripengali β. Dikarenakan jumlah partikel yang memiliki energi tak hingga harus-lah nol maka Persamaan (14.7), (14.8), dan (14.9) memperkirakan bahwa nilaiβ haruslah lebih kecil dari nol dengan syarat dalam bagian kanan Persamaan(14.5) dan (14.6).Pendekatan dengan salah satu sudut pandang termodinamika dapat men-gungkapkan bagaimana sifat dari pengali β. Untuk itu dimisalkan terdapatdua buah sistem, yang masing-masing tersusun atas N′dan N′′partikel, yangsaling kontak sehingga dapat bertukar energi tetapi tidak bertukar partikel ataudua buah sistem yang memenuhi kondisidN′= 0, dN′′= 0, dE = 0. (14.13)Dengan demikian energi total kedua sistem tak lain adalahE =jǫ′jN′j +jǫ′′j N′′j . (14.14)Selanjutnya kondisi dalam Persamaan (14.5) dan (14.6) akan menjadidN′=jdN′j = 0, dN′′=jdN′′j = 0, (14.15)dandE =jǫ′jdN′j +jǫ′′j dN′′j = 0. (14.16)Dalam bab sebelumnya telah ditunjukkan bahwa peluang termodinamik suatukeadaan makro sistem gabungan tak lain adalah perkalian peluang termodi-namik suatu keadaan makro dari masing-masing sistem, yaitu
  84. 84. 74 CATATAN 14. PENGALI α DAN βWT = W′W′′. (14.17)Dengan kembali menggunakan pengali tak tentu Lagrange, yang dalam hal inimenjadi α′, α′′, dan β, maka diperolehd ln WT + α′dN′+ α′′dN′′+ βdE = 0. (14.18)Dikarenakan W′hanya bergantung dari n′j dan juga W′′hanya bergantung darin′′j maka dapat diperoleh bahwa∂ ln W′∂N′j+ α′+ βǫ′j = 0 (14.19)dan∂ ln W′′∂N′′j+ α′′+ βǫ′′j = 0. (14.20)Persamaan (14.19) dan (14.20) mendefinisikan suatu keadaan makro yang palingmungkin muncul bagi kedua sistem penyusun sistem gabungan dan terlihatbahwa kedua keduanya bergantung dari pengali β. Dari kedua sistem hanyaterdapat satu parameter fisis yang perlu bernilai sama, karena keduanya kontaksecara termal, yaitu temperatur – sesuai dengan hukum kenol termodinamika.Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa β hanya fungsi dari temperaturβ = β(T ). (14.21)Pengali β dapat pula dilihat dari sudut pandang lain apabila dikaitkan denganperubahan energi dE. Untuk itu misalkan dalam suatu sistem diasupkan panassebesar dQ sehingga sebagian energi tersebut digunakan untuk melakukan kerjadalam bentuk ekspansi dV . Menurut hukum pertama termodinamikadE = dQ − pdV, (14.22)di mana dalam hal inidE = djǫjNj =jǫjdNj +jNjdǫj. (14.23)Suku pertama pada ruas paling kanan Persamaan (14.23) menyatakan kerjayang dilakukan sistem, di mana perubahan volume akan mengubah tingkat-tingkat energi sistem. Dengan sendirinya dǫj pada tingkat energi ǫj akan
  85. 85. 14.4. PENGALI β 75berubah. Sedangkan suku kedua terkait dari perubahan susunan partikel padamasing-masing tingkat energi dan hal ini dapat terjadi karena adanya asupanpanas. Perbandingan Persamaan (14.23) dengan Persamaan (14.22) akan mem-berikanjNjdǫj = −pdV (14.24)danjǫjdNj = dQ. (14.25)Saat kondisi kesetimbangan tercapai di mana tidak lagi terdapat perubahanvolume, substitusi Persamaan (14.25) ke dalam Persamaan (14.4) melalui Per-samaan (14.23) akan memberikand ln W + αdN + βdQ = 0. (14.26)Dengan menerapkan syarat bahwa jumlah partikel dalam sistem adalah tetapakan diperoleh bahwad ln W = −βdQ. (14.27)Selanjutnya dengan menggunakan hubungan bahwaS = k ln Ω, (14.28)dan untuk sistem dengan jumlah partikel banyak sehinggaΩ ≈ W, (14.29)sertadS =dQT, (14.30)maka dapat diperoleh bahwaβ = −1kT. (14.31)
  86. 86. 76 CATATAN 14. PENGALI α DAN β14.5 Ruang fasa enam dimensiSuatu elemen ruang fasa enam dimensi dΓ didefinisikan melalui relasi (Pointon,1967) dalam bentukdΓ = dxdydzdpxdpydpz. (14.32)Dalam Persamaan (14.32) terdapat elemen volume dalam ruang momentumdan elemen volume dalam ruang koordinat. Pertama-tama, misalkan bahwavolume dalam ruang momentum terletak antara dua nilai momentum, yaitu pdan p + dp. Bila momentum total dinyatakan dalam koordinat polar (p, θ, ϕ)maka elemen dari ruang momentum dengan rentang koordinat antara p sampaip + dp, antara θ sampai θ + dθ, dan antara ϕ sampai ϕ + dϕ adalahdVp = (dp)(pdθ)(p sin θdϕ) = p2sin θdθdϕdp. (14.33)Dengan cara yang sama apabila posisi terletak rentang koordinat antara x sam-pai x + dx, antara y sampai y + dy, dan antara z sampai z + dz, maka elemenruang koordinat tak lain adalahdV = (dx)(dx)(dz) = dxdydz. (14.34)Dengan demikian volume dalam ruang fasa yang berkorespondensi dengan mo-mentum dalam rentang koordinat antara p sampai p + dp, antara θ sampaiθ + dθ, dan antara ϕ sampai ϕ + dϕ dan posisi dalam rentang koordinat antarax sampai x + dx, antara y sampai y + dy, dan antara z sampai z + dz adalahdΓ = dxdydz p2sin θdθdϕdp. (14.35)Volume ruang momentum ∆Vp yang terletak antara p dan p + dp dan tidaklagi bergantung arah diperoleh dengan melakukan inegrasi Persamaan (14.33)terhadap seluruh nilai θ dan ϕ, yaitu∆Vp = p2dpπ0sin θdθ2π0dϕ = 4πp2dp, (14.36)yang tak lain adalah volume dari kulit bola antara p dan p + dp.Dengan demikian volume dalam ruang fasa ∆Γ yang terkait dengan ∆Vp dalamruang momentum dan volume V dalam ruang koordinat diberikan oleh∆Γ = 4πp2dpVdxdydz = 4πp2dp V. (14.37)
  87. 87. 14.6. DEGENERASI DALAM VOLUME RUANG FASA 77Dengan menggunakan hubungan antara momentum dan kecepatan (pi =mvi, i = x, y, z), elemen volume dalam ruang fasa ∆Γ untuk rentang kecepatanantara vx sampai vx + dvx, antara vy sampai vy + dvy, dan antara vz sampaivz + dvz dapat dituliskan dalam bentukdΓ = dxdydz m3dvxdvydvz ⇒ ∆Γ = m3dvxdvydvz V. (14.38)Baik dengan menggunakan hubungan p = mv dan dp = mdv dalam Persamaan(14.37) atau dvxdvydvz = 4πv2dv dalam Persamaan (14.38) dapat diperolehhubungan∆Γ = m34πv2dv V. (14.39)Selanjutnya adalah bagaimana mendifinisikan elemen ruang fasa dalam rentangenergi kinetik antara ǫ sampai ǫ + dǫ. Dengan menggunakan hubungan antaramomentum dan energi kinetik melalui p =√2mǫ sehingga dp = m/(2ǫ)dǫ,diperoleh∆Γ = 4π 2mǫ m/(2ǫ) V = 2π(2m)3/2ǫ1/2dǫ V. (14.40)14.6 Degenerasi dalam volume ruang fasaDegenerasi atau jumlah keadaan energi pada suatu tingkat energi ǫj, yaitu gjdapat diungkapkan sebagai fungsi dari ǫj, di mana umumnya suatu tingkatenergi memiliki energi antara ǫj sampai ǫj + dǫj. Dengan menggunakan asumsibahwa volume ruang fasa yang sama akan memberikan jumlah keadaan energi,yang diperbolehkan, yang sama pula. Asumsi ini dapat dijustifikasi dalam kasusmekanika kuantum, misalknya pada contoh partikel dalam kotak. Bila terdapatB keadaan energi tiap satuan volume ruang fasa sehingga sebuah elemen ruangfasa dΓ akan mengandung BdΓ keadaan energi. Degenerasi dari tingkat energij tak lain adalahgj = B(∆Γ)j, (14.41)dengan (∆Γ)j adalah volume dari ruang fasa enam dimensi yang terletak dalamrentan energi antara ǫj sampai ǫj + dǫj dan dalam volume koordinat V dalamsistem.Dengan menggunakan Persamaan (14.40) untuk tingkat energi j Persamaan(14.41) dapat dituliskan menjadigj ≡ BV 2π(2m)3/2ǫ1/2j dǫj (14.42)

×