Una introducción a la probabilidad discreta a través de la paradoja del cumpleaños. Se muestran los conceptos básicos de la probabilidad y se muestran ejemplos y ejercicios para realizar en clase a la par que la muestra de las diapositiva. Para un curso de 2º de Bachillerato el tiempo que se debe tardar en presentar estos conceptos debe ser entre 1 hora y hora y media.

1. INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
2º DE BACHILLERATO CIENCIAS SOCIALES

2. Contenido
- ¿Qué es la probabilidad?
- Conceptos rápidos
- Cálculo de probabilidades
- Unión e intersección de sucesos
- Tipos de sucesos
- Probabilidad condicionada
- Probabilidad compuesta
- El problema final

3. Algunos ejemplos
Si entrásemos en una habitación con 30 personas, ¿apostarías a que
al menos dos personas cumplen años el mismo día? ¿ Con cuantas
personas crees que tendrías a favor la apuesta?
Tiramos un dado, si sale 2,3 o 5 ganas 1 € si sale 4 ganas
2€ y si sale 1 o 6 pierdes 3€ ¿Jugarías a ese juego?

4. ¿QUÉ ES LA PROBABILIDAD?
• La probabilidad es el estudio de la aleatoriedad y la
incertidumbre.
• La probabilidad estudia lo que denominamos sucesos aleatorios.
• Un suceso aleatorio es toda experiencia que dependa del azar
Ejemplos:
Tirar un dado o moneda.
Una partida de póker.
Loteria de Navidad.

5. Conceptos rápidos
• Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados
de una experiencia aleatoria, lo representaremos por Ω.
• Suceso: Cada uno de los resultados posibles de nuestro
experimento o experiencia aleatoria.
• Suceso elemental: Cada uno de los elementos que forman parte
del espacio muestral.
• Suceso compuesto: Suceso compuesto es cualquier subconjunto
del espacio muestral.

6. Un ejemplo para entender estos conceptos
• Tirada de dos dados

7. Espacio muestral

8. ¿Cómo calculamos probabilidades?
Definición de Laplace (clásica)
La probabilidad de cualquier suceso A ocurra es igual al cociente entre el
número de resultados favorables para que se dé A y el número total de
elementos del espacio muestral Ω. Los sucesos deben ser equiprobables.
𝑃 𝐴 =
𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
La probabilidad es un número entre 0 y 1.

9. Ejemplos
• Con un dado calcular la probabilidad de que salga:
Un 6.
Un número par.
Un número mayor que 7.
Un número menor que 7.

10. Ejemplos
• Con dos dados calcula la probabilidad de que salga:
Un doble 5.
Un 6 en al menos un dado.
Un número mayor que 9 entre los dos dados.

11. Espacio muestral

12. Unión de sucesos
Sean A y B dos sucesos:
- La unión de A y B es el suceso formado por los elementos de A y
los de B y se escribe AUB.
- Se lee P(AUB): Probabilidad de que ocurra A o B.

13. Intersección de sucesos
Sean A y B dos sucesos:
- La intersección de A y B es el suceso formado por lo elementos que
comparten A y B y se escribe A⋂B.
- Se lee P(A ⋂ B): Probabilidad de que ocurra A y B.

14. Diagramas de Venn
Una manera de ver visualmente estos conceptos es con los
denominados diagramas de Venn
Https://www.geogebra.org/m/611127
Fórmula que relaciona la probabilidad de AUB y A⋂B
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A⋂B )

15. Ejemplo
Sean : A = Probabilidad de sacar un número par en un dado
B = Probabilidad de sacar un 1 o 2 en un dado
A = {2,4,6}
B = {1,2}
AUB = {1,2,4,6}
A⋂B = {2}

16. Tipos de sucesos I
• Suceso seguro: Un suceso A se dice que es seguro si está formado
por todo el espacio muestral
P (A) = 1
• Suceso imposible: Un suceso A se dice que es imposible si no
contiene ningún elemento del espacio muestral.
P(A) = 0
• Suceso contrario: Sea A un suceso, se denomina suceso contrario a
A y se denota con Ā al suceso que engloba todos los elementos del
espacio muestral menos los que tiene A.
P(Ā) = 1- P(A)

17. Tipos de sucesos II
• Sucesos compatible: Se dice que dos sucesos A y B son compatibles
si tienen algún elemento en común.
• Suceso incompatible: Se dice que dos sucesos A y B son
incompatbles si no tienen ningún elemento en común
• Suceso dependiente: Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando
la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya
sucedido o no B.
• Suceso independiente: Dos sucesos, A y B, son independientes
cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque
haya sucedido B.

18. Ejemplos sucesos
• A = {1,2,3}, B = {3,5,6}
• A = {1,2,3}, B = {5,6}
• A = {Salga un 6 en la primera tirada de un dado}
B = {Salga un 6 en una segunda tirada de un dado}
• A = {Sacar un as de una baraja de póker}
B = {Sacar un as despúes de haber hecho A}

19. Probabilidad condicionada
• Sean A y B dos sucesos.
• Se llama probabilidad del suceso A condicionado a B y se
representa por P(A/B) a la probabilidad del suceso A una vez ha
ocurrido el B.
P(A/B) =
𝑃 𝐴⋂𝐵
𝑃(𝐵)
• Dos sucesos A y B son independientes si P(A/B) = P(A)

20. Ejemplos
• Probabilidad de sacar un 6 en un dado sabiendo que ha salido un 6
en la tirada anterior.
• Probabilidad de haber sacado un 6 en una tirada de dado sabiendo
que ha salido par.

21. Probabilidad compuesta
• Sean A y B dos sucesos sobre el mismo espacio muestral. La
probabilidad de que ocurran los dos es:
• Sucesos independientes:
𝑃 𝐴⋂𝐵 = 𝑃 𝐴 · 𝑃(𝐵)
• Sucesos dependientes:
𝑃 𝐴⋂𝐵 = 𝑃 𝐴 · 𝑃(𝐵/𝐴)

22. Veamoslo con algún ejemplo
• Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter.
¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?
• Se tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. ¿Cuál es la
probabilidad de extraer dos ases?

23. Problema del cumpleaños I
• Si entrásemos en una habitación con 30 personas, ¿apostarías a
que al menos dos personas cumplen años el mismo día? ¿ Con
cuantas personas crees que tendrías a favor la apuesta?

24. Problema del cumpleaños II
Conceptos que vamos a usar y que hemos estudiado.
- Regla de Laplace
- Probabilidad de que ocurra lo contrario a un suceso A es 1 – P(A)
- Probabilidad compuesta

25. Problema del cumpleaños III
IDEA
Hallar la probabilidad de que ninguna coincida y luego hacer el
complementario.

26. Problema del cumpleaños IV
• Empezamos con la probabilidad de que el cumpleaños de dos
personas no coincida
𝑃 2 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑎𝑛 =
365
365
·
364
365
= 0,9972
Si queremos ver la probabilidad de que coincida el cumpleaños de
dos personas es 1 – 0,9972 = 0,0028. Que ni por asomo se acerca a
nuestro 50%

27. Problema del cumpleaños V
• Ahora vamos a ver la probabilidad de que el cumpleaños de tres
personas no coincida.
𝑃 3 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑎𝑛 =
365
365
·
364
365
·
363
365
= 0,9917
La probabilidad de que coincida el cumpleaños de alguna de las 3
personas es 1 – 0,9917 = 0,0083. Todavía no nos vale.

28. Problema del cumpleaños VI
• Función que representa el problema.
Y si la representamos podemos ver cual es la curiosa solución.

29. Problema del cumpleaños VII

30. Problema del cumpleaños VII
• Con n = 23 ya hay un 50,7 % de probabilidad de que dos personas
cumplan años.
• Con n = 60 la probabilidad de que haya dos personas que coincidan
en el día de su cumpleaños ya es de un 99,51%