Tez
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Like this? Share it with your network

Share
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
1,314
On Slideshare
1,314
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
19
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. 1PORTFÖY OPTİMİZASYONU Habip TAYLAN Abdülfettah UYGUR Danışman:Doç. Dr. Sema BEHDİOĞLU KÜTAHYA-2012
  • 2. 2 T.C. DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İSTATİKSEL ANALİZ PROJESİ PORTFÖY OPTİMİZASYONU Habip TAYLAN Abdülfettah UYGUR Danışman: Doç.Dr. Sema BEHDİOĞLU KÜTAHYA-2012
  • 3. 3 KABUL ve ONAY SAYFASI Bu tez, ................ tarihinde yapılan sözlü savunma ve değerlendirme sonucunda 100tam not üzerinden .......... ile Başarılı / Başarısız bulunmuştur.Danışman : ..................................................................................Jüri Üyesi : ...................................................................................Jüri Üyesi : ....................................................................................
  • 4. 4 i PORTFÖY OPTİMİZASYONU ÖZET Paraları yastığın, altınları toprağın altında saklama devrinin sona ermesiylebirlikte insanlar mal varlıklarını rasyonel olarak kullanma ihtiyacı hissetmişlerdir. Bunaenflasyonla iç içe yaşayan ülkelerde paranın satın alma gücünü koruma problemi deeklenince alternatif yatırım araçları önem kazanmıştır. Yatırımcılar farklı yatırımaraçları arasından banka faizi, bono, tahvil repo gibi risksiz yatırım araçlarıseçebilecekleri gibi, döviz, hisse senedi gibi riskli yatırım araçlarını da seçebilirler. Hisse senedine yatırım yapmak isteyen yatırımcının, çok sayıda hissesenedinden hangisine ya da hangilerine yatırım yapacağı belirlemesi gerekir. Bubelirlemede yatırımcının riske bakış açısı çok önemli rol oynar. Daha fazla getiri içindaha fazla riske katlanmak gerektiğinden, yatırımcı kendisi için en uygun risk-getiridengesini belirlemelidir. Bir tek hisse senedine yatırım yapmak yerine, çok sayıda hissesenedinden oluşan bir portföye yatırım yapmak riski büyük ölçüde azaltacaktır. Portföyseçim problemi yardımıyla farklı getiri ve risk düzeylerinde çok sayıda portföyoluşturulabilir. Böylece, yatırımcıya kendi risk tercihine uygun portföyü seçme şansıverilir. Anahtar Kelimeler: Portföy Optimizasyonu, Optimizasyon, İstatiksel YöntemlerlePortföy Optimizasyon
  • 5. ii 5 TEŞEKKÜR Bu çalışmada bize yardımcı olan danışmanımız Doç.Dr. Sema BEHDİOĞLU ’na, hiç birzaman desteğini esirgemeyen Bölüm Başkanımız Yar.Doç.Dr. Özden ÜSTÜN ’e, her zaman herkonuda bize destek ve yardımcı olan ailelerimize teşekkürü bir borç biliriz.
  • 6. 6iiiİÇİNDEKİLER Sayfa
  • 7. 7iv
  • 8. v 8 TABLOLAR DİZİNİ SayfaTablolar
  • 9. 9 vi ŞEKİLLER DİZİNİŞekiller Sayfa
  • 10. 10vii KISALTMALAR DİZİNİKısaltmalar : AçıklamalarADANA .................................................................................................... Adana Çimento (A)AKENR ....................................................................................................................Ak EnerjiATEKS ................................................................................................................ Akın TekstilAKSA .............................................................................................................................. AksaALARK .......................................................................................................... Alarko HoldingALCTL .................................................................................................. Alkatel Lucent TeltaşANACM ............................................................................................................ Anadolu CamAYEN ................................................................................................................... Ayen EnerjiBANVT ........................................................................................................................ BanvitBOYNR ..................................................................................................... Boyner MağzacılıkBURVA ............................................................................................................ Burçelik VanaBUCIM ............................................................................................................ Bursa ÇimentoCRDFA ................................................................................................... Creditwest FactoringCELHA .................................................................................................................. Çelik HalatDERİM ...................................................................................................................... DerimodDITAS ................................................................................................................. Ditaş DoğanDGZTE ....................................................................................................... Doğan GazetecilikECYAP ........................................................................................................... Eczacıbaşı YapıESCOM ......................................................................................................... Escort TeknolojiFFKRL ........................................................................................................... Finans. Fin. Kir.IHGZT ........................................................................................................... İhlas GazetecilikIZMDC ....................................................................................................... İzmir Demir ÇelikKLMSN ..............................................................................................................Klima SanayiKORDS ............................................................................................................. Kordsa Glabol
  • 11. 11 viiiKOZAA ........................................................................................................ Koza MadencilikLINK................................................................................................................ Link BilgisayarMUTLU .................................................................................................................. Mutlu AküPINSU........................................................................................................................ Pınar SuPIMAS ........................................................................................................................... PimaşSANKO ........................................................................................................ Sanko Pazarlama
  • 12. 121.GİRİŞ Modern finansman teorisinin temel modellerinden olan portföy seçim modeliDoğrusal olmayan programlama (DOP) problemlerinin de başarılı uygulamalarındanbirisidir. Bu modeli 1952 yılında gerçekleştiren Hanry Markowitz, bu çalışmasıylaNobel ödülü kazanmıştır. Model en basit haliyle yatırımcının hedeflediği getiri düzeyineulaşabilmek için üstlenmesi gereken minimum risk düzeyini ve bu risk düzeyindekiportföyün yapısını belirler. Markowitz modeli, hedeflenen beklenen getiri düzeyinikarşılayacak minimum varyanslı ( minimum riskli) portföyü bulmaya çalışır. Günümüzde finansal piyasalar ülke sınırlarını aşarak global bir yapıya bürünmüşve yatırım yaparak elindeki kaynağı en iyi şekilde değerlendirmek isteyen milyonlarcakişinin beslediği canlı bir organizma haline gelmiştir. Bu piyasalar insanlara çok cazipgelmektedir; çünkü rasyonel kararlar doğrultusunda yatırım yaparak çok büyük gelirlerelde eden yatırımcılar örnek teşkil etmektedirler. Piyasada yer alan yatırımcı sayısıkadar, piyasada yatırım yapabilecek yatırım enstrümanının sayısı da çok fazladır. Ekolarak, her gününü sonunda o günkü Pazar koşullarına göre yatırım enstrümanlarınınfiyatları da değişmektedir. Yukarıda verilenler özetlendiğinde, milyonlarca kişinin, binlerce yatırımenstrümanı arasından, her gün yeniden oluşan fiyatlar doğrultusunda en iyi yatırımyapma çabası içinde olduğu sonucu rahatlıkla çıkartılabilir. Sözü edilen, “en iyi yatımıyapma çabası” daha genel bir ifadeyle eldeki kaynakların ulaşılmak istenen hedeflerdoğrultusunda yönlendirilmesi için gerçekleştirilen finansal planlar bütünüdür. En iyi yatırım portföyüne sahip olmak için, portföyde yer alabilecek yatırımaraçlarının getiri ve risklerine bakılarak portföy seçimi yapma çalışmaları 1950 liyıllarda Markowizt’le başlamıştır. Gönümüzde de artan bir ivmeyle, yeni bir teoriler vebilgisayar teknolojisini de kullanarak devam etmektedir. En iyi portföyü oluşturmada karşılaşılan temel problem çok fazla yatırımenstrümanı arasından seçim yapmak gerektiğinde oluşturulan matematiksel modellerinçözüme ulaşamamaları ya da çözüme ulaşma yolu ve sürelerinin istenen sınırlarının çok
  • 13. 13üzerinde olmasıdır. Uygulama ile ilgili diğer bir problem de, yatırım enstrümanlarınınalım satım maliyetleri, borçlanarak yatım yapabilme, alım satımlarda azami ve asgarisınırlar, yasal zorunluluklar gibi ülkesel, bölgesel hatta çoğu zamanda kurumsalkısıtların modellerde içerilememesidir. Markowitz’in 1952 makalesinde ilk defa yayınlayıp, daha sonra kitap halinegetirdiği (Markowitz 1959) ortalama-varyans optimizasyonu modern portföy teorisininbaşlangıcı olarak kabul edilir. Bu ilk model, ortalamalar vektörü µ ve kovaryanslarmatrisi C ye sahip n adet menkul kıymet içeriyordu. Modelin içerdiği x portföyü iseelde tutulan menkul kıymetlerin vektörüdür ve vektörün bileşenleri toplamı bire eşittir.Menkul kıymetlerin beklenen getiri ve varyansları,  T x ve  T Cx olarak ifade edilir.Doğrusal kayıtlamalar kümesi altında, etkin sınırlar maksimum beklenen getirisi veminimum varyansı olan portföyler kümesidir. Ayrıca, bu model sıfırdan sonsuzadeğişen bir parametresine bağlı olarak parametrik yapıda da ifade edilmiştir. Dahasonraki formülasyonlara, işlem maliyetlerinide içermesi için x doğrusal ifadesi deeklenmiştir.(Pogue 1970) N adet beklenen getiri ve n(n+1)/2 adet varyans-kovaryansı hesaplamak buanalizin en güç yanlarından birisidir. Bu nedenle, faktör ve/veya indeks modellerideğiştirilmiştir.( Sharpe 1970, Cohen ve Pogue 1967, Rosenberg 1974). Ayarıcasenaryo modelleri ( Markowitz ve Perold 1981) ve çoklu grup modelleri (Elton veGruber 1973) üzerinde çalışılan konular olmuştur. Markowitz’in portföy seçim modeli, pratikte uygulanabilir olması için gerçekhayat koşullarına kapsayacak şekilde geliştirilmiştir. Bu alanda Pogue’nin ( Pogue1970) işlem maliyetleri, kısa satışlar borçlanma politikaları ve vergileride kapsayançalışması, modelin gerçekçi yapıya sokulmasını iyi ifade ettiği için önemlidir. YineFrancis’in (Francis 1978) bankaların aktif-pasif yönetiminde portföy analizini incelediğimakaleside, Markowitz portföy analizinin banka sistemi içinde uygulanabilirliği üzerineanlamlı bir çalışmadır. Modelin çözümü için gerekli algoritmalar ise, parametrik olarak etkin sınırıbulan Markowitz (1956) ve Wolfe (1959)’un “bütünleştirici pivot” algoritmalarıyla
  • 14. 14başlamıştır. Modeli basitleştirip çözen algoritmalardan birisi, iteratif bir metod olan VonHohenbalken (1975) algoritmasıdır. Ancak bu algoritma ve bundan türetilmiş diğeralgoritmalar ( Rudd ve Rusenberg 1979) oldukça iyi yaklaşık sonuç vermesine karşınoptimum çözüme ulaşmada çok yavaş kalmaktadırlar ve parametrik değildirler.Markowitz ve Perold’un (1981) ve ve Perold’un (1984) algoritmaları ise kovaryansmatrisinde faktör ve senaryo modelleri kullanır, işlem maliyetleri ve sınırları içerir,ayrıca parametrik çözüme, imkan tanır bir yapıdadır. Ancak bu çözüm tekniklerinintümü simpleks kökenli algoritmalardır. Üzerinden 50 yıla yakın süre geçmesine rağmen portföy oluşturmada kullanılanen kullanışlı ve popüler sayısal yöntemlerden birisi Markowitz’in ortalama varyansmodelidir. Bu metodoloji uygulamada ve teoride hala geliştirilmektedir ( King 1993,Konno ve Yamazaki 1991, markowitz ve diğerleri 1993 ). Gelişmeler gerçek hayatıdaha iyi ifade eden yeni kayıtlamaların eklenmesi şeklinde ve bunun yanı sıra , çokönemli optimizasyon ve simetrik olmayan risklerin modele eklenmesi şeklinde deyapılmaktadır. Çalışmada kullanılacak portföy optimizasyonu ile alakalı önemli temel kavramlarıaçıklayarak, bu kavramlar;  Dönemlik simetri  Beklenen getiri  Varyans  Standart sapma  Yarı varyans  Kovaryans  Korelasyon  Vektör ve Matris gösterimleri  Portföyün beklenen getirisi  Portföy varyansı sayılabilirDaha sonra ise problemi çözmek için modeller açılanmıştır, bu modeller;
  • 15. 15  Standart ortalama varyans portföy seçim modeli  Yatırım üst sınırlı ortalama varyans portföy seçim modeli  Risksiz yatırım enstrümanını içeren ortalama varyans portföy seçim modeli  Alım – satım maliyetlerini içeren ortalama varyans portföy seçim modeli  Kredi işlemleri ve açığa satışı içeren ortalama varyans portföy seçim modeli  Portföydeki maksimum varlık sayısını içeren tam sayı değişkenli ortalama varyans portföy seçim modeli  Ortalama varyans portföy seçim modeli ile portföy eşleştirilmesi  Senaryo tabanlı portföy optimizasyonu ve farklı risk ölçütleri  Riskteki değere göre portföy seçim modeli şeklinde modellerin ararsından biz üç tanesini seçerek açıklayacak, modeller daha iyi anlaşılması için hem Excel hem de lingoda çözümler yapılacaktır.2.PORTFÖY OPTİMİZASYONU İLE İLGİLİ TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde portföy optimizasyonu modellerinde kullanılacak temel kavaramlaraçıklanacaktır. Bu kavramlar ;2.1.Dönemlik Getiri: Dönemlik yatırımın belli bir zaman dilimi içerisinde toplam getirisini tanımlar DSD  KP  DBD GD  [ 1],[ 2 ] DBDGD : Dönemlik Getiri,DBD : Yatırım dönem başı değeri,DSD : Yatırımın dönem sonu değeri,KP : Dönem içerisinde yatırımdan sağlanan nakit akışı ( kar payı dağıtımı )
  • 16. 16 Farklı dönemlerdeki getirileri karşılaştırmak için genellikle getiriler yıllık bazaindirgenir. Getirileri yıllık bazda ifade etmenin farklı yolları vardır. Getiriler basit,bileşik yada sürekli bileşik getiri hesaplamaları ile yıllık baza indirgenebilir.2.2.Basit getiri hesaplaması: Elde bulundurma dönemi boyunca her gün aynı getirinin elde edildiğinivarsayar. 1  DSD  KP  DBD  GD basit   .  [ 1],[ 2 ] t  DBD GD basit  : Basit getiri ile yıllık baza indirgenmiş dönemlik getiri,T : Elde bulundurma döneminin yıl biriminde uzunluğu,2.3.Bileşik getiri hesaplanması: Elde bulundurma dönemi sonunda elde edilen getiri ve ana paranın tekraryatırıma dönüştürülerek yıllık bazda büyüdüğünü varsayar. 1 t. N  DSD  KP  DBD  G D bileşil   N .  [ 1],[2 ]  DBD G bileşik : Bileşik getiri ile yıllık baza indirgenmiş dönemlik getiri,t : Elde bulundurma döneminin yıl biriminde uzunluğu,N : Bir yıl içindeki dönem sayısı
  • 17. 17 Sürekli bileşik getiri hesaplama yöntemi ise elde bulundurma döneminin sonsuzsayıda küçük zaman dilimlerine bölünerek, her bir dilimde getirisinin hesaplanarak, anapara ile birlikte bir sonraki küçük zaman dilimine aktarılması esasına göre çalışır. 1  DSD  KP  GD sürekli  ln . [ 1],[2 ] t  DBD  2.4.Beklenen Getiri: Bir varlığın beklenen getirisi şu şekilde formülize edilir; N   E[G ]   O .G i 1 i i [ 1],[2]µ : Beklenen getiri, E[G],Oi : i senaryosunun gerçekleşme olasılığı,Gi : i senaryosunun beklenen getirisi,N : olası senaryo sayısı, Bir varlığın getiri dağılımının Tablo 2.1’de verildiği gibi varsayarsak, buvarlığın beklenen getirisi şu şekilde hesaplanır. Tablo 2.1. Bir varlığın getiri dağılımı Senaryo Olasılık Getiri 1 1/3 50% 2 1/3 30% 3 1/3 16% E[G]  %50x 1/3 + %30x 1/3 + %16x1/3 = %32 Beklenen getirinin iki önemli özelliğini hatırlamak önemlidir. Birinci özellik; ikigetirinin toplamının beklenen değerinin, iki getirinin beklenen değerleri toplamına eşitolmasıdır.
  • 18. 18 N E[G1  G 2 ]   (O1i .G1i  O2i .G2i ) i 1 N N [ 3],[4]   (O1i .G1i )   (O2i .G 2i )  1   2 i 1 i 1 İkinci özellik ise; bir getirinin bir sabitle çarpımın beklenen değerinin, getirininbeklenen değerinin sabitle çarpımına eşit olmasıdır. N N E[s.G]   (Oi .Gi )  s. (Oi .Gi )  s. [ 3],[4] i 1 i 12.5. Sapma Ölçütleri:i. Ortalama mutlak sapma: Beklenen getiriden sapmanın mutlak değerini ölçer. Analitik hesaplamalar içinçok uygun bir hesaplama değildir. N OMS   (Oi . Gi   ) [3],[4] i 1 Tablo 2.2 de örnek için ortalama mutlak sapma şu şekilde hesaplanır.Tablo 2.2. Bir varlığın getiri dağılımıSenaryo Olasılık Getiri1 1/3 50%2 1/3 30%3 1/3 16% OMS  1/3x|0.50 − 0.32| + 1/3x |0.30 − 0.32| + 1/3x |0.16 − 0.32|= . . . = 0.12
  • 19. 19ii. Varyans ve Standart Sapma: Varyans, getiriler ile beklenen getirinin farklarının kareleri toplamı ilehesaplanan bir risk ölçütüdür. Portföy optimizasyonu modellerinde risk ölçütü olarakgenellikle varyanstan yararlanılır. Varyansın karekökü de standart sapmadır. N 2 Var (G)   2   Oi .Gi    [ 3],[4] i 1 Yukarıdaki örnek için varyans değeri şu şekilde hesaplanır.  2  1/3x(0.50 - 0.32)² + 1/3x(0.30 - 0.32)² + 1/3x(0.16 - 0.32)² = 0.0195 Bir varlığın getirilerinin bir sabit değerle toplanmasıyla elde edilen getiriserisinin varyansı, varlığın varyansına eşittir. Var( s  G)  var(G) [ 3],[4] Bir varlığın getirinin bir sabit değerle çarpılmasıyla elde edilen getiri serininvaryansı, varlığın varyansı ile sabitin karesinin çarpımına eşittir. Var ( s.G )  s 2 . var(G ) [ 3],[4 ]
  • 20. 20iii. Yarı Varyans: Yarı- Varyans, getiriler ile beklenen getirinin farkları negatif olanların kareleritoplamı ile hesaplanan bir risk ölçütüdür. Simetrik getiri dağılımları için varyanslaorantılıdır. N 2 Yarı var(G)   Oi .min0, Gi    [ 4],[5] i 1 Yukarıda ki örnek için yarı –varyans değeri şu şekilde hesaplanır. Yarı var(G)= 1/3x0 + 1/3x(0.30 – 0.32)² + 1/3x ( 0.16 – 0.32)² = 0.00872.6. Varlıkların Birlikte Hareket Ölçütelri:i. Kovaryans: İki tesadüfi getirinin göreli hareketlerinin anlamlılığının istatistiksel ölçütükovaryanstır. İki varlık arasındaki kovaryans değeri aşağıdaki formülle elde edilir. N  1, 2   Oi .G1i  1 G2i   2  . [ 3],[4] i 1 Eğer varlıkların ortalamalarından sapmaları aynı zaman dilimlerinde aynı yöndeolursa, varlıklar arasındaki kovaryans pozitif bir değer alacaktır. Öte yandan, varlıklarınortalamalarından sapmaları aynı zaman diliminde farklı yönde olursa, varlıklararasındaki kovaryans negatif bir değer alacaktır. Varlıkların ortalamalarından sapma değerleri arasında anlamlı bir ilişki yoksada, kovaryans değeri sıfıra yaklaşacaktır.
  • 21. 21 İki varlığın getirilerinin toplamlarının varyansı, varlıkların ayrı ayrı varyanslarıve aralarındaki kovaryansın iki katının toplamına eşittir. Var (G1  G 2 )  var G1   var G 2   2.ko var G1 , G 2  [ 3],[4]2.7. Varlıkların Kombinasyonlarının Varyansı: Yatırım yapılabilecek varlıkların farklı kombinasyonlarla bir araya getirilmesisonucu daha düşük riskli portföyler oluşturulabilir. Farklı varlıklar birlikte hareketetmiyorlarsa, diğer bir ifadeyle aralarından tam bir korelasyon mevcut değilse,çeşitlendirme yoluyla risk azaltılabilir. Varlıklardan kaynaklanan bu risk, sistematikolmayan ya da çeşitlendirilebilir risk olarak adlandırılır. Aşağıdaki tabloda iki varlıktanoluşan bir yatırım kümesi verilmiştir. Bu varlıkların üç dönemlik getirileri, varlıklarınortalama getiri, varyans ve standart sapmaları hesaplanmıştır. Tablo 2.3’de görüldüğügibi %80 A, %20 B varlıklarında oluşan bir portföyün getirisi, tek tek varlıklarıngetirileri ile aynı olmasına karşın varyans sıfıra düşmüştür. Görüldüğü gibi varlıklarkombinasyonunun riski, varlıkların risklerinin ağırlıklı ortalaması değildir. Tablo 2.3. İki varlıkla oluşturulan portföy kombinasyonuDönem (Senaryo) Varlık A Varlık B Portföy (%80 A, %20 B)1 14 -11 92 9 9 93 4 29 9Ortalama Getiri 9 9 9Varyans 25 400 0Standart sapma 5 20 0
  • 22. 223.STANDART ORTALAMA-VARYANS PORTFÖY SEÇİM MODELİ Bu bölümde Modern Portföy Teorisinin temeli olarak kabul edilen Ortalama-Varyans portföy seçimi optimizasyonu modeli sunulacaktır. En basit ifade ile etkinvarlık kombinasyonlarının belirlenmesi olarak açıklanabilecek teori Markowitz’inçalışmaları ile başlamıştır. (Markowitz: 1952, 1959). Bu bölümde sırasıyla Markowitz modeli ve dayandığı varsayımlar açıklanacak,ardından etkin sınır kavramı sunulacaktır. Açıklanan kavramlar doğrultusundaoluşturulan model farklı çözüm platformlarında çözülebilecek şekilde yapılandırılacakve uygulanacaktır. Çözüm sürecinde iki farklı platformun kullanımı açıklanmıştır.Bunlar Excel ve eklentisi olan Solver ile Lingo modelleme dilidir. Optimizasyonmodellerinin çözümüne yönelik olarak geliştirilmiş algoritmalara da bu bölümdedeğinilecektir.3.1. Markowitz Ortalama-Varyans Modeli: Markowitz tarafından geliştirilen ortalama-varyans optimizasyon modeli,oluşturulacak portföyün riskini minimize etmeyi hedeflemiştir. Kurulan modelde eldekifonun tümünü yatırım enstrümanlarına dağıtılması ve hedeflenen getiri seviyesineulaşılması kısıtlardır. Markowitz portföy seçim modeli şu varsayımlara dayanmaktadır:i. Yatırımların getirileri yatırımların çıktısı olarak ifade edilebilir.ii. Yatırımcının risk tahmini, varlıkların ya da portföyün getirilerinin varyansı ile orantılıdır.iii. Yatırımcılar kararlarını verirken sadece beklenen getiri ve getirinin varyansını model parametreleri olarak kullanmaya razıdırlar.
  • 23. 23iv. Yatırımcı riskten kaçma eğilimi göstermektedir. Herhangi bir beklenen getiri düzeyinde, ulaşabileceği minimum riski, herhangi bir risk düzeyinde de ulaşabileceği maksimum getiriyi seçecektir. Markowitz modeli, hedeflenen beklenen getiri düzeyini karşılayacak minimumvaryanslı (minimum riskli) portföyü bulmaya çalışır. Modelde amaç fonksiyonuyukarıdaki ifade de belirtildiği gibi minimize edilecek portföy varyansıdır ve şu şekildegösterilir. N N Min.  x i x j  ij [ 7],[8],[9] i 1 j 1 Bu matematiksel ifadede,N : Mevcut varlık sayısını, ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değerini (i = 1,…,N), (j = 1,...,N),xi , x j : Karar değişkenlerini, göstermek için kullanılmıştır. Bir önceki bölümde anlatılan varyans ve kovaryans kavramları hatırlanacakolursa, (3.1)’deki amaç fonksiyonu ifadesi aşağıda gösterildiği gibi iki parça halindedaha rahat yorumlanabilir. N N 1 N 2 2 Min. xi . i  2 x x  i j ij [7],[8],[9] i 1 i 1 j  i 1 Bu ifadenin ilk kısmında varlıkların varyansları, ikinci kısmında da varlıklararası ilişkinin ölçütü olan kovaryans değerleri gösterilmiştir. Böylece amaçfonksiyonunda, portföyün riski minimize edilirken, varlıkların içsel riski yanı sıra,birlikte hareket edip etmedikleri de göz önünde bulundurularak çeşitlendirmeye degidilmektedir. Standart Markowitz modelinde iki temel kısıt vardır. Bunlardan birincisi,hedeflenen beklenen getiri düzeyinin karşılanmasını sağlayacak aşağıdaki matematikselifadedir.
  • 24. 24 N  x . i 1 i i R [7],[8],[9] Burada;i : i varlığının beklenen getirisini (i = 1,…,N),R : Hedeflenen beklenen getiri düzeyi, göstermek için kullanılmıştır. Modeldeki ikinci temel kısıt ise, portföy de bulunan varlıkların ağırlıklarıtoplamının 1 olmasını sağlayan aşağıdaki ifadedir. N x i 1 i 1 [7],[8],[9] Karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtı da eklendiğinde aşağıdaki genelmodel elde edilir. N N Min. x i .x j . ij i 1 j 1 s.t. N  x . i 1 i i R [8],[9] N x i 1 i 1 0  xi  1, Burada,N : Mevcut varlık sayısı,i : i varlığının beklenen getirisi (i = 1,…,N), ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değeri (i = 1,…,N), (j = 1,…,N), : i=j için i varlığının varyans değeri,
  • 25. 25R : Hedeflenen beklenen getiri düzeyi,xi : i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N), Yukarıda elde edilen matematiksel programlama modeli kuadratik programlamaformundadır. Amaç fonksiyonun kuadratik kısıtların ise doğrusal olduğu bu tiptekimodellerin çözümü için pek çok etkin algoritma geliştirilmiştir. Wolfe tarafındangeliştirilen (Wolfe:1959) algoritma halen pek çok çözücü yazılımda kullanılmaktadır.Bu algoritma yukarıdaki modelin doğrusal eşdeğeri bir model oluşturup çözülmesinitemel almaktadır. Doğrusal eşdeğer model ise Kuhn-Tucker optimallik koşullarını temelelde etmektedir.3.2. Markowitz Ortalama-Varyans Modeli Örneği: Bu kısımda 5 adet hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için Markowitzportföy seçim modeli oluşturulacak ve çözülecektir. Çözüm ortamı olarak Excel veçözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Tablo 3.1’de 5 hisse senedi için 10dönem boyunca dönem sonu kapanış fiyatları verilmiştir. Tablo 3.1. 5 hisse senedinin 10 dönemlik kapanış verisi.Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5Dönem 1 5000 2000 3000 7000 4000Dönem 2 5500 2400 3300 7100 4800Dönem 3 5700 2750 3800 6600 4300Dönem 4 6500 2000 3300 7700 5000Dönem 5 6000 2950 4000 8000 6400Dönem 6 6700 3200 4300 7500 5500Dönem 7 6500 3700 3800 9500 5300Dönem 8 7500 3000 4900 11000 5900Dönem 9 7000 4200 5500 12000 8500Dönem 10 7700 5000 6700 13500 8500
  • 26. 26 Öncelikle varlıkların dönemlik getirileri, ikinci bölümde verilen =formülü ile elde edilmeli, ardından her bir varlık için, ikinci bölümde verilen N  E G    Oi .Gi formülü kullanılarak beklenen getiriler elde edilmelidir. Bu i 1hesaplamalar Tablo 3.2’de görülmektedir. Tablo 3.2. Varlıkların dönemlik ve beklenen getirileri. Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5Dönem 1Dönem 2 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0Dönem 3 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4Dönem 4 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3Dönem 5 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0Dönem 6 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1Dönem 7 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6Dönem 8 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3Dönem 9 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1Dönem 10 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0Beklenen Getiri %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.2 Modelde, amaç fonksiyonunda risk ölçütü olarak kullanılacak varyans değerleri N 2ikinci bölümde verilen varG    2   Oi .Gi    formülü ile ve kovaryans i 1 Ndeğerleri de yine ikinci bölümde verilen  1, 2   Oi .G1,i  1 G2,i   2  [10] formülü i 1kullanılarak Tablo 3.3’de hesaplanmıştır.
  • 27. 27Tablo 3.3. Varlıkların varyans-kovaryans değerleri.Kovaryans Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 Varyans-kovaryans matrisinin diagonalindeki değerler varlıkların varyanslarını,diğer değerler ise varlıklar arasındaki kovaryans değerlerini vermektedir. Matrisindiagonale göre sağ üst ve sol alt kısımlarının simetrik olduğu unutulmamalıdır.Markowitz portföy seçim modelinin iki temel parametresi olan beklenen getiri vevaryans-kovaryans değerleri yukarıdaki gibi hesaplandıktan sonra hedeflenen %10’lukgetiri düzeyi için modelin açık formu aşağıda oluşturulmuştur.Min. 0.0072 X ² - 0.0320 X X + 0.0006 X X – 0.0008 X X – 0.0128 X X + 0.0519 X ² + 0.0180 X X – 0.0142X X + 0.0288 X X + 0.0185 X ² - 0.0108 X X + 0.0064 X X + 0.0111 X ² + 0.0070 X X + 0.0323 X ²Kısıtlar, 0.053 X + 0.132 X + 0.102 X + 0.081 X + 0.102 X ≥ 0.10X +X + X +X +X =1X , X ,X ,X ,X ≥ 0 Buradaki Xi’ler modelin karar değişkenleridir ve varlığın portföy içindekioranını ifade etmektedir. Amaç fonksiyonu varyans-kovaryans matrisindenoluşturulmuştur ve riski minimize etmektedir. İlk kısıt en azından hedeflenen getirikadar getiriye ulaşılmasını, ikinci kısıtta tüm fonun varlıklar arasında dağıtılmasınısağlamaktadır. Son olarak da karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtları modeleklenerek model tamamlanmıştır. Tablo 3.4’te Standart Ortalama-Varyans portföy seçim modeli Excel’demodellenmiştir.
  • 28. 28Tablo 3.4. Standart Markowitz modelinin Excel’de gösterimi B C D E F G H23 Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 54 Dönem 1 5000 2000 3000 7000 40005 Dönem 2 5500 2400 3300 7100 48006 Dönem 3 5700 2750 3800 6600 43007 Dönem 4 6500 2000 3300 7700 50008 Dönem 5 6000 2950 4000 8000 64009 Dönem 6 6700 3200 4300 7500 550010 Dönem 7 6500 3700 3800 9500 530011 Dönem 8 7500 3000 4900 11000 590012 Dönem 9 7000 4200 5500 12000 850013 Dönem 10 7700 5000 6700 13500 85001415 Getiriler Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 516 Dönem 117 Dönem 2 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.018 Dönem 3 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.419 Dönem 4 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.320 Dönem 5 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.021 Dönem 6 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.122 Dönem 7 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.623 Dönem 8 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.324 Dönem 9 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.125 Dönem 10 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.026 Ortalama %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.22728 Kovaryans Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 529 Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.006430 Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.014431 Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.003232 Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.003533 Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.032334 Toplam35 Portföy 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 03637 Portföy Getirisi %0.0 Portföy Varyansı 038 Hedeflenen Getiri %10.0 Standart Sapma 039
  • 29. 29 C17:G25 aralığında dönemlik getiriler hesaplanmıştır. Öncelikle C17 hücresinde=(C5-C4)/C4 formülü ile dönemlik getiri elde edildikten sonra tüm dönemler ve tümyatırım enstrümanları için bu formül C17:G25 aralığına kopyalanmıştır. C26:G26 aralığında beklenen getiriler hesaplanmıştır. Öncelikle C26 hücresinde=AVERAGE(C17:C25) formülü ile ilk yatırım enstrümanı için beklenen getiri eldeedildikten sonra tüm yatırım enstrümanları için bu formül C26:G26 aralığınakopyalanmıştır. C29:G33 aralığında varyans-kovaryans değerleri hesaplanmıştır. Öncelikle C29hücresinde =COVAR($C$17:$C$25;C17:C25) formülü ile ilk yatırım enstrümanı içinbeklenen getiri elde edildikten sonra tüm yatırım enstrümanları için bu formül C29:G29satırına kopyalanmıştır. Aynı işlem sırasıyla 30-33. satırlara da kovaryans formülükullanılarak yapılmıştır. Modeldeki, C35:G35 aralığı, yatırım enstrümanlarına yatırılacak miktarlarınhesaplanması için ayrılmıştır. Modelin karar değişkenleri olan bu aralık, Solver ileoptimizasyon aşamasında tanımlanacaktır. Tüm enstrümanlara yatırılacak oranın 1’eeşit olmasını sağlayacak kısıtı hazırlamak için öncelikle H35 hücresine=SUM(C35:G35) formülü yazılmıştır. Bu toplamın 1’e eşit olmasını sağlayacak kısıtda, Solver ile optimizasyon aşamasında tanımlanacaktır. Portföyden elde edilecek toplam beklenen getirinin D38 hücresinde kihedeflenen getiri değerine eşit olmasını sağlayacak formülde D37 hücresine=SUMPRODUCT(C26:G26:C35:G35) ifadesi ile yazılmıştır. Bu fonksiyon iki ayrıvektörün karşılıklı elemanları çarpıp, bunun da toplamını bulur.Tablo 3.5. Modeldeki alan tanımlamalarıAralık TanımC4:G13 Kapanış DeğerleriC17:G25 Aylık GetirilerC26:G26 Ortalama GetirilerC29:G33 Varyans-Kovaryans MatrisiC35:G35 Karar Değişkenleri, Varlıkların Portföydeki PayıH35 Portföy Payları ToplamıD37 Portföy GetirisiD38 Hedeflenen GetiriH37 Portföy VaryansıH38 Portföy Standart Sapması
  • 30. 30Tablo 3.6. Modeldeki kullanılan formüllerHücre FormülC17 =(C5-C4)/C4 C17:G25 aralığına kopyalanmıştır.C26 =AVERAGE(C17:C25) C26:G26 aralığına kopyalanmıştır.C29 =COVAR($C$17:$C$25;C17:C25) C29:G29 aralığına kopyalanmıştır.C30 =COVAR($D$17:$D$25;C17:C25) C30:G30 aralığına kopyalanmıştır.C31 =COVAR($E$17:$E$25;C17:C25) C31:G31 aralığına kopyalanmıştır.C32 =COVAR($F$17:$F$25;C17:C25) C32:G32 aralığına kopyalanmıştır.C33 =COVAR($G$17:$G$25;C17:C25) C33:G33 aralığına kopyalanmıştır.H35 =SUM(C35:G35)D37 =SUMPRODUCT(C26:G26;C35:G35)H37 =SUMPRODUCT(MMULT(C35:G35;C29:G33);C35:G35)H38 =SQRT(H37) Tüm bu açıklanan formüller ve alan tanımlamaları Tablo 3.5. ve 3.6.’degörülmektedir.Modelin minimize edilecek olan amaç fonksiyonu da H37 hücresinde,=SUMPRODUCT(MMULT(C35:G35;C29:G33);C35:G35) formülü ile gösterilmiştir.Bu ifade portföyün varyansını hesaplamaktadır. Portföyün standart sapması da H38hücresinde,=SQRT(H37) formülüyle hesaplanmıştır. Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeyehazırdır. Şekil 3.2.’de Solver parametreleri görülmektedir.
  • 31. 31Şekil 3.1. Solver parametreleri “Set Target Cell (Hedef Hücrey, Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesininhazırladığı H37 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonun tipimaksimizasyon ya da minimizasyon olarak belirtilir. Bizim uygulamamızda riskminimize edilmektedir. “By Changing Cells (Hücreleri değiştirerek)” bölümünde karar değişkenlerinindeğerinin hesaplanması için belirlenen C35:G35 alanı girilir. “Subject to the Constraints(Kısıtlar Altında)” bölümünde ise optimizasyon sürecinde göz önünde bulundurulacakkısıtlar tanımlanır. Bu kısıtlar sırasıyla, tüm fonun yatırım enstrümanlarına dağıtılmasını sağlayanH35=1, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan D37 = D38 ve karardeğişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C35:G35 ≥ 0 kısıtlarıdır. ModelSolver’da tanımlandıktan sonra “Solve(Çöz)” düğmesine basılarak portföy seçimmodeli optimize edilir. Tablo 3.7’de standart Markowitz portföy seçim modelinin %10hedeflenen getiri düzeyi için çözüm sonuçları görülmektedir.
  • 32. 32Tablo 3.7. Standart portföy optimizasyonu modelinin çözümü B C D E F G H3 Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 534 Toplam35 Portföy - %23.5 %32.9 %43.6 - %1003637 Portföy Getirisi %10.0 Portföy Varyansı 0.00535438 Hedeflenen Getiri %10.0 Standart Sapma 0.073172 Model sonuçlarına göre %10 getiri hedefleyen bir yatırımcı, elindeki fonun%23.5’ini 2. yatırım enstrümanına, %32.9’unu 3. yatırım enstrümanına, %43.6’sını da4. yatrırım enstrümanına yatırmalıdır. Bu yatırımcı 1. ve 5. enstrümanlara yatırımyapmayacaktır. Bu şekilde oluşacak olan portföyün varyansı da 0.005354 olarakminimize edilmiştir. 3.3. Etkin Sınır: Karar verici farklı beklenen getiri düzeyleri için yukarıda oluşturulan modeliçözdüğünde, her biri o getiri düzeyi için etkin olan portföyler elde edecektir.Hedeflenen getiri düzeyleri ve o getiri düzeyinde elde edilen etkin portföylerinvaryansları beklenen getiri-varyans grafiği üzerinde gösterildiğinde, bu etkin portföyleribirleştiren eğri etkin sınır olarak adlandırılır. Bir önceki kısımda modellenen örneğinfarklı getiri düzeyleri için etkin portföy kombinasyonları ve portföy varyansları Tablo3.6’de görülmektedir. Bu tablodaki veri kullanılarak elde edilen etkin sınır Şekil 3.4’deoluşturulmuştur.
  • 33. 33Tablo 3.8. Farklı beklenen getiri düzeyleri için portföy ağırlıklarıHedeflenen Portföy Hisselerin Portföydeki AğırlıklarıGetiri Varyansı Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5%5.3 0.007179 1.000%5.5 0.005889 0.970 0.030%6.0 0.003642 0.879 0.077 0.045%6.5 0.002010 0.782 0.119 0.095 0.004%7.0 0.000989 0.685 0.161 0.144 0.010%7.5 0.000580 0.588 0.203 0.193 0.016%8.0 0.000749 0.477 0.222 0.041 0.246 0.015%8.5 0.001324 0.352 0.222 0.117 0.301 0.008%9.0 0.002280 0.228 0.222 0.192 0.356 0.001%9.5 0.003618 0.104 0.221 0.267 0.408%10.0 0.005354 0.235 0.329 0.436%10.5 0.008169 0.333 0.328 0.339%11.0 0.012440 0.428 0.326 0.238 0.008%11.5 0.018167 0.522 0.323 0.137 0.017 0.036 0.027%12.0 0.025349 0.617 0.320%12.5 0.034189 0.757 0.243%13.0 0.045745 0.924 0.076%13.2 0.051944 0.998
  • 34. 34 H e %14.0 d e %12.0 f l C e %10.0 B n e %8.0 A n G %6.0 e Risk (Portföy Varyansı) t %4.0 i -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 r i Şekil 3.2. Farklı beklenen getiri düzeyleri için portföylerin risk-getiri grafiği Tablo 3.6 incelendiğinde, tahmin edileceği gibi hedeflenen getiri düzeyiazaldıkça portföy varyansı da azalmaktadır. Ancak %7.5 getiri düzeyinin altında portföyvaryansı tekrar artmaktadır. Bu durum Şekil 3.4’de de etkin sınırın B noktasından Anoktasına kadar olan bölümünde de gözlenebilir. Açıktır ki, yatırımcı her zaman için Cnoktasındaki etkin portföyü A noktasındakine tercih edecektir. Çünkü aynı riskdüzeyinde daha fazla getiri elde edebilecektir. Etkin sınırdaki bu istenmeyen sapmanınnedeni, standart ortalama-varyans portföy seçim modelindeki N  x . i 1 i i R [13] Kısıttır. Bu kısıt (7)’de görüldüğü gibi düzenlendiğinde artık etkin sınırdaistenmeyen B-A bölümü olmayacaktır. Çalışmanın bundan sonraki kısımlarında buyaklaşım izlenmiştir. N  x . i 1 i i R [13],
  • 35. 35 Etkin sınır üzerindeki portföylerle diğerlerinin karşılaştırmasını daha iyigözlemlemek için tesadüfi bir portföy oluşturup, bu portföye risk ve getiri düzeylerindekarşılık gelen etkin portföyleri belirleyelim. Şekil 3.5’de %50 Hisse 1 ve %50 Hisse5’den oluşan bir A portföyü bir önceki kısımda oluşturulan Excel modeline girilmiş veportföyün varyansı 0.006651, beklenen getirisi de %7.7 olarak bulunmuştur.Tablo 3.9. Tesadüfi oluşturulmuş bir portföyün verisi34 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam35 Portföy 0.50 0.00 0.00 0.00 0.50 13637 Portföy Getirisi %7.7 Portföy Varyansı 0.00665138 Hedeflenen Getiri Standart Sapma 0.08155239 %7.7 getiriye sahip ve A portföyüne göre daha düşük riskli etkin portföyübelirlemek için modelde hedeflenen getiri değeri olarak %7.7 girilmiş ve modelçözülmüştür. Bu çözüme göre Şekil 3.7’de görülen 0.000588 varyanslı C portföyübelirlenmiştir. 0.006651 varyansına sahip olan ve A portföyüne göre daha yüksekgetirili etkin portföyü belirlemek için standart model biraz değiştirilmiştir. Varyans belliolduğu için amaç fonksiyonu bu varyans değerine eşitlenerek modelde bir kısıt olarakyer almış, buna karşın hedeflenen getiri belli olmadığı için de getiri kısıtı maksimizeedilecek amaç fonksiyonu olarak tanımlanmıştır. Bu şekilde oluşturulan modelçözüldüğünde Şekil 3.7’de görülen %10.3 getiriye sahip B portföyü belirlenmiştir. Buportföy A ile aynı varyansa sahiptir.
  • 36. 36 X1=0.0 H X2=0.29 e X3=0.33 X4=0.38 d 0.14 B X5=0.0 e f 10.3 l 0.12 e X1=0.5 n 0.1 X2=0.0 e 7.7 A X3=0.0 X4=0.0 n 0.08 G C X5=0.5 X1=0.55 e 0.06 X2=0.22 0.0066 t X3=0.0 Risk (Portföy Varyansı) i 0.04 X4=0.21 0.000588 X5=0.02 r i -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Şekil 3.3. Tesadüfi oluşturulmuş portföy ile etkin sınırın karşılaştırılması. H e 0.14 d e 0.12 f l 0.1 Hisse 2 e Hisse 5 n 0.08 Hisse 3 e n 0.06 Hisse 4 G Hisse 1 e 0.04 t i -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 r i Risk (Portföy Varyansı) Şekil 3.4. Tek tek hisseler ile etkin sınırın karşılaştırılması Şekil 3.7’de ise hisseler tek tek beklenen getiri ve varyansları etkin sınır ilekarşılaştırılmıştır. Görüldüğü gibi çeşitleme yatırımın etkinliğini bariz olarakarttırmaktadır.
  • 37. 373.4. LINGO ile Modelleme: Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Markowitz ortalama-varyansportföy seçim modeli LINGO doğrusal-doğrusal olmayan programlama platformundada modellenecektir. Bu kısmı çalışmaya eklemekteki temel motivasyonumuz büyükölçekli modellerin kurulması sürecinde bu platformun daha etkin desteksağlayabilmesidir. LINGO ile optimizasyon modelleri oluşturulurken yazılımın modelleme dilikullanılmaktadır. Bu kısımda öncelikle standart Markowitz ortalama-varyans portföyseçim modeli LINGO modelleme platformunda oluşturulmuş, ardından da modelde yeralan bileşenler açıklanmıştır.MODEL:! Standart Markowitz Portföy Modeli;SETS:HISSE/1..5/: ORT, X;KOVMAT(HISSE,HISSE): V;ENDSETSDATA:! Veri Setleri;! Hisse senetlerinin beklenen getirisi;ORT = 0.053 0.132 0.102 0.081 0.102 ;! Kovaryans matrisi;V=0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064-0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.01440.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032-0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035-0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 ;! Portföyün hedeflenen getirisi;GETIRI = 0.10;ENDDATA! Model; ! Amaç: Portföy Varyansı Minimizasyonu;[VAR] MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J) * X(I) * X(J));! Hedeflenen Portföy Getirisi Kısıtı;[KAZANC] @SUM ( HISSE: ORT * X) >= GETIRI;! Portföydeki Hisselerin Ağırlıkları Toplamı 1 Olmalı Kısıtı;[YUZDEYUZ] @SUM( HISSE: X) = 1; END
  • 38. 383.5.Model ile İlgili Açıklamalar: Kümeler (SETS): Modelde, yatırım yapabilecek 5 hisse senedine karşılık gelenHISSE adlı bir basit küme (primitive set) tanımlanmıştır. HISSE kümesinden,HISSE’nin kendisi ile çarpımıyla elde edilen KOVMAT türetilmiş kümesi (dense set)elde edilmiştir. Bu türetilmiş küme kovaryans matrisini tanımlamaktadır. Öznitelikler (ATTRIBUTES): Modelde üç öznitelik tanımlanmıştır. ORT hissesenetlerinin beklenen getirilerini, V’de kovaryans matrisini içermektedir. X ise modelinkarar değişkenlerini oluşturmak için tanımlanmıştır. Kolaylıkla anlaşılacağı gibi, X(i), ihisse senedine yapılacak yatırım yüzdesine karşılık gelmektedir. Amaç Fonksiyonu: Portföy varyansını minimize etmek üzere tasarlanan amaçfonksiyonu aşağıdaki gibi ifade edilmiştir. MIN = @SUM( KOVMAT( I,J ): V( I,J ) * X( I ) * X( J )); [15],[18]Kısıtlar: Modeldeki ilk kısıt olan, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılması kısıtı aşağıdakigibi gösterilmiştir. @SUM( HISSE: ORT * X ) >= GETIRI; [15], [18] Bu kısıtın sol tarafı hisse senetlerinin beklenen getirileri ile portföydekiağırlıklarını çarparak portföy getirisi elde etmektedir. İkinci kısıt ise hisse senetlerininportföydeki ağırlıkları toplamının 1 olmasını sağlayan kısıttır. @SUM( HISSE: X ) = 1; [15],[18] Bu kısıt eklenmezse, model daha düşük bir varyans elde etmek için bazı hissesenetlerine daha çok yatırım yaparak, hisse senetlerinin ağırlıkları toplamı da %100’ünüzerine çıkacaktır. Modelin çözümü ektedir.
  • 39. 394. ALIM-SATIM MALİYETLERİNİ İÇEREN ORTALAMA-VARYANSPORTFÖY SEÇİM MODELİ Doğrusal yapıdaki işlem maliyetleri de standart Markowitz ortalama-varyansportföy seçim modeline dahil edilebilir. Bu durumda işlem maliyetleri yapılan işleminbelli bir yüzdesi olarak modelde yer alır. İşlem maliyetini içeren modellerdeyatırımcının portföyüne varlık alma ya da portföyünden varlık satmasını göstermek içinmodel bir başlangıç portföyü ile oluşturulur. Bu bölümde işlem maliyetlerini içerenmodel tartışılacaktır. 3. bölümdeki örnek modifiye edilerek, işlem maliyetlerini deiçerecek şekilde çözülecektir.4.1. İşlem Maliyetlerinin Modele Dahil Edilmesi: Portföye alınan ve portföyden satılan varlıkları ifade etmek üzere iki yenideğişken modele eklenecektir. Xsi, portföyden satılan i varlığı oranını, Xai’de portföyealınan i varlığı oranını gösterecektir. i varlığının alım satımdaki işlem maliyeti oranlarıda modelde mi ile gösterilecektir. İki temel kısıt model eklenecektir. Bunlardan birincisi portföyden satılanvarlıklardan elde edilen gelirin, portföye alınacak varlıklara ödenecek gideri karşılamasıkısıtıdır. Portföyden satılan varlıkların getirisi işlem maliyeti düşülerek elde edilirken,portföye alınan varlıkların giderine işlem maliyeti eklenmektedir. Bu gelir-giderkorunumu kısıtı aşağıda gösterilmiştir. N N  x .1  m    x .1  m   0 i 1 si i i 1 ai i [20], [21] Kısıtın ilk kısmında satımların işlem maliyeti düşüldükten sonraki geliri eldeedilirken, ikinci kısmında da alımların işlem maliyeti eklenmiş giderleri elde edilmiş vebunların farkının sıfırdan büyük olması sağlanmıştır. İkinci grup kısıt ise aşağıdagörülen ve her bir varlık için hazırlanacak, işlem akışının korunması kısıtlarıdır.
  • 40. 40 xi  bi  x ai  x si  0 [20], [21] i  1,..., N Bu kısıttaki bi sabiti her bir varlığın başlangıçta elde bulunan oranını,şlemlerden sonra elde kalan oranını, ve ’de i varlığından alınan ve satılanlarınoranını göstermektedir. Bu kısıtların eklenmesi ile aşağıdaki genel model elde edilir. N N Min. xi .x j . ij i 1 j 1 s.t. N  x . i 1 i i R [20], [21] N N  x .1  m    x .1  m   0 i 1 si i i 1 ai i xi  bi  x ai  x si  0 xi  0 Burada,N : mevcut varlık sayısı,µ i : i varlığın beklenen getirisi (i = 1,..,N), ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değeri (i = 1,..,N), (j = 1,..,N), : i = j için i varlığının varyans değeri,R : hedeflenen beklenen getiri düzeyi,bi : i varlığının başlangıçta portföydeki oranıdır. (0 ≤ b ≤ 1), (i = 1,..,N),xi : karar değişkenleri, : i varlığının portföy içindeki oranıdır. (0 ≤ X ≤ 1), (i = 1,..,N),xsi : karar değişkenleri, : i varlığının portföyden satılan oranıdır. (0 ≤ xsi ≤ 1), (i = 1,..,N),x ai : karar değişkenleri, i varlığının portföye yeni alınan oranıdır. (0 ≤ x ai ≤ 1), (i = 1,..,N),mi : i varlığının alım ve satımdaki işlem maliyeti oranı (i = 1,..,N),
  • 41. 414.2. İşlem Maliyetlerini İçeren Ortalama-Varyans Modeli Örneği: Bu kısımda, ele alınacak problemde hisse sentleri modellenecektir. Problemde, 5adet hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için işlem maliyetlerini içeren Markowitzportföy seçim modeli oluşturulacak ve çözülecektir. Çözüm ortamı olarak Excel veçözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Yatırımcının başlangıç portföyü 5hisse için sırasıyla 0.30, 0.10, 0.10, 0.20, 0.30 oranlarında dağılmıştır. İşlem maliyetleriyapılan işlem hacminin %1’i dir. Bu kısıtlar altında oluşturulan modelin açık haliaşağıda görülmektedir. Min. 0.0072 X ² - 0.0320 X .X + 0.0006 X .X – 0.0008 X .X – 0.0128 X .X + 0.0519 X ² +0.0180X .X – 0.0142 X .X + 0.0288X .X + 0.0185 X ² x3² - 0.0108X .X + 0.0064X .X + 0.0111 X ² +0.0070 X .X + 0.0323 X ² Kısıtlar, 0.053X + 0.132X + 0.102 X + 0.081X + 0.102X = 0.10 0.99X + 0.99X + 0.99X + 0.99X + 0.99 X – 1.01 X – 1.01X – 1.01X – 1.01 X –1.01X ≥0 X – 0.30 - X + X =0 X – 0.10 –X +X =0 X – 0.10 – X +X =0 X – 0.20 – X +X =0 X – 0.30 –X +X =0 X , X , X , X , X ≥ 0 Tablo 4.1’de işlem maliyetlerini de içeren Ortalama-Varyans portföy seçimmodeli Excel’de modellenmiştir. Modelin 5 ve 6. satırlarında standart modelden farklıolarak işlem maliyet yüzdeleri ve başlangıç portföyü dağılımı modele parametre olarakeklenmiştir. Ayrıca 17 ve 18. satırlarda portföyden satılan ve portföye alınan varlıklarınoranına karşılık gelen yeni karar değişkenleri de tanımlanmıştır.
  • 42. 42 Tablo 4.1. İşlem maliyetlerini içeren portföy optimizasyonu modelininExcel’de gösterimi B C D E F G23 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 54 Ortalama getiri %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.25 İşlem Maliyeti %1.0 %1.0 %1.0 %1.0 %1.06 Başlangıç Portföyü %30.0 %10.0 %10.0 %20.0 %30.089 Kovaryans Matrisi Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 510 Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.006411 Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.014412 Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.003213 Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.003514 Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.032315 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 516 Portföyden Satılan %30.0 %0.0 %0.0 %0.0 %29.317 Portföyden Alınan %0.0 %15.3 %22.4 %20.4 %0.018 Yeni Portföy Ağırlıkları %0.0 %25.3 %32.4 %40.4 %0.719 Denge %0.0 %0.0 %0.0 %0.0 %0.02021 Portföy Getirisi %10.022 Hedeflenen Getiri %10.02324 Portföyden Satışlar %58.7 Portföy Varyansı 0.005825 Portföyden Alımlar %58.7 Standart Sapma 0.075926 Nakit Akış Dengesi %-0.0 C19:G19 aralığında işlem akışının korunması kısıtları tanımlanmıştır. Örneğin1.hisse için bu korunum, =C18-C6-C17+C16 formülüyle sağlanmıştır. Böylece hisse1’in yeni portföydeki ağırlığının başlangıç portföyündeki ağırlığı eksi başlangıçportföyünden satılan ağırlığı ve başlangıç portföyüne eklenen ağırlıkları toplamına eşitolması sağlanmıştır. C26 hücresinde ise portföyden satılan varlıklardan elde edilen gelirin, portföyealınacak varlıklara ödenecek gideri karşılaması kısıtı tanımlanmıştır. C24 hücresindeportföyden yapılan satışların getirisi işlem maliyeti düşülerek =SUMPRODUCT((1-C5:G5),C16:G16) formülüyle hesaplanmıştır. C25 hücresinde ise portföye yapılan
  • 43. 43alımların gideri işlem maliyeti de eklenerek =SUMPRODUCT((1+C5:G5),C17:G17)formülüyle hesaplanmıştır. C26 hücresinde ise gelir ve giderlerin farkı =C24-C25formülüyle elde edilmiştir. Modelde kullanılan tüm formüller ve alan tanımlamaları tablo 4.2’degörülmektedir.Tablo 4.2. Modeldeki alan tanımlamaları ve kullanılan formüllerAralık Tanım Hücre FormülC4:G4 Ortalama Getiriler C19 =C18-C6-C17+C16 C19:G19 aralığına kopyalanmıştır.C5:G5 İşlem Maliyetleri C21 =SUMPRODUCT(C4:G4;C18:G18)C6:G6 Başlangıç Portföy C24 =SUMPRODUCT((1-C5:G5);C16:G16) YapısıC10:G14 Kovaryans Matrisi C25 =SUMPRODUCT((1+C5:G5);C17:G17)C16:G16 Portföyden C26 =C24-C25 Çıkanlar (Karar D.)C17:G17 Portföye Alınanlar G24 =SUMPRODUCT (Karar D.) (MMULT(C18:G18;C9:G13);C18:G18)C18:G18 Yeni G25 =SQRT(G24) Portföy (Karar D.)C19:G19 Denge EşitlikleriC21 Portföy GetisiC22 Hedeflenen GetiriC24:C26 Nakit Akış DengesiG24 Portföy VaryansıG25 Portföy Standart Sapması Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeyehazırdır. Şekil 4.2’de solver parametresi görülmektedir.
  • 44. 44Şekil 4.1. Solver parametreleri “Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesininhazırladığı G24 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonunun tipiminimizasyon olarak belirtilir. “By Cahnging Cells (Hücreleri değiştirerek)” bölümünde karar değişkenlerinindeğerinin hesaplanması için belirlenen C16:G18 alanı girilir. “Subject to the Constraints(Kısıtlar Altında)” bölümünde ise optimizasyon sürecinde gözününde bulundurulacakkısıtlar tanımlanır. Bu kısıtlar sırasıyla, işlem akışının korunmasını sağlayan C19:G19=0,portföyden satılan varlıklardan elde edilen gelirin, portföyde alınacak varlıklaraödenecek gideri karşılamasını sağlayan C26 ≥ 0, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasınısağlayan C21 ≥ C22 ve karar değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayanC16:G18 ≥ 0 kısıtlarıdır. Model Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve (Çöz)” düğmesine basılarakportföy seçim modeli optimize edilir. Tablo 4.3’de işlem maliyetlerini de içerenMarkowitz portföy seçim modelinin %1 işlem maliyeti ve sırasıyla 0.30, 0.10, 0.10,0.20, 0.30 oranlarındaki başlangıç portföyü için çözümünün sonuçları görülmektedir.
  • 45. 45Tablo 4.3. İşlem maliyetlerini içeren portföy optimizasyonu modelinin çözümü B C D E F G15 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 516 Portföyden Satılan %30.0 %0.0 %0.0 %0.0 %29.317 Portföye Alınan %0.0 %15.3 %22.4 %20.4 %0.018 Yeni Portföy Ağırlıkları %0.0 %25.3 %32.4 %40.4 %0.7 Çözüm sonuçları incelendiğinde hisse 1’de başlangıçta %30 olan oranı tamamensatılarak, yeni portföyde yer almadığı görülmektedir. Hisse 2’nin %10 olan ağırlığı%15.3’lük eklemeyle %25.3’e yükselmiştir. Aynı şekilde Hisse 3’te 0.224’lük artışla%32.4 ağırlığa sahip olmuştur. Hisse 4’de %20.4’lük artışla %40.4 ağırlığa sahipolmuştur. Hisse 5’ten ise başlangıçtaki %29.3’lük ağırlığı satılarak tüm portföyiçerisindeki ağırlığı %0.7’ye gerilemiştir. Dikkat edilirse yeni portföy ağırlıkları toplamının 1’den biraz daha az olduğufark edilecektir (0.981). Bunun nedeni portföyün belli bir yüzdesinin işlem maliyetlerinedeniyle yok olmasıdır.4.3. LINGO ile Modelleme: Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Markowitz ortalama-varyansportföy seçim modeli LINGO doğrusal-doğrusal olmayan programlama platformundada modellenecektir. Bu kısmı çalışmaya eklemekteki temel motivasyonumuz büyükölçekli modellerin kurulması sürecinde bu platformun daha etkin desteksağlayabilmesidir. LINGO ile optimizasyon modelleri oluşturulurken yazılımın modelleme dilikullanılmaktadır. Bu kısımda öncelikle standart Markowitz ortalama-varyans portföyseçim modeli LINGO modelleme platformunda oluşturulmuş, ardından da modelde yeralan bileşenler açıklanmıştır.
  • 46. 46MODEL:! Standart Markowitz Portföy Modeli;SETS:HISSE/1..5/: START, AL, SAT, ORT, MLYT, X;KOVMAT(HISSE,HISSE): V;ENDSETSDATA:! Veri Setleri;! Hisse senetlerinin 1 dönem sonraki beklenen getirisi;ORT = 0.053 0.132 0.102 0.081 0.102 ;! Kovaryans matrisi;V= 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064-0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.01440.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032-0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035-0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 ;! İşlem maliyetleri; MLYT = 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01;! Portföyün başlangıç durumu;START = 0.30 0.10 0.10 0.20 0.30;! Portföyün hedeflenen getirisi;GETIRI = 0.10;ENDDATA! Model;! Amaç: Portföy Varyansı Minimizasyonu;[VAR] MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J) * X(I) * X(J));! Hedeflenen Portföy Getirisi Kısıtı;[KAZANC] @SUM ( HISSE: ORT(ı) * X(ı)) >= GETIRI;! Bütçe Kısıtı: Satislar, alimlar ve islem maliyetlerini karsilamali;@SUM(HISSE(I): SAT(I)*(1-MLYT(I))) - @SUM(HISSE(I): AL(I)*(1+MLYT(I))) >= 0;!Her hisse icin denge esitlikleri;@FOR(HISSE(I): X(I) = START(I) + AL(I) – SAT(I););END4.4.Model ile ilgili açıklamalar: Kümeler (SETS): Modelde, yatırım yapabilecek 5 hisse senedine karşılık gelenHISSE adlı bir basit küme (primitive set) tanımlanmıştır. HISSE kümesinden,
  • 47. 47HISSE’nin kendisi ile çarpımıyla elde edilen KOVMAT türetilmiş kümesi (dense set)elde edilmiştir. Bu türetilmiş küme kovaryans matrisini tanımlamaktadır. Öznitelikler (ATTRIBUTES): Modelde yedi öznitelik tanımlanmıştır. STARTbaşlangıç portföyünü , AL, portföye alınan hisse ağırlıklarını gösteren karadeğişkenlerini, SAT, portföyden satılan hisse ağırlıklarını gösteren karardeğişkenlerini, MLYT, işlem maliyet oranlarının, ORT, hisse senetlerinin beklenengetirilerini, X, ise portföyün nihai ağırlıklarını gösteren karar değişkenlerini oluşturmakiçin tanımlanmıştır. Anlaşılacağı üzere X(i), i hisse senedine yapılacak yatırımyüzdesine karşılık gelmektedir. Amaç Fonksiyonu: Prtföy varyansını minimize etmek üzere tasarlanan amaçfonksşyonu aşağıdaki gibi ifade edilmiştir. MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J)*X(I)*X(J)); [ 24], [25] Kısıtlar: Modeldeki ilk kısıt olan, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılması kısıtıaşağıdaki gibi gösterilmiştir. @SUM(HISSE: ORT*X) ≥ GETİRİ; [24], [25] Bu kıstın sol tarafı hisse senetlerinin beklenen getirileri ile portföydekiağırlıklarını çarparak portföy getirisi elde edilmektedir. İkinci kısıt ise satışların,alımları ve işlem maliyetlerini karşılamasını sağlayan bütçe kısıtıdır. @SUM(HISSE(I): SAT(I)*(1-MLYT(I))) - @SUM(HISSE(I): AL(I)*(1+MLYT(I))) ≥ 0; [24], [25]Üçüncü grup kısıt ise her hisse için akış korunumunu sağlayan denge eşitlikleridir. @FOR(HISSE(I): X(I) = START(I) + AL(I) – SAT(I); ); [24], [25] Tüm hisseler için kısıtın yazılması @FOR ifadesi ile mümkün olmaktadır.Modelin çözümü ektedir.
  • 48. 485. SENARYO TABANLI PORTFÖY OPTİMİZASYONU VE FARKLI RİSKÖLÇÜTLERİ Portföy oluşturulması sürecinde, gelecekte olması düşünülen senaryoları gözönünde bulundurarak portföy seçimi yapan modeller de geliştirilebilir. Bir senaryo (si),yatırım yapabilecek varlıklar kümesindeki n enstrümanın bir dönem sonraki getirilistesidir. Her bir senaryonun gerçekleşme olasılığı da pi olarak tanımlanırsa, m adetsenaryo için bir dönemlik rassal getiri oluşum grafiği Şekil 5.1’de gösterilmiştir. Fiyat Düzeyi Rassal Getiriler Portföy Senaryo 1 kararı Senaryo 2 Senaryo 3 t t +1 Senaryo m DönemŞekil 5.1. Senaryolara göre portföy getirilerinin oluşumu. Yatırımcının senaryo optimizasyonu yapmadan önce, olası senaryolarıbelirlemesi gerekmektedir. Her bir s j senaryosu n adet enstrümanın o senaryodoğrultusundaki getirilerini içermektedir. Dolayısıyla rij i varlığının j senaryosuna göregetirisidir. Senaryolar, geçmiş getiriler, uzman görüşleri, finansal modeller ya dabunların kombinasyonlarından türetilebilir. Bu bölümde senaryo tabanlı portföyoptimizasyonu modeli oluşturulacak ve çözülecektir.
  • 49. 495.1. Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu: Öncelikle her bir senaryo için, o senaryonun gerçekleşmesi durumunda portföygetirisinin ne olacağı tanımlanmalıdır. Bir s j senaryosunun gerçekleşmesi sonucu eldeedilecek portföy getirisi, r j , o senaryo altında varlıkların getirileri, rij , ile varlıklarınportföy ağırlıklarının x i çarpımlarının toplamı sonucu aşağıdaki gibi elde edilir. N rj =  r .x i 1 ij i (j = 1,…,M) [26] Bu ifade ile modelde senaryo sayısı kadar kısıt oluşacaktır. Karar verici,gerçekleşen senaryo sonucunda ulaştığı getirinin, hedeflediği getiriden farkını birdeğişken olarak modele dahil etmelidir. Bu d j değişkenlerinin her bir senaryo içinsenaryo getirisi ile hedeflenen getirinin farkı olduğunu gösteren M adet kısıt aşağıdakigibi oluşturulur. d j = rj – R (j = 1,…,M) [26] Senaryo getirisinin hedeflenen getirinin altında kalması durumunda d j negatifdeğer alacaktır. Aynı şekilde üstünde oluşması durumunda ise pozitif değer alacaktır.Bu nedenle d j değişkenleri modelde sınırsız değişkenler olarak tanımlanmalıdır.Beklenen getiriyi veren, senaryoların getirileri, r j , ile gerçekleşme olasılıklarının, p j ,çarpımları toplamının hedeflenen getirinin altında kalmaması da aşağıda görülen birdiğer kısıttır. M p j 1 j .r j  R [26]
  • 50. 50 Portföyde yer alan varlıkların ağırlıkları toplamının 1’e eşit olması kısıtı daaşağıdaki şekilde oluşturulur. N x i 1 i =1 [26] Modelin amaç fonksiyonu ise toplam beklenen sapmanın minimize edilmesiolarak tanımlanacaktır. Toplam beklenen sapma ise her bir senaryonun hedeflenengetiriden sapmasını gösteren dj değişkenleri ile senaryoların gerçekleşmeolasılıklarının, p j , çarpımlarının toplamı aşağıdaki gibi minimize edilecek amaçfonksiyonu olarak gösterilebilir. M Min. p j .( d j ) 2 [26] j 1 Karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtı da eklendiğinde aşağıdaki genelmodel elde edilir. M Min.  p .(d j j )2 j 1 s.t. N rj =  r .x i 1 ij i (j = 1,…,M) d j = rj – R (j = 1,…,M) N x i 1 i =1 [26], [27] M p j 1 j .r j  R
  • 51. 51 x i  0, i = 1,…,N d j , sınırsız j = 1,…,MBurada,N mevcut varlık sayısı,M senaryo sayısı,pj j senaryosunun gerçekleşme olasılığı (j = 1,…,M),rj r senaryosunun portföy ağırlıkları doğrultusunda getirisi (j = 1,…,M),rij i varlığının j senaryosunda getiri verisi (i = 1,…,N), (j = 1,…,N),R hedeflenen beklenen getiri düzeyi,xi i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N),dj senaryo getirisinin hedeflenen getiriden sapma miktarı, (karar değişkeni) (j =1,…,N) Yukarıda görülen senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modelinde amaçfonksiyonunda varyans-kovaryans matrisi bulunmamaktadır. Varlıkların birbirleri ilekolerasyonu dolaylı olarak kısıtlarda gösterilmektedir. Geçmiş dönem getirilerinin herbiri eşit olasılığa sahip bir senaryo olarak alınırsa, senaryo tabanlı portföyoptimizasyonu modelinin çözümü, standart Markowitz portföy seçim modeli ile aynıçıkacaktır. Dolayısıyla, senaryo tabanlı portföy optimizasyonu, Markowitz portföyseçim modelinin farklı bir gösterimdir.5.2. Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu Örneği: Bu kısımda, kısım 3.3’de oluşturulan örnek modellenecektir. Problemde, 5 adethisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için geçmiş dokuz dönemlik getirilerin herbiri, gerçekleşme olasılığı 1/9 olan bir senaryo olarak alınacaktır. Çözüm ortamı olarakExcel ve çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır.
  • 52. 52 Aşağıda örnek için açık formu görülen modelin amaç fonksiyonunda,senaryoların hedeflenen getiriden sapmalarının kareleri toplamı, senaryolarıngerçekleşme olasılıkları ile ağırlıklandırılarak minimize edilmiştir. İlk dokuz kısıt herbir senaryo getirisinin o senaryonun varlık getirileri ile portföy ağırlıklarınınçarpımlarının toplamına eşit olmasını sağlayan kısıtlardır. Modeldeki ikinci dokuz kısıtise her biri senaryonun sapmasının, senaryonun getirisi ile hedeflenen getiri arasındakifark olmasını sağlayan kısıtlardır. Bir sonraki kısıt portföy ağırlıkları toplamının 1olmasını sağlayan kısıttır. Son kısıt ise senaryoların ağırlıklı toplamının 1 olmasınısağlayan kısıttır. Son kısıt ise senaryoların ağırlıklı getirileri toplamının hedeflenengetirinin altında kalmamasını sağlayan kısıttır. Modelde sapma değişkenleri sınırsızolarak tanımlanmıştır. Görüldüğü gibi standart portföy seçim modeline ek olarak her bir varlık için üstsınır kısıtı olarak 5 yeni kısıt modele eklenmiştir. 2 2 2 2 2 2 2Min. 0.111 d1 + 0.111 d2 + 0.111 d3 + 0.111 d4 + 0.111 d5 + 0.111 d6 + 0.111 d7 + 0.111 2 2d8 + 0.111 d9Kısıtlar,r1 – ( 0.10 x1 + 0.20 x 2 + 0.10 x3 + 0.014 x 4 + 0.20 x5 ) =0r2 – ( 0.036 x1 + 0.146 x 2 + 0.152 x3 – 0.07 x 4 – 0.104 x5 ) =0r3 – ( 0.14 x1 - 0.273 x 2 - 0.132 x3 + 0.167 x 4 + 0.163 x5 ) =0r4 – ( -0.077 x1 + 0.475 x 2 + 0.212 x3 + 0.039 x 4 + 0.28 x5 ) =0r5 – ( 0.117 x1 + 0.085 x 2 + 0.075 x3 – 0.063 x 4 – 0.141 x5 ) =0r6 – ( -0.03 x1 + 0.156 x 2 – 0.116 x3 + 0.267 x 4 – 0.036 x5 ) =0r7 – ( 0.154 x1 - 0.189 x 2 + 0.289 x3 + 0.158 x 4 + 0.113 x5 ) =0r8 – ( -0.067 x1 + 0.40 x 2 + 0.122 x3 + 0.091 x 4 + 0.441 x5 ) =0r9 – ( 0.10 x1 + 0.19 x 2 + 0.218 x3 + 0.125 x 4 + 0.00 x5 ) =0d 1 - r1 = -0.10d 2 - r2 = -0.10d 3 - r3 = -0.10
  • 53. 53d 4 - r4 = -0.10d 5 - r5 = -0.10d 6 - r6 = -0.10d 7 - r7 = -0.10d 8 - r8 = -0.10d 9 - r9 = -0.10x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =10.111 r1 + 0.111 r2 + 0.111 r3 + 0.111 r4 + 0.111 r5 + 0.111 r6 + 0.111 r7 + 0.111 r8 + 0.111 r9  0.10x1 , x2 , x3 , x4 , x5  0r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , r6 , r7 , r8 , r9  0d 1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 , d 6 , d 7 , d 8 , d 9 , sınırsız Tablo 5.1’de senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modeli Excel’demodellenmiştir.Tablo 5.1. Senaryo optimizasyon modelinin Excel’de gösteri B C D E F G H I J K 2 Senaryo Senaryo Hedeften Denge Kısıtlar 3 Senaryolar Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Olasılığı Getirisi Fark ı 4 S1 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0 %11.1 %8.6 %-1.4 0% 5 S2 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4 %11.1 %5.3 %-4.7 0% 6 S3 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3 %11.1 %-3.5 %-13.5 0% 7 S4 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0 %11.1 %19.9 %9.9 0% 8 S5 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1 %11.1 %1.7 %-8.3 0% 9 S6 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6 %11.1 %11.5 %1.5 0% 10 S7 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3 %11.1 %12.0 %2.0 0% 11 S8 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1 %11.1 %17.4 %7.4 0% 12 S9 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0 %11.1 %17.1 %7.1 0%
  • 54. 54 13 14 Portföy Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam 15 Ağırlıkları - %23.5 %32.9 %43.6 - 100% 16 17 Portföy Getirisi 10% Portföy Varyansı 0.00535 18 Hedeflenen Getiri 10% Standart Sapma 0.07317 Modelde kullanılan formüller ve alan tanımlamaları Tablo 5.2’de görülmektedir.Tablo 5.2. Modeldeki alan tanımlamaları ve kullanılan formüllerAralık Tanım Hücre FormülC4:G12 Senaryolara Göre Getiriler H4 =1/9 H4:H12 aralığına kopyalanmıştır.H4:H12 Senaryo Olasılıkları I4 =SUMPRODUCT(C4:G4;$C$15:$G$15) I4:I12 aralığına kopyalanmıştırI4:I12 Senaryo Getirileri K4 =I4-$D$18-J4 K4:K12 aralığına kopyalanmıştırJ4:J12 Senaryo Getirilerinin Hedeflenen H15 =SUM(C15:G15) Getiriden Sapma Miktarı (Karar Değişkeni)K4:K12 Denge Kısıtları D17 =SUMPRODUCT(H4:H12;I4:I12)C15:G15 Varlıkların Portföydeki Payı (Karar K17 =SUMPRODUCT((J4:J12)^2;H4:H12) Değişkeni)H15 Portföy Payları Toplamı K18 =SQRT(K17)D17 Portföy GetirisiD18 Hedeflenen GetiriK17 Portföy VaryansıK18 Portföy Standart Sapması Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeyehazırdır. Şekil 5.2’de Solver parametreleri görülmektedir.
  • 55. 55Şekil 5.2. Solver parametreleri “Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesininhazırlandığı K17 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonunun tipiminimizasyon olarak belirtilir. “By Changing Cells (Hücreleri değiştirerek)” kısmına portföy ağırlıklarınınhesaplanacağı karar değişkenleri için belirlenen C15:G15 alanı ve sapmalarınhesaplanacağı J4:J12 aralığı girilir. “Subject to the Constraints (Kısıtlat Altında)”bölümünde ise optimizasyon sürecinde göz önünde bulundurulacak kısıtlar tanımlanır.Bu kısıtlar sırasıyla, tüm fonun yatırım enstrümanlarına dağıtılmasını sağlayan H15 = 1,hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan D17 ≥ D18, senaryo sapmalarını,senaryo getirisi ve hedeflenen getiri ile ilişkilendiren K4:K12 = 0 ve karardeğişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C15:G15 ≥ 0 kısıtlarıdır. ModelSolver’da tanımlandıktan sonra “Solve (Çöz)” düğmesine basılarak portföy seçimmodeli optimize edilir. Tablo 5.3’de senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modelinin%10 hedeflenen getiri düzeyi için çözümünün sonuçları görülmektedir.Tablo 5.3. Senaryo optimizasyonu modelinin çözümü B C D E F G H I J K14 Portföy Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam15 Ağırlıkları - %23.5 %32.9 %43.6 - 100%1617 Portföy Getirisi 10% Portföy Varyansı 0.0053518 Hedeflenen Getiri 10% Standart Sapma 0.07317
  • 56. 56 Örnekteki senaryolar geçmiş dönem getirileri ve senaryo olasılıkları da eşitalındığı için modelin çözümü standart Markowitz portföy seçim modelinin çözümü ileaynıdır.5.3. Farklı Risk Ölçütleri – Yarı Varyans ve Alt Taraf Riski: Varyansın risk ölçütü olarak amaç fonksiyonunda yer alması ile senaryolarınbeklenen getirilerinden negatif ve pozitif yöndeki sapmalar minimize edilir. Oysasenaryo getirisinin beklenen getirinin üstünde kalması yatırımcı açısından bir riskunsuru değildir. Hatta tercih edilir. Yatırımcı sadece senaryo getirisinin beklenengetirinin altında kalmasını gösteren sapmayı minimize etmek isteyecektir. Bu kısımdaamaç fonksiyonunu oluşturmak üzere, negatif yöndeki sapmayı minimize edecek ikiölçüt sunulacaktır. Bunlardan birincisi yarı varyans (semi-variance), ikincisi de alt taraf(downside) riskidir. Öncelikle bu bölümün önceki kısımlarında tanımlanan d j sapma değişkeni,hedeflten pozitif ve negatif yönde sapmaları gösteren iki değişkene ayrıştırılacaktır. d  jhedeften pozitif yönde sapmayı, d  ise hedeften negatif yönde sapmayı gösterecektir. jDolayısıyla toplam sapma miktarı şu şekilde ifade edilecektir. d j = d+ d j j [19] Bir önceki kısımda gösterilen varyansın minimize edildiği portföy seçimmodelinin amacı şu şekilde dönüşecektir.
  • 57. 57 M Min. p j .( d   d  ) 2 j j [19] j 1 Yarı varyansa göre oluşturulan amaç fonksiyonunda ise sadece ortalamanınaltındaki sapmalar aşağıda görüldüğü gibi minimize edilecektir. M Min. p j .( d  ) 2 j [19] j 1 Alt taraf riskini içeren amaç fonksiyonunda sapmada kare ifadesi yoktur.Dolayısıyla aşağıda görülen bu model doğrusal yapıdadır. M Min. p j .d  j [19] j 1 Sapma değişkenlerinin her bir senaryo için senaryo getirisi ile hedeflenengetirinin farkı olduğunu gösteren d j = r j - R kısıtı da aşağıdaki gibi değiştirilmelidir. d   d  = rj - R j j (j=1,…,M) [19] Sapma değişkeni iki ayrı değişkenle ifade edildiğinden dolayı artık sınırsızolarak tanımlanması gerekmektedir. Bu değişikliklerin yapılması ile elde edilen farklı risk ölçütleri ile senaryotabanlı portföy optimizasyonu modeli aşağıda görülmektedir. Karar verici modeliistediği risk ölçütünü amaç fonksiyonu olarak belirleyip çözebilir. M Min. p j .( d   d  ) 2 j j ya da j 1
  • 58. 58 M Min. p j .( d  ) 2 j ya da j 1 M Min. p j .d  j j 1 [20],[23], [24] kısıtlar N rj =  r .x i 1 ij i (j = 1,…,M) d   d  = rj - R j j (j=1,…,M) N x i 1 i =1 M p j .r j  R j 1 [20],[23], [24] x i  0, i = 1,…,N d j  0, i = 1,…,MBurada,N mevcut varlık sayısı,M senaryo sayısı,pj j senaryosunun gerçekleşme olasılığı (j = 1,…,M),rj r senaryosunun portföy ağırlıkları doğrultusunda getirisi (j = 1,…,M),rij i varlığının j senaryosunda getiri verisi (i = 1,…,N), (j = 1,…,N),R hedeflenen beklenen getiri düzeyi,xi i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N),d j senaryo getirisinin hedeflenen getiriden pozitif sapma miktarı, (karar değişkeni) (j = 1,…,N)d j senaryo getirisinin hedeflenen getiriden negatif sapma miktarı, (karar değişkeni) (j = 1,…,N)
  • 59. 595.4. Farklı Risk Ölçütleri ile Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu Örneği: Bu kısımda, ele alınacak hisse senetleri modellenecektir. Problemde, 5 adet hissesenedinden oluşan bir yatırım uzayı için geçmiş dokuz dönemlik getirilerin her biri,gerçekleşme olasılığı 1/9 olan bir senaryo olarak alınacaktır. Çözüm ortamı olarakExcel ve çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Amaç fonksiyonu olarak iseyarı varyans kullanılmıştır. Karar verici alt taraf riskini de amaç fonksiyonu olaraktanımlayabilir.      Min. 0.111 ( d1 ) 2 + 0.111 (d 2 ) 2 + 0.111 (d 3 ) 2 + 0.111 (d 4 ) 2 + 0.111 (d 5 ) 2 + 0.111 (d 6 ) 2 +   0.111 (d 7 ) 2 + 0.111 (d 8 ) 2 + 0.111 (d 9 ) 2Kısıtlar,r1 – ( 0.10 x1 + 0.20 x 2 + 0.10 x3 + 0.014 x 4 + 0.20 x5 ) =0r2 – ( 0.036 x1 + 0.146 x 2 + 0.152 x3 – 0.07 x 4 – 0.104 x5 ) =0r3 – ( 0.14 x1 - 0.273 x 2 - 0.132 x3 + 0.167 x 4 + 0.163 x5 ) =0r4 – ( -0.077 x1 + 0.475 x 2 + 0.212 x3 + 0.039 x 4 + 0.28 x5 ) =0r5 – ( 0.117 x1 + 0.085 x 2 + 0.075 x3 – 0.063 x 4 – 0.141 x5 ) =0r6 – ( -0.03 x1 + 0.156 x 2 – 0.116 x3 + 0.267 x 4 – 0.036 x5 ) =0r7 – ( 0.154 x1 - 0.189 x 2 + 0.289 x3 + 0.158 x 4 + 0.113 x5 ) =0r8 – ( -0.067 x1 + 0.40 x 2 + 0.122 x3 + 0.091 x 4 + 0.441 x5 ) =0r9 – ( 0.10 x1 + 0.19 x 2 + 0.218 x3 + 0.125 x 4 + 0.00 x5 ) =0d1  d 1 - r1 = -0.10d 2  d 2 - r2 = -0.10d 3  d 3 - r3 = -0.10d 4  d 4 - r4 = -0.10d 5  d 5 - r5 = -0.10d 6  d 6 - r6 = -0.10
  • 60. 60d 7  d 7 - r7 = -0.10d 8  d 8 - r8 = -0.10d 9  d 9 - r9 = -0.10x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =10.111 r1 + 0.111 r2 + 0.111 r3 + 0.111 r4 + 0.111 r5 + 0.111 r6 + 0.111 r7 + 0.111 r8 + 0.111 r9  0.10x1 , x2 , x3 , x4 , x5  0r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , r6 , r7 , r8 , r9  0         d1 , d 2 , d3 , d 4 , d5 , d 6 , d 7 , d8 , d9 ≥0         d1 , d 2 , d3 , d 4 , d5 , d6 , d 7 , d8 , d9 ≥0 Tablo 5.4’te senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modeli Excel’demodellenmiştir.
  • 61. 61Tablo 5.4. Farklı risk kriterleri ile senaryo optimizasyonun Excel’de gösterimi B C D E F G H I J K L2 Senaryo Senaryo Hedeften Fark Denge3 Senaryo Hisse1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Olasılığı Getirisi (+) (-) Kısıtları4 S1 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0 %11.1 %8.6 %1.1 - 0%5 S2 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4 %4.1 %5.3 - %5.9 0%6 S3 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3 %-2.0 %-3.5 - %12.0 0%7 S4 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0 %21.5 %19.9 %11.5 - 0%8 S5 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1 %1.0 %1.7 - %9.0 0%9 S6 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6 %9.2 %11.5 - %0.8 0%10 S7 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3 %9.3 %12.0 - %0.7 0%11 S8 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1 %21.1 %17.4 %11.1 - 0%12 S9 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0 %14.7 %17.1 %4.7 - 0%1314 Portföy Hisse1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam15 Dağılım %6.5 %26.1 %23.5 %31.7 %12.2 100%1617 Portföy Getirisi 10% Portföy Varyansı 0.0060118 Hedeflenen Getiri 10% Portföy Yarı-Varyansı 0.002919 Portföy AltTaraf Riski 0.03163 Modelde kullanılan formüller ve alan tanımlamaları Tablo 5.5’te görülmektedir.
  • 62. 62Tablo 5.5. Modeldeki alan tanımlamaları ve kullanılan formüllerAralık Tanım Hücre FormülC4:G12 Senaryolara Göre Getiriler H4 =1/9 H4:H12 aralığına kopyalanmıştır.H4:H12 Senaryo Olasılıkları I4 =SUMPRODUCT(C4:G4;$C$15:$G$15) I4:I12 aralığına kopyalanmıştırI4:I12 Senaryo Getirileri L4 =I4-$D$18-J4+K4 L4:L12 aralığına kopyalanmıştırJ4:K12 Senaryo Getirilerinin H15 =SUM(C15:G15) Hedeflenen Getiriden Sapma Miktarı (Karar Değişkeni)L4:L12 Denge Kısıtları D17 =SUMPRODUCT(H4:H12;I4:I12)C15:G15 Varlıkların Portföydeki Payı L17 =SUMPRODUCT(((J4:J12)+(K4:K12))^2,H4:H12) (Karar Değişkeni)H15 Portföy Payları Toplamı L18 =SUMPRODUCT(H4:H12,(K4:K12)^2)D17 Portföy Getirisi L19 =SUMPRODUCT(H4:H12,K4:K12)D18 Hedeflenen GetiriL17 Portföy VaryansıL18 Portföy Yarı VaryansıL19 Portföy Alt Taraf Riski Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeyehazırdır. Şekil 5.3’da Solver parametreleri görülmektedir.Şekil 5.3. Solver parametreleri “Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesininhazırlandığı L18 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonunun tipiminimizasyon olarak belirtilir.
  • 63. 63 “By Changing Cells (Hücreleri değiştirerek)” kısmına portföy ağırlıklarınınhesaplanacağı karar değişkenleri için belirlenen C15:G15 alanı ve sapmalarınhesaplanacağı J4:K12 aralığı girilir. “Subject to the Constraints (Kısıtlar Altında)”bölümünde ise optimizasyon sürecinde göz önünde bulundurulacak kısıtlar tanımlanır. Bu kısıtlar sırasıyla, tüm fonun yatırım enstrümanlarına dağıtılmasını sağlayanH15 = 1, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan D17 ≥ D18, senaryosapmalarını, senaryo getirisi ve hedeflenen getiri ile ilişkilendiren L4:L12 = 0 ve karardeğişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C15:G15 ≥ 0 ve J4:K12 ≥ 0kısıtlarıdır. Model Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve (Çöz)” düğmesine basılarakportföy seçim modeli optimize edilir. Tablo 5.5’de senaryo tabanlı portföyoptimizasyonu modelinin %10 hedeflenen getiri düzeyi için farklı risk ölçütleri ileçözümünün sonuçları görülmektedir.Tablo 5.6. Farklı risk kriterleri ile senaryo optimizasyon modelinin çıktıları Amaç Fonksiyonu Portföy Ağırlıkları Kriteri Değeri Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Varyans 0.005354 - %23.5 %32.9 %43.6 - Yarı-Varyans 0.002898 %6.5 %26.1 %23.5 %31.7 %12.2 Alt Taraf Riski 0.028227 %6.5 %28.1 %30.4 %35.0 -5.5. LINGO ile Modelleme: Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Senaryo optimizasyonmodeli portföy seçim modeli LINGO doğrusal-doğrusal olmayan programlamaplatformunda da modellenecektir. Bu kısmı çalışmaya eklemekteki temelmotivasyonumuz büyük ölçekli modellerin kurulması sürecinde bu platformun dahaetkin destek sağlayabilmesidir. LINGO ile optimizasyon modelleri oluşturulurken yazılımın modelleme dilikullanılmaktadır. Bu kısımda öncelikle standart Senaryo optimizasyon modeli portföyseçim modeli LINGO modelleme platformunda oluşturulmuş, ardından da modelde yeralan bileşenler açıklanmıştır.
  • 64. 64MODEL:! Senaryo optimizasyon modeli;SETS:SENARYO/1..9/: OLASI, R, USTS, ALTS;HISSE/1..5/: X;SXH( SENARYO, HISSE): SE;ENDSETSDATA:HEDEF = 0.10;! Senaryo Getirileri;SE =0.10 0.20 0.10 0.01 0.200.04 0.15 0.15 -0.07 -0.100.14 -0.27 -0.13 0.17 0.16-0.08 0.48 0.21 0.04 0.280.12 0.08 0.08 -0.06 -0.14-0.03 0.16 -0.12 0.27 -0.040.15 -0.19 0.29 0.16 0.11-0.07 0.40 0.12 0.09 0.440.10 0.19 0.22 0.13 0.00! Tüm senaryoların olasılıkları birbirine eşittir;OLASI= 0.11111;ENDDATA! Ortalama getiri;ORT = @SUM( SENARYO: OLASI * R);! Hedef getirinin sağlanması kısıtı;ORT >= HEDEF;! Senaryo getirileri;@FOR( SENARYO (J): R(J) = @SUM( HISSE(I): SE(J;I) * X(I)));! Denge Kısıtları;@FOR( SENARYO (J): USTS(J) – ALTS(J) = R(J) – ORT);! Bütçe Kısıtı;@SUM( HISSE: X) = 1;! Risk Ölçütleri;[VARYANS] VAR = @SUM( SENARYO: OLASI * (USTS + ALTS)^2);[SVARYANS] SVAR = @SUM( SENARYO: OLASI * (ALTS)^2);[ALTBRISK] ALTRISK = @SUM( SENARYO: OLASI * ALTS);! Amaç Fonksiyonu;[AMAC] MIN = SVAR;ENDModel LINGO çözücüsünde yarı varyansı minimize edecek şekilde çözüldüğündeaşağıda özeti verilen çözüm tablosu elde edilmiştir. Modelin çözümü ektedir.
  • 65. 656. MATERYAL ve METOD6.1. Materyal6.1.1. İMKB’de Hisse Senedi Endeksleri ve Hisse Senetleri Endeksleri Borsanın Sermaye Piyasası Kanununa ve İMKB Teşkilat Görev ve ÇalışmaEsasları Yönetmeliği hükümlerine göre çeşitli tanımları yapılabilir. Sermaye piyasasıaraçlarının işlem göreceği borsalar, özel kanunlarında yazılı esaslar çerçevesindeteşkilatlanarak, menkul kıymetlerin ve diğer sermaye piyasası araçlarının güven veistikrar içinde, serbest rekabet şartları altında kolayca alınıp satılabilmesini sağlamak veoluşan fiyatları tespit ve ilan etmekle yetkili olarak kurulan kamu tüzel kişiliğine haizkurumlardır. Ayrıca başka bir tanımda İstanbul Menkul Kıymetler Borsası (İMKB), MenkulKıymetler Borsaları hakkında 91 sayılı KHK ile kuruluş yetkilerini kendi sorumluluğualtında bağımsız olarak kullanan ve Sermaye Piyasası’nın gözetim ve denetimi altındaolan tüzel kişiliği haiz kamu kurumlarıdır. Menkul kıymet borsalarının kuruluşu,SPK’nın önerisi üzerine Maliye Bakanlığı’nın iznine bağlıdır. Menkul kıymetlerborsaları SPK’nın gözetim ve denetimine tabidir. Borsaların malı devlet malıhükmündedir. İMKB Hisse Senedi Pazar Endeksleri, Borsa’da işlem gören hisse senetlerininfiyat ve getirilerinin bütünsel ve sektörel baz da performanslarının ölçülmesi amacıylaoluşturulmuştur. İMKB fiyat endeksleri tüm seans süresince, getiri endeksleri ise sadeceseans sonunda hesaplanmakta ve yayınlanmaktadır.
  • 66. 666.1.2.İMKB Ulusal 30 Endeksi’nde Optimum Portföy Oluşturma Vadeli işlemler Pazarı’nda kullanılmak üzere menkul değer yatırım ortaklıklarıhariç Ulusal Pazar’da işlem gören ortaklıklardan, hisse senetlerinin seçim ölçütlerinegöre seçilen 30 pay senedinden oluşmaktadır. . Endeks, birçok veriyi dikkate alarak hızlı ve doğru bir şekilde sonucaulaşılmasını sağlayan indikatör olarak tanımlanabilir. Bir veya daha fazla değişkeninhareketlerinden ibaret olan oransal değişimi ölçmeye yarayan bir göstergedir. Karmaşıkolayların tek bir rakama indirgenmesini sağlayan, olaylar ve sonuçları hakkındayaklaşık bilgi verebilen bir araç olan endeks değerleri kullanılırken kapsamı, temsilyeteneği, hesaplama yöntemi ve sıklığı, avantajları, dezavantajları ile endeks üzerineyansımayan diğer faktörlerin neler olduğu iyi bilinmelidir. Endeksi “belirli bir kollektifolayın aldığı değerlerde zaman süresince veya mekan içinde meydana gelen değişmelerigöstermek amacıyla hesaplanan oransal bir ölçü” şeklinde tanımlayabiliriz. Farklızaman dilimi içindeki iki veya daha fazla değişkeni karşılaştırma imkanı verenendeksler, içerisine dahil olan değişken ve değişkenlerin yönü, değişimi ve gidişatınıbelirlemede bize yardımcı göstergelerdir ve bu sebeple tahmin aracı olarak dakullanılmaktadırlar. Endekslerden; üretim, fiyatlar, geçim, işçi gündelikleri, dış ticaretve borsa gibi daha pek çok alanda yararlanılmaktadır. Yukarıdaki tanımlamalarda dabelirtildiği gibi endeksler farklı zaman dilimleri içinde veya farklı mekanlarda bulunanbir veya birden fazla değişkeni mukayese etme imkanı sağlayan göstergelerdir. Gereklimukayese ve tahmin çalışmalarını sağlıklı bir şekilde yapabilmemiz için endekslerioluştururken bazı noktalara dikkat edilmelidir; • Temsil etmesi hedeflenen değişkenler iyi tanımlanmalıdır. • Endeksleri hesaplamada kullanılacak verilerin sürekliliği ve karşılaştırılabilirliğine özen gösterilmelidir. Böylece, hesaplanan endekslerin zaman içinde sürekliliği sağlanmış olur. • Kapsama alınacak örnekler endeksin amacıyla uyumlu olacak ve değişkenleri hedeflenen şekilde temsil edecek örnekler olmalıdır. • Endeksler, serideki değerlerden birini baz alıp, diğerlerinin bu baza göre değişim oranını gösterdiği için baz döneminin tesbiti önemlidir.
  • 67. 67 • Endeksi oluşturan değerlere verilmesi gereken ağırlıkların seçimi ve zaman içinde değiştirilmesi veya sabitliği de önemlidir. • Endeksin hesaplama yöntemi, serideki değişimleri doğru göstermesi bakımından endeksin başarısını etkiler. Çalışmamızda bizi yakından ilgilendiren Hisse Senedi Endeksleri olacaktır.Hisse senedi piyasasının genel bir göstergesi olan hisse senedi endeksleri fiyatlar bazalınarak oluşturulmakta ve genellikle piyasanın anlık durumu hakkında bize fikirvermektedir. Oluşturulan bu endekslere "Fiyat Endeksleri" denmekte ve menkul kıymetborsalarına kote olan şirketlerin oluşturdukları endüstri ve sektör gruplarınınperformansının ölçülmesine yardımcı olmaktadır. 1884 yılından beri kullanılmakta olanhisse senedi endeksleri (stock indexes and averages) dünyadaki çeşitli yatırımkuruluşları ve borsalar tarafından farklı farklı hesaplanmaktadır.6.1.3. Amaç, Kapsam ve Varsayımlar Bu uygulamanın amacı Ocak 2011- Haziran 2011 ve Ocak 2011- Ocak 2012dönemleri içerisinde İMKB 30 endeksinde yer alan hisse senetlerinden farklı beklenengetiri ve risk düzeylerinde, Markowitz’in ortaya koymuş olduğu etkinlik sınırı üzerindeyer alan farklı portföy bileşimleri elde etmektir. İMKB 30 endeksinde yer alan hissesenetleri belirli dönemlerde değişiklik göstermektedir. Bu değişiklikler İMKBtarafından duyurulmaktadır. Uygulamada kullanılan hisse senetleri, çalışmanın sondönemi olan Ocak 2012 itibariyle İMKB 30 endeksinde yer alan hisse senetleridir.Çalışmanın varsayımları şunlardır:1. Yatırım İMKB 30 endeksiyle sınırlıdır.2. Yatırımcılar riskten kaçma eğilimindedir. Aynı beklenen getiri düzeyinde en düşükriski, aynı risk düzeyinde ise en yüksek getiriyi seçecektir.3. Portföyde yer alan hisse senetlerinin ağırlıkları toplamı 1’dir.
  • 68. 684. Hisse senedi getirileri ile ilgili vergiler, alım-satım komisyonları ve transfermaliyetleri sıfırdır.5. Tüm yatırımcılar için risksiz faiz oranı aynıdır.6. Yatırımcılar bilgiye anında ve serbestçe ulaşabilmektedir.7. Yatırımcılar homojen beklentilere sahiptir.8. modelin uygulanmasında açığa satışın olmadığı varsayılmıştır.6.2. METOD Rasyonel davranan yatırımcılar en yüksek getiriyi en düşük risk ile elde etmekisterler. Fakat beklenen getiri düzeyinin yükseldiği durumlarda riskde yükselecektir.Yatırımcı kendine öyle bir nokta seçmelidir ki; bu noktada getiri en yüksek ve risk endüşük düzeyde olsun. Bu oluşumu sağlayacak noktalar bütünü bizi etkin sınıraulaştıracaktır. Etkin sınır üzerinde yatırımcının seçeceği nokta kendisinin fayda eğrisinebağlıdır. Bu eğrilerin kişilerin tercihlerine göre değişebileceğini düşünürsek optimumportföyü oluşturacak noktaların da kişiden kişiye değişebileceği sonucuna ulaşabiliriz.Optimum portföylerin oluştukları noktalar birbirlerinden farklı olabilir. Ancak temeldebütün tercih sahipleri getiri-risk ilişkisini ve tercih edecekleri senedin pazarhareketlerine ne yönde tepki gösterdiğini dikkate alır. Bu noktadan hareketle optimumportföyü oluştururken iki farklı yöntem kullanılacak. Birincisi getiri-risk ilişkisi diğeriise beta faktörüdür.6.2.1. Getiri Risk İlişkisi Optimum portföyü getiri-risk ilişkisini kullanarak oluşturmayı denersek,ulaşmamız gereken bir takım değerler vardır. Öncelikle optimum portföyü oluşturacakkıymetlerin getirileri ve bu getirilerin ortalama Pazar getirisinden ne kadar sapma
  • 69. 69gösterdikleri (riskleri) bulunacaktır. Bir getiri değerine ulaşılabilmesi için en az ikidönem arasında ki fiyat değişimlerinin bilinmesi gerekir. Bunun için bir tam yıl iki eşitparçaya bölünmüştür. Oluşturulan üç tarih noktasında İMKB-30 Endeksi’nde bulunanhisse senetlerin fiyatları belirlenmiştir. 21.06.2011 tarihiyle başlayıp 21.12.2011tarihiyle son bulan aralık birinci dönemi, 21.12.2011 tarihiyle başlayıp 21.06.2012tarihiyle son bulan aralık ise ikinci dönemi oluşturmaktadır. Tablo 6.1’de İMKB-30 Endeksini oluşturan hisse senetlerinin iki dönemlikgetirileri aşağıda verilen formüllere bağlı olarak hesaplanmıştır.Pazarın riski= Bütün risklerin ortalamasıdır. [ 21 ], [ 28]Pazarın beklenen getirisi= tüm ortalama getirilerin toplamı / ortalama getirilerin sayısı[ 21] , [ 28]Risksiz faiz oranı= Eğer enflasyon beklenmiyorsa, geri ödenmeme riski olmayan hazinebonolarının faiz oranı.Ortalama getiri = (1.dönem getiri + 2.dönem getiri)/2 [21], [28]
  • 70. 70 Tablo 6.1: Hisse senetleri kapanış verileri ve hesaplanan getiri değerleri ŞirketSayı 21.06.2011 21.12.2011 21.06.2012 1.Dönem Getiri 2.Dönem Getiri Ortalama Getiri Kodları1 ADANA 5.70 4.63 3.64 -0.187719298 -0.213822894 -0.2007710962 AKENR 3.11 3.75 2.09 0.205787781 -0.442666666 -0.1184394423 ATEKS 3.50 5.01 3.85 0.431428571 -0.231536926 0.0999458224 AKSA 3.79 5.56 4.51 0.467018469 -0.18884892 0.1390847745 ALARK 3.49 3.45 3.16 -0.011461318 -0.086705202 -0.049083266 ALCTL 3.12 4.08 3.07 0.307692307 -0.247549019 0.0300716447 ANACM 3.18 3.95 2.97 0.242138364 -0.248101265 0.00298145058 AYEN 3.02 2.86 1.27 -0.052980132 -0.555944055 -0.3044620939 BANVT 4.91 4.36 3.08 -0.112016293 -0.293577981 -0.202287045510 BOYNR 3.74 3.68 2.82 -0.01604278 -0.233695652 -0.12486921611 BURVA 3.04 3.34 4.27 0.09868421 0.278443113 0.18856366112 BUCIM 4.82 5.16 4.37 0.070539419 -0.153100775 -0.04128067813 CRDFA 3.04 3.90 3.02 0.282894736 -0.225641025 0.02862685514 CELHA 3.82 4.56 3.27 0.193717277 -0.282894736 -0.04458872915 DERIM 4.19 4.69 3.31 0.119331742 -0.29424307 -0.08745566416 DITAS 3.22 3.40 2.76 0.055900621 -0.188235294 -0.06616733617 DGZTE 3.20 2.65 1.66 -0.171875 -0.373584904 -0.27272995218 ECYAP 3.05 3.20 3.02 0.049180327 -0.05625 -0.003534836519 ESCOM 4.97 8.60 6.92 0.730382293 -0.195348837 -0.19534883720 FFKRL 3.45 3.78 3.85 0.095652173 0.018518518 0.01851851821 IHGZT 4.59 2.78 1.52 -0.394335512 -0.45323741 -0.42378646122 IZMDC 4.30 3.84 3.74 -0.106976744 -0.026041666 -0.06650920523 KLMSN 3.34 4.07 2.43 0.218562874 -0.402948402 -0.09219276424 KORDS 3.62 4.76 3.76 0.314917127 -0.210084033 0.05241654725 KOZAA 4.33 4.83 3.82 0.115473441 -0.20910973 -0.04681814426 LINK 4.65 5.82 3.82 0.251612903 0.251612903 -0.04601485427 MUTLU 4.61 5.20 4.40 0.127982646 -0.153846153 -0.01293175328 PINSU 4.59 4.80 3.47 0.045751633 -0.2770833333 -0.1156658529 PIMAS 4.17 3.56 4.17 -0.146282973 0.171348314 0.0125326730 SANKO 4.72 4.82 3.80 0.02118644 -0.211618257 -0.095215908Σ 117.28 129.09 101.84 Bu hesaplama yapılırken iki tarihte oluşan fiyatlar arasında ki fark, ilk tarihteki fiyata bölünmüştür. Bunu 1 numaralı hisse senedimiz olan ADANA ÇİMENTO‘nun üzerinde örnekleyelim. 21.06.2011 tarihli fiyat = 5,70 21.12.2011 tarihli fiyat = 4,63 1.DÖNEM GETİRİ = (4,63-5,70)/5,70 =-0,187 Yaklaşık %19’luk azalış
  • 71. 7121.12.2011 tarihli fiyat = 4,6321.06.2012 tarihli fiyat = 3,642.DÖNEM GETİRİ = (3,64-4,63)/4,63 = -0,213 Yaklaşık % 21’lik bir azalış İki döneme ait getiriler hesaplandıktan sonra her bir senedin pazar getirisindenne kadar sapma gösterdiklerini bulmaya sıra geliyor. Bu sapmayı bulabilmek için ilkönce pazarın ortalama getirisine ihtiyacımız olacak. Pazarın ortalama getirisi, kendisinioluşturan hisse senetlerinin getirilerinin ortalamasıdır. Hisse senetlerine ait bulduğumuzgetirilerin ortalaması alınarak tek bir getiri değerine ulaşılmıştır. ADANA ÇİMENTO Hisse Senedinin ortalama getirisi aşağıdaki gibi hesaplanır;Ortalama Getiri = (1.Dönem Getiri+2. Dönem Getiri)/2 = (-0,187+(-0,213))/2 =-0,200 Yaklaşık % 20 azalış Diğer hisse senetlerinin ortalama getirileri de aynı şekilde bulunarak tablo 6.1’degösterilmiştir. Tablo 6.1‘de gösterildiği gibi 1.dönem getiriler ve 2.dönem getirilerhesaplandıktan sonra, hesaplanan bu getiriler yardımıyla Tablo 6.2’ de Risk değerleridaha sonraki aşamalarda portföy seçiminde hisse senetlerinin getirilerinibelirleyebilmede kullanmak için hesaplanmıştır. Risk değerleri aşağıdaki formüle görehesaplanmıştır.Risk tanımı= (1.dönem getiri – 2.dönem getiri)/2 [ 21], [ 28]
  • 72. 72Tablo 6.2: Hisse senetlerinin hesaplanan ortalama getiri ve risk değerleriSayı Şirket Kodları Ortalama Getiri Risk1 ADANA -0.200771096 0.0130517982 AKENR -0.118439442 0.3242272233 ATEKS 0.099945822 0.3314827484 AKSA 0.139084774 0.3279336945 ALARK -0.04908326 0.0376219426 ALCTL 0.030071644 0.2776206637 ANACM 0.0029814505 0.2451198148 AYEN -0.304462093 0.2514819619 BANVT -0.2022870455 0.09078084410 BOYNR -0.124869216 0.10882643611 BURVA 0.188563661 -0.08987945112 BUCIM -0.041280678 0.11182009713 CRDFA 0.028626855 0.2542678814 CELHA -0.044588729 0.23830600615 DERIM -0.087455664 0.20678740616 DITAS -0.066167336 0.12206795717 DGZTE -0.272729952 0.10085495218 ECYAP -0.0035348365 0.05271516319 ESCOM 0.267516728 0.46286556520 FFKRL 0.057085345 0.05708534521 IHGZT -0.423786461 0.02945094922 IZMDC -0.066509205 -0.04046753923 KLMSN -0.092192764 0.31075563824 KORDS 0.052416547 0.2625005825 KOZAA -0.046818144 0.16229158526 LINK -0.046014854 0.29762775727 MUTLU -0.012931753 0.14091439928 PINSU -0.11566585 0.16141748329 PIMAS 0.01253267 -0.15881564330 SANKO -0.095215908 0.116402348
  • 73. 736.2.2. Beta’nın Hisse Senetleri Getirileri Üzerindeki Etkisi Piyasadaki değişmelerin ışığında hisse senedi seçiminde Beta katsayılarındanyararlanılır. Daha öncelerde de ayrıntılı bir biçimde incelediğimiz risk, bir hisse senedigetirisinin piyasa portföyünde ki dalgalanmalara duyarlılığı ile ölçülebilir. Bu duyarlılık hisse senedinin betasıdır. Piyasada bir yükselme bekleniyorsa enbüyük beta katsayısına sahip hisse senetleri, piyasada bir düşme bekleniyorsa en küçükBeta katsayısına sahip hisse senetleri portföye alınmalıdır. Şimdi ayrı ayrı İMKB-30endeksine tabi hisse senetlerinin betalarını bulmaya çalışacağız. Bulduğumuz bu beta değerlerini sermaye pazarı doğrusu formülünde yerinekoyarak beklenen getiri oranlarını bulacağız. Beklenen getiriyi bulduktan sonraoptimum portföyümüzü oluşturmamız sadece kişisel tercihimize kalacak. Hangi riskdeğeri için ne kadar bir beklenen getiri istiyoruz. İşte bunun cevabı bizim optimumportföyümüzü oluşturacaktır.Betanın tanımı= ortalama getiri/pazarın riski [ 27]
  • 74. 74Tablo 6.3: Hisse senetlerin beta değerlerinin hesaplanan değerleriSayı Şirket Kodları Ortalama Getiri Risk Beta1 ADANA -0.200771096 0.013051798 -1,2512401382 AKENR -0.118439442 0.324227223 -0,7381350543 ATEKS 0.099945822 0.331482748 0,622879624 AKSA 0.139084774 0.327933694 0,8668003285 ALARK -0.04908326 0.037621942 -0,3058953516 ALCTL 0.030071644 0.277620663 0,1874116787 ANACM 0.0029814505 0.245119814 0,0185809148 AYEN -0.304462093 0.251481961 -1,8974603379 BANVT -0.2022870455 0.090780844 -1,26068779810 BOYNR -0.124869216 0.108826436 -0,77820651511 BURVA 0.188563661 -0.089879451 1,17516129612 BUCIM -0.041280678 0.111820097 -0,25726831313 CRDFA 0.028626855 0.25426788 0,17840750314 CELHA -0.044588729 0.238306006 -0,27788465815 DERIM -0.087455664 0.206787406 -0,54503879916 DITAS -0.066167336 0.122067957 -0,41236626317 DGZTE -0.272729952 0.100854952 -1,69970015518 ECYAP -0.0035348365 0.052715163 -0,02202971119 ESCOM 0.267516728 0.462865565 -1,21744768420 FFKRL 0.057085345 0.057085345 0,11541060121 IHGZT -0.423786461 0.029450949 -2,64111040222 IZMDC -0.066509205 -0.040467539 -0,4144968523 KLMSN -0.092192764 0.310755638 -0,57456122424 KORDS 0.052416547 0.26250058 0,32666897125 KOZAA -0.046818144 0.162291585 -0,29177875726 LINK -0.046014854 0.297627757 -0,286772551527 MUTLU -0.012931753 0.140914399 -0,08059291728 PINSU -0.11566585 0.161417483 -0,72084954929 PIMAS 0.01253267 -0.158815643 0,07810576330 SANKO -0.095215908 0.116402348 -0,59340198
  • 75. 757. BULGULAR Daha önceden bulmuş olduğumuz hisse sentlerine ait risk değerlerini pazarınriskine oranladığımızda beta katsayılarına ulaşabilmekteyiz. Betalar daha önceleri de birçok kez üzerinde durduğumuz gibi pazarın genelinde meydana gelen bir değişikliktenbir tek hisse senedinin nasıl etkilendiği sorusunun cevabıdır. Risk alabilirliği yüksekolan bir yatırımcı, portföyünü betası 1’den büyük olan senetlerden oluşturacaktır. Oysatam tersi karakterdeki bir yatırımcı 1,8, 9, 14, 17, 19, 21, 23, 25, 26 numaralı gibi betasınegatif olan senetleri tercih edecektir. İMKB-30 Endeksinde ki senetlerin tek tek beklenen getirilerini bulalım. Bununiçin risksiz faiz oranını % 20 kabul ederek şirketlerin hisse sentlerinin dönem getirileri,riskleri ve betalarını (hisse senetlerinin portföydeki dalgalanmalarının duyarlılığı) gözönüne alınarak hisse senetleri getirileri hesaplanmıştır.1. ADANA ÇİMENTO (A) = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.25) = 0.952. AK ENERJİ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0,73) = 0.6383. AKIN TEKSTİL = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.62) = -0.1724. AKSA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.86) = -0.3165. ALARKO HOLDİNG = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.30) = 0.386. ALCATEL LUCENT TELETAŞ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.18) = 0.0927. ANADOLU CAM = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.01) =0.1948. AYEN ENERJİ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.89) =1.3349. BANVİT = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.26) = 0.95610. BOYNER MAĞAZACILIK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.77) = 1.26211. BURÇELİK VANA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(1.17) = -0.502
  • 76. 7612. BURSA ÇİMENTO = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.25) = 0.3513. CREDITWEST FAKTORING = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.17) = 0.09814. ÇELİK HALAT = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.27) = 0.36215. DERİMOD = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.54) = 0.52416. DİTAŞ DOĞAN = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.41) = 0.44617. DOĞAN GAZETECİLİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.69) = 1.21418. ECZACIBAŞI YAPI = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.02) = 0.20219. ESCORT TEKNOLOJİ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-1.21) = 0.92620. FİNANS FİN. KİR = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.11) = 0.13421. İHLAS GAZETECİLİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-2.64) = 1.78422. İZMİR DEMİR ÇELİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.41) = 0.44623. KLİMASAN KLİMA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.57) = 0.54224. KORDSA GLOBAL = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.32) = -0.00825 KOZA MADENCİLİK = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.29) = 0.37426. LİNK BİLGİSAYAR = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.28) = 0.36827. MUTLU AKÜ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.08) = 0.24828. PINAR SU = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.72) = 0.63229. PİMAŞ = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(0.07) = 0.15830. SANKO PAZARLAMA = 0.20 + ( -0.4-0.20)*(-0.59) = 0.554
  • 77. 77Görüldüğü gibi risksiz faiz oranı pazarın ortalama getirisinden yüksek olduğunda ya dabaşka bir deyişle endeksin ortalama getirisi risk almadan elde edilebilecek getiridüzeyinin altında kaldığında (pazar düşüşte olduğunda zaman) betası negatif olan hissesenetlerinin getirileri risk almaya değer gözükmektedir. Oysa pazar yükselişte olsa idibeta katsayıları pozitif olan senetler risksiz faiz oranının üzerinde getiri sağlayacaktı.Buradan hareketle diyebiliriz ki son 1 yıllık verileri göz önüne aldığımız da optimumportföyü oluştururken en fazla getiri sağlayan dokuz tane şirketlerin hisse sentleriçoktan aza doğru sıralanmıştır. AYEN ENERJİ, BOYNER MAĞAZACILIK, DOĞANGAZETECİLİK, İHLAS GAZETECİLİK, ADANA ÇİMENTO, BANVİT, ESKORTTEKNOLOJİ, AK ENERJİ, PINAR SU ile oluşturabiliriz.
  • 78. 788. SONUÇ VE ÖNERİLER Portföy yönetim tekniklerinden geleneksel yaklaşımda, portföyde yer alan hissesenedi sayısının arttırılması ve bu şekilde yalın çeşitlendirme yoluyla portföy riskininazaltılabileceği anlayışı hakimdir. Oysa Markowitz’in temellerini attığı modern portföyteorisinde, sadece yalın çeşitlendirme yoluyla riskin azaltılamayacağı, portföy içinde yeralan hisse senetlerinin aralarındaki ilişkilerinde risk üzerinde etkili olduğu ortayakonmuştur. Markowitz’in modelini ortaya koymasının ardından Sharpe, Mossin,Lintner’in çalışmalarıyla bu modele alternatifler geliştirilmiştir. Daha önceleri deüzerinde durulduğu gibi Markowitz’in modelinde ortaya çıkan çok sayıda verininhesaplanmasının güçlüğü Finansal Varlık Fiyatlama Modeli ve Arbitraj FiyatlamaModeli gibi alternatif modellerin ortaya çıkmasına yol açmıştır. Ancak gelişen teknolojisayesinde bu hesaplama güçlüğü ortadan kalkmıştır. Bunun yanında alternatifmodellerin geçerliliği çok güçlü varsayımlara bağlıdır. İşte sayılan bu nedenlerdenMarkowitz modeli geçerliliğini yitirmemiştir. Bu çalışmanın amacı, portföy çeşitlendirmesinin ve optimizasyonunun İMKB’deçalışabilirliğini test edebilmektir. Çalışmada İMKB 30 endeksi hisse senetlerininsistematik riskleri (beta katsayıları) ve beklenen getirileri hesaplanmış ve yatırımcınınkarını maksimum düzeye getirmeye çalışılmıştır. Çeşitlendirilmiş portföyler yatırımınriskini en aza indirmeye yararken karşılığında yüksek getiri sağlamaya çalışırlar. Buradaamaç portföy oluştururken en iyi çeşitlendirmeyi yapabilmektir. İyi çeşitlendirme iseMarkowitz’in Modern Portföy Teoremi ve etkin sınırdaki optimal portföyün seçimiyleolacaktır. Risk altında yatırımcının karar vermesi oldukça güçtür. Hisse senedipiyasasında her yatırımcının amacı düşük riskle yüksek getiri elde etmektir. Yatırımcı,kendi portföyünü oluştururken çesitli kişisel kriterler ortaya koyar. Yatırım yapmadanönce hisse senedi piyasasını bir şekilde değerlendirir. Bu değerlendirme bir gözlemolabilir, bir araştırma olabilir veya bir analiz olabilir. Özellikle gelişmekte olan ülkelerinhisse senedi piyasalarında çeşitli hesaplar ve analizlerle seçilen portföyler her zamanmükemmel getiriler sağlamayabilir. Genellikle ülke ekonomisi ve siyasetinin pozitifyönde eğilim göstermesi hisse senedi piyasalarına da pozitif olarak yansımaktadır. Aynışekilde ülke ekonomisinin negatif yöne doğru gidişi, hisse senedi piyasasında negatifolarak algılanır.
  • 79. 79 2011 yılı İMKB için iyi bir yıl olmuş borsa endeks bazında yılı karlakapatmıştır. Sonuç olarak hisse senetlerine yapılan yatırımlar bu yıl yüksek getiriylesonuçlanmıştır. Optimizasyon zararın olduğu durumlarda çalışacağı gibi karın olduğudurumlarda da kendini gösterecektir. Sonuçta Markowitz Portföy Teoremi veOptimizasyon, İstanbul Menkul Kıymetler Borsası’nda ki hisse senetlerine yapılacakyatırımlarda portföy oluşturmak için seçilen hisseler için kullanılabilecek en iyiyöntemdir. Böylece hem bireysel yatırımcılar, hem de kurumsal yatırımcılar optimizeedilmiş portföylerini oluşturduklarında oldukça yüksek getiri sağlamış olacaklardır. Markowitz, portföy riskinin portföyü oluşturan varlıkların riskinden daha azolabileceğini ve sistematik olmayan riskin sıfır olabileceğini göstermiştir. Bununyanında, menkul kıymet seçiminde kullanılmak üzere etkin sınırı bulmuş, bu sınırınkaresel programlama ile elde edilebileceğini göstermiştir. Ancak yaklaşımı başarılısonuçlara ulaştırmanın temel şartı yatırımcının içinde faaliyet gösterdiği ekonomik veendüstriyel çevrenin sürekli olarak incelenmesi ve portföy analizi ile devamlı olarakgözden geçirilmesidir. Çalışmadan çıkarılabilecek en önemli sonuç, risk ile getiriarasında aynı yönlü güçlü bir ilişkinin olduğudur. Yatırımcının portföy içindeçeşitlendirme yaparak portföyün riskini azaltması mümkündür. Bireysel ve kurumsalyatırımcılar açısından optimize edilmiş portföyler sağlanabildiği ölçüde yüksek getirielde etmek mümkün olacaktır.
  • 80. 80 KAYNAKLAR DİZİNİ[1] AKMUT, O., Sermaye Piyasasý Analizleri ve Portföy Yönetimi, Ankara,.36-52,92-103, 1989.[2] AKKAYA, O., “Ortalama Varyans Yöntemi ile Portföy Optimizasyonu”, YüksekLisans Tezi, Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 21-40 (1996).[3] CEYLAN, Ali , “Borsada Uygulamalı Portföy Yönetimi” ,BURSA, 12-31, 1995.[4] ÇOLAKOĞLU Gökhan; Kuadratik Programlama İle Portföy Optimizasyonu veİMKB’de Bir Uygulama, Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü EkonometriAnabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi, İstanbul : 2005.[5] DAĞLI Hüseyin, Sermaye Piyasası ve Portföy Analizi, Derya Yayıncılık, Trabzon,2000.[6] DING Yuanyao, “Portfolio Selection Under Maximum Minimum Criterion”,Quality & Quantity, 40, 2006.[7] KONURALP Gürel, Sermaye Piyasaları Analizler, Kuramlar ve Portföy Yönetimi,Alfa Yayınları, İstanbul, 2005, s.314.[8] JEFF GROVER, Angeline M. LAVIN, “Modern Portfolio Optimization: APractical.[9] KANALICI Hülya, Hisse Senedi Fiyatlarının Tespiti ve Tesir Eden Faktörler, SPKYayınları, Yayın No:77, Ankara, 1997.[10] KARAN Mehmet Baha, Yatırım Analizi ve Portföy Yönetimi, Gazi Kitabevi,2004.[11] OĞUZ, Y., (2001), Portföy Optimizasyonu, Yüksek Lisans Tezi, İstanbul TeknikÜniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul.
  • 81. 81[12] DEMİRTAŞ Ö., GÜNGÖR Z., “ Portföy Yönetimi ve Portföy Seçimine YönelikUygulama”, Havacılık ve Uzay Teknolojileri Dergisi, Cilt:1, Sayı:4, Temmuz2004, s.104.[13] PUELZ, Amy V., (2001), "Value-at-Risk Based Portfolio Optimization",Stochastic Optimization: Algorithms and Applications, Uryasev,S. ve Pardalos,P.M.editör, Kluwer Academic Publishers, s. 279–302.[14] RUBINSTEIN Mark, “Markowitz’s Portfolio Selection: A Fifty-YearRetrospective”, The Journal Of Finance, Vol:VLII, No:3, June 2002.[15] SİMON Z. BENNINGA, Financial Modeling, (Massachusetts Institute OfTechnology Press Published, 2000), s.161.[16] ULUCAN, A., “Markowitz Kuadratik Programlama İle Portföy Seçim Model nin,Sermaye Piyasasında Endeks İle Aynı Risk-Getiri Yapısına Sahip Portföyün EldeEdilmesinde Kullanımı”, Hacettepe Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler FakültesiDergisi, 20:141-153(2002).[17] YERLİKAYA İ., Ö., (2001), Portföy Analizi, Portföy Yönetimi ve İMKB’de BirUygulama, Yüksek Lisans Tezi, T.C. Dokuz Eylül Üniversitesi, Sosyal BilimlerEnstitüsü, İşletme Anabilim Dalı, İzmir.[18] ZHİDONG BAI, Huixia LIU, Wing-Keung WONG, “Making Markowitz’sPortfolio Optimization Theory Practically Useful”, 2006, s.2Approach Using an ExcelSolver Single-Index Model” The Journal Of Wealth Management, Summer 2007,s.61.[19] ALAKURT Zeynep; Portföy Seçim Modelleri ve İMKB’ye Bir Uygulama,Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü İşletme Anabilim Dalı Yüksek LisansTezi, İstanbul : 2002[20] ALAN Mehmet Ali, YEŞİLYURT Cavit; Doğrusal Programlama ProblemlerininExcel İle Çözümü, Cumhuriyet Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler FakültesiDergisi Cilt 5 Sayı 1
  • 82. 82[21] ALGÜR Birol; Farklı Risk Ölçümlerine Göre Portföy Seçimi, MarmaraÜniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü İşletme Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi,İstanbul : 2003[22] ATAN Murat; Karesel Programlama İle Portföy Optimizasyonu, Ankara : 2005[23] BEYAZIT Mehmet Fuat; İMKB Betaları, Korelasyon Tahmini ve Değişkenlik,Doğuş Üniversitesi Dergisi, İstanbul : 2005[24] BOZDAĞ Nihat, ALTAN Şenol, DUMAN Sibel; Minimaks portföy Modeli ileMarkowitz Ortalama Varyans Portföy Modelinin Karşılaştırılması, Gazi Üniversitesi,İ.İ.B.F.,Ekonometri Bölümü, Ankara[25] ÇOLAKOĞLU Gökhan; Kuadratik Programlama İle Portföy Optimizasyonu veİMKB’de Bir Uygulama, Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü EkonometriAnabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi, İstanbul : 2005[26] EROĞLU E., KIYILAR M.; Tek Endeks Modeli ve Modelin İMKB’de uygulanışı,2004[27] KÜÇÜKKOCAOĞLU Güray; Optimal Portföy Seçimi ve İMKB Ulusal 30Endeksi Üzerine Bir Uygulama, Ankara : Eylül-Ekim 2002[28] ULUCAN Aydın; Markowitz Kuadratik Programlama İle Portföy SeçimModelinin Sermaye Piyasasında Endeks İle Aynı Risk-Getiri Yapısına Sahip PortföyünElde Edilmesinde kullanılması, Hacettepe Üniversitesi, Ankara : 2004[29] YALÇINER Kürşat, ATAN Murat, BOZTOSUN Derviş; Markowitz KareselProgramlama İle Portföy Seçim Modelinin İMKB 100 Endeksine Uygulanması,Endeks İle Aynı Getiriye Sahip Portföy Oluşturulması, Ankara : 2004[30] YERLİKAYA Özgür; Portföy Analizi Portföy Yönetimi ve İMKB’de BirUygulama, Dokuz Eylül Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü İşletme Bölümü YüksekLisans Tezi, İzmir:2001[31] http://www.akbank.com (Erişim Tarihi: 22.02.2012)[32] http://www.borsadirekt.com (Erişim Tarihi: 22.02.2012)
  • 83. 83[33] http://www.capital.com.tr (Erişim Tarihi: 23.02.2012)[34] http://www.imkb.gov.tr (Erişim Tarihi: 23.02.2012)[35] http://www.riskglossary.com (Erişim Tarihi: 23.02.2012)[36] http://www.spk.gov.tr (Erişim Tarihi: 24.02.2012)[37] http://www.tspakb.org.tr (Erişim Tarihi: 29.02.2012)
  • 84. 84 EKLER3.6. Modelin Çözümü: Model LINGO çözücüsünde çözüldüğünde aşağıda özeti verilen çözüm tablosuelde edilmiştir. Local optimal solution found. Objective value: 0.5410777E-02 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 27 Variable Value Reduced Cost GETIRI 0.1000000 0.000000 ORT( 1) 0.5300000E-01 0.000000 ORT( 2) 0.1320000 0.000000 ORT( 3) 0.1020000 0.000000 ORT( 4) 0.8100000E-01 0.000000 ORT( 5) 0.1020000 0.000000 X( 1) 0.000000 0.1362886E-02 X( 2) 0.2380340 0.000000 X( 3) 0.3266793 0.000000 X( 4) 0.4352867 0.000000 X( 5) 0.000000 0.3224834E-03 V( 1, 1) 0.7200000E-02 0.000000 V( 1, 2) -0.1600000E-01 0.000000 V( 1, 3) 0.3000000E-03 0.000000 V( 1, 4) -0.4000000E-03 0.000000 V( 1, 5) -0.6400000E-02 0.000000 V( 2, 1) -0.1600000E-01 0.000000 V( 2, 2) 0.5190000E-01 0.000000 V( 2, 3) 0.9000000E-02 0.000000 V( 2, 4) -0.7100000E-02 0.000000 V( 2, 5) 0.1440000E-01 0.000000 V( 3, 1) 0.3000000E-03 0.000000 V( 3, 2) 0.9000000E-02 0.000000 V( 3, 3) 0.1850000E-01 0.000000 V( 3, 4) -0.5400000E-02 0.000000 V( 3, 5) 0.3200000E-02 0.000000 V( 4, 1) -0.4000000E-03 0.000000 V( 4, 2) -0.7100000E-02 0.000000 V( 4, 3) -0.5400000E-02 0.000000 V( 4, 4) 0.1110000E-01 0.000000 V( 4, 5) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 1) -0.6400000E-02 0.000000 V( 5, 2) 0.1440000E-01 0.000000 V( 5, 3) 0.3200000E-02 0.000000 V( 5, 4) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 5) 0.3230000E-01 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price VAR 0.5410777E-02 -1.000000 KAZANC 0.000000 -0.4245479
  • 85. 85 YUZDEYUZ 0.000000 0.3163323E-01 Çözüm raporuna göre 27 iterasyon sonunda, minimum varyans değeri olan0.00582’e ulaşılmıştır. Optimal portföy ise %0.0 X , %23.8 X , %32.7 X , %43.5X ve %0.0 X kompozisyonundan oluşmuştur.4.5.Modelin Çözümü: Model LINGO çözücüsünde çözüldüğünde aşağıda ki gibi bir tablo oluşacaktır. Local optimal solution found. Objective value: 0.5820165E-02 Infeasibilities: 0.1387779E-16 Total solver iterations: 27 Variable Value Reduced Cost GETIRI 0.1000000 0.000000 START( 1) 0.3000000 0.000000 START( 2) 0.1000000 0.000000 START( 3) 0.1000000 0.000000 START( 4) 0.2000000 0.000000 START( 5) 0.3000000 0.000000 AL( 1) 0.000000 0.7438410E-03 AL( 2) 0.1545109 0.000000 AL( 3) 0.2205568 0.000000 AL( 4) 0.2021829 0.000000 AL( 5) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 1) 0.3000000 0.000000 SAT( 2) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 3) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 4) 0.000000 0.7438410E-03 SAT( 5) 0.2889123 0.000000 ORT( 1) 0.5300000E-01 0.000000 ORT( 2) 0.1320000 0.000000 ORT( 3) 0.1020000 0.000000 ORT( 4) 0.8100000E-01 0.000000 ORT( 5) 0.1020000 0.000000 MLYT( 1) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 2) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 3) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 4) 0.1000000E-01 0.000000 MLYT( 5) 0.1000000E-01 0.000000 X( 1) 0.000000 0.2562708E-02 X( 2) 0.2545109 0.000000 X( 3) 0.3205568 0.000000 X( 4) 0.4021829 0.000000 X( 5) 0.1108775E-01 0.000000 V( 1, 1) 0.7200000E-02 0.000000 V( 1, 2) -0.1600000E-01 0.000000 V( 1, 3) 0.3000000E-03 0.000000 V( 1, 4) -0.4000000E-03 0.000000
  • 86. 86 V( 1, 5) -0.6400000E-02 0.000000 V( 2, 1) -0.1600000E-01 0.000000 V( 2, 2) 0.5190000E-01 0.000000 V( 2, 3) 0.9000000E-02 0.000000 V( 2, 4) -0.7100000E-02 0.000000 V( 2, 5) 0.1440000E-01 0.000000 V( 3, 1) 0.3000000E-03 0.000000 V( 3, 2) 0.9000000E-02 0.000000 V( 3, 3) 0.1850000E-01 0.000000 V( 3, 4) -0.5400000E-02 0.000000 V( 3, 5) 0.3200000E-02 0.000000 V( 4, 1) -0.4000000E-03 0.000000 V( 4, 2) -0.7100000E-02 0.000000 V( 4, 3) -0.5400000E-02 0.000000 V( 4, 4) 0.1110000E-01 0.000000 V( 4, 5) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 1) -0.6400000E-02 0.000000 V( 5, 2) 0.1440000E-01 0.000000 V( 5, 3) 0.3200000E-02 0.000000 V( 5, 4) 0.3500000E-02 0.000000 V( 5, 5) 0.3230000E-01 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price VAR 0.5820165E-02 -1.000000 KAZANC 0.000000 -0.4875800 3 0.000000 -0.3719205E-01 4 0.000000 0.3682013E-01 5 0.000000 0.3756397E-01 6 0.000000 0.3756397E-01 7 0.000000 0.3756397E-01 8 0.000000 0.3682013E-014.6.Model ile ilgili açıklamalar: Çözüm raporuna göre 27 iterasyon sonunda, minimum varyans değeri olan0.00582’e ulaşılmıştır. Optimal portföy ise %0.0 X %25.4 X , %32.05 X , %40.2X ve %11.08 X kompozisyonundan oluşmuştur.5.6. Lingo ile Çözümü: Local optimal solution found. Objective value: 0.2865172E-02 Infeasibilities: 0.1339467E-13 Total solver iterations: 34 Variable Value Reduced Cost HEDEF 0.1000000 0.000000 ORT 0.1000000 0.000000 VAR 0.6500488E-02 0.000000 SVAR 0.2865172E-02 0.000000 ALTRISK 0.3341467E-01 0.000000
  • 87. 87OLASI( 1) 0.1110000 0.000000OLASI( 2) 0.1110000 0.000000OLASI( 3) 0.1110000 0.000000OLASI( 4) 0.1110000 0.000000OLASI( 5) 0.1110000 0.000000OLASI( 6) 0.1110000 0.000000OLASI( 7) 0.1110000 0.000000OLASI( 8) 0.1110000 0.000000OLASI( 9) 0.1110000 0.000000 R( 1) 0.1186089 0.000000 R( 2) 0.2761530E-01 0.000000 R( 3) 0.000000 0.4751429E-01 R( 4) 0.2198686 0.000000 R( 5) 0.000000 0.4569090E-01 R( 6) 0.9468841E-01 0.000000 R( 7) 0.7666322E-01 0.000000 R( 8) 0.2300853 0.000000 R( 9) 0.1333712 0.000000 USTS( 1) 0.1860887E-01 0.000000 USTS( 2) 0.000000 0.1606940E-01 USTS( 3) 0.000000 0.2220000E-01 USTS( 4) 0.1198686 0.000000 USTS( 5) 0.000000 0.2220000E-01 USTS( 6) 0.000000 0.1179173E-02 USTS( 7) 0.000000 0.5180766E-02 USTS( 8) 0.1300853 0.000000 USTS( 9) 0.3337121E-01 0.000000 ALTS( 1) 0.000000 0.000000 ALTS( 2) 0.7238470E-01 0.000000 ALTS( 3) 0.1000000 0.000000 ALTS( 4) 0.000000 0.000000 ALTS( 5) 0.1000000 0.000000 ALTS( 6) 0.5311591E-02 0.000000 ALTS( 7) 0.2333678E-01 0.000000 ALTS( 8) 0.000000 0.000000 ALTS( 9) 0.000000 0.000000 X( 1) 0.8494465E-01 0.000000 X( 2) 0.2678628 0.000000 X( 3) 0.1590336 0.000000 X( 4) 0.2999648 0.000000 X( 5) 0.1881942 0.000000SE( 1, 1) 0.1000000 0.000000SE( 1, 2) 0.2000000 0.000000SE( 1, 3) 0.1000000 0.000000SE( 1, 4) 0.1000000E-01 0.000000SE( 1, 5) 0.2000000 0.000000SE( 2, 1) 0.4000000E-01 0.000000SE( 2, 2) 0.1500000 0.000000SE( 2, 3) 0.1500000 0.000000SE( 2, 4) -0.7000000E-01 0.000000SE( 2, 5) -0.1000000 0.000000SE( 3, 1) 0.1400000 0.000000SE( 3, 2) -0.2700000 0.000000SE( 3, 3) -0.1300000 0.000000SE( 3, 4) 0.1700000 0.000000SE( 3, 5) 0.1600000 0.000000SE( 4, 1) -0.8000000E-01 0.000000SE( 4, 2) 0.4800000 0.000000SE( 4, 3) 0.2100000 0.000000SE( 4, 4) 0.4000000E-01 0.000000SE( 4, 5) 0.2800000 0.000000SE( 5, 1) 0.1200000 0.000000SE( 5, 2) 0.8000000E-01 0.000000SE( 5, 3) 0.8000000E-01 0.000000SE( 5, 4) -0.6000000E-01 0.000000
  • 88. 88SE( 5, 5) -0.1400000 0.000000SE( 6, 1) -0.3000000E-01 0.000000SE( 6, 2) 0.1600000 0.000000SE( 6, 3) -0.1200000 0.000000SE( 6, 4) 0.2700000 0.000000SE( 6, 5) -0.4000000E-01 0.000000SE( 7, 1) 0.1500000 0.000000SE( 7, 2) -0.1900000 0.000000SE( 7, 3) 0.2900000 0.000000SE( 7, 4) 0.1600000 0.000000SE( 7, 5) 0.1100000 0.000000SE( 8, 1) -0.7000000E-01 0.000000SE( 8, 2) 0.4000000 0.000000SE( 8, 3) 0.1200000 0.000000SE( 8, 4) 0.9000000E-01 0.000000SE( 8, 5) 0.4400000 0.000000SE( 9, 1) 0.1000000 0.000000SE( 9, 2) 0.1900000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 0.3834170 2 0.000000 -0.4502463 3 0.000000 0.4255929E-01 4 0.000000 0.5862869E-01 5 0.000000 0.1122736 6 0.000000 0.4255929E-01 7 0.000000 0.1104502 8 0.000000 0.4373846E-01 9 0.000000 0.4774005E-01 10 0.000000 0.4255929E-01 11 0.000000 0.4255929E-01 12 0.000000 0.000000 13 0.000000 0.1606940E-01 14 0.000000 0.2220000E-01 15 0.000000 0.000000 16 0.000000 0.2220000E-01 17 0.000000 0.1179173E-02 18 0.000000 0.5180766E-02 19 0.000000 0.000000 20 0.000000 0.000000 21 0.000000 0.3929429E-01 VARYANS 0.000000 0.000000 SVARYANS 0.000000 -1.000000 ALTBRISK 0.000000 0.000000 AMAC 0.2865172E-02 -1.000000