Ecuaciones
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Ecuaciones, conceptos básicos.

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  • 1. Ejemplos:Es aquella igualdad que relacionaexpresiones algebraicas, las cuales 1. Resolver la ecuación:presentan letras (por lo general x, y) 5(x + 1) = 4x + 2(x - 13)denominadas incógnitas Solución:Ejemplos: 1. 24 – 4(x+3) = 2(10x-6) 5(x + 1) = 4x + 2(x - 13) x2 x4 2.  1 5x  5  4x  2x - 26 3 6 5x  5  6x - 26 3. x2 + 5x – 24 = 0 5  26  6x - 5x 4. 8x - 5 = 7y - 9 31  xCOMPONENTES x  31En toda ecuación se considera: CS= {31} a) Primer miembro. Todo lo escrito a la izquierda de la igualdad. 2. Resolver la ecuación: b) Segundo miembro. Todo lo escrito a x2 + 5x – 24 = 0 la derecha de la igualdad. Solución: c) Variable o incógnita. Símbolo que x2 + 5x – 24 = 0 x +8 representa a un “número x -3 desconocido” (x + 8) (x – 3) = 0 x+8=0 x = -8 x -3=0 x=3Las raíces o soluciones de una ecuaciónson el conjunto de valores que al ser C.S. = {-8; 3}reemplazados en la igualdad, laverifican. A este conjunto de valores sele denomina conjunto solución de laecuación: CS
  • 2. De acuerdo a ciertas características que presentan las ecuaciones se pueden clasificar en: 1. Según que sus incógnitas estén afectadas o no de radicales Ecuaciones Racionales: Ecuaciones Irracionales: Si las variables o incógnitas no Si las variables o incógnitas si están afectadas por radicales. están afectadas por radicales. Ejemplo: Ejemplo: 2. Según la cantidad de raíces o soluciones Ecuaciones Ecuaciones Ecuaciones Ecuaciones Compatibles: Compatibles Compatibles Incompatibles o Determinadas: Indeterminadas: absurdas:Son aquellas Son aquellas Son aquellasecuaciones que ecuaciones que ecuaciones que Es aquellatiene solución. poseen un número poseen un número ecuación que no limitado de ilimitado de tiene solución.Ejemplo: soluciones. soluciones. Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: c. s.= {12} c. s.= {-1; 0; 1} c. s.=  c. s.= R - {-1; 1} 3. Según el tipo de coeficiente Ecuaciones Numéricas Ecuaciones Literales Son aquellas ecuaciones cuyos Son aquellas ecuaciones donde al coeficientes son constantes: menos uno de los coeficientes es Ejemplo: una variable. 1. x2 + 5x – 24 = 0 Ejemplo: 2. 8x - 5 = 7y - 9 1. 3ax -5 = 2x +3 2. ax2 – bx = ax +bx2
  • 3. 4. Según el grado - Primer grado: si tiene una solución. 24 – 4(x+3) = 2(10x-6) ; x= 31 - Segundo grado: si tiene dos soluciones. x2 + 5x – 24 = 0 ; x = -8  x = 3 - Tercer grado: si tiene tres soluciones. x3 +6x2 +11x + 6= 0; x=-1 ; x=-2  x = -3Si dos o más ecuaciones respecto Ejemplos: 1. 2x − 3 = 3x + 2 x = −5a una misma variable presentan 2. x + 3 = −2 x = −5las mismas raíces o soluciones,tales ecuaciones se denominan Las dos ecuaciones presentan laequivalentes. misma raíz o solución, estas son ecuaciones equivalentes. Criterios de Equivalencia de Ecuaciones1. Si a los dos miembros de una 2. Si a los dos miembros de unaecuación se les suma o se les resta ecuación se les multiplica o se lesuna misma cantidad, la ecuación divide una misma cantidad, laes equivalente a la dada. ecuación es equivalente a la dada. x + 3 = −2 5x + 10 = 15x + 3 − 3 = −2 − 3 (5x + 10) : 5 = 15 : 5 x = −5 x+2=3 x + 2 −2 = 3 −2 x=1Toda ecuación de Primer Grado con unaincógnita, puede reducirse a la forma: ax+b=0Dónde: x : incógnitaa y b : coeficientes (a y b  R)Despejando a incógnita "x" se tendrá: a. x = -b 
  • 4. Discusión de la raíz El valor de "x" es decir, la solución o raíz de la ecuación, depende de los valores de a y b, veamos: 1) Si: a  0 y b  0 Tendremos: (la ecuación es Compatible determinada) 2) Si: a  0 y b = 0 Tendremos: (la ecuación es Determinada y la raíz es nula) 3) Si: a = 0 y b  0 No hay solución (la ecuación es Incompatible o absurda) 4) Si: a = 0 y b = 0 Tendremos: (la ecuación es Compatible indeterminada) Es toda ecuación la cual una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2. En general: a, b, c  R   a  0ECUACIONES INCOMPLETAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Si : b = 0 Son los valores de la incógnita que satisface la ecuación. Si : c = 0  Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces o soluciones. MÉTODO DE SOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN. PROBLEMAS RESUELTOS2) 7x2 – 14 = 0 1) Resuelve : 6x2 + 11 x – 10 = 0 Solución: Solución: 7(x2 – 2) = 0 6x2 + 11 x – 10 = 0 x2 – 2 = 0  x2 = 2 2x +5 x= 3x -2 (2x + 5) (3x – 2) = 0 2x + 5 = 0 x = -5/2 3x – 2 = 0 x = 2/3 C.S. =