Resolución paso a paso de un ejercicio sobre álgebra, simplificación de expresiones algebraicas.

1. HKV TEX
Victor Solano Mora 1
Tema: Álgebra - Operaciones
Simplificar la expresión algebraica de
2(x − y)
2xy − x2 − y2 − x
x2 − y2 −
1
x − y
Solución:
Como se trata de sumas (o restas) de expresiones algebraicas, la recomendación es homogenizar las frac-ciones
(hacer que todos sus denominadores sean iguales), para ello se debe factorizar cada expresión del
denominador.
El primer denominador se debe factorizar un −1, para tener a las variables de exponente par con signo
positivo, para luego aplicar la factorización de trinomio cuadrado perfecto:
2xy − x2 − y2 = −(−2xy + x2 + y2) = −(x2 − 2xy + y2) = −(x − y)(x − y)
El segundo se trata de una diferencia de cuadrados (ya que no se pueden tener ambas variables positivas),
entonces su factorización es:
x2 − y2 = (x − y)(x + y)
El último denominador ya se encuentra reducido, por ende, se deja como está y la expresión original
queda:
2(x − y)
−(x − y)2 − x
(x − y)(x + y)
−
1
x − y
En las fracciones es equivalente que el signo menos esté en numerador (arriba), denominador (abajo) o
en la fración (delante), entonces la expresión se puede escribir como:
−2(x − y)
(x − y)(x − y)
− x
(x − y)(x + y)
−
1
x − y
Ahora para homogenizar, debemos igualar los denominadores y eso implicar “agregar” los factores (pa-réntesis
o términos) que no posea. No obstante, al hacerlo, cambiamos la expresión salvo que también
se le agreguen al numerador, entonces cada denominador debe tener estos 3 factores: un (x + y) y dos
(x − y), de ahí obtenemos:
−2(x − y)(x + y)
(x − y)(x − y)(x + y)
− x(x − y)
(x − y)(x + y)(x − y)
−
(x + y)(x − y)
(x − y)(x + y)(x − y)
Ahora se agrupan en una sola fracción y resuelven los productos de los numeradores y simplificar la
expresión para determinar si se puedne cancelar términos:
−2(x − y)(x + y) − x(x − y) − (x + y)(x − y)
(x − y)(x − y)(x + y)
=
−2(x2 − y2) − (x2 − y2) − (x2 − y2)
(x − y)(x − y)(x + y)
=
−2x2 + 2y2 − x2 + y2 − x2 + y2
(x − y)(x − y)(x + y)
=
−4x2 + 4y2
(x − y)(x − y)(x + y)