Resolución de una integral mediante sustitución utilizando el seno y coseno hiperbólicos.

1. HKV TEX
Victor Solano Mora 1
Tema: Cálculo integral
Obtener una primitiva de la función
S
ex + e−x
ex − e−x dx
Solución:
Divididiendo numerador y denominador por 2, se obtiene:
S
ex + e−x
2
ex − e−x
2
dx
Sustituyendo ex + e−x
2 por cosh(x) y ex − e−x
2 por senh(x), se obtiene:
S
cosh(x)
senh(x)dx
Ahora, tomando u = senh(x), se deduce fácilmente que du = cosh(x)dx, por lo tanto la integral queda:
S
du
u
Equivalente a la primitiva:
ln SuS + C
Donde C es la constante de integración. Ahora solo es de expresar u en términos de x para obtener el
resultado deseado:
ln Ssenh(x)S + C
También es posible expresarlo en términos de exponenciales como se definió inicialmente de esta
forma:
ln Vex − e−x
2 V + C
Equivalente, además, a la primitiva (tomando C1 = −ln 2 + C):
ln Sex − e−xS + C1