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  • 1. Energia e trabalho Profª Michelle Paiva
  • 2. Energia Energia potencial é a energia associada com a posição da partícula. Existe energia potencial gravitacional mesmo no caso de a mergulhadora ficar parada no trampolim. Nenhuma energia é adicionada ao sistema mergulhadora –terra. Porém a energia armazenada é transformada de uma forma para outra durante sua queda.
  • 3. Energia CinéticaENERGIA CINÉTICA (K) A energia cinética é a energia associada ao estado de movimento de um objeto.  Quanto mais rapidamente um objeto estiver se movendo, maior será sua energia cinética. Quando o objeto está em repouso, sua energia cinética é nula.
  • 4.  Para um objeto de massa m cuja velocidade v é bem inferior à velocidade da luz, definimos a sua energia cinética como K = ½ mv2 A unidade de SI para a energia cinética (e todos os outros tipos de energia) é o joule ( J ), em homenagem a James Prescott Joule, um cientista inglês do século XIX.
  • 5. TRABALHONa linguagem comum, a palavra trabalho é aplicada a qualquer forma de atividade que requeira um esforço muscular ou mental. Em física, entretanto, este termo é usado num sentido mais específico, que envolve a aplicação de uma força a um corpo e o deslocamento deste corpo.
  • 6. TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE SOBRE UM OBJETO QUE SE MOVE EM UMA DIMENSÃO r F θ r d r rW = F .d ⇒ W = Fd cos θ
  • 7.  O trabalho é uma grandeza algébrica, que pode ser positivo ou negativo. Quando a força possui uma componente na mesma direção e sentido que o deslocamento, o trabalho realizado por ela é positivo. Se o sentido da componente da força for oposto ao deslocamento, o trabalho será negativo. Se a força for perpendicular ao deslocamento, ela não terá componente na direção do deslocamento e o trabalho será nulo.
  • 8. TEOREMA DO TRABALHO-ENERGIACINÉTICA O trabalho realizado pela força resultante sobre uma partícula é igual à variação da energia cinética da partícula 1 2 1 2 W = ∆ K ⇒ W = mv − mv0 2 2
  • 9. Se o trabalho resultante realizado sobre uma partícula for positivo, então a energia cinética da partícula aumenta de uma quantidade igual ao trabalho. Se o trabalho resultante for negativo, então a energia cinética da partícula diminui de uma quantidade igual ao trabalho.
  • 10. TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇAVARIÁVEL: EM UMA DIMENSÃOPara uma força constante e de mesma direção e sentido do deslocamento é fácil verificar que o trabalho realizado por ela é igual a “área sob a curva” no gráfico , como está representado na figura abaixo. Mesmo quando o valor da força estiver variando esta propriedade é válida, sendo que o trabalho de uma força variável na direção x pode ser calculada por
  • 11. x2 w = ∫ F ( x ) dx x1 wx1 x2
  • 12. TRABALHO REALIZADO POR UMAFORÇA DE MOLAA força exercida pela mola pode,portanto, ser expressa em termos dedistância x, através da qual ela éesticada ou comprimida, a partir do seucomprimento de equilíbrio, por F = − kx
  • 13. xF xF xFW= ∫ F ( x) dx = ∫ −kx dx = −k ∫ xdx xi xi xi 1 2 2 1 2 2 = − k ( x f − xi ) = k ( xi − x f ) 2 2
  • 14. POTÊNCIAA potência devido a uma força é a taxa com que essa força realiza um trabalho sobre um objeto. Se a força realiza um trabalho W durante um intervalo de tempo é Δt, a potência média é W Pm = ∆t
  • 15. A potência instantânea P é a taxa instantânea de realização de trabalho, que pode ser escrita como dW P= dt
  • 16. Energia Como a transformação pode ser entendida a partir do teorema trabalho energia. Veremos que a soma da energia cinética e potencial fornece a energia mecânica total do sistema e essa energia permanece constante durante o movimento do sistema (lei da conservação da energia)
  • 17. Energia Potencial Gravitacional Em muitas situações tudo se passa como se “a energia fosse armazenada em um sistema para ser recuperado depois.”  Garoto em um balanço: Nos pontos mais elevados, a energia é  Esse ex. da idéia de que armazenada em outra forma, existe uma energia relacionada com a altura do ponto associada com a posição acima do solo, e esta energia é dos corpos em um sistema. Este tipo de energia convertida em K quanto atinge o fornece o potencial ou a ponto inferior do arco. possibilidade de realizar trabalho (W)
  • 18. Energia Potencial Gravitacional Quando um martelo é elevado no ar, existe um potencial para um trabalho sobre ele ser realizado pela força da gravidade, porém isso só ocorre quando o martelo é liberado. Por esse motivo, a energia associada com a posição denomina-se ENERGIA POTENCIAL. Existe uma energia potencial associada com o peso do corpo e com a altura acima do solo. Chamamos essa energia de ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL.
  • 19. Energia Potencial Gravitacional Quando um corpo cai sem resistência do ar, a energia potencial diminui à medida que a energia cinética aumenta. Vimos “ usando o teorema do trabalho-energia para concluir que K do corpo em queda livre aumenta porque a força gravitacional realiza trabalho sobre ele. Usaremos o teorema W-∆K para demonstrar que essas duas descrições de um corpo são equivalentes e para deduzir uma expressão para energia potencial.
  • 20. Energia Potencial Gravitacional  Considere um corpo de massa m que se move ao longo de um eixo 0y. A força que atua sobre ele é a gravitacional.  Qual o Wg realizado pelo peso sobre o corpo qdo cai de uma altura y1 acima da origem até uma altura menor y2? O peso e o deslocamento possui mesmo sentido, de modo Wg realizado sobre o corpo é positivo.W g= Fg d = Fg ( y1 − y2 ) = mg ( y1 − y2 ) = mg ( y1 − y2 )  Equação também válida para quando y2 é maior que y1. Neste caso:
  • 21. Energia Potencial Gravitacional Podemos expressar Wg em termos da quantidade mgy no início e no final do deslocamento. U = mgy Energia potencial gravitacional Seu valor inicial é U1 = mgy1 e seu valor final U2 = mgy2; ∆U = U 2 − U1 Podemos expressar Wg realizado pela força gravitacional durante o deslocamento de y1 a y2 como W = U1 − U 2 = −(U 2 − U1 ) = −∆U Corpo se move de baixo para cima - y aumenta; Wg (-); U aumenta (∆U >0). Corpo se move de cima para baixo - y diminui; Wg (+); U diminui (∆U >0).
  • 22. Forças conservativas e não conservativas As forças que atuam num sistema, modificando-lhe a configuração, dizem-se conservativas quando, regressando o sistema à configuração inicial, readquire também a energia cinética inicial. Isto significa que as forças conservativas conservaram a capacidade que o sistema tinha de realizar trabalho, e daí o seu nome. Fg realiza de A a B, um trabalho resistente, que se traduz num aumento de energia potencial do sistema. Segue-se, depois, um trabalho potente, de B para A, que se traduz na restituição à forma cinética do incremento de energia potencial que tinha sido armazenada.
  • 23. Forças conservativas e não conservativas As forças que atuam num sistema dizem- se não conservativas ou dissipativas quando, ao deixarem de realizar trabalho, o sistema ou não regressa à configuração inicial ou regressa a ela com energia cinética diferente da que tinha no princípio. Isto quer dizer que as forças não conservativas não conservarama capacidade que o sistema tinha de realizar trabalho. A força de atrito, realiza sempre trabalho resistente não traduzido em aumento de energia potencial
  • 24. Independência da trajetória para o trabalho de forças conservativas Consideremos uma partícula em movimento em um percurso fechado, se o W realizado pela força neste percurso for nulo, então dizemos que as forças são conservativas.  Ou seja, a energia total que se transfere da partícula e para a partícula durante a viaje de ida e volta ao longo do percurso fechado é nula.Exemplo: O lançamento de um tomate. Wres = 0“O WR realizado pela força conservativamovendo-se entre dois pontos não dependeda trajetória.”
  • 25. Independência da trajetória para o trabalho de forças conservativas Consideremos um percurso fechado arbitrário para uma partícula sujeita a uma ação de uma única força. A partícula se move do ponto inicial a para um ponto final b ao longo da trajetória 1 e retorna pela trajetória 2. “A força realiza W sobre a partícula a medida que ela se movimenta ao longo de cada trajetória.”• O W realizado de a até b ao longo da trajetória 1 é: Wab,1• O W realizado da volta de b até a é; Wba,2
  • 26.  Se F for conservativa; Wres = 0. Wab ,1 + Wba , 2 = 0 Wab ,1 = −Wba , 2 O W realizado ao longo da trajetória de ida é igual ao negativo do W realizado ao longo da volta.  Consideremos o Wab,2 realizado pela força sobre a partícula quando ela se move de a até b ao longo da trajetória 2. Wab , 2 = −Wba , 2Substituindo a equação acima na equação anterior. Wab ,1 = −Wab , 2Portanto o W independe da trajetória quando F for conservativa.
  • 27. Determinando Valores de Energia Potencial Encontrar a energia potencial dos dois tipos de energia discutido nesta seção: energia potencial gravitacional e energia potencial elástica. Encontrar uma relação geral entre uma força conservativa e a energia potencial a ela associada.• Considere um objeto que se comporta como uma partícula e que é parte de um sistema no qual atua uma F conservativa.“ quando esta força realiza W sobre o objeto, a variação ∆U na energia potencial associada ao sistema é o negativo do W.” W = −∆U
  • 28. Determinando Valores de Energia Potencial No caso geral onde a força pode variar com a posição xf W = ∫ F ( x)dx xiSubstituindo W = - ∆U, temos: xf ∆U = − ∫ F ( x)dx xiRelação geral entre força e energia potencial.
  • 29. Energia Potencial Gravitacional Consideremos uma partícula com massa m movendo-se verticalmente ao longo de y (positivo para cima). A medida que a partícula se move do ponto y1 para y2 a Fg realiza W sobre ela. xf xf ∆U = − ∫ F ( x)dy = − ∫ (−mg )dy = mg | y12 = mg∆y y xi xiPodemos usar configurações de referência na qual a partícula estaem um ponto de referência yi que tomamos como U = 0. Portanto: U ( y ) = mgy“a energia potencial gravitacional associada ao sistema partícula-terra depende apenas daPosição vertical y da partícula em relação à posição de referência y = 0, e não da
  • 30. Energia Potencial Elástica Consideremos um sistema massa-mola, com o bloco se movendo na extremidade de uma mola de constante elástica k. Enquanto o bloco se move do ponto xi para o xf, a força da mola F = -kx realiza W sobre o bloco. xf xf 1 ∆U = − ∫ F ( x)dx = − ∫ (−kx)dx = kx | x12 = x k∆x xi xi 2 1 2 1 2 ∆U = kx f − kxi 2 2Escolhendo um valor de referência U com o bloco na posição x naqual a mola se encontra relaxado x= 0. 1 2 1 U −0 = kx − 0; U = kx 2 2 2
  • 31. Conservação da Energia Mecânica A energia mecânica de um sistema é a soma da energia cinética e potencial dos objetos que compõem o sistema: Emec = K + UEnergia mecânica: Forças conservativas e o sistema é isolado (F ext= 0). Quando uma F conservativa realiza W sobre um objeto dentro de um sistema, essa força transfere energia entre a K do objeto e a U do sistema. Pelo teorema W-∆K ∆K = W
  • 32. Conservação da Energia Mecânica Usando a equação da variação na energia potencial ∆U = −WCombinando as duas equações anteriores ∆K = −∆UUma dessas energias aumenta na mesma quantidade que a outradiminui.Podemos reescrever como K 2 − K1 = −(U 2 − U1 ) Conservação da energia K 2 + U 2 = K1 + U1 mecânica.
  • 33. Conservação da Energia Mecânica“Em um sistema isolado onde apenas forças conservativas causamvariações de energia, a energia cinética e a energia potencial podemvariar, mas a sua soma, a energia mecânica Emec do sistema, não podevariar”Este resultado é chamado de PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃODAENEGIA MECÂNICA. Este princípio nos permite resolverPodemos escrever esse princípio de outra forma ∆Emec = ∆K + ∆U Problemas que seriam difíceis usando apenas as Leis de Newton.Quando a energia se conserva, podemos a soma de K e U em cada instante com aquele novo instantesem considerar o movimento intermediário e sem determinar o WR das F envolvidas.
  • 34. Conservação da Energia Mecânica Exemplo do princípio de conservação aplicado: Enquanto um pêndulo oscila, a energia do sistema pêndulo-terra é transferida entre K e U, com a soma K+U permanecendo constante.  Se conhecermos a Ug quando a massa do pêndulo esta no seu ponto mais alto, a equação da conservação da energia nos fornece a K do ponto mais baixo. Vamos escolher o ponto mais baixo como ponto de referência, com U2 = 0 e no ponto mais alto U1 = 20 J. Como a massa pará momentaneamente no ponto mais alto, K1 = 0. Qual a energia no ponto mais baixo? K 2 + 0 = 0 + 20; K 2 = 20 J
  • 35. Interpretando uma curva de energia potencial Consideremos uma partícula que faz parte de um sistema no qual atuam uma força conservativa. O movimento da partícula se dar ao longo de um eixo x enquanto a F conservativa realiza W sobre ela. Podemos obter bastante informação sobre o movimento da partícula a partir do gráfico energia potencial do sistema U(x). Vimos que se conhecemos a F(x) que atua sobre a partícula podemos encontrar a energia potencial xf ∆U = − ∫ F ( x)dx xi
  • 36. Interpretando uma curva de energia potencial Queremos fazer agora o contrário; isto é, conhecemos a energiapotencial U(x) e queremos determinar a força. Para o movimento em uma dimensão, o W realizado pela força que atua sobre a partícula se move através de uma distância ∆x é F(x) ∆x. Podemos escrever ∆U = −W = − F ( x)∆xPassando ao limite diferencial dU ( x) F ( x) = − dx
  • 37. Interpretando uma curva de energia potencial Verificar este resultado U(x) = ½ kx2 que é a energia potencial elástica e U(x) = mgx. A curva de energia potencial- U versus x : podemos encontrar F medindo a inclinação da curva de U(x) em vários pontos.
  • 38. Interpretando uma curva de energia potencial Pontos de retornoNa ausência da força conservativas, a energia mecânica E de umSistema possui um valor constante dado por K ( x) + U ( x) = EmecK(x) é uma função energia cinética de uma partícula no sistema. K ( x) = Emec − U ( x)Como Emec é constante, pelo ex. anterior igual a 5 J. Portanto noponto x5 K ( x) = 5 − 4 = 1J
  • 39. Interpretando uma curva de energia potencial Pontos de Retorno O valor de K máximo (5J) é no ponto x2 quando U(x) é mínimo.• K nunca pode ser negativo (v2), a partícula não pode se mover a para esquerda de x1, Emec – U(x) é negativo. Quando a partícula se move em direção a x1 a partir de x2, K diminui até K = 0 em x1.• Em x1 – a força é positiva (inclinação negativa). Significa que a partícula não permanece em x1, mas começa a se mover para direita, em sentido oposto ao seu movimento anterior. Portanto x1 é um PONTO DE RETORNO, um lugar onde K = 0 (pois U = E) e a partícula inverte o sentido do movimento.
  • 40. Interpretando uma curva de energia potencialPontos de Equilíbrio 3 valores diferentes de Emec. Se Emec = 4 J, o ponto de retorno mudar de x1 para um valor entre x1 e x2 . Qualquer ponto a direita de x5, a energia mecânica do sistema é igual a U(x); portanto, K = 0 e nenhuma força atua sobre a mesma, de modo que ela precisa está em repouso. Diz-se que a partícula em tal posição está em EQUILÍBRIO NEUTRO.
  • 41. Interpretando uma curva de energia potencialPontos de Equilíbrio Se Emec = 3 J, existe dois pontos de retorno: um entre x1 e x2 e outro entre x4 e x5. Além disso x3 é um ponto onde K = 0. Se a partícula estiver neste ponto, a F = 0 e a partícula permanecerá em repouso. Se ela for ligeiramente deslocada em qualquer um dos dois sentidos, uma força não nula a empurra no mesmo sentido e a partícula continua se afastando ainda mais do ponto inicial. Uma partícula em tal posição é considerada em EQUILÍBRIO INSTÁVEL.
  • 42. Interpretando uma curva de energia potencialPontos de Equilíbrio Se Emec = 1 J. Se colocarmos em x4 ela permanecerá nesta posição. Ela não pode se mover nem para direita nem para esquerda por sua conta própria, pois seria necessário uma K negativa. Se empurramos ligeiramente para a esquerda ou para direita, aparece uma força restauradora que a faz retornar ao ponto x4. Uma partícula em tal posição é considerada em EQUILÍBRIO ESTÁVEL.
  • 43. Trabalho Realizado por uma Força Externa sobre um Sistemavimos: “ O W é a energia transferida PARA um sistema ou DEum sistema devido a atuação de uma força externa sobre estesistema.”Podemos extender esse conceito para uma Fext atuando sobreUm sistema. Quando a transferência de Quando a transferência de energia é PARA o sistema. energia é DO o sistema.
  • 44. Trabalho Realizado por uma Força Externa sobre um SistemaNA AUSÊNCIA DE ATRITONum boliche quando você vai arremessar a bola, inicialmente vocêse agacha e coloca suas mãos em forma de concha por debaixo dabola sobre o peso.Depois você levanta rapidamente enquanto ao mesmo tempo puxasuas mãos bruscamente, lançando a bola para cima no nível do rosto.Durante o seu movimento para cima, a F que vc aplica realiza W, istoé, ela é uma força externa que transfere energia, mas para qualsistema?
  • 45. Trabalho Realizado por uma Força Externa sobre um SistemaNA AUSÊNCIA DE ATRITOVerificar quais energias se modificam: Há variação ∆K da bola, e como a bola e a terra ficaram afastada, também houve uma variação ∆Ug do sistema bola-terra.Para incluir essas variações, precisamos considerar o sistema bola-terra. Assim F é uma Fext que realiza W sobre o sistema, e o W é W = ∆K + ∆U = ∆Emec Energia equivalente para o W realizado por Fext sobre um sistema sem atrito.
  • 46. NA PRESENÇA DE ATRITOConsideremos um sistema onde uma F horizontal constante puxa o blocoao longo do eixo x deslocando-o por uma distância d e aumentando a velo-cidade do bloco de v0 para v.O bloco será nosso sistema. Aplicando a segunda lei de Newton F − f c = ma
  • 47. Como as forças são constantes v 2 = v0 + 2ad , temos 2 Fd = ∆K + f c dNuma situação mais geral (uma na qual o bloco esteja subindo umarampa), pode haver uma variação na energia potencial. Para incluirtal variação, temos Fd = ∆Emec + f c dVerificamos experimentalmente que o bloco e a porção do piso aolongo do qual ele se desloca ficam aquecidos enquanto o blocodesliza. Portanto foi verificado experimentalmente que essa energiatérmica é igual ∆ET = f c dPortanto Trabalho realizado pelo sistema W = ∆Emec + ET em presença de atrito.
  • 48. Conservação da EnergiaTodos os casos discutidos até agora obedecem a LEI DE CONSERVAÇÃO, que está relacionada com a energia total de um sistema. Essa energia total éa soma da energia mecânica com a térmica ou qualquer outro tipo deenergia interna.“A energia total E de um sistema pode mudar apenas por quantidades deenergias que são transferidas para o sistema ou delas retiradas.”O único tipo de energia de transferência de energia que consideramos e o Wrealizado sobre um sistema. Assim, esta lei estabelece W = ∆E = ∆Emec + ∆ET + ∆EintA lei de conservação de energia é algo baseado em inúmeros experimentos.
  • 49. Conservação da EnergiaSISTEMA ISOLADOSe um sistema está isolado de uma vizinhança, não podendo havertrocas com a vizinhança. Para este caso a lei de conservação daenergia diz: “A energia total E, de um sistema isolado não pode variar.”Pode haver muitas transferências dentro do sistema; energia cinéticaem energia potencial ou térmica, entretanto a energia total do sistemanão pode variar.
  • 50. Conservação da Energia A conservação da energia pode der escrita de duas maneiras: ∆Emec + ∆ET + ∆Eint = 0 W =0e Emec , 2 = Emec ,1 − ∆ET − ∆Eint “Em um sistema isolado, podemos relacionar a energia total em um dado instante com a energia total em outro instante sem ter que considerar as energias em tempos intermediários.”
  • 51. FORÇAS EXTERNAS E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA INTERNAUma força externa pode mudar a K ou U de umobjeto sem realizar W, isto é, sem transferir energiapara o objeto. Em vez disso, é a força responsávelpela transferência de energia de uma forma paraoutra dentro do objeto.Patinadora no gelo, inicialmente em repouso, empurraum corrimão e passa a deslizar sobre o gelo. Sua Kaumenta porque o corrimão exerceu uma Fext sobre ela.No entanto a F não transfere energia para o corrimãopara ela. Assim a força não realiza W sobre ela. Aocontrário a K aumenta como resultado de transferênciasinternas a partir da energia bioquimica contida nos seusmusculos.
  • 52. FORÇAS EXTERNAS E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA INTERNANesta situação podemos relacionar a Fext que atua sobre um objeto coma variação da energia mecânica do objeto.Durante seu empurrão e deslocamento de uma distância d, podemosconsiderar a aceleração constante, com velocidade variando de v0 a v e apatinadora com uma partícula desprezando o esforço de seus músculos. K − K 0 = Fd cos θ ∆K = Fd cos θA situação também envolve uma variação na elevação do objeto,podemos incluir a energia potencial A força do lado direito dessa ∆K + ∆U = Fd cos θ Eq. não realiza W, mais é responsável pelas variações das energias.
  • 53. POTÊNCIAPotência é a taxa com que uma força transfere energia de uma formapara outra.“Se uma certa quantidade de energia ∆E é transferida durante umintervalo de tempo ∆t, a potência média devida à força é” ∆E Pmed = ∆tE a potencia instantânea dE P= . dt

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