1. DINÁMICA DE FLUIDOS
Ahora enfoquemos nuestra atención a la dinámica de los fluidos, es decir, a fluidos
en movimiento. En lugar de intentar estudiar el movimiento de cada partícula del
fluido como una función del tiempo, describiremos las propiedades del fluido en
cada punto como una función del tiempo.
Características de flujo
Cuando un fluido está en movimiento, su flujo puede ser laminar o turbulento.
El flujo es estable o laminar si cada partícula del fluido sigue una trayectoria
uniforme, por lo que las trayectorias de diferentes partículas nunca se cruzan entre
sí, como muestra la figura 1. En el flujo estable, la velocidad del fluido en cualquier
punto se mantiene constante en el tiempo.
Figura 1
Arriba de cierta velocidad crítica, el flujo del fluido se vuelve no estable o
turbulento. Éste es un flujo irregular caracterizado por pequeñas regiones
similares a torbellinos, como se puede ver en la figura 2. El flujo del agua en una
corriente se vuelve turbulento en regiones donde hay rocas y otras obstrucciones,
formando a menudo remolinos.
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2. Figura. 2
En general, el término viscosidad se emplea en el flujo de fluidos para
caracterizar el grado de fricción interna en el fluido. Esta fricción interna o fuerza
viscosa se asocia a la resistencia que presentan dos capas adyacentes del fluido a
moverse una respecto de la otra. Por causa de la viscosidad, parte de la energía
cinética de un fluido se convierte en energía térmica. Esto es similar al mecanismo
por el cual un objeto pierde energía cinética cuando se desliza sobre una
superficie horizontal rugosa.
Debido a que el movimiento de un fluido real es complicado, se hacen algunas
suposiciones que simplifican su estudio. Muchas características de los fluidos
reales en movimiento pueden entenderse considerando el comportamiento de un
fluido ideal. En el presente modelo se hacen cuatro suposiciones:
• Fluido no viscoso. En un fluido no viscoso no se toma en cuenta la fricción
interna.
• Flujo estable. En el flujo estable se supone que la velocidad del fluido en
cada punto permanece constante en el tiempo.
• Fluido incompresible. La densidad de un fluido incompresible se
considera que permanecerá constante en el tiempo.
• Flujo irrotacional. No hay momento angular del fluido alrededor de algún
punto. Si una pequeña rueda situada en cualquier lugar en el fluido no rota
alrededor de su centro de masa, el flujo es irrotacional.
LÍNEAS DE CORRIENTE Y LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
La trayectoria tomada por una partícula de fluido bajo flujo estable se conoce
como línea de corriente. La velocidad de una partícula del fluido siempre es
tangente a la línea de corriente, como se indica en la figura 3. Dos líneas de
corriente nunca se cruzan entre sí, pues si esto ocurriera, una partícula de fluido
se movería por cualquier trayectoria en el punto de cruce y en este caso el flujo
no sería estable. Un conjunto de líneas de corriente como las que se muestran en
la figura 3 forman lo que se llama un tubo de flujo.
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3. Figura 3
Considere un fluido ideal que fluye por un tubo de tamaño no uniforme, como en
la figura 4. La partícula en el fluido se mueve a lo largo de líneas de corriente en
flujo estable.
Figura 4
En un pequeño intervalo de tiempo ∆t, el fluido en el extremo inferior del tubo se
mueve una distancia ∆x1 = v1∆t. Si A1 es el área de la sección transversal en esta
región, entonces la masa contenida en la región sombreada es ∆m1 = ρA1∆x1 =
ρA1v1∆t. Asimismo, el fluido que se mueve a través del extremo superior del tubo
en el tiempo t tiene una masa ∆m2 = ρA2v2∆t. Sin embargo, puesto que la masa
se conserva y como el flujo es estable, la masa que cruza A1 en un tiempo ∆t
debe ser igual a la masa que cruza A2 en el tiempo ∆t. Esto es, ∆m1 = ∆m2, o
ρA1v1 = ρA2v2. Si la densidad es la misma en ambos lados de esta expresión, se
tiene que
A1v1 = A 2 v 2 = constante (1.1)
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4. Esta expresión se conoce como ecuación de continuidad. Esta ecuación
expresa que la velocidad es alta donde el tubo se estrecha y es baja donde es
ancho. El producto Av, que tiene las dimensiones de volumen/tiempo, se
denomina flujo de volumen o tasa de flujo. La condición Av = constante es
equivalente al hecho de que la cantidad de fluido que entra por un extremo del
tubo en un intervalo de tiempo determinado es igual a la cantidad que sale en el
mismo intervalo de tiempo, suponiendo que no hay fugas.
LA ECUACION DE BERNOULLI
En 1738, el físico suizo Daniel Bernoulli dedujo por primera vez una expresión que
relaciona la presión con la velocidad y elevación del fluido.
Considérese el flujo de un fluido ideal por un tubo de área transversal no uniforme
en un tiempo ∆t, como se ilustra en la figura 5.
Figura 5
La fuerza sobre el extremo inferior del fluido es P1A1 donde P1 es la presión en la
sección I. El trabajo realizado por esta fuerza es W1 = F1∆x1 = P1A1∆x1 donde ∆V
es el volumen de la sección 1. De manera similar, el trabajo realizado sobre el
fluido en el extremo superior en el tiempo ∆t es W2 = -P2A2∆x2 = -P2∆V. (El
volumen que pasa por la sección 1 en un tiempo ∆t es igual al volumen que pasa
por la sección 2 en el mismo intervalo de tiempo.) Este trabajo es negativo porque
la fuerza del fluido se opone al desplazamiento. Así, vemos que el trabajo neto
hecho por estas fuerzas en el tiempo ∆t es
W = (P1 -P2) ∆V
Parte de este trabajo se utiliza para cambiar la energía cinética del fluido y otra
parte para cambiar la energía potencial gravitacional. Si ∆m es la masa que pasa
por el tubo en el tiempo ∆t, entonces el cambio en su energía cinética es
20

5. 1 1
∆K = (∆m) v 2 2 - (∆m)v12
2 2
El cambio en la energía potencial gravitacional es
∆U = ∆mGy 2 - ∆mgy1
Aplicando el teorema del trabajo y la energía en la forma W = ∆K + ∆U al volumen
de fluido, se obtiene lo siguiente
1 1
(P1 -P2 ) ∆V = (∆m)v 2 2 - (∆m)v12 + ∆mgy 2 - ∆mgy1
2 2
Si se divide cada término entre ∆V y recordamos que ρ = ∆m/∆V, la expresión
anterior se reduce a
1 1
P1 -P2 = ρv 2 2 - ρv12 + ρgy 2 - ρgy1
2 2
Al reacomodar los términos, se obtiene la ecuación de Bernoulli
1 1
P1 + ρv12 + ρgy1 = P2 + ρv 2 2 + ρgy 2 (1.2)
2 2
Cuando la ecuación de Bernoulli se aplica a un fluido ideal, a menudo se expresa
como
1
P + ρv 2 + ρgy = constante (1.3)
2
La ecuación de Bernoulli Señala que la suma de la presión, (P), la energía cinética
por unidad de volumen ( I /2ρv2) y la energía potencial gravitacional por unidad de
volumen (ρgy) tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de una línea de
corriente.
Cuando un fluido está en reposo, v1 = v2 = 0 y la ecuación 1.2 se vuelve
P1 – P2 = ρg( y2 -y1 ) = ρgh
que concuerda con la ecuación P = P0 + ρgh, obtenida anteriormente.
OTRAS APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI
Considere las líneas de corriente que fluyen alrededor del ala de un avión como se
muestra en la figura 8. Supongamos que la corriente de aire se aproxima
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6. horizontalmente al ala desde la derecha con una velocidad v1. La inclinación del
ala ocasiona que la corriente de aire se desvíe hacia abajo con una velocidad v2.
Debido a que la corriente de aire es desviada por el ala, ésta debe ejercer una
fuerza sobre la corriente de aire. De acuerdo con la tercera ley de Newton, la
corriente de aire debe ejercer una fuerza F igual y opuesta sobre el ala. Esta
fuerza tiene una componente vertical conocida como sustentación (o
sustentación aerodinámica) y una componente horizontal denominada arrastre,
La sustentación depende de varios factores, como la velocidad del avión, el área
del ala, su curvatura y el ángulo entre el ala y la horizontal. A medida de que este
ángulo aumenta, puede producirse flujo turbulento sobre el ala para reducir la
sustentación.
Figura 8
La sustentación del ala es consistente con la ecuación de Bernoulli. La velocidad
de la corriente de aire es mayor sobre el ala, de manera que la presión del aire
sobre ella es menor que la presión debajo de la misma, con lo que se produce una
fuerza neta hacia arriba.
En general, un objeto experimenta sustentación mediante cualquier efecto que
cause que el fluido cambie su dirección conforme circula por el objeto. Algunos
factores que afectan la sustentación son la forma del objeto, su orientación
respecto del flujo del fluido, el movimiento de giro (por ejemplo, una bola de
béisbol girando) y la textura de la superficie del objeto.
Varios dispositivos funcionan de la manera descrita en la figura 9. Una corriente de
aire que pasa sobre un tubo abierto reduce la presión sobre el tubo. Esta
reducción de la presión ocasiona que el líquido ascienda dentro de la corriente de
aire. El líquido se dispersa entonces en un fino rocío de gotas. Usted podría
recordar que este dispositivo, llamado atomizador, se utiliza en botellas de
perfume y en pistolas para pintar. El mismo principio se usa en el carburador de un
motor de gasolina. En este caso, la región de baja presión en el carburador se
produce con aire introducido por el émbolo a través del filtro de aire. La gasolina
se evapora, se mezcla con el aire y entra al cilindro del motor para quemarse.
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7. Figura 9
La ecuación de Bernoulli explica la llamada palpitación vascular, síntoma en una
persona con arteriosclerosis avanzada. La arteria se estrecha como consecuencia
de la acumulación de placa en sus paredes internas (Fig. 10) .Con el fin de
mantener una tasa de flujo constante por la arteria reducida, la presión impulsora
debe aumentar. Dicho aumento en la presión requiere un gran esfuerzo sobre el
músculo cardiaco. Si la velocidad de la sangre es lo suficientemente alta en la
región estrecha, la arteria puede colapsarse por la presión externa, causando una
interrupción momentánea del flujo de sangre. En este punto no se aplica la
ecuación de Bernoulli y el vaso vuelve a abrirse bajo la presión arterial. Conforme
la sangre corre por la arteria reducida, la presión interna disminuye y la arteria se
cierra de nuevo. Estas variaciones en el flujo sanguíneo pueden escucharse con
un estetoscopio. Si la placa se desprende y termina en un vaso más pequeño que
entrega sangre al corazón, la persona puede sufrir un ataque cardiaco.
Figura 10
LA ENERGÍA DEL VIENTO
A pesar de que el viento es una gran fuente potencial de energía (alrededor de 5
kW por acre en estados Unidos), se ha aprovechado sólo en pequeña escala. Se
ha calculado que ha escala mundial, los vientos podrían sumar una potencia
disponible total de 2 x 1010 kw (casi tres veces el consumo actual de energía en el
mundo) .En consecuencia, si sólo un pequeño porcentaje de la energía disponible
pudiera aprovecharse la potencia del viento representaría una fracción importante
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8. de nuestras necesidades de energía. Como sucede con todos los recursos de
energía indirectos los sistemas de potencia eólicos tienen algunas desventajas, lo
cual en este caso surge principalmente de la variabilidad de las velocidades del
viento.
Se pueden usar algunas de las ideas desarrolladas en este capítulo para calcular
la potencia del viento. Cualquier máquina que aproveche la energía del viento
transforma la energía cinética del movimiento del aire en la energía mecánica de
un objeto, usualmente por medio de un eje rotatorio. La energía cinética por
unidad de volumen de una columna de aire en movimiento es
EC 1
= ρv 2
volumen 2
Donde ρ es la densidad del aire y v es su velocidad. La tasa de flujo de aire a
través de una columna de área transversal A es Av (Fig.11) .Esto puede
considerarse como el volumen de aire que cruza un área de superficie
determinada cada segundo. En la máquina que trabaja, A es el área de la sección
transversal del sistema que capta el viento, en forma de un conjunto de aspas
giratorias. Al multiplicar la energía cinética por unidad de volumen por la tasa de
flujo, se obtiene la tasa a la cual se transfiere la energía o, en otras palabras, la
potencia:
EC volumen 1 1
Potencia = x = ( ρv 2 ) (Av) = ρv3 A (1.4)
volumen tiempo 2 2
Figura 11
Por lo tanto, la potencia disponible por unidad de área es
Potencial 1
= ρv3 (1.5)
A 2
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9. De acuerdo con este resultado, si la columna de aire en movimiento pudiera
1 3
Llevarse al reposo, se dispondría de una potencia de ρv por cada metro
2
cuadrado interceptado. Por ejemplo, si se supone una velocidad moderada de 12
m/s (27mi/h) y se toma ρ = 1.3 kg/m3, se encuentre que
Potencial 1
= (1.3kg/m3 ) (12m/s)3 ≈ 1 100W/m 2 = 1.1 kW/m 2
A 2
Como la potencia por área unitaria varía con el cubo de la velocidad, su valor se
duplica si v aumenta sólo en 26%. Inversamente, la salida de potencia se reduce a
la mitad si la velocidad disminuye en 26%.
Este cálculo se basa en condiciones ideales y supone que la totalidad de la
energía cinética está disponible para la potencia. En realidad, la corriente de aire
emerge del generador eólico con cierta velocidad residual, y cálculos más precisos
indican que, en el mejor de los casos, se puede extraer sólo el 59.3% de esta
cantidad.
La expresión para la máxima potencia disponible por unidad de área para el
generador eólico es
potencial maxima 8 3
= ρv (1.6)
A 27
En un aerogenerador real, las pérdidas adicionales producto de la naturaleza no
ideal del rotor, el engranaje y el generador reducen la potencia disponible total a
casi 15% del valor establecido por la ecuación 1.5. Los dibujos de dos tipos de
aerogeneradores se muestran en la figura 12
Figura 12
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10. VISCOSIDAD
Un fluido no soporta esfuerzos de corte, sin embargo, los fluidos presentan cierto
grado de resistencia al movimiento de corte. Esta resistencia es una forma de
fricción interna llamada viscosidad. Ésta existe debido a una fuerza de fricción
entre capas adyacentes del fluido conforme se deslizan una sobre la otra. El grado
de viscosidad de un fluido puede comprenderse con el siguiente ejemplo. Si dos
placas de vidrio están separadas por una capa de fluido, como el aceite, con una
de las placas fija es fácil que una placa deslice sobre la otra (Fig. 13) .Sin
embargo, si el fluido que separa las placas es brea, la tarea de deslizamiento de
una placa sobre la otra se vuelve mucho más difícil. Así, concluimos que la brea
tiene una viscosidad mayor que el aceite. Observe que en la figura 13 la velocidad
de capas sucesivas de fluido aumenta linealmente desde 0 hasta v conforme se
observa desde una capa adyacente a la placa fija a una capa adyacente a la placa
móvil.
Figura 13
En un sólido, un esfuerzo de corte origina un desplazamiento entre las capas
adyacentes. De un modo análogo, las capas adyacentes de un fluido bajo
esfuerzo de corte se ponen en movimiento relativo entre ellas. También en este
caso, considere dos placas paralelas, una fija y una moviéndose hacia la derecha
bajo la acción de una fuerza externa F, como en la figura 13. Debido a este
movimiento, una parte del fluido se distorsiona de su forma original, ABCD, en un
instante a la forma AEFD, después de un corto intervalo de tiempo. Por definición,
el esfuerzo de corte sobre el fluido es igual a la razón F/A, en tanto que la
deformación de corte se define a partir de la razón ∆x/l :
F ∆x
Esfuerzo de corte = Defrormacion de corte =
A l
La placa superior se mueve con una velocidad v, y el fluido adyacente a esta placa
tiene la misma velocidad. Así pues, en un tiempo ∆t el fluido en la placa móvil
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11. recorre una distancia ∆x = v∆t y podemos expresar la deformación de corte por
unidad de tiempo como
deformacion del corte ∆x/l v
= =
∆t ∆t l
Esta ecuación establece que la tasa de cambio de la deformación de corte es v/l .
El coeficiente de viscosidad, η, para el fluido se define como la proporción entre
el esfuerzo de corte y la tasa de cambio de la deformación de corte:
F/A Fl
η ≡ = (1.7)
v/l Av
La unidad del coeficiente de viscosidad en el SI es Ns/m2. El coeficiente de
viscosidad para algunos fluidos está dado en la tabla 1. La expresión para η dada
por la ecuación 1.7 sólo es válida si la velocidad fluido varía linealmente con la
posición. En este caso, es común afirmar que el gradiente de velocidad, v/l , es
uniforme. Si el gradiente de velocidad no es uniforme, debemos expresar η en la
forma general
F/A
η ≡ (1.8)
dv/dy
Donde el gradiente de velocidad dv/dy es el cambio en la velocidad con la posición
medido perpendicular a la dirección de la velocidad.
TABLA 1. Coeficiente de viscosidad de diferentes fluidos
Fluido T ( °C ) ( N . s/m2 )
Agua 20 1.0 x 10-3
Agua 100 0.3 x 10-3
Sangre pura 37 2.7 x 10-3
Glicerina 20 830x 10-3
Aceite de motor (SAE 10) 30 250 x 10-3
aire 20 1.8 x 10-5
Bibliografía
Estas notas están basadas en el libro: Physics de R. A. Serway. Fourth Edition
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