ЛЕКЦИЯ 2
Элементы теории вероятностей <ul><li>Основные понятия и определения теории вероятностей </li></ul><ul><li>Вероятность собы...
Основные понятия и определения теории вероятностей   <ul><li>Событие   –  </li></ul><ul><li>  это всякий факт, который мож...
<ul><li>Условия эксперимента (испытания, опыта)   –    воспроизведение определенной    совокупности событий, которые будем...
<ul><li>Достоверное событие  –  </li></ul><ul><li>событие   , которое обязательно  произойдет при каждой  реализации усло...
<ul><li>Соотношения между событиями (при фиксации условий их появления ) </li></ul><ul><li>1. Если наступает событие  А  и...
<ul><li>4. Событие  С , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий  А  и  В , называется суммой событий  А  и  В  и...
<ul><li>8. Два события  А  и  В  называются несовместными, если их совместное появление в одном опыте невозможно, т.е. есл...
Вероятность события   <ul><li>Вероятность  P ( A ) события  A   –  </li></ul><ul><li>численная мера объективной  возможнос...
<ul><li>Оценить значение вероятности события  A   можно с помощью относительной частоты </li></ul><ul><li> ( А ) =  m   /...
Основные теоремы теории вероятностей   <ul><li>Теорема 2.1. Сложение вероятностей несовместных событий.  Вероятность суммы...
<ul><li>Следствие 2.2.  Сумма вероятностей противопо-ложных событий равна 1: </li></ul><ul><li>Р(А) + Р(  ) = 1. </li></ul...
<ul><li>Следствие 2.3.  Если  А 1 ,  А 2 , …,  А n   – произвольные события, то имеет место неравенство </li></ul><ul><li>...
<ul><li>Условная вероятность события А  –  </li></ul><ul><li>это вероятность события  А ,  вычисленная при условии, что им...
<ul><li>Теорема 2.4.  Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероя...
<ul><li>Теорема 2.5.  Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: </li></ul...
<ul><li>Теорема 2.6. Теорема гипотез (формула Байеса).  Пусть  Н 1 ,  Н 2 , …,  Н n   – полная группа несовместных событий...
<ul><li>Случайные величины и их распределения   </li></ul><ul><li>Случайная величина  –  </li></ul><ul><li>это   величина ...
<ul><li>Закон распределения случайной величины Х –  </li></ul><ul><li>это совокупность пар чисел ( х i ,  р i ), где  х i ...
<ul><li>Функция распределения случайной величины  –  </li></ul><ul><li>это функцию  F ( x ), определяющая вероятность  тог...
<ul><li>Функция  р ( х ) характеризует плотность вероятности случайной величины в точке  x . Эту функцию называют плотност...
<ul><li>3. плотность распределения определяет функцию распределения случайной величины по формуле: </li></ul><ul><li>4. ве...
Числовые характеристики случайной величины   <ul><li>Характеристики условно можно разделить на две группы: характеристики ...
<ul><li>Для непрерывной случайной величины  </li></ul><ul><li>Математическое ожидание имеет следующие свойства: </li></ul>...
<ul><li>Модой дискретной случайной величины  называется ее наиболее вероятное значение.  </li></ul><ul><li>Модой непрерывн...
<ul><li>Центрированной случайной величиной Х  , соответствующей случайной величине  Х , называется отклонение случайной в...
<ul><li>Для дискретной случайной величины: </li></ul><ul><li>Для непрерывной случайной величины:  </li></ul><ul><li>Средне...
<ul><li>2. постоянный множитель  С  можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: </li></ul><ul><li>D [ С X ] =...
<ul><li>6. Дисперсия суммы двух зависимых случайных величин равна   D [ Х  +  Y ] =  D [ Х ] +  D [ Y ] + 2 K ( x ,  y ). ...
Законы распределения непрерывных случайных величин   <ul><li>Равномерное распределение.  Непрерывная случайная величина на...
<ul><li>2.  Показательное распределение.  Показательным (экспоненциальным) распределением случайной величины называют расп...
<ul><li>3.  Нормальное распределение.  Непрерывная случайная величина называется распределен-ной по нормальному закону, ес...
Вопросы <ul><li>Эксперимент, событие и вероятность события </li></ul><ul><li>Достоверные, невозможные и случайные события ...
Вопросы (продолжение) <ul><li>Характеристики рассеивания случайной величины </li></ul><ul><li>Закон равномерного распредел...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

лекция 2

436 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
436
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
3
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

лекция 2

  1. 1. ЛЕКЦИЯ 2
  2. 2. Элементы теории вероятностей <ul><li>Основные понятия и определения теории вероятностей </li></ul><ul><li>Вероятность события </li></ul><ul><li>Основные теоремы теории вероятностей </li></ul><ul><li>Случайные величины и их распределения </li></ul><ul><li>Числовые характеристики случайной величины </li></ul><ul><li>Законы распределения непрерывных случайных величин </li></ul>
  3. 3. Основные понятия и определения теории вероятностей <ul><li>Событие – </li></ul><ul><li> это всякий факт, который может произойти или не произойти в результате эксперимента. </li></ul><ul><li>Эксперимент (испытание, опыт) – </li></ul><ul><li> это воспроизведение определенной совокупности событий и наблюдение последствий этого воспроизведения. </li></ul>
  4. 4. <ul><li>Условия эксперимента (испытания, опыта) – воспроизведение определенной совокупности событий, которые будем обозначать символом Q . </li></ul><ul><li>Исходы – </li></ul><ul><li> события, которые появляются или не появляются после воспроизведения условий Q . </li></ul><ul><li>События делятся на </li></ul><ul><li>– достоверные, </li></ul><ul><li> – невозможные </li></ul><ul><li>– случайные. </li></ul>
  5. 5. <ul><li>Достоверное событие – </li></ul><ul><li>событие  , которое обязательно произойдет при каждой реализации условий Q . </li></ul><ul><li>Невозможное событие – </li></ul><ul><li>событие  , которое заведомо не произойдет при каждой реализации условий Q . </li></ul><ul><li>Случайное событие – </li></ul><ul><li>событие, которое при реализации условий Q может либо произойти, либо не произойти. </li></ul>
  6. 6. <ul><li>Соотношения между событиями (при фиксации условий их появления ) </li></ul><ul><li>1. Если наступает событие А и при этом происходит событие В , то говорят, что А влечет за собой В и обозначается А  В или В  А . </li></ul><ul><li>2. Если события А и В оба наступают или не наступают, то события А и В называют эквивалентными (равносильными) и обозначают А = В . </li></ul><ul><li>3. Событие С , состоящее в наступлении обоих событий А и В , называется произведением событий А и В и обозначается С = АВ или </li></ul><ul><li>С = А  В . </li></ul>
  7. 7. <ul><li>4. Событие С , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В , называется суммой событий А и В и обозначается С = А + В или </li></ul><ul><li>С = А  В . </li></ul><ul><li>5. События А 1 , А 2 , …, А n образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них непременно должно произойти, т.е. А 1 + А 2 + … + А n =  . </li></ul><ul><li>6. Событие С , состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается С = А  В или С = А В . </li></ul><ul><li>7. Событие, состоящее в том, что событие А не происходит, называется противоположным для А и обозначается символом . Два события А и называются противоположными, если для них выполняются одновременно А + =  и А =  . </li></ul>
  8. 8. <ul><li>8. Два события А и В называются несовместными, если их совместное появление в одном опыте невозможно, т.е. если АВ =  . События В 1 , В 2 , …, В n называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе, т.е. В i В j =  . </li></ul><ul><li>9. События В 1 , В 2 , …, В n называются равновозмож-ными, если есть основания полагать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. </li></ul><ul><li>10. События  1 ,  2 , …,  n , образующие полную группу, т.е.  1 +  2 + … +  n =  , несовместных равновозможных событий, называют элементарными событиями. </li></ul>
  9. 9. Вероятность события <ul><li>Вероятность P ( A ) события A – </li></ul><ul><li>численная мера объективной возможности его наступления при осуществлении определенного комплекса условий Q . </li></ul><ul><li>Вероятность имеет следующие свойства: </li></ul><ul><li>1. вероятность достоверного события равна единице; </li></ul><ul><li>2. вероятность невозможного события равна нулю; </li></ul><ul><li>3. вероятность случайного события А есть положительное число (рациональная правильная дробь), заключенное между нулем и единицей. </li></ul>
  10. 10. <ul><li>Оценить значение вероятности события A можно с помощью относительной частоты </li></ul><ul><li> ( А ) = m / n , </li></ul><ul><li>где n – число независимых испытаний, m – число испытаний, в которых появилось событие А . </li></ul>
  11. 11. Основные теоремы теории вероятностей <ul><li>Теорема 2.1. Сложение вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: </li></ul><ul><li>Следствие 2.1. Если события А 1, А 2, …, А n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1: </li></ul>
  12. 12. <ul><li>Следствие 2.2. Сумма вероятностей противопо-ложных событий равна 1: </li></ul><ul><li>Р(А) + Р( ) = 1. </li></ul><ul><li>Теорема 2.2. Сложение вероятностей совместных событий. Вероятность суммы совместных (произвольных) событий определяется через вероятность произведений этих событий, взятых по одному, по два, по три и т.д. по формуле </li></ul>
  13. 13. <ul><li>Следствие 2.3. Если А 1 , А 2 , …, А n – произвольные события, то имеет место неравенство </li></ul><ul><li>Р ( А 1 + А 2 + … + А n )  Р ( А 1 ) + Р ( А 2 ) +…+ Р ( А n ). </li></ul><ul><li>Теорема 2.3. Произведение произвольного числа событий. Вероятность произведения произвольного числа событий определяется через вероятности суммы этих событий, взятых по одному, по два, по три и т.д. по формуле </li></ul>
  14. 14. <ul><li>Условная вероятность события А – </li></ul><ul><li>это вероятность события А , вычисленная при условии, что имело место событие В , обозначается Р ( А | В ). </li></ul><ul><li>Событие А называется независимым от события В , если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет: Р ( А | В ) = Р ( А ). </li></ul><ul><li>И обратно, событие А называется зависимым от события В , если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет: Р ( А | В )  Р ( А ). </li></ul>
  15. 15. <ul><li>Теорема 2.4. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: </li></ul><ul><li>Р ( АВ ) = Р ( А ) Р ( В | А ). </li></ul><ul><li>Следствие 2.4. Если событие А не зависит от события В , то и событие В не зависит от события А . </li></ul><ul><li>Следствие 2.5. Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий: </li></ul><ul><li>Р ( АВ ) = Р ( А ) Р ( В ). </li></ul>
  16. 16. <ul><li>Теорема 2.5. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: </li></ul><ul><li>Р ( А 1 , А 2 , …, А n ) = P ( А 1 ) P ( А 2 )… P ( А n ). </li></ul><ul><li>Следствием теорем сложения и умножения вероятностей является так называемая формула полной вероятности: </li></ul><ul><li>где A – произвольное случайное событие, </li></ul><ul><li>Н 1 , Н 2 , …, Н n – несовместные события, образующие полную группу (гипотезы). </li></ul>
  17. 17. <ul><li>Теорема 2.6. Теорема гипотез (формула Байеса). Пусть Н 1 , Н 2 , …, Н n – полная группа несовместных событий. Тогда, если произошло событие А , то имеет место равенство </li></ul>
  18. 18. <ul><li>Случайные величины и их распределения </li></ul><ul><li>Случайная величина – </li></ul><ul><li>это величина Х , которая в результате опыта может принимать одно из значений х 1 , х 2 , …, х i , …, х n , образующих полную группу несовместных событий, причем неизвестно заранее, какое именно. </li></ul><ul><li>Случайные величины делят на дискретные и непрерывные. </li></ul><ul><li>Дискретная случайная величина – </li></ul><ul><li>это случайная величина Х , которая принимает отдельные, изолированные возможные значения х i с определенными вероятностями р i . </li></ul>
  19. 19. <ul><li>Закон распределения случайной величины Х – </li></ul><ul><li>это совокупность пар чисел ( х i , р i ), где х i – возможные значения случайной величины, р i – вероятности, с которыми она принимает эти значения. </li></ul><ul><li>Непрерывная случайная величина – </li></ul><ul><li>это случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений случайной непрерывной величины бесконечно. </li></ul>
  20. 20. <ul><li>Функция распределения случайной величины – </li></ul><ul><li>это функцию F ( x ), определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, не больше х : </li></ul><ul><li>F ( x ) = Р ( Х  х ). </li></ul><ul><li>Следствие 2.6. Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале от x 1 до x 2 , равна приращению функции распределения на этом интервале: Р ( x 1  Х  x 2 ) = F ( x 2 ) – F ( x 1 ). </li></ul><ul><li>Следствие 2.7. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна 0. </li></ul><ul><li>Следствие 2.8. F (–  ) = 0. </li></ul><ul><li>Следствие 2.8. F (  ) = 1. </li></ul>
  21. 21. <ul><li>Функция р ( х ) характеризует плотность вероятности случайной величины в точке x . Эту функцию называют плотностью распределения или плотностью вероятности непрерывной случайной величины. </li></ul><ul><li>Свойства: </li></ul><ul><li>1. плотность распределения есть неотрицательная функция; </li></ul><ul><li>2. имеет место равенство: </li></ul>
  22. 22. <ul><li>3. плотность распределения определяет функцию распределения случайной величины по формуле: </li></ul><ul><li>4. вероятность попадания случайной величины в интервал [ a , b ) определяется по формуле: </li></ul>
  23. 23. Числовые характеристики случайной величины <ul><li>Характеристики условно можно разделить на две группы: характеристики положения и характеристики рассеивания и вероятностных взаимодействий. </li></ul><ul><li>Характеристики положения : математическое ожидание, мода и медиана. </li></ul><ul><li>Математическое ожидание дискретной случайной величины М [ X ] есть сумма произведений всех возможных значений случайной величины х i на их вероятности р i : </li></ul>
  24. 24. <ul><li>Для непрерывной случайной величины </li></ul><ul><li>Математическое ожидание имеет следующие свойства: </li></ul><ul><li>1. математическое ожидание постоянной величины С равно самой постоянной: М [ C ] = C ; </li></ul><ul><li>2. постоянный множитель С можно выносить за знак математического ожидания: M [ CX ] = CM [ X ]; </li></ul><ul><li>3. математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M [ X 1 + X 2 ] = M [ X 1 ] + M [ X 2 ]; </li></ul><ul><li>4. математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M [ X 1 X 2 ] = M [ X 1 ] M [ X 2 ]. </li></ul>
  25. 25. <ul><li>Модой дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. </li></ul><ul><li>Модой непрерывной случайной величины называется ее значение, при котором плотность вероятности принимает максимальное значение. </li></ul><ul><li>Медианой случайной величины X называется такое ее значение Y , для которого выполняется равенство P ( X < Y ) = P ( X > Y ) = 0.5. </li></ul><ul><li>Основными характеристиками рассеивания случайной величины являются ее начальные и центральные моменты. </li></ul><ul><li>Начальным моментом k -го порядка  k [ X ] случайной величины Х называется математическое ожидание k -ой степени от этой случайной величины: </li></ul><ul><li> k [ X ] = M [ X k ]. </li></ul>
  26. 26. <ul><li>Центрированной случайной величиной Х  , соответствующей случайной величине Х , называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания M [ X ] = m , т.е. Х  = = Х – m . </li></ul><ul><li>Центральным моментом k -го порядка  k [ X ] случайной величины Х называется математическое ожидание k -ой степени центрированной случайной величины X  . </li></ul><ul><li>Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины. Дисперсия характеризует рассеивание значений случайной величины.  2 [ X ] = D [ X ] = D x =  2 . </li></ul>
  27. 27. <ul><li>Для дискретной случайной величины: </li></ul><ul><li>Для непрерывной случайной величины: </li></ul><ul><li>Среднее квадратическое, или стандартное, отклонение случайной величины </li></ul><ul><li>Свойства дисперсии: </li></ul><ul><li>1. дисперсия является величиной неотрицательной; </li></ul>
  28. 28. <ul><li>2. постоянный множитель С можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: </li></ul><ul><li>D [ С X ] = С 2 D [ X ]; </li></ul><ul><li>3. дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D [ X 1 + Х 2 ] = D [ X 1 ] + D [ Х 2 ]; </li></ul><ul><li>4. дисперсия суммы (разности) постоянной величины С и случайной величины Х равна дисперсии случайной величины: D [ С – Х ] = D [ Х ] ; </li></ul><ul><li>5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий: </li></ul><ul><li>D [ Х – Y ] = D [ Х ] + D [ Y ]; </li></ul>
  29. 29. <ul><li>6. Дисперсия суммы двух зависимых случайных величин равна D [ Х + Y ] = D [ Х ] + D [ Y ] + 2 K ( x , y ). </li></ul><ul><li>Для оценки степени независимости случайных величин X и Y вводится числовая характеристика, называемая корреляционным (ковариационным) моментом случайных величин X и Y . </li></ul><ul><li>K ( x , y ) = M {( X – M [[ X ])( Y – M [ Y ])} = </li></ul><ul><li>= M [ XY ] – M [ X ] M [ Y ]. </li></ul>
  30. 30. Законы распределения непрерывных случайных величин <ul><li>Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на интервале [ a , b ], если плотность ее распределения имеет постоянное значение. </li></ul><ul><li>Математическое ожидание и дисперсия: </li></ul>
  31. 31. <ul><li>2. Показательное распределение. Показательным (экспоненциальным) распределением случайной величины называют распределение случайной величины, которое описывается плотностью распределения </li></ul><ul><li>где  – положительная постоянная величина. Математическое ожидание и дисперсия: </li></ul>
  32. 32. <ul><li>3. Нормальное распределение. Непрерывная случайная величина называется распределен-ной по нормальному закону, если ее плотность вероятности определяется выражением: </li></ul><ul><li>где параметры m x и  называются параметрами распределения и представляют собой матема-тическое ожидание и среднеквадратическое отклонение соответственно. </li></ul>
  33. 33. Вопросы <ul><li>Эксперимент, событие и вероятность события </li></ul><ul><li>Достоверные, невозможные и случайные события </li></ul><ul><li>Соотношения между событиями </li></ul><ul><li>Теоремы сложения событий </li></ul><ul><li>Теоремы произведения событий </li></ul><ul><li>Теорема гипотез (формула Байеса) </li></ul><ul><li>Случайные величины </li></ul><ul><li>Распределение случайной величины </li></ul><ul><li>Характеристики положения случайной величины </li></ul>
  34. 34. Вопросы (продолжение) <ul><li>Характеристики рассеивания случайной величины </li></ul><ul><li>Закон равномерного распределения </li></ul><ul><li>Показательный закон распределения </li></ul><ul><li>Нормальный закон распределения </li></ul>

×