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Estudo da Elipse

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Elipse 2 Elipse 2 Document Transcript

  • Elipse ´ MODULO 1 - AULA 18 Aula 18 – ElipseObjetivos • Descrever a elipse como um lugar geom´trico. e • Determinar a equa¸ao reduzida da elipse no sistema de coordenadas c˜ Conceitos: Sistemas de coordenadas e com origem no ponto m´dio entre os focos e eixo x como o eixo focal. e distˆncias no plano. a • Esbo¸ar o gr´fico da elipse, a partir da equa¸ao reduzida, e fazer c a c˜ Referˆncias: e transla¸oes. c˜ Aulas 13 e 14. • Identificar os parˆmetros a,b e c e a sua excentricidade. a • Determinar as coordenadas dos focos e dos v´rtices, a partir da e equa¸ao reduzida. c˜ Como acabamos de mencionar na aula anterior, h´ muitas aplica¸oes a c˜para a par´bola, sendo esta curva plana encontrada em v´rias situa¸oes na a a c˜pr´tica cotidiana. A elipse, curva plana que vamos descrever nesta aula, an˜o ´ t˜o facilmente encontrada na natureza. Por´m, observe as seguintes a e a efiguras: Figura 18.3: Elipse noFigura 18.1: Vemos uma Figura 18.2: Elipse na telhado do planet´rio Ty- aelipse olhando um c´ ırculo superf´ ıcie da agua num ´ cho Brahe em Copenha-de lado. copo inclinado. gen, Dinamarca. Embora os gregos j´ conhecessem as cˆnicas, apenas em 1609 o astrˆnomo a o oalem˜o Johann Kepler descobriu que as orbitas dos planetas eram elipses. a ´ Kepler, 1571-1630. Nasceu perto de Stuttgart. Consideremos fixados no plano dois pontos F1 e F2 . Obteve o modelo para o A elipse ´ o lugar geom´trico dos pontos do plano cuja soma das e e movimento dos planetas, usando os dados observadosdistˆncias aos pontos F1 e F2 ´ constante. Escrevendo esta constante como a e pelo astrˆnomo Tycho o2a, temos Brahe. elipse = {P | d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = 2a}. Foi Kepler quem introduziu Os pontos F1 e F2 s˜o chamados focos da elipse. a o nome foco. 243 CEDERJ
  • Elipse Figura 18.4: Vista da orbita que a Terra faz ao redor do Sol. ´ Figura 18.5: A soma das distˆncias de um ponto da elipse a F1 e F2 ´ constante: d1 +d2 = a e 2a. Vocˆ j´ deve ter observado que os jardineiros, preferencialmente, cons- e a troem canteiros circulares e el´ ´ ıpticos. E muito f´cil desenhar na terra ou no a papel c´ ırculos e elipses. O jardineiro amarra cada ponta de um barbante em um graveto, fixa os dois gravetos, na terra, a uma distˆncia menor que o a comprimento do barbante e, com um terceiro graveto, estica o barbante. Os pontos na terra descritos pelo terceiro graveto formam a elipse. Vocˆ pode desenhar uma elipse no papel, prendendo as extremidades e do barbante com tachas e usando um l´pis para esticar o barbante. As tachas a ser˜o os focos da elipse. Observe que a distˆncia entre os focos ´, obviamente, a a e menor do que o comprimento do barbante. Figura 18.6: Desenhando uma elipse no papel. Seja 2c a distˆncia entre F1 e F2 . Note que 2c < 2a, isto ´, c < a. a e Para encontrar a equa¸ao de uma elipse, vamos fixar um sistema de c˜ coordenadas. Consideramos o eixo x como a reta passando por F1 e F2 , com a origem O situada no ponto m´dio do segmento F1 F2 , e o eixo y sendo a e reta perpendicular a este segmento passando por O. A orienta¸ao do eixo x c˜CEDERJ 244
  • Elipse ´ MODULO 1 - AULA 18´ de O para F2 . O eixo y tem a sua orienta¸ao, for¸osamente, fixada (parae c˜ crelembrar o conceito de orienta¸ao, reveja a Aula 13). c˜ Figura 18.7: Constru¸ao do sistema de coordenadas. c˜ Nesse sistema de coordenadas, temos F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), onde c´ um n´ mero real positivo. Ent˜o, P = (x, y) ´ um ponto da elipsee u a e ⇐⇒ 2a = d(P, F1 ) + d(P, F2 ) ⇐⇒ 2a = d((x, y), (−c, 0)) + d((x, y), (c, 0)) ⇐⇒ 2a = (x − (−c))2 + (y − 0)2 + (x − c)2 + (y − 0)2 ⇐⇒ 2a = (x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 ⇐⇒ 2a − (x − c)2 + y 2 = (x + c)2 + y 2 . Elevando ao quadrado ambos os membros da ultima igualdade, obtemos ´ 4a2 − 4a (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = (x + c)2 + y 2 . Desenvolvendo os quadrados, temos 4a2 − 4a (x − c)2 + y 2 + x2 − 2cx + c2 + y 2 = x2 + 2cx + c2 + y 2 . Cancelando as parcelas iguais e somando −4a2 + 2cx a ambos os mem-bros da igualdade, obtemos −4a (x − c)2 + y 2 = 4cx − 4a2 . Cancelando o fator comum, temos −a (x − c)2 + y 2 = cx − a2 . Elevando ao quadrado ambos os membros desta igualdade, temos a2 ((x − c)2 + y 2 ) = c2 x2 − 2a2 cx + a4 . Desenvolvendo o lado esquerdo desta igualdade, obtemos a2 x2 − 2a2 cx + a2 c2 + a2 y 2 = c2 x2 − 2a2 cx + a4 . Somando −c2 x2 + 2a2 cx − a2 c2 a ambos os membros desta igualdade,reescrevemos a equa¸ao como c˜ (a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a4 − a2 c2 = a2 (a2 − c2 ). 245 CEDERJ
  • Elipse Como a > c > 0, temos que a2 > c2 . Assim, a2 − c2 ´ um n´ mero real e u positivo e podemos escrevˆ-lo como o quadrado de um n´ mero real b > 0, e u logo b2 = a2 − c2 . Observe que b < a. A equa¸ao anterior se reescreve como c˜ b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 que, dividindo por a2 b2 = 0, ´ equivalente a e x2 y 2 + 2 = 1, onde c2 = a2 − b2 . a2 b Esta equa¸ao ´ chamada equa¸ao reduzida da elipse. c˜ e c˜ A interpreta¸ao geom´trica para a e b pode ser vista a partir da equa¸ao c˜ e c˜ x2 reduzida. Fazendo y = 0 nesta equa¸ao, obtemos 2 = 1, que ´ equivalente c˜ e a 2 2 a x = a . Portanto, x = ±a e os pontos A1 = (−a, 0) e A2 = (a, 0) s˜o a pontos da elipse, chamados v´rtices. O eixo maior da elipse ´ o segmento de e e y2 reta A1 A2 , que tem comprimento 2a. Fazendo agora x = 0, obtemos 2 = 1, b que d´ y = ±b. Logo, os pontos B1 = (0, −b) e B2 = (0, b) s˜o os pontos de a a interse¸ao da elipse com o eixo y e s˜o as extremidades do eixo menor, cujo c˜ a comprimento ´ 2b. A origem O ´ o centro da elipse. Observe que os focos e e est˜o situados no eixo maior da elipse. a Figura 18.8: Eixos maior e menor da Figura 18.9: Rela¸ao dos parˆmetros: c˜ a elipse. a2 = b 2 + c 2 . O gr´fico da elipse ´ a e x2 y2 Graf = (x, y) + 2 =1 . a2 b x2 y2 Ilustramos, nas Figuras 18.10 e 18.11, os gr´ficos de a + =1e 4 1 x2 y2 + = 1. 9 4CEDERJ 246
  • Elipse ´ MODULO 1 - AULA 18 x2 y2 x2 y2 Figura 18.10: Elipse 4 + 1 = 1. Figura 18.11: Elipse 9 + 4 = 1.Note que:(1) um ponto P = (x, y) est´ na elipse ⇐⇒ (x, −y) tamb´m est´ na elipse. a e a(2) um ponto P = (x, y) est´ na elipse ⇐⇒ (−x, y) tamb´m est´ na elipse. a e a(3) um ponto P = (x, y) est´ na elipse ⇐⇒ (−x, −y) tamb´m est´ na elipse. a e a As propriedades anteriores s˜o conseq¨ˆncia das vari´veis x e y apare- a ue acerem ao quadrado na equa¸ao da elipse e significam, respectivamente, que: c˜(1) o gr´fico da elipse ´ sim´trico com respeito ao eixo x. a e e(2) o gr´fico da elipse ´ sim´trico com respeito ao eixo y. a e e(3) o gr´fico da elipse ´ sim´trico com respeito a origem O. a e e ` Figura 18.12: Visualiza¸ao das simetrias dos pontos da elipse. c˜ A excentricidade da elipse ´ o n´ mero real e u c e= , 0 < e < 1. a A excentricidade da elipse ´ respons´vel pela forma da elipse. e a Elipses com excentricidade pr´xima de zero tˆm os semi-eixos com com- o eprimentos pr´ximos. Elas s˜o aproximadamente um c´ o a ırculo, pois c e= ≈ 0 =⇒ c ≈ 0 =⇒ c2 ≈ 0 =⇒ b2 = a2 − c2 ≈ a2 =⇒ b ≈ a. o s´ ımbolo ≈ significa a aproximadamente. 247 CEDERJ
  • Elipse Elipses com excentricidade pr´xima de um tˆm uma forma alongada, o e com o semi-eixo menor de comprimento pr´ximo de zero, pois o c e= ≈ 1 =⇒ c ≈ a =⇒ c2 ≈ a2 =⇒ b2 = a2 − c2 ≈ 0 =⇒ b ≈ 0. a Os planetas tˆm orbitas el´ e ´ ıpticas em torno do Sol, um dos focos, com excentricidade pr´xima de zero. O Cometa Halley leva 76 anos para dar uma o volta em torno do Sol, com orbita el´ ´ ıptica com excentricidade 0, 96, enquanto a excentricidade da orbita da Terra ´ 0, 02. ´ e Exemplo 18.1 Qual ´ o subconjunto do plano E = {(x, y)| 4x2 − 8x + 9y 2 + 36y = −4}? e Para responder vamos tentar reescrever a equa¸ao anterior, tomando como c˜ modelo a equa¸ao reduzida da elipse. Temos: c˜ −4 = 4x2 − 8x + 9y 2 + 36y, isolando os polinˆmios em x e em y, o 2 2 = (4x − 8x) + (9y + 36y), colocando 4 e 9 em evidˆncia, na primeira e e segunda parcelas, respectivamente, = 4(x2 − 2x) + 9(y 2 + 4y), completando os quadrados dos polinˆmios o em x e y, respectivamente, = 4(x2 − 2x + 1 − 1) + 9(y 2 + 4y + 4 − 4), reescrevendo, = 4(x2 − 2x + 1) − 4 + 9(y 2 + 4y + 4) − 36, escrevendo os quadrados, = 4(x − 1)2 + 9(y + 2)2 − 40. Esta igualdade ´ equivalente a e 4(x − 1)2 + 9(y + 2)2 = 36. Dividindo ambos os membros desta igualdade por 36, obtemos (x − 1)2 (y + 2)2 + = 1, 9 4 x2 y2 (x−1)2 (y+2)2 Figura 18.13: Elipses 9 + 4 =1e 9 + 4 = 1. que ´ a equa¸ao de uma elipse obtida pela transla¸ao de 1 unidade, horizon- e c˜ c˜ talmente, e de −2 unidades, verticalmente, dos pontos da elipse com equa¸ao c˜CEDERJ 248
  • Elipse ´ MODULO 1 - AULA 18x2 y2 + = 1. O centro (0, 0) desta ultima elipse ´ transladado para (1, −2). ´ e9 4 x2 y2 De modo geral, a elipse 2 + 2 = 1 tem centro (0, 0) e eixos de simetria a bx = 0 e y = 0. Quando esta elipse ´ transladada de h unidades, horizontal- emente, e de k unidades, verticalmente, uma elipse congruente ´ obtida tendo eequa¸ao c˜ (x − h)2 (y − k)2 + = 1. a2 b2 O centro (0, 0) ´ transladado para o ponto (h, k) e os focos, os v´rtices, e eas extremidades do eixo menor e os eixos de simetria s˜o transladados como aindicado a seguir: x2 y2 (x − h)2 (y − k)2 + 2 =1 + =1 a2 b a2 b2 centro: (0, 0) −→ (h, k) focos: (c, 0) e (−c, 0) −→ (c + h, k) e (−c + h, k) v´rtices: e (a, 0) e (−a, 0) −→ (a + h, k) e (−a + h, k) extremidades do eixo menor : (0, b) e (0, −b) −→ (h, b + k) e (h, −b + k)eixos de simetria: x=0ey=0 −→ x=hey=kAten¸˜o: ca A transla¸ao n˜o afeta a excentricidade, porque a transla¸ao n˜o de- c˜ a c˜ aforma a figura. x2 y2 (x−h)2 (y−k)2 Figura 18.14: Elipses a2 + b2 =1e a2 + b2 = 1, com a > b. 249 CEDERJ
  • Elipse Resumo Vocˆ aprendeu a descrever a elipse como um lugar geom´trico; a deter- e e minar os parˆmetros a, b e c da elipse, a partir da equa¸ao reduzida obtida a c˜ no sistema de coordenadas onde o eixo x ´ o eixo focal e a origem ´ o centro e e de simetria da elipse ; a fazer transla¸oes; a determinar as coordenadas dos c˜ focos, dos v´rtices e do eixo menor; a determinar a excentricidade da elipse e e o seu significado. Exerc´ ıcios 1. Esboce o gr´fico das elipses: a x2 y2 (e) x2 + 9y 2 = 36 (a) + =1 16 9 (x − 1)2 (y + 2)2 x2 y2 (f) + =1 (b) + =1 9 4 4 1 (g) 9(x − 3)2 + 16(y − 2)2 = 144 x2 y2 (c) + =1 (h) 4(x + 2)2 + 9(y − 3)2 = 36 25 16 (d) 8x2 + 9y 2 = 72 (i) 9x2 + 25y 2 = 225 2. Considere as elipses do exerc´ anterior. Determine: ıcio (a) as coordenadas dos focos e dos v´rtices. e (b) a excentricidade. 3. Determine a equa¸ao reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade c˜ dada: (a) Centro (0, 0), eixo maior horizontal de comprimento 8 e eixo menor de comprimento 6. (b) Focos (±3, 0) e v´rtices (±5, 0). e (c) Os pontos limitantes dos eixos maior e menor s˜o, respectiva- a mente, (3, 1), (9, 1) e (6, −1), (6, 3). (d) Focos (−2, 4) e (6, 4), eixo menor de comprimento 8. 4. Determine as coordenadas do centro, v´rtices e focos das elipses: e 4x2 − 8x + 9y 2 − 36y + 4 = 0 e 16y 2 + 64y + x2 − 4x + 52 = 0. 5. O Sputnik, primeiro sat´lite lan¸ado da Terra em 1957, descrevia uma e c orbita el´ ´ ıptica, sendo o centro da Terra um dos focos. Determine a equa¸ao da sua orbita, sabendo que, aproximadamente, a sua maior c˜ ´CEDERJ 250
  • Elipse ´ MODULO 1 - AULA 18 altitude foi de 840 km, a sua menor altitude foi de 189 km e o raio da Terra ´ de 570 km. eAuto-avalia¸ao c˜ Se vocˆ sabe determinar a equa¸ao reduzida da elipse, a partir das e c˜propriedades geom´tricas; esbo¸ar o gr´fico da elipse, usando a sua equa¸ao e c a c˜reduzida; determinar as coordenadas dos v´rtices, dos focos e das extremi- edades do eixo menor, a partir da equa¸ao reduzida, ent˜o pode passar para c˜ aa pr´xima aula. Na Aula 22 continuaremos a estudar a elipse e veremos a osua interessante propriedade reflexiva! 251 CEDERJ