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    Ejercicios Maple Ejercicios Maple Document Transcript

    • 1 Descripci´n de las pr´cticas. o a Las pr´cticas siguientes corresponden todas ellas al tema cinco del programa de la a asignatura: “Integrales dobles y triples”. Est´n organizadas del modo siguiente, a • Las tres primeras estan incluidas en el apartado de “integrales doble” y tratan respectivamente, Pr´ctica primera. De la integral doble de una funci´n dada f (x, y) en una a o regi´n Ω del plano oxy descrita por las curvas que forman su contorno. o Pr´ctica segunda. Del c´lculo del volumen de un recinto R del espacio, a a definido por el conjunto de superficies que lo limitan, hallando el valor de la integral doble de cierta funci´n en la regi´n Ω en que se proyecta R sobre el o o plano oxy. Pr´ctica tercera. Tambi´n del c´lculo de un volumen en la misma forma que a e a la pr´ctica anterior pero efectuando en la integral doble, una vez planteada, a un cambio a las coordenadas polares. • Las dos pr´cticas siguientes tratan, por su parte, de la integraci´n triple. Con- a o sisten en Pr´ctica cuarta. Se pide integrar una funci´n f (x, y, z) en un recinto R a o dado en el espacio. Se convierte la integral triple en una doble (como la de la pr´ctica primera) sobre la proyecci´n de R en el plano oxy. a o Pr´ctica quinta. Finalmente, la pr´ctica quinta tiene el mismo planteamien- a a to y desarrollo que la anterior pero la integral doble que resulta se ejecuta en coordenadas polares.
    • 2 Ejercicio del aula de inform´tica. No 1. a Ejercicio. Calcular la integral doble de la funci´n o f (x, y) = 1 − x2 en la regi´n del plano Ω limitada por la curva y = x4 y la par´bola y = 2 − x2 . o a Soluci´n: o Representaci´n de Ω. Dibujemos ante todo la regi´n Ω para lo cual basta escribir, o o [> with(plots): [> curva:=plot(xˆ4, x=-1..1): [> parabola:=plot(2-xˆ2, x=-1..1): [> display(curva,parabola,scaling=constrained); Planteamiento de la integral. La integral doble 1 − x2 dx dy Ω se plantea hallando previamente los l´ ımites de la regi´n Ω de integraci´n. Si barremos o o dicha regi´n verticalmente, ser´ una integral de la forma o a b y2 (x) 1 − x2 dy dx. a y1 (x) 1. Primera integraci´n. Observemos que la regi´n est´ limitada, o o a (a) Inferiormente por la curva y = x4 . (b) Superiormenente por la par´bola y = 2 − x2 . a Como consecuencia la primera integral es 2−x2 1 − x2 dy. x4
    • 3 2. Segunda integraci´n. Para hallar los l´ o ımites de la segunda integral calculemos los puntos de intersecci´n de la curva y = x4 y la par´bola y = 2 − x2 para lo cual o a ponemos, [> solve({y=xˆ4, y=2-xˆ2}); El resultado obtenido nos permite decir que Ω tambi´n est´ limitada, e a (a) Por la izquierda por el valor x = −1. (b) Por la derecha por el x = 1. De este modo la segunda integral tiene como l´ ımites −1 y 1 y la integral doble queda planteada as´ ı: 1 2−x2 1 − x2 dy dx. −1 x4 C´lculo de las integrales. a 2−x2 1. Primera integraci´n. La integral o 1 − x2 dy podemos hacerla en Maple x4 de dos formas distintas. (a) De modo directo como una integral definida. Para ello se escribe, [> integral1:=int(1-xˆ2, y=xˆ4..2-xˆ2); [> simplify(%); (b) O bien de forma indirecta calculando en primer lugar la integral indefinida 1 − x2 dy y sustituyendo luego los l´ ımites de integraci´n. As´ o ı: [> IntIndef:=int(1-xˆ2, y); [> integral1:=subs(y=2-xˆ2,IntIndef )-subs(y=xˆ4,IntIndef ); [> simplify(%);
    • 4 2. Segunda integraci´n. El resultado obtenido tras la primera integraci´n, que es o o el que hemos llamado “integral1” se integra ahora entre x = −1 y x = 1 (lo hacemos ya de forma directa como integral definida) de la siguiente manera (El resultado es ya el valor de la integral doble planteada), [> int(integral1, x=-1..1); Nota importante. Existe en Maple una forma de hallar una integral doble sin dividirla en las dos integrales reiteradas usuales, es decir hall´ndola de una sola vez. Es preciso a para ello importar el paquete student y emplear las ´rdenes Doubleint y value. En o el caso del ejercicio anterior esto se har´ como sigue, ıa [> with(student): [> Doubleint(1-xˆ2, y=xˆ4..2-xˆ2, x=-1..1); [> value(%);
    • 5 Ejercicio del aula de inform´tica. No 2. a Ejercicio. Calcular el volumen limitado en el semiespacio y ≥ 0 por las y superficies z = , z = 0, x2 + y 2 = 1. 1 + x2 Soluci´n: o Representaci´n del recinto. Vamos a representar el recinto que limitan las superficies o dadas en el semiespacio indicado: 1. La m´s sencilla de representar, como superficie expl´ a ıcita, es el plano z = 0, [> with(plots): [> plano:=plot3d(0, x=-1..1, y=0..1): y 2. Tambi´n como superficie expl´ e ıcita representamos la superficie z = , 1 + x2 [> superficie:=plot3d(y/(1+xˆ2), x=-1..1, y=0..1): 3. Y finalmente representamos el cilindro usando sus ecuaciones param´tricas x = e cos u, y = senu, z = v. Tambi´n representamos todas las superficies conjunta- e mente [> cilindro:=plot3d([cos(u),sin(u),v], u=0..Pi, v=0..1): [> display(plano,superficie,cilindro); Planteamiento. Calcularemos el volumen propuesto proyectando sobre el plano oxy. El recinto del enunciado est´ limitado, a 1. Inferiormente por el plano z = 0. y 2. Superiormenente por la superficie z = 1+x2 . Por lo tanto dicho volumen se obtiene como la integral doble y −0 dx dy. Ω 1 + x2 donde el integrando es la diferencia de los valores de z en las superficies que limitan el recinto superior e inferiormente y Ω es la regi´n del plano oxy encerrada por las curvas o siguientes:
    • 6 1. La base del cilindro x2 + y 2 = 1. y 2. La proyecci´n sobre el plano oxy de la intersecci´n de las superficies z = o o 1+x2 y z = 0 (la cual es obviamente la recta y = 0). (Bien entendido que de ambas curvas solo puede tomarse la parte del semiplano y ≥ 0 debido a la limitaci´n del enunciado). o [> ejeox:=plot(0, x=-1..1, thickness=4): [> semicircunferencia:=plot([cos(u),sin(u),u=0..Pi], thickness=4): [> display(ejeox,semicircunferencia,scaling=constrained); A la vista de su representaci´n geom´trica y si la barremos verticalmente, Ω est´ o e a limitada, 1. Superiormente por la semicircunferencia superior de x2 + y 2 = 1 que es, despe- √ jando y, y = 1 − x2 . 2. Inferiormente por el eje ox, de ecuaci´n expl´ o ıcita en y, y = 0. 3. Por la izquierda por el valor x = −1. 4. Y por la derecha por el x = 1. En virtud de todo esto el volumen se plantea as´ ı: √ 1 1−x2 y V = dy dx. −1 0 1 + x2 C´lculo de las integrales. a √ 1−x2 y 1. Primera integraci´n. La integral o dy se obtiene poniendo 0 1 + x2 [> integral1:=int(y/(1+xˆ2), y=0..sqrt(1-xˆ2)); [> convert(%,parfrac,x); Obs´rvese el resultado de la orden “convert” (descompone la fracci´n para poder e o integrarla).
    • 7 2. Segunda integraci´n. El resultado de la primera integraci´n se integra ahora entre o o x = −1 y x = 1. [> V:=int(integral1, x=-1..1); Para efectuar la integral doble de una sola vez se tiene que escribir [> with(student): [> Doubleint(y/(1+xˆ2), y=0..sqrt(1-xˆ2), x=-1..1); [> V:=value(%);
    • 8 Ejercicio del aula de inform´tica. No 3. a Ejercicio. Calcular el volumen limitado en el primer octante por el cilindro x2 + y 2 = x y el paraboloide el´ ıptico z = 1 − x2 − y 2 . Soluci´n: o Representaci´n del recinto. La representaci´n del recinto descrito es la siguiente o o 1. Como el paraboloide z = 1 − x2 − y 2 tiene v´rtice (0, 0, 1), semiejes a = 1 y e b = 1 y concavidad negativa se parametriza en la forma x = v cos u, y = v senu, z = 1 − v 2 y se representa como, [> with(plots): [> paraboloide:=plot3d([v*cos(u),v*sin(u),1-vˆ2], u=0..Pi/2, v=0..1): 2. Por su parte el cilindro x2 + y 2 = x es vertical y su base es la circunferencia de centro (1, 0, 0) y radio 1 y por ello se representa poniendo, [> cilindro:=plot3d([1/2+cos(u)/2,sin(u)/2,v], u=0..Pi, v=0..1): 3. Por otra parte los planos coordenados oxy y oyz, que delimitan tambi´n este e recinto, quedan, [> planooxy:=plot3d([x,y,0], x=0..1, y=0..1): [> planooyz:=plot3d([0,y,z], y=0..1, z=0..1): 4. Y todas las superficies conjuntamente, [> display(paraboloide,cilindro,planooxy,planooyz); Planteamiento. Calcularemos el volumen propuesto proyectando sobre el plano oxy. El recinto tiene superior e inferiormente los siguientes l´ ımites, 1. Inferiormente, el plano z = 0. 2. Superiormenente, el paraboloide z = 1 − x2 − y 2 .
    • 9 Por lo tanto el volumen vale, V = 1 − x2 − y 2 dx dy Ω donde: 1. El integrando, 1 − x2 − y 2 , es la diferencia de los valores de z en las superficies que cubren el recinto por encima, z = 1 − x2 − y 2 , y por debajo, z = 0. 2. Ω es la regi´n del plano oxy encerrada por las curvas, o (a) x2 + y 2 = 1 que es el corte del paraboloide con el plano z = 0. (b) x2 + y 2 = x, que es la circunferencia base del cilindro. (c) Y por eje oy que es el corte del plano oyz con el z = 0. [> circulo1:=plot([cos(u),sin(u),u=0..Pi/2],thickness=4): [> circulo2:=plot([1/2+cos(u)/2,sin(u)/2,u=0..Pi],thickness=4): [> ejeoy:=plot([0,y,y=0..1],thickness=4): [> display(circulo1,circulo2,ejeoy,scaling=constrained); A la vista de su representaci´n geom´trica calcularemos la integral cambiando a las o e variables polares, es decir barriendo Ω radialmente. En esta forma los l´ ımites de Ω son: 1. Para el ´ngulo polar θ los valores θ = 0 y θ = π . a 2 2. Y para el radio polar ρ los siguientes: (a) El valor de ρ en la circunferencia x2 + y 2 = x que se obtiene sustituyendo en esta ecuaci´n x = ρ cos θ, y = ρ senθ, y despejando ρ, o [> subs(x=rho*cos(theta), y=rho*sin(theta), xˆ2+yˆ2=x); [> solve(%,rho); [> simplify(%[2]); (b) Y el valor de ρ en la circunferencia x2 + y 2 = 1 que se obtiene de la misma manera
    • 10 [> subs(x=rho*cos(theta), y=rho*sin(theta), xˆ2+yˆ2=1); [> solve(%,rho); Adem´s el integrando original 1 − x2 − y 2 debe ser sustituido por el producto del a Jacobiano ρ del cambio de variables por el que se obtiene pasando ´quel a polares, es a decir [> rho*subs(x=rho*cos(theta), y=rho*sin(theta), 1-xˆ2-yˆ2); [> simplify(%); En virtud de todo esto el volumen se plantea as´ ı: π π 2 1 2 1 V = ρ 1 − ρ2 dρ dθ = ρ − ρ3 dρ dθ. 0 cos θ 0 cos θ C´lculo de las integrales. a 1 1. Primera integraci´n. La integral o ρ − ρ3 dρ vale cos θ [> integral1:=int(rho*(1-rhoˆ2), rho=cos(theta)..1); 2. Segunda integraci´n. El resultado de la primera integraci´n se integra entre θ = 0 o o y θ = π. 2 [> V:=int(integral1, theta=0.. Pi/2); La integral doble se har´ as´ ıa ı: [> with(student): [> Doubleint(rho-rhoˆ3, rho=cos(theta)..1, theta=0.. Pi/2); [> value(%);
    • 11 Ejercicio del aula de inform´tica. No 4. a Ejercicio. Calcular la integral triple de la funci´n o 1 f (x, y, z) = x2 + y2 ıptico z = x2 + y 2 , en el recinto R del espacio limitado por el paraboloide el´ el cilindro parab´lico y = 1 − x2 y los plano y = 0 y z = 0. o Soluci´n: o Representaci´n de R. Representemos en primer lugar el recinto R, o 1. Paraboloide. El paraboloide z = x2 + y 2 tiene como v´rtice el origen de coor- e denadas, semiejes a = 1 y b = 1 y concavidad positiva. Por eso sus ecuaciones param´tricas son, e x = v cos u, y = v senu, z = v2, y estas ecuaciones son las que usamos para representarlo, [> with(plots): [> paraboloide:=plot3d([v*cos(u),v*sin(u),vˆ2], u=0..2*Pi, v=0..1): 2. Cilindro y planos. Tanto el cilindro parab´lico como los dos planos coordenados o que se dan est´n en forma expl´ a ıcita, luego se representan as´ ı, [> cilindro:=plot3d([x,1-xˆ2,z], x=-1..1, z=0..1): [> planooxy:=plot3d([x,y,0], x=-1..1, y=0..1): [> planoozx:=plot3d([x,0,z], x=-1..1, z=0..1): 3. Todas las superficies citadas dan, representadas conjuntamente, el recinto descrito en el enunciado, [> display(paraboloide,cilindro,planooxy,planoozx); Planteamiento. Vamos a hacer este ejercicio reduciendo la integral triple a una doble mediante proyec- ci´n sobre el plano oxy. Para ello tengamos en cuenta que, o
    • 12 1. El recinto est´ cubierto superiormente por el paraboloide z = x2 + y 2 . a 2. E inferiormente por el plano z = 0. Esto significa que la integral triple se reduce a una doble usando la identidad, 1 dx dy dz = f (x, y) dx dy R x2 + y2 Ω donde, 1 1. Integrando. f (x, y) es la funci´n que resulta de integrar o x2 +y 2 respecto de z entre el valor de z en la superficie que limita R superiormente, z = x2 + y 2 e inferiormente, z = 0. Es decir que x2 +y 2 1 f (x, y) = dz 0 x2 + y2 y vale [> integral1:=int(1/(xˆ2+yˆ2), z=0..xˆ2+yˆ2); 2. Regi´n de integraci´n. Ω est´ limitada por la parab´la y = 1 − x2 y el eje ox, o o a o [> parabola:=plot(1-xˆ2, x=-1..1, thickness=4): [> ejeox:=plot(0, x=-1..1, thickness=4): [> display(parabola,ejeox,scaling=constrained); Esto significa que los l´ ımites de Ω son    0 ≤ y ≤ 1 − x2 ,   −1 ≤ x ≤ 1. Como consecuencia de todo esto la integral triple queda: 1 1 1−x2 2 + y2 dx dy dz = f (x, y) dx dy = 1 dx dy R x Ω −1 0 y se obtiene del modo siguiente
    • 13 [> integral2:=int(integral1, y=0..1-xˆ2); [> integraltriple:=int(integral2, x=-1..1); Si la integral doble se hace de una sola vez el proceso completo de c´lculo de la a integral triple por reducci´n a una simple y una doble hubiese sido, o [> with(student): [> integral1:=int(1/(xˆ2+yˆ2), z=0..xˆ2+yˆ2); [> integraltriple:=Doubleint(integral1, y=0..1-xˆ2, x=-1..1); [> value(%); Observaci´n. Igual que es posible calcular una integral doble en un solo paso o tambi´n podemos calcular de este modo una integral triple. La orden correspon- e diente es Tripleint y en el presente ejercicio se pondr´ (n´tese que se agrupan ıa o en una sola las integraciones simple y doble hechas antes), [> integraltriple:=Tripleint(1/(xˆ2+yˆ2), z=0..xˆ2+yˆ2, y=0..1- xˆ2, x=-1..1); [> value(%);
    • 14 Ejercicio del aula de inform´tica. No 5. a Ejercicio. Calcular, usando coordenadas cil´ ındricas, la integral triple 2xz dx dy dz R x2 + y 2 extendida al recinto del semiespacio z ≥ 0 encerrado por los planos y = 0, z = 0, la esfera x2 + y 2 + z 2 = 2 y el cilindro parab´lico y = x2 . o Soluci´n: o Representaci´n de R. El recinto del enunciado se representa del siguiente modo, o 1. Esfera. Representamos la esfera utilizando sus ecuaciones param´tricas (limita- e mos las variaciones de sus par´metros u y v para la parte del espacio en que a y ≥ 0, z ≥ 0). [> with(plots): [> esfera:=plot3d([cos(u)*cos(v),cos(u)*sin(v),sin(u)], u=0..Pi/2, v=0..Pi): 2. Cilindro y planos. El cilindro parab´lico y = x2 y los planos y = 0 y z = 0 se o representan, a su vez, como sigue [> cilindro:=plot3d([x,xˆ2,z], x=-1..1, z=0..1): [> planooxy:=plot3d([x,y,0], x=-1..1, y=0..1): [> planoozx:=plot3d([x,0,z], x=-1..1, z=0..1): 3. Todas estas superficies dan el recinto descrito en el enunciado, [> display(esfera,cilindro,planooxy,planoozx); Planteamiento. Reduzcamos la integral triple a una doble proyectando sobre el plano oxy. Puesto que, √ 1. El recinto est´ cubierto superiormente por la semiesfera z = a 2 − x2 − y 2 , 2. E inferiormente por el plano z = 0,
    • 15 dicha reducci´n queda as´ o ı, 2xz dx dy dz = f (x, y) dx dy R x2 + y2 Ω siendo, 2xz 1. Integrando. f (x, y) es la funci´n que resulta integrando x2 +y2 respecto de z entre o √ el valor de z en el plano, z = 0, y la esfera, z = 2 − x2 − y 2 , √ 2−x2 −y 2 2xz f (x, y) = 2 + y2 dz. 0 x Esta integral vale [> integral1:=int(2*x*z/(xˆ2+yˆ2), z=0..sqrt(2-xˆ2-yˆ2)); 2. Regi´n de integraci´n. Ω est´ limitada por la parab´la y = 1 − x2 , el eje ox y la o o a o √ semicircunferencia y = 2 − x2 en que la esfera corta al plano oxy, [> parabola:=plot(xˆ2, x=-1..1, thickness=4): [> circunferencia:=plot(sqrt(2-xˆ2), x=-sqrt(2)..sqrt(2), thick- ness=4): [> ejeox:=plot(0, x=-sqrt(2)..sqrt(2), thickness=4): [> display(parabola, circunferencia,ejeox,scaling=constrained); Como consecuencia de todo esto la integral triple queda: 1 x (2 − x2 − y 2 ) dx dy dz = dx dy R x2 + y 2 Ω x2 + y 2 pero teniendo en cuenta que tanto la regi´n de integraci´n como el integrando son o o sim´tricos respecto del plano x = 0 (porque al cambiar x por −x en las curvas que e limitan Ω o en el integrando ni unas ni el otro cambian) podemos usar esta simetr´ y ıa poner, 1 x (2 − x2 − y 2 ) 2 + y2 dx dy dz = 2 dx dy R x Ω x2 + y 2 donde Ω es la mitad de Ω situada en el primer cuadrante.
    • 16 C´lculo de la integral. Atendiendo a lo que se nos pide en el enunciado vamos a hallar a el valor de la integral doble haciendo un cambio a las coordenadas polares. En este sentido los l´ ımites de Ω son, 1. Para θ, θ = 0 y su valor en el punto de intersecci´n de la circunferencia x2 +y 2 = 2 o y la par´bola y = x2 , lo cual se hace resolviendo el sistema {x2 + y 2 = 2, y = x2 }, a [> solve(xˆ2+yˆ2=2, y=xˆ2); o ımite superior de θ es π . Y como el punto de intersecci´n resulta ser el (1, 1) el l´ 4 2. Y para ρ, su valor en la par´bola, que se obtiene pasando la ecuaci´n de ´sta a a o e coordenadas polares y despejando ρ, [> subs(x=rho*cos(theta),y=rho*sin(theta), y=xˆ2); [> solve(%,rho); y su valor en la circunferencia x2 + y 2 = 2 que se halla del mismo modo, [> subs(x=rho*cos(theta),y=rho*sin(theta), xˆ2+yˆ2=2); [> solve(%,rho); x (2 − x2 − y 2 ) Adem´s el integrando a queda, despu´s de convertirlo a polares y multi- e x2 + y 2 plicar por el jacobiano del cambio de variables, [> rho*subs(x=rho*cos(theta), y=rho*sin(theta), x*(2-xˆ2-yˆ2)/ (xˆ2+yˆ2)); [> integrando:=simplify(%); De acuerdo con todo lo anterior la integral x (2 − x2 − y 2 ) dx dy Ω x2 + y 2
    • 17 se convierte en coordenadas polares en π √ x (2 − x2 − y 2 ) 4 2 dx dy = 2 − ρ2 cos θ dθ dθ Ω x2 + y 2 0 sen θ cos2 θ y se obtiene del siguiente modo, [> integral2:=int(integrando, rho=sin(theta)/cos(theta)ˆ2..sqrt(2)); [> integraltriple:=2*int(integral2, theta=0..Pi/4); Si la integral doble se hace de una sola vez se pone [> with(student): [> integraltriple:=2*Doubleint(integrando, rho=sin(theta)/cos(theta)ˆ2..sqrt(2), theta=0..Pi/4); [> value(%);