Логика 03. Классическая логика высказываний
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Логика 03. Классическая логика высказываний

on

  • 6,231 views

 

Statistics

Views

Total Views
6,231
Views on SlideShare
6,207
Embed Views
24

Actions

Likes
0
Downloads
42
Comments
0

2 Embeds 24

http://www.slideshare.net 21
https://twitter.com 3

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Логика 03. Классическая логика высказываний Логика 03. Классическая логика высказываний Presentation Transcript

  • Классическая логика высказываний Горбатов В.В.
  • Содержание
    • Язык и семантика КЛВ
    • Основные законы КЛВ
    • Логические отношения между сложными суждениями
    • Основные способы умозаключений КЛВ
    • Классическое исчисление высказываний (система субординатного вывода)
  • 1. Язык и семантика КЛВ
  • Что она изучает?
    • КЛВ – это теория, изучающая логическую форму сложных суждений без учета логической формы входящих в них простых суждений
    • Аксиоматизацию КЛВ впервые произвел Г.Фреге
  • Сложные суждения
    • Сложными называются такие суждения, в составе которых можно выделить части, в свою очередь являющиеся суждениями
    • Простые суждения в КЛВ рассматриваются как неделимые элементы, принимающие значение 1 (истина) либо 0 (ложь)
    • Значение сложного суждения можно рассматривать как функцию от значений простых суждений, входящих в его состав
  • Алфавит КЛВ
    • Пропозициональные переменные
      • p, q, r, s, …
    • Пропозициональные связки
      •  , & , V , V ,  , 
    • Технические символы
      • Скобки ( , )
  • Пропозициональные связки
      •  Отрицание (не, неверно что)
      • & Конъюнкция (и, а, но, хотя)
      • V Дизъюнкция (или, либо)
      • V Строгая дизъюнкция (либо-
      • либо, только одно из двух)
      •  Импликация (если то, следует)
      •  Эквиваленция (равнозначно)
  • Пример формализации
    • р – виновен Джонс
    • q – виновен Браун
    • «Они оба виновны»
    • p & q
    • «Виновен хотя бы один из них»
    • p V q
    • «Они оба не виновны»
    •  p &  q
    • «Джонс без Брауна на дело не ходит»
    •  (p &  q) , или p  q
  • Табличное определение связок 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1-  +   = Мат. аналог: р  q р  q p V q pVq p&q  p q p
  • Пример построения таблицы
    • «Если Джонс без Брауна на дело не ходит, а виновен только один из них, то это Браун»
    • (  ( p &  q ) & ( p V q))  q
    • 1) Определяем число строк: k = 2 n
    • 2) Задаем значение атомарных переменных
    • 3) Вычисляем значение подформул и формулы в целом
  • Пример построения таблицы 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 F … & … p V q  (p&  q) p&  q  q q p
  • Общезначимость и выполнимость
    • Формула называется общезначимой (тождественно-истинной), если она принимает значение 1 во всех строчках
    • Формула называется выполнимой , если она принимает значение 1 хотя бы в одной строчке
    • Формула называется логически случайной (собственно выполнимой), если она выполнима, но не общезначима
  • 2. Основные законы КЛВ
  • Основные законы КЛВ
    • 1) Закон тождества
    • А  A
    • 2) Закон непротиворечия
    •  (A &  A)
    • 3) Закон исключённого третьего
    • A V  A
    • 4) Закон дв. отрицания
    •  А  А
    Аристотель
  • Вопрос
    • Директор школы возражает против отмены решения о запрете контроля за прическами
    • Что он хочет этим сказать? Можно ли ходить с любой прической?
    • Пусть А – «можно ходить с любой прической»
    А    
  • Какой закон нарушен?
  • Какой закон нарушен? Или ... Или ... Или ?
  • Основные законы КЛВ
    • 5) Закон отрицания антецедента (закон Дунса Скота)
    •  А  (А  В)
    • Из заведомо ложной мысли вытекает что угодно!
    • 6) Закон утверждения консеквента
    • А  (В  А)
    • Заведомо истинная мысль вытекает из чего угодно!
    Дунс Скот
  • Основные законы КЛВ
    • 7) Закон контрапозиции
    • (А  В)  (  В   A )
    • 8) Законы Де Моргана
    •  (А V В)   A &  B
    •  (А & В)   A V  B
    • 9) Закон транзитивности импликации
    • (А  В) & (В  С)  (А  С)
    А. Де Морган
  • Какой закон нарушен?
    • Если неправда, что они оба виновны,
    значит, они оба невиновны
  • Основные законы КЛВ
    • 10) Законы дистрибутивности
    • А  (В  С)  (А  В)  (А  C )
    • А & (В  С)  (А & В)  (А & C )
    • 11) Законы взаимовыразимости связок
    •  (  А   В)  (А  В)
    •  (  А   В)  (А  В)
    • (  А  В)  ( A  В)
    • (( A  В) & ( B  A ))  ( A ≡ В)
    • (( A   В) & ( B   A ))  (А  В)
  • 3. Логические отношения
  • Логические отношения между сложными суждениями
    • Совместимость по истинности
      • А (1) В  Существует строка А В
      • 1 1
    • Совместимость по ложности
      • А ( 0 ) В  Существует строка А В
      • 0 0
    • Логическое следование
      • А  = В  Не сущ. строки А В
      • 1 0
  • Логические отношения между сложными суждениями – – – + + – + + – – + + + – – + В подчиняет А А подчиняет В Эквивалентность Независимость Субконтрарность Контрарность Контрадикторность В  = А А  = В А (0) В А (1) В Отношения
  • Примеры
    • А подчиняет В
    • А и С независимы
    • А и D контрарны
    • C подчиняет В
    • В и D контрадикторны
    • С и D контрарны
    А 0 1 1 0 В 1 1 1 0 С 1 0 1 0 D 0 0 0 1
  • Логические отношения между тезисами и стратегия спора
    • А: «Джонс виновен»
    В: «Браун виновен» С: «По крайней мере один из них виновен!» D : «Они оба невиновны!» независимость Спорить не о чем! Тезисы информационно не связаны подчинение подчинение Возможно достижение согласия. С вытекает как из А, так и из В контрарность контрарность Согласие невозможно. Но попарно они могут ошибаться контрадикторность Классическая модель спора. Тезисы взаимно отрицают друг друга
  • Подберите антитезис к тезису:
    • Эта книга скучная и глупая
      • Эта книга нескучная ИЛИ неглупая
    • Преступник был вооружен или хорошо подготовлен
      • Преступник был без оружия И плохо подготовлен
    • Если это число кратно трем, то оно кратно пяти
      • Это число кратно трем, НО НЕ кратно пяти
  • 4. Способы умозаключений
  • Основные способы умозаключений КЛВ
    • Умозаключение – это переход от некоторого множества исходных суждений (посылок) к одному общему заключению
    • Умозаключение является правильным , если его логическая форма гаранти-рует, что при истинности посылок заключение всегда будет истинным
  • Условно-категорические
    • А  В, А
    • В
    • А  В,  В
    •  А
    Modus ponens ( утверждающий способ) Modus tollens ( отрицающий способ) А  В, В А А  В,  А  В
  • Разделительно-категорические
    • А V В,  А
    • В
    • А V В, А
    •  В
    Modus tollendo-ponens ( Отрицающе-утверждающий способ) Modus ponendo-tollens (Утверждающе-отрицающий способ)
  • Правильно ли построены эти умозаключения?
    • Если цветы не поливать, то они засохнут. Цветы засохли. Следовательно, их не поливали
    • Если я решил эту задачу без ошибок, то результат должен сойтись с ответом. Но он с ответом не сходится. Значит, я решил ее неправильно.
    • Если у Джонса есть алиби, то он не преступник. У Джонса нет алиби. Следовательно, он преступник.
    • Людвиг – гражданин Франции или Австрии. Он гражданин Австрии. Следовательно, он не гражданин Франции.
  • Условно-разделительные
    • А  С, В  С, А V В
    • С
    • А  В, А  С,  В V  С
    •  А
    Простая конструктивная дилемма Простая деструктивная дилемма А  В, С  D , А VC BVD А  В, C  D ,  В V  D  А V  C Сложная конструктивная дилемма Сложная деструктивная дилемма
  • Какие дилеммы здесь использованы?
    • Если цари злы, они заставляют страдать других людей. Если они добры, то страдают сами. Но либо они злы, либо добры. Следовательно, они будут страдать сами или приносить страдания другим людям (Фенелон)
  • Какие дилеммы здесь использованы?
    • У тебя есть два пути: жениться или не жениться. Женишься – пожалеешь. Не женишься – все равно пожалеешь. Следовательно, ты пожалеешь о своем решении в любом случае (Сократ)
  • Какие дилеммы здесь использованы?
    • Если пациент жалуется на здоровье, значит он еще не умер. Если жалуется на доктора – значит, уже здоров. Этот человек либо очень нездоров, либо уже умер. Ну и хорошо: по крайне мере на что-то одно он жаловаться не будет
  • 5. Исчисление высказываний
  • Исчисление высказываний (система субординатного вывода)
    • Исчисление – это формальная теория, в которой все рассуждения строятся как преобразования одних последовательностей символов в другие по определенным правилам
    • В исчислениях формализовано не только само знание, но и способы его получения
    • Лейбниц: «Не надо спорить, давайте посчитаем!»
  • Правила вывода
    • Введение связок
    • В,  В
    •  С*
    • А,В
    • А & В
    • А
    • А  В
    • В
    • С*  В
    • Исключение связок
    •  А
    • А
    • А & В
    • А
    • А  В,  А
    • В
    • А  В, А
    • В
     в & в  в  в  и & и  и  и * Где С – последнее неисключенное допущение
  • Что такое «вывод»?
    • Выводом называется непустая конечная последовательность формул, каждая из которых либо является посылкой, либо получена из предыдущих формул по одному из правил вывода
    • Посылки и допущения помечаются знаком «+»
    Пример: 1. А . . k . А  ( В  C) . . m.  C . . n . B
  • Основные способы построения вывода
    • «Сведение к абсурду»
    • Надо:  А
    • 1. +А цель: ⊥
    • n. ⊥
    • n+1.  А (  в)
    • «От противного»
    • Надо: А
    • 1. +  А цель: ⊥
    • n. ⊥
    • n+1.  А (  в)
    • n+2. А (  и)
    • Прямой вывод
    • Косвенный вывод
  • Что такое «подвывод»?
    • Подвывод – это последовательность формул, имеющая в выводе некую вспомогательную цель
    • Если в выводе применялись правила (  в ) или (  в ), то все формулы, начиная с последней посылки и вплоть до результата применения данного правила, исключаются из участия в дальнейших шагах вывода (подвывод закрывается)
  • Почему нужно закрывать «подвывод»?
    • Если использовалось правило (  в ), значит в выводе фигурировало заведомо ложное допущение, которое привело к противо-речию, и в дальней-шем на него (а также на его следствия) опираться нельзя
    Пример: 1. А   В 2. В 3. В  С (2 ,  в ) + 4 . А 5.  В (1,4,  и ) 6.  А (2,5,  в ) 7. С (3,5,  и )
  • Почему нужно закрывать «подвывод»?
    • Если использовалось правило (  в ), значит некая формула была получена из опреде-ленного допущения; пока это допущение не будет доказано отдельно, опираться на него (и на его следствия) нельзя
    Пример: 1. А  В 2.  В  D 3. С   В + 4 . С 5.  В ( 3 , 4 ,  и ) 6. А (1 ,5,  и ) 7. С  А ( 6 ,  в ) 7. D ( 2 ,5,  и )
  • Пример вывода
    • Алиса долго думала, кого пригласить на свой день рожденья:
      • Если придет Дэвид, то не придет Джулия – она с ним в ссоре
      • Если на дне рожденья будет Мэри, то придет и Дэвид, потому что он – ее кавалер
      • А если не придет Мэри, то не придет и Ричард
    • Поразмыслив, она поняла, что если пригласить Ричарда, то не придет Джулия
  • Пример вывода
    • d   j
    • m  d
    •  m   r
    • + r ( цель:  j )
    • +  m (цель: ⊥ )
    •  r (3 ,5  и)
    •  m ( 4,6,  в)
    • m (7 ,  и)
    • d (2 ,8,  и)
    •  j ( 1,9,  и)
    • r   j (10,  в)
    дано; цель: r   j  d  m Т.о., мы обосновали выводимость: d   j, m  d,  m   r r   j
  • Что такое «доказательство»?
    • Доказательством называется вывод из пустого множества неисключенных посылок
    • Теоремой называется последняя формула в доказательстве
  • Пример доказательства
    • Доказать теорему:  ( p  q)  (  p&  q)
    • +  ( p  q) цель:  p&  q
    • + p цель: ⊥
    • p  q (2,  в)
    •  p ( 1,3,  в)
    • + q цель: ⊥
    • p  q ( 5 ,  в)
    •  q ( 1,6,  в)
    •  p&  q (4, 7 & в)
    •  ( p  q)  (  p&  q) (8 ,  в)
     p , потом  q
  • Основные эвристики
    • Вывод одной и той же формулы можно строить по-разному
    • Как найти оптимальный вариант построения вывода?
    • Эвристика – тактический прием, упрощающий процедуру поиска решения
  • Эвристики, основанные на анализе цели противоречие  А, потом  В А  B 5 А, потом В (или наоборот) А & B 4 В А А  В 3 противоречие А  А 2 противоречие  А А 1 Новая цель Допущение Цель №
  • Эвристики, основанные на анализе вывода противоречие, чтобы затем получить А, а из него В  А В А  В 8 А  В, чтобы возник-ло противоречие А (либо В) противоречие  (А  В) 7 противоречие, чтобы затем получить  А, а из него В А В А  В 6 Новая цель Допу-щение Постав-ленная цель В выводе есть формула №