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  1. 1. U de G| EPRA | TICs II Proyecto Personal de Investigación Documental. Nombre del Gonzalo Ramos Rubio estudiante: Nombre del Fecha de 21 de febrero de Investigación Documental envió 2010 proyecto Competencia Aprender a buscar información útil para una investigación, discriminando particular información basura para que la investigación este correcta. Nombre de la Materia: Matemáticas y Vida Cotidiana II Nombre del profesor: Manuel Alejandro Rosas Verdín Tema: Actividad 4. Una sucesión curiosa (razón áurea) Modulo: Modulo 1. ¿Hasta donde llega? Página de la guía en la que se encuentra el proyecto: 22 - 24 Reto: Utilizar todas las fuentes de información disponible y darle un orden usando el Word Meta: Saber buscar información correcta sobre un tema, Montar una investigación usando el Word Duración: 3 semanas Periodo: Del 8 al 26 de Febrero del 2010. Tiempo estimado: 3 horas Inicio: 4 :45 Termino: 7:07 100 puntos. (Si esta todo completo y de acuerdo a todos los requisitos de la tabla de Valor: cotejo y de la rúbrica respectiva. Además de escribir con honestidad y puntualidad) El llenado del formato se hará con letra arial tamaño 11, en color negro normal y al menos completando con 15 paginas como mínimo. Justificando el texto y alineando Nota: las imágenes. Trabajos se sean iguales o parecidos al de algún compañero serán automáticamente anulados los dos. Desarrollo: Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda
  2. 2. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental n l rdi Ve afae sas R Ro esús ro J. J nd leja TICs: aI I el A de ian nu r otid Ma feso élez aC V Pro uilar Vid A g asy bio átic Ru tem mo s Ma s Ra tino TIC nzalo atu Go oM 10 Turn 20 “A” o de 2º rer feb de 18 Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 2
  3. 3. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental Presentación..................................................................................................................................................0 Portada..........................................................................................................................................................1 Objetivo..........................................................................................................................................................2 Justificación...................................................................................................................................................3 Introducción...................................................................................................................................................4 Razón Aurea (Numero aureo) Razón aurea.............................................................................................................................................6 - 7 Historia.................................................................................................................................................... 7 - 9 Numero aureo en la naturaleza..............................................................................................................9 - 10 Numero aureo en el ser humano..........................................................................................................10 - 11 Numero aureo en el arte.......................................................................................................................11 - 13 Numero aureo en el misticismo...................................................................................................................13 Sucesión de Fibonacci Sucesión de Fibonacci.................................................................................................................................14 Historia.................................................................................................................................................14 - 15 Formula explicita.................................................................................................................................................15 - 16 Propiedades de la sucesión.................................................................................................................16 - 17 La sucesión de Fibonacci en la cultura popular...................................................................................17 - 18 La sucesión de Fibanacci en la naturaleza..................................................................................................18 Conclusión...................................................................................................................................................19 Resumen.....................................................................................................................................................20 Opinión........................................................................................................................................................21 Referencias Bibliograficas...........................................................................................................................22 Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 3
  4. 4. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental El objetivo de este proyecto es, no solo entregarlo, sino también conocer y comprender la razón aurea y la sucesión de Fibonacci, que al parecer casi nadie conoce su funcionalidad, resolución y teoremas relacionados. Creo que la verdad es un tanto necesario saber lo más posible de esta sucesión y de la razón aurea. El entender la razón aurea y la sucesión de Fibonacci nos permitirá comprender la naturaleza en su estado más puro, ya que como veremos mas adelante, todo tiene relación. Cuando nos adentramos en lo mas profundo de las funcionalidades matemáticas nos damos cuenta que parece magia como se resuelve los mas complejos problemas con soluciones simples. Una vez que se entienda todo el contexto de este proyecto la otra meta es llevarla a cabo, ya que la razón aurea y la sucesión de Fibonacci se crearon cuando las personas pensaron de forma diferente a lo que normalmente se hace, y ese es otro objetivo tomar como base estas conjeturas matemáticas para pensar de forma innovadoras, congruentes y estéticas. Al final todo se decide por lo que pensamos y hacemos, si pensamos de forma diferente pasaran cosas muy increíbles. Otro aspecto importante es que se aprenda a resolver una sucesión de formas innovadoras, esto nos servirá de forma exponencial al ir subiendo de grado escolar, por lo que una buena sucesión es un gran ejercicio para la mente. Espero que este proyecto les sirva de para abrirles los ojos, de forma que vean que el mundo es maravilloso, intrigante, etc. El mundo guarda relación con todo y todo es simetría y relaciones aureaticas. Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 4
  5. 5. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental Este trabajo se justifica por el simple hecho de que lleva un calificación, por lo que el motivo por el cual realizarlo esta claro, además de que es claro que me gusta realizar este tipo de proyectos, donde el uso del programa es necesario para que el trabajo quede presentable. En cuanto a la justificación de porque elegí este tema, pues esa es sencilla, escogí este tema por el hecho de me pareció interesante, me gustan las matemáticas, pero no tanto como para hacer un trabajo de ello, lo hubiera hecho de física o química, pero este tema me intrigo mucho, me dio lo que yo llamo hambre de curiosidad, así que como el proyecto era investigar un tema de alguna materia que mejor que investigar algo que me causa un cierta indignación y curiosidad ya que como es posible que exista un relación divina en las cosas, esto me conllevo a investiga este tema. Esta el hecho interesante que esta relación es estética lo que le da un toque de emoción a la vida, conocer y apreciar esa estética dada por dios es maravilloso y creo que nos puede ayudar a apreciarlo y a sentir curiosidad por las cosas raras y curiosas que hay en la vida. Creo que si comprendemos sucesión complejas podremos hacer cosas más complejas, al menos así pienso, por eso el escoger un tema que involucre cosas complejas es lo mejor para que tu razonamiento sea más amplio y se busque otras formas de usar el pensamiento. Como Sócrates decía: “Una vida sin examen no vale la pena de ser vivida”, el examen es la curiosidad, una vida sin curiosidad, así que este tipo de cosas son curiosas así que cosas como la razón aurea y la sucesión de Fibonacci satisfacen la curiosidad que tenemos. Todo esto justifica de forma sistemática el porque elegí el tema. Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 5
  6. 6. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental Se preguntaran porque se puso la imagen del hombre y dios en la portada cuando la pintura en fresco de la capilla sixtina no tiene que ver con el tema, pero si piensan así están equivocados, porque tiene mas relación de lo que creen. La razón aurea, el numero de oro, la proporción divina, todos estos nombres de le no a un unidad, ya que no es un numero especifico, sino un relación entre segmentos de rectas. La proporción divina se encuentra no solo en las medidas de las rectas dibujadas, sino también se encuentra en la naturaleza, en casi cualquier cosa, se encuentra en el grosor de las ramas, en las nervaduras de algunas ramas, caracolas además de que se encuentra en algunas figuras geometricas, como el pentágono, rectángulo. Este numero de oro también tiene una gran importancia en el misticismo, ya que se le atribuye el aspecto estético, ósea que sea agradable a la vista, es una de las cosas que se toman mas en cuanta y se le da la denominación de proporción divina, ya que como si fuese Dios, esta en todas partes. Gracias a que la razón aurea da un cierta estilización a las cosas que lo tienen su a usado para crear piezas de artes. Por lo que se usa mucho este contexto ya que mejor que tener a dios en sus obras artísticas. También a si muy utilizada en las matemáticas y la arqueología, lo que le da un gran variedad de aspectos donde este numero áureo aparece. Esta razón esta relacionada con el otro subtema de este proyecto, la sucesión de Fibonacci, que es una sucesión demasiado interesante y curiosa. Se pensó que esta seria una forma de calcular la cantidad de conejos que conejos se tendrían después de un año, lo que resulto fue la famosa sucesión 0,1,1,2,3,5,8,13,... de Fibonacci, que no solo se encuentra en las matemáticas, sino también en la cultura popular y en la naturaleza. No les daré detalles para que continúen leyendo este trabajo de investigación. Es de hacer hincapié que esta sucesión ya fue mejorada y simplificada, dando lugar a la sucesión de Lucas que también hablaremos luego. El numero áureo y la sucesión de Fibonacci guardan un gran relación entre si, ya que para calcular los números fibonacci es necesario la razón aurea. Estos dos temas van casi de la mano, no se puede hablar de un tema sin incluir el otro, también se pudiera pero no se quedaría entendido ni claro por lo que tratare ambos temas ya que mantienen relación. Estos números y sucesiones nos ayudaran a cambiar nuestra forma de ver el mundo, en vez de verla como un caos a verlo con un control de las cosas que casi nada esta desordenado, la razón aurea Interviene en muchas partes. Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 6
  7. 7. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental El número áureo o de oro (también llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:[1] Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc. Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología. Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si: Para obtener el valor de a partir de esta razón considere lo siguiente: Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que: Multiplicando ambos lados por x y reordenando: Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la ecuación son Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 7
  8. 8. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental La solución positiva es el valor del número áureo. Historia: Existen varios textos que sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fue usado conscientemente por los arquitectos o artistas en la construcción de las estelas. También es importante notar que cuando se mide una estructura complicada es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además para que se pueda considerar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos relativamente obvios del objeto y este no es el caso de los elaborados teoremas que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio y Alvaro Valarezo concluyen que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.[2] El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quién lo definió de la siguiente manera: "Se dice que una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor." Euclides en Los Elementos. Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir es irracional. Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo, sin embargo, a veces ese le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido que el historiador griego Proclo escribió: "Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen." Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides. Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave a la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos. Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 8
  9. 9. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto. En particular, combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de Demócrito, para Platón cada uno de los sólidos correspondía a uno de las partículas que conformaban cada uno de los elementos. Según Platón, la tierra estaba asociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro, el agua al icosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el dodecaedro. En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione (La Proporción Divina), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Número áureo: 1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios. 2. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad. 3. La inconmesurabilidad; para Pacioli la inconmesurabilidad del número áureo, y la inconmesurabilidad de Dios son equivalentes. 4. La Autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios. 5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro. En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”. El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo Platónico del Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos “La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa” Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El Misterio Cósmico). El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales). Ohm escribe en una nota al pie: "Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como éstas la sección dorada." Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales). A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830. En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue τ del griego τομή que significa corte o sección. Sin embargo, la moderna denominación Φ ó φ, la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor a Fidias ya que ésta era la primera letra de su nombre Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 9
  10. 10. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental escrito en griego (Φειδίας). Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of Live, de Sir Theodore Cook. El número áureo en la Naturaleza En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea y/o los números de Fibonacci: • Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la aparición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteo recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático . El cociente de dos términos sucesivos de la Sucesión de Fibonacci tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesión recurrente de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.[4] • La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal. • La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig). •La distribución de las hojas en un tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci. •La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles •La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior). •La distancia entre las espirales de una Piña. •La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones aúreas. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 10
  11. 11. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento.[5] [6] Se debe entender que en toda consideración natural, aunque involucre a las ciencias consideradas más matemáticamente desarrolladas, como la Física, ninguna relación o constante que tenga un número infinito de decimales puede llegar hasta el límite matemático, porque en esa escala no existiría ningún objeto físico. La partícula elemental más diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande que un punto en una recta. Las leyes observadas y descriptas matemáticamente en los organismos las cumplen transgrediéndolas orgánicamente.[7] • Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver Filotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999..." En la naturaleza se medirá un ángulo práctico de 137º 30' o de 137º 30' 28" en el mejor de los casos. Para el cálculo se considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con la latitud y las estaciones, esto garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fue descubierto empíricamente por Church y confirmado matemáticamente por Weisner en 1875. En la práctica no puede medirse con tanta precisión el ángulo y las plantas lo reproducen "orgánicamente"; o sea, con una pequeña desviación respecto al valor teórico. • En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci. El cociente de dos números sucesivos de esta sucesión tiende al número áureo. • Existen cristales de Pirita dodecaédricos pentagonales (piritoedros) cuyas caras son pentágonos irregulares. Sin embargo, las proporciones de dicho poliedro irregular no involucran el número áureo. El número áureo en el ser humano La Anatomía de los humanos se basa en una relación Φ estadística y aproximada, así vemos que: • La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo. • La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos. • La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla. • La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es Φ. • La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz • Es Φ la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar • Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene Φ, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas). Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 11
  12. 12. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental El número áureo en el Arte • Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo , donde 1 representa proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz cuadrada del número áureo a la altura hasta el vértice (inexistente en la actualidad) y el número áureo o hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran Pirámide. Esta tesis ha sido defendida por los matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (ver referencias), se apoya en la interpretación de un pasaje de Heródoto (Historiae, libro II, cap. 124) y resulta teóricamente con sentido, aunque una construcción de semejante tamaño deba contener errores inevitables a toda obra arquitectónica y a la misma naturaleza de la tecnología humana, que en la práctica puede manejar únicamente números racionales. Los demás investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de interés geométrico.[8] No obstante, en base a mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades. • La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).Durante el primer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la Universidad de Yale, se inspiró en un pasaje del Teeteto de Platón para estudiar las proporciones relativas de las superficies, algo muy natural cuando se trata de obras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejantes se distinguen entre sí por el cociente de su lado mayor por el menor, número que basta para caracterizar a estas figuras y que denominó módulo del rectángulo. Un cuadrado tiene módulo 1 y el doble cuadrado módulo 2. Aquellos rectángulos cuyos módulos son números enteros o racionales fueron denominados "estáticos" y los que poseen módulos irracionales euclidianos, o sea, expresables algebraicamente como raíces de ecuaciones cuadráticas o reducibles a ellas, "dinámicos". El doble cuadrado es a la vez estático y dinámico, pues 2 es la raíz cuadrada de 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico elemental es aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadrada de 5 y por lado menor a la unidad, siendo su módulo la raíz cuadrada de 5.[9] Posteriormente Hambidge estudió a los monumentos y templos griegos y llegó a encuadrar el frontón del Partenón en un Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 12
  13. 13. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental rectángulo de módulo . Por medio de cuatro diagonales suministra las principales proporciones verticales y horizontales. Este rectángulo es descompuesto en seis de módulo y cuatro cuadrados.[10] Como dato adicional para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron descubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exactos, por las propiedades de la visión humana el conjunto se vería más ancho arriba que en la base, sus columnas se percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fundamenta el techo sobre las columnas se vería como una especie de catenaria, con los extremos del edificio aparentemente más altos que el centro. Los constructores hicieron la construcción compensando estos efectos de ilusión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a los elementos involucrados. Así las columnas exteriores, en ambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro en un ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que están en el medio tienen una inclinación de 2,61 segundos de arco. La línea que formarían los dinteles entre columnas y que constituye la base del triángulo que corona el edificio, en realidad es un ángulo de 2,64 segundos de arco con el vértice más elevado que los extremos. De esta forma, y con otras correcciones que no se mencionan aquí, se logra que cualquier observador que se sitúe en los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto paralelo, uniforme y recto.[11] • En el cuadro Leda atómica de Salvador Dalí, hecho en colaboración con el matemático rumano Matila Ghyka. • En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo. • El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci, entre otros. • Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci. • En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras). • En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el curador del museo del Louvre, Jacques Saunière. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones de este número fi (1,618) en la naturaleza. • En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisión NUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio de la matemática Charlie Eppes menciona que el número fi se encuentra en la estructura de los cristales, en la espiral de las galaxias y en la concha del nautilus. Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 13
  14. 14. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental • Arte Póvera, movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas obras se basan en esta sucesión. • En la cinta de Darren Aronofsky Pi, fe en el caos el personaje central, Max Cohen, explica la relación que hay entre los números de Fibonacci y la sección áurea, aunque denominándola incorrectamente como Theta (θ) en vez de Phi (Φ). El número áureo en el misticismo En la cruz latina, símbolo del catolicismo, la relación entre el palo vertical y el horizontal es el número áureo. Así mismo, el palo horizontal divide al vertical en secciones áureas. Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 14
  15. 15. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales: El primer elemento es 0, el segundo es 1 y cada elemento restante es la suma de los dos anteriores: A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. Historia Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos indios tales como Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era fn + 1, que produce explícitamente los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.[1] La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".[2] De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.[3] También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos fn + 1 / fn se acerca a la relación áurea fi ( ) cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen u Delia Derbyshire la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales. Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 15
  16. 16. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental Fórmula explícita La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones, y definen la relación de recurrencia con las condiciones iniciales y El polinomio característico de esta relación de recurrencia es t2 − t − 1 = 0, y sus raíces son De esta manera,mediante diagonalización de endomorfismos,la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tiene la forma Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes b y d satisfacen la ecuación anterior cuando n = 0 y n = 1, es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 16
  17. 17. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental de manera que la ecuación se reduce a Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción matemática. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional . De hecho, la relación con este número es estrecha. Propiedades de la sucesión Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud n que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada Fibonacci Quarterly[4] dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes: • La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir: Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci. Cualquier sucesión recurrente de orden 2, como la sucesión 3, 4, 7, 11, 18,..., lleva al mismo límite. Esto fue demostrado por Barr y Schooling en una carta publicada en la revista londinense "The Field" del 14 de diciembre de 1912. Los cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que se aproximan asintóticamente por exceso y por defecto al valor límite. • Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo, 17 = 13 + 3 + 1, 65 = 55 + 8 + 2. • Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo m, para cualquier m. Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 17
  18. 18. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental • La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada forma de Binet (de Jacques Binet). Si y , entonces y • Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decir • La suma de los n primeros números es igual al número que ocupa la posición n + 2 menos uno. Es decir La sucesión de Fibonacci en la cultura popular • En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el conservador del museo del Louvre, Jacques Saunière. • En el álbum Lateralus de la banda estadounidense Tool, los patrones de la batería (Danny Carey) de la canción "Lateralus" siguen la Sucesión de Fibonacci del número 13 (número de pistas del disco): 1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,... • En la miniserie Abducidos, la Sucesión de Fibonacci, como la Ecuación de Dios, es descubierta en los planes de los extraterrestres, en ejemplos como que sus naves tienen 5 tripulantes, sus manos 3 dedos y un pulgar, 1597 avistamientos ovnis en año anterior, se siguieron a 55 parejas para descubrir la hibrida humano-extraterrestre Allie, y que finalmente el número de abducidos era de 46368. Incidentalmente se habla en de un hombre que fue abducido 13 veces. 1, 3, 5, 13, 55, 1597, 46368, todos números Fibonacci. • En el filme de Darren Aronofsky π el orden del caos el judío Rabbi Cohen presenta la teoría en hebreo transcrito en números en la cual el personaje Max Cohen relaciona esta última teoría con la secuencia de Fibonacci llegando en conclusión que todo esta basado en la ley del orden y el caos. • En un lateral de la cúpula de la antigua sinagoga ahora convertida en el Museo Nazionale del Cinema, más conocida como Mole Antonelliana, en Torino (Italia), se puede observar una instalación luminosa de la sucesión de números de Fibonacci. Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 18
  19. 19. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental • El Dr. Walter Bishop de la serie de televisón Fringe usa números de la serie de Fibonacci para las contraseñas de sus cajas de seguridad. La sucesión de Fibonacci en la naturaleza La gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la sucesión de fibonacci: El tronco (1) se divide en una rama grande (1), esta rama se divide en dos (2), luego, cada una de ellas se divide en 3 (3) ramas más pequeñas, y así sucesivamente. El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La Tierra (2, incluyendo La Luna), Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta aquí la semejanza. En el cuerpo humano podemos decir que la cabeza es 1, el cuello, 1, los brazos (2), brazo, antebrazo y mano (3), luego los cinco dedos (5), es decir, la sucesión de Fibonacci hasta el 5. Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tátara tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci. Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 19
  20. 20. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental Le verdad hay mucho por concluir en este tema, ya que es tan extenso que abruma, incluyen tantos factores que simplemente no se puede hacer una investigación si saber un poco de cada cosa para poder entenderlo. Se puede concluir de este tema que dios existe, no solo porque el hecho de que tenemos religiones, sino también por como ha sido hecho el mundo, de forma estética, casi imposible de lograr, creando orden del caos, esa razón de oro se encuentra en la mayoria de las cosas que vemos y le da la belleza característica de nuestro universo. Crear orden del caos debe de ser una buena razón para estudiarla, comprenderla y alabarla. Tomando en cuenta que la mayoria de las cosas están influenciadas por el numero de oro, seria obvio pensar que la sucesión de Fibanacci tendría un lugar especial en el cosmos, al igual que la razón aurea, i de hecho lo tiene, lo que me lleva a concluir que con tan solo analizar una pequeña e insignificante cosa puedes sacar una formula, sucesión, fenómeno, que logre convertirse en una ley lo que me hace pensar que solo tenemos que abrir los ojos y la mente a nuevas formas de razonar para lograr lo que Leonardo de Pisa hizo. Todo este proyecto me ha llevado a una conclusión importante sobre la vida, sobre sus implicaciones matemáticas y demás, que al final todo en la vida son números, en cualquier dirección que veas, todo es controlado por los números y la divina proporción y la sucesión de Fibanacci tiene un gran implicación en este. Creo que esto da por enterado que esto es muy importante para la comprensión del mundo y debe ser estudiado mas a fondo, este espacio no sirve para incluir todas las implicaciones de esto, pero aun así puedo sacar una conclusión convincente de este tema, es muy importante para la compresión y estética, por eso son conocidas como números irracionales. Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 20
  21. 21. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental Pues aquí esta mi resumen para aquellos que no les gusta leer todo lo que puse en la investigación, esta es una versión sintetizada, de la cual tocare temas de la razón aurea y de la sucesión de Fibanacci. Comenzando con la razón aurea que se define como un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc. Este número tiene relación con el misticismo, la arquitectura y las artes, además de que se encuentra en la naturaleza de forma increíble, en las ramas, y demás cosas, incluso esta presente en el cuerpo humano, lo que acentúa su importancia en las matemáticas y en las demás cosas como el arte. Pasando a la sucesión de Fibonacci esta fue inventada por Leonardo de Pisa al intentar calcular el numero de parejas de conejos que habría después de un año si se dejaba en un cuarto, lo que resulto en su famosa sucesión 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,13... que es una sucesión infinita de números naturales. A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos fn + 1 / fn se acerca a la relación áurea fi ( ) cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Al igual que la razón aurea, la sucesión de Fibonacci también existe en la naturaleza, el ejemplo mas claro es el de los machos de una colmena de abejas donde tienen un árbol genealógico que cumple con la sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tátara tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci. Esto es lo mas resumido que se puede hacer, incluso aquí se muestra una relación claro entre la razón aurea y la sucesión de Fibonacci, ya que como lo he dicho anteriormente, una necesita de la otra. Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 21
  22. 22. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental Bueno mi opinión personal sobra cuando se habla sobre esta grandiosa sucesión y este número divino, ya que tengo tan poco conocimiento sobre esto que no puedo dar una opinión con conciencia, pero es posible que se pueda hacer un intento. Esta razón de oro tiene un lugar en el universo, de hecho esta en cada cosa que podamos imaginarnos, si esta en nuestro propio cuerpo y cara va a estar en cualquier lugar que nos imaginamos. Para mi el numero áureo tiene una función especial en el mundo que la hace un tanto indispensable, solo se necesita para resolver algunas de las ecuaciones y sucesiones mas importantes de las matemáticas y aritmética sino también para algo mucho mas importante, darle estética al mundo que nos rodea, que nuestro mundo y el universo sean agradables a la vista (aunque la vista sea subjetiva) lo que le da emoción a la vida. Ahora hablando de la sucesión de Fibonacci pienso que fue muy ingenioso la forma como planteo la sucesión, el hecho de usarla para calcular cuantos conejos habría en un año simplemente me hizo pensar que muchas cosas de las hay en el universo pueden funcionar con una sucesión que puede ser curiosa como la de Fibonacci. Y todavía lo mas curioso es que esa sucesión se encuentra relacionado con la razona urea y además de eso también se encuentran en la naturaleza como en el número áureo, lo que la hace todavía mas impresionante. En fin, estos temas son de mi agrado, siempre me ha gustado saber la verdad, e investigando temas cosas estos se aprende mucho y también se descubre la verdad, quien diría que unos nueceros puede sacar a relucir la estética del universo. Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 22
  23. 23. U de G| EPRA | Unidad de TICs Proyecto personal de investigación Documental http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo Jarolimek (Viena, 1890). Der Mathematischen Schlüssel zu der Pyramide des Cheops. Kleppisch, K. (1921). Die Cheops-Pyramide: Ein Denkmal Mathematischer Erkenntnis. Munich: Oldenburg.Cook, Theodore Andrea (1979; obra original: 1914). The Curves of Live. Nueva York: Dover. Ghyka, Matila (1992). El Número de Oro. Barcelona: Poseidón, S.L. Ghyka, Matila (2006). El Número de Oro. I Los ritmos. II Los Ritos. Madrid: Ediciones Apóstrofe, S. L.. Pacioli, Luca (1991). La Divina Proporción. Tres Cantos: Ediciones Akal, S. A.. http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesion_de_Fibonacci Kolman, Bernard; Hill, David R. (2006). Álgebra Lineal. México: PEARSON EDUCACIÓN. Johnsonbaugh, Richard (2005). Matemáticas Discretas. México: PEARSON EDUCACIÓN. Brassard, G; Bratley, P. (1997). Fundamentos de Algoritmia. Madrid: PRETINCE HALL Kenneth, H. Rosen (2003). Discrete mathematics and its applications. McGraw Hill. Kenneth H. Rosen; John G. Michaels (1999). Handbook of discrete and combinatorial mathematics. CRC. N. N. Vorobiov (1974). Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega, catedrático de Matemáticas Superiores y candidato a doctor en ciencias físico-matemáticas. A. I. Markushevich (1974; 1981). Sucesiones recurrentes. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega. Luca Pacioli (1946). La Divina Proporción. Editorial Losada, Buenos Aires Facilitadores: Mtro. J. Jesús Rafael Aguilar Vélez Lic. Sergio Iván Solano Zepeda 23

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