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Oscilaciones
 

Oscilaciones

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    Oscilaciones Oscilaciones Document Transcript

    • Tema 1: Oscilaciones 1/45 Tema 1: Oscilaciones Fátima Masot Conde Ing. Industrial 2007/08 Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 2/45 Tema 1: Oscilaciones Índice: 1. Movimiento Armónico Simple. • Características. • Representación Matemática. 2. Energía del M.A.S. 3. Algunos Sistemas Oscilantes. • Péndulo Simple. • Péndulo Físico. • Masa+Muelle 4. Oscilaciones Amortiguadas. 5. Oscilaciones Forzadas. Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 3/45 Movimiento Armónico Simple Cuando un sistema ¿Cuándo ocurre? ¿Cuándo ¿Cuándo ocurre? estable pierde su posición de equilibrio. • Cuerdas instrumentos Ejemplos musicales Ejemplos Ejemplos j p • Oscilación de barcos sobre el agua • Relojes de péndulo Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 4/45 Movimiento Armónico Simple Es el más básico del Movimiento Oscilatorio Sistemas Ideales Sistemas Reales (sin rozamiento) Oscilador perfecto Movimiento Movimiento sin pérdidas amortiguado forzado Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 5/45 Movimiento Armónico Simple Características Este sistema estable responde con Cte del muelle (rigidez) esta fuerza de recuperación cuando se separa de su posición de Fx = Kx Ley de Hooke equilibrio: Fuerza desplazamiento restauradora d2 x Kx = max = m 2 (Newton) dt 2º grado d2 x K = x= 2 x dt 2 m Ecuación diferencial, característica del M.A.S. Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 6/45 Movimiento Armónico Simple Su solución: x(t) = A cos( t + ) Amplitud Fase (inicial) donde A, son ctes a determinar K (ésta se saca directamente y es la ‘frecuencia angular’ de la ecuación dif.-es el m factor multiplicativo de x-.) verifica la ecuación del MAS. Comprobémoslo Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 7/45 Movimiento Armónico Simple Comprobación: v(t) = dx = dt A sin( t + ) x(t) d2 x a(t) = dt2 = A 2 cos( t + )= 2 x A, , se determinan por las condiciones iniciales ¿Qué son las Las condiciones que se tienen de veloc. condiciones y desplazamiento en el instante t=0 iniciales? Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 8/45 Movimiento Armónico Simple ¿Cómo se determinan A y de las condiciones iniciales? ¯ ¯ x0 = x(t = 0) = A cos( t + )¯ ¯ = A cos t=0 t=0 ¯ ¯ ¯ dx ¯ ¯ v0 = ¯ ¯ = A sin( t + )¯ = A sin dt t=0 t=0 v0 -A sin Cuidado: = tan x0 Acos A sólo es condición inicial (= x0 ) si v0= 0 2 v0 2 A = x0 + 2 Dos ecuaciones con dos incógnitas, A y que se despejan, conocidas v0 y x0 Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 9/45 Movimiento Armónico Simple El MAS es un movimiento periódico: x(t) = x(t + T ) Período de repetición El movimiento se repite en x(t)= x(t +T) las mismas condiciones de desplazamiento y velocidad x(t)= x(t +T) x(t)= A cos( t )= A cos (t T ) = A cos t T = x(t +T) x(t)=-A sin( t )= = - A sin( t T )= x(t +T) Ambas se verifican si T 2 T = 2 Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 10/45 Movimiento Armónico Simple T = 2 (s) Relación entre el período y la frecuencia angular rad/s ciclos La frecuencia lineal: f= 1 T = Hz = 2 s Si sólo tenemos un MAS, siempre podemos tomar 0 D=0 , eligiendo adecuadamente nuestro origen de tiempos. En ese caso: x(t) = A cos t Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 11/45 Movimiento Armónico Simple Desplazamiento MAS Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 12/45 Movimiento Armónico Simple Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 13/45 Movimiento Armónico Simple x(t) v(t) = dx dt = A sin( t + ) d2 x a(t) = dt2 = A 2 cos( t + ) Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 14/45 Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 15/45 MAS y Movimiento Circular Partícula que se mueve sobre una circunferencia, con velocidad cte. = t+ La proyección sobre el ejee x: La proyección sobre el ej x: proyección y eje j x(t) = A cos( t + ) Es un MAS Es un M M MAS Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 16/45 Energía del MAS Kx Para: F =-K x Energía potencial: U = 1 Kx2 = 1 KA2 cos2 ( t + ) 2 2 Energía cinética: Ec = 1 mv 2 = 1 mA2 2 2 2 sin2 ( t + ) ETOTAL = U + Ec = 1 KA2 [cos2 ( t + ) + sin2 ( t + )] 2 =1 = 1 2 KA2 =Cte Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 17/45 Energía del MAS En función del tiempo En función del espacio Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 18/45 Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 19/45 Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 20/45 Algunos sistemas oscilantes Los sistemas oscilantes que vamos a ver: • Péndulo simple • Péndulo simple • Péndulo físico • Péndulo físico fí físico • Objeto + Muelle vertical • Objeto + Muelle vertical Objeto bjj En clase de problemas Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 21/45 Péndulo simple Cuerda longitud L • En qué consiste Masa m Sistema IDEAL • Fuerzas que actúan: mg y T Ángulo desplazado Longitud del d s 2 arco recorrido mg sin n =m 2 dt “casi” MAS d2 s d2 Como s = L =L 2 dt2 dt Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 22/45 Péndulo simple d2 g Tampoco = sin dt 2 L es un M.A.S. Sin embargo, para ángulos pequeños, d2 g sin = M.A.S. (infinitésimos equivalentes) dt 2 L Conclusión:: El movimiento de un péndulo es Conclusión Conclusión: n aproximadamente armónico simple para pequeños desplazamientos angulares. Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 23/45 Péndulo simple Reescribiendo de la forma habitual r g Con: = d2 L = 2 s dt 2 2 L T = =2 Ecuación de este sistema g Período del péndulo s T no depende de la masa [L] Esto también sale por [T ] = s, =s análisis dimensional: [g] Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 24/45 Péndulo simple Solución: = 0 cos( t + ) (para ) Amplitud angular, [rd] ó grados Fuera de esa aproximación, (oscilaciones de gran amplitud): " μ ¶2 # 1 1 1 3 1 T = T0 1 + 2 sin2 0 + 2 sin4 0 + ··· 2 2 2 4 2 = p 2 L/g T = T( 0) M.A.S. .A.S A Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 25/45 Péndulo físico Cuerpo rígido que gira ¿Qué es? alrededor de un eje que no pase por su C.M. El momento de la fuerza (Mg) =I alrededor de ese eje: d2 M gD sin =I 2 dt d2 M gD M gD 2 = sin = dt 2 I I M.A.S. Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 26/45 Péndulo físico r M gD = I Para este sistema: s 2 I T = =2 M gD Comprobar que el péndulo I ML2 simple también lo verifica, con D L Para oscilaciones de gran s amplitud, vale la misma I fórmula que dimos en el T0 = 2 péndulo simple, con: M gD Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 27/45 Oscilaciones amortiguadas • Pierde energía por rozamiento. • No mantiene su amplitud. Ejemplo: Columpio que se para (subamortiguamiento) Casos: C Casos: • Subamortiguamiento (amortiguamiento débil). • Subamortiguamiento (amortiguamiento débil). • Sobreamortiguamiento (amortiguamiento fuerte). • Sobreamortiguamiento (amortiguamiento fuerte). fu fuerte). • Amortiguamiento crítico. • Amortiguamiento crítico. Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 28/45 Oscilaciones amortiguadas Subamortiguamiento La fuerza de amortiguación se modela con una fuerza proporcional a la velocidad. Fa = bv (sistema con amortiguación lineal) Cte > 0 dx d2 x Ecuación diferencial Kx b =m 2 del movimiento dt dt subamortiguado. Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 29/45 Oscilaciones amortiguadas Subamortiguamiento A(t) b Solución: x(t) = A0 e ( 2m )t cos( 0 t + ) amplitud instante inicial donde: s μ ¶2 0 b = 0 1 2m 0 m frecuencia del caso no amortiguado= K / m = b A(t) = A0 e t/2 m cte de b tiempo Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 30/45 Oscilaciones amortiguadas 0 = 0 cuando b = 2m 0 bc = constante de amortiguamiento crítico Si b < bc 0 DÉBILMENTE AMORTIGUADO El sistema oscila, con una frecuencia algo menor que la natural, 0 Si b bc El sistema no oscila. (sistema sobreamortiguado) Si El sistema vuelve a su posición de equilibrio, sin oscilar, en el b = bc tiempo más breve posible. AMORT. CRÍTICO Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 31/45 Energía del oscilador amortiguado E0 = 1 1 1 t/ t/ E = KA = m 2 2 A = m 2 2 A2 e 0 = E0 e 2 2 2 t A = A0 e 2 A2 La energ´ disminuye ıa Cuando t = , A = 0 2 e en un factor 1/e La Energía de un oscilador amortiguado La Energía de un oscilador amortiguado disminuye exponencialmente con el tiempo disminuye exponencialmente con el tiempo y p p Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 32/45 Oscilaciones amortiguadas Factor de calidad del oscilador amortiguado El factor de calidad: Q = 0 (adimensional) interviene en la nueva frecuencia amortiguada: s μ ¶2 0 1 = 0 1 2Q Y se puede relacionar con la pérdida de energía por ciclo: 1 t/ 1 dE = E0 e dt = E dt Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 33/45 Oscilaciones amortiguadas Factor de calidad del oscilador amortiguado En un ciclo: μ ¶ E T 2 2 = = E ciclo 0 Q amortiguamiento débil O sea: 2 Q= ( E/E)ciclo Q es inversamente proporcional a la Q es inversamente proporcional a la pérdida relativa de energía por ciclo pérdida relativa de energía p ciclo p g por Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 34/45 Oscilaciones forzadas El sistema oscilante tiende naturalmente a detenerse debido a las pérdidas Ejemplo: Un columpio • Si no se le suministra energía al mismo ritmo que la pierde, su amplitud disminuye. • Si se le suministra más energía de la que pierde, su amplitud aumenta. Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 35/45 Oscilaciones forzadas • Si se suministra la misma energía que pierde (al mismo ritmo), la amplitud se mantiene constante (estado estacionario) Una forma de Una forma de fo forma suministrar la energía suministrar la energía g Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 36/45 Oscilaciones forzadas Podemos modelar la fuerza impulsora como: F (t) = F0 sen( t) Ecuación del movimiento oscilatorio forzado: A favor del desplazamiento Opuestas al desplazamiento F (t) (t) ) dx d2 x (Newton) Kx b + F0 sen( t) = m 2 X dt dt F = ma Fuerza recuperadora Amortiguamiento Fuerza impulsora Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 37/45 Oscilaciones forzadas Comparativa de movimientos F (t) bv Kx Kx = ma ••No tiene amortiguación y No tiene amortiguación y no necesita ser forzada no necesita ser forzada fo forzada Oscilación ideal ••Su frecuencia es la Su frecuencia es la fr frecuencia frecuencia natural frecuencia fr frecuencia natural p 0 = K/m ••Su amplitud es constante Su amplitud es constante p Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 38/45 Oscilaciones forzadas Comparativa de movimientos F (t) bv bv Kx Kx = ma • Tiende a pararse, debido al amortiguamiento Oscilación • Frecuencia depende de la amortiguada s frecuencia natural μ ¶2 0 0 b 6= 0; = 0 1 2m 0 • Su amplitud disminuye exponencialmente Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 39/45 Oscilaciones forzadas Comparativa de movimientos F (t) bv Kx = ma Oscilación • Sigue oscilando, mientras actúe F(t) forzada • Frecuencia, igual a la de la fuerza impulsora • Su amplitud depende de 0 y de Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 40/45 Oscilaciones forzadas Solución a este sistema (régimen estacionario): El sistema oscila con la x(t) = A cos( t ) El sistema oscila con la misma frecuencia que la mis que la fuerza impulsora fuerza impulsora fu fuerza p menos Su amplitud: cte. amortiguación Su cte. de fase F0 b A= p tan tan = m2 ( 2 0 2 )2 + b2 2 m( 2 0 2) masa del oscilador frecuencia impulsora frecuencia natural Amplitud de la fuerza impulsora Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 41/45 Oscilaciones forzadas Interpretación de la solución. Curvas de resonancia Diagrama de la amplitud en función de la frecuencia de la fuerza impulsora. Parámetro: Constante de amortiguación, b. Cuanto más grande es el amort. b, el pico viene a ensancharse, se hace menos agudo y se desplaza hacia frecuencias más bajas. Si desaparece completamente Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 42/45 Oscilaciones forzadas Interpretación de la solución. Curvas de resonancia Diagrama de la potencia media transmitida en función de la frecuencia de la fuerza. Parámetro: Factor de calidad, Q. QÀ (amort. pequeño) Resonancia alta y aguda Q¿ (amort. grande) Resonancia ancha y pequeña Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 43/45 Oscilaciones forzadas Interpretación de la solución. Curvas de resonancia : Anchura de la curva de resonancia, a la mitad de la altura máxima. 1 Para Q À = 0 Q medida de la agudeza de la resonancia Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaTema 1: Oscilaciones 44/45 Oscilaciones forzadas Ejemplos de resonancia • Caminar con un recipiente de agua • Columpio • Puentes (marchas marciales sobre puentes) Cuando Q (sistema ideal), Pmax max Esto no ocurre en la práctica, pero puede llegar a tener un valor suficientemente grande como para que el sistema se deteriore, 107 P0 Potencia del oscilador sin forzar Ejemplo histórico: Puente de Angres (1880) Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
    • Tema 1: Oscilaciones 45/45 Bibliografía •Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté (vol. II) •Serway & Jewett, “Física”, Ed. Thomson (vol. II) •Halliday, Resnick & Walter, “Física”, Ed. Addison- Wesley. •Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed. Pearson Education (vol. II) Fotografías y Figuras, cortesía de Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed. Pearson Education Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla