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Trigonometria PARTE 2
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Trigonometria PARTE 2

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  • 1. 1 TRIGONOMETRI ATRIÂNGULO RETÂNGULO
  • 2. 2 TRIGONOMETRIA Triângulo Retângulo sen α = cos α = tg α = b a c a b c Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4 3 e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo. m 12m 34 α 3 3 αtg 12 34 αtg = = α = 30o
  • 3. 3 ( UFSC ) Na figura, abaixo, determine o valor de x 3 0 ° 6 0 ° A B CD AD = x DC= x - 38 BD = y tg 30o = x x – 38 y 60o 30o y x 3 3 y x tg 60o = y x – 38 3 = x – 38 y (x – 38) 3 = y = 3 3 = (x – 38) 3 x x = 3(x – 38) x = 3x – 114 114 = 2x 57 = x
  • 4. 4 TRIGONOMETRI ASENO COSSENO TANGENTE E DEMAIS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
  • 5. 5 SENO E COSSENO E TANGENTE SENO + 1 – 1 + + __ COSSENO + 1– 1 + + _ _ TANGENTE + + _ _ RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS sen2 x + cos2 x = 1 tg x = sen x cos x xsen =xcossec 1 xcos =xsec 1 xsen xcos xtg =xcotg 1 =
  • 6. 6 a) cos x sen2 x + cos2 x = 1 1cos 25 16 2 =+ x 25 16 1cos2 −=x 25 9 cos2 =x 5 3 xcos = 1xcos 5 4 2 2 =+      − tg x = sen x cos x 5 3 5 4 xtg − = 3 4 xtg −= b) tg x c) cotg x Sendo sen α = 5 4 − e πα π 2 2 3 << , calcule: 4 3 xtg 1 xcotg −== d) sec x 3 5 xcos 1 xsec == e) cossec x 4 5 xcos 1 xcossec −== SENO + + __ COSSENO + + _ _ TANGENTE + + _ _
  • 7. 7 Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: π 180o x 225o 225o π = x.180o 4 5π =x 01. A medida em radianos de um arco de 225º é rad 6 11π F 02. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para 2 ≤ m ≤ 3 – 1 ≤ 2m – 5 ≤ 1 – 1 + 5 ≤ 2m ≤ 1 + 5 4 ≤ 2m ≤ 6 2 ≤ m ≤ 3 V
  • 8. 8 04. Se sen x > 0, então cossec x < 0 sen 30o = 1/2 cossec 30o = 2 sen 210o = - 1/2 F FP 180o 160o 200o cossec 210o = - 2 08. Se tg 20º = a, o valor de 2-éo oo tg200 tg340tg160 + F 360o 340o tg 160o = tg 200o = tg 340o = – tg 20o = tg 20o = – tg 20o = – a a – a + + _ _ o oo tg200 tg340tg160 + a a)(a- −+ a 2a− – 2 V
  • 9. 9 16. Para todo x ∈ 1o quadrante, a expressão (sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen2 x é igual a cos2 x (sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen2 x xsen x xsen xx xsen x 2 coscos 1 . coscos 1 −      +      − xsen x xsen x xsen 2 cos 1 . cos 1 −      +       − xsen x xsen 2 2 22 cos 1 −      − xsen x xsen 2 2 2 cos 1 −      − xsen x x 2 2 2 cos cos −      sen2 x + cos2 x = 1 sen2 x = 1 – cos2 x cos2 x = 1 – sen2 x 1 – sen2 x cos2 x V
  • 10. 10 6 π 6 5 π 32. A solução da equação 2sen2 x + 3sen x = 2 para 0 ≤ x ≤ 2π é x = ou x = 2 sen2 x + 3 sen x – 2 = 0 ∆ = b2 – 4ac ∆ = 32 – 4.2.(-2) ∆ = 25 a b x 2 ∆±− = 4 53±− =xsen 2 2 1 −== xsenouxsen 2 1 =xsen ++ 30o 150o       = 6 5 , 6 ππ S V
  • 11. 11 ( UFSC ) Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é: cossec x = 4 5 sen x = 5 4 sen2 x + cos2 x = 1 1cos 5 4 2 2 =+      x 1cos 25 16 2 =+ x 25 16 1cos2 −=x 25 9 cos2 =x 5 3 cos =x 3 5 sec =x tg x = sen x cos x 5 3 5 4 =xtg 3 4 =xtg 9.(sec2 x + tg2 x)             +      22 3 4 3 5 9     + 9 16 9 25 9     9 41 9 41
  • 12. 12 TRIGONOMETRI AOPERAÇÃO COM ARCOS
  • 13. 13 Adição e Subtração de Arcos sen (a ± b) = sen a . cos b ± sen b . cos a cos (a ± b) = cos a . cos a sen a . sen b sen 75º = sen (30º + 45º) = sen 30º . cos 45º + sen 45º . cos 30º sen (a + b) = sen a . cos b + sen b. cos a 2 3 . 2 2 2 2 . 2 1 + sen 75º = 4 62 + cos 15º = cos (45º - 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30º cos (a – b) = cos a . cos b + sen a. sen b cos 15º = 4 62 + 2 1 . 2 2 2 3 . 2 2 +
  • 14. 14 O valor de cos 10o cos 35o – sen 10o . sen 35º , é: sen (a ± b) = sen a . cos b ± sen b . cos a cos (a ± b) = cos a . cos a sen a . sen b cos (a + b) = cos a . cos b - sen a. sen b cos 10o . cos 35o – sen 10o . sen 35ºcos (10º + 35o ) = cos 10o . cos 35o – sen 10o . sen 35º cos 45o = = cos 10o . cos 35o – sen 10o . sen 35º 2 2
  • 15. 15 Seno e Cosseno do arco duplo sen (a ± b) = sen a . cos b ± sen b . cos a cos (a ± b) = cos a . cos a sen a . sen b sen (2x) = 2sen x . cos x cos (2x) = cos2 x - sen2 x sen (x + x) = sen x . cos x + sen x . cos x cos (x + x) = cos x . cos x – sen x . sen x
  • 16. 16 Cálculo do sen x sen2 x + cos2 x = 1 1 25 16 xsen2 =+ 25 16 1xsen2 −= 25 9 xsen2 = 5 3 xsen −= 1 5 4 xsen 2 2 =      + Sendo cos x = 5 4 e π π 2 2 3 << x , calcule sen 2x e cos 2x: sen (2x) = 2sen x . cos x cos (2x) = cos2 x - sen2 x sen (2x) =             − 5 4 . 5 3 .2 sen (2x) = 25 24 − cos (2x) = 25 9 25 16 − cos (2x) = 25 7
  • 17. 17 TRIGONOMETRI AFUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS GRÁFICOS
  • 18. 18 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO SENO y = sen x sen x π π π π 2 2 3 2 0 0 + 1 0 - 1 0 0o 90o 180o 270o 360o x x IMAGEM: DOMÍNIO: REAIS [-1, 1] CRESCENTE: DECRESCENTE: 1º. e 4º. q 2º. e 3º. q PERÍODO: 2π
  • 19. 19 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO COSSENO y = cos x cos x π π π π 2 2 3 2 0 +1 0 - 1 0 +1 0o 90o 180o 270o 360o x x IMAGEM: DOMÍNIO: REAIS [-1, 1] CRESCENTE: DECRESCENTE: 3º. e 4º. q 1º. e 2º. q PERÍODO: 2π
  • 20. 20 FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto imagem de: a) y = 2 + sen x sen x π π π π 2 2 3 2 0 0 + 1 0 - 1 0 0o 90o 180o 270o 360o x x 2 + sen x 2 3 2 1 2 IMAGEM: [1, 3] PERÍODO: 2π
  • 21. 21 FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto imagem de: b) y = 3sen x sen x π π π π 2 2 3 2 0 0 + 1 0 - 1 0 0o 90o 180o 270o 360o x x 3sen x 0 3 0 -3 0 IMAGEM: [-3, 3] PERÍODO: 2π
  • 22. 22 FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x IMAGEM DA FUNÇÃO SENO E COSSENO: [a – b; a + b] CONCLUSÕES: a → desloca o gráfico b → estica o gráfico Determinar a imagem da função f(x) = 2 + 3sen x f(x) = 2 + 3 sen x f(x) = 2 + 3 (-1) f(x) = 2 + 3 (1) = - 1 = 5 IMAGEM: [-1, 5] Determinar a imagem da função f(x) = 5 + 2cos x f(x) = 5 + 2 cos x f(x) = 5 + 2 (-1) f(x) = 5 + 2 (1) = 3 = 7 IMAGEM: [3, 7]
  • 23. 23 PERÍODO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO m 2π T =Período Determinar o período da função f(x) = sen 2x FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x π== 2 2π TPeríodo Determinar o período da função f(x) = 3sen x/2 π4== 2 1 2π TPeríodo
  • 24. 24 Determine o período da função f(x) = cos4 x – sen4 x é: Um pouquinho de matemática básica (a + b)(a – b) = a2 – b2 (x + 3)(x – 3) = x2 – 9 = x2 – 25(x + 5)(x – 5) = cos4 x – sen4 x(cos2 x + sen2 x )(cos2 x – sen2 x) = cos4 x – sen4 x(1)(cos2x) f(x) = cos4 x – sen4 x f(x) = cos 2x π== 2 2π TPeríodo m 2π T =Período = cos4 x – sen4 xcos2x fórmulas do arco duplo sen 2x = 2sen x.cos x cos 2x = cos2 x – sen2 x
  • 25. 25 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO TANGENTE y = tg x tg x π π π π 2 2 3 2 0 0 não 0 não 0 existe existe 0o 90o 180o 270o 360o x x IMAGEM: DOMÍNIO: REAIS CRESCENTE: SEMPRE PERÍODO: π {x ∈ ℜ|x ≠ 2 π + kπ} O domínio da função f(x) = tg 2x é: 24 2 2 2 2 ππ π π π π k x k x kx +≠ + ≠ +≠

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