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# Trigonometria PARTE 2

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MAIS CONCEITOS EM TRIGONOMETRIA....

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• 1. 1 TRIGONOMETRI ATRI&#xC2;NGULO RET&#xC2;NGULO
• 2. 2 TRIGONOMETRIA Tri&#xE2;ngulo Ret&#xE2;ngulo sen &#x3B1; = cos &#x3B1; = tg &#x3B1; = b a c a b c Num v&#xE3;o entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede at&#xE9; o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes &#xE9; de 4 3 e o v&#xE3;o entre elas &#xE9; de 12m, determine o &#xE2;ngulo, em graus, que a rampa formar&#xE1; com o solo. m 12m 34 &#x3B1; 3 3 &#x3B1;tg 12 34 &#x3B1;tg = = &#x3B1; = 30o
• 3. 3 ( UFSC ) Na figura, abaixo, determine o valor de x 3 0 &#xB0; 6 0 &#xB0; A B CD AD = x DC= x - 38 BD = y tg 30o = x x &#x2013; 38 y 60o 30o y x 3 3 y x tg 60o = y x &#x2013; 38 3 = x &#x2013; 38 y (x &#x2013; 38) 3 = y = 3 3 = (x &#x2013; 38) 3 x x = 3(x &#x2013; 38) x = 3x &#x2013; 114 114 = 2x 57 = x
• 4. 4 TRIGONOMETRI ASENO COSSENO TANGENTE E DEMAIS RELA&#xC7;&#xD5;ES TRIGONOM&#xC9;TRICAS
• 5. 5 SENO E COSSENO E TANGENTE SENO + 1 &#x2013; 1 + + __ COSSENO + 1&#x2013; 1 + + _ _ TANGENTE + + _ _ RELA&#xC7;&#xD5;ES TRIGONOM&#xC9;TRICAS sen2 x + cos2 x = 1 tg x = sen x cos x xsen =xcossec 1 xcos =xsec 1 xsen xcos xtg =xcotg 1 =
• 6. 6 a) cos x sen2 x + cos2 x = 1 1cos 25 16 2 =+ x 25 16 1cos2 &#x2212;=x 25 9 cos2 =x 5 3 xcos = 1xcos 5 4 2 2 =+&#xF8F7; &#xF8F8; &#xF8F6; &#xF8EC; &#xF8ED; &#xF8EB; &#x2212; tg x = sen x cos x 5 3 5 4 xtg &#x2212; = 3 4 xtg &#x2212;= b) tg x c) cotg x Sendo sen &#x3B1; = 5 4 &#x2212; e &#x3C0;&#x3B1; &#x3C0; 2 2 3 &lt;&lt; , calcule: 4 3 xtg 1 xcotg &#x2212;== d) sec x 3 5 xcos 1 xsec == e) cossec x 4 5 xcos 1 xcossec &#x2212;== SENO + + __ COSSENO + + _ _ TANGENTE + + _ _
• 7. 7 Determine a soma dos n&#xFA;meros associados &#xE0;s proposi&#xE7;&#xF5;es VERDADEIRAS: &#x3C0; 180o x 225o 225o &#x3C0; = x.180o 4 5&#x3C0; =x 01. A medida em radianos de um arco de 225&#xBA; &#xE9; rad 6 11&#x3C0; F 02. A equa&#xE7;&#xE3;o sen x = 2m &#x2013; 5 admite solu&#xE7;&#xE3;o para 2 &#x2264; m &#x2264; 3 &#x2013; 1 &#x2264; 2m &#x2013; 5 &#x2264; 1 &#x2013; 1 + 5 &#x2264; 2m &#x2264; 1 + 5 4 &#x2264; 2m &#x2264; 6 2 &#x2264; m &#x2264; 3 V
• 8. 8 04. Se sen x &gt; 0, ent&#xE3;o cossec x &lt; 0 sen 30o = 1/2 cossec 30o = 2 sen 210o = - 1/2 F FP 180o 160o 200o cossec 210o = - 2 08. Se tg 20&#xBA; = a, o valor de 2-&#xE9;o oo tg200 tg340tg160 + F 360o 340o tg 160o = tg 200o = tg 340o = &#x2013; tg 20o = tg 20o = &#x2013; tg 20o = &#x2013; a a &#x2013; a + + _ _ o oo tg200 tg340tg160 + a a)(a- &#x2212;+ a 2a&#x2212; &#x2013; 2 V
• 9. 9 16. Para todo x &#x2208; 1o quadrante, a express&#xE3;o (sec x &#x2013; tg x)(sec x + tg x) &#x2013; sen2 x &#xE9; igual a cos2 x (sec x &#x2013; tg x)(sec x + tg x) &#x2013; sen2 x xsen x xsen xx xsen x 2 coscos 1 . coscos 1 &#x2212;&#xF8F7;&#xF8F7; &#xF8F8; &#xF8F6; &#xF8EC;&#xF8EC; &#xF8ED; &#xF8EB; +&#xF8F7;&#xF8F7; &#xF8F8; &#xF8F6; &#xF8EC;&#xF8EC; &#xF8ED; &#xF8EB; &#x2212; xsen x xsen x xsen 2 cos 1 . cos 1 &#x2212;&#xF8F7;&#xF8F7; &#xF8F8; &#xF8F6; &#xF8EC;&#xF8EC; &#xF8ED; &#xF8EB; + &#xF8F7;&#xF8F7; &#xF8F8; &#xF8F6; &#xF8EC;&#xF8EC; &#xF8ED; &#xF8EB; &#x2212; xsen x xsen 2 2 22 cos 1 &#x2212;&#xF8F7;&#xF8F7; &#xF8F8; &#xF8F6; &#xF8EC;&#xF8EC; &#xF8ED; &#xF8EB; &#x2212; xsen x xsen 2 2 2 cos 1 &#x2212;&#xF8F7;&#xF8F7; &#xF8F8; &#xF8F6; &#xF8EC;&#xF8EC; &#xF8ED; &#xF8EB; &#x2212; xsen x x 2 2 2 cos cos &#x2212;&#xF8F7;&#xF8F7; &#xF8F8; &#xF8F6; &#xF8EC;&#xF8EC; &#xF8ED; &#xF8EB; sen2 x + cos2 x = 1 sen2 x = 1 &#x2013; cos2 x cos2 x = 1 &#x2013; sen2 x 1 &#x2013; sen2 x cos2 x V
• 10. 10 6 &#x3C0; 6 5 &#x3C0; 32. A solu&#xE7;&#xE3;o da equa&#xE7;&#xE3;o 2sen2 x + 3sen x = 2 para 0 &#x2264; x &#x2264; 2&#x3C0; &#xE9; x = ou x = 2 sen2 x + 3 sen x &#x2013; 2 = 0 &#x2206; = b2 &#x2013; 4ac &#x2206; = 32 &#x2013; 4.2.(-2) &#x2206; = 25 a b x 2 &#x2206;&#xB1;&#x2212; = 4 53&#xB1;&#x2212; =xsen 2 2 1 &#x2212;== xsenouxsen 2 1 =xsen ++ 30o 150o &#xF8FE; &#xF8FD; &#xF8FC; &#xF8F3; &#xF8F2; &#xF8F1; = 6 5 , 6 &#x3C0;&#x3C0; S V
• 11. 11 ( UFSC ) Sabendo que cossec x = 5/4 e x &#xE9; do primeiro quadrante, ent&#xE3;o o valor da express&#xE3;o 9.(sec2 x + tg2 x) &#xE9;: cossec x = 4 5 sen x = 5 4 sen2 x + cos2 x = 1 1cos 5 4 2 2 =+&#xF8F7; &#xF8F8; &#xF8F6; &#xF8EC; &#xF8ED; &#xF8EB; x 1cos 25 16 2 =+ x 25 16 1cos2 &#x2212;=x 25 9 cos2 =x 5 3 cos =x 3 5 sec =x tg x = sen x cos x 5 3 5 4 =xtg 3 4 =xtg 9.(sec2 x + tg2 x) &#xF8FA; &#xF8FB; &#xF8F9; &#xF8EF; &#xF8F0; &#xF8EE; &#xF8F7; &#xF8F8; &#xF8F6; &#xF8EC; &#xF8ED; &#xF8EB; +&#xF8F7; &#xF8F8; &#xF8F6; &#xF8EC; &#xF8ED; &#xF8EB; 22 3 4 3 5 9 &#xF8FA;&#xF8FB; &#xF8F9; &#xF8EF;&#xF8F0; &#xF8EE; + 9 16 9 25 9 &#xF8FA;&#xF8FB; &#xF8F9; &#xF8EF;&#xF8F0; &#xF8EE; 9 41 9 41
• 12. 12 TRIGONOMETRI AOPERA&#xC7;&#xC3;O COM ARCOS
• 13. 13 Adi&#xE7;&#xE3;o e Subtra&#xE7;&#xE3;o de Arcos sen (a &#xB1; b) = sen a . cos b &#xB1; sen b . cos a &#xF06D;cos (a &#xB1; b) = cos a . cos a sen a . sen b sen 75&#xBA; = sen (30&#xBA; + 45&#xBA;) = sen 30&#xBA; . cos 45&#xBA; + sen 45&#xBA; . cos 30&#xBA; sen (a + b) = sen a . cos b + sen b. cos a 2 3 . 2 2 2 2 . 2 1 + sen 75&#xBA; = 4 62 + cos 15&#xBA; = cos (45&#xBA; - 30&#xBA;) = cos 45&#xBA; . cos 30&#xBA; + sen 45&#xBA; . sen 30&#xBA; cos (a &#x2013; b) = cos a . cos b + sen a. sen b cos 15&#xBA; = 4 62 + 2 1 . 2 2 2 3 . 2 2 +
• 14. 14 O valor de cos 10o cos 35o &#x2013; sen 10o . sen 35&#xBA; , &#xE9;: sen (a &#xB1; b) = sen a . cos b &#xB1; sen b . cos a &#xF06D;cos (a &#xB1; b) = cos a . cos a sen a . sen b cos (a + b) = cos a . cos b - sen a. sen b cos 10o . cos 35o &#x2013; sen 10o . sen 35&#xBA;cos (10&#xBA; + 35o ) = cos 10o . cos 35o &#x2013; sen 10o . sen 35&#xBA; cos 45o = = cos 10o . cos 35o &#x2013; sen 10o . sen 35&#xBA; 2 2
• 15. 15 Seno e Cosseno do arco duplo sen (a &#xB1; b) = sen a . cos b &#xB1; sen b . cos a &#xF06D;cos (a &#xB1; b) = cos a . cos a sen a . sen b sen (2x) = 2sen x . cos x cos (2x) = cos2 x - sen2 x sen (x + x) = sen x . cos x + sen x . cos x cos (x + x) = cos x . cos x &#x2013; sen x . sen x
• 16. 16 C&#xE1;lculo do sen x sen2 x + cos2 x = 1 1 25 16 xsen2 =+ 25 16 1xsen2 &#x2212;= 25 9 xsen2 = 5 3 xsen &#x2212;= 1 5 4 xsen 2 2 =&#xF8F7; &#xF8F8; &#xF8F6; &#xF8EC; &#xF8ED; &#xF8EB; + Sendo cos x = 5 4 e &#x3C0; &#x3C0; 2 2 3 &lt;&lt; x , calcule sen 2x e cos 2x: sen (2x) = 2sen x . cos x cos (2x) = cos2 x - sen2 x sen (2x) = &#xF8F7; &#xF8F8; &#xF8F6; &#xF8EC; &#xF8ED; &#xF8EB; &#xF8F7; &#xF8F8; &#xF8F6; &#xF8EC; &#xF8ED; &#xF8EB; &#x2212; 5 4 . 5 3 .2 sen (2x) = 25 24 &#x2212; cos (2x) = 25 9 25 16 &#x2212; cos (2x) = 25 7
• 17. 17 TRIGONOMETRI AFUN&#xC7;&#xD5;ES TRIGONOM&#xC9;TRICAS GR&#xC1;FICOS
• 18. 18 FUN&#xC7;&#xD5;ES TRIGONOM&#xC9;TRICAS FUN&#xC7;&#xC3;O SENO y = sen x sen x &#x3C0; &#x3C0; &#x3C0; &#x3C0; 2 2 3 2 0 0 + 1 0 - 1 0 0o 90o 180o 270o 360o x x IMAGEM: DOM&#xCD;NIO: REAIS [-1, 1] CRESCENTE: DECRESCENTE: 1&#xBA;. e 4&#xBA;. q 2&#xBA;. e 3&#xBA;. q PER&#xCD;ODO: 2&#x3C0;
• 19. 19 FUN&#xC7;&#xD5;ES TRIGONOM&#xC9;TRICAS FUN&#xC7;&#xC3;O COSSENO y = cos x cos x &#x3C0; &#x3C0; &#x3C0; &#x3C0; 2 2 3 2 0 +1 0 - 1 0 +1 0o 90o 180o 270o 360o x x IMAGEM: DOM&#xCD;NIO: REAIS [-1, 1] CRESCENTE: DECRESCENTE: 3&#xBA;. e 4&#xBA;. q 1&#xBA;. e 2&#xBA;. q PER&#xCD;ODO: 2&#x3C0;
• 20. 20 FUN&#xC7;&#xD5;ES DA FORMA: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x Esbo&#xE7;ar o gr&#xE1;fico e d&#xEA; o per&#xED;odo, o dom&#xED;nio e o conjunto imagem de: a) y = 2 + sen x sen x &#x3C0; &#x3C0; &#x3C0; &#x3C0; 2 2 3 2 0 0 + 1 0 - 1 0 0o 90o 180o 270o 360o x x 2 + sen x 2 3 2 1 2 IMAGEM: [1, 3] PER&#xCD;ODO: 2&#x3C0;
• 21. 21 FUN&#xC7;&#xD5;ES DA FORMA: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x Esbo&#xE7;ar o gr&#xE1;fico e d&#xEA; o per&#xED;odo, o dom&#xED;nio e o conjunto imagem de: b) y = 3sen x sen x &#x3C0; &#x3C0; &#x3C0; &#x3C0; 2 2 3 2 0 0 + 1 0 - 1 0 0o 90o 180o 270o 360o x x 3sen x 0 3 0 -3 0 IMAGEM: [-3, 3] PER&#xCD;ODO: 2&#x3C0;
• 22. 22 FUN&#xC7;&#xD5;ES DA FORMA: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x IMAGEM DA FUN&#xC7;&#xC3;O SENO E COSSENO: [a &#x2013; b; a + b] CONCLUS&#xD5;ES: a &#x2192; desloca o gr&#xE1;fico b &#x2192; estica o gr&#xE1;fico Determinar a imagem da fun&#xE7;&#xE3;o f(x) = 2 + 3sen x f(x) = 2 + 3 sen x f(x) = 2 + 3 (-1) f(x) = 2 + 3 (1) = - 1 = 5 IMAGEM: [-1, 5] Determinar a imagem da fun&#xE7;&#xE3;o f(x) = 5 + 2cos x f(x) = 5 + 2 cos x f(x) = 5 + 2 (-1) f(x) = 5 + 2 (1) = 3 = 7 IMAGEM: [3, 7]
• 23. 23 PER&#xCD;ODO DAS FUN&#xC7;&#xD5;ES SENO E COSSENO m 2&#x3C0; T =Per&#xED;odo Determinar o per&#xED;odo da fun&#xE7;&#xE3;o f(x) = sen 2x FUN&#xC7;&#xD5;ES DA FORMA: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x &#x3C0;== 2 2&#x3C0; TPer&#xED;odo Determinar o per&#xED;odo da fun&#xE7;&#xE3;o f(x) = 3sen x/2 &#x3C0;4== 2 1 2&#x3C0; TPer&#xED;odo
• 24. 24 Determine o per&#xED;odo da fun&#xE7;&#xE3;o f(x) = cos4 x &#x2013; sen4 x &#xE9;: Um pouquinho de matem&#xE1;tica b&#xE1;sica (a + b)(a &#x2013; b) = a2 &#x2013; b2 (x + 3)(x &#x2013; 3) = x2 &#x2013; 9 = x2 &#x2013; 25(x + 5)(x &#x2013; 5) = cos4 x &#x2013; sen4 x(cos2 x + sen2 x )(cos2 x &#x2013; sen2 x) = cos4 x &#x2013; sen4 x(1)(cos2x) f(x) = cos4 x &#x2013; sen4 x f(x) = cos 2x &#x3C0;== 2 2&#x3C0; TPer&#xED;odo m 2&#x3C0; T =Per&#xED;odo = cos4 x &#x2013; sen4 xcos2x f&#xF3;rmulas do arco duplo sen 2x = 2sen x.cos x cos 2x = cos2 x &#x2013; sen2 x
• 25. 25 FUN&#xC7;&#xD5;ES TRIGONOM&#xC9;TRICAS FUN&#xC7;&#xC3;O TANGENTE y = tg x tg x &#x3C0; &#x3C0; &#x3C0; &#x3C0; 2 2 3 2 0 0 n&#xE3;o 0 n&#xE3;o 0 existe existe 0o 90o 180o 270o 360o x x IMAGEM: DOM&#xCD;NIO: REAIS CRESCENTE: SEMPRE PER&#xCD;ODO: &#x3C0; {x &#x2208; &#x211C;|x &#x2260; 2 &#x3C0; + k&#x3C0;} O dom&#xED;nio da fun&#xE7;&#xE3;o f(x) = tg 2x &#xE9;: 24 2 2 2 2 &#x3C0;&#x3C0; &#x3C0; &#x3C0; &#x3C0; &#x3C0; k x k x kx +&#x2260; + &#x2260; +&#x2260;