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GEOMETRIA ESPACIAL
•POLIEDROS
PRISMAS – BLOCOS
RETANGULARES - CUBOS
PIRÂMIDES
•CORPOS REDONDOS
CILINDROS
CONES
ESFERAS
•TRONCOS
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Ângulo poliédrico
Sejam n semi-retas de
mesma origem tais que nunca fiquem três
num mesmo semiplano. Essas semi-retas
determinam n ângulos em que o plano de
cada um deixa as outras semi-retas em
um mesmo semi-espaço. A figura formada
por esses ângulos é o ângulo poliédrico.
Poliedros
Chamamos de poliedro o sólido limitado por
quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a
planos diferentes e que têm dois a dois somente
uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:
• Os polígonos são as faces do poliedro; os lados
e os vértices dos polígonos são as arestas e os
vértices do poliedro.
Poliedros convexos e côncavos
Observando os poliedros acima, podemos
notar que, considerando qualquer uma de
suas faces, os poliedros encontram-se
inteiramente no mesmo semi-espaço que
essa face determina. Assim, esses poliedros
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Isso não acontece no poliedro abaixo, pois
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Portanto, ele é denominado côncavo.
Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes
especiais de acordo com o número de faces,
como por exemplo:
tetraedro: quatro faces
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Poliedros regulares
• Um poliedro convexo é chamado de regular se
suas faces são polígonos regulares
• Existem cinco poliedros regulares
• Tetraedro Hexaedro
Poliedros regulares
Octaedro Dodecaedro Icosaedro
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação
seguinte:
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prismas
• Elementos do prisma
Dado o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:
prismas
• Classificação
• reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos
planos das bases;
• oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos
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prismas
• Chamamos de prisma regular todo prisma
reto cujas bases são polígonos regulares:
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• Secção: Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma
determina nele uma região chamada secção do prisma.
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• Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o
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• Vamos usar o Princípio de Cavalieri
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pirâmides
• Dados um polígono convexo R, contido em um
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pirâmides
• Elementos da pirâmide
Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:
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CORPOS REDONDOS
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• Os Corpos Redondos estão
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• CILINDROS
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• Secção transversal
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CONES
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Secção meridiana
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Volume do CONE
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ESFERAS
• Chamamos de
esfera de centro O
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• O volume da esfera de raio R é dado por:
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• A área da superfície esférica é dada por:
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  • 1. GEOMETRIA ESPACIAL •POLIEDROS PRISMAS – BLOCOS RETANGULARES - CUBOS PIRÂMIDES •CORPOS REDONDOS CILINDROS CONES ESFERAS •TRONCOS
  • 3. Ângulo poliédrico Sejam n semi-retas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semi-retas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.
  • 4. Poliedros Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos: • Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.
  • 5. Poliedros convexos e côncavos Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.
  • 6. Isso não acontece no poliedro abaixo, pois em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
  • 7. Classificação Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo: tetraedro: quatro faces pentaedro: cinco faces hexaedro: seis faces heptaedro: sete faces octaedro: oito faces icosaedro: vinte faces
  • 8. Poliedros regulares • Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares • Existem cinco poliedros regulares • Tetraedro Hexaedro
  • 10. Relação de Euler Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: V - A + F = 2 em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces. V=8 A=12 F=6 V = 12 A = 18 F = 8 12 - 18 + 8 = 2 8 - 12 + 6 = 2
  • 11. prismas • Elementos do prisma Dado o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:
  • 12. prismas • Classificação • reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; • oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
  • 13. prismas • Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares: Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.
  • 14. prismas • Secção: Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma. Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).
  • 15. Prismas - áreas • Áreas Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases.
  • 17. Paralelepípedo ou bloco retangular • Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter: • Oblíquo Reto
  • 18. Paralelepípedo retângulo • Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura: Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.
  • 19. Diagonais da base e do paralelepípedo • db = diagonal da base • dp = diagonal do paralelepípedo
  • 20. Diagonais da base e do paralelepípedo • Na base ABFE, temos: •
  • 21. Diagonal do paralelepípedo • No triângulo AFD, temos:
  • 22. Áreas no paralelepípedo • Área lateral : Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos: • AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc)
  • 23. Área total do paralelepípedo • Área total : Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas. AT= 2( ab + ac + bc)
  • 24. Volume do paralelepípedo • Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por: • V = a.b.c
  • 25. Cubo ou Hexaedro • Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) dc=diagonal do cubo db = diagonal da base
  • 26. Cubo ou Hexaedro • Na base ABCD, temos:
  • 27. Cubo ou Hexaedro • No triângulo ACE, temos:
  • 28. Cubo – área lateral • A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a: AL=4a2
  • 29. Cubo – área total • A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a: AT=6a2
  • 30. Volume do cubo • De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por: V= a . a . a = a3
  • 31. Generalização do volume de um prisma • Vamos usar o Princípio de Cavalieri (matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos.
  • 32. Princípio de Cavalieri • Este principio diz que se sólidos têm mesmas áreas de secções transversais então os seus volumes são iguais.
  • 33. Volume de um Prisma • Vprisma = AB . h , onde AB = área da base e H = ALTURA
  • 34. pirâmides • Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de pirâmide o conjunto de todos os segmentos .
  • 35. pirâmides • Elementos da pirâmide Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos: base: o polígono convexo R arestas da base: os lados do polígono arestas laterais: os segmentos faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA altura: distância h do ponto V ao plano
  • 36. Pirâmides Classificação • Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular
  • 37. Pirâmides Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).
  • 38. Pirâmides • Secção paralela à base de uma pirâmide
  • 39. Pirâmides • Relações entre os elementos de uma pirâmide regular • Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a
  • 40. Pirâmides • A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.
  • 41. Pirâmides • A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.
  • 42. Pirâmides • Os triângulos VOB e VOM são retângulos.
  • 43. Pirâmides - áreas • Numa pirâmide, temos as seguintes áreas: • a) área lateral ( AL): reunião das áreas das faces laterais • b) área da base ( AB): área do polígono convexo ( base da pirâmide) • c) área total (AT): união da área lateral com a área da base • AT = AL +AB • Para uma pirâmide regular, temos:
  • 45. Pirâmides • O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:
  • 48. CORPOS REDONDOS • Os Corpos Redondos estão classificados principalmente em: • CILINDROS • CONES • ESFERAS
  • 49. CILINDROS • Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, α e β , um círculo R contido em α e uma reta r que intercepta α e β , mas não R:
  • 50. CILINDROS • Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento CC´ , paralelo à reta r (C´ Є β) :
  • 51. CILINDROS • Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos CC´ congruentes e paralelos a r.
  • 52. Classificação do Cilindro • circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases; • circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases
  • 53. Secção do Cilindro • Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.
  • 54. Secção do Cilindro • Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.
  • 55. Área do Cilindro • Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação
  • 57. Volume • V = Abase x h h = altura • Abase = π . r2
  • 58. CONES • Elementos • altura: distância do vértice ao plano • geratriz (g): segmento com uma extremidade no vértice e outra num ponto da circunferência • raio da base: raio R do círculo
  • 59. CONES • Cone reto Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
  • 60. CONES • Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação: • g2= h2 + R2
  • 61. Secção meridiana • A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.
  • 62. Secção meridiana • Se o triângulo AVB for equilátero, o cone também será equilátero: • g = 2.R • h = R.√3
  • 63. Áreas • área total (AT):soma da área lateral com a área da base •
  • 66. ESFERAS • Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.
  • 67. Volume da ESFERA • O volume da esfera de raio R é dado por:
  • 68. Superfície da ESFERA • A área da superfície esférica é dada por:
  • 69. Zona Esférica • A área da zona esférica é dada por:
  • 70. Calota Esférica • A área da calota esférica é dada por:
  • 71. CUNHA ESFÉRICA • Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo