Data envelopment analysis

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riassunto della Data Envelopment Analysis

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Data envelopment analysis

  1. 1. Data Envelopment Analisys a cura di Giuliano Resce
  2. 2. Data Envelopment Analisys (DEA)• Metodo non parametrico;• non ha bisogno di conoscere i prezzi dei fattori (quindi monopolio, imprese pubbliche, organizzazioni pubbliche e non a fini di lucro);• misura l’efficienza “relativa”;• l’efficienza è stimata in termini di produttività media, rapporto tra quantità di bene prodotto e quantità di risorse utilizzate: OUTPUT/INPUT
  3. 3. Esempio un input, un outputNegozio A B C D E F G HINPUTDipendenti 200 300 300 400 500 500 600 800OUTPUTIncasso 100,00 400,00 200,00 300,00 450,00 200,00 300,00 500,00OUTPUT/INPUTIncasso/Dipendenti 0,500 1,333 0,667 0,750 0,900 0,400 0,500 0,625 In questo caso B è l’azienda (da ora DMU*) più efficiente, che nel linguaggio DEA si chiama peer, essa rappresenta il punto di riferimento per misurare l’efficienza relativa degli altri negozi. *Decision Making Unit : è l’entità indipendente in grado di convertire l’input in output (può anche essere una parte dell’azienda).
  4. 4. Confronto grafico tra inegozi• La semiretta che unisce la peer conl’origine è la frontiera di efficienza,tutte le eventuali DMUs che stanno suquesta linea sono efficienti quanto B(la migliore).•La frontiera di efficienza è ilriferimento per misurare l’efficienzarelativa di tutte le DMU.
  5. 5. Input Oriented azienda A•Il negozio A se fosse efficiente quantoB (peer) produrrebbe lo stesso incasso(100) con un numero di dipendentipari a WZ, la distanza ZA è Input ineccesso (input slack)[personale inesubero].•Con l’approccio Input Orientedl’efficienza relativa di A è data dalrapporto WZ/WA(75/200 =0,37).•Il punteggio Input Oriented è sempreun numero compreso tra 0 e 1, ilpunteggio pieno (1) lo ottiene solo lapeer, più basso è il risultato menoefficiente è l’azienda.
  6. 6. Output Oriented azienda A•Il negozio A se fosse efficiente quantoB (peer) con lo stesso numero didipendenti produrrebbe un incassopari a NP, la distanza AN è Outputmancante (output slack).•Con l’approccio Output Orientedl’efficienza relativa di A è data dalrapporto NP/AP(266,67/100=2,67).•Il punteggio Output Oriented èsempre un numero superiore o ugualea 1, il punteggio pieno (1) lo ottienesolo la peer, più alto è il risultato menoefficiente è l’azienda.•Il punteggio Output Oriented è ilreciproco dell’Input Oriented (inquesto caso 1/2,67=0,37).
  7. 7. Esempio due inputs, un outputNegozio A B C D E F G H IINPUT1Dipendenti 4 7 8 4 2 5 6 5,50 6INPUT2Area espositiva 3 3 1 2 4 2 4 2,50 2,50OUTPUTIncasso 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Per comodità, abbiamo diviso tutti gli inputs per l’output in modo da avere output identico per tutti i negozi e poterli rappresentare su due dimensioni
  8. 8. Confronto graficotra i negozi•La frontiera di efficienza passa per letre aziende efficienti (E,D,C) e continuanelle due direzioni parallela agli assicartesiani.
  9. 9. Efficienza relativa diA, l’Input VirtualeA può essere efficiente quanto lepeers in diversi modi:• tiene costante il rapportoSUPERFICIE/INCASSO e riduce di AD ilrapporto DIPENDENTI/INCASSO;• tiene costante il rapportoDIPENDENTI/INCASSO e riduce di RA ilrapporto SUPERFICIE/INCASSO;• riduce in maniera proporzionaleentrambi gli inputs, e tiene costantel’Input Mix (la combinazione dei fattoriproduttivi); per fare ciò deve ridurrel’Input Virtuale, che nel grafico è ilsegmento AN, quello che uniscel’azienda analizzata con l’origine. PA èInput Virtuale in eccesso, l’efficienzarelativa di A è data dal rapportoNP/NA. Questo approccio èInput Oriented → 0≤ NP/NA ≤1
  10. 10. Esempio due outputs, un inputNegozio A B C D E F GINPUTDipendenti 1 1 1 1 1 1 1OUTPUT1Clienti 1 2 3 4 4 5 6OUTPUT2Incasso 5 7 4 3 6 5 2 Abbiamo diviso tutti gli outputs per l’input in modo da avere input identico per tutti i negozi e poterli rappresentare su due dimensioni
  11. 11. Confronto graficotra i negozi• La frontiera di efficienza passa per lequattro aziende efficienti (B,E,F,G) econtinua nelle due direzioni parallelaagli assi cartesiani.• Dalla frontiera disegnata in questomodo nasce il nome “DataEnvelopment Analysis”, tutte leaziende analizzate sono “avvolte” dallafrontiera.
  12. 12. Efficienza relativa di A,l’Output VirtualeA può essere efficiente quanto lepeers in diversi modi:• tiene costante il rapportoINCASSO/DIPENDENTI e aumenta diAF il rapporto CLIENTI/DIPENDENTI;• tiene costante il rapportoCLIENTI/DIPENDENTI e aumenta di ANil rapporto INCASSO/DIPENDENTI;• aumenta in maniera proporzionaleentrambi gli outputs (Output Virtuale)e tiene costante l’Output Mix, nelgrafico l’Output Vituale è il segmentoOP, che unisce l’origine con laproiezione dell’azienda analizzata sullafrontiera di efficienza. In questo casoAP è Output Virtuale mancante,l’efficienza relativa di A è il rapportoOP/OA. Questo approccio èOutput Oriented → 1≤ OP/OA
  13. 13. Output e input molteplici• L’efficienza delle aziende che producono più di un output utilizzando più di un input si misura in base al rapporto:
  14. 14. Output e input virtuale• Nell’azienda m che produce j outputs utilizzando i inputs:dove e sono rispettivamente il j-esimooutput e l’i-esimo input dell’azienda m ee sono i loro relativi pesi (prezzi).
  15. 15. I pesiIn un insieme di n aziende il valore dei pesi sicalcola massimizzando il rapporto:sotto i vincoli:sostituendo alle x il valore degli inputs e alle y il valore degli outputs si ottienel’efficienza relativa di m (l’azienda analizzata) rispetto alle n DMUs del gruppo.
  16. 16. Programma lineare CCR*Linearizzando il programma sviluppato nella slideprecedente si ottiene questo programma lineare che èla base da cui prendono vita tutte le versioni della DEA. * La DEA in questa versione prende il nome dagli autori Charnes, Cooper e Rhodes (1978)
  17. 17. Caso 2 inputs, 2 outputs INPUT 1 INPUT 2 OUTPUT 1 OUTPUT 2Ospedale Medici (M) Infermieri (I) Ricoveri (R) Dimissioni (D)A 33 235 220 88B 67 206 31 45C 30 244 190 100D 50 268 250 100E 53 110 260 400F 15 284 250 398
  18. 18. Programma CCR ospedale AMax vAR220+vAD88s.v.uAM33+uAI235=1vAR220+vAD88≤ uAM33+uAI235vAR31+vAD45≤ uAM67+uAI206vAR190+vAD100≤ uAM30+uAI244vAR250+vAD100≤ uAM50+uAI268vAR260+vAD400≤ uAM53+uAI110vAR250+vAD398≤ uAM15+uAI284vAR ≥ 0, vAD ≥ 0, uAM ≥ 0, uAI ≥ 0 vAR= peso Ricoveri ospedale A, vAD = peso Dimissioni ospedale A uAM= peso Medici ospedale A, uAI= peso Infermieri ospedale A
  19. 19. Programma CCR ospedale BLa soluzione del programma lineare della slide precedente è l’efficienza relativadell’ospedale A, cambiando la funzione obiettivo, il primo vincolo e i pesi, siottengono i punteggi di tutti gli altri.Efficienza di B:Max vBR31+vBD45s.v.uBM67+ uBI206=1vBR220+vBD88≤uBM33+uBI235vBR31+vBD45 ≤uBM67+ uBI206vBR190+vBD100≤uBM30+uBI244vBR250+vBD100≤uBM50+uBI268vBR260+vBD400≤uBM53+uBI110vBR250+vBD398≤uBM15+uBI284vBR ≥ 0, vBD ≥ 0, uBM ≥ 0, uBI ≥ 0
  20. 20. Risultati CCR 2 input e 2 output uMM uII vRR vDDOSPEDALE Punteggio Medici Infermieri Ricoveri DimissioniA (0.79+0)/(0,41+0,59) = 0,79 0,41 0,59 0,79 0,00B (0,08+0)/(0,62+0,38) = 0,08 0,62 0,38 0,08 0,00C (0,69+0)/(0,38+0,62) = 0,69 0,38 0,62 0,69 0,00D (0,69+0)/(0,48+0,52) = 0,69 0,48 0,52 0,69 0,00E (1,00+0)/(0,70+0,30) = 1,00 0,70 0,30 1,00 0,00F (1,00+0)/(1,00+0) = 1,00 1,00 0,00 1,00 0,00 Punteggio = v R+v D/u M+u I R D M I
  21. 21. Rendimenti di scala• L’azienda presa in considerazionenel grafico utilizza quantità di inputX1 per produrre quantità di outputY1, se incrementasse il proprio inputfino a X2, produrrebbe un outputY2, con incremento più cheproporzionale rispettoall’incremento dell’input; questoaccade poiché la funzione diproduzione del settore in cui operal’azienda, nel tratto (X1,X2), harendimenti di scala crescenti;• se la stessa azienda, partendo daX2 incrementasse ulteriormentel’input fino a X3, otterrebbe outputY3, con incremento meno cheproporzionale rispetto a quellodell’input, ciò implica che la stessafunzione di produzione ha, neltratto (X2,X3), ha rendimenti discala decrescenti. Input
  22. 22. DEA BCC*Dal grafico emerge che la Frontiera diEfficienza CCR costruita nel primoesempio assume rendimenti di scalacostanti.La Frontiera di Efficienza per assumererendimenti variabili deve includere inegozi A,E e H, poiché l’inefficienza diqueste DMUs dipende esclusivamentedalla loro dimensione.L’inefficienza di A, E e H si chiamaInefficienza di Scala, essa si differenziadall’Inefficienza Tecnica checaratterizza le DMUs G, D, F e C.Per stimare l’efficienza assumendorendimenti di scala variabili si utilizzala DEA in versione BCCche, nell’esempio, calcola il nuovopunteggio sulla base della frontierablu.Il punteggio BCC nella versione InputOriented è sempre superiore o ugualea quello CCR. * Banker, Charnes and Cooper (1984)
  23. 23. Programma lineare BCCAggiungendo la variabile libera al programma lineareCCR si ottiene la versione BCC, il cui risultato è l’indice diefficienza tecnica pura.
  24. 24. Programma BCC ospedale A Max vAR220+vAD88-u0 s.v. uAM33+uAI235=1 vAR220+vAD88-u0 ≤ UAM33+uAI235 vAR31+vAD45-u0 ≤ uAM67+uAI206 vAR190+vAD100-u0 ≤ uAM30+uAI244 vAR250+vAD100-u0 ≤ uAM50+uAI268 vAR260+vAD400-u0 ≤ uAM53+uAI110 vAR250+vAD398-u0 ≤ uAM15+uAI284 vAR ≥ 0, vAD ≥ 0, uAM ≥ 0, uAI ≥ 0, u0 liberau0 è una variabile libera che può assumere segno positivo o negativo
  25. 25. Risultati BCC 2 input e 2 output uMM uII U0 vRR vDD VariabileOSPEDALE Punteggio Medici Infermieri libera Ricoveri DimissioniA 0,91 0,39 0,61 0,91 0,00 0,00B 0,69 0,60 0,40 0,69 0,00 0,00C 0,92 0,36 0,64 0,92 0,00 0,00D 0,71 0,46 0,54 0,71 0,00 0,00E 1,00 0,70 0,30 0,00 1,00 0,00F 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 Punteggio = v R+v D+U /u M+u I R D 0 M I
  26. 26. Efficienza di scalaSe per la stessa azienda si stima sia ilpunteggio CCR sia il punteggio BCC si puòscomporre l’inefficienza in Inefficienza diScala e Inefficienza Tecnica Pura.Seguendo l’approccio Output Orientednell’azienda G: l’inefficienza complessivasi misura con l’output slack, che è: GV;questo slack può essere scomposto inslack di Scala: UV e slack di inefficienzatecnica pura: UG.L’indice (ouput oriented) di efficienzatecnica pura è dato dal rapporto: UR/GR,l’indice (output oriented) di efficienzacomplessiva è dato dal rapporto: VR/GR.L’indice (Output Oriented) diefficienza di scala è: VR/UR = = (VR/GR)/(UR/GR) = = CCR/BCC
  27. 27. Efficienza di ScalaOspedale Punteggio CCR Punteggio BCC CCR/BCC (Scala)A 0,79 0,91 0,87B 0,08 0,69 0,12C 0,69 0,92 0,75D 0,69 0,71 0,98E 1,00 1,00 1,00F 1,00 1,00 1,00
  28. 28. CCR dualeOgni programma lineare ha il suo duale che è un altro programma lineare la cui soluzionecorrisponde al programma originale, scrivendo il duale del “programma base CCR” siottiene:Dove è l’efficienza dell’azienda m, è il j-esimo output della DMU n, è l’i-esimo input dell’azienda n, è il peso relativo da assegnare all’azienda n,in questo caso il programma stima i pesi delle DMUs (non più degli inputs -outputs).
  29. 29. CCR duale ospedale AMin θs. v.220λA+31λB+190λC+250λD+260λE+250λF≥22088λA+45λB+100λC+100λD+400λE+398λF≥8833λA+67λB+30λC+50λD+53λE+15λF≤θ33235λA+206λB+244λC+268λD+110λE+284λF≤θ235λA≥0, λB≥0, λC≥0, λD≥0, λE≥0, λF≥0λA = peso Ospedale A, λB = peso Ospedale B, λC = peso Ospedale C,λD = peso Ospedale D, λE = peso Ospedale E, λF = peso Ospedale F.
  30. 30. Risultati CCR duale Ospedale θ λA λB λC λD λE λF A 0,79 0,00 0,00 0,00 0,00 0,35 0,52 B 0,08 0,00 0,00 0,00 0,00 0,10 0,02 C 0,69 0,00 0,00 0,00 0,00 0,25 0,50 D 0,69 0,00 0,00 0,00 0,00 0,53 0,45 E 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 F 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00Il valore assunto da θ è il punteggio, nella soluzione del programma gli unici λ adassumere valore sono quelli della peer (questa caratteristica permette di conoscere, per ogniDMU qual è la peer, ovvero l’azienda di riferimento sulla quale è stato stimato lo slack eil punteggio). I valori, in questo caso, indicano che, per tutti gli Ospedali inefficienti, lepeers sono sia E che F.
  31. 31. BCC dualeL’unica differenza tra il CCR duale e il BCC duale è il vincolo che impone allasommatoria dei Lambda l’uguaglianza a 1.
  32. 32. BCC duale ospedale AMin θs. v.220λA+31λB+190λC+250λD+260λE+250λF≥22088λA+45λB+100λC+100λD+400λE+398λF≥8833λA+67λB+30λC+50λD+53λE+15λF≤θ33235λA+206λB+244λC+268λD+110λE+284λF≤θ235λA+λB+λC+λD+λE+λF=1λA≥0, λB≥0, λC≥0, λD≥0, λE≥0, λF≥0λA = peso Ospedale A, λB = peso Ospedale B, λC = peso Ospedale C,λD = peso Ospedale D, λE = peso Ospedale E, λF = peso Ospedale F.
  33. 33. Risultati BCC dualeOspedale θ λA λB λC λD λE λFA 0,91 0,00 0,00 0,00 0,00 0,40 0,60B 0,69 0,00 0,00 0,00 0,00 0,82 0,18C 0,92 0,00 0,00 0,00 0,00 0,34 0,66D 0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,54 0,46E 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00F 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 λA+λB+λC+λD+λE+λF=1
  34. 34. Il significato di λ nell’ esempio 2 outputs 1 input Θ λA λB λC λD λE λF λG λH λIA 0,86 0 0 0 0,71 0,29 0 0 0 0B 0,63 0 0 0,11 0,89 0 0 0 0 0C 1,00 0 0 1,00 0 0 0 0 0 0D 1,00 0 0 0 1,00 0 0 0 0 0E 1,00 0 0 0 0 1,00 0 0 0 0F 0,92 0 0 1,00 0,85 0 0 0 0 0G 0,60 0 0 0 0,80 0,20 0 0 0 0H 0,77 0 0 0,06 0,94 0 0 0 0 0I 0,75 0 0 0,13 0,88 0 0 0 0 0
  35. 35. Il significato di λLe versione duale CCR ospedale A è Input CCR duale ospedale AOriented (individua la DMU che a paritàdi Outputs utilizza meno Inputs), per Min θcome è scritto, il programma cerca il s. v.valore minimo che può assumere θ (il 220λA+31λB+190λC+250λD+260λE+250λF≥220moltiplicatore degli inputs della DMU 88λA+45λB+100λC+100λD+400λE+398λF≥88analizzata), tale che il prodotto 33λA+67λB+30λC+50λD+53λE+15λF≤θ33[θ*(input)] sia maggiore o uguale della 235λA+206λB+244λC+268λD+110λE+284λF≤θ235somma di tutti i [λ*(input)] di tutte le λA≥0, λB≥0, λC≥0, λD≥0, λE≥0, λF≥0aziende.Se tutti i λ assumessero valore 0 il valoreminimo di θ sarebbe 0, dove λ assume unvalore quell’input diventa un punto diriferimento (la soglia minima) per ilvalore assunto da θ (EFFICIENZARELATIVA), di conseguenza l’azienda cheutilizza quella quantità di input non puòche essere una peer.

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