Termodinamica non equilibrio
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Like this? Share it with your network

Share

Termodinamica non equilibrio

on

  • 276 views

 

Statistics

Views

Total Views
276
Views on SlideShare
276
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
4
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment
  • <br /> sistema deterministico <br /> è quello nel quale si passa da un punto iniziale ad un punto finale attraverso una funzione, cioè ogni stato è unica e diretta conseguenza di quello precedente (le leggi della meccanica di Newton sono leggi deterministiche); <br /> sistema non deterministico <br /> è quello nel quale si può arrivare allo stesso punto finale partendo da diversi punti; <br /> In altre parole, quando analizziamo il mondo della musica (e della sua distribuzione) abbiamo a che fare con un sistema complesso sottoposto a una serie di vincoli (generati dal copyright). Lo stesso sistema liberato <br /> da tali vincoli in una filosofia copyleft potrebbe evolvere verso configurazioni e stati assolutamente imprevedibili. Il significato puramente scientifico di questa affermazione è che il sistema nel suo complesso diventerebbe molto più creativo, in quanto non deterministico. <br /> L&apos;ESISTENZA DI UN UOMO, POICHE&apos; OGNI SINGOLO INDIVIDUO RAGGIUNGE IL MEDESIMO STATO: LA MORTE(COND. BOSEEINSTEIN)...DANESE FISICO 1940-1981 11 APRILE Taarcsen Mollair <br />

Termodinamica non equilibrio Presentation Transcript

  • 1. Corso di Chimica Fisica – Parte Quarta Cenni di Termodinamica di non-Equilibrio Corso di Laurea in Fisica e Tecnologie Avanzate Anno Accademico 2003-2004 AA 2003-2004 1
  • 2. L’Entropia e il Principio d’Ordine di Boltzmann  In questa parte del nostro corso, il punto di vista sarà strettamente fenomenologico;     Non indagheremo su quali possano essere le relazioni con la dinamica, ma delineeremo dei metodi che descrivono efficacemente i fenomeni termodinamici irreversibili; Soltanto a partire dagli anni 60 del secolo scorso si è cominciato a considerare il ruolo costruttivo dei fenomeni irreversibili, fino a quel momento considerati solo alla stregua di rumore o comunque di fonte di dissipazione; Il nostro punto di partenza sarà costituito ovviamente da un’analisi del concetto di entropia e del significato del secondo principio della termodinamica; Ricordiamo comunque che, classicamente, tali principi nelle formulazioni viste fino a questo momento sono applicabili solo a condizioni di equilibrio, vedremo ora come generalizzare queste Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica applicazioni al caso di non equilibrio. Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 2
  • 3. Produzione di Entropia    Nella termodinamica classica il principio di aumento dell’entropia viene usualmente formulando facendo riferimento a sistemi isolati; Non è difficile estendere tale principio anche ai sistemi aperti, cioè a sistemi che scambiano con il mondo materia ed energia; Si devono in tal caso distinguere due termini del mutamento di entropia dS, il primo deS è il flusso di entropia attraverso i confini del sistema, mentre il secondo, diS, è l’entropia prodotta all’interno del sistema;  Poiché l’entropia è una grandezza estensiva avremo dS = d i S + d e S  La seconda legge della termodinamica esige che per i processi che si svolgono all’interno del sistema si abbia sempre di S ≥ 0 Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 3
  • 4. Produzione di Entropia    Invece deS non ha un segno definito a priori poiché la variazione entropica corrispondente dipende dalla natura dello scambio tra il sistema e il suo intorno; Di conseguenza si possono immagine evoluzioni in cui il sistema raggiunge uno stato a entropia più bassa di quella iniziale; Questi stati, che dal punto di vista della termodinamica statistica di equilibrio sarebbero estremamente improbabili, possono essere indefinitamente mantenuti in uno stato stazionario tale che dS = 0 cioè tali che d e S = −d i S < 0   Perciò, in teoria, se diamo ad un sistema una sufficiente quantità di flusso negativo di entropia, lo rendiamo capace di giungere ad una configurazione stabile più ordinata di quella di partenza; Questo “rifornimento” di entropia, deve inoltre avvenire in condizioni di non equilibrio in quanto Della Lunga - le variazioniChimica Giovanni altrimenti tutte Corso di di entropia sarebbero identicamente nulle. Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 4
  • 5. Produzione di Entropia    Da un punto di vista del tutto generale possiamo considerare i processi irreversibili come correnti o flussi termodinamici generati da forze termodinamiche; Ad esempio la differenza di temperatura fra due regioni vicine di un sistema (quindi il gradiente di temperatura) è considerata una forza termodinamica che genera un flusso irreversibile di calore; Analogamente ad una differenza di concentrazione sarà associata una forza termodinamica che genera un flusso di materia. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 5
  • 6. Produzione di Entropia  Esempio basato sulla conduzione del calore dSi = − 1 1 dQ dQ + = dQ −  T T  T1 T2 1  2 dSi  1 1  dQ = −  dt  T2 T1  dt   Legge di Fourier Legge di Fourier J Q = α ( T1 − T2 ) 2 dSi  1 1  α ( T1 − T2 ) =  − α (T1 − T2 ) = ≥0  T TLunga - CorsoTdi Chimica  dt Della Giovanni  2 1  1T2 Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 6
  • 7. Produzione di Entropia  Dalla definizione di entropia, ricordando il primo principio della termodinamica, possiamo scrivere, per un sistema idrostatico, la seguente relazione dS =   dU dV +p T T Più in generale l’entropia è funzione, oltre che dell’energia e del volume, anche della composizione del sistema. Indicando con n1, n2, n3,..... I numeri delle moli delle varie componenti possiamo allora scrivere  ∂S  ∂S   ∂S  dS =  dE +  dV + ∑    ∂U   ∂V  γ  ∂nγ  µ dnγ = dU + p dV − ∑ γ dnγ  T T γ T  Giovanni DellaPOTENZIALI-CHIMICI di Chimica Lunga Corso Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 7
  • 8. Produzione di Entropia dovuta ad una reazione chimica    Supponiamo che anche in condizioni di non equilibrio l’entropia dipenda dalle stesse variabili di stato da cui dipende all’equilibrio; Come esempio vediamo come esprimere la produzione di entropia derivante da una reazione chimica in un sistema chiuso; Consideriamo la reazione v X X + vY Y → v A A + vB B  Come sappiamo, possiamo introdurre il grado di avanzamento della reazione, ξ, tramite il quale è possibile esprimere la variazione di moli della generica sostanza coinvolta nella reazione dnγ = vγ dξ  dξ v= Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica dt Introducendo il tasso di reazione Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 ... 8
  • 9. Produzione di Entropia dovuta ad una reazione chimica  ... possiamo infine indicare la produzione di entropia in un sistema chiuso in cui avvenga una reazione chimica come δq Adξ dS = + , A = −∑ν i µi T T i  Dove A è detta affinità della reazione chimica. In questo caso: δq de S = , T Adξ di S = >0 T FLUSSO DI ENTROPIA  PRODUZIONE DI ENTROPIA di S 1 = Av > 0 La produzione di entropia per unità di tempo è: dt Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica T Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 9
  • 10. Produzione di Entropia dovuta ad una reazione chimica  Se avvengono simultaneamente più reazioni: di S 1 = ∑ Aρ vρ > 0 dt T ρ  All’equilibrio tutte le affinità sono nulle:  A = A2 = lontani dall’equilibrio in cui, per esempio: Tuttavia, esistono casi1di sistemi Ar = 0  In casi come questo le reazioni si dicono accoppiate A1v1 > 0, A2 v2 < 0, A1v1 + A2 v2 > 0 Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 10
  • 11. Formulazione generalizzata della produzione di Entropia  La produzione di entropia in un sistema in cui avvengano trasformazioni irreversibili può essere generalmente scritta come la somma di prodotti di forze (o affinità) generalizzate per i corrispondenti flussi (o velocità): FLUSSO GENERALIZZATO di S = ∑ Jk X k > 0 dt k FORZA GENERALIZZATA  Per esempio, la produzione di entropia dovuta ad una reazione chimica può essere scritta come di S A A = v = J ch X ch > 0, J ch = v, X ch = dt T T Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 11
  • 12. Formulazione generalizzata della produzione di Entropia      La formula appena vista ha una serie di limitazioni, la più importante è che essa vale solo in un intorno dell’equilibrio, possiamo pensare il sistema suddiviso in una serie di regioni ciascuna delle quali abbastanza grande da mantenere caratteristiche macroscopiche, ma anche sufficientemente piccole da far si che le caratteristiche siano abbastanza vicine all’equilibrio; Si parla allora di “equilibrio locale”; Se questa ipotesi è soddisfatta, possiamo presupporre che le relazioni fra forze generalizzate e flussi generalizzati siano in prima approssimazione lineari; Questo schema include automaticamente tutte le leggi diffusive che abbiamo già visto nella parte dedicata alla cinetica (la legge di diffusione di Fourier per cui il flusso di calore è proporzionale al gradiente di temperatura, la legge di diffusione di materia in cui il flusso è proporzionale al gradiente di concentrazione, e così via). Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 12
  • 13. Relazioni di Reciprocità di Onsager  Questo ci porta alla formulazione della termodinamica lineare dei processi irreversibili, che risulta pertanto caratterizzata dalle relazioni; J i = ∑ Lij X j j   Relazioni lineari di questo tipo vengono dette relazioni fenomenologiche. Per illustrare questo punto, consideriamo due processi irreversibili che avvengano simultaneamente (es. diffusione di massa e calore): J1 = L11 X 1 + L12 X 2 J 2 = L21 X 1 + L22 X 2  I coefficienti Lik sonoDella Lunga -fenomenologici. Giovanni detti coefficienti Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 13
  • 14. Relazioni di Reciprocità di Onsager  E’ interessante osservare il significato dei vari termini  I coefficienti del tipo Lii esprimono per esempio la conducibilità elettrica, il coefficiente di diffusione, la conducibilità termica...  ...mentre i coefficienti del tipo Lik con i≠k esprimono l’interferenza tra due processi irreversibili.  Ogni forza generalizzata può quindi dare origine ad ogni tipo di flusso generalizzato. Si può dimostrare che valgono le seguenti relazioni fondamentali, dette Relazioni di Reciprocità di Onsager  In altre parole quando il flusso Ji, corrispondente al processo irreversibile i, è influenzato dalla forza Xj del processo irreversibile j, allora anche il flusso Jj è influenzato dalla forza Xi secondo lo stesso ik ki coefficiente Lij. L =L Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 14
  • 15. Relazioni di Reciprocità di Onsager    L’importanza di queste relazioni sta nella loro generalità; Esse sono state sottoposte a molte verifiche sperimentali e la loro validità ha dimostrato come la termodinamica di non-equilibrio, come del resto anche la termodinamica dell’equilibrio, conduca a risultati del tutto generali indipendenti da ogni modello molecolare specifico; Vediamo ora un esempio di applicazione delle relazioni di reciprocità che ci porterà ad un altro importante risultato della termodinamica dei processi irreversibili.      Supponiamo di avere un sistema composto da due recipienti connessi tramite un capillare o una membrana; Si mantenga fa i due recipienti una differenza di temperatura; Nel sistema agiscono allora due forze generalizzate, Xk e Xm, corrispondenti alle differenze di temperatura e di potenziale chimico fra i due recipienti; Il sistema raggiunge uno stato nel quale scompare il trasporto di materia (J m = 0) mentre continua il trasferimento di energia fra le due fasi a differente temperatura; Diremo allora che il sistema ha raggiunto uno stato stazionario di non-equilibrio. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 15
  • 16. Stati stazionari  Consideriamo ora la produzione di entropia: di S = Jk X k + Jm X m > 0 dt  Le relazioni fenomenologiche sono in questo caso: J k = L11 X k + L12 X m J m = L21 X k + L22 X m  Per le relazioni reciproche di Onsager, L12=L21 quindi: di S 2 = L11 X k2 + 2 L21 X k X m + L22 X m > 0 dt Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 16
  • 17. Stati stazionari  Consideriamo ora la derivata della produzione di entropia rispetto a Xm, a Xk costante: ∂  di S    = 2( L12 X th + L22 X m ) = 2 J m = 0 ∂X m  dt   Abbiamo pertanto due condizioni equivalenti che permettono di definire la stabilità dello stato stazionario: ∂  di S    = 0, J m = 0 ∂X m  dt   Dato che la produzione di entropia è un’espressione quadratica positiva per definizione, tali condizioni corrispondono al minimo nella velocità di Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica produzione dell’entropia. Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 17
  • 18. Il Teorema della Minima Produzione di Entropia  Il teorema della minima produzione di Entropia esprime un tipo di proprietà “inerziale” dei sistemi lontani dall’equilibrio;  Quanto determinate condizioni al contorno impediscono al sistema il raggiungimento dell’equilibrio termodinamico, cioè della condizione di produzione nulla di entropia, allora il sistema si stabilizza nello stato di minima dissipazione;  Questa proprietà vale esattamente solo per stati del sistema non troppo lontani dall’equilibrio (equilibrio locale);  In condizioni molto lontante dall’equilibrio il comportamento termodinamico può essere completamente diverso e persino opposto a quello previsto dal teorema di minima produzione Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 d’entropia. 18
  • 19. Sistemi dissipativi  I sistemi conservativi sono soltanto un’idealizzazione; spesso si ha a che fare con sistemi dissipativi, nei quali l’energia, a causa dell’attrito, viene dispersa in calore Es. il pendolo che si ferma a causa dell’attrito  I sistemi dissipativi sono caratterizzati dal fatto che le orbite di fase che partono da condizioni iniziali anche molto diverse finiscono per giungere tutte in un determinato insieme di stati detto attrattore. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 19
  • 20. Le Strutture Dissipative    É notevole che questo comportamento inaspettato fosse già stato osservato in normali situazioni studiate dall’idrodinamica classica; Un esempio di questo tipo di fenomeno è dato dalla classica “Instabilità di Bénard”; L’instabilità di Bénard è relativa all’insorgere di moti convettivi in un fluido compreso fra due lamine con un gradiente di temperatura costante ∆T. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 20
  • 21. Le Strutture Dissipative Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 21
  • 22. Le Strutture Dissipative  Questo fenomeno evidenzia che il non-equilibrio può risultare sorgente di ordine;  È interessante notare che il principio d’ordine di Boltzmann assegnerebbe probabilità quasi nulla all’accadimento della convezione di Bénard;  Ogni volta che si producono nuovi stati coerenti lontani dall’equilibrio, viene meno l’applicabilità della teoria delle probabilità così come è implicata nella termodinamica statistica di equilibrio;  Nel caso della convezione di Bénard si può immaginare che esistano sempre delle piccole correnti di convezione che paiono fluttuazioni dallo stato medio:  al di sotto di un certo valore critico del gradiente di temperatura queste fluttuazioni vengono smorzate e scompaiono ...  ...al si sopra di questo valore critico, invece, certe fluttuazioni sono amplificate e danno vita ad una corrente macroscopica.  Si produce così un nuovo ordine molecolare che corrisponde essenzialmente ad una fluttuazione gigante stabilizzata dallo scambio di energia col mondo esterno;  Questo è l’ordine caratterizzato dalla presenza di quelle che Prigojine e collaboratori hanno chiamato “strutture dissipative”. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 22
  • 23. Le Strutture Dissipative  Una discussione approfondita di questi aspetti richiederebbe un trattamento approfondito dei concetti di stabilità termodinamica;  In questa introduzione ci limitiamo ad evidenziare che lo sviluppo della teoria della termodinamica dei processi irreversibili individua una differenza fondamentale fra le leggi per sistemi in equilibrio e per sistemi lontani dall’equilibrio;  Le leggi dell’equilibrio sono universali;  Il comportamento lontano dall’equilibrio, invece, può diventare assai specifico (anche se non mancano anche in questo caso una serie di comportamenti invarianti e quindi universali);  I concetti di stabilità termodinamica portano direttamente allo studio dei sistemi dinamici, in cui il gioco svolto dalla non-linearità diventa essenziale;  Un caso molto interessante di sistema lontano dall’equilibrio è costituito Giovanni Della Lunga - Corso di già accennato; dalle reazioni chimiche oscillanti, alle quali abbiamo Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 23
  • 24. Non Linearità e Caos Deterministico  Il comportamento caotico di un sistema è spesso erroneamente attribuito solo alla sovrapposizione di una moltitudine di forze stocastiche.  Un esempio classico è il moto browniano di una particella sottoposta agli urti delle molecole del solvente in cui è immersa.  Ma non è sempre così.  E' noto, e Poincarè ne era ben cosciente, che equazioni differenziali non lineari, che per alcune scelte dei parametri producono moti ordinati, possono, per altri valori dei parametri, generare comportamenti che non si ripetono mai.  Questo tipo di Caos generato da un oggetto così rigido e deterministico come un'equazione differenziale prende appunto il nome di caos deterministico. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 24
  • 25. Determinismo e Predicibilità  Senza dubbio una delle maggiori scoperte scientifiche degli ultimi venti anni è rappresentata dal fatto che in certe condizioni sistemi non lineari deterministici possono manifestare un comportamento aleatorio.  Un'apparente paradosso è che il caos è deterministico, cioè è generato da regole fisse che di per sé non contengono alcun elemento casuale.  E' importante infatti sottolineare il fatto che il comportamento dei sistemi caotici non è intrinsecamente indeterministico.  In verità si può dimostrare matematicamente che le condizioni iniziali sono sufficienti a fissare l'intero comportamento futuro del sistema in maniera esatta ed univoca.  Il problema insorge quando cerchiamo di specificare Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica condizioni iniziali. Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 quelle 25
  • 26. Determinismo e Predicibilità  In pratica non possiamo mai conoscere esattamente lo stato iniziale di un sistema.  Per quanto raffinate siano le nostre osservazioni, sarà sempre presente un qualche errore.  La questione concerne l'effetto che questo errore ha sulle nostre predizioni.  E' qui che entra in gioco la distinzione cruciale fra evoluzione dinamica caotica e ordinaria.  Nel caso dei sistemi non lineari le indeterminazioni sulle condizioni vengono amplificate in maniera esponenziale con il passare del tempo fino a che il comportamento del sistema appare del tutto imprevedibile. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 26
  • 27. Determinismo e Predicibilità  Esempio  Consideriamo il moto di una singola particella puntiforme che salta bruscamente da un punto ad un altro lungo una linea.  Supponiamo anche che il moto sia deterministico, cioè assegniamo una regola precisa che permetta di stabilire univocamente la posizione della particella una volta che sia assegnata la posizione occupata all'istante immediatamente precedente.  La regola è la seguente: si consideri il segmento di linea compreso fra 0 ed 1 per semplicità, indicando con xt la posizione all'istante generico t avremo  2 x t −1 se x t −1 < 0.5 xt =  2 x t −1 - Corso di > 0.5 Giovanni Della Lunga− 1 se x t −1 Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 27
  • 28. Determinismo e Predicibilità   A dispetto della sua semplicità questo algoritmo genera un comportamento talmente ricco, complesso ed irregolae da risultare completamente imprevedibile. Nella maggior parte dei casi, infatti, la particella salta avanti ed indietro in modo apparentemente casuale. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 28
  • 29. Determinismo e Predicibilità  Per dimostrarlo conviene usare i numeri binari.  Se si rappresenta l'intervallo da 0 ad 1 con una linea possiamo immaginare due celle indicate con S e D per gli intervalli sinistro e destro e assegnare ciascun numero ad S oppure a D a seconda che la sua espressione binaria inizi con 0 oppure 1.  L'algoritmo di raddoppiamento fa si che la particella salti avanti e indietro fra S e D.  Supponiamo di iniziare con il numero 0.011010001 che corrisponde ad un punto della cella di sinistra perché la prima cifra dopo il punto decimale è 0.  La particella si trova quindi inizialmente in S. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 29
  • 30. Determinismo e Predicibilità  Quando viene raddoppiato il numero diventa 0.11010001, che si trova a destra: la particella salta quindi in D.  Raddoppiando di nuovo si ottiene 1.1010001 ma il nostro algoritmo richiede di eliminare l'1 davanti al punto decimale. La prima cifra dopo il punto decimale è 1, così che la particella rimane in D.  Continuando in SDDSDSSSD.  Risulta chiaro da quanto sopra che il destino della particella (che essa si trovi in S o in D) all'n-esimo passaggio dipenderà dal fatto che l'n-esima cifra sia uno 0 o un 1. questo modo si genera la Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 sequenza 30
  • 31. Determinismo e Predicibilità  Due numeri identici fino all'n-esimo posto decimale, ma che differiscono per la cifra n+1 genereranno la stessa sequenza di salti fra S e D per n passaggi ma assegneranno poi la particella a celle diverse al passaggio successivo.  In altre parole, due numeri iniziali molto vicini, corrispondenti a due punti sulla linea molto vicini produrranno sequenze di salti che, alla fine, potranno essere molto diverse.  Si capisce quindi perché il moto della particella non è predicibile. A meno che la posizione iniziale della particella non sia conosciuta esattamente, l'incertezza aumenterà sempre più e alla fine non saremo più in grado di fare previsioni.  Ad esempio se conosciamo la posizione iniziale della particella con un'accuratezza di 20 cifre decimali binarie, non saremo in grado di predire se essa si troverà nella metà di sinistra o in quella di destra dell'intervallo dopo venti salti. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 31
  • 32. Determinismo e Predicibilità   Poichè una specificazione precisa della posizione iniziale richiede un'espansione decimale infinita, qualunque errore condurrà prima o poi, ad una deviazione fra il comportamento previsto e quello reale. L'effetto dei ripetuti raddoppiamenti è quello di estendere ad ogni passaggio l'ampiezza dell'indeterminazione (la cui crescita è esponenziale), così che per quanto piccola sia l'indeterminazione iniziale, l'incertezza sarà alla fine maggiore dell'ampiezza dell'intero intervallo, con la conseguente perdita totale di qualsiasi potere di previsione.  La storia della nostra particella quindi, benché completamente deterministica, è talmente sensibile alle condizioni iniziali che qualsiasi indeterminazione relativa a questa informazione, per quanto piccola, è sufficiente a distruggere la capacità di previsione dopo un numero finito di salti.  In questo senso quindi il comportamento della particella mostra una complessità infinita. Per descrivere compiutamente la storia della particella sarebbe necessario specificare una successione infinita di cifre contenente una quantità di informazione infinita. Nella pratica questo, ovviamente, non è possibile. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 32
  • 33. L'Insorgere del Caos  Il caos deterministico dei sistemi dinamici non lineari non è quindi l'analogo del caos nel senso letterale di completa disorganizzazione e casualità.   Il più ampio quadro concettuale dal quale il caos emerge è la teoria dei sistemi dinamici. Un sistema dinamico si compone di due parti:    Il caos non lineare si riferisce ad un tipo di casualità che possiamo definire vincolata e che, come vedremo più avanti, può essere associata con la geometria frattale. la caratteristiche del suo stato (cioè le informazioni essenziali sul sistema)... ... e la dinamica (una regola che descrive l'evoluzione dello stato nel tempo). L'evoluzione di un sistema può essere visualizzata in uno spazio delle fasi, in ogni caso i sistemi che noi andremo a considerare possiedono le seguenti caratteristiche:   esiste un parametro controllabile dal quale dipende il comportamento del sistema; il sistema è dissipativo, cioè al cessare di una eventuale perturbazione esterna, il sistema ritorna allo stato fondamentale dopo un tempo di rilassamento caratteristico. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 33
  • 34. L'Insorgere del Caos     Un buon esempio di sistema dinamico è offerto dall'equazione di evoluzione del livello di popolazione di una specie in un ambiente competitivo. Studieremo questo esempio sfruttando una rappresentazione discreta del sistema. L' equazione di evoluzione in una rappresentazione discreta é chiamata mappa e l'evoluzione stessa è descritta tramite un processo di iterazione della mappa, cioè applicando ripetutamente l'operazione di mapping ai punti generati ad ogni livello. Pertanto un'iterazione della forma xk → xk +1 = f ( xk ) dove f trasforma l'intervallo [0, 1] in se stesso, é interpretata come una versione in tempo discreto di un sistema dinamico continuo. In genetica ad esempio xk potrebbe descrivere il cambio nella frequenza dei geni fra generazioni successive; in epidemiologia la variabile xk potrebbe Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica indicare la frazione di popolazione infetta al tempo k , etc. Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 34
  • 35. L'Insorgere del Caos  Consideriamo il mapping più semplice, chiamato anche relazione di ricorrenza, in cui una popolazione xk di organismi per unità di area alla k-esima generazione é direttamente proporzionale alla popolazione nella precedente generazione con una costante di proporzionalità λ : xk = λxk −1   k = 1, 2 ,..... La costante di proporzionalità è data dalla differenza fra frequenza delle nascite e la frequenza dei decessi ed è pertanto frequenza netta di riproduzione della popolazione in esame che seguito chiameremo semplicemente tasso di riproduzione. L'equazione precedente conduce alla crescita esponenziale Maltus. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 la la in di 35
  • 36. L'Insorgere del Caos    Un modello più realistico consiste nel riconoscere che la crescita della popolazione non può essere illimitata. Svariati fattori, fra i quali senz'altro il più importante è dato dalla disponibilità di risorse alimentari, limitano la crescita della popolazione alterando il tasso di riproduzione. In particolare quest'ultimo parametro si assume che diminuisca in modo lineare con l'aumento della popolazione; si pone cioè:  x  λ → λ ( xk ) = λ 1 − k   Θ  dove Θ é il livello di saturazione della popolazione. Pertanto la relazione ricorrenza lineare è sostituita da una relazione discreta non lineare chiamata equazione logistica:  xk  xk +1 = λ xk 1 −  Giovanni Della Lunga  Corso di Chimica - Θ Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 36
  • 37. L'Insorgere del Caos   Vediamo alcune caratteristiche interessanti di questa equazione. Consideriamo la funzione continua f ( x ) = 4 λx (1 − x ) con x appartenente all'intervallo [0,1].  Per λ positivo e minore o uguale ad 1, questa funzione descrive una mappa xk +1 = 4λ xk (1 − xk ) = f ( xk ) che assegna ad ogni punto xk dell'intervallo unitario un altro punto xk+1 appartenente allo stesso intervallo.  La condizione λ ≤ 1 serve per assicurare che f(x ), come x stesso, appartenga k k Giovanni all'intervallo [0,1]. Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 37
  • 38. L'Insorgere del Caos    Né la forma esatta della funzione né la restrizione per la variabile x all'intervallo [0,1] minano la generalità delle conclusioni alle quali giungeremo. Tracciamo il grafico di f per λ = 0.7 si tratta di una parabola che si annulla per x = 0 e x = 1 ed ha un massimo pari a λ per x = 0.5 . Usando questo grafico possiamo studiare l'iterazione della mappa partendo da un'arbitraria condizione iniziale x0 . Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 38
  • 39. L'Insorgere del Caos   L'iterazione converge a x* che è il punto di intersezione del grafico di f con la diagonale, indipendentemente dal punto di partenza x0 , con due eccezioni : 0 ed 1. Scegliendo x = 0 o x = 1 troviamo un punto fisso stabile cioè un attrattore. Scegliendo l'intervallo aperto ]0,1[ troviamo che il punto fisso x* verso cui converge qualunque traiettoria a partire da x0 , é anch'esso un punto fisso o attrattore. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 39
  • 40. L'Insorgere del Caos    La curva f(x) dipende dal valore del parametro λ che è, come abbiamo visto , il massimo valore di f. Variando λ, modifichiamo la curva il che può avere conseguenze decisive sul futuro dell'iterazione. Consideriamo ad esempio λ = 0.8 . Adesso il punto fisso x* è instabile in quanto la pendenza della tangente in questo punto è maggiore di 1 in valore Giovanni Della assoluto. Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 40
  • 41. L'Insorgere del Caos  La costruzione grafica mostra che questa mappa ha due punti particolari x*1 e x*2 tali che: x*2 = f(x*1) x*1 = f(x*2)   In altri termini, l'iterazione alterna un punto con l'altro. A partire da uno di questi punti dobbiamo iterare due volte per tornare in esso. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 41
  • 42. L'Insorgere del Caos  I due punti costituiscono un attrattore di periodo 2. Dato che ∗ ∗ ∗ x1 = f ( x2 ) = f ( f ( x1 )) ∗ ∗ ∗ x2 = f ( x1 ) = f ( f ( x2 )) questi due punti (che non sono punti fissi di f ), sono punti fissi della funzione: g ( x ) = f ( f ( x )) = f 2 ( x )  Uno studio più dettagliato mostra che si passa in maniera continua dalla prima situazione alla seconda aumentando il valore di λ. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 42
  • 43. Attrattori Spazio delle fasi di un pendolo senza attrito Spazio delle fasi di un pendolo con attrito attrattore Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 43
  • 44. L'Insorgere del Caos  La transizione avviene al valore di soglia λ = 0.75.    Per questo valore il punto fisso di f diventa instabile corrispondentemente appaiono due punti fissi stabili per f 2. e Un attrattore di periodo 2 prende il posto dell'attrattore di periodo 1. Che cosa accade se continuiamo ad incrementare λ ?  Il grafico di f ed gradualmente cambia in maniera tale che i punti fissi di finiscono anch'essi per perdere la loro stabilità.  Sia x*1 che x*2 divengono instabili per 1+ 6 λ= = 0. 86237... 4 al disopra di questo valore g non - Corso di stabili. Giovanni Della Lunga ha punti fissi Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 44
  • 45. L'Insorgere del Caos  La funzione h ( x ) = g ( g ( x )) = f 4 ( x )  per λ = 0.875 ha adesso quattro punti fissi stabili. Continuando ad aumentare λ lo stesso fenomeno si verificherà ad infinitum , vedremo così una cascata di biforcazioni ciascuna delle quali sarà accompagnata da un raddoppiamento del periodo associato con una instabilità Giovanni subarmonica. Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 45
  • 46. L'Insorgere del Caos    All'aumentare di λ osserviamo una successione di attrattori di periodo 2n. Come si vede variando il parametro critico oltre la zona dei raddoppiamenti di periodo, entriamo in una regione in cui ogni periodicità è assente e il comportamento del sistema appare erratico ed imprevedibile; lo scenario descritto rappresenta una delle possibili transizioni al caos. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 46
  • 47. L'Insorgere del Caos   Negli anni '70 M. Feigenbaum ha scoperto che una larga classe di sistemi non lineari manifesta modalità analoghe di transizione al caos, inoltre tale transizione risulta controllata da parametri misurabili. In particolare  il parametro di convergenza è universale, cioè è indipendente dalla natura fisica del particolare sistema in esame che subisce una transizione al caos seguendo la strada dei raddoppiamenti di periodo: ∆i lim = δ = 4.6692... i →∞ ∆ i +1  la scala relativa delle ampiezze di biforcazione è universale, cioè: εi lim = α = 2. 5029... i →∞ ε i +1  Biforcazioni e comportamenti caotici sono stati identificati in numerosissimi Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica sistemi di interesse biologico e fisico. Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 47
  • 48. L'Insorgere del Caos  Giunti a questo punto è utile porsi una domanda: c'è una differenza osservabile, oltre che concettuale, fra il caos stocastico e il caos deterministico?  Sì, ed è fondamentale! Nel primo caso la stocasticità delle fluttuazioni fa vagare il sistema su di una porzione di spazio delle fasi che ha la dimensionalità N di tutto lo spazio e non vincola il moto su un insieme di dimensioni inferiori.  Invece nel caos deterministico il luogo asintotico verso cui tendono condizioni iniziali distinte, l'attrattore, ha dimensioni D minori di N (questo lo impone la condizione di dissipazione) ma maggiori di quelle associate a moti ordinati (per un punto fisso D=0, un ciclo limite ha D=1 ).  In generale gli attrattori verso cui evolve lo stato di un sistema dinamico in condizioni di moto caotiche hanno una dimensione non intera; le strutture geometriche caratterizzate dal possedere dimensioni non intere vengono dette strutture frattali. Della Lunga - Corso di Chimica Giovanni Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 48
  • 49. Strani Attrattori  Come abbiamo già accennato, gli attrattori dei sistemi dissipativi non lineari devono possedere due caratteristiche apparentemente contraddittorie.    Da un lato due orbite corrispondenti a condizioni iniziali prossime divergono con velocità esponenziale e quindi restano vicine fra loro soltanto per breve tempo … dall'altro il volume di spazio occupato dall'attrattore deve avere un volume finito a causa della condizione di dissipatività. La chiave per interpretare il comportamento caotico risiede nella comprensione di una semplice operazione di stiramento e piegatura che ha luogo nello spazio delle fasi.  La divergenza esponenziale deve essere un fenomeno locale: dal momento che la dimensione degli attrattori è finita, due orbite situate su un attrattore caotico Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica non possono continuare a divergere esponenzialmente per sempre. Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 49
  • 50. Strani Attrattori   Ne segue che l'attrattore deve piegarsi su se stesso. Benché le orbite divergano e seguano strade sempre più diverse prima o poi devono passare di nuovo una accanto all'altra. Le orbite situate su un attrattore caotico vengono mescolate esattamente come un fornaio impasta il pane.    Ci si può immaginare ciò che accade alle traiettorie vicine su un attrattore caotico versando nella pasta una goccia di colorante blu. L'impastatura è una combinazione di due azioni: lo stendimento della pasta che fa diffondere il colorante e il ripiegamento della pasta su se stessa. Il caos agisce allo stesso modo ma, naturalmente, invece di mescolare pasta mescola lo spazio delle fasi. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 50
  • 51. Strani Attrattori  Quando si compiono osservazioni su un sistema fisico è impossibile determinare esattamente lo stato del sistema a causa degli inevitabili errori di misurazione.  Quindi lo stato del sistema non è situato in un unico punto bensì all'interno di una piccola regione dello spazio delle fasi.  La piccola regione determinata da una misurazione corrisponde alla chiazza di colorante blu nell'impasto.  L'aleatorietà delle orbite caotiche è quindi conseguenza di questo processo di mescolamento. Il processo di stiramento e piegatura avviene più volte e produce pieghe dentro altre pieghe, all'infinito.  In altre parole un attrattore caotico è un frattale, cioè un oggetto che rivela particolari sempre più numerosi via via che viene ingrandito. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 51
  • 52. Attrattori strani - Proprietà Un attrattore A è definito come un insieme compatto nello spazio delle fasi con queste proprietà: • A non ha volume nelle n dimensioni dello spazio delle fasi • A è contenuto in un dominio B di volume non nullo che costituisce il suo bacino di attrazione • A possiede la proprietà di autosomiglianza (self similarity) Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 52
  • 53. Attrattori strani - Proprietà Tre importanti caratteristiche degli attrattori sono: • • • La perdita di memoria delle condizioni iniziali La contrazione delle aree. Le traiettorie di fase non si intersecano  La perdita di memoria delle condizioni iniziali Una volta scomparso il transiente e raggiunto il limite asintotico rimane solo una traiettoria, non è quindi possibile risalire alle condizioni iniziali date. L’informazione è irrimediabilmente perduta. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 53
  • 54. Attrattori strani - Proprietà  La contrazione delle aree A causa della dissipazione l’iterazione della funzione contrae i volumi. La variazione infinitesima di un volume nello spazio delle fasi è data dalla derivata di Lie: g 1 dV ∂ Xi =∑ V dt i =1 ∂X i uu r X ∈ Rn n Nei sistemi dissipativi questa quantità è negativa e misura la velocità di contrazione. Per sistemi Hamiltoniani (o conservativi) il volume è conservato. g ∂ Xi =0 ∑ ∂X Giovanni i =1 i n Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 54
  • 55. Attrattori strani - Proprietà  Le traiettorie di fase non si intersecano Questa è una conseguenza che deriva dalla natura deterministica dei sistemi dinamici presi in esame. Infatti se presa una condizione iniziale potessimo individuare due traiettorie cadremo in contraddizione con l’idea deterministica che mi permette di descrivere il sistema con un numero finito di equazioni differenziali ordinarie. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 55
  • 56. Mappa di Henon La mappa di Henon è una mappa del piano che pur essendo non lineare è invertibile inoltre è un modello a tempo discreto. T : ( x, y ) → ( x ', y ') X k +1 = Yk +1 −α X k2 k = 1,..., n Yk +1 = β X k  α costante usata per il controllo della non linearità  β costante per il controllo della dissipazione N.B. A differenza delle mappe unidimensionali, nonostante l’invertibilità la Mappa di Henon è in Corso di Chimica Giovanni Della Lunga - grado di generare sequenze di punti del piano che hanno andamenti tipicamente caotici. Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 56
  • 57. Il significato statistico dell’Entropia Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 57
  • 58. Mappa di Henon Per una mappa a tempo discreto, come la mappa di Henon, le derivate di Lie possono essere sostituite dallo Jacobiano:  ∂X k +1   ∂X k J = det  ∂Y  k +1  ∂X k  β <1 ∂X k +1  ÷ ∂Yk ÷  −2α X k = det  ÷ ∂Yk +1  β ÷ ∂Yk ÷  1 ÷ = −β 0 Area ( K + 1) = Ao β k Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 58
  • 59. Instabilità, biforcazioni & catastrofi  Nei punti in cui il sistema mostra zone di instabilità una piccola perturbazione ambientale agisce indirizzando il sistema verso nuove forme di ordine, dette catastrofi o biforcazioni Questo comportamento è tipico dei sistemi aperti lontani dall’equilibrio Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 59
  • 60. Dimensioni Frattali   Le strutture frattali sono spesso esisto di dinamiche non lineari caotiche; ciononostante la matematica dei frattali si è sviluppata indipendentemente da quella delle dinamiche non lineari e anche oggi le connessioni fra le due discipline non sono del tutto definite. Le strutture frattali hanno una regolarità geometrica soggiacente detta invarianza rispetto al cambiamento di scala o autosomiglianza. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 60
  • 61. Dimensioni Frattali  Se si esaminano questi oggetti a scale diverse si incontrano sempre gli stessi elementi fondamentali.  L'essere composto da dettagli autosimili a qualsiasi ingrandimento fa sì che il frattale non abbia lunghezza definita.  Se si prova a misurare la lunghezza di un frattale con un righello, costruito in base ad una data unità di lunghezza, alcuni dettagli saranno comunque più piccoli di quanto l'unità di misura possa misurare.  Pertanto al crescere della risoluzione la lunghezza di un Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica frattale aumenta. Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 61 2003/2004
  • 62. Dimensioni Frattali  Dato che per i frattali la lunghezza non è un concetto significativo, i matematici calcolano la dimensione frattale per quantificare quanto spazio venga occupato da essi.    Partiamo da un segmento di lunghezza 1 e dividiamolo in 3 tratti. Asportiamo la parte centrale e ripetiamo l'operazione nei tratti residui. Continuando così costruiremo l'insieme di Cantor; se invece rimpiazzamo la parte centrale con gli altri due lati di un triangolo equilatero e continuiamo così otteniamo la curva di Kock. Ricopriamo adesso ciascuno di questi oggetti con N cerchi di raggio r dove r è tale da assicurare che non si perda risoluzione ad ogni passo della partizione. All'aumentare del numero di partizioni, la dimensione frattale D definita come log N D = lim r→ 0 log(1 / r ) è un invariante.  Vediamo ora qual'è la connessione che intercorre fra Caos e frattali. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 62
  • 63. Geometria frattale Gli oggetti della natura (alberi, montagne, nuvole, foglie, felci etc. ) sono tutti caratterizzati da un carattere irregolare e non possono essere studiati usando le proprietà della geometria euclidea (rette, poligoni, cerchi). Questo ha giustificato l'introduzione di un nuovo tipo di geometria da parte del matematico Benoit B. Mandelbrot (1982): la geometria frattale . Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 63
  • 64. Geometria frattale Passo 0 Come figura di partenza, si considera l'intervallo [0,1]. f 1 Passo 1 Passo 2 Passo 3 f 4 L'intervallo viene diviso in tre parti di uguale ampiezza. La parte centrale viene soppressa ed al suo posto vengono inseriti due lati di un triangolo equilatero. Si ottiene così la figura accanto. La stessa costruzione si ripete per ognuno dei quattro segmenti che formano la figura precedente. Nello stesso modo si procede per ognuno degli 12 segmenti della figura del passo 2. Andando avanti nella costruzione, la figura risulta sempre più frastagliata ed il numero dei lati cresce in maniera esponenziale. La lunghezza della curva, al crescere del numero delle iterazioni tende a diventare infinita, mentre l'area racchiusa tende ad un valore finito. Il risultato finale è quello della figura 1. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 Passo 4 64
  • 65. Geometria frattale Dare una definizione soddisfacente di questi stranissimi enti matematici non è affatto facile: inizialmente non ci è riuscito nemmeno il loro scopritore! In prima approssimazione possiamo affermare che una curva si dice frattale se ha la proprietà dell'autosimilitudine: ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizza un insieme di particolari altrettanto ricco e complesso del precedente; questo procedimento di "zoom" può proseguire all'infinito. Da ciò derivano due curiose caratteristiche delle curve frattali:  pur essendo continue non ammettono una tangente unica in alcun punto;  presi due punti della curva, anche vicinissimi tra loro, la distanza fra essi (misurata lungo la curva) è sempre infinita. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 65
  • 66. Geometria frattale Domanda: quanto è lunga la costa della Sardegna? La risposta dipende dalla scala alla quale viene fatta la misurazione: una valutazione sommaria fornisce un risultato relativamente basso che però cresce a dismisura se si inizia a prendere in considerazione ogni più piccolo promontorio, ogni anfratto, ogni scoglio, ogni granello di sabbia. Mandelbrot Benoit Insomma un tratto di costa può essere visto come un tratto di curva frattale. In realtà i frattali sono in grado di rappresentare egregiamente una gran varietà di oggetti e fenomeni della Natura: non solo un tratto di costa ma anche i rami o le radici di un albero, una nuvola, le ramificazioni di un fulmine e la dentellatura di una foglia ne Giovanni sono alcuni esempi. Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 66
  • 67. Geometria frattale - Dimensione Definizione per Hausdorff-Besicovitch della dimensione frattale ln N (ε ) D = lim ε →0 1 ln  ÷ ε  ε Dimensione lineare del cubo ε Ν È il minor numero di ipercubi necessario per ricoprire l’insieme Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 67
  • 68. Geometria frattale - Dimensione Analizziamo ora la dimensione del frattale più classico e studiato: l’insieme C di Cantor. Questo insieme è costituito dai punti che “rimangono” sul segmento [0;1] dopo che da questa è stato asportato (prima iterazione, p=1) il terzo centrale (1/3; 2/3), e da ognuno dei due segmenti risultanti [0;1/3] e [2/3;1] è stato asportato il terzo centrale, esclusi gli estremi, e così via per infinite iterazioni. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 68
  • 69. Geometria frattale - Dimensione Prendendo inizialmente un segmento unitario, che, essendo della stessa lunghezza del segmento di partenza, lo copre al meglio; dopo la p=1, i due segmenti rimanenti sono “misurati” da N(ε)=2 segmenti di ε= 1/3; in generale, dopo p iterazioni, N(ε)=2p e ε = (1/3)p. Da questo si ricava che N =1, ε =1 N = 2, ε = 1 3 N = 22 , ε = 1 32 Df(C)=ln 2p / ln (3) p = ln - Corso di Chimica Giovanni Della Lunga 2 / ln 3 ≈ 0,6309… Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 69
  • 70. Geometria frattale - Dimensione Consideriamo per esempio la curva di Von Koch, nata come esempio di curva priva di tangente in alcun punto. 1 p = 1, N = 4, ε = 3 1 p = 2, N = 4 , ε = 2 3 2 1 p = 3, N = 2 , ε = 3 3 3 Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Per questaFisicaDf(K) = ln 4 Fisica e NT – p → ∞, mentre la sua curva – CdL in / ln 3=1,26, per A.A. lunghezza 2003/2004 è evidentemente (4/3)p 70
  • 71. Geometria frattale - Dimensione Secondo una definizione di Mandelbrot, un insieme X si definisce frattale se la sua dimensione di Hausdorff, h(X), non è intera. Attrattore di Henon dimensione di Hausdorff = 1,26 Attrattore di Lorenz dimensione di Hausdorff = 2,06 Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 71
  • 72. L’Entropia di Kolmogorov L’entropia di Kolmogorov K è una delle più importanti misure attraverso la quale è possibile caratterizzare un moto caotico ed il comportamento dinamico degli strani attrattori. Il valore K rappresenta quanto è caotico un sistema dinamico, ed è proporzionale alla velocità della perdita di informazione sullo stato del sistema dinamico. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 72
  • 73. L’Entropia di Kolmogorov Suddividiamo lo spazio delle fasi di dimensione d in ipercubi tutti di lunghezza lineare l , lo stato del sistema viene misurato ad intervalli di tempo τ. N K n = −∑ Pi log Pi i =0 Pi Probabilità che al tempo t+iτ il sistema si trovi nel ipercubo i di lunghezza l. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 73
  • 74. L’Entropia di Kolmogorov Per Shannon la quantità Kn è proporzionale alla quantità di informazione necessaria a localizzare il sistema su una traiettoria con una precisione pari ad l. L’entropia di Kolmogorov indica la velocità media di perdita di informazione del sistema e viene così definita: N → ∞; τ → 0; l → 0. 1 N −1 1 N −1 K= ∑( K n+1 − K n ) = − Nτ ∑ Pi log Pi Nτ n =0 =0 Giovanni Della Lunga - Corso di iChimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 74
  • 75. L’Entropia di Kolmogorov  Se il moto risulta regolare (traiettorie adiacenti rimangono adiacenti) K= 0.  Se il moto risulta caotico (traiettorie adiacenti si allontanano esponenzialmente) K= λ >0.  Se il moto risulta randomizzato (traiettorie adiacenti sono distribuite con la stessa probabilità su tutto l’intervallo a disposizione) K= ∞ Della Lunga - Corso di Chimica Giovanni Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 75
  • 76. Bibliografia  I. Prigogine   Paul Davies   Dall’Essere al Divenire, Einaudi Il Cosmo Intelligente, Arnoldo Mondadori Editore. F. Hofstadter  Strani Attrattori, Schemi Matematici Collocati fra l'Ordine e il Caos, Le Scienze, n. 162, (febbraio 1982), 96-105. Giovanni Della Lunga - Corso di Chimica Fisica – CdL in Fisica e NT – A.A. 2003/2004 76