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Giovanni Della Lunga
Università degli Studi di Bologna

Il capitano dice al mozzo di
bordo: “giovanotto, io non vedo
nient...
Modelli di Value-at-Risk con VBA
RiskmetricsTM e CreditmetricsTM

Introduzione a RiskMetrics
Il mapping dei flussi
Integra...
Come si calcola il VaR


Il calcolo del capitale a rischio nella metodologia VaR richiede
i seguenti passi :
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Come si calcola il Value-at-Risk


In condizioni di elevata liquidità dei mercati finanziari e supponendo
che le posizion...
Come si calcola il Value-at-Risk

L’approccio delta-normal
Valore Posizione

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DEaR = Vx ×
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Sensitività
Volatilità...
Come si calcola il Value-at-Risk


Ferma restando l’ipotesi di normalità, quando la misura del rischio
avviene su un oriz...
Risk Metrics


Un’applicazione della metodologia VAR è consentita
dall’utilizzo del prodotto RiskMetrics™ che la JP Morga...
Come si calcola il VaR

Obbligazioni


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Supponiamo di detenere una posizione in Euro pari a 46.6 Milioni in
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Come si calcola il VaR

Obbligazioni


Supponendo che la “modify duration” sia pari a 9.26 e
che il tasso di rendimento a...
Come si calcola il VaR: Azioni


Il VAR di un titolo azionario è definito come il prodotto del valore di
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Come si calcola il VaR: Azioni


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Come si calcola il VaR: Opzioni


In prima approssimazione si assume che l’opzione possa essere
descritta in termini di “...
Come si calcola il VaR: Opzioni


Possiamo rendere l’approssimazione più precisa includendo
anche il fattore Γ; in questo...
Come si calcola il VaR:
correlazione fra fattori di rischio


In generale, il DEaR di un portafoglio costituito da N tito...
Come si calcola il VaR:
correlazione fra fattori di rischio


Anche nel caso in cui i fattori di rischio siano più di uno...
Come si calcola il VaR:
correlazione fra fattori di rischio


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Il mapping dei flussi
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il mapping dei flussi
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I flussi dei diversi mercati devono essere ripartiti su un numero limitat...
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

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

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

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Il mapping dei flussi


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necessarie anche le vo...
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

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Il mapping dei flussi
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Database e DBMS


La maggior parte dei sistemi informativi non si affida direttamente al
File System ma ad uno strumento ...
Il linguaggio SQL


Visual Basic come del resto Access si appoggia su
un motore per Database Relazionali chiamato
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L’istruzione SELECT


Il linguaggio SQL fornisce un’istruzione flessibile e potente
per interrogazioni su tabelle: l’istr...
L’istruzione SELECT




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L’istruzione INSERT INTO


Il comando INSERT INTO consente
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L’istruzione UPDATE


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Visual Basic & Database
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L’oggetto RECORDSET


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L’oggetto RECORDSET


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L’oggetto RECORDSET


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completa disposizione. I record contenuti i...
L’oggetto Recordset


Metodi per la navigazione


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

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

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il record corrente diventa l’ultimo del...
Esempio
Esempio
Programmazione
Programmazione
VBA
VBA

Il mapping dei Flussi
Il mapping dei Flussi
Modelli di Value-at-Risk con VBA
RiskmetricsTM e CreditmetricsTM

Introduzione a RiskMetrics
Il mapping dei flussi
Integra...
Funzione Caratteristica


la funzione caratteristica di una variabile aleatoria x è definita
come

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Funzione Caratteristica


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

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Approssimazione Delta-Gamma




Assumiamo di avere un derivato sensibile a un solo fattore di rischio
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Approssimazione Delta-Gamma
Ponendo

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S

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r=

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V

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V

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1
2
ˆ
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2
2
~
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Approssimazione Delta-Gamma
A questo punto, il passaggio successivo nella nostra analisi, consiste
nel trovare un modo per...
Approssimazione Delta-Gamma

( )

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~∗ 2
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ˆ
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

Anche ipotizzando che...
Approssimazione Delta-Gamma


Vediamo ora alcuni metodi che permettono di affrontare il
problema del calcolo del percenti...
Approssimazione Delta-Gamma


Se x è distribuita secondo una normale standard allora y data da

y = λ( x −ξ )

2

Risulta...
Approssimazione Delta-Gamma


Quindi tenendo conto che la funzione caratteristica di una costante k è
semplicemente exp(-...
Approssimazione Delta-Gamma
 ∂k

µ k =  k Φ( s)
 ∂s
 s =0

 1 ~∗
1 ~ ∗
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1
~ ∗ −3 / 2

Φ rˆ ( s ) =  Γ 1 −...
Approssimazione Delta-Gamma
~2 2 1 ~2 4
µ2 = δ σ + Γ σ
2
~2~ 4 ~3 6
µ 3 = 3δ Γσ + Γ σ
~2~2 6
~4 8
µ 4 = 12δ Γ σ + 3Γ σ + 3...
Approssimazione Delta-Gamma


 X −γ
f ( X ) = λ exp 
 δ


 +ξ


 X −γ 
exp 
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 δ 
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 X −γ...
Approssimazione Delta-Gamma
Dopo aver determinato f(X) possiamo calcolare il VaR
semplicemente come

VaR = f ( zα )
dove z...
Esempio
Esempio
Programmazione
Programmazione
VBA
VBA

L’approccio Delta-Gamma
L’approccio Delta-Gamma
Modelli di Value-at-Risk con VBA
RiskmetricsTM e CreditmetricsTM

Introduzione a RiskMetrics
Il mapping dei flussi
Integra...
CreditMetrics

TM



Proposto da JP Morgan sull’onda del successo di RiskMetrics™



Considera sia il rischio di default...
CreditMetrics


TM

Il livello di rischio della controparte è definito sulla base del suo rating


Il rating è la sola d...
CreditMetrics


La matrice di transizione
rappresenta la probabilità
di una controparte
caratterizzata da un certo
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CreditMetrics

TM



Occorre poi determinare quale tasso di attualizzazione sia associato ad
ogni stato;



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CreditMetrics




TM

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mercato futuro del titolo in cor...
CreditMetrics


TM

A questo punto per ogni titolo di una determinata classe di rating
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CreditMetrics


TM

Il programma VBA sviluppato effettua il calcolo delle quantità richieste
producendo in output la segu...
CreditMetrics


TM

Dalla distribuzione del valore del prestito è immediatamente desumibile
anche la distribuzione delle ...
CreditMetrics

TM

Distribuzione valore del Prestito

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10.00%

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CreditMetrics
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TM

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potremmo aspettarci in caso di distr...
CreditMetrics


TM

Il rischio di Portafoglio


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Estendendo la metodologia appena vista al caso di un portafoglio con ...
CreditMetrics


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TM

Secondo il modello del valore delle attività aziendali proposto
da Merton (1974), il default di...
CreditMetrics


TM

Nel caso di un prenditore che si trovi inizialmente nella classe BBB
troviamo
Distribuzione normale s...
CreditMetrics

TM



A questo punto analizziamo i movimenti dei rendimenti dell’attivo di due
prenditori caratterizzati d...
CreditMetrics


TM

Esempio: calcolare la probabilità che due prenditori di classe
rispettivamente BBB e A restino nella ...
CreditMetrics
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TM

Calcolo dell’integrale doppio

P (−1.49 ≤ rBBB ≤ 1.53;−1.51 ≤ r∫A ≤ 1.98 =
∫
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−1.49 −1.51

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CreditMetrics


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L’integrale doppio può essere ricondotto ad un integrale in una singola
variabile attraverso le segue...
CreditMetrics

TM

Public Function Prob_congiunta(a1 As Double, a2 As Double, b1 As Double, b2 As
rho As Double, parti As ...
CreditMetrics


TM

Effettuando il calcolo per tutte le possibili combinazioni di rating dei
due prenditori, otteniamo un...
CreditMetrics


TM

Dobbiamo ora calcolare il valore attuale delle esposizioni delle
attività dei due prenditori. Il calc...
CreditMetrics

TM



Combinando i dati fin qui calcolati siamo in grado di calcolare media,
varianza e percentile della d...
CreditMetrics

TM



Quando il portafoglio è composto da più attività i calcoli
diventano ovviamente più complessi;



C...
CreditMetrics


TM

Generazione degli scenari


Consideriamo un portafoglio composto da 3 prestiti così costituito

Pres...
CreditMetrics


TM

Il primo passo consiste, come prima, nel calcolo delle probabilità di
migrazione e delle soglie dei r...
CreditMetrics

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

Come abbiamo già detto nel modello CreditMetrics™, che si ispira al
modello di Merton, i rendimenti ...
CreditMetrics
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Per la determinazione della correlazione si può procedere nel
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CreditMetrics


TM

Ad esempio si considerino due imprese A e B il cui rendimento
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CreditMetrics
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Le componenti idiosincratiche del rendimento dei due titoli sono
ipotizzate indipendenti dalle rimane...
CreditMetrics
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Dopo aver determinato la decomposizione di Cholescky dalla
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CreditMetrics
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Valorizzazione dell’esposizione
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CreditMetrics
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Conclusioni
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Il modello CreditMetrics™ consente di stimare il Value-at-Risk (VaR)
relativo al...
CreditMetrics

TM



L’importanza di questo modello è stata recentemente ribadita dal Comitato
di Basilea sulla Vigilanza...
Testi di riferimento


S. Benninga




U. Cherubini, G. Della Lunga




Misurare e Gestire il Rischio di Credito nell...
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Lezione 4 modelli per la stima del rischio

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  1. 1. Giovanni Della Lunga Università degli Studi di Bologna Il capitano dice al mozzo di bordo: “giovanotto, io non vedo niente, c’è solo un po’ di nebbia che annuncia il sole. Andiamo avanti tranquillamente!” F. De Gregori “I Muscoli del Capitano” Modelli di Value-at-Risk con VBA RiskmetricsTM e CreditmetricsTM
  2. 2. Modelli di Value-at-Risk con VBA RiskmetricsTM e CreditmetricsTM Introduzione a RiskMetrics Il mapping dei flussi Integrare Excel con Access L’approccio Delta-Gamma Come Funziona CreditMetrics
  3. 3. Come si calcola il VaR  Il calcolo del capitale a rischio nella metodologia VaR richiede i seguenti passi : • • • •  misurazione della posizione a rischio (tasso, cambio..) per ogni unità operativa (mark-to-market); calcolo della volatilità storica o implicita e delle correlazioni fra i fattori di rischio; valutazione del tempo minimo di liquidazione per tipologia di posizione; determinazione del livello di probabilità (o intervallo di confidenza). Il capitale a rischio ovvero la massima perdita potenziale per il livello di probabilità stabilito è dato dalla moltiplicazione delle quattro componenti sopra riportate.
  4. 4. Come si calcola il Value-at-Risk  In condizioni di elevata liquidità dei mercati finanziari e supponendo che le posizioni possano essere smobilizzate in un giorno, la stima della massima perdita probabile prende il nome di DEaR (Daily Earnings at Risk).  Il calcolo del DEaR di un singolo strumento e/o di una posizione richiede la determinazione dei seguenti elementi • il valore di mercato dello strumento o della posizione, che indicheremo con Vx ; • la sensibilità di tale valore alle variazioni dei fattori di rischio dV/dy; • la volatilità dei fattori di rischio ∆y ponderata per il livello di confidenza prescelto nell’ipotesi di normalità della distribuzione dei rendimenti e/o dei cambi.
  5. 5. Come si calcola il Value-at-Risk L’approccio delta-normal Valore Posizione dV DEaR = Vx × × ∆y dy Sensitività Volatilità fattore di rischio
  6. 6. Come si calcola il Value-at-Risk  Ferma restando l’ipotesi di normalità, quando la misura del rischio avviene su un orizzonte temporale di investimento superiore al giorno, la massima perdita potenziale prende il nome di VAR e si calcola moltiplicando il DEaR per la radice quadrata del numero di giorni di detenzione.  Specificando ulteriormente gli elementi introdotti per il calcolo del DEaR, il valore di mercato si ottiene attualizzando i flussi di cassa futuri generati dallo strumento o dalla posizione in esame; la sensibilità del valore di mercato può essere approssimata dalla duration modificata, limitatamente agli strumenti “interest rate sensitive” o da un indice di volatilità storica.
  7. 7. Risk Metrics  Un’applicazione della metodologia VAR è consentita dall’utilizzo del prodotto RiskMetrics™ che la JP Morgan ha messo a disposizione degli utenti sul circuito telematico Internet. Tale prodotto si compone di un dataset di volatilità e correlazioni giornaliere relative ad un elevato numero di attività e strumenti finanziari. I dati forniti coprono 25 paesi relativamente alle seguenti classi di attività: cambi, indici di borsa, tassi di interesse per diverse scadenze e merci.
  8. 8. Come si calcola il VaR Obbligazioni    Supponiamo di detenere una posizione in Euro pari a 46.6 Milioni in un (ipotetico) zero coupon bond decennale. Supponiamo di aver stimato che la volatilità del rendimento a scadenza 10 anni non sia superiore a ± 1.995% al 90 % di probabilità. Per calcolare la corrispondente variazione percentuale sul valore da noi posseduto possiamo applicare la seguente formula D DEaR = Vx × × y × σ dy 1+ y y
  9. 9. Come si calcola il VaR Obbligazioni  Supponendo che la “modify duration” sia pari a 9.26 e che il tasso di rendimento a 10 anni sia pari a 7.96 otteniamo DEaR = = 46.600.000 × 9.26 × 0.0796 × 0.01995 ≈ ≈ 685.000  Pertanto abbiamo il 10 % di probabilità di perdere, su questa posizione, più di 685.000 Euro nell’arco di 24 ore
  10. 10. Come si calcola il VaR: Azioni  Il VAR di un titolo azionario è definito come il prodotto del valore di mercato MV per la volatilità del prezzo ponderata per il livello di confidenza prescelto (per il 90% il fattore di ponderazione è 1.65) DEaR = MVS × 1.65 × σ S  Poiché RiskMetrics non fornisce le volatilità dei singoli titoli, le posizioni in azioni vengono “mappate” rispetto agli indici locali nazionali. La base di questa procedura va ricercata ancora una volta nel CAPM che lega il rendimento di un titolo a quello dell’indice di mercato.
  11. 11. Come si calcola il VaR: Azioni  E’ possibile suddividere il rischio del titolo nella componente specifica e in quella sistematica 2 2 2 2 σ S = β Sσ M + σ ε S  La componente di rischio specifico può essere resa trascurabile con un’adeguata politica di diversificazione del portafoglio, per cui possiamo scrivere DEaR = MVS × 1.65 × σ S = = MVS × β S × 1.65 × σ M
  12. 12. Come si calcola il VaR: Opzioni  In prima approssimazione si assume che l’opzione possa essere descritta in termini di “Delta-equivalent”, quest’approssimazione consiste nel trascurare tutti i termini della precedente equazione tranne il primo. In questo modo l’opzione viene approssimata come un titolo con “payoff” lineare.  Nell’approssimazione “Delta-equivalent” il VAR di un’opzione è dato semplicemente da VaROpzione ≈ ∆ × VaRsottostante
  13. 13. Come si calcola il VaR: Opzioni  Possiamo rendere l’approssimazione più precisa includendo anche il fattore Γ; in questo caso la standar deviation del prezzo dell’opzione è legata alla varianza del titolo sottostante dalla relazione σ dV ≈  2 S 2 ∆2σ dS / S 1 2 2 + ( S Γσ dS / S ) 2 2 In questo caso il VaR dell’opzione non è più una funzione lineare del VaR del sottostante.
  14. 14. Come si calcola il VaR: correlazione fra fattori di rischio  In generale, il DEaR di un portafoglio costituito da N titoli, ciascuno dei quali caratterizzato da un DEaRi ( i = 1, …., N ) è calcolato come segue DEaR =  V ⋅ C ⋅V T dove V = ( DEaR1 , DEaR2 ,..., DEaRN )  1  C =  ρ  1N  ρ1N       1    DEaR1     DEaR2  VT =      DEaR  N  
  15. 15. Come si calcola il VaR: correlazione fra fattori di rischio  Anche nel caso in cui i fattori di rischio siano più di uno occorre prendere in considerazione le correlazioni fra questi ultimi.  Consideriamo come esempio la posizione in uno zero coupon bond decennale in Euro per un valore complessivo di 46.5 Milioni ma questa volta poniamoci nei panni di un investitore la cui valuta di riferimento sia il dollaro USA.  In questo caso i fattori di rischio sono due:    1) la volatilità dei rendimenti nella posizione sullo ZCB a 10 anni, 2) la volatilità del cambio EUR/USD. Il rischio complessivo sarà dato da 2 2 σ = a 2σ 10Y + b 2σ FX + 2abρ10Y , FX σ 10Y σ FX
  16. 16. Come si calcola il VaR: correlazione fra fattori di rischio  La componente dovuta al rischio di tasso è quella calcolata sopra ed è pari a 685.000 EUR, ipotizzando un livello di cambio EUR/USD pari a 5.402 questa cifra equivale a 126.805 USD.  Supponiamo poi che la volatilità sul tasso di cambio sia pari allo 0.953 % e che la correlazione fra il rendimento dello ZCB decennale e il tasso di cambio EUR/USD sia pari a –0.0726.  La componente di rischiosità dovuta alla volatilità dei cambi è data dal prodotto fra quest’ultima e il valore in dollari della posizione bσFX =  46.500.000 ×0,00953 = 82.033 USD 5,402 Il rischio complessivo è quindi espresso da σ = 126.8052 + 82.0332 − 2 × 0.0726 ×126.805 × 82.033 ≈ 145.810 USD
  17. 17. Modelli di Value-at-Risk con VBA RiskmetricsTM e CreditmetricsTM Introduzione a RiskMetrics Il mapping dei flussi Integrare Excel con Access L’approccio Delta-Gamma Come Funziona CreditMetrics
  18. 18. Come si calcola il VaR: il mapping dei flussi  I flussi dei diversi mercati devono essere ripartiti su un numero limitato di scadenze (“buckets”) in modo da preservarne le caratteristiche finanziarie  Requisiti  Uguale Segno dei flussi: se il flusso originario è una posizione lunga (corta), i flussi trasformati devono essere posizioni lunghe (corte).  Uguale Valore di mercato: il valore di mercato del flusso originario deve essere uguale al valore di mercato della somma dei flussi trasformati  Uguale Rischio di mercato: la sensibilità al rischio del flusso originario deve essere uguale alla sensibilità al rischio della somma dei flussi trasformati
  19. 19. Come si calcola il VaR Il mapping dei flussi  Opzione Fisher-Weil:   i due flussi trasformati sono determinati in modo che la loro somma abbia: (i) lo stesso valore di mercato e (ii) la stessa duration del flusso originario. Opzione RiskMetrics™:  i due flussi trasformati sono determinati in modo che la loro somma abbia: (i) lo stesso valore di mercato e (ii) la stessa volatilità del flusso originario.
  20. 20. Come si calcola il VaR Il mapping dei flussi  I fattori di sconto corrispondenti alle scadenze ti e ti-1 sono noti; il fattore di sconto relativo alla scadenza τ è ottenuto utilizzando il tasso di rendimento interpolato ti − τ t i −1 − τ it ( τ ) = i ( t i −1 ) − i( t i ) t i − t i −1 t i − t i −1 Pt (τ ) = 1 (1 + it (τ ) ) τ
  21. 21. Come si calcola il VaR Il mapping dei flussi  Nell’opzione Fisher-Weil i due flussi sono calcolati risolvendo il sistema: ci −1 Pt ( ti −1 ) + ci Pt ( ti ) = cτ Pt (τ ) t i −1 − t ti − t τ −t ci −1 Pt ( ti −1 ) + ci Pt ( ti ) = ci Pt (τ ) 1 + it ( ti −1 ) 1 + it ( ti ) 1 + it (τ ) ci −1 = αcτ ci = (1 − α )cτ (τ − t ) − (ti − t ) Pt (τ ) Pt (ti ) α= ( ti −1 − t ) − (ti − t ) Pt (ti −1 ) Pt (ti )
  22. 22. Come si calcola il VaR Il mapping dei flussi  Nel caso di utilizzo dell’opzione RiskMetrics™ sono necessarie anche le volatilità dei fattori di sconto, o più precisamente dei ritorni, corrispondenti alla classe j e alle scadenze ti e ti-1, nonché la correlazione tra di essi.  Imporre l’eguaglianza della standar deviation comporta due passi  Interpolare la volatilità ignota a partire dalle volatilità dei due buckets adiacenti ˆ σ = aσ i + (1 − a )σ i +1
  23. 23. Come si calcola il VaR Il mapping dei flussi  Imporre che la volatilità così calcolata sia uguale alla volatilità dei due flussi (da determinare) con scadenza uguale ai due buckets adiacenti ˆ σ = α σ + 2α ( 1 − α ) ρ i ,i +1σ iσ i +1 + ( 1 − α ) σ 2 2 2 2 i aα 2 + bα + c = 0 a = σ i2 + σ i2+1 − 2 ρ i ,i +1σ iσ i +1 b = 2 ρ i ,i +1σ iσ i +1 − 2σ c =σ 2 i +1 ˆ2 −σ 2 i +1 2 i +1
  24. 24. Modelli di Value-at-Risk con VBA RiskmetricsTM e CreditmetricsTM Introduzione a RiskMetrics Il mapping dei flussi Integrare Excel con Access L’approccio Delta-Gamma Come Funziona CreditMetrics
  25. 25. Database e DBMS  La maggior parte dei sistemi informativi non si affida direttamente al File System ma ad uno strumento software chiamato Database Management System (DBMS). Un DBMS può essere visto in prima approssimazione come uno strato di comunicazione fra applicazioni e dati.  Lo scambio di informazioni fra applicazione e DBMS avviene attraverso linguaggi di interrogazione. I comandi sono interpretati dal DBMS che cerca di soddisfare le richieste (query) dell’applicazione.  I DBMS si differenziano fra loro in base al meccanismo di organizzazione logica dei dati, quelli che considereremo nel seguito sono DBMS relazionali che usano il linguaggio di interrogazione chiamato SQL.
  26. 26. Il linguaggio SQL  Visual Basic come del resto Access si appoggia su un motore per Database Relazionali chiamato Microsoft Jet Engine. Il linguaggio di interrogazione usato è SQL.  SQL non è un linguaggio di programmazione vero e proprio, ma i programmi che accedono ai dati sono scritti in altri linguaggi (Visual Basic, C/C++, Java, etc) i quali presentano meccanismi che consentono di inviare query SQL al DBMS e gestirne i risultati.
  27. 27. L’istruzione SELECT  Il linguaggio SQL fornisce un’istruzione flessibile e potente per interrogazioni su tabelle: l’istruzione SELECT. Un’interrogazione è un meccanismo che consente di selezionare colonne e righe di una tabella che soddisfano particolari caratteristiche.  Sintassi  SELECT [predicato] { * | tabella.* | [tabella.]campo1 [AS alias1] [, [tabella.]campo2 [AS alias2] [, ...]]} FROM espressionetabella [, ...] [IN databaseesterno] [WHERE... ] [GROUP BY... ] [HAVING... ] [ORDER BY... ] [WITH OWNERACCESS OPTION]
  28. 28. L’istruzione SELECT   Tradotta in italiano una SELECT è una frase che suona pressappoco così: “seleziona (SELECT) tali attributi <listaattributi> da (FROM) tali tabelle <lista-tabelle> nelle quali (WHERE) è soddisfatta tale condizione <condizione>” SELECT Nome, Cognome, Corso FROM TSTUDENTI WHERE Corso = ‘Finanza’;
  29. 29. L’istruzione INSERT INTO  Il comando INSERT INTO consente l’inserimento di dati all’interno delle tabelle. I dati possono essere specificati direttamente, la sintassi del comando è la seguente  INSERT INTO destinazione [(campo1[, campo2[, ...]])] VALUES (valore1[, valore2[, ...])  ESEMPIO  INSERT INTO Tstudente (matricola, cognome, nome) VALUES (‘0123459’, ‘SEMPRONIO’,’CAIO’)
  30. 30. L’istruzione UPDATE  Per modificare dati già presenti all’interno di tabelle, SQL mette a disposizione il comando UPDATE. La sintassi è la seguente UPDATE <nome tabella> SET <campo> = <espressione>, … [WHERE <condizione>]  ESEMPIO:  UPDATE Tarticolo SET prezzo = 0.8*prezzo WHERE prezzo > 50000
  31. 31. Visual Basic & Database    L’oggetto Database consente ai programmi Visual Basic di interfacciarsi con un file di database. Un Database è un elemento dell’insieme Databases contenuto in un altro oggetto chiamato Workspace. A sua volta l’oggetto Database contiene altri insiemi di oggetti.
  32. 32. L’oggetto RECORDSET  Come dice la parola stessa un Recordset rappresenta un insieme di record. Proprietà e metodi dell’oggetto consentono di effettuare numerose operazioni come inserimenti, cancellazioni, aggiornamenti, etc.  L’oggetto Recordset è un’interfaccia Visual Basic per l’accesso ai dati.  Il metodo OpenRecordSet applicato ad un oggetto Database crea di fatto un nuovo oggetto RecordSet
  33. 33. L’oggetto RECORDSET  LA SINTASSI Set recordset = object.OpenRecordset (source, type, options, lockedits) dove    recordset è il nome dell’oggetto Recordset; object è il nome dell’oggetto Database da cui estrarre l’insieme di record; source è la fonte da dove vengono prelevati i dati. Può essere una tabella del database oppure un’istruzione SQL di selezione;
  34. 34. L’oggetto RECORDSET  Da questo momento in poi l’oggetto Recordset è a nostra completa disposizione. I record contenuti in RS non sono altro che le righe della tabella. Grazie alle proprietà e ai metodi dell’oggetto Recordset è possibile operare sui record e di conseguenza sulle righe delle tabelle.  Il ciclo di vita di un Recordset è caratterizzato da un puntatore che referenzia il record corrente. Molte proprietà e metodi operano su questo record. Ovviamente è possibile spostare il puntatore su altri record.  Per accedere ad un campo del record corrente si può ricorrere alla collezione Fields presente all’interno di ogni Recordset.
  35. 35. L’oggetto Recordset  Metodi per la navigazione  MoveFirst   MoveLast   il record corrente diventa l’ultimo del Recordset MoveNext   il record corrente diventa il primo del Recordset il record corrente diventa il record successivo MovePrevious  il record corrente diventa il record precedente
  36. 36. Esempio Esempio Programmazione Programmazione VBA VBA Il mapping dei Flussi Il mapping dei Flussi
  37. 37. Modelli di Value-at-Risk con VBA RiskmetricsTM e CreditmetricsTM Introduzione a RiskMetrics Il mapping dei flussi Integrare Excel con Access L’approccio Delta-Gamma Come Funziona CreditMetrics
  38. 38. Funzione Caratteristica  la funzione caratteristica di una variabile aleatoria x è definita come Φ (ω ) = +∞ ∫ f ( x)e iωx dx −∞  è la Trasformata di Fourier della funzione densità di probabilità si definisce poi la funzione generatrice dei momenti φ ( s) = +∞ ∫ −∞ f ( x)e sx dx, φ (iω ) = Φ (ω )
  39. 39. Funzione Caratteristica  Dalla definizione è evidente che [ ] [ ] Φ (ω ) = E e iωx φ ( s) = E e sx ,  inoltre [ ] [ ] φ ( n ) ( s ) = E x n e sx ⇒ φ ( n ) (0) = E x n = m ( n )  il che giustifica il nome di funzione generatrice dei momenti.
  40. 40. Approssimazione Delta-Gamma   Assumiamo di avere un derivato sensibile a un solo fattore di rischio che identificheremo col prezzo del sottostante S. Utilizzando uno sviluppo in serie di Taylor arrestato al secondo ordine possiamo esprimere la variazione di prezzo dell’opzione in funzione della variazione di prezzo del sottostante come ∂V 1 ∂ 2V ( ∆S ) 2 = δ∆S + 1 Γ( ∆S ) 2 ∆V ≈ ∆S + ∂S 2 ∂S 2 2 ∆V S ∆S 1 S  ∆S  =δ + Γ   V V S 2 V  S  2 2
  41. 41. Approssimazione Delta-Gamma Ponendo r= ∆S , S ˆ r= ∆V V e η= S V ~ 1~ 2 1 2 ˆ r = δηr + ΓSηr = δ r + Γr 2 2 ~ δ = δη ~ Γ = ΓSη
  42. 42. Approssimazione Delta-Gamma A questo punto, il passaggio successivo nella nostra analisi, consiste nel trovare un modo per calcolare la distribuzione di r^ o, quanto meno, per trovarne una buona approssimazione. Assumiamo che il rendimento del sottostante, r, sia distribuito secondo una normale con media 0 e standard deviation pari a σ   ~ ∗ 1 ~ 2 ∗2 ~∗ ∗ 1 ~∗ ∗2 ˆ r = δ σr + Γσ r = δ r + Γ r 2 2 r r = σ ∗ ~∗ ~ δ = δσ e ~∗ ~ 2 Γ = Γσ
  43. 43. Approssimazione Delta-Gamma ( ) ~∗ 2 ~∗ 2 1 ~∗ ∗ δ  1 δ r + ~ ˆ r= Γ  − ~∗ ∗  2  2 Γ Γ   Anche ipotizzando che il rendimento del sottostante sia distribuito secondo una normale, il rendimento dell’opzione segue una distribuzione molto diversa. In particolare nell’approssimazione DeltaGamma che qui stiamo analizzando tale distribuzione è il risultato della combinazione lineare di due variabili di cui la prima è distribuita secondo una Chi-quadrato non centrata e la seconda è una costante;  Non esiste un’espressione in forma chiusa che ci permetta di calcolare semplicemente il percentile corrispondente ad un generico livello di confidenza;
  44. 44. Approssimazione Delta-Gamma  Vediamo ora alcuni metodi che permettono di affrontare il problema del calcolo del percentile in maniera sufficientemente generale.  Questi metodi, come vedremo, si basano sul calcolo dei momenti della distribuzione da stimare al fine di approssimarla con una distribuzione di forma nota di cui sia possibile calcolare in maniera semplice il percentile per ogni livello di confidenza desiderato.  Per calcolare i momenti della distribuzione faremo uso della funzione caratteristica.
  45. 45. Approssimazione Delta-Gamma  Se x è distribuita secondo una normale standard allora y data da y = λ( x −ξ ) 2 Risulta distribuita secondo una chi-quadro non centrata con parametro di non centralità pari a ξ. Funzione Funzione Caratteristica Caratteristica  ξ λs  Φ( s) = exp  1 − 2λs   1 − 2λs   1 2
  46. 46. Approssimazione Delta-Gamma  Quindi tenendo conto che la funzione caratteristica di una costante k è semplicemente exp(-ks) e che la funzione caratteristica della combinazione lineare di più variabili è il prodotto delle funzioni caratteristiche, possiamo scrivere l’espressione della funzione caratteristica di r^  1 ~∗  ~ ~∗ 2   Γ s  δ ∗ 2   1 δ Φ rˆ ( s ) = exp 2 ~ ∗  ~ ∗   exp − s ~ ∗  ~  1 − Γ s  Γ   Γ  1 − Γ∗s          1 ~∗  ~∗ 2  Γ s  ~∗ 2  1 δ δ = exp 2 ~ ∗  ~ ∗  − s ~ ∗  ~ 1 − Γ s  Γ  Γ  1 − Γ∗s       ( ) ( )
  47. 47. Approssimazione Delta-Gamma  ∂k  µ k =  k Φ( s)  ∂s  s =0   1 ~∗ 1 ~ ∗  2Γ ∂ 1 ~ ∗ −3 / 2  Φ rˆ ( s ) =  Γ 1 − Γ s + ~ ~  ∂s 2 1 − Γ∗s  1 − Γ∗s       1 ~∗  ~ ~∗ 2   Γ s  δ ∗ 2 δ × exp 2 ~ ∗  ~ ∗  − s ~ ∗  1 − Γ s  Γ  Γ        ( ) ( ( ) 1~ 1~ ∂  ˆ =  Φ rˆ ( s ) = Γ ∗ = Γσ 2 µ1 = r 2  ∂s  s =0 2 ) 2  ~∗ 2 ~ ∗ 2  δ  δ  ~ ∗  − ~ ∗   Γ  Γ      ( )
  48. 48. Approssimazione Delta-Gamma ~2 2 1 ~2 4 µ2 = δ σ + Γ σ 2 ~2~ 4 ~3 6 µ 3 = 3δ Γσ + Γ σ ~2~2 6 ~4 8 µ 4 = 12δ Γ σ + 3Γ σ + 3µ 22 σ rˆ2 = µ 2 µ3 β1 = 3 / 2 µ2 µ4 β2 = 2 µ2
  49. 49. Approssimazione Delta-Gamma   X −γ f ( X ) = λ exp   δ   +ξ   X −γ  exp  ( λ + ξ ) + ξ  δ  f (X ) =  X −γ  1 + exp    δ   X −γ f ( X ) = λ sinh   δ Le funzioni di Johnson f (X ) ≥ ξ ξ ≤ f (X ) ≤ ξ + λ   +ξ  In tutte le funzioni X è una variabile aleatoria distribuita secondo una normale standard. Tutte le funzioni dipendono da quattro parametri γ, δ, λ e ξ. Per ciascuna funzione la determinazione dei parametri avviene imponendo che i primi quattro momenti siano uguali a quelli della distribuzione che intendiamo approssimare.
  50. 50. Approssimazione Delta-Gamma Dopo aver determinato f(X) possiamo calcolare il VaR semplicemente come VaR = f ( zα ) dove zα è il percentile di X al livello di confidenza α.
  51. 51. Esempio Esempio Programmazione Programmazione VBA VBA L’approccio Delta-Gamma L’approccio Delta-Gamma
  52. 52. Modelli di Value-at-Risk con VBA RiskmetricsTM e CreditmetricsTM Introduzione a RiskMetrics Il mapping dei flussi Integrare Excel con Access L’approccio Delta-Gamma Come Funziona CreditMetrics
  53. 53. CreditMetrics TM  Proposto da JP Morgan sull’onda del successo di RiskMetrics™  Considera sia il rischio di default che il rischio di deterioramento del merito creditizio della controparte  E’ basato su una logica di valutazione a valori di mercato    Il valore attribuito ad ogni posizione altro non è che il valore attuale dei flussi futuri scontato ad un tasso espressivo del rischio di credito dell’operazione Il rischio connesso alle variazioni di merito può essere letto attraverso le variazioni del valore di mercato della posizione connesse alla variazione del tasso di attualizzazione dei flussi futuri Un peggioramento dello standing creditizio implicherà la richiesta da parte del mercato di un tasso di attualizzazione più elevato
  54. 54. CreditMetrics  TM Il livello di rischio della controparte è definito sulla base del suo rating  Il rating è la sola discriminante del profilo di rischio della singola esposizione  La possibile evoluzione del profilo di rischio del cliente è rappresentata mediante una matrice (detta matrice di transizione) che esprime la probabilità che una controparte avente un dato rating al tempo t si trovi in ciascuna delle diverse possibili classi di rating al tempo t + 1  I tassi di attualizzazione sono ricavati ricostruendo, per ogni classe di rating, la curva dei tassi forward relativa all’orizzonte temporale sul quale si intende misurare il rischio (tipicamente un anno)
  55. 55. CreditMetrics  La matrice di transizione rappresenta la probabilità di una controparte caratterizzata da un certo rating al tempo t … Rating iniziale AAA AA A BBB BB B CCC AAA 90.81% 0.70% 0.09% 0.02% 0.03% 0.00% 0.22% AA 8.33% 90.65% 2.27% 0.33% 0.14% 0.11% 0.00% TM … di trovarsi in una delle diverse possibili classi di rating al tempo t+1 (tipicamente dopo un anno) …  Matrice di transizione ad un anno Rating a fine anno A BBB BB 0.68% 0.06% 0.12% 7.79% 0.64% 0.06% 91.05% 5.52% 0.74% 5.95% 86.93% 5.30% 0.67% 7.73% 80.53% 0.24% 0.43% 6.48% 0.22% 1.30% 2.38% … oppure di cadere in stato di insolvenza  B 0.00% 0.14% 0.26% 1.17% 8.84% 83.46% 11.24% CCC 0.00% 0.02% 0.01% 0.12% 1.00% 4.07% 64.86% Come si vede, per ogni classe di rating l’evento più probabile è quello di rimanere nella medesima classe di partenza Default 0.00% 0.00% 0.06% 0.18% 1.06% 5.20% 19.79%
  56. 56. CreditMetrics TM  Occorre poi determinare quale tasso di attualizzazione sia associato ad ogni stato;  CM utilizza la curva dei tassi forward zero coupon calcolata alla data di un anno dal momento della valutazione    Tale curva può essere calcolata sulla base dei tassi spot riferiti ad ogni scadenza per ogni classe di rating In questo modo la curva ricavata dipende da un lato dalla term structure dei tassi a termine e dall’altro dalla struttura per scadenza dei credit spread Sulla base della curva dei tassi forward per ogni classe di rating è possibile calcolare il valore di mercato di ogni titolo o prestito in corrispondenza ad ogni possibile classe di rating alla data di un anno da quella di valutazione ( esempio).
  57. 57. CreditMetrics   TM Procedendo con questa modalità è possibile calcolare il valore di mercato futuro del titolo in corrispondenza di qualsiasi livello di rating. Ciò che invece non può essere calcolato con questo procedimento è il valore del credito in caso di default In questo caso il valore del prestito viene posto pari ad una percentuale del valore nominale del prestito che rappresenta la stima dell’ammontare che si presume di recuperare (recovery rate)  In particolare si possono utilizzare delle statistiche legate ai tassi di recupero sui prestiti obbligazionari societari, suddivisi per classi di seniority Tassi di (ovvero in base classedi seniority (% del valore nominale) crediti) Tassi direcupero per classe di seniority (% del valore nominale) recupero per alla graduazione dei privilegi nel rimborso dei Deviazione Deviazione Classe di seniority Media Classe di seniority Media standard standard Senior Secured 53.80% 26.86% Senior Secured 53.80% 26.86% Senior Unsecured 51.13% 25.45% Senior Unsecured 51.13% 25.45% Senior Subordinated 38.52% 23.81% Senior Subordinated 38.52% 23.81% Subordinated 32.74% 20.18% Subordinated 32.74% 20.18% Junior Subordinated 10.90% Junior Subordinated 17.09% 17.09% 10.90% 
  58. 58. CreditMetrics  TM A questo punto per ogni titolo di una determinata classe di rating disponiamo   Della matrice di transizione Dei possibili valori associati ad ogni possibile rating finale e all’evento di default E’ possibile costruire la distribuzione dei valori del titolo alla data di un anno a partire da oggi!
  59. 59. CreditMetrics  TM Il programma VBA sviluppato effettua il calcolo delle quantità richieste producendo in output la seguente tabella Tabella 1 - Valori futuri e probabilità ad un anno per un prestito di classe con Valore Nominale : 100 Tasso : 6 Rating di fine anno AAA AA A BBB BB B CCC Default Valore 109.35 109.17 108.64 107.53 102.01 98.09 83.63 51.13 Probabilità 0.02% 0.33% 5.95% 86.93% 5.30% 1.17% 0.12% 0.18% Variazione valore prestito 1.82 1.64 1.11 0.00 -5.52 -9.45 -23.91 -56.40 BBB Durata : 5 Calcola
  60. 60. CreditMetrics  TM Dalla distribuzione del valore del prestito è immediatamente desumibile anche la distribuzione delle perdite ad esso associate  Per determinare la distribuzione delle perdite occorre però fare attenzione alla determinazione della probabilità associata all’evento “perdite nulle”. In questo caso infatti questo evento ha una probabilità pari alla somma delle probabilità che si verifichino perdite pari a zero e delle probabilità che si verifichino dei guadagni ossia dei casi in cui il prestito migri verso le classi di rating migliori. Perdite 0.00 5.52 9.45 23.91 56.40 Probabilità 93.23% 5.30% 1.17% 0.12% 0.18%
  61. 61. CreditMetrics TM Distribuzione valore del Prestito Distribuzione delle perdite 10.00% 10.00% 9.00% 9.00% 8.00% 8.00% 7.00% 7.00% 6.00% 6.00% 5.00% 5.00% 4.00% 4.00% 3.00% 3.00% 2.00% 2.00% 1.00% 1.00% 0.00% 0.00% 109.35   109.17 108.64 107.53 102.01 98.09 83.63 51.13 0.00 5.52 9.45 23.91 56.40 Come si vede la distribuzione dei valori del prestito e delle relative perdite è tutt’altro che normale; Le perdite in casi estremi (evidenziate dalle code a destra) sono più probabili rispetto a quelle derivanti da una distribuzione statistica di tipo gaussiano;
  62. 62. CreditMetrics  TM I calcoli confermano un marcato allontanamento dai risultati che potremmo aspettarci in caso di distribuzione normale media varianza Dev. Standard 1o perc. Normale 1o perc. Effettivo VaR Effettivo = 14.79 VaR Normale = 6.97 107.07 8.94 2.99 100.10 92.28 Il Value-at-Risk effettivo è più del doppio di quello stimato con l’ipotesi di normalità !!!
  63. 63. CreditMetrics  TM Il rischio di Portafoglio   Estendendo la metodologia appena vista al caso di un portafoglio con più prestiti emerge un ulteriore fattore di rischio: la correlazione fra i vari prenditori; Maggiore è la correlazione all’interno del portafoglio, più elevato è il rischio;      La correlazione tende ad essere elevata per aziende appartenenti allo stesso settore industriale; Le correlazioni sono sensibili al ciclo economico; Nel modello CreditMetrics™ si procede alla stima delle correlazioni fra i rendimenti dei prenditori utilizzando come “proxy” i relativi rendimenti azionari; Si ipotizza pertanto che gli attivi aziendali siano finanziati esclusivamente dal capitale azionario; Utilizzando queste correlazioni si determina la distribuzione congiunta dei rendimenti dei prenditori;
  64. 64. CreditMetrics    TM Secondo il modello del valore delle attività aziendali proposto da Merton (1974), il default di un’azienda si verifica quando il valore delle sue attività scende al di sotto di un certo livello; Assumiamo che il tasso di rendimento delle attività aziendali si distribuisca secondo una normale e consideriamo la distribuzione standardizzata; Se la probabilità di insolvenza per un determinato prenditore i è pari a pi allora il valore soglia di default è dato da −1 Φ ( pi ) −1 Dove Φ (.) è l’inversa della funzione di densità cumulata di una distribuzione normale standard.
  65. 65. CreditMetrics  TM Nel caso di un prenditore che si trovi inizialmente nella classe BBB troviamo Distribuzione normale standard di un prenditore BBB Distribuzione normale standard McGraw-Hill 2001) BBB di un prenditore (fonte: Benninga S. Modelli Finanziari (fonte: Benninga S. Modelli Finanziari McGraw-Hill 2001) 0.45 0.45 Valore Probabilità Prob. Cum. 109.35 0.02% 100.00% 109.17 0.33% 99.98% 108.64 5.95% 99.65% 107.53 86.93% 93.70% 102.01 5.30% 6.77% 98.09 1.17% 1.47% 83.63 0.12% 0.30% 51.13 0.18% 0.18% Soglia 3.54 2.70 1.53 -1.49 -2.18 -2.75 -2.91 0.4 0.4 0.35 0.35 0.3 0.3 0.25 0.25 Probabilità Probabilità Rating di fine anno AAA AA A BBB BB B CCC Default 0.2 0.2 0.15 0.15 0.1 0.1 0.05 0.05 0 0 Default CCC B BB L'azienda rimane BBB A AA AAA Default 0,12% CCC B BB L'azienda rimane BBB 5,95% A AA AAA 0,18% 1,17% 5,30% 86,93% 0,33% 0,02% 0,18% 0,12% 1,17% 5,30% 86,93% 5,95% 0,33% 0,02% ZDef ZCCC ZBB ZBBB ZA ZAA ZB Z Z Z Z Z Z Z -2,91Def -2,75CCC -2,18 B -1,49BB 1,53BBB 2,70 A 3,54 AA -2,91 -2,75 1,53 2,70 3,54 -2,18 -1,49 Rendimento attività Rendimento attività
  66. 66. CreditMetrics TM  A questo punto analizziamo i movimenti dei rendimenti dell’attivo di due prenditori caratterizzati da una determinata misura di correlazione;  Poiché i valori degli attivi non sono osservabili sul mercato, in CreditMetrics™ i coefficienti di correlazione sono stimati sulla base dei prezzi azionari dei prenditori (o di gruppi di prenditori sulla base dell’area geografica e del settore di appartenenza);  Assumiamo che i rendimenti dell’attivo di due prenditori si distribuiscano secondo una distribuzione normale standard bivariata che è funzione dei rendimenti relativi alle varie classi di rating ri ed rj e del coefficiente di correlazione fra i rendimenti degli attivi aziendali ρ : f (ri , rj , ρ ) =   1 exp − ri 2 + rj2 − 2 ρri rj  2 2 1− ρ 2 2π 1 − ρ   1 ( ( ) )
  67. 67. CreditMetrics  TM Esempio: calcolare la probabilità che due prenditori di classe rispettivamente BBB e A restino nella stessa classe iniziale  Determinazione delle soglie Rating di fine anno AAA AA A BBB BB B CCC Default Valore Probabilità Prob. Cum. 109.35 0.02% 100.00% 109.17 0.33% 99.98% 108.64 5.95% 99.65% 107.53 86.93% 93.70% 102.01 5.30% 6.77% 98.09 1.17% 1.47% 83.63 0.12% 0.30% 51.13 0.18% 0.18% Soglia Rating di fine anno AAA AA A BBB BB B CCC Default Valore Probabilità Prob. Cum. 109.35 0.09% 100.00% 109.17 2.27% 99.91% 108.64 91.05% 97.64% 107.53 5.52% 6.59% 102.01 0.74% 1.07% 98.09 0.26% 0.33% 83.63 0.01% 0.07% 51.13 0.06% 0.06% Soglia 3.54 2.70 1.53 -1.49 -2.18 -2.75 -2.91 3.12 1.98 -1.51 -2.30 -2.72 -3.19 -3.24 − 1.49 ≤ ri ≤ 1.53 − 1.51 ≤ rj ≤ 1.98
  68. 68. CreditMetrics  TM Calcolo dell’integrale doppio P (−1.49 ≤ rBBB ≤ 1.53;−1.51 ≤ r∫A ≤ 1.98 = ∫ 1.53 1.98 −1.49 −1.51 1.53 1.98 ∫ ∫ −1.49 −1.51  1 exp − ri 2 + rj2 − 2 ρri rj 2 2 1− ρ 2 2π 1 − ρ  1 ( ( ) Il calcolo di questo integrale avviene per via numerica )   dri drj 
  69. 69. CreditMetrics  TM L’integrale doppio può essere ricondotto ad un integrale in una singola variabile attraverso le seguenti trasformazioni   r12 + r22 − 2 ρr1r2  ∫ a∫ exp−  2 1 − ρ 2 dr1dr2 =    a1 2   b1 b2 ( ) b   r22 − 2 ρr1r2     2     ∫ exp −  dr2 dr1 =   2 1− ρ2  a2        b1 b   r12   r22 − 2 ρr1r2 + ρ 2 r12    2  ρ 2 r12   exp  2 ∫ exp−  2 1 − ρ 2  a∫ exp−  2 1 − ρ 2       2  2 1− ρ a1        r12 ∫ exp−  2 1 − ρ 2  a1   b1 ( ( ) ( ) ( (  r −ρ r   r12  b2  ∫ exp−  2  a∫ exp− 22 1 − ρ 12    a1     2   b1   r12    b2 − ρr1  exp −    N  ∫   2 a1   2    1 − ρ   b1 ) ( ) ) 2 )    dr2 dr1 =        − N  a2 − ρr1   1− ρ2    dr  1   ( )    dr2 dr1 =    
  70. 70. CreditMetrics TM Public Function Prob_congiunta(a1 As Double, a2 As Double, b1 As Double, b2 As rho As Double, parti As Integer) As Double Dim i As Long Dim intervallo As Double Dim cumX As Double Dim cumY As Double Double, _ intervallo = (b1 - a1) / parti cumX = a1 cumY = 0 For i = 0 To parti With Application.WorksheetFunction cumY = cumY + .NormDist(cumX, 0, 1, False) * ((.NormDist((b2 - rho * cumX) / Sqr(1 - rho ^ 2), 0, 1, True)) - (.NormDist((a2 - rho * cumX) / Sqr(1 - rho ^ 2), 0, 1, True))) End With cumX = cumX + intervallo Next Prob_congiunta = cumY * intervallo End Function
  71. 71. CreditMetrics  TM Effettuando il calcolo per tutte le possibili combinazioni di rating dei due prenditori, otteniamo una tabella che contiene le probabilità di migrazione congiunte Probabilità di migrazione congiunte per due prenditori Probabilità di migrazione congiunte per due prenditori Correlazione Correlazione Nr. Parti Nr. Parti Prend. 1 Prend. 1 Soglia Soglia AAA AAA AA AA A A BBB BBB BB BB B B CCC CCC Default Default 0.2 0.2 100 100 Soglia Soglia 4.00 4.00 3.54 3.54 2.70 2.70 1.53 1.53 -1.49 -1.49 -2.18 -2.18 -2.75 -2.75 -2.91 -2.91 -4.00 -4.00 Totale Totale AAA AAA 3.12 3.12 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.02% 0.02% 0.07% 0.07% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.09% 0.09% AA AA 1.98 1.98 0.00% 0.00% 0.02% 0.02% 0.29% 0.29% 1.91% 1.91% 0.04% 0.04% 0.01% 0.01% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 2.28% 2.28% Prenditore 2 Prenditore 2 A BBB A BBB -1.51 -2.30 -1.51 -2.30 0.02% 0.00% 0.02% 0.00% 0.30% 0.00% 0.30% 0.00% 5.56% 0.15% 5.56% 0.15% 79.74% 4.71% 79.74% 4.71% 4.67% 0.52% 4.67% 0.52% 1.00% 0.14% 1.00% 0.14% 0.10% 0.02% 0.10% 0.02% 0.15% 0.03% 0.15% 0.03% 91.53% 5.55% 91.53% 5.55% BB BB -2.72 -2.72 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.01% 0.01% 0.61% 0.61% 0.08% 0.08% 0.02% 0.02% 0.00% 0.00% 0.01% 0.01% 0.74% 0.74% In questo esempio abbiamo ipotizzato una correlazione pari a 0.2 B B -3.19 -3.19 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.21% 0.21% 0.03% 0.03% 0.01% 0.01% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.26% 0.26% CCC CCC -3.24 -3.24 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.01% 0.01% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.01% 0.01% Default Default -4.00 Totale -4.00 Totale 0.00% 0.02% 0.00% 0.02% 0.00% 0.33% 0.00% 0.33% 0.00% 6.03% 0.00% 6.03% 0.04% 87.31% 0.04% 87.31% 0.01% 5.36% 0.01% 5.36% 0.00% 1.18% 0.00% 1.18% 0.00% 0.12% 0.00% 0.12% 0.00% 0.18% 0.00% 0.18% 0.06% 100.53% 0.06% 100.53%
  72. 72. CreditMetrics  TM Dobbiamo ora calcolare il valore attuale delle esposizioni delle attività dei due prenditori. Il calcolo è analogo a quello visto precedentemente, si tratta semplicemente di attualizzare i flussi futuri con le appropriate curve dei tassi forward. Ad esempio ipotizzando due strutture di prestito del tipo   Prenditore 1 : rating BBB, valore nominale 100, cedola 6%, scadenza 5 anni Prenditore 2: rating A, valore nominale 100, cedola 5%, scadenza 3 anni Otteniamo Rating di fine anno AAA AA A BBB BB B CCC Default Valore 1 109.35 109.17 108.64 107.53 102.01 98.09 83.63 51.13 Valore 2 106.59 106.49 106.30 105.64 103.15 101.39 88.71 51.13
  73. 73. CreditMetrics TM  Combinando i dati fin qui calcolati siamo in grado di calcolare media, varianza e percentile della distribuzione di valori. Nel nostro caso otteniamo  Media = 213.26 Varianza = 10.97 St. Deviation = 3.31    VaR =?
  74. 74. CreditMetrics TM  Quando il portafoglio è composto da più attività i calcoli diventano ovviamente più complessi;  CreditMetrics™ propone un metodo basato sulla simulazione Monte Carlo. Questo metodo si suddivide in tre fasi    Generazione di vari scenari che corrispondono ai possibili “stati del mondo” (ossia alle classi di rating dei nostri prenditori) che possono verificarsi alla fine dell’orizzonte temporale di riferimento (1 anno) Valutazione del portafoglio in ogni scenario Sintesi dei risultati ottenuti attraverso il calcolo delle statistiche di rischio del portafoglio
  75. 75. CreditMetrics  TM Generazione degli scenari  Consideriamo un portafoglio composto da 3 prestiti così costituito Prestito 1 Prestito 2 Prestito 3 $4mil., BBB rating, senior unsecured (tasso recupero 51,13%), cedola 6%, scadenza 5 anni $2mil., A rating, senior unsecured (tasso recupero 51,13%), cedola 5%, scadenza 3 anni $1mil., CCC rating, senior unsecured (tasso recupero 51,13%), cedola 10%, scadenza 2 anni
  76. 76. CreditMetrics  TM Il primo passo consiste, come prima, nel calcolo delle probabilità di migrazione e delle soglie dei rendimenti dell’attivo Rating Rating AAA AAA AA AA A A BBB BBB BB BB B B CCC CCC Default Default Probabilità di migrazione (%) eesoglie dei rendimenti dell'attivo Probabilità di migrazione (%) soglie dei rendimenti dell'attivo Azienda 11(BBB) Azienda 22(A) Azienda 33(CCC) Azienda (BBB) Azienda (A) Azienda (CCC) pp zz pp zz pp zz cumul cumul cumul i i i i i i cumul cumul cumul i i i i i i 0.02 100.00 0.09 100.00 0.22 100.01 0.02 100.00 0.09 100.00 0.22 100.01 0.33 99.98 3.54 2.27 99.91 3.12 0.00 99.79 2.86 0.33 99.98 3.54 2.27 99.91 3.12 0.00 99.79 2.86 5.95 99.65 2.70 91.05 97.64 1.98 0.22 99.79 2.86 5.95 99.65 2.70 91.05 97.64 1.98 0.22 99.79 2.86 86.93 93.70 1.53 5.52 6.59 -1.51 1.30 99.57 2.63 86.93 93.70 1.53 5.52 6.59 -1.51 1.30 99.57 2.63 5.30 6.77 -1.49 0.74 1.07 -2.30 2.38 98.27 2.11 5.30 6.77 -1.49 0.74 1.07 -2.30 2.38 98.27 2.11 1.17 1.47 -2.18 0.26 0.33 -2.72 11.24 95.89 1.74 1.17 1.47 -2.18 0.26 0.33 -2.72 11.24 95.89 1.74 0.12 0.30 -2.75 0.01 0.07 -3.19 64.86 84.65 1.02 0.12 0.30 -2.75 0.01 0.07 -3.19 64.86 84.65 1.02 0.18 0.18 -2.91 0.06 0.06 -3.24 19.79 19.79 -0.85 0.18 0.18 -2.91 0.06 0.06 -3.24 19.79 19.79 -0.85
  77. 77. CreditMetrics TM  Come abbiamo già detto nel modello CreditMetrics™, che si ispira al modello di Merton, i rendimenti logaritmici dell’attivo di ogni singola azienda si distribuiscono secondo una normale standard, quelli di due aziende secondo una normale bivariata e, quelli di n aziende secondo una normale multivariata;  Questi movimenti congiunti sono caratterizzati da una certa misura di correlazione che, nel modello CreditMetrics™ viene derivata dai prezzi azionari delle società in portafoglio. Matrice di correlazione Matrice di correlazione Azienda 11 Azienda 22 Azienda 33 Azienda Azienda Azienda Azienda 11 1.0 0.3 0.1 Azienda 1.0 0.3 0.1 Azienda 22 1.0 0.3 0.2 Azienda 1.0 0.3 0.2 Azienda 33 1.0 0.1 0.2 Azienda 1.0 0.1 0.2
  78. 78. CreditMetrics  TM Per la determinazione della correlazione si può procedere nel modo seguente  Esprimiamo il rendimento della singola società, sulla base di un modello multifattoriale, come funzione del rendimento di alcuni indici azionari rappresentativi di paese/settore e di una componente specifica;  Sulla base delle correlazioni tra i diversi indici di paese/settore, determinare le correlazioni fra i rendimenti delle attività di due controparti da utilizzare ai fini della simulazione
  79. 79. CreditMetrics  TM Ad esempio si considerino due imprese A e B il cui rendimento azionario può essere scomposto come ′ rA = w1, A I1 + w2, A I 2 + w3, A rA ′ rB = w1, B I 3 + w2, B rB  I1, I2 e I3 rappresentano tre indici di settore/paese che consentono di spiegare i rendimenti azionari di A e B, r’A r’B la componente di rischio specifico dei singoli titoli e i coefficienti w identificano i pesi attribuiti a ciascuna controparte.  E’ possibile a questo punto calcolare la correlazione fra i rendimenti di A e B sulla base della correlazione fra i diversi fattori;
  80. 80. CreditMetrics  TM Le componenti idiosincratiche del rendimento dei due titoli sono ipotizzate indipendenti dalle rimanenti variabili quindi la loro correlazione con qualsiasi altro indice è pari a 0 ρ A, B = w1, A w1, B ρ I1 , I 2 + w2, A w1, B ρ I 2 , I 3  Per ottenere gli scenari occorre generare numeri casuali distribuiti secondo una normale standard ma con correlazione assegnata pari alla matrice di correlazione ricavata dai proxy di mercato  Per questo si può ricorrere al metodo della decomposizione di Cholescky
  81. 81. CreditMetrics  TM Dopo aver determinato la decomposizione di Cholescky dalla matrice di correlazione procediamo alla generazione dei numeri casuali correlati in 4 stadi    Iniziamo con la generazione di numeri casuali normali standard non correlati; Moltiplichiamo ogni vettore per la matrice di Cholescky Associamo questi scenari dei rendimenti alle varie classi di rating in quanto ogni variazione dei rendimenti comporta il cambiamento dei valori soglia;   E’ possibile simulare la migrazione del rating del singolo emittente confrontando i valori estratti dalla distribuzione aleatoria con i valori soglia determinati per ogni classe di rating. In funzione dell’intervallo nel quale il valore estratto cade è possibile determinare il rating del singolo soggetto per ogni giro della simulazione. Infine determiniamo il valore delle esposizioni delle 3 attività finanziarie per ogni classe di rating.
  82. 82. CreditMetrics  TM Valorizzazione dell’esposizione   Analogamente a quanto descritto in precedenza il valore di ogni esposizione nelle varie classi di rating è uguale al valore attuale dei flussi di cassa futuri scontati agli appropriati fattori di sconto forward; L’unica eccezione riguarda il valore dell’esposizione in caso di default che si considera pari ad una percentuale di recupero sul valore nominale dell’esposizione  Gli autori di CreditMetrics™ ipotizzano che il recovery rate si distribuisca secondo una distribuzione Beta, che può variare fra 0 ed 1 ed è caratterizzata da due parametri alfa e beta, che sono funzione della media e della deviazione standard della distribuzione stessa µ (µ − µ 2 − σ 2 ) α= σ2 (1 − µ ) µ 2 − µσ 2 (1 − µ ) 2 σ β= µ
  83. 83. CreditMetrics  TM Conclusioni    Il modello CreditMetrics™ consente di stimare il Value-at-Risk (VaR) relativo al rischio di credito delle attività finanziarie (obbligazioni, prestiti bancari, etc…); In particolare si perviene all’identificazione della massima perdita potenziale del portafoglio su un orizzonte temporale predefinito e in base ad un certo intervallo di confidenza; Questo modello richiede molti input di base tra cui     Un sistema di rating interno per la classificazione dei prenditori in classi di rischio Una matrice di transizione che fornisce le probabilità di transizione da una classe di rating ad un’altra I tassi forward ad un anno per ogni classe di rating necessari per l’attualizzazione dei flussi di cassa futuri dell’esposizione I tassi di recupero sull’esposizione suddivisi per classi di seniority
  84. 84. CreditMetrics TM  L’importanza di questo modello è stata recentemente ribadita dal Comitato di Basilea sulla Vigilanza Bancaria che lo ha adottato come riferimento metodologico per la determinazione dei nuovi coefficienti di adeguatezza del capitale delle istituzioni finanziarie a fronte del rischio di credito.  Limiti del modello CreditMetrics   1) Per risalire dalla probabilità osservata a quella usata nel modello di Merton è necessario conoscere volatilità dell'attivo e prezzo di mercato del rischio 2) La correlazione tra i valori dell'azienda, che è ricavata dalla correlazione tra i valori dell'equity, può essere significativamente distorta dalla presenza di leverage"
  85. 85. Testi di riferimento  S. Benninga   U. Cherubini, G. Della Lunga   Misurare e Gestire il Rischio di Credito nelle Banche Alpha Test, 2001 F. Saita   Matematica Finanziaria, applicazioni con VBA per Excel McGraw-Hill, 2002 A. Resti (a cura di)   Il Rischio Finanziario McGraw-Hill, 2001 U. Cherubini, G. Della Lunga   Modelli Finanziari McGraw-Hill, 2001 Il risk management in banca EGEA, 2000 A. Sironi, M. Marsella (a cura di)  La misurazione e la gestione del Rischio di Credito Bancaria Editrice, 1998
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