Capitolo 6a   elementi di valutazione dei prodotti derivati
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    Capitolo 6a   elementi di valutazione dei prodotti derivati Capitolo 6a elementi di valutazione dei prodotti derivati Presentation Transcript

    • Finanza Computazionale Introduzione alla Valutazione dei Prodotti Derivati CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Introduzione al pricing Il principio di Arbitraggio Il modello Binomiale Il modello di Black e Scholes Metodi alle Differenze Finite Metodo Monte Carlo CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Definizioni   Da un punto di vista del tutto generale con il termine Monte Carlo si intende una tecnica numerica che faccia uso di numeri casuali per risolvere un problema. il metodo Monte Carlo consiste nel rappresentare la soluzione di un problema come parametro di un’ipotetica popolazione ed usare una sequenza di numeri casuali per costruire un campione della popolazione dal quale possano essere estratte stime statistiche del parametro. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Problemi risolubili col Metodo Monte Carlo  A. Problemi di natura intrinsecamente probabilistica in cui sono coinvolti fenomeni legati alla fluttuazione stocastica di variabili aleatorie. Due problemi tipici che rientrano in questa categoria sono il pricing di un’opzione e la stima del VaR di un portafoglio.  B. Problemi di natura essenzialmente deterministica, del tutto privi cioè di componenti aleatorie, ma la cui strategia di soluzione può essere riformulata in modo tale da risultare equivalente alla determinazione del valore di aspettazione di una funzione di variabili stocastiche. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Simulazione Monte Carlo e Integrazione  Un’estrazione da un campione di numeri casuali può essere utilizzata come stimatore di un integrale 1 I = ∫ f ( x)dx 0 Questa espressione può essere interpretata come il valore di aspettazione della funzione f di una variabile aleatoria a valori uniformemente distribuiti nell’intervallo [0, 1] CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Simulazione Monte Carlo e Integrazione x variabile aleatoria con densita di probabilità data da g ( x) f ( x) E [ f ( x )] ? E [ f ( x )] = max x ∫ f ( x) g ( x)dx min x x variabile aleatoria uniformemente distribuita fra 0 ed 1 0 se x < 0 o x > 1 g ( x) =   1 altrimenti 1 E[ f ( x)] = ∫ f ( x)dx 0 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Simulazione Monte Carlo e Integrazione  Diventa così possibile stimare il valore del nostro integrale tramite una media aritmetica di n valori di f(xi) dove ciascun xi rappresenta un campione estratto da una distribuzione uniforme in [0, 1]. In altre parole possiamo affermare che la quantità ~ 1 In = n n ∑ f (x ) i i =1 ♦ rappresenta uno stimatore non distorto di I. La varianza di questa stima risulta pari a: σ2 1 n  1  n  1 ~ 2 var( I n ) = var  ∑ f ( xi ) = 2 var ∑ f ( xi ) = ∫ [ f ( x) − I ] dx = n  n i =1  n  i =1  n0 1 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Simulazione Monte Carlo e Integrazione  l’errore quadratico medio dello stimatore, che può essere interpretato come l’errore quadratico medio della simulazione Monte Carlo, decresce all’aumentare di n come 1/ n   Questo risultato risulta del tutto indipendente dalla dimensione del problema. E’ proprio quest’ultima caratteristica che rende attraente il metodo Monte Carlo per la risoluzione di problemi con un numero elevato di dimensioni. In questo caso tipicamente il metodo Monte Carlo risulta convergere verso il valore finale più velocemente dei metodi numerici tradizionali in cui il numero di iterazioni per raggiungere un’approssimazione prefissata cresce con l’aumentare del numero di dimensioni. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Pricing di strumenti derivati  Il pricing di un’opzione è affrontato usualmente nel contesto della cosiddetta valutazione neutrale rispetto al rischio. Indicando con f T il valore dell’opzione stessa alla scadenza T, il valore ad oggi, f, sarà dato da ( ˆ f e− r T f =E T ) (1) essendo Ê il valore di aspettazione risk-neutral ed <r> il valore medio fra t = 0 e t = T del tasso privo di rischio. Qualora si assuma di conoscere con certezza il valore di <r> il problema può essere semplificato e la (1) diventa f =e − r T ˆ E[ fT ] CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE (2)
    • Pricing di strumenti derivati    La formulazione del problema rende evidente la sua natura intrinsecamente probabilistica. L’applicazione del metodo Monte Carlo nel caso in esame si riduce essenzialmente alla generazione di un numero sufficientemente elevato di stime di f T da cui estrarre il valore medio. A tal fine è necessario innanzi tutto introdurre un’ipotesi sul modo in cui il prezzo del titolo sottostante si evolve nel tempo;  Un’assunzione abbastanza comune è che il prezzo dell’azione segua un moto geometrico browniano. Secondo questa ipotesi il tasso di variazione del prezzo in un intervallo di tempo infinitesimo è descritto da dS = µSdt + σSdz (3) dove m è il tasso di rendimento atteso e s è la volatilità del prezzo dell’azione. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Pricing di strumenti derivati  Ricordiamo che...  La simulazione viene condotta dividendo l’intervallo di vita del derivato in N intervalli ciascuno di ampiezza ∆t.  Si può dimostrare che la versione discreta della precednte equazione è data da ∆S = µS∆t + σSε ∆t dove ∆S è la variazione di prezzo nell’intervallo ∆t ed e è un numero casuale estratto da una distribuzione normale CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Pricing di strumenti derivati  A questo punto siamo in grado di calcolare i valori assunti da ∆S (e quindi da S) agli istanti 0, ∆t, 2 ∆t, ….fino alla scadenza T.   Si noti che il processo di simulazione richiede la generazione di N numeri casuali indipendenti normalmente distribuiti. Una volta simulato il valore del titolo sottostante al tempo T siamo in grado di ricavare il valore dell’opzione alla stessa data. Supponendo che l’opzione sia di tipo call avremo semplicemente fT = max(ST − K ,0)  essendo K lo strike price. Ripetendo la procedura appena descritta un numero molto elevato di volte siamo in grado di ottenere una distribuzione di valori per f T dalla quale è possibile estrarre il valore di aspettazione. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Esempio Esempio Programmazione Programmazione VBA VBA “Crude” Monte Carlo “Crude” Monte Carlo CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Un Problema di Efficienza  Immaginiamo di voler calcolare un certo parametro P (ad esempio il prezzo di un’opzione) e di poter scegliere fra due diverse stime ottenibili con il metodo Monte Carlo rappresentate dalle due serie di valori ottenuti con il processo di simulazione ˆ P1i , i = 1,..., n  ˆ P2i , i = 1,..., n Supponiamo poi che entrambi gli stimatori siano corretti, cioè valga [ ] [ ] ˆ E P2 = P ˆ EP =P 1 ma con σ1 < σ 2 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Un Problema di Efficienza    Chiaramente sulla base di queste sole informazioni saremmo portati a scegliere il primo stimatore in quanto, a parità di numero di simulazioni, l’errore di stima risulterà senz’altro minore. Tuttavia, come accennavamo poco sopra, questa conclusione rischia in realtà di non essere corretta in quanto non tiene conto del fatto che i due stimatori possono richiedere risorse computazionali molto diverse fra loro; in particolare generare n replicazioni di P1 potrebbe richiedere molto più tempo che generare n replicazioni di P2. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Un Problema di Efficienza    Un primo approccio al problema potrebbe essere quello di introdurre esplicitamente nelle nostre considerazioni il tempo di calcolo richiesto. Supponiamo che il tempo richiesto per generare una singola replicazione di Pj possa essere espresso da una costante che indicheremo con bj, avendo a disposizione un tempo totale di calcolo pari a t il numero di replicazioni di Pj che possiamo generare sarà pari a t/bj. I due stimatori possono pertanto essere riscritti introducendo esplicitamente il tempo di calcolo nelle formule b1 t / b1 ˆ 1 ∑ Pi t i =1 b2 t CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE t / b2 ˆi 2 ∑P i =1
    • Un Problema di Efficienza  Per valori sufficientemente alti di t queste due quantità sono normalmente distribuite con media P e standard deviation σ1  b1 t σ2 b2 t pertanto per grandi valori di t il primo stimatore sarà preferibile al secondo se σ b <σ b 2 1 1 2 2 2  Il prodotto della varianza per il tempo necessario ad eseguire un singolo run viene indicato in letteratura col nome di efficienza (Hammersley e Handscomb, 1964).  Usando l’efficienza come base per il confronto fra diversi stimatori possiamo concludere che lo stimatore a bassa varianza è preferibile all’altro solo se il rapporto delle varianza è più piccolo del rapporto fra i tempi di singola replicazione. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Variabili Antitetiche Uno dei metodi più semplici e più utilizzati in campo finanziario per la riduzione della varianza è senz’altro il metodo delle variabili antitetiche. Consideriamo di nuovo la procedura classica di stima del prezzo di un’opzione, per semplicità espositiva ci limiteremo ancora al contesto del modello di Black e Scholes.    Se si adotta la tecnica della variabile antitetica, in ogni simulazione si devono determinare due valori. Il primo valore è quello calcolato nel modo consueto... ...mentre il secondo valore viene calcolato cambiando segno a tutti i campioni estratti casualmente dalle distribuzioni normali standardizzate. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Variabili Antitetiche   I due stimatori hanno chiaramente le stesse proprietà statistiche essendo estratti dallo stesso campione (in particolare hanno la stessa varianza). Il valore campionario del derivato calcolato in ogni simulazione è la media di questi due valori e la sua varianza è data da ~  Ci + Ci  1 ~ Var   = Var Ci + Ci  2  4 1 ~ = Var ( Ci ) + Cov Ci , Ci 2 [ [ ] ( )] CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Variabili Antitetiche Pertanto se avremo . Comunque occorre tenere presente che questa procedura richiede un numero di simulazioni doppio rispetto al caso standard per cui è necessario ragionare in termini di efficienza. Se supponiamo che la generazione dei numeri casuali richieda un tempo trascurabile rispetto al calcolo del prezzo allora possiamo affermare che il tempo impiegato utilizzando le variabili antitetiche sia all’incirca doppio di quello richiesto nel caso standard. In questo caso il metodo delle variabili antitetiche è preferibile in termini di efficienza rispetto al metodo standard se si verifica la condizione CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Variabili Antitetiche Questa condizione è equivalente a richiedere che Verifichiamo se questa condizione è valida. Indichiamo con ϕ la funzione definita dalla relazione ; supponiamo che ϕ sia la composizione di due funzioni monotone, la prima è quella che lega il valore del sottostante alla variabile aleatoria Z, la seconda è la funzione che calcola il payoff come valore massimo fra 0 e la differenza fra il prezzo del sottostante e lo strike price. In queste condizioni anche ϕ è monotona. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Variabili Antitetiche Utilizzando una disuguaglianza standard possiamo allora verificare che da cui segue immediatamente Quindi il metodo delle variabili antitetiche è più efficiente del metodo standard a patto che siano verificate le condizioni di monotonicità citate. Nel caso di payoff non monotoni il metodo non necessariamente fornisce prestazioni migliori del Monte Carlo standard, anzi, in alcune condizioni i risultati sono sensibilmente peggiori. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Moment Matching Il metodo dei momenti moment matching) comporta l’aggiustamento campioni estratti da una(distribuzione normale standardizzata in modo dei da assicurare l’uguaglianza tra i momenti campionari (in genere il primo e il secondo) e i corrispondenti momenti della distribuzione probabilistica.  Indichiamo con Z i campioni estratti da una distribuzione normale usati per calcolare la variazione di valore di una certa variabile in un certo periodo di tempo. Per assicurare l’uguaglianza dei primi due momenti calcoliamo la media campionaria m e la deviazione standard campionaria s. Quindi definiamo nel modo seguente i campioni aggiustati i Zi − m Z = s ' i CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Esempio Excel Esempio Excel Confronto fra alcuni metodi di Confronto fra alcuni metodi di Riduzione della Varianza Riduzione della Varianza CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Greek Letters: Differenze Finite  Consideriamo il problema legato al calcoloZ’ del due estrazioni indipendenti da una Ze sono Delta di un’opzione normale standard europea ∆=  ∂C ∂S0 Un approccio diretto al problema può consistere nella generazione di due prezzi finali, il primo ST = S0e ( r −σ 2 / 2)T +σ T Z a partire dal valore S0 , e il secondo a partire dal valore perturbato S0 + ε ST = ( S 0 + ε )e ( r −σ 2 / 2)T +σ T Z ' CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Greek Letters  Per ogni valore del prezzo finale possiamo poi calcolare il valore dell’opzione corrispondente C ( S 0 ) = e −rT max(0, S T − K ) C ( S 0 + ε ) = e − rT max(0, S T (ε ) − K ) ~ C ( S0 + ε ) − C ( S0 ) ∆= ε CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Greek Letters ( ) ~ −2 −2 Var ∆ = ε {Var[ C ( S0 + ε )] + Var[ C ( S0 )]} = O (ε )  Problema   Poiché i valori per ST e ST(ε) sono generati indipendentemente l’uno dall’altro la varianza di delta diverge al diminuire del valore di ε. Per ottenere uno stimatore che converga verso il valore effettivo del Delta occorre diminuire in maniera graduale (e lenta) il valore di ε all’aumentare di n. Complessivamente questo rallenta la velocità di convergenza fino a livelli del tutto inaccettabili. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Greek Letters  Una stima migliore può essere ottenuta utilizzando il metodo dei Numeri Casuali Comuni (Common Random Numbers) che nella fattispecie si traduce nell’utilizzare lo stesso numero casuale Z sia nel calcolo di S0 che di S0 + ε.  Se denotiamo con ∆^ la stima del Delta così calcolata; per un valore di ε fissato, la media di un campione di repliche indipendenti di ∆^ converge al valore effettivo di Delta ma il calcolo della varianza ora fornisce un valore diverso in quanto C(S0) e C(S0 + ε) non sono più indipendenti () ˆ Var ∆ = ε −2 {Var [ C ( S 0 )] + Var [ C ( S 0 + ε )] − 2Cov[ C ( S 0 ), C ( S 0 + ε )]} Cov > 0  C ( S0 + ε ) − C ( S0 )  Var   = O (1) ε   CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Esempio Excel Esempio Excel Common Random Numbers Common Random Numbers Stima del Delta Stima del Delta CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Variabile di controllo  Il metodo della variabile di controllo mantiene inalterata la funzione di distribuzione campionata, il miglioramento dell’efficienza si ottiene in questo caso ricorrendo ad una funzione ausiliaria v(z) correlata a k(z) di cui è noto esattamente l’integrale ℑC = ∫ v( z )dF ( z ) Z  Il metodo della variabile di controllo funziona bene quando quest’ultima ha un elevato grado di correlazione con la variabile che intendiamo stimare. Una situazione di questo tipo si presenta quando vogliamo conoscere il prezzo di un’opzione asiatica se utilizziamo come variabile di controllo il prezzo dell’opzione asiatica a media geometrica corrispondente. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Variabile di controllo  Un esempio pratico: il pricing di un’opzione asiatica  Le opzioni asiatiche sono opzioni il cui valore finale dipende dal prezzo medio dell’attività sottostante osservato, almeno in parte, durante la vita dell’opzione.  Il valore finale di una call scritta sul prezzo medio (average price call) è max(0,Save-X) e quello di una put scritta sul prezzo medio (average price put) è pari a max(0, X – Save) essendo il prezzo medio calcolato in un periodo determinato (Hull, 2000).  Le opzioni average price sono meno care delle opzioni ordinarie in quanto il calcolo della media diminuisce di fatto la volatilità del sottostante. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Variabile di Controllo    Se si assume che il prezzo dell’attività sottostante, S, sia distribuito in modo log-normale e che Save sia una media geometrica degli S, possiamo utilizzare delle formule analitiche per valutare le opzioni asiatiche di tipo europeo. Ciò dipende dal fatto che la media geometrica di un insieme di variabili distribuite in modo log-normale è anch’essa log-normale. Si può dimostrare che in un mondo neutrale verso il rischio il prezzo di un’opzione asiatica scritta su una media geometrica calcolata su m periodi temporalmente equidistanziati...   G =  ∏ St j     j =1  m 1/ m è pari a ... 1 2    CG = exp( − rT ) exp µ G + σ G  N ( d 1 ) − KN ( d 2 ) 2     CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Variabile di Controllo  dove 1 2T +h  µG = ln ( S 0 ) +  r − q − σ  2  2  2 σ G = σ 2h ( 2m + 1)( m + 1) 6m 2 µ G − ln( K ) + σ G d1 = σG d 2 = d1 − σ G CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE h =T /m
    • Variabile di Controllo Nella sim ulazione Mont ee Carlo st andar d ilil prezzo dell’opzione Nella sim ulazione Mont Carlo st andard prezzo dell’opzione viene calcolat oocom ee viene calcolat com [[ ]] − rT C ( i()i )==ee − rT Emax( A( i()i )−−K ,00), , E max( A C K, ) i i== 1 , , n 1, ,  n dove A( i)i)èèla m edia arit m et ica discret aacam pionat aa dove A( la m edia arit m et ica discret cam pionat 11 mm ( i ) A == ∑ SS ( it)jt A j m j∑ m =1 (i ) (i ) j =1 calcolat aasu un insiem eediscret oodi punt i i calcolat su un insiem discret di punt T hh== T, , t0 ==00, j j== 1,2 , , m 1,2, ,  m t0 , m m ed nnèèililnum ero di sim ulazioni. Quest oopor t aaallo st im at ore ed num ero di sim ulazioni. Quest port allo st im at ore t t ==t t−1 ++hh, , j j j j −1 n n ˆ ˆ= 11∑ C ( i()i ) C = C n ∑C ni =i1 1 = CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Variabile di controllo Ut ilizzando ilil m et odo della variabile di cont rollo olt re alle Ut ilizzando m et odo della variabile di cont rollo olt re alle variabili descrit t t e sopra dobbiam oo calcolare la m edia variabili descrit e sopra dobbiam calcolare la m edia geom et rica per ogni sim ulazione geom et rica per ogni sim ulazione 1/ m  mm ( i ) 1 / m (i ) ( i )=  G = SSj ( i ) ∏ t  G =1  j∏ t j   j =1  eeililvalore cam pionat oodell’opzione asiat ica aam edia geom et rica valore cam pionat dell’opzione asiat ica m edia geom et rica ( CGi()i )==exp( −− rT ) max( Gi()i )−−K ,00) rT ) max( G ( CG exp( K, ) Quest aavolt aaperò ut ilizzerem oolo st im at ore Quest volt però ut ilizzerem lo st im at ore n ( ˆ 1 n Cˆ== 1∑ (C ( i()i )−−CGi()i )++CG ) ) C n ∑ (C CG C G ni =i1 1 = CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Variabile di controllo 25,00 25,00 Asiatica Aritmetica Asiatica Aritmetica Europea Black & Scholes Europea Black & Scholes Asiatica Geometrica Asiatica Geometrica 20,00 20,00 15,00 15,00 10,00 10,00 5,00 5,00 0,00 0,00 0,05 0,05 0,10 0,10 0,15 0,15 0,20 0,20 0,25 0,30 0,25 0,30 Volatilità Sottostante Volatilità Sottostante 0,35 0,35 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE 0,40 0,40 0,45 0,45 0,50 0,50
    • Variabile di controllo 35,00 35,00 30,00 30,00 Asiatica Aritmetica Asiatica Aritmetica Europea Black & Scholes Europea Black & Scholes Asiatica Geometrica Asiatica Geometrica 25,00 25,00 20,00 20,00 15,00 15,00 10,00 10,00 5,00 5,00 0,00 0,00 0,5 0,5 1,0 1,0 1,5 1,5 2,0 2,0 2,5 3,0 2,5 3,0 Tempo a Scadenza Tempo a Scadenza 3,5 3,5 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE 4,0 4,0 4,5 4,5 5,0 5,0
    • Variabile di controllo 0,8000 0,8000 MC Standard MC Standard MC Controllo MC Controllo MC Antithetic MC Antithetic 0,7000 0,7000 0,6000 0,6000 0,5000 0,5000 0,4000 0,4000 0,3000 0,3000 0,2000 0,2000 0,1000 0,1000 0,0000 0,0000 0,05 0,05 0,10 0,10 0,15 0,15 0,20 0,20 0,25 0,25 0,30 0,30 Volatilità Sottostante Volatilità Sottostante 0,35 0,35 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE 0,40 0,40 0,45 0,45 0,50 0,50
    • Variabile di controllo 0,8000 0,8000 MC Standard MC Standard MC Antithetic MC Antithetic MC Controllo MC Controllo 0,7000 0,7000 0,6000 0,6000 0,5000 0,5000 0,4000 0,4000 0,3000 0,3000 0,2000 0,2000 0,1000 0,1000 0,0000 0,0000 0,5 0,5 1,0 1,0 1,5 1,5 2,0 2,0 2,5 2,5 3,0 3,0 Tempo a Scadenza Tempo a Scadenza 3,5 3,5 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE 4,0 4,0 4,5 4,5 5,0 5,0
    • Esempio Excel Esempio Excel Pricing di un’Opzione Asiatica Pricing di un’Opzione Asiatica CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE