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Capitolo 5   richiami prob. stat. mercati fin
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Capitolo 5 richiami prob. stat. mercati fin

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    Relazione tra 2 settori azionari dello stesso mercato
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    Introduzione del concetto di diversificazione.
    Relazione inversa tra mercato azionario e obbligazionario (spiegazione economica).
    I punti verdi sono casi anomali ma reali: come imterpretarli e come gestirli?

Transcript

  • 1. Finanza Computazionale Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 2. Introduzione ai Processi Stocastici Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 3. Probabilità  Ogni tentativo di dare una definizione rigorosa dei concetti probabilistici più elementari si trova di fronte ad un problema; infatti, non solo esistono differenti formalizzazioni e assiomatizzazioni della probabilità ma a queste corrispondono, in generale, molteplici nozioni intuitive di probabilità spesso assai diverse fra loro.  Al di la delle differenze di carattere formale un elemento comune posseduto da tutte le forme di probabilità riguarda il suo significato intuitivo di valutazione della possibilità che un dato evento possa accadere o meno. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 4. Probabilità  Sia nelle scienze naturali sia in quelle economiche si è soliti assumere che un certo evento sia il risultato di un ipotetico esperimento intendendo con questo termine l’insieme di tutte “le azioni e le condizioni ambientali che conducono al determinarsi di un fatto”.  E’ un esperimento la misura di una grandezza fisica, il lancio di un dado o di una moneta, il verificarsi o meno di un particolare stato di natura (es. l’indice MIB30 supera il livello 50.000). CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 5. Probabilità  Indicheremo con   e con   1. 2. 3. ω un particolare stato di natura esito di un dato esperimento Ω l’insieme di tutti gli stati possibili (spazio campione). Il concetto di evento é associato al verificarsi di uno o più stati di natura, esso verrà pertanto rappresentato come sottoinsieme di Ω. Lo spazio degli eventi, A, è quindi una famiglia di sottoinsiemi di Ω caratterizzata dalle seguenti proprietà: Ω ∈ A; se l’evento ω ∈ A allora anche il suo complemento Ω - ω ∈ A; se ωn ∈ A, allora ωn ∈ A CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 6. Probabilità  Esempio – consideriamo l’esperimento aleatorio per antonomasia: il lancio di un dado. In questo caso lo spazio campione è formato dall’insieme dei sei numeri che possono risultare dal lancio stesso Ω = { 1,,2, 3, 4, 5, 6 } Ω = 1 2, 3, 4, 5, 6 Vediamo il significato di alcuni elementi di A. Ad esempio l’elemento ω1 = { 1,2} corrisponde all’evento “il numero risultante dal lancio è minore o uguale a 2”. Altri elementi sono ω 2 = { 1,3,5} vale a dire “il numero risultante è dispari”, e ω 3 = { 2,4,6} cioè “il numero uscente è pari”. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 7. Probabilità  Definiamo funzione di probabilità una funzione P a valori reali che soddisfa le seguenti proprietà: P (ω) ≥ 0, ∀ω ∈ A P (Ω) = 1 ∞  ∞ P  ωn  = ∑P (ωn )    n =1  n =1 se gli ωn sono a due a due disgiunti.  Osserviamo che una funzione di probabilità così definita è anche una misura. La terna (Ω, A , P) viene detta spazio di probabilità. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 8. Probabilità  L’interpretazione geometrica P (Ω ) = 1 L’area complessiva è uguale a 1 ω1 Ω P (ω) ≥ 0, ∀ω ∈ A ω3 ∞  ∞ P  ω n  = ∑ P ( ω n )    n =1  n =1 L’area di un insieme di superfici che non si sovrappongono è la somma delle aree delle singole superfici L’area di ogni sottoinsieme è sicuramente positiva ω4 ω2 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 9. Introduzione ai Processi Stocastici Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 10. Variabili Aleatorie  Dato uno spazio di probabilità, una variabile aleatoria o casuale viene definita come una funzione X :Ω→ℜ   Può esservi una certa confusione fra il concetto di variabile stocastica e quello di evento. Se in un determinato “esperimento” si è interessati unicamente al valore che una determinata grandezza può assumere allora effettivamente il valore di questa grandezza descrive compiutamente l’evento. In questo caso il valore assunto dalla variabile aleatoria, x, si chiama “campione” della variabile aleatoria X e può essere pensato come una sorta di “etichetta” dell’evento e(x) definito dalla relazione e( x) = { ω ∈ Ω : X ( ω ) = x} CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 11. Variabili Aleatorie  Potremmo poi pensare di definire la funzione distribuzione di probabilità della variabile aleatoria X come la probabilità corrispondente all’evento caratterizzato da un ben definito valore di X FX ( x ) = P ( X = x ) = P( { ω ∈ Ω : X ( ω ) = x} )   Se la funzione X può assumere solo valori discreti, la definizione appena data è legittima, tuttavia se X è una funzione a valori continui, la probabilità di ottenere come risultato un qualunque valore prefissato è nulla. L’evento a cui, in ogni caso, possiamo assegnare probabilità non nulla è l’evento corrispondente al caso in cui la variabile aleatoria X non supera un livello prefissato { ω ∈ Ω : X (ω ) ≤ r} ∈ A  Abbiamo pertanto la seguente definizione di variabile aleatoria … CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 12. Variabili aleatorie  Dato uno spazio di probabilità, una variabile aleatoria o casuale viene definita come una funzione X :Ω→ℜ tale che per ogni numero reale r si abbia { ω ∈ Ω : X ( ω ) ≤ r} ∈ A  La funzione FX ( x ) = P ( X ≤ x ) = P( { ω ∈ Ω : X (ω ) ≤ x} ) definita sull’insieme dei numeri reali, viene detta funzione di distribuzione cumulata o, più semplicemente, funzione di distribuzione. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 13. Variabili Aleatorie  Una variabile aleatoria è detta discreta se l’insieme dei valori che può assumere è numerabile. Sia (Ω, A , P) uno spazio di probabilità e X una variabile aleatoria discreta. Definiamo la funzione di probabilità come  P( X = x ) : se x = xi , per qualche i = 1,2,.... f X ( x) =  : altrimenti 0  La funzione di probabilità e la funzione di distribuzione sono legate dalla relazione: FX ( x) = ∑ f X ( xi ) xi ≤ x Il lancio di un dado rappresenta una tipica variabile aleatoria discreta CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 14. Variabili Aleatorie  Una variabile aleatoria X è detta continua se esiste una funzione reale fX tale che per ogni x reale sia soddisfatta la relazione x FX ( x) =  ∫ f X ( y )dy −∞ Nei punti in cui la funzione di distribuzione è derivabile vale anche la relazione inversa dFX ( x) f X ( x) = dx  La funzione f(x) in questo caso viene detta funzione densità di probabilità (o semplicemente funzione densità). CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 15. Introduzione ai Processi Stocastici Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 16. Momenti  Il valor medio o valore di aspettazione di X, che indicheremo con , è definito come µ X = E [ X ] = ∑ xi f X ( xi ) i  In generale si definisce momento dall’origine (o momento grezzo) di ordine r, e si indica, la media della variabile aleatoria Xr.  La definizione è naturalmente applicabile solo nel caso in cui tale media sia finita. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 17. Momenti  In pratica vengono comunemente utilizzati i primi quattro momenti:     media varianza skewness (o asimmetria) curtosi CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 18. Momenti  La varianza di X, indicata con , è la media degli scarti quadratici rispetto alla media e rappresenta una misura di dispersione di X.  La sua radice quadrata è detta deviazione standard.  La varianza è definita da 2 σ X = ∑ ( xi − µ X ) 2 f X ( xi ) i   Da cui è immediato ricavare [ ] 2 σ X = E X 2 − ( E[ X ] ) 2 Uno stimatore della varianza è dato da   n∑ x i −  ∑ xi  i =1  i =1  s= n(n − 1) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE n 2 n 2
  • 19. Il significato della deviazione standard  Due serie storiche di cui la seconda ha standard deviation doppia dell’altra... 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 20. Il significato della deviazione standard  ... e le rispettive distribuzioni di probabilità! 160 160 140 140 120 120 100 100 80 80 60 60 40 40 20 20 0 -2.00 -1.18 -0.37 0.45 1.27 0 -2.00 -1.18 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE -0.37 0.45 1.27
  • 21. Momenti     Il momento centrale di ordine 3 ci dà informazioni sul grado di asimmetria di una distribuzione attorno alla sua media ed è comunemente indicato col termine skewness. L'asimmetria positiva indica una distribuzione con una coda asimmetrica che si estende verso i valori più positivi. L'asimmetria negativa indica una distribuzione con una coda asimmetrica che si estende verso i valori più negativi. Uno stimatore di questa grandezza è dato da n n  xi − x  ∑ s  ( n − 1)(n − 2) i =1  3 in cui s è lo stimatore della standard deviation e è il valor medio. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 22. Momenti  La relazione tra momento del terzo ordine e coefficiente di asimmetria, solitamente indicato con β1/2, è data da β1 =  µ3 σ3 Valori positivi dell’asimmetria indicano che la distribuzione è asimmetrica per valori crescenti della variabile x (a destra) mentre un’asimmetria negativa sta ad indicare una distribuzione asimmetrica a sinistra. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 23. Momenti  Vediamo infine la curtosi, indicata con β2, di un insieme di dati.  Essa è legata al momento centrale di ordine 4 dalla relazione β2 = µ4 σ4 ed è caratteristica delle cosiddette “code grasse”.   Gli stimatori comunemente utilizzati riportano in realtà la cosiddetta “curtosi in eccesso” ovvero la differenza fra e 3. Questo è dovuto al fatto che la distribuzione normale o gaussiana ha curtosi pari a 3 e questo indicatore viene spesso utilizzato come indice per comprendere quando la distribuzione di un insieme di dati si allontani dalla normalità. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 24. Momenti  La formula utilizzata per lo stimatore è riportata sotto;  s è lo stimatore della standard deviation e è il valor medio.  n x − x 4 n(n + 1) 3( n − 1) 2  i   ∑  s   − (n − 2)(n − 3)  ( n − 1)(n − 2)(n − 3) i =1      Nell’immagine un esempio di distribuzione empirica dei rendimenti di un titolo in cui si evidenzia il fenomeno della “leptocurtosi” (code grasse) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 25. Momenti  Si possono facilmente generalizzare al caso continuo i risultati per le distribuzioni discrete.  Il valore di aspettazione sarà pertanto definito come E[ X ] = ∫x f X ( x) dx D( x)  In cui l’integrazione è estesa al dominio di definizione della variabile che può variare a seconda del tipo di distribuzione.  In maniera analoga si generalizzano le definizioni di varianza e degli altri momenti. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 26. Cenni di Statistica dei Mercati Finanziari     Come vedremo più avanti la grandezza di cui siamo interessati a stimare le caratteristiche statistiche non è il prezzo di un titolo ma la sua variazione percentuale (rendimento); In prima approssimazione possiamo ipotizzare che il rendimento di un titolo azionario sia distribuito in maniera normale; In realtà quest’assunzione è fortemente criticabile anche se di impiego quasi universale in pratica; La distribuzione effettiva dei rendimenti tende ad essere leptocurtotica CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 27. Dalla serie storica dei prezzi a quella dei rendimenti  Il primo calcolo che dobbiamo fare è quindi quello di trasformare la serie storica dei prezzi in serie storica dei rendimenti del titolo o della generica attività finanziaria:  sia     n il numero di osservazioni; Si il prezzo dell’azione alla fine dell’i-esimo intervallo (i = 0,1,..,n); τ la lunghezza dell’intervallo in anni Indichiamo con ui il tasso di rendimento composto continuamente non annualizzato relativo all’intervallo considerato  Si  ∆S ui = ln S ≈ S   i −1  CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 28. La Stima della Volatilità  Una stima della deviazione standard è data da 1 1 1   2 2 s= ∑ ( ui − u ) = n − 1 ∑ ui − n(n − 1)  ∑ ui  n − 1 i =1 i =1  i =1  n  n n 2 Questa è una stima della volatilità giornaliera, per ottenere una stima della volatilità annualizzata occorre moltiplicare per la radice quadrata del numero di giorni lavorativi in un anno.  Scegliere un valore per n non è facile, in generale più dati si usano e maggiore è l’accuratezza. Tuttavia σ cambia nel tempo e i dati troppo vecchi possono non essere rilevanti per prevedere il futuro.  Un compromesso che sembra funzionare abbastanza bene è quello di utilizzare i prezzi di chiusura giornalieri degli ultimi 90-180 giorni. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 29. Stima della volatilità  Si noti che la volatilità così stimata è una volatilità che si riferisce al periodo della serie storica   Es. se abbiamo una serie di rendimenti giornalieri, la volatilità sarà la volatilità giornaliera del rendimento; Occorre riportare ad un’unità di misura comune;  Es. per ricondurre tutto a volatilità annuali, sotto opportune ipotesi statistiche, occore moltiplicare per la radice del numero di giorni lavorativi σ y = σ d 250 Volatilità annuale Volatilità giornaliera CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE Nr. Giorni Lavorativi in un Anno
  • 30. Esempio Esempio Programmazione Programmazione VBA VBA Distribuzione dei Rendimenti di un Indice Azionario Distribuzione dei Rendimenti di un Indice Azionario CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 31. Introduzione ai Processi Stocastici Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 32. Distribuzioni Discrete  Distribuzione Uniforme  Sia X una variabile aleatoria che assume valori nel dominio dei numeri naturali 1, 2, ... , n. Diremo che tale variabile ha una distribuzione uniforme se risulta 1 n : x = 1,2,, n f X ( x ) = f X ( x, n ) =  : altrimenti 0  Valor medio e varianza sono dati da: 1 n (n + 1)n n + 1 E[ X ] = ∑ i = = n i =1 2n 2 2 σX = E[ X ] − ( E[ X ]) 2 2 1 n 2 (n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) (n + 1) 2 n 2 − 1 = ∑i − = − = n i =1 4 6 4 12 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 33. Distribuzioni Discrete  Distribuzione Binomiale  Dati n eventi indipendenti, tutti con uguale probabilità p, sia X la variabile casuale che conta il numero totale di eventi che si verificano fra quelli possibili.  X ha una distribuzione binomiale con parametri n e p. La funzione di probabilità è f X (i ) = n! p i (1 − p ) n −i i!( n − i )! per i = 0, 1, 2, ..., n  valor medio e varianza sono dati da E [ X ] = np 2 σX = np (1 − p ) Funzione di Probabilità e Distribuzione Cumulata Binomiale per il caso n = 6 e p = 0.5 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 34. Distribuzioni Discrete  Distribuzione di Poisson    Esistono numerosi eventi che accadono nel tempo con cadenza del tutto irregolare. Il numero di telefonate in arrivo ad un centralino, il numero di clienti che si presentano allo sportello di un ufficio, il numero di auto che giungono ad un casello autostradale sono tutti chiari esempi di questo tipo di processi. Indichiamo con µ il numero medio di occorrenze nell’unità di tempo e supponiamo che siano soddisfatte le seguenti proprietà:    La probabilità di avere esattamente un’occorrenza in un intervallo di tempo dt di ampiezza trascurabile è µ dt a meno di infinitesimi di ordine superiore mentre la probabilità di avere più di un’occorrenza è trascurabile; I numeri di occorrenze in intervalli temporali disgiunti sono indipendenti. Consideriamo la variabile aleatoria X che rappresenta il numero di occorrenze in un dato intervallo . Dividiamo l’intervallo in n sotto-intervalli di ampiezza t / n. La probabilità di avere esattamente una occorrenza all’interno di uno di questi sottointervalli è per le ipotesi fatte pari a µ t / n; per la proprietà dell’indipendenza, e ricordando la definizione della distribuzione binomiale, otteniamo che la probabilità di k occorrenze è data da (a meno di infinitesimi di ordine superiore)  n  µt  P ( X = k ) =    k  n    k  µt  1 −  n   n −k = n( n − 1)( n − k + 1) k!n k CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE µt  ( µt )  1 −  n   k n  µt  1 −  n   −k
  • 35. Distribuzioni Discrete  Supponiamo ora che n tenda all’infinito, per le ipotesi fatte la probabilità di occorrenza all’interno di un intervallo µ dt tende a zero ma il prodotto nµ dt è pari ad una costante λ = µ t, otteniamo così la cosiddetta distribuzione di Poisson e −λx λx f X ( x) = f X ( x; λ ) = x! con x = 0, 1, 2, ...  La media e la varianza di una distribuzione di Poisson coincidono e sono entrambe pari al parametro λ. Funzione di Probabilità e Distribuzione Cumulata di Poisson per λ=9 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 36. Distribuzioni Continue  Distribuzione Uniforme  Diremo che una variabile nell’intervallo reale [a, b] se data da 0 x−a FX ( x) =  b − a 1 aleatoria X è uniformemente distribuita la sua funzione di distribuzione cumulata è se x < a se a ≤ x ≤ b se x > b a cui corrisponde una funzione densità di probabilità data da 0  1 f X ( x) =  b − a 0 se x < a se a ≤ x ≤ b se x > b La distribuzione uniforme gioca un ruolo particolarmente importante nei metodi di simulazione in quando per generare le diverse distribuzioni si parte usualmente da generatori di variabili casuali uniformi. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 37. Distribuzioni Continue  Distribuzione Normale  Una delle funzioni più importanti, sia nella teoria sia nella pratica, è la distribuzione normale o gaussiana la cui funzione densità è data da: f X ( x) = f X ( x; µ ,σ ) = 1 σ 2π e ( x−µ ) 2 − 2σ 2 dove i parametri µ e σ sono rispettivamente la media e la deviazione standard.  Una variabile aleatoria viene detta distribuita secondo una normale standard se la media è 0 e la standard deviation è 1.  Durante il corso utilizzeremo anche una notazione abbastanza diffusa tramite la quale si indica che una generica variabile aleatoria X è distribuita come una normale con media µ e varianza σ2: X ~N(µ , σ). CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 38. Distribuzione Normale e Binomiale Distribuzione Normale Media e Varianza CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 39. Rapporto fra distribuzioni e istogramma  Non dimenticate che la densità di probabilità rappresenta la frazione di valori che cadono all’interno di un certo intervallo della variabile aleatoria: 80 70 60 50 40 N = f ( x)∆x N tot N = f ( x)∆x ⋅ N tot 30 20 10 0 -0.031 -0.025 -0.019 -0.014 -0.008 -0.002 0.003 0.009 0.015 0.02 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 40. Distribuzioni Continue  Distribuzione LogNormale   Sia X una variabile aleatoria con distribuzione normale, allora la variabile z = eX definisce una variabile aleatoria con distribuita in maniera log-normale. Se la variabile X ha media µ e standard deviation σ, allora la funzione densità di probabilità di z è data da fZ ( z) = 1 zσ 2π − 1 e 2σ ( ln z − µ ) 2 2 con z > 0. La media e la varianza della variabile Z possono essere espresse in funzione dei corrispondenti momenti di X tramite le relazioni E[ Z ] = 1 µ+ σ 2 e 2 2 σZ =e 2 µ +σ 2  σ 2 avendo posto . ω = exp(σ 2 ) ≥ 1 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE e  − 1 = e 2 µω (ω − 1)  
  • 41. Distribuzioni Continue  I fattori di asimmetria e curtosi sono dati rispettivamente da β1 = (ω − 1)1 / 2 (ω + 2) β 2 = ω 4 + 2ω 3 + 3ω 2 − 3  Notate che per valori di σ non nulli, sia l’asimmetria è sempre maggiore di zero e la curtosi è sempre maggiore di 3. Questo vuol dire che la distribuzione log-normale è sempre asimmetrica a destra e leptocurtica. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 42. Introduzione ai Processi Stocastici Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 43. Esistono numeri casuali ?  Come può un elaboratore, macchina totalmente deterministica, generare numeri casuali e quindi per loro natura non deterministici?  La risposta è molto semplice: non può!  I numeri sono generati per mezzo di qualche algoritmo per cui non si può parlare di casualità essendo la sequenza predeterminata;  In compenso con un computer si possono generare sequenze di numeri che sembrino aleatorie CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 44. Generatori di Numeri Pseudocasuali  Virtualmente tutti i generatori di numeri pseudo casuali impiegati in pratica sono basati sul generatore lineare congruente J i = ( aJ i −1 + c ) mod m I parametri a, c ed m determinano la qualità del generatore. a viene detto moltiplicatore, c incremento ed m è il cosiddetto modulo.  Il generatore appena visto genera numeri interi compresi fra 0 ed m. Usualmente si utilizzano generatori di numeri casuali uniformemente distribuiti fra 0 ed 1, per questo è sufficiente scegliere Ui = Ji / m CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 45. Generatore Lineare Congruente  La sequenza di numeri casuali si ripeterà dopo un ciclo che, al più, potrà essere di lunghezza m.  Il massimo intero rappresentabile su un computer la cui lunghezza di parola è di L bit è 2L .  Usualmente si sceglie m=2 L −1 −1 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 46. Generatore Lineare Congruente Vantaggi  E’ molto veloce richiedendo pochissime operazioni per chiamata, questo lo rende di uso universale; Svantaggi   Il più grosso svantaggio è rappresentato dalla presenza di correlazione sequenziale; Può produrre risultati inaspettati quando viene usato per la generazione di distribuzioni non uniformi. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 47. Generatore Lineare Congruente Se si generano n coppie di numeri casuali e si associano ad esse n punti in un piano, i punti non si distribuiscono uniformemente ma tendono ad allinearsi lungo segmenti di retta. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE 1
  • 48. Generatore Lineare Congruente   La correlazione sequenziale può essere facilmente rimossa con tecniche di mescolamento (“shuffling”); Il numero prodotto allo step j non costituisce l’output j-esimo ma viene utilizzato per l’output ad uno step successivo scelto in maniera casuale; CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 49. Generazione di distribuzioni Uniformi Microsoft Excel   La funzione Rnd() restituisce un valore numerico di tipo Single che contiene un numero casuale. La sintassi è la seguente: Rnd[(num)]   L'argomento facoltativo num può essere un valore Single o una qualsiasi espressione numerica valida. I valori restituiti dalla funzione dipendono dal valore passato come argomento.  Per ogni base iniziale specificata, viene generata la stessa sequenza di numeri, in quanto ogni successiva chiamata alla funzione Rnd() utilizza il numero casuale precedente come base per il numero successivo nella sequenza. In particolare     se il parametro num è minore di zero Rnd() genera sempre lo stesso numero, utilizzando num come base; se num è maggiore di zero viene restituito il successivo numero casuale nella sequenza; se num è uguale a zero viene restituito il numero generato per ultimo; infine se il parametro in input viene omesso, Rnd() restituirà il successivo numero casuale nella sequenza. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 50. Generazione di distribuzioni Uniformi Microsoft Excel  Prima di richiamare Rnd(), è consigliabile utilizzare l'istruzione Randomize senza argomento per inizializzare il generatore di numeri casuali con una base connessa al timer del sistema con la seguente sintassi   Randomize[(numero)]    Randomize utilizza il parametro numero per inizializzare il generatore di numeri casuali della funzione Rnd() assegnandogli un nuovo valore base. Se numero viene omesso, il valore restituito dal timer di sistema verrà utilizzato come nuova base.  Ricordate che la funzione Rnd() restituisce un valore minore di 1 ma maggiore o uguale a zero. Per generare interi casuali in un dato intervallo, utilizzare la seguente formula:   Int((limitesup - limiteinf + 1) * Rnd + limiteinf)   dove limitesup indica il numero maggiore presente nell'intervallo, mentre limiteinf indica il numero minore. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 51. Esempio Esempio Programmazione Programmazione VBA VBA Generazione di Numeri Casuali Generazione di Numeri Casuali Il Generatore Lineare Congruente Il Generatore Lineare Congruente CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 52. Metodo della trasformazione inversa  Da un generatore di numeri distribuiti uniformemente si possono ricavare numeri distribuiti secondo una densità di probabilità prefissata.  SCOPO: generare un campione di numeri Z distribuiti in accordo ad una funzione di distribuzione assegnata F(z).  INPUT:  OUTPUT: Z. METODO: Generare  deve essere possibile valutare la funzione inversa di F(z). un set di numeri casuali U uniformemente distribuiti fra 0 ed 1 e per ciascuno di questi calcolare Z = F-1(U) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE Z
  • 53. Transformation Method Sia x una variabile aleatoria distribuita uniformemente fra 0 e 1, supponiamo di voler generare una variabile aleatoria con densità di probabilità g(y) essendo y=y(x). Dovremo avere dx g ( y )dy = dx ⇒ g ( y ) = dy La soluzione di questa equazione differenziale è y x = F ( y) = ∫ f ( z )dz ⇒ −∞ −1 ⇒ y = F ( x) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 54. Variabili Normali Univariate Microsoft Excel  INV.NORM(). Restituisce l'inversa della distribuzione normale cumulativa per la media e la deviazione standard specificate. La sintassi é INV.NORM(probabilità;media;dev_standard)   dove    probabilità è la probabilità corrispondente alla distribuzione normale, media è la media aritmetica della distribuzione, dev_standard è la deviazione standard della distribuzione. INV.NORM utilizza una tecnica iterativa per il calcolo della funzione. Dato un valore di probabilità, INV.NORM applica il metodo delle iterazioni fino a quando la precisione del risultato non rientra in ± 3x10^-7. Se il risultato di INV.NORM non converge dopo 100 iterazioni, la funzione restituirà il valore di errore #N/D. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 55. Introduzione ai Processi Stocastici Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 56. Misure di co-dipendenza  Distribuzioni Marginali  Data la distribuzione congiunta di due variabili x ed y la funzione di densità  marginale di x è definita come ψ x ( x) = ∫ψ ( x, y)dy D( y)  E, analogamente, ψ y ( y) = ∫ψ ( x, y)dx D( x) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 57. Misure di co-dipendenza  Indipendenza  Due variabili x ed y si dicono indipendenti se la loro funzione densità congiunta si fattorizza nel prodotto delle densità marginali x, y indipendenti ⇒ ψ ( x, y ) = ψ x ( x)ψ y ( y ) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 58. Misure di co-dipendenza  Correlazione Lineare  ρ x, y Ricordiamo la definizione di correlazione lineare tra due variabili x ed y cov( x, y ) = = σ ( x)σ ( y ) = ∫ xyψ ( x, y)dxdy − ∫ xψ ( x)dx ∫ yψ ( y)dy ( x)dx − [ ∫ xψ ( x)dx ] ∫ y ψ ( y )dy − [ ∫ yψ x ∫xψ 2 2 x x y 2 y CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE y ( y )dy ] 2
  • 59. Covarianza  Date due variabili aleatorie X ed Y con varianza finita, si definisce covarianza la quantità definita da σ XY = Cov( X , Y ) = E[ XY ] − E[ X ]E[Y ]  Se la covarianza è nulla le due variabili si dicono non correlate. Solitamente viene introdotto un coefficiente di correlazione definito come ρ XY  σ XY = σ XσY I cui valori massimi e minimi dipendono dal tipo di distribuzione considerata. uno stimatore della covarianza è dato da 1 n ∑ ( xi − µ X )( yi − µY ) n i =1 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 60. Correlazione positiva Industriali 10.00% 8.00% 6.00% 4.00% 2.00% -8.00% -6.00% -4.00% -2.00% 0.00% 0.00% 2.00% 4.00% 6.00% 8.00% -2.00% -4.00% -6.00% Bancari -8.00% CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 61. Correlazione negativa Obb. Italia 0.80% 0.60% 0.40% 0.20% 0.00% -10.00% -8.00% -6.00% -4.00% -2.00% 0.00% 2.00% 4.00% 6.00% 8.00% 10.00% -0.20% -0.40% -0.60% Azioni Italia -0.80% CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 62. Variabili Normali Multivariate  Cholescky Decomposition   Indichiamo con X un vettore di variabili aleatorie indipendenti ciascuna delle quali distribuita secondo una normale standard, la matrice di varianzacovarianza di X sarà pertanto data dalla matrice unità di dimensione n × n. Supponiamo di voler derivare da questo insieme di variabili un secondo set di variabili, che indicheremo con Y, non più indipendenti bensì dotato di matrice di varianza-covarianza assegnata Σ. Il nuovo insieme di variabili aleatorie può essere ricercato come combinazione lineare delle variabili indipendenti , cioè si pone Y = AX  Il problema si riconduce così alla determinazione di una matrice A di dimensione n× n tale che AAt = Σ CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 63. Variabili Normali Multivariate N N j =1 j =1 yi = ∑aij x j ⇒ yi = ∑aij x j = 0 Y = AX σ ( yi ) = y 2 = 2 i N − yi 2 2   =  ∑aij x j     j =1  N = yi 2 a ij x j + x ∑aij aik x)j = k = 2 = σ (x j x1 ∑ j =1 2 2 2 j 2 j ≠k N N 2 2 = ∑aij x 2 + 2∑aij aik x j xk =∑a ij j j =1 j ≠k x j xk = cov( x j , xk ) = 0 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE j =1 =
  • 64. Variabili Normali Multivariate  Cholescky Decomposition   La soluzione della precedente equazione non è unica nel senso che esistono più matrici A che, moltiplicate per la loro trasposta, danno come risultato Σ. Se la matrice Σ è definita positiva il metodo più efficiente dal punto di vista computazionale per risolvere il problema consiste nell’applicazione della scomposizione di Cholescky. Il punto chiave di tale metodologia consiste nel ricercare A nella forma di una matrice triangolare inferiore, ovvero una matrice in cui tutti gli elementi sopra la diagonale sono nulli,  A11   A21 A=   A  n1       Ann   0  A22    An 2 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE 0 0 
  • 65. Variabili Normali Multivariate  Cholescky Decomposition  Sviluppando il prodotto AAt in componenti è facile verificare che gli elementi di A sono ricavabili dalle seguenti formule iterative i −1 2 aii = σ ii − ∑ aik k =1  i −1 1   a ji =  σ ij − ∑ aik a jk  aii  k =1  Ad esempio per il caso semplice di due variabili troviamo 0  σ1   A= σ ρ σ 1 − ρ 2  2  2  CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 66. Esempio Esempio Programmazione Programmazione VBA VBA Generazione di Numeri Casuali Generazione di Numeri Casuali Distribuzione Normale Bivariata Distribuzione Normale Bivariata CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 67. Introduzione ai Processi Stocastici Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 68. Processi stocastici  Consideriamo una successione discreta di istanti di tempo   In generale possiamo descrivere il comportamento di un sistema che evolve nel tempo in maniera imprevedibile tramite una corrispondente sequenza di variabili aleatorie    t1, t2, … , tn. X1, X2, ..., Xn. Parleremo in questo caso di processo stocastico discreto. Naturalmente possiamo anche definire processi stocastici nel tempo continuo sia su un dominio finito, come ad esempio [0, 1], sia su un dominio infinito, ad esempio [0, ∞). CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 69. Processi stocastici  Da un punto di vista formale consideriamo uno spazio di probabilità (Ω, A , P) e un insieme non vuoto, T, i cui elementi sono gli istanti che vengono presi in considerazione.  Definiamo processo stocastico una funzione di due variabili X :T ×Ω → R tale che X (t ) = X (t , .) è una variabile aleatoria per ogni t. La funzione X ( . ,ω ) : T → R viene chiamata realizzazione o traiettoria del processo stocastico considerato.  Ogni realizzazione in pratica non è altro che un’osservazione dell’evoluzione temporale della quantità descritta dal processo. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 70. Processi stocastici CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 71. Processi stocastici  Se assumiamo che un processo stocastico soddisfi le tre condizioni E [Y ( t + h ) − Y ( t ) ] lim =µ h →0 h VAR[Y ( t + h ) − Y ( t ) ] lim =σ2 h →0 h lim Pr Y ( t + h ) − Y ( t ) > ε = 0 h →0 [ ] esso è definito diffusivo.  I parametri µ e σ, che possono essere costanti o funzioni di Y e t, sono definiti drift e parametro di diffusione (diffusion) del processo.  La terza condizione esclude la presenza di salti nel processo. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 72. Processi stocastici  Un particolare tipo di processo diffusivo che utilizziamo per costruire i processi stocastici è il processo di Wiener w(t).  Tale processo è definito dalla seguente proprietà: l’incremento w(t + h) – w(t), condizionale all’informazione disponibile in t (ℑt), ha distribuzione di probabilità normale con media zero e varianza pari ad h.  L’utilità di questo strumento per la costruzione di processi stocastici è immediata. Un processo con drift e diffusione costanti e con Y(0) = 0 può essere rappresentato come... t t 0 0 Y ( t ) = ∫ µdt + ∫ σdw( t ) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 73. Processi stocastici  ...o, nella notazione equivalente più usuale dY ( t ) = µdt + σdw( t ) nota come equazione differenziale stocastica. Quest’ultima notazione è puramente simbolica e serve ad esprimere la precedente relazione in maniera più compatta. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 74. Processi stocastici   Dalla definizione del processo di Wiener è immediato ottenere che al tempo t + h la posizione di Y sarà descritta da una distribuzione normale con media pari a Y(t) + µh e varianza pari a σ2h. Notiamo che questo è dovuto al fatto che il processo di Wiener è moltiplicato per un parametro di diffusione costante. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 75. Processi di Wiener   In particolare i modelli di comportamento dei prezzi azionari sono espressi spesso ricorrendo ai cosiddetti processi di Wiener; Il comportamento di una variabile z che segue un processo di Wiener può essere compreso se si esaminano le sue variazioni di valore in un piccolo intervallo di tempo dt.  Proprietà 1  dz è legata a dt dalla relazione dz = ε dt dove epsilon è una variabile aleatoria N(0,1);  Proprietà 2  I valori di dz in due qualsiasi intervalli di tempo dt diversi fra loro sono indipendenti CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 76. Processi di Wiener Generalizzati  Un processo di Wiener generalizzato per una variabile x può essere così definito in funzione di dz dx = adt + bdz dove a e b sono costanti  Ricordando la prima proprietà dei processi di Wiener possiamo scrivere dx = adt + bε dt CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 77. L’Integrale di Ito  Nello studio dei flussi d’informazione nei mercati finanziari, i tradizionali strumenti forniti dall’analisi matematica risultano insufficienti.  In particolare la nozione di integrale di Riemann-Stieltjes risulta inadeguata in un contesto stocastico.  Supponiamo infatti di voler calcolare ∑ Sτ ( S N T ∫ S dS , t t S0 = 0 Consideriamo la somma... i =1 ti − Sti−1 ) τ i ∈ [ ti , ti −1 ] 0  i Se la variabile S è una variabile deterministica il risultato dell’integrazione com’è noto è T 1 2 ∫ St dSt = 2 St 0 Si noti che questo risultato si ottiene facendo tendere N all’infinito nella somma sopra riportata qualunque sia la scelta di τ i ∈ [ ti , ti −1 ] CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 78. L’Integrale di Ito  Se invece S è una variabile aleatoria lo stesso procedimento non può essere utilizzato!  Infatti la quantità ( Sτ i S ti − S ti−1 ) non è conosciuta al tempo ti-1.  Inoltre non è possibile effettuare un passaggio al limite nel senso classico del termine sempre per il fatto che abbiamo a che fare con variabili aleatorie per le quali vanno definiti opportuni criteri di convergenza.  Nella definizione di Integrale di Ito, come vedremo, si usa il criterio della convergenza in media quadratica e il risultato finale è diverso da quello che ci aspetteremmo nel caso classico deterministico;  Anche il concetto di differenziale classico risulta inadeguato in campo stocastico. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 79. L’Integrale di Ito  Infatti, ad esempio, il moto browniano non è differenziabile in alcun punto e quindi non è derivabile rispetto al tempo;  Il punto cruciale è che nel calcolo differenziale classico gli incrementi del secondo ordine come (∆S)2 sono trascurabili rispetto a quelli del primo ordine quando ∆S tende a zero e il differenziale di una funzione composta, al primo ordine risulta semplicemente dato da ∂ ∂ df = F ( S , t )dt + F ( S , t )dS ∂t ∂S  Possiamo estendere questo semplice risultato al caso stocastico? NO!  Il motivo è il seguente: se S è una variabile casuale, assumere che in media (∆S)2 sia trascurabile equivale a supporre che la varianza di S sia nulla, ovvero a ritenere S una variabile deterministica! CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 80. L’Integrale di Ito  Per chiarire meglio questo concetto, supponiamo che St segua un processo browniano, dSt = σ dWt  Supponiamo poi di voler analizzare l’andamento nel tempo di una generica funzione di S e t, anticipando i concetti di convergenza in media quadratica possiamo dire che simbolicamente [ ] E ( ∆Wt ) = ∆t ⇒ ( dWt ) ≡ dt  2 2 Pertanto i termini del secondo ordine in S non possono essere trascurati in un’approssimazione del primo ordine in quanto risultato essere analoghi a termini al primo ordine nel tempo! CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 81. Lemma di Ito  Per valutare l’incremento di una funzione trascurando i termini di ordine superiore al primo nel tempo dobbiamo pertanto scrivere ∂ ∂ 1 ∂2 df = f ( S , t )dS + f ( S , t )dt + f ( S , t )σ 2 dt ∂S ∂t 2 ∂S 2  Si noti che c’è un termine aggiuntivo in più rispetto al differenziale del calcolo classico;  Tale termine scompare se σ = 0 ovvero se la variabile non è aleatoria!  Il calcolo differenziale stocastico nasce con lo scopo di dare significato alle equazioni differenziali contenenti termini differenziali stocastici; CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 82. Lemma di Ito ...se fosse valido il calcolo differenziale classico f = f (S , t ) ∂f ∂f df = dS + dt ∂S ∂t dS = µ ( S , t )dt + σ ( S , t )dz ∂f ∂f ∂f df = µ ( S , t )dt + σ ( S , t )dz + dt = ∂S ∂S ∂t ∂f  ∂f ∂f  µ ( S , t ) dt + σ ( S , t )dz  + ∂S  ∂t ∂S  CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 83. Lemma di Ito  Se il valore di S segue un processo di Ito dS = µ ( S , t )dt + σ ( S , t )dz  Allora il valore di una generica funzione di S segue la dinamica descritta da  ∂f ∂f 1 2 ∂2 f df =  + µ ( S , t ) + σ ( S , t ) 2  ∂t ∂S 2 ∂S  CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE  ∂f    dt +  σ ( S , t )  dz  ∂S   
  • 84. Lemma di Ito  Un caso speciale dS = µ ( S , t )dt + σ ( S , t )dz  ∂f ∂f 1 2 ∂2 f df =  + µ ( S , t ) + σ ( S , t ) 2  ∂t ∂S 2 ∂S  f = ln S ∂f =0 ∂t  ∂f    dt +  σ ( S , t )  dz  ∂S    ∂f 1 = ∂S S ∂2 f 1 =− 2 2 ∂S S 1 2  d ( ln S ) =  µ − σ dt + σdz 2   CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 85. Introduzione ai Processi Stocastici Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 86. Un processo per i prezzi azionari   Come abbiamo visto i rendimenti di un titolo possono, in prima approssimazione, essere considerati normalmente distribuiti; Da un punto di vista formale questo equivale ad ipotizzare la seguente relazione Si − Si −1 Ri = = m+ s⋅z Si −1 MEDIA STANDARD DEVIATION CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE VARIABILE ALEATORIA N(0,1)
  • 87. Un processo per i prezzi azionari  Vediamo quali sono le proprieta di scalabilità temporale della media e della varianza;  Se la varianza del prezzo fosse sempre nulla detto µ il tasso di rendimento istantaneo atteso, quello che ci si aspetta è S = S0eµt in quanto il possesso del titolo equivale in questo caso ad un deposito bancario (volatilità nulla = risk free)  Ma questa relazione è soluzione dell’equazione differenziale dS/S= µdt  Quindi possiamo porre m = µ∆t CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 88. Un processo per i prezzi azionari s=  1 N T 2 ∑ ( Ri − R ) , N = ∆t ⇒ s ≈ ∆t N − 1 i =1 Quindi possiamo porre s = σ ∆t  La volatilità quindi varia come la radice quadrata del tempo, questo è equivalente ad assumere che la componente stocastica sia descritta da un processo di Wiener. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 89. Un processo per i prezzi azionari  Riassumendo S i − S i −1 ∆S = =m +s⋅z S i −1 S m = µ∆t s = σ ∆t ∆S = µS∆t + σS ∆t z   dove ∆S è la variazione di prezzo nell’intervallo ∆t e z è un numero casuale estratto da una distribuzione normale standard. Un processo descritto da un’equazione del genere è detto MOTO GEOMETRICO BROWNIANO CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 90. Un processo per i prezzi azionari dS = µSdt + σSdt Lemma di Ito Lemma di Ito  σ2 dt + σdz d ln( S ) =  µ −  2    2  S σ  ∆t + σz ∆t ∆ ln( S ) = ln(S ) − ln(S0 ) = ln = µ −  S0  2   CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 91. Assunzione di log-normalità  Una variabile è distribuita in modo lognormale se il suo logaritmo naturale è distribuito secondo una normale 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.00 1.00 Densità 2.00 3.00 Dist. Cumulata CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE 4.00 5.00 6.00
  • 92. Un processo per i prezzi azionari S  σ2  ∆t + σz ∆t ln = µ −  S0  2     σ2  ∆t + σz ∆t  S = S0 exp  µ −  2     CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  • 93. Esempio Esempio Programmazione Programmazione VBA VBA Generazione di Path Stocastici Generazione di Path Stocastici CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE