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Capitolo 4   titoli obbligazionari
 

Capitolo 4 titoli obbligazionari

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    Capitolo 4   titoli obbligazionari Capitolo 4 titoli obbligazionari Presentation Transcript

    • Finanza Computazionale La Curva dei Rendimenti e la valutazione dei Titoli Obbligazionari CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • La Curva dei Rendimenti e la valutazione dei Titoli Obbligazionari Il Principio di Arbitraggio Valutazione Titoli a Tasso Fisso Curve per Scadenza Spot Curve per Scadenza a Termine Valutazione Titoli a Tasso Variabile Duration e Convexity Ratei, Corso Secco e Tel-Quel CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Il Principio di Assenza di Arbitraggio    Molte volte ci è capitato di sentire frasi del tipo: “ho appena comprato un paio di scarpe e ne ho trovate un paio uguale ad un prezzo minore”, oppure: “ho scoperto che un altro concessionario per lo stesso prezzo che ho pagato per la mia nuova macchina fornisce anche l’aria condizionata”. Sono frasi di buon senso che mettono in luce in che modo cerchiamo di fornire un valore a beni e servizi che acquistiamo e consumiamo. Il buon senso ci suggerisce che prodotti uguali devono avere lo stesso prezzo, e che prodotti che ci garantiscono un’opportunità in più rispetto ad altri hanno un valore maggiore. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Il Principio di Assenza di Arbitraggio   Il fondamento della valutazione dei prodotti finanziari è il principio di arbitraggio, o nella colorita espressione anglosassone, free-lunch (pasto gratis). Nel mondo dei prodotti finanziari utilizziamo definizioni di arbitraggio più sofisticate, ma con lo stesso contenuto di fondo: Si definisce arbitraggio la possibilità di ottenere guadagni sicuri, senza incorrere in alcun tipo di rischio.  E’ su questa base che è possibile determinare la relazione tra i prezzi di diverse attività finanziarie: l’idea è che le relazioni tra i prezzi devono essere tali da escludere la possibilità di effettuare arbitraggi, cosicché non deve essere possibile costruire sul mercato posizioni e strategie che consentano di ottenere guadagni senza alcun tipo di rischio. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Il Principio di Assenza di Arbitraggio  Se pensiamo a come si possono identificare delle possibilità di arbitraggio, possiamo intuitivamente delineare due tipi di situazione.  La prima è quella di un biglietto di lotteria gratis: supponete di poter ottenere senza alcun costo un titolo (un biglietto della lotteria) che in futuro vi darà un rendimento comunque non negativo, e la possibilità di un guadagno positivo se si verifica qualche evento fortunato;  Un’altra situazione che vi garantirebbe un guadagno sicuro, e quindi un arbitraggio, è la seguente: considerate di acquistare un titolo e venderne un altro in modo che a una data futura il valore complessivo del portafoglio sia zero in tutti i possibili scenari (li chiamiamo tecnicamente stati di natura), e supponete che questa posizione abbia oggi valore negativo, e cioè vi consenta di intascare dei soldi. Poiché sapete che a una data futura la vostra posizione varrà sicuramente zero (e quindi non avrete alcuna perdita), il guadagno che ottenete oggi è assolutamente senza rischio, ed avete compiuto un’operazione di arbitraggio. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Il Principio di Assenza di Arbitraggio  Una conseguenza importante del principio di assenza di arbitraggio è rappresentata dal seguente risultato Due portafogli contententi qualsivoglia attività finanziarie tali da avere lo stesso valore ad un istante di tempo futuro T devono avere lo stesso valore anche oggi. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Il Principio di Assenza di Arbitraggio Consideriamo infatti due portafogli A e B tali che A(T) = B(T);  Supponiamo che il valore all’istante iniziale t di A sia minore di quello di B cioè che sia A(t) < B(t);  All’istante t prendiamo a prestito il portafoglio B e lo vendiamo sul Alcune ipotesi fondamentali : mercato incassando il valore B(t);  con il ricavato compriamo il portafoglio A, poiché A(t) < B(t) ci 1. Non esistono costi di transazione rimangono B(t) – A(t) unità di valore; 2. È possibile effettuare vendite allo scoperto (ossia prendendo a prestito  Al tempo T vendiamo il portafoglio A e con il ricavato compriamo il dei titoli) portafoglio B con il quale chiudiamo la posizione di prestito (posizione corta). Poiche a T il valore dei due portafogli è uguale quest’ultima operazione non comporta esborsi di denaro;  Il risultato finale della nostra strategia è di averci garantito un profitto sicuro pari a B(t) – A(t) e questo partendo da un investimento nullo: abbiamo realizzato un arbitraggio!  CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • La Curva dei Rendimenti e la valutazione dei Titoli Obbligazionari Il Principio di Arbitraggio Valutazione Titoli a Tasso Fisso Curve per Scadenza Spot Curve per Scadenza a Termine Valutazione Titoli a Tasso Variabile Duration e Convexity Ratei, Corso Secco e Tel-Quel CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Rendimento a Scadenza    Se definiamo il valore al tempo t di uno ZC come P(t,T) abbiamo di fatto un’operazione finanziaria nella quale l’investimento di un capitale di P(t,T) euro al tempo t ci dà diritto ad ottenere 1 euro (per semplicità!) al tempo T. Quindi di fatto P(t,T) non è altro che la funzione di sconto per un investimento che parta a t e termini a T; Allora se indichiamo con i(t,T) il tasso di interesse sullo stesso periodo di investimento espresso su base annua, la legge di capitalizzazione composta discreta ci permette di scrivere 1 P (t , T ) = (1 + i (t , T ))T −t  Se il tempo è misurato in anni, il tasso d’interesse su base annua che otteniamo su questa operazione è 1 / ( T −t )  1  i( t ,T ) =   P( t ,T )     CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE −1
    • Rendimento a Scadenza  Consideriamo la legge di capitalizzazione composta continua V (T ) = V (t )e r (T −t ) ⇓ e r (T −t )  V (T )  V (T ) = ⇒ r (T − t ) = ln  V (t )   V (t )   ⇓  V (T )   V (t )  1 1 r= ln  V (t )  = − (T − t ) ln V (T )     (T − t )     CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Rendimento a Scadenza  Possiamo anche utilizzare una rappresentazione alternativa del guadagno ottenuto sull’operazione, facendo riferimento al concetto di tasso di rendimento a scadenza, definito come  P(T , T )  1 1 ) h( t , T ) = ln  P (tP (t , T = = T −t  ,T )  (1 + i (t , T ))T −t   1  1 ln P( t , T ) ln  P (t , T )  = − T − t = ln[1 + i (t , T )]  T −t    che corrisponde al concetto di intensità di interesse discusso nel capitolo precedente (ricordiamo che non è altro che il tasso nominale annuo espresso in capitalizzazione continua). CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Titoli zero-coupon-bond  Definiamo P(t,tk,xk) il valore in t di un titolo zero-coupon bond (ZCB). Si tratta di un titolo che non paga cedole intermedie e che dà diritto a ricevere un quantità xk in tk  Definiamo v(t,tk) la funzione di sconto, cioè il il valore in t di un’unità di valuta disponibile in tk  Assumendo infinita divisibilità dei titoli otteniamo che l’esclusione di possibilità di arbitraggio richiede P(t,tk,xk) = xk v(t,tk) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Valutazione di titoli a cedola fissa (coupon bond)    Si definisca P(t,T;c) il prezzo di un titolo che paga cedola c su uno scadenzario {t1, t2, …, tm=T}, con rimborso del capitale in un’unica soluzione alla scadenza T. I flussi di cassa di questo titolo possono essere replicati da un paniere di ZCB per valore nominale pari a c in corrispondenza delle scadenze ti per i = 1, 2, …, m – 1 e uno ZCB per un valore nominale pari a 1 – c in corrispondenza della scadenza T. L’operazione di arbitraggio che consiste nell’acquisto/vendita delle cedole e del valore del capitale e vendita/acquisto del coupon bond è nota come coupon stripping. m P (t , T ; c) = ∑ cv(t , t k ) + v(t , t m ) k =1 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • La Curva dei Rendimenti e la valutazione dei Titoli Obbligazionari Il Principio di Arbitraggio Valutazione Titoli a Tasso Fisso Curve per Scadenza Spot Curve per Scadenza a Termine Valutazione Titoli a Tasso Variabile Duration e Convexity Ratei, Corso Secco e Tel-Quel CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Curva dei rendimenti spot TASSI D’INTERESSE SCADENZE CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Prezzi dei titoli e fattori di sconto  Sulla base dei prezzi dei titoli zero-coupon bond e dei titoli con tasso fisso osservati sul mercato è possibile ricavare la funzione di sconto che stabilisce una relazione di equivalenza finanziaria tra un importo unitario disponibile a una data futura tk ed una somma v(t,tk) disponibile in t.  La funzione di sconto è ricavata sfruttando l’assunzione di esclusione di arbitraggio discussa negli esempi precedenti.  Una fra le tecniche più utilizzate per ricavare la funzione di sconto è definita bootstrapping. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Procedura di bootstrapping: l’idea    Supponiamo che nell’istante t il mercato sia strutturato su m periodi con scadenze tk = t + k, k=1....m, e su queste scadenze siano osservati i prezzi di zero-coupon-bond P(t,tk) o titoli a tasso fisso P(t,tk;ck). Separiamo dalla ricavare i fattori di termine La procedura di bootstrapping consente di sommatoria l’ultimo sconto (notate che ora la sommatoria arriva solo fino a in funzione di quelli precedenti m-1 Consideriamo di nuovo la formula che esprime il prezzo di un coupon bond m m −1 k =1 k =1 P(t , T ; c) = ∑ cv(t , t k ) + v(t , t m ) = ∑ cv(t , t k ) + cv(t , t m ) + v(t , t m ) = m −1 ∑ cv(t , t k =1 k ) + v(t , t m )(c + 1) Mettiamo in evidenza la funzione di sconto fra t e t(m) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Procedura di bootstrapping: l’idea   La procedura di bootstrapping consente di ricavare i fattori di sconto in funzione di quelli precedenti; La funzione di sconto corrispondente all’ultima scadenza si ricava banalmente dalla precedente equazione... k −1 v( t , t k ) =  P ( t , t k ; ck ) − ck ∑ v ( t , t i ) 1 + ck i =1 Con una procedura iterativa si possono poi ricavare tutte le altre funzioni di sconto. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • La struttura per scadenza dei tassi di interesse   La struttura per scadenza dei tassi a pronti è un modo di rappresentare la funzione di sconto. Può essere rappresentata in capitalizzazione composta discreta 1 v(t , t k ) = ( t k −t ) [1 + i(t , tk )] i (t , t k ) = [ v(t , t k )] CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE −1 / ( t k −t ) −1
    • La struttura per scadenza dei tassi di interesse   La struttura per scadenza dei tassi a pronti è un modo di rappresentare la funzione di sconto. Può essere rappresentata in capitalizzazione composta continua v(t , t k ) = exp[ − i ( t , t k )( t k − t ) ] ln[ v(t , t k )] i (t , t k ) = − tk − t CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • La struttura per scadenza dei tassi di interesse   La struttura per scadenza dei tassi a pronti è un modo di rappresentare la funzione di sconto. Può essere rappresentata in capitalizzazione semplice 1 v (t , t k ) = 1 + ( t k −t )i (t , t k ) 1 i (t , t k ) = t k −t  1  −1  v (t , t k )  CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Interpolazione lineare ed esponenziale     Consideriamo una generica funzione y = y(x) e supponiamo di non conoscerne la forma analitica ma di disporre soltanto di una tabella di valori di coppie x-y. Da un punto di vista del tutto generale l’interpolazione è un processo tramite il quale è possibile determinare il valore della variabile y corrispondente ad un determinato valore di x quando x cade fra due valori noti xi e xi+1. L’obiettivo è determinare il valore interpolato di y con la migliore precisione possibile. Il sistema più semplice consiste nell’unire con una linea retta i due punti che comprendono il punto di interesse, questa procedura è chiamata interpolazione lineare e il valore di y interpolato si ottiene semplicemente come il valore delle ordinate corrispondente al punto x sulla retta che congiunge xi e xi+1:  xi +1 − x   x − xi  yi +1 − yi y = yi + ( x − xi ) = yi   x − x  + yi +1  x − x     xi +1 − xi  i +1 i   i +1 i  = λyi + (1 − λ ) yi +1 xi +1 − x λ= dove y = y(x ) e y =y(x ) e xi +1 − xi i i i+1 i+1 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Interpolazione lineare ed esponenziale   Possiamo pensare di scrivere una procedura che permetta, in modo del tutto generale, di ottenere una serie di valori interpolati della y prendendo come input: a) un insieme di valori di x ; b) una tabella che contenga i valori tabulati noti della funzione y = y(x). Per questo definiamo un tipo dati al quale daremo il nome TabellaFunzione costituito da un vettore di ascisse, uno di ordinate ed un intero che indica il numero di punti presenti nella tabella Type TabellaFunzione NrPunti As Integer x() As Double y() As Double End Type  I vettori sono definiti come array dinamici per cui dovremo aver cura di dimensionarli opportunamente prima di utilizzarli. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Interpolazione lineare ed esponenziale Sub InterpolazioneLineare(Tabella As TabellaFunzione, _  Una volta alimentata la tabella con x_inter() As Double, _ i valori delle ascisse e delle ordinate, possiamo passare y_inter() As Double) quest’ultima come parametro ad Dim i As Integer una procedura assieme ad un Dim j As Integer vettore di ascisse nelle quali For i = 1 To UBound(x_inter) desideriamo interpolare la If x_inter(i) <= Tabella.x(1) Then funzione.  y_inter(i) = Tabella.y(1) Il vettore x_inter() conterrà questi valori. ElseIf x_inter(i) >= Tabella.x(Tabella.NrPunti) Then  In output la procedura valorizzerà y_inter(i) = Tabella.y(Tabella.NrPunti) il vettore y_inter() con i risultati Else del processo di interpolazione For j = 1 To Tabella.NrPunti - 1 lineare. If x_inter(i) >= Tabella.x(j) And _ x_inter(i) <= Tabella.x(j + 1) Then y_inter(i) = Tabella.y(j) + _ (Tabella.y(j + 1) - Tabella.y(j)) * _ (x_inter(i) - Tabella.x(j)) / _ (Tabella.x(j + 1) - Tabella.x(j)) End If Next End If Next End Sub CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Interpolazione lineare ed esponenziale  Si noti che se il valore dell’ascissa di interpolazione è minore del valore minimo delle ascisse presenti nella tabella di input, il valore interpolato di y viene posto uguale al primo valore disponibile della funzione, cioè al primo elemento della tabella.  In modo del tutto analogo i valori delle ascisse superiori al massimo presente in tabella producono come risultato un valore di y uguale all’ultimo valore della tabella.  Naturalmente questa scelta (proposta per motivi di semplicità) può non essere ottimale per ogni problema. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Interpolazione lineare ed esponenziale   Le procedure di interpolazione lineare possono dare spesso luogo a risultati insoddisfacenti specialmente quando i punti con i quali interpolare hanno un andamento marcatamente non lineare. E’ il caso ad esempio della funzione di sconto che ha un andamento di tipo esponenziale... CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Interpolazione lineare ed esponenziale  Come si vede chiaramente dalla figura, in casi come questo l’applicazione di una procedura di interpolazione di tipo lineare può risultare eccessivamente imprecisa per cui conviene ricorrere ad altre tecniche di interpolazione. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Interpolazione lineare ed esponenziale   Fra queste sicuramente una delle più importanti in campo matematico-finanziario è rappresentata dall’interpolazione esponenziale che, come suggerisce il nome stesso, si ottiene ipotizzando che i punti noti siano generati da una funzione di tipo esponenziale. Supponiamo di disporre, al tempo t = 0, del valore della funzione di sconto per due scadenze diverse t1 e t2 con tassi di rendimento a scadenza rispettivamente pari a h1 e h2 F1 = e − h1t1  F2 = e − h2t 2 Indichiamo con h il tasso interpolato linearmente alla scadenza τ compresa fra t1 e t2 h = λh1 + (1 − λ )h2 essendo λ= t2 − τ t2 − t1  Sia F la funzione di sconto alla scadenza τ  Possiamo scrivere  da cui con semplici passaggi ricaviamo F = e − hτ   λ ln F1 (1 − λ ) ln F2     F = exp[ t [ − λh1 − (1 − λ )h2 ] ] = exp t  +  t2   t1    t F = F1tλ / t1 F2 (1−λ ) / t 2 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Sub InterpolazioneEsponenziale(Tabella As TabellaFunzione, _ x_inter() As Double, _ y_inter() As Double) Dim i As Integer Dim j As Integer Dim Lambda As Double Dim Theta1 As Double Dim Theta2 As Double 2 For i = 1 To UBound(x_inter) If x_inter(i) <= Tabella.x(1) Then 2 y_inter(i) = Tabella.y(1) ElseIf x_inter(i) >= Tabella.x(Tabella.NrPunti) Then y_inter(i) = Tabella.y(Tabella.NrPunti) Else For j = 1 To Tabella.NrPunti - 1 If x_inter(i) >= Tabella.x(j) And _ x_inter(i) <= Tabella.x(j + 1) Then Lambda = (Tabella.x(j + 1) - x_inter(i)) _ / (Tabella.x(j + 1) - Tabella.x(j)) Theta1 = x_inter(i) / Tabella.x(j) Theta2 = x_inter(i) / Tabella.x(j + 1) y_inter(i) = (Tabella.y(j)^(Theta1 * Lambda)) _ *(Tabella.y(j + 1)^(Theta2 * (1 - Lambda))) End If Next End If Next End Sub Interpolazione lineare ed esponenziale λ= CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE t −τ t − t1
    • Esempio Esempio Programmazione Programmazione VBA VBA 11--Dalla Curva dei Tassi alla Curva delle Funzioni di Sconto Dalla Curva dei Tassi alla Curva delle Funzioni di Sconto 2 – Interpolazione lineare ed esponenziale 2 – Interpolazione lineare ed esponenziale CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • La Curva dei Rendimenti e la valutazione dei Titoli Obbligazionari Il Principio di Arbitraggio Valutazione Titoli a Tasso Fisso Curve per Scadenza Spot Curve per Scadenza a Termine Valutazione Titoli a Tasso Variabile Duration e Convexity Ratei, Corso Secco e Tel-Quel CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Operazioni a termine  Un’operazione a termine è uno scambio tra una somma v(t,τ,T) determinata al tempo t e pagata al tempo τ ≥ t in cambio di un’unità di valuta disponibile al tempo T.  L’operazione a pronti è un caso particolare in cui τ = t, e ovviamente v(t,τ,T) = v(t,T).  v(t,τ,T) è definito come il prezzo a termine (forward price) stabilito in t di un investimento che inizia in τ ≥ t e restituisce un euro in T. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Operazioni a termine  In un’operazione a termine entrano in gioco quindi tre tempi... Data Definizione operazione, t Data Inizio Investimento, τ Data Termine operazione, T Periodo Investimento = (T - τ) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Prezzi a pronti e a termine Consideriamo la seguente strategia  1. 2. 3. Acquisto a pronti di una quantità nominale di v(t,τ,T) unità di valuta disponibile in τ; acquisto a termine, per regolamento in τ, di un’unità di valuta disponibile in T; Indebitamento a pronti di per la restituzione di un’unità di valuta in T. t 1 τ -v(t,τ)v(t,τ,T) v(t,τ,T) 2 - v(t,τ,T) 3 v(t,T) Tot v(t,T) -v(t,τ)v(t,τ,T) T 1 -1 0 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE 0
    • Prezzi a pronti e a termine    E’ facile osservare che questa strategia fornisce un pay-off nullo sia in in τ che in T. Se il valore della strategia al tempo t è diverso da zero, esiste una possibilità di arbitraggio per una delle due controparti. Quindi la strategia deve valere zero anche all’istante iniziale t... v(t , T ) − v(t ,τ )v(t ,τ , T ) = 0 ⇓ v(t , T ) = v(t ,τ )v(t ,τ , T ) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Prezzi a pronti e a termine  I prezzi a pronti e a termine sono quindi legati da una relazione che esclude la possibilità di arbitraggio sopra descritta v(t , T ) v(t , T ) = v(t ,τ )v(t ,τ , T ) ⇒ v(t ,τ , T ) = v(t ,τ )  L’informazione sulla funzione di sconto a termine è quindi interamente contenuta nella funzione di sconto a pronti  Questa relazione induce un nesso funzionale tra curva dei tassi a pronti e curva a termine CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • La struttura per scadenza dei tassi a termine   La struttura per scadenza dei tassi a termine è un modo di rappresentare la funzione di sconto a termine Può essere rappresentata in capitalizzazione composta discreta f (t ,τ , T ) = [ v(t ,τ , T )]  v(t ,τ )  =   v(t , T )  CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE −1 / ( T −τ ) −1 1 / ( T −τ ) −1
    • La struttura per scadenza dei tassi a termine   La struttura per scadenza dei tassi a termine è un modo di rappresentare la funzione di sconto a termine Può essere rappresentata in capitalizzazione composta continua ln[ v(t ,τ , T )] f (t ,τ , T ) = − T −τ ln[ v(t ,τ )] − ln[ v(t , T )] = T −τ i (t , T )(T − t ) − i (t ,τ )(τ − t ) = T −τ CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • La struttura per scadenza dei tassi a termine   La struttura per scadenza dei tassi a termine è un modo di rappresentare la funzione di sconto a termine Può essere rappresentata in capitalizzazione semplice   1  v(t ,τ , T ) −1   1  v(t ,τ )  =  v(t , T ) −1 T −τ   1 f (t ,τ , T ) = T −τ CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Esempio Esempio Programmazione Programmazione VBA VBA 11 -- Dalla curva spot alla curva a termine Dalla curva spot alla curva a termine 2 – Generazione flussi per un titolo indicizzato 2 – Generazione flussi per un titolo indicizzato CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • La Curva dei Rendimenti e la valutazione dei Titoli Obbligazionari Il Principio di Arbitraggio Valutazione Titoli a Tasso Fisso Curve per Scadenza Spot Valutazione Curve per Scadenza a Termine Titoli a Tasso Variabile Duration e Convexity Ratei, Corso Secco e Tel-Quel CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Cedole indicizzate   Una cedola indicizzata è determinata sulla base di un indice, tipicamente un tasso d’interesse, osservato a una data τ, definita data di reset. Il caso tipico (noto come natural time lag) è quello di una cedola con  periodo di godimento da τ a T  data di reset τ e data di pagamento T  tasso di riferimento per la determinazione della cedola i(τ ,T) (T – τ ) = 1/v (τ ,T) – 1  Si noti che tipicamente il tasso indicizzato è a capitalizzazione semplice, per la convenzione di mercato che utilizza tale meccanismo su tassi con scadenza inferiore all’anno. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Cedole Indicizzate  Data Reset  τ .. (nella nostra approssimazione coincide tcon o. a la data inizio maturazione) rc e  Data Scadenza Cedola T Il tas a rv e ss o Si m ul s so s Periodo di Maturazione (T - τ) C (τ , T ) = i (τ , T )(T − τ ) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE . pot..  i (τ , T )
    •   1 1 v(τIl )portafoglio di ⇒ 1 + i (τ , T )(T − τ ) = ,T =  1 + i (τ , T )(T − τ )  replica v(τ , T )   1 Importante: si noti Qual τ il portafoglio di replical’utilizzo della legge di riferita di una cedola indicizzata, i (τ , T )(T −è ) = −1 v(τ T ) a un nominale ,pari a un’unità capitalizzazione semplice di valuta? v(τ TSi(noti che − τtempo τvilτvalore della cedola, determinata in τ e , )i τ , T )(T al ) = 1 − ( , T ) pagata in T, sarà dato da  Valore della Cedola pagata in T v (τ ,T) i(τ ,T) (T – τ ) = 1 – v (τ ,T) Funzione di Sconto che attualizza il valore della cedola al tempo τ  Il portafoglio di replica che è naturale scegliere è quindi   Una posizione lunga (investimento) per un’unità di valuta disponibile in τ Una posizione corta (finanziamento) per un’unità di valuta disponibile in T CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Flussi di cassa di una cedola indicizzata  Una cedola indicizzata corrisponde quindi a...    una posizione di investimento a breve termine finanziata con... indebitamento a lungo termine, per un ammontare pari al valore nominale C su cui è calcolata la cedola. Una cedola indicizzata nasconde quindi una posizione di debito (leverage) 1 C C = 1 – v (τ ,T) t τ T C 1 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Flussi di cassa di una cedola indicizzata   Se valutiamo la cedola al tempo t dobbiamo attualizzare entrambi i flussi; Per questo abbiamo bisogno del valore della funzione di sconto...   da t a τ : v(t, τ) e... da t a T : v(t,T) Valore attuale flusso attivo v(t ,τ ) t Valore attuale flusso passivo Valore attuale cedola C 1 τ v(t , T ) v(t ,τ ) − v(t , T ) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE T C 1
    • Prezzo di non arbitraggio: cedole indicizzate  Quindi il portafoglio di replica consente di valutare la cedola al tempo t come: cedola indicizzata = v(t,τ) – v(t,T) A τ abbiamo che il valore della posizione risulta infatti: 1 – v(τ,T) = v(τ,T) [1/ v(τ,T) – 1] = v(τ,T) i(τ,T)(T – τ) = fattore di sconto X cedola indicizzata  Al tempo t il valore della cedola può essere scritto v(t,τ) – v(t,T) = v(t,T)[v(t,τ) / v(t,T) – 1] = v(t,T) f(t,τ,T)(T – τ) = fattore di sconto X tasso forward CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Flussi di cedole indicizzate  Consideriamo uno scadenzario {t,t1,t2,…tm} dove ti, i = 1,2,…,m – 1 sono le date di reset delle cedole, ognuna delle quali è pagata in ti+1. t è la data di valutazione del flusso di cedole.  E’ agevole verificare che il valore del flusso di cedole corrisponde a  Una posizione lunga (investimento) per un’unità di valuta alla data di reset della prima cedola (t1)  Una posizione corta (finanziamento) per un’unita di valuta alla data di pagamento dell’ultima cedola (tm) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Floater  Un titolo indicizzato (floater) è caratterizzato da uno scadenzario {t,t1,t2,…tm}  In t1 viene pagata la cedola corrente c (valore cv(t,t1))  ti, i = 1,2,…,m – 1 sono le date di reset delle cedole indicizzate pagate in ti+1 (valore v(t,t1) – v(t,tm))  Il capitale viene rimborsato in un’unica soluzione in tm.  Valore delle cedole: cv(t,t1) + v(t,t1) – v(t,tm)  Valore del capitale: v(t,tm)  Valore complessivo del titolo = Valore delle cedole + Valore del capitale = [cv(t,t1) + v(t,t1) – v(t,tm)] + v(t,tm) = (1 + c) v(t,t1)  Un titolo indicizzato è finanziariamente equivalente a un titolo a breve, con scadenza in corrispondenza della data di reset della prima cedola indicizzata e cedola pari alla cedola corrente CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Debito indicizzato = Debito a breve Flussi di Centrobanca TV 1500 1000 500 Capitale Passivo 0 mag00 giu-00 lug-00 ago-00 set-00 ott-00 nov-00 dic-00 gen-01 feb-01 mar-01 apr-01 -500 -1000 -1500 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE mag01 giu-01 lug-01 ago-01 Attivo
    • Reverse floater  Un titolo a indicizzazione inversa, o reverse floater, è caratterizzato da uno scadenzario {t,t1,t2,…tj, …tm}   Fino alla scadenza tj vengono pagate cedole fisse (tipicamente molto alte) A partire dalla data di reset tj le cedole vengono determinate sulla base della formula rMax – α i(ti,ti+1)  dove α è un parametro di leverage. Il capitale viene rimborsato in un’unica soluzione alla scadenza CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Reverse floater  Un titolo reverse floater può essere scomposto in  Un flusso attivo di cedole fisse pagate alle scadenze {t1,t2,…tj}  Un flusso attivo di cedole fisse pari a (ti+1 – ti)rMax , i = j + 1, …m – 1.     Un flusso passivo di cedole indicizzate su un capitale pari a α volte il valore nominale Un titolo zero-coupon-bond che paga il nominale alla scadenza Un reverse floater corrisponde quindi a un investimento a lungo termine finanziato con un’esposizione a breve termine, per un ammontare multiplo del valore nominale La posizione di debito a breve e investimento a lunga rende il prodotto estremamente sensibile a aumenti i) del livello e ii) dell’inclinazione della curva dei tassi CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Titoli indicizzati: sommario   Un flusso di cedole indicizzate può essere rappresentato in due modi matematicamente e finanziariamente equivalenti  Posizioni di credito e debito su scadenze diverse  Sostituendo i tassi forward in luogo dei valori delle cedole future Nell’analisi di sensitività non deve essere mai dimenticato che variazioni delle curva a pronti dei tassi hanno due effetti sulla valutazione delle cedole indicizzate:  Aumento o diminuzione del loro valore attuale  Aumento o diminuzione dei tassi forward, e quindi dei livelli delle cedole CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Titoli indicizzati: sommario  Nei titoli a indicizzazione diretta i due effetti si muovono in senso opposto, attenuando gli effetti di variazioni dei tassi sul valore del titolo.   In particolare, l’effetto di un aumento dei tassi sul valore delle cedole è positivo e si contrappone a quello sul valore del rimborso del capitale a scadenza. L’effetto netto è quello di un titolo finanziariamente equivalente a un titolo a breve termine che scade in corrispondenza della data di reset della prima cedola indicizzata e paga la cedola corrente Nei titoli a indicizzazione inversa i due effetti si muovono nello stesso senso.  Rialzi dei tassi comportano una diminuzione del valore atteso delle cedole, oltre che del loro valore attuale, un effetto che si somma a quello sul valore attuale del capitale. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • La Curva dei Rendimenti e la valutazione dei Titoli Obbligazionari Il Principio di Arbitraggio Valutazione Titoli a Tasso Fisso Curve per Scadenza Spot Valutazione Curve per Scadenza a Termine Titoli a Tasso Variabile Duration e Convexity Ratei, Corso Secco e Tel-Quel CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Curva dei tassi e valore di portafogli obbligazionari  Ogni curva dei rendimenti rappresenta un particolare tipo di mercato obbligazionario e la variazione della curva distribuisce profitti e perdite tra gli operatori dei desk fixed income.  Modelli economici e tecniche statistiche sono stati sviluppati per analizzare il comportamento della curva dei tassi.  I risultati di analisi della dinamica della curva dei tassi e le previsioni sulle sue evoluzioni future sono utilizzati per prendere posizioni sul mercato (riding the yield curve) o per scegliere politiche di copertura. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Curva dei tassi e valore di portafogli obbligazionari   L’analisi tradizionale degli effetti di spostamenti della curva è tipicamente limitata a una particolare tipologia di spostamento, il cosiddetto spostamento parallelo (parallel shift): si assume che i tassi si muovono dello stesso ammontare su tutte le scadenze della curva dei rendimenti In realtà questo tipo di focus non è molto limitativo. Infatti, un’evidenza empirica ricavata su gran parte delle curve dei rendimenti consiste nell’identificazione di tre tipologie fondamentali di spostamento:     i) spostamenti paralleli (parallel shift); ii) mutamenti di inclinazione (twist) e iii) variazioni di segno opposto su scadenze intermedie e scadenze estreme (hump). Inoltre, il primo tipo di spostamento spiega generalmente ben più del 90% della varianza dei rendimenti. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Richiami di Matematica Lo sviluppo in Serie di Taylor  Ricordiamo che per una funzione continua e derivabile con derivate continue, si può definire il seguente sviluppo in serie che può essere impiegato per utili approssimazioni 1  d i f ( x)   ( x − x0 ) k f ( x) = ∑  k!  dx k  x k =0   ∞ 0  Per es. lo sviluppo al secondo ordine in un intorno di x0 ci da 1  d 2 f ( x)   df ( x)   ( x − x0 ) 2 = f ( x) ≈ f ( x0 ) +   ( x − x0 ) +  2  dx 2  x  dx  x0  0 f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + 1 f ′′( x0 )( x − x0 ) 2 2 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Richiami di Matematica Lo sviluppo in Serie di Taylor (2nd ord)  Possiamo utilizzare le precedenti formule per esprimere direttamente la variazione della funzione in un intorno del punto x 0 ... 1 f ( x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + f ′′( x0 )( x − x0 ) 2 2 1 ′( x0 )( x − x0 ) + f ′′( x0 )( x − x0 ) 2 ⇒ ∆f ( x) = f ( x) − f ( x0 ) ≈ f 2  ... o la variazione percentuale ∆f ( x) f ( x) − f ( x0 ) f ′( x0 ) 1 f ′′( x0 ) = ≈ ( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 f ( x) f ( x) f ( x) 2 f ( x) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Richiami di Matematica Lo sviluppo in Serie di Taylor (2nd ord)  Nel seguito utilizzeremo diffusamente le formule relative al primo ordine... 1  ∆f ( x) ≈ f ′( x0 )∆x, ∆f ( x) f ′( x0 ) ≈ ∆x f ( x) f ( x) ... e al secondo 1 f ′′( x0 )∆x 2 2 ∆f ( x) f ′( x0 ) 1 f ′′( x0 ) 2 ≈ ∆x + ∆x f ( x) f ( x) 2 f ( x) ∆f ( x) ≈ f ′( x0 )∆x + 2 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Movimenti della curva dei tassi e valore dei titoli zero-coupon (capitalizzazione composta continua) dettaglio del calcolo v( tT )ConsideriamoT − ttitolo zero-coupon-bond con scadenza al tempo T e , = exp( − i ( t , T )( un ) ) con dP (t , T ) valore dP( t , T ) 1 = di (t , T ) P(t,T) = v(t,T) P (t , T ) P ( t , T ) di ( t , T ) dP ( t , T ) d exp( − ( t termini = −( T − t ) exp valore T − titolo (T il ) P(t , T  Di = quando varia, iin, T )( T − t ) )percentuali, il( − i ( t , T )(del t ) ) = −se − t tasso ) di ( t , T ) di ( t , T ) sulla scadenza T, i(t,T), si muove di una quantità infinitesima ε ? Se dP (t , T )tasso è1calcolato a capitalizzazione composta continua la risposta il = − (T − t ) P(t , T )ε = −(T − t )ε P (t , Tè ottenuta T ) ) P( t , calcolando la derivata v( t , T ) = exp( − i ( t , T )( T − t ) ) dP (t , T ) 1 dP( t , T ) = di (t , T ) = −( T − t ) ε P (t , T ) P( t , T ) di( t , T ) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Movimenti della curva dei tassi e valore dei titoli a cedola fissa  Consideriamo il prezzo di un coupon bond che paga cedola fissa c e scade al tempo tm. m P ( t , t m ; c ) = c ∑ v ( t , ti ) + v( t , t m ) i =1   Di quando varia, in termini percentuali, il valore del titolo se la curva dei tassi si muove, su tutte le scadenze, di una stessa quantità infinitesima ε ? Se i tassi sono calcolati a capitalizzazione composta continua la risposta è ottenuta calcolando un’espansione di Taylor arrestata al primo ordine ∂v( t , ti ) ∂v( t , t m ) ∆P( t , t m ; c ) ≈ ∑ c ε+ ε ∂i ( t , ti ) ∂i ( t , t m ) i =1 m m ∆P( t , t m ; c ) ≈− P( t , tm ; c ) ∑ (t i =1 i − t ) cv( t , ti ) + ( t m − t ) v( t , t m ) P( t , tm ; c ) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE ε
    • Duration    Il coefficiente che moltiplica la variazione arbitraria di tasso ε prende il nome di DURATION; La DURATION rappresenta una media ponderata delle scadenze dei flussi offerti da un titolo. Il peso di ciascuna scadenza all’interno della media è dato dal rapporto fra il valore attuale del flusso corrispondente a tale scadenza e il prezzo del titolo. 1 m  D= ∑ v( t , ti )( ti − t ) c + v( t , t m )( t m − t )  = P( t , t m ; c )  i =1  cv( t , ti ) v( t , t m ) ∑ P ( t , t ; c ) ( ti − t ) + P ( t , t ; c ) ( t m − t ) i =1 m m m CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Duration e sentitività dei titoli a movimenti della curva dei tassi  La duration è rilevante perché misura la sensitività di titoli a spostamenti paralleli, infinitesimi, della curva dei tassi, calcolati in capitalizzazione continua ∆i    ∆P( t , t m ; c ) ≈ − D × ∆i P( t , tm ; c ) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Duration di portafogli    La duration è un operatore lineare, quindi la duration di un portafoglio è uguale alla media ponderata delle duration. Consideriamo un portafoglio W di titoli obbligazionari Pi, ciascuno dei quali dotato di duration Di ( i = 1,2,...k). Assumiamo una variazione di un ammontare infinitesimo su tutte le scadenze della curva dei tassi. Qual è l’impatto percentuale di questo shock sul valore del portafoglio? k Pi ∆W ≈ − DW × ∆i = −∑ Di × ∆i W W i =1 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • dettagli del calcolo Movimenti della curva dei tassi e valore dei titoli v(zero-coupon ) (capitalizzazione t , T ) = (1 + i ( t , T ) − ( T −t ) discreta) ∆P (t , T ) 1 dP( t , T ) = di zero-coupon-bond con scadenza al  Consideriamo un titolo (t , T ) P (t , T ) P ( t , T ) di ( t , T ) tempo T e con valore (1 + i ( t , T ) ) dP( t , T ) = − ( T − t ) (1 + i ( t , T ) ) = −( T − t ) di ( t , T ) 1 + i( t , T )  Di quando varia, in termini percentuali, il valore del titolo se il ( T − P(t , T ) tassot ) sulla scadenza T, i(t,T), si muove di una quantità = − infinitesima ε ? Se il tasso è calcolato a capitalizzazione 1 + i ( t , T ) discreta la risposta è ottenuta calcolando la derivata composta ( T − t ) − (P−tt ,) T )ε = − ( T − t ) ε ∆P (t , T ) 1 T( =− P (t ,v ) , T = ( t1T ) i +,iT, T ) Tt P , + 1 t (t 1 + i( t , T ) P(t,T)1= v(t,T) −( T −t ) − ( ) ( ( )) −( T −t ) (T − t ) ε ∆P (t , T ) 1 dP ( t , T ) = di (t , T ) = − P (t , T ) P( t , T ) di ( t , T ) 1 + i( t , T ) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Duration Modificata Una definizione di DURATION che è utilizzata per rappresentare la sensitività di un titolo a movimenti infinitesimi del tasso d’interesse, calcolato a capitalizzazione composta discreta è quella di DURATION MODIFICATA (DM)  D DM = 1+ i  Nel caso del nostro zero-coupon-bond possiamo infatti scrivere ∆P ( t , T ) T −t ≈− ∆i = − DM × ∆i P( t , T ) 1+ i CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Duration Modificata  Per i titoli con cedola fissa, o in generale portafogli di titoli a cedola fissa, la duration modificata consente di determinare la variazione percentuale del valore rispetto a variazioni infinitesime del tasso interno di rendimento. Infatti, definendo y il tasso interno di rendimento e un insieme di flussi Fk di un portafoglio W n  …calcoliamo… W = ∑ Fk (1 + y ) −( t k −t ) k =1 n ∂W 1 n − ( t k − t ) −1 ∆W ≈ ∆y = −∑ Fk t k (1 + y ) ∆y = − Fk (1 + y ) −tk ∆y = ∑ ∂y 1 + y k =1 k =1  n  ∑ Fk (1 + y ) −tk 1 − W  k =1 1+ y  W     ∆y = − 1 WD∆y = − DM × W × ∆y  1+ y   CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Una rappresentazione più accurata   Assumiamo che il tasso d’interesse, calcolato a capitalizzazione continua, i(t,T) aumenti di una quantità finita ε. Di quanto diminuisce il prezzo P(t,T) di uno zero coupon bond? Una risposta più accurata di quella fin qui trovata può essere ottenuta con un’espansione di Taylor arrestata al secondo ordine ∆P( t , T ) 1 dP( t , T ) 1 1 d 2 P( t , T ) 2 = ε+ ε 2 P( t , T ) P( t , T ) di ( t , T ) 2 P( t , T ) di ( t , T ) ∆P( t , T ) 1 2 2 = −( T − t ) ε + ( T − t ) ε P( t , T ) 2 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • L’estensione a un titolo con cedola  Estendiamo l’analisi precedente a un coupon bond che paga cedola fissa c e scade al tempo tm. m P ( t , t m ; c ) = c ∑ v ( t , ti ) + v( t , t m ) i =1   Di quando varia, in termini percentuali, il valore del titolo se la curva dei tassi si muove, su tutte le scadenze, di una stessa quantità finita ε ? Se i tassi sono calcolati a capitalizzazione composta continua una risposta accurata è ottenuta calcolando un’espansione di Taylor arrestata al secondo ordine  m ∂v( t , ti ) ∂v( t , t m )  1  m ∂ 2 v ( t , ti ) ∂ 2 v ( t , t m )  2 ∆P ( t , t m ; c ) ≈ ∑ c + ε+ c + ε ( t , ti ) ∂i( t , t m )  2 ∑ ∂i( t , ti ) 2 ∂i( t , tm ) 2   i =1 ∂i   i =1  m ∆P ( t , t m ; c ) ≈− P( t , tm ; c ) ∑ ( ti − t ) cv( t , ti ) + ( tm − t ) v( t , tm ) i =1 P( t , t m ; c ) m ε+ 1 2 ( ti − t ) 2 cv( t , ti ) + ( tm − t ) 2 v( t , tm ) ∑ i =1 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE P( t , t m ; c ) ε2
    • Convexity   Come la duration rappresenta la media, ed cioè il momento primo, delle scadenze ponderata per il valore attuale dei flussi, è naturale definire il momento secondo in modo analogo. Otteniamo così un indicatore di ordine superiore alla duration, denominato CONVEXITY e formalmente definito come 1 m  2 2 C= ∑ (ti − t ) cv( t , ti ) + (t m − t ) v( t , t m )  P( t , t m ; c )  i =1    Osserviamo immediatamente che la CONVEXITY corrisponde al termine di secondo ordine nell’espansione di Taylor del prezzo del titolo rispetto a uno shock finito nella curva dei tassi. Questo indicatore permette quindi il confronto e la valutazione fra titoli diversi che, a parità di DURATION, manifestano differenti variazioni di prezzo in presenza di uguali variazioni di tasso. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Duration e Convexity  La duration e la convexity consentono quindi di determinare in maniera accurata la sensitività di titoli a spostamenti paralleli, di dimensione finita, della curva dei tassi, calcolati in capitalizzazione continua ∆P( t , t m ; c ) 1 2 ≈ − D × ∆i + C × ∆i P( t , tm ; c ) 2 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Duration e convexity di portafogli    Come la duration, anche la convexity è un operatore lineare, e la convexity di un portafoglio è uguale alla media ponderata delle convexity. Consideriamo un portafoglio W di titoli obbligazionari Pi, ciascuno dei quali dotato di duration Di e convexity Ci ( i = 1,2,...k). Assumiamo una variazione di un ammontare finito su tutte le scadenze della curva dei tassi. Qual è l’impatto percentuale di questo shock sul valore del portafoglio? k Pi Pi 2 ∆W 1 1 k 2 ≈ − DW × ∆i + CW × ∆i = −∑ Di ∆i + ∑ Ci ∆i W 2 W 2 i =1 W i =1 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Il caso della capitalizzazione composta discreta  Consideriamo un titolo zero-coupon-bond con scadenza al tempo T e con valore P(t,T) = v(t,T)  Di quando varia, in termini percentuali, il valore del titolo se il tasso sulla scadenza T, i(t,T), si muove di una quantità finita ε? Se il tasso è calcolato a capitalizzazione composta discreta la risposta è ottenuta calcolando la derivata  v ( t , T ) = (1 + i ( t , T ) ) ( T − t ) ε + 1 ( T − t )(1 + T − t ) ε 2 ∆P( t , T ) =− P( t , T ) 1 + i( t , T ) 2 1 + i( t , T ) − ( T −t ) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Convexity    Come alla duration corrisponde una formula di duration modificata che tiene conto della capitalizzazione nel tempo discreto, così anche la convexity può essere aggiustata per tener conto del tempo discreto. Anche in questo caso, l’utilizzo sarà quello di valutare in maniera più accurata l’effetto sul prezzo di una variazione finita del tasso interno di rendimento y. In questo caso la CONVEXITY formalmente definita come  T ( ti − t ) (1 + ti − t )c ( t m − t ) (1 + t m − t )  1 C= + ∑  ti −t t m −t P( t , t m ; c )  t =t1 (1 + y ) (1 + y )  CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Duration e convexity  Duration e convexity possono essere viste come:    Il momento primo e secondo delle scadenze di una serie di flussi ponderati per il loro valore finanziario La derivata prima e seconda del valore di un insieme di flussi rispetto a uno spostamento parallelo della curva dei rendimenti, calcolati in regime di capitalizzazione composta continua In regime di capitalizzazione composta discreta duration e convexity descrivono la derivata prima e seconda della relazione tra tasso interno di rendimento di un flusso di poste finanziarie ed il loro valore attuale. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • La Curva dei Rendimenti e la valutazione dei Titoli Obbligazionari Il Principio di Arbitraggio Valutazione Titoli a Tasso Fisso Curve per Scadenza Spot Valutazione Curve per Scadenza a Termine Titoli a Tasso Variabile Duration e Convexity Ratei, Corso Secco e Tel-Quel CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Rateo, Corso Secco e Prezzo “tel-quel”   Poiché i titoli non vengono negoziati solo nei giorni di stacco cedole diventa necessario stabilire la quota di interessi spettanti ai due contraenti (venditore e compratore) in relazione al periodo di detenzione del titolo stesso. Nasce così il concetto di rateo che prende in considerazione tre componenti:    il livello di cedola da ripartire pro-tempore; il numero di giorni del periodo sulla base del quale la cedola viene ripartita; il numero di giorni intercorsi fra l’incasso dell’ultima cedola e il giorno dell’operazione; CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Rateo, Corso Secco e Prezzo “tel-quel”     I prezzi comunemente quotati suoi mercati si riferiscono al cosiddetto corso secco, che è il prezzo al quale è quotato il solo capitale di un titolo a reddito fisso escludendo cioè il rateo degli interessi maturati. Il corso tel quel è invece il prezzo inclusivo degli interessi maturati dall’ultimo giorno di godimento al giorno di stipulazione del contratto. In quest’ultimo caso il titolo è provvisto della cedola in maturazione. Fra i due corsi vale quindi la semplice relazione: Ptq = Pcs + R CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Rateo, Corso Secco e Prezzo “tel-quel”   Per il calcolo del rateo occorre conoscere le convenzioni di calcolo relative al mercato sul quale il titolo è trattato. Per quanto riguarda il mercato italiano le convenzioni attualmente in vigore sono riportate nella tabella seguente, a titolo di riferimento vengono riportate anche le convenzioni utilizzate nel periodo precedente al 1 gennaio 1999 data a partire dalla quale molte modalità di calcolo sono state cambiate. Tit oli Tit oli di St at o Em issioni Corporat e BOT CTZ BTP CCT Tasso variabile tasso fisso Prim a del 1 gen naio 1999 ACT/ 365 ACT/ 365 30/360 30/360 30/360 30/360 Dal 1 gennaio 1999 Tit oli Esist ent i Nuove Em issioni ACT/365 ACT/360 ACT/ACT ACT/ACT ACT/ACT♦ ACT/ACT 30/ 360 ACT/ACT 30/ 360 ACT/ACT ACT/ACT ACT/ACT CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Rateo, Corso Secco e Prezzo “tel-quel”  La formula per il calcolo del rateo è estremamente semplice d1 R=c d2  dove     c è il valore della cedola semestrale; d1 è il numero di giorni che intercorrono fra la data valuta e l’inizio del periodo di maturazione della cedola; d2 è il numero di giorni effettivo del periodo di godimento della cedola. Il numero di giorni viene calcolato sul mercato italiano secondo la convenzione Actual/Actual considerando quindi il numero effettivo di giorni calcolato sulla base del calendario civile includendo eventualmente il 29 febbraio qualora questo sia compreso negli intervalli di tempo da calcolare. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
    • Esempio Esempio Programmazione Programmazione VBA VBA Ratei, prezzi tel-quel, duration & convexity Ratei, prezzi tel-quel, duration & convexity CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE