333                                     T g ‰ 3 ‰ 3 6e dQa 7                                                              ...
$                               ¤ ¦VP © E  V © D        S ¤ © $ H© ©  H©                             T                    ...
.                                                  D ( ¨  (  c b $   X©                                              [8] C...
se                                                                                    …„…‚                               ...
§ ¨                                                                                                                       ...
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Figura 9.7: Gráfico de .                                                                        ¡                          ...
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9.3. DERIVADA                                                                                                             ...
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9.3. DERIVADA                                                                                                             ...
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Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)
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  1. 1. 333 T g ‰ 3 ‰ 3 6e dQa 7 cb ‰ ˆ ƒ„…‚ e dQa cb e: …„ƒ‚ então ‘ ’ ‰, . Por outro lado observamos que se , temos que Fazendo ‘ #  …„ƒ‚ © † ‡ © 3 ‰ ‡ © † © 3 ‰ ‡ T © † © …„ƒ‚ ˆ e r€dQa7 3 c b ca b ‡ © † © 6e Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão: w fxs vutsvutsq iprehq ipyihf gP X§¨§ ¦ ¥ © . [2] Calcule: cb e dQ$aA T ` 3 @6   $54I Y §¨§ ¦ ¥ © 3 ( F §¨§¦ ¥ © ; então: X   $210S V( W3  Logo, a condição necessária para que o limite exista é que a primeira parcela seja nula, isto é, T U@6   $54I @6   $54IS R 3 (    EC D P ( Q@6   $54I HGF A 3 D (     EC B ( @   $940 8) 3 6   %$540% ( 3 ( ( 6   %$270% 6   %$540%   $210   $210 Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão: limite.e calcule o ( ) §¨§ ¦ ¥ © para que exista £ ¡ ¤¢  [1] Determine o valor da constante   %$#! 9.1 Limitespor ceder, gentilmente estes exercícios.Agradecemos ao Professor Silvio Pinha Gomes do Departameneto de Análise do IME-UERJ, Exemplos Diversos Capítulo 9
  2. 2. $ ¤ ¦VP © E V © D S ¤ © $ H© © H© T 3 1$ 1 I 3 V© E D 1 © $ © H© 4 G 4 E 3 G 4 E 3 4 G 1 4 F G P F EG P E E G F E A 7 4 F D A 3 7 F D Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão: T 7 4 F 3 1 42 §¨§¦¥ © E D [5] Calcule: . ) ‘ 3 e 3 , ou seja e ‘ 3) ‘ 3¢ . Logo, @ 9 A @ 9 31 42© 7 C  £ B 8 £  £ ‘ 3 ee 87 §¨§¦¥ se Sabemos que T ¤ 65655 3 ¤ 65655 3 P ¤ 65655 ) # ) 65655 ) 2 @@ V # @@ V ) 65655 ) 4 @@ V ¤ @@ V 4 A Solução : Primeiramente reescrevamos a expressão: 5 T ‘ 3 P ¤S65650 ) A 42¥§¦1§¨ © 3 ¤ @@ V tais que ) £ ¡ 0( [4] Determine as constantes $ ¤ T ( ¥ b 3 ¡ ¥ V %P P ¤ #‰ C !A X§¨§¦ ¥¡ 3 w ¢¤ P ‰ C A X§¨§¦ ¥¡ 3 © ¡ P e ‰ A ©§ §¨§¦¥ © ‡ †( e: , então Por outro lado observamos que se ‘ ’ ‰  T ‰ ‰ 3 6e ( ‰ C 3 ‰ que e D e ‰ D 6 D ‰ ˆ 3 e ‰ , temos Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão. Fazendo 6e ( ‰ 6 3 ‰ . © ¨© § [3] Calcule: ‡ © P 6e ‰ A ¨ §¦¥ q f w †( ¡ X vutsipq ehyfxs © ¥ TV b 3 V ¥ ¢¤ ¥ ¢¤ ‰ ˆ$ £ ‰ ˆ$ §¨ ¥¦ ¡ 3 V ¦£ ‰ ˆ$ §¨§¦¥¡ 3 vutsripihgP e dQ Aa ¨ §¦¥ cb Logo: CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 334
  3. 3. . D ( ¨ ( c b $ X© [8] Calcule: )g¨ D ¦ !e r€a $%Ge a #!„ §¨§¦¥ . V ( „ „ 3 c c D c ddrddT ˆ gS 3 $ 7 TTTTT D Por outro lado, „ ‡ 1 † „ # 5 E 9 V © V © T $ 7 3 e 7 §¨ ¥¦ 3 c T T T T T #1 „ „ „ ¨ §¦¥ 1I ( 0 ddrddT ( ¥ „ 0 V ¥ „ 0 „ „ . Logo: TT D ddT 7 onde „ c g c ¤ ( E c 9 ¥ „ ( „¥ g V ¥ 3 e D„ TTTTT 6e 7 #!e 3 c 7I ( 0 ddddT ( ¥ V ¥ 0 Solução : Dividindo os polinômios: T V © TTTTTT c 70 ( 0 ddrdd#7 ( ¥ „ 0 V ¥ „ I „ §¨ ¥¦ [7] Calcule: T #A se D se ( D 3 se D D 3 e ¡ D ¥ ¨ 2g¦‘ ‘ Então: „ © „ „ © „ „ „ „ T 3 ( ( S E 41 §¨§¦¥ 3 ( ( p 3 3 ( 3 ( p© S E 42¥¦1 §¨ 3 ( 01 „ ( D 42¥§¦1 §¨ § © ( : . Agora estudemos o caso se logo „ 2A D D ¥ ¨ 2¤g©‘ ‘ 3 6e ¡ (© p S E 42¥§¦1 §¨ „ „ „ „ 41 §¨§¦¥ „ ‘ 3 ( (p 3 3 ) ( D 3 ( § © (1 , temos: Se „ „ „ „ „ D ¤g¦‘ ¥ ¥ T D 41 3 D 3 1 42 D D D 3 „ GD ( D §¨§¦¥ 3 ( g 1 „ D ( D §¨§¦¥ 3 D ¡ ( temos: ; se , então Solução : Observe que, se D „ 3 „ ‘ 3 i‘ ¡ „ ‘ 3 T 3 1 42 #¤ ¢ F01 „ ( D §¨ ¥¦ 3 6e ¡ ‘ £ ( ( [6] Determine a função definida por: 5 P V © E V© TD 3 D 341 ¨ §¥ © 3 ¦ 7 E 3 1 42 §¨§¦¥ © V© E S D D Logo:335 9.1. LIMITES
  4. 4. se …„…‚ T ‘#A se ‡ © † © ‘ 3 se …„…‚ 3 6e ¡ ‘ #¥ ‡ © † © é contínua em . Reescrevamos a função: Solução : Claramente, o problema é determinar se ‘ ¡ T‘ 3 se ƒ„…‚ 3 [1] se ‘ ¨3 ‡ © † © 6e ¡ Analise a continuidade das seguintes funções: 9.2 Continuidade 3 T Y D 3 6e ‰ # e ‰ # D ¡§ §¨§¦¥ © Xe ‰ 8edQb a ‰ # ¡§ §¨§¦¥ © ¤ c cb 6e dQa #¢ Logo: T 6e ‰ # e ‰ D 3 e ‰ # 8e ‰ # e ‰ D 3 6e ‰ # 6erc €b a ‰ # ¤ c e rb€a cb G6e ‰ #! e dQa #¢ 4 , então: pois ‘ ©e dQa ¨3 c b P e ‰ A e D r€a 3 cb cb cb cb Pe r€a 8e a A D 3 6e a # ( § ¥ dQa ( § ¥ a # e r€a 3 ( § ¦ dQa ¥ cb Solução : Primeiramente reescrevamos o numerador: § T 6e ‰ # Gedc Qb a ‰ ¡¨§¨§¦¥ © ¤ ¢ #£4 [9] Calcule: não existe. cb © Consequentemente, w !6e $%8e # dQa $ w a §¨§¦¥ §¦§¨ ¥ © T D 3 5 e a §¦¨ ¥ © 3 © 6e ¡ © 3 e a # § §¨§¦¥ 3 6e ¡ § ¨ §¦¥ Então se T( 3 X se ( ¤ g¦‘ se ¥ ¨ 6e a # 3 6e ¡ ‘ ¥ 2¤g¨ ( ¤ 6e a # . Logo 3 ( e 3 ( r€a cb ( 3 , então . Se a 3, logo 3 cb e r€a $ cb então . Se dQa X ¡ ( $$ 6e a # ¨ ‘ ¥ ¨ ‘ , logo 3 6e ¡ e Xe 3¡ e , então 3 !e‘ r€a $$!e #¥ $6e dc Qa ¥ ¨ 6Xe . Se Solução : Seja cb ‘ b ‘ ¥ ##¨ ( !e r€a $%Ge a # 3 cb $ 6e ¡CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 336
  5. 5. § ¨ b ¡ @ 3 [3] § ¨ ¥ 4§¨1 §¦¥ ¡ 3 6e ¡ ¡ © b ¥ ¥ s¦ . Figura 9.2: Gráfico de ¥ ¦ VV ¥1 s ¢¢ (( 3 6e ¡ -1 -0.5 2 1 -1 -2 0.5 1 não é contínua em . Então, ‘ w   ¡   ¡ w ¡ © T 3 P ¤ © V D ˆ A § §¦§¨ ¥ © 3 6e ¡ § §¦§¨ ¥ © X e 3 P 5 © V D C A §¦¨ ¥ © 3 6e ¡ §¨§¦¥ D D , temos: 3 V© ¢ ¤ e § © §¨§¦¥ ¢ £ 3 V © w © §¨§¦¥ Sabendo que   ¡   ¡   ¡ T ¤ © V D V   ¡   ¡ 3 ¤ © V D 3 D C 3 E ¤5© © D V D D # © V D e ¡ Solução : Reescrevamos a função:   ¡ . 5   ¡ © VD 3 [2] 2 © V D 6e ¡ Figura 9.1: Gráfico de . ¡ -1 -0.5 6 4 2 -2 -4 -6 0.5 1 não é contínua em . Então ‘ w ¡ T © X© e © © 3 e r€a § ¨ §¦¥ 3 e ¡ § ¨ §¦¥ cb cb X 3 6e dQa § §¨§¦¥ 3 6e ¡ §¨§¦¥ Logo,337 9.2. CONTINUIDADE
  6. 6. ¥ © ¥ © w ¤ ¤ e ¥¦ T X 3 ( a # §¨§¦¥ 3 e ¡ § §¨§¦¥ 3 §¨¥ © 3 6e ¡ §¨¥ ¥¦ © . Por outro lado: , então Solução : Se 3 ( $ a 3 $ ¡ se 3 T %A se 4 c [1] %¨g© ¨ © a 3 6e ¡ ¤ se 9¤¥ 4 Determine as constantes tais que as seguintes funções sejam contínuas: Figura 9.3: Gráfico de . ¡ 3 -3 3 £ é contínua em . Então, ¡ T‘ se 2A 3 se ‘#¨¤ ‘ e ¡ § ¨ . Reescrevendo a função: b 3 ¥ 4¨1 §¦¥ ¡ , então Se h ‘ 3 ¡ D ‘ 3 § ¨ ¡V ¢ £¡ 3 T ¤ ¢ 1 3 1 §¥ 4¨ 2 ¡ ¦ § ¨ 3 ¡ b b S ¥ ¥ 4§¨2¥§¦1 ¡ ¢ £¡ 3 ¤ ¢s h ¡ 1 V 4 ¡ © Sv Logo: § T¡b ¥ ‰ 3 ¡b § ¨ ¥ b § § ¨ § ¨ b b % ¡ b ¥ 3 ¦b ¡ ¡ b ¥ 3 ¡ b S ¥ ¡ © § ¨ § ¨ § ¨ § ¨ § ¨ ¥ ‰ 3 ¡© ¥ ¡ Sv v © b ¥ 3 ¡ © S ¡ © b ¥ 3 ¡ © b Sv ¥ , então: Se ‘ #A § ¨ T b ¥ 42 3 1 ‘ 3 ¡ ¡ © b v ¥ §¨ ¥¦ ¡ § ¨ . Logo, 3 1 42 3 41 e , então, Solução : Se ¢ ¤ 3 ¡ b %$ §¨ ¥¦ ¡ ‘ 3 ¡ © b §¨§¦¥ ¡ ‘ ¥ #CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 338
  7. 7. T 3 ¤ § ( §¨§¦¥ © 3 Y SF ( © © y ¡   w § D ¥ § ( §¨ ¥¦ 3 e ¡ w§ ( §¨ ¥¦ 3P ‰ y ( w D ¥ ¨§¦§¥ ¡ 3 E!eC ( §¨§¦¥ © 3 e ¡ ( §¨§¦© y ‰ y y dQa A y cb @ DE e y dQa cb ¤ . Logo: 3 D ¡ , então Se D 3 TP ‰ ‰ y 3 ‰ c b D 3 E!eC c b 3 § 7 b c y rb€a A y ‰ y dQa D @ E!e y r€a yE!y$ „ d‚c Qa DD e:, ¥ , então , temos que , fazendo ¥ ƒ…„‚ ¥ …ƒ Por outro lado: ‘ ’ ‰ ¥ D  D E! 3 ‰ ‡‡ ( ‡ ¥ ( © † @V© †V 3 ‡ @(( ¥¤ © @V© V † T ¤ e ( 1e D ( 3 Y )   D ¡ e ( 1e D § y ( ¥ Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios: T D2A se ¥ se ¤ H1 © 1 ( © ¥ © P ¢ © 1 P © ¤ [2] D 3 se ¥ …ƒ „ ‚ 3 6e ¡ D ¥ 2¤ ‡ @(( ¥¤ © @V© V † Figura 9.4: Gráfico de . ¡ -1 3 -3 1 se T %A se © a 3 ¤g© ¨ ¨ se © # 6e ¡ 9 ¥ © . Logo: 3 c , isto é, Como os limites laterais devem ser iguais, temos que e X 3 c w © e © T c 3 4 c §¨§¦ ¥ © 3 6e ¡ § §¨§¦¥ © X 3 ( a # ¨§§¦¥ 3 6e ¡ §¨§¦¥ então . Por outro lado:, . Se 3 ¤ , isto é, ¤ X 3 ( a 3 ¡ Como os limites laterais devem ser iguais, temos que 3 X 3 % 339 9.2. CONTINUIDADE
  8. 8. V V   ¡ se 5 T %A ¢ V HH©11 © ¥ ¥ © ©  @V¥ P 1 © P © ¦ ¤ §¥ se ¨ ¨ %#©‘ se ‡ ¢( ( q 3 V© ¥† vuts©ipehf ‚ 6e ¡ ‘ ¥ # ¤ . e que tem soluções ¢( 3 c ( 3 ¤ Y 3 c ¤ 3 c ¤ . Então, temos o sistema: logo, Y 3 c D © D © © Y 3 g4 § §¨¦§¥ 3 g e ( !e § §¨§¦¥ 3 § §¨§¦¥ ¤ ¢ £ ¢ £ y ¤ e ( 1e w © e ¡ w © c ¤ ¤ 3 c ( a # §¨§¦¥ 3 6e ¡ §¨§¦¥ ¤ ¤ c 3 ¡, e: , então 3 . Se 3 c logo, ¤ ¤ c 3c ( a §¨ ¥¦ §¨ ¥¦ § X© 3 ¡ § X© cb w dQa © 66 # w © e w X© cb ‡ 3 P e dQ…aA P #6e© † ƒ„…‚ $bA §¨¦§¥ 3 g © † „…ƒ‚ b §¨§¦¥ 3 e ¡ §¨§¦¥ ‡ ¤ , e: c 3 i‘ ¡ , então Se ‘ 3 D T g e ( 1e 3 ` ¤ ( Y ¢ £ y ¤ e ( 1e ¥ ¤   ( y¤ Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios: V1 V   ¡ se T %A ¢ V 1 H© ¥ ¥ © @V¥ P © ¤ se [3] %¨g¦‘ ¨ se c H© 5 ( © a 1 P © V ¥ vutsrq© ipihf ‚ 3 6e ¡ ‘ ¥ #¤ Figura 9.5: Gráfico de . ¡ -1 6 5 4 3 2 1 -1 1 2 3 4 T D2A se ¥ se ¤ H1 © 1 ( © ¥ © P ¢ © D 3 se ¥ ƒ… @V1 „ V P ‚ © 3 e ¡ D ¥ 2 ‡ @(( ¥¤ © @V© V † ¤ e: @V V 3 Então,CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 340
  9. 9. Figura 9.7: Gráfico de . ¡ 0.1 0.05 -0.05 -0.1 T ‘#A se ©‡‡ © @@ V 1 V…„† ƒ‚ ¢ £¡ se † ¤ ¤ ¢ ¥£ ‘ 3 ‡ 3 se © @VV 1 ¥ e ¡ ‘ #¥ ( † V ¡ H© e: , temos que por outro lado,; ‘ , temos, ‘ y‘ s 3 c § ¨ 3 § X§¦§¨ ¥ © © i‘ ¡ s e ¡ § ¨ § ¨ X© Como: y‘dc 3 e ¡ § ¥¦§¨ © ‘yd 3 @ V b ¥ 3 ¢ 8y‘d¤ $ § ¨ §¦¥ ¥ 3 ¢ 68yd5$ ¥ § §¨§¦¥ ‘ s ‘ ‘‘ § ¨ ‘‘ T P ¢ 8yd¤%$ ¥ A § X¥¦§¨ © c 3 § ¨ § ¨ P ‘‘ ‘ 68yd¤$ ¥ A § §¦§¨ ¥ © c 3 P 68‘yd¤c $ ¥ A P c c dQ Aa § X¥¦§¨ © 3 e ¡ § X¥¦§¨ © 6 c b ¤ . Por outro lado: isto é, w Y 3 ¤ ¤ ¤ # 3 ‘i ¡ 3 Y ( 6e ¡ 3 §¦§¨ ¥ © ¤ . Logo, necessáriamente devemos ter que: 2 3 i‘ ¡ , então 3 Solução : Se T ‘gA ‡ se © @‡ © „ V ‘ 1ƒ„V…‚†  ¢ £¡ se † ¤ [4] ¤ ¤ ¢ ¥£   ‘ 3 ‡ 3 se @VV #1 ¥ 6e ¡ ‘ ¥ g ‡© ¥† ¡ † H©   ¡ Figura 9.6: Gráfico de . ¡ 6 4 2 -2 1 2 3 4341 9.2. CONTINUIDADE
  10. 10. . , que é paralela à reta [3] Determine a equação da reta normal à curva ‘ 3 ¥ D 8 D ¨ e c © 3 ¥ T D 3 ¥ D § g!eCD 3 ¥ ¥ D 3 ¥ E7 § #!e D 3 Logo, as equações da reta tangente e da reta normal são, respectivamente: ¥ T D 3 $ ( ¤ § ¤ ( D ) ! gˆ G 3   3 ( D 3 V ¤ § D ( ! g 3   ¥ 3 V ¤ $ tangente e da reta normal à curva são, respectivamente:Logo, o único ponto de interseção é . Por outro lado, os coeficientes angulares da reta ‘ $ T 3 ¦ ‘ 3 2D7 ¦ cb ‘ 3 2D7 r€a 9   , temos: Solução : Determinemos a interseção da curva com o eixo dos . Se ‘ 3 ¥ no ponto onde a curva intersecta o eixo dos . V (¥ cb ¥ [2] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva © r€a 9   3     . e , , Então Y 3 c V 3 V( 3 ) 3   T cb e dQa 3 Y D ` ( a DD a Y 3 Y a D D a ` 3 e ¡ , logo: e Por outro lado, cb D e ( r€a ˆ 3 6 D a # #8 D ( a # D 3 Y a # T ` 6 Y a # 6 DD a # ` 3 e ¡     ; então: e V 3 V( 3 ) 3   , cuja solução é ‘ 3 Y ) 3 )   ‘ 3 )   obtemos o sistema:; logo, e , Solução : Primeiramente note que   )   3 ( ¡ Y ) 3 i‘   ¤¡ )   3 i‘ ¡ e . c H(   ) determine „, ¢ , pode ser escrita na forma £¡ c e dQa 3 e ¡ cb e que ¡     ‘ 3 i‘ ‡ † ¡ 3 i‘   ¡¡ 3 i‘ ¡¡ 3 i‘ ¡, , onde ) £ ¡ 0   . Sabendo que [1] Considere a função 3 ( ¡ Y a # x D a )   3 6e ¡ 9.3 DerivadaCAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 342
  11. 11. 9.3. DERIVADA 343Solução : Primeiramente, calculemos os coeficientes angulares que precisamos. O coeficiente 3 ‘ 3 ¥ E! D Dangular da reta é . O coeficiente angular da reta normal à curva é: ¤ V S 3   ¥ 3 ( ¤ T e c ¨ ( 3VComo as retas são paralelas, temos que ¤ ¤ , isto é: 3 e c ¨ § e ¨ S 3 c D § ¢(¥b 3 logo, temos que ( ¥ b D 3 ( ¥ b c¨ ( ¥ b 3 ¥ . A equação da reta normal à curva que passa peloponto é: ( ¥ b D ( ¥ b § ( ¥ b 7 3 ( ¥ b g ¥ D ¥ T(¥b 3 0.6 0.4 0.2 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 -0.2 -0.4 Figura 9.8: A reta ¥ (¥b 3 .[4] Determine os parâmetros , e   tais que a parábola ) £ B¡ ¥ ) (  3 tangencie a reta¥ 3 no ponto de abscissa e passe pelo ponto . ‘ X$ Solução : Como o ponto ‘ X$ deve pertencer à parábola, substituindo na equação, temosque: T ‘ 3 )   $ 3Como a parábola deve tangenciar a reta 3 no ponto de abscissa , temos que se 3 ¥ , então $ ¥ . Isto é, o ponto é comum à reta e à parábola; substituindo na equação, temos que: T 3 )   DO coeficiente angular da reta é ¤ 3 e o coeficiente angular da reta tangente à parábola é¤  D 3 ¥ 3 (, logo ) ( 3V ¤ )   V D 3 $ ( . Como :¤ ¤ T 3 )   D Logo, de (1), (2) e (3) temos o sitema:   ) ‘ 3 )   3 )  D 3
  12. 12. 344 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOScuja solução é: V 3 3   e ) V( 3 . 2 1 1 Figura 9.9: Exemplo [4].[5] A forma de uma colina numa área de preservação ambiental, pode ser descrita pela equação¥ § § B ‘ ( D C 3 ¢ , sendo £ y ¨ ¨ § . Um caçador, munido de um rifle está localizado no yd ‘‘ponto . A partir de que ponto da colina, a fauna estará segura?   Solução : Denotemos por ¥ e 3 7 o ponto além do qual a fauna não pode ser vista pelocaçador, situado no ponto ‘ D . A fauna estará a salvo, além do ponto onde a reta que liga 7 ‘ D à colina seja tangente à mesma. 2 Figura 9.10: Vista bidimensional do problema.Observe que 5 D 3   ¥ ¢ £ é o coeficiente angular de qualquer reta tangente à parábola; logo,no ponto , temos 7 5 D 3   ¥ ¢ £ e a equação da reta tangente é: ¥ T !ey ¤ D $ 3 ¥ ¢ £Como a reta passa por ‘ D , temos: $ T D y 5 D $ 3 ¥ ¢ £ 7O ponto também pertence à parábola; então: T § § ¤ ( ˆ 3 ¥ D ¢ £
  13. 13. 9.3. DERIVADA 345Igualando (1) e (2): ‘ 3 Y e ` e 3 y Y ( D § ` 3 e T§ 3 ¥Então, 7 ` A § ` 3 e a fauna estará a salvo a partir de . D $[6] A reta tangente à curva 2 ( D ˆ 3 ¥ no ponto é também tangente à curva emum outro ponto. Ache este ponto.Solução : O coeficiente angular da reta tangente à curva é , como ¥   Y Y 3 D $é um ponto comum à reta e a curva, temos 3 $   ¥ . A equação da reta tangente que passapelo ponto é: D $ 3 . Para determinar os pontos comuns à curva e à reta tangente, ¥resolvemos o sistema: 0 ( # C 3 ¥ D 54 3 ¥ obtendo ¡3 ‘ 3 ( # ( e 3 ¤ ( E   D e . O ponto procurado é ‘ X$ . 2 -1 1 Figura 9.11: Exemplo [6][7] O ponto 7   § 3 pertence à parábola Y 3( ¥ . Determine todos os pontos 8 da parábola 8 7tais que a normal em passe por Solução : Um ponto arbitrário da parábola é (© 3 ¤£V ¢ 3 8   3 e o coeficiente angular da reta normal ¢ 8à curva é: ¤ . A equação da reta normal à curva no ponto é: V T   !e D 3 ( Y   ¥  Mas a normal passa pelo ponto   § , logo:   § D 3 ( Y       3 ` Y   ` D   § T ‘ 3 Y   #   § D   3V 8Os pontos procurados são 3 8 D $ 3 ( 8 Y Y $ , e .   §
  14. 14. 346 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 9 4 1 -4 -2 6 Figura 9.12: Exemplo[7].[8] Nos pontos de interseção da reta com a curva , traçam-se as ¥ ‘ 3 9 ¥ ¥ Y ( 3normais à curva. Calcule a área do triângulo formado pelas normais e pela corda que subtendeos referidos pontos de interseção.Solução : Determinemos os pontos de intersecção da reta ‘ 3 ¤ ¥ 1 com a curva: ¥ ( ¥ Y ¤4 3 ¥ T 3Obtemos ‘ 3 Y e e 3 Y C ¥ ( ; então e Y 3 3 ; logo temos os pontos 7 D $ 3e 7 ¥ Y 3 ( . Por outro lado, os coeficientes angulares das normais são dados por: V ¤ 3 ¢ Y ! D 3   ¥¤ V( 3 $ e ¤ V 3 Y . As equações das normais em (7 V7 e , são respectivamente: D 3 ¥ Y T Y D 3 0 ¥ Resolvamos o seguinte sistema para achar os pontos de intersecção das retas normais: D ¥ 4 3 Y ¥ ¢ Y #4C 3 D obtemos § 3 5( 3 ¥ e . Seja 5 ( § 37 . A área do triângulo de vértices 7 (7 V , e 7 é dada por   , onde: (¡ 3 ¢ ¥ D 3 ££££ § Y ££££ 3 §   T  T @ ¥Y 3 £ D ¥  ¥ D £ ¤

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