Your SlideShare is downloading. ×
Piramida si trunchi piramida totul mate
Piramida si trunchi piramida totul mate
Piramida si trunchi piramida totul mate
Piramida si trunchi piramida totul mate
Piramida si trunchi piramida totul mate
Piramida si trunchi piramida totul mate
Piramida si trunchi piramida totul mate
Piramida si trunchi piramida totul mate
Piramida si trunchi piramida totul mate
Piramida si trunchi piramida totul mate
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Piramida si trunchi piramida totul mate

567

Published on

matematica

matematica

Published in: Science
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
567
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
12
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Piramida triunghiulara, tetraedrul: descriere si reprezentareAsa cum am promis intr-un articol , o sa discutam si despre piramida triunghiulara si tetraedru. Dupa cum am invatat la piramida patrulatera baza este un paralelogram (baza poate fi patrat, romb, dreptunghi), in cazul piramidei triunghiulare baza asa cum v-ati dat seama este un triunghi (echilatera, isoscel, dreptunghic), iar daca piramida este triunghiular regulata, baza este triunghi echilateral, iar pentru piramida patrulater regulata baza este patrat.Def: Tetraedrul este determinat de patru puncte necoplanare, numite varfuri. Reprezentare Dupa cum am vorbit si la piramida patrulatera, vorbim si despre elementele componente: -muchiile bazei: AB, AC, BC -muchiile laterale: VA, VB, VB -planul bazei (ABC) -fetele laterale Aceleasi componente le avem si pentru piramida triunghiular regulata. Diferenta dintre piramida triunghiular regulata si tetraedru este ca: tetraedrul are toate muchiile congruente, adica si muchiile bazei si muchiile laterale sunt congruente, deci fetele laterale si fetele bazei sunt triunghiuri echilaterale, iar la piramida triunghiular regulata baza este triunghi echilateral, iar fetele laterale sunt triunghiuri isoscele, muchiile laterale sunt congruente. La fel ca si la piramida patrulater regulata, piramida triunghiular regulata are si ea: apotema piramidei, apotema bazei, inaltimea. Def: Apotema piramidei triunghiulare este distanta de la varful piramidei la o muchie a bazei Apotema bazei piramidei triunghiulare este distanta de la centrul cercului circumscris bazei triunghiului echilateral la o muchie a bazei a sa . Inaltimea intr-o piramida triunghiular regulata este distanta de la varful piramidei la punctul de intersectie al mediatoarelor (centrul cercului circumscris). Problema 1) Piramida regulata VABC are baza triunghiular echilateral cu aria de . Daca , aflati aria triunghiului VAB. Ip: VABC piramida triunghiular regulata
  • 2. Cl: Dem: Cum baza piramidei este triunghi echilateral si mai stim si aria sa, aflam latura triunghiului echilteral din aria triunghiului ABC, astfel stim din clasa a VII-a ca aria intr-un triunghi echilateral este ,iar pentru triunghiul din problema noastra cm, in prima parte pentru a afla latura triunghiului echilateral am folosit proprietatea fundamentala a proportiilor ( intr-o proportie produsul mezilor este egal cu produsul extremilor). Dupa ce am aflat latura bazei piramidei si stim ca baza este triunghi echilateral rezulta ca piramida este triunghiular regulata , deci fetele laterale sunt triunghiuri isoscele, stiind isoscel, constrim inaltimea VD, pentru a putea aplica Teorema sau functiile trigonometrice, stim ca AD=6 cm, deoarece intr-un triunghiului isoscel medianele, mediatoarele, inaltimile corespunzatoare bazei coincid, deci la noi VD este si mediana, de unde aflam AD. Daca aplicam Teorema nu putem sa aflam nimic deoarece nu stim nici ipotenuza, nici cateta care se opune unghiului de , deci aplicam functiile trigonometrice cm. Baza o stim, ca sa aflam aria trebuie sa mai aflam si inaltimea, astfel stiind VA, aplicam Teorema lui Pitagora pentru a afla inamtimea sau Teorema , noi o sa aplicam Teorema , iar voi incercati cu teorema lui Pitagora deci cm. Deci aria triunghiului VAB este: cm. Deci imprtant la aceste probleme sunt notiunile pe care le-am invatat pana acum.
  • 3. Piramida regulata Despre piramida regulata am discutat, dar astazi o sa invatam sa calculam Aria laterala, Aria totala si Volumul unei piramide regulate. Astfel incepem prin a defini Piramida regulata: Piramida reguata are baza poligon regulat, iar proiectia ortogonala a varfului V pe planul bazei este centrul O al poligonului de baza. Muchiile laterale ale unei piramide regulate sunt congruente. Segmentul determinat de varful piramidei si mijlocul unei muchii a bazei se numeste apotema piramidei. Orice apotema a piramidei este perpendiculara pe muchia respectiva a bazei. Baza piramidei triunghiulara regulata este triunghi echilateral. se numeste apotema piramidei se numeste apotema bazei VO=h se numeste lungimea inaltimea piramidei. AB- lungimea muchiei bazei piramidei se numeste perimetrul bazei se numeste aria laterala se numeste aria bazei se numeste aria totala a piramidei. Scriem mai inati formulele standard pentru orice piramida, astfel avem: Mai putem afla si apotema piramidei, daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul VOM, astfel obtinem . In cazul in care piramida este triunghiulara formulele devin sau . Aplicatie O piramida patrulater regulata are , iar sectiunea diagonale este echivalenta cu baza. Calculati a) lungimea inaltimii piramidei b) Demonstratie
  • 4. Stim din ipoteza ca sectiunea diagonala este echivalenta cu baza, adica b) Observam ca VB este muchia comuna celor doua plane, deci ducem perpendiculara din A pe VB si perpendiculara din C pe VB, astfel gasim In triunghiul VCO dreptunghic in O aplicam Teorema lui Pitagora . Acum in triunghiul VOM aplicam Teorema lui Pitagora Acum ca sa aflam CT aplicam de doua ori formula ariei o data considerand baza BC, iar apoi considerand baza VB, iar apoi le egalam . La fel gasim si AT, deci gasim ca triunghiul ATC ete isoscel si ca sa aplicam functiile trigonometrice trebuie sa avem triunghi dreptunghic astfel ducem inaltimea din T pe baza AC, astfel aplicam in triunghiul ATE Teorema lui Pitagora . Ducem si perpendiculara din A pe TC si aplicam formula ariei de doua ori in triunghiul ATC si le egalam Acum putem aplica .
  • 5. Trunchiul de piramida regulata Dupa ce am invatat sa calculam aria laterala, aria totala si volumul unei piramide a venit vremea sa invatam sa calculam aria laterala, aria totala si volumul la trunchiul de piramida regulata. Astfel prin sectionarea unei piramide triunghiulare VABC cu planul (A’B'C’) paralel cu planul bazei (ABC) se obtine o piramida VA’B'C’ asemenea cu piramida VABC. Poliedrul obtinut prin indepartarea piramidei VA’B'C’ se numeste trunchiul de piramida triunghiular. In cazul in care piramida initiala este regulata, trunchiul obtinut se numeste triunchi de piramida regulata. Astfel pentru a calcula aria laterala intr-un trunchi de piramida regulata aplicam formula unde este perimetrul bazei mici al trunchiului de piramida este perimetrul bazei mari a trunchiului de piramida Observati ca acum avem doua baze, baza mare si baza mica, a trunchiului de piramida regulata. este apotema triunchiului (reprezinta distanta dintre muchiile celor doua baze). Acum unde este aria bazei mici al trunchiului de piramida care se poate afla fie cu formulele pe care le stim in functie de ce baza avem, fie cu urmatoarea formula: , unde este lungimea apotemei bazei mici este aria bazei mari a trunchiului de piramida, care se poate afla fie cu formulele pe care le
  • 6. stim in functie de ce baza avem, fie cu urmatoarea formula: , unde este lungimea apotemei bazei mari Acum sa enuntam formula pentru volumul unui trunchi de piramida : unde h= inaltimea in trunchiul de piramida Iar apotema trunchiului putem sa o aflam cu formula: Prezentam o problema prin care aplicam notiunile prezentate mai sus: Un trunchi de piramida patrulatera regulata provine din piramida P si are . Calculati: a) lungimea laturii bazei mari b) apotema trunchiului c) aria laterala d) Volumul piramidei intiale Demonstratie:
  • 7. Stim volumul Deci Observam ca am obtinut o ecuatie de gradul al II-lea, deci calculam Acum Iar Si cum lungimea unui segment nu poate fi mai mica ca 0 rezulta ca L=12 cm. b) Din formulele de mai sus In cazul figurii de mai sus MM’ este apotema trunchiului dar sa aflam Iar Acum putem afla apotema trunchiului c) Dar mai intai sa aflam perimetrul bazei mari
  • 8. Astfel d) volumul piramidei Dar noi nu stim inaltimea piramidei ,astfel avem: Astfel au loc relatiile Din primele doua relatii obtinem Astfel Astfel Probleme rezolvate cu piramide Aria laterala Aria totala si volumul Prezentam mai multe probleme rezolvate cu piramide, cu aria laterala,aria totala si volumul, dar si distanta de la un punct la un plan, sinusul unghiului a doua plane: 1) Un tetraedru regulat ABCD, are AB=6 cm. Calculati: a) Aria totala a tetraedrului b) Volumul tetraedrului c) d) Demonstratie: Calculam aria laterala a tetraedrului Acum calculam apotema piramidei: Stim ca fetele laterale ale unui tetraedru regulat sunt triunghiuri echilaterale, deci
  • 9. apotema piramidei este si inaltime in triunghiul ACD, si stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este . Deci Si astfel aria laterala este cm. Acum aflam aria bazei, stim ca baza este triunghi echilateral, deci cm. Iar aria totala este . Acum sa aflam volumul Tetraedrului Dar mai intai aflam inaltimea tetraedrului, stim apotema piramidei, acum aflam apotema bazei Acum in triunghiul VOM aplicam Teorema lui Pitagora , . b)Acum sa aflam distanta de la punctul B la planul ACD, astfel Stim ca distanta de la un punct la un plan este proiectia punctului din punctul dat pe plan. Observam ca Acum sa afla lungimea segmentului BN. Stim ca AB=6 cm, , deoarece la fel ca si AM, BM este inaltime in triunghiul echilateral BCD. Deci observam ca triunghiul BCD este isoscel si astfel ca sa afla lungimea segmentului BM, calculam de doua ori aria triunghiului AMB, odata considerand baza AM, iar apoi considerand baza BM. Acum aflam Acum daca egalam cele doua arii gasim ca . d) Masura unghiului a doua plane Observam ca AC este muchia comuna celor doua plane si astfel ducem perpendiculara din B pe AC si din D pe AC si astfel gasim ca Si astfel gasim Acum trebuie sa aflam
  • 10. ce valoare are sinusul unghiului. Observam ca BP si PD sunt inaltimi in triunghiurile echilaterale BAC si DAC, astfel gasim ca Stim ca BD=6 cm Deci triunghiul BPD este isoscel. Acum, ca sa aflam sinusul unghiului, trebuie sa avem triunghi dreptunghic, deci trebuie sa ducem perpendiculara din B pe DP, si astfel gasim sinusul unghiului: Fie , Dar ca sa aflam sinusul unghiului trebuie sa stim BQ Astfel ducem o noua perpendiculara din P pe BD, adica Acum calculam PF . Stim ca BF=3 deoarece (intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoarea, inaltimea corespunzatoare bazei coincide), deci BF este si mediana. Acum putem afla Acum calculam si aria Egalam cele doua arii si gasim: Deci gasim ca Acum putem aplica functiile trigonometrice . Astfel Aria laterala a unui tetraedru regulat este . Aria totala . . Stim ca tetraedrul regulat este un caz particular de pirmida. Tetraedrul regulat are toate fetele laterale triunghiuri echilaterale, dar si baza este tot triunghi echilateral.

×